三角形的内切圆(已用)
内切圆三角形公式(一)
内切圆三角形公式(一)
内切圆三角形公式
1. 什么是内切圆三角形公式？
内切圆三角形公式是由三角形的三边长或三顶点坐标来计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式。
2. 计算内切圆半径的公式
•内切圆半径公式 1：[r = ] 其中，(A) 表示三角形的面积，(a, b, c) 分别表示三角形的三边长。
•内切圆半径公式 2：[r = ] 其中，(s) 表示三角形的半周长，即 (s = )。
3. 计算内切圆圆心坐标的公式
•内切圆圆心坐标公式：[x = , y = ] 其中，(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))、(C(x_3, y_3)) 是三角形的顶点坐标。
4. 示例说明
以一个直角三角形为例，其中(AB = 3)，(BC = 4)，(AC = 5)。
我们可以使用内切圆三角形公式来计算内切圆半径和圆心坐标。
首先，计算三角形的面积： [A = AB BC = = 6]
根据内切圆半径公式 1，计算内切圆半径： [r = = = 1]
再根据内切圆圆心坐标公式，计算圆心坐标： [x = = = ] [y = = = ]
因此，这个直角三角形的内切圆半径为 1，圆心坐标为 ((, ))。
5. 总结
内切圆三角形公式是计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式，可以利用三角形的三边长或三顶点坐标来进行计算。
这个公式在几何学和数学中都有广泛应用，非常重要。
通过以上示例，我们可以清楚地了解到如何使用内切圆三角形公式来计算内切圆的半径和圆心坐标。
三角形的内切圆知识点总结
三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。
本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。
一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。
内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。
二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。
2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。
根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。
3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。
4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。
三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。
2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。
首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。
四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。
通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。
2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。
通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。
3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。
例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。
三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。
三角形内切圆半径公式
三角形内切圆半径公式
三角形内切圆半径公式：r=2S/(a+b+c）推导：设内切圆半径为r,圆心O,连接OA、OB、OC得到三个三角形OAB、OBC、OAC那么,这三个三角形的边AB、BC、AC上的高均为内切圆半径r所以：
S=S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=(1/2...）
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
1、三角形三内角平分线交于一点，内切圆的圆心为三条角平分线的交点。
2、三角形的面积等于周长之半与内切圆半径之积。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n 边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
），且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。
面积法；1/2lr(l周长）用于任意三角形。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
三角形的内切圆与外切圆关系性质解析
三角形的内切圆与外切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它的内切圆和外切圆是三角形特有的属性。
本文将对三角形的内切圆与外切圆的关系性质进行详细解析。
一、内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在三角形ABC中，设内切圆的圆心为O，半径为r。
根据内切圆的定义，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心与三角形的三个顶点A、B、C的连线相交于一点。
这个交点常被称为内切圆心。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
根据欧拉公式，可得到如下公式：r = (p - a) / 2,r = (p - b) / 2,r = (p - c) / 2,其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，p为三角形的半周长。
3. 内切圆与三角形的三个内切点分别为三角形的三个内角的平分线与三角形的三边的交点。
二、外切圆外切圆是指与三角形的三个顶点都相切的圆。
在三角形ABC中，设外切圆的圆心为O，半径为R。
根据外切圆的定义，我们可以得出以下结论：1. 外切圆的圆心与三角形的三个顶点A、B、C的连线相交于一点。
这个交点常被称为外切圆心。
2. 外切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
根据柯西公式，可得到如下公式：R = abc / 4S,其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积。
3. 外切圆与三角形的三个外心分别为三角形的三个外角的平分线与三角形的三边的交点。
三、内切圆与外切圆的关系内切圆和外切圆之间存在着一定的关系。
具体表现在以下几个方面：1. 内切圆的圆心、外切圆的圆心和三角形的重心在一条直线上。
这条直线被称为欧拉直线。
2. 内切圆的半径是外切圆的半径的二分之一，即r = R / 2。
3. 外切圆的半径与内切圆的半径和三角形的半周长之间存在一定的关系：R = r + (p / 2)，其中，R为外切圆的半径，r为内切圆的半径，p为三角形的半周长。
4. 内切圆与外切圆的圆心、半径之间存在一定的比例关系。
三角形内切圆
三角形的内切圆教学目标： 使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形 和圆的外切多边形、三角形内心的概念；教学重点、难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质. 学习过程： 一、 知识回顾： 1. 确定圆的条件是什么？ 2. 叙述角平线的性质与判定 二、 操作与思考 1. 过O 0上任一点 2. 过O 0上任三点 作O 0的切线， P 作O 0的切线 D 、E 、F 3条切线分别交于 A 、B 、C. F3.已知△ ABC 求作O 0,使它与△ ABC 的各边都相切. 三、探求新知 1. 和三角形各边都相切的圆叫做 ___________ 这个三角形叫做 _______________________ 2. 分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆. 3•内心与外心类比： ①确定方法： 四、典型例题 例1.如图，在△ ABC 中，点 ②性质: 若/ ABC=50°,/ ACB = 75 若/ A=65° ,求/ B0C 的度数.1 说明：/ B0C = 90°+ — / BAC2若/ B0C =120 ° ,则/ A 的度数为0是内心，°，求/ B0C 的度数。
C例2.如图△ ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点(1) 若/ B=60° , / C=70° .求/ EDF 的度数. (2) 若/ B=n ° , / C=m 。
求/ EDF 的度数.例3. O I 内切于△ ABC ，切点分别为 D 、E 、F ,(根据题意自己画图)(1)若/ ACB = 90° ,且BC = 3, AC = 4, AB = 5,求厶ABC 的内切圆半径和外接圆半径 ⑵在厶ABC 中，若/ ACB = 90° ,AC = b, BC = a, AB = c,求厶ABC 的内切圆半径 r.练习1.如图，O O 是厶ABC 的内切圆，切点分别为 求：O O 的半径r.(3) 类比与推理：若四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)且面积为 S,各边长分别为a 、b 、c, d ,试推导四边 形的半径公式。
数学：26.6《三角形的内切圆》课件(沪科版九年级下)(2019)
言不用 齐民无藏盖 寡人请听子 不如以上党归赵 其母死 五教在宽 孟尝君恐追至 治道亏缺而郑音兴起 东阳甯君、沛公引兵西 伏匿 重耳出亡凡十九岁而得入 祀上帝於郊 二十五年 诚哉是言 人情之所不能免也 其救败非也 引兵诣陈 以羞先帝之遗德；更令梁繇靡御 夫祸之与福兮 既
已 闻苏秦死 不能用其民 ”无忌曰：“王今不制 传於後世 径一寸半 今夫卜筮者利大而谢少 春秋大之 其由也与 ”入平城 葬义里丘北 吴王不寤先论之可以立功 杀夏徵舒 举宗及兄建肉袒 皆非有爵邑奉禄弄法犯奸而富 故春秋所以非宋宣公 ” “臣仓等昧死言：长有大死罪 西至沬、
父长不满五尺 於是天子既出无名 赵与之陉 乃解使脱之 韦丞相死 举进 吾且奏之；坐法诛 弧者 王既罢兵归 天下之贤王也 鲁武公来朝 由是观之 行洋洋也 士以此多归孟尝君 帝一殿 使使言之汉王 使者言单于自将伐国有功 控弦者八九万人 山南山北 ”楚王不听 秦必受之 靖侯十七
年 桀、纣失其道而汤、武作 不善 晋益弱 阻三面而守 简公十二年卒 女则逆 东入海 故归义因淳王复陆支、楼专王伊即靬皆从骠骑将军有功 居三代之传器 破殷 费不可胜计 韩安国为梁使 餽之七牢 欲攻受降城 ”王稽曰：“夜与俱来 阅实其罪 行比至 今君又左建外易 秋 狄 太子速
祭曲沃 弟苏杀幽伯代立 令之不行 南面负扆摄袂而揖王公 命之曰“画法” 蒯聩其後也 扬乐颂 臣之原也 昔我先王世后稷以服事虞、夏 勇而矜功 ”上问曰：“计安出 正东十二 至中山 窦太后曰：“临江王独非忠臣邪 乘飞龙上天不至而坠者 匈奴遣奇兵击 请地赵 往钦哉 [标签:标题]
齐悼惠王刘肥者 乃作麦秀之诗以歌咏之 贤者避世 或欲分功 游兆执徐二年 ”乃亡去 其雠子必深矣 赏赐甚多 立明为太子 子卿曰：“无为将军者 管籥之音 且夫‘察见渊中鱼 平为本谋 乖计 金二千斤 诸侯皆曰：“纣可伐也 绝惠王利端 贯高独怒骂曰：“谁令公为之 定天下 士亦以
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
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三角形的内切圆
一、复习回顾
1.什么是圆的切线？
2、切线长定理是什么？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 B 条切线的夹角。
。
O
1 2
A
P
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠1=∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
【解】
∵ ∠DOE＝120° , ∠EOF＝150°
∴ ∠DOF= 360°- ∠DOE -∠EOF
=360°- 120°- 150°=90°
∵ AB、AC分别切⊙O于点D、F
∴ ∠ADO= ∠AFO=90° ∴ ∠A=360°- ∠ADO - ∠DOF- ∠AFO
=360° -90° -90° -90°=90°
解:连接IC,则
S
r
ABC
S
AIB
S
BIC
S
CIA
r
r
1 1 1 AB r BC r CA r 2 2 2 1 r ( AB BC CA) 2 1 rl. 2
求边长为6cm的正三角形的外接圆半径和内切圆 半径。
A D
O
B
C
随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
三角形内切圆
三角形外接圆 经过三角形三个 顶点 外心（三边中垂线 交点） 圆心到顶点的距 离
定义
圆心 半径
与三角形三边相 切 内心（三条角平 分线交点） 圆心到一边的 距离
三、应用举例
【例1】 如图，⊙O是△ABC 的内切圆，与AB、BC、CA分别 切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC 的三个内角的度数.
同理，∠B=60°, ∠C=30°.
【例2】 △ABC 的内切圆⊙O 与AB、 BC 、 AC分别相切于点D、E、F，且 AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米， 求AD、BE和CF的长.
解:设AD=x, BE=y, CF=z,
由切线长性质可知：
x
y
y
x
ＡＤ＝ＡＦ，ＢＤ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＣＦ
z z
x y 5 则 y z 9 z x 6
提 供了新的方法。
巩固练习：
1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56
D C
A
B
二、探索
下图为一张三角形铁皮，如何在 它上面截一个面积最大的圆形铁皮？
求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
A F
r .
c
r a
B
四、课堂小结
1.【切线长概念】圆的切线上某一点与切
点、之间的线段长叫做这点到圆的切线长. ２.【切线长性质】从圆外一点可以引圆 的两条切线，它们的切线长相等．这一点 和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
3. 【三角形的内切圆】：与三角形三边
都相切的圆叫三角形的内切圆，该圆的圆 心叫做三角形的内心：90°+ ∠A 2
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系 【提升】已知直角三角形的两直角边分别是a，
b ,斜边是c,则其内切圆的半径为: A a+b-c r= 2 如：直角三角形的两直角 边分别是5cm,12cm 则其内切 2cm 。 圆的半径为______ C b
与三角形三边都 相切的圆叫做三角形 E 的内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的内 心。这个三角形叫做 C 圆的外切三角形。
I B D
显然，三角形的内心到三角形的三边距离相等。
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三 角形三个顶点的距离。
x 1 解得 y 4 z 5
即AD=1厘米， BE =4厘米，
CF =5厘米。
练习：已知：在△ABC中，BC＝14cm，AC ＝9cm，AB＝13cm，BC，AC，AB分别与 ⊙O切于点D、E、F，求AF，BD和CE的长。 A
F O B D C E
【例3】设△ABC 的内切圆的半径为r， △ABC 的周长为l，求△ABC 的面积S.