3.1.2.2《椭圆方程及性质的应用》课件(北师大版选修2-1)
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3.1 椭圆 课件3 (北师大选修2-1)
探究交流二
LOGO
• 如何用几何图形解释？ a ,b, c 在椭圆中分别表示 哪些线段的长？ • 当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？
交流结果 1.勾股定理...... 2.a不变c变大椭圆越扁 a不变c变小椭圆越圆
课堂小结:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常 数（大于ΙF1F2Ι）的点的集合叫作椭圆，这两 个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作 椭圆的焦距 ．
课前预习情况汇报(2)
完成问题３和问题４
这是大家在学习推导椭圆的方程时应该注 意的2个问题 ①建立坐标系的问题. ②怎样消去方程总的根式.
求椭圆方程的步骤
建立坐标系
1 2 3
别忘了还 有⑤呢？
设点
列式
4
化简
注意：①②③④只说明了椭圆上点的坐标 满足方程，事实上我们还可以证明，方程 的“每一组解所对应的点都在椭圆上”。
椭圆的标准方程 焦点位置 在X轴
Y
F1
LOGO
在Y轴
Y
图 形
标准方程
F1
F2
X
F2
X
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
y2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)
焦点坐标 F1(-c ,0 ),F2(c,0)
F1(0 ,c ),F2(0,-c)
2 2
a
探究结果
线段F1F2 • 设定义中的常数为 2a, 无轨迹 • 若ΙF1F2Ι = 2a,动点的轨迹是 椭圆
• 若ΙF1F2Ι > 2a,动点 试试： 已知F1（-4,0），F2（4,0），到F 1，F2 • 若ΙF1F2Ι < 2a,动点的轨迹是 两点的
3.1.2.2《椭圆方程及性质的应用》课件(北师大版选修2-1)
【解析】由椭圆的对称性知 |P1F1|=|P7F2|，|P2F1|=|P6F2|， |P3F1|=|P5F2|，且|P4F1|=5， ∴|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+…+|P7F1| =（|P1F1|+|P7F1|）+（|P2F1|+|P6F1|）+（|P3F1|+|P5F1|） +|P4F1|
x 2 2 有两个不同的交点， 2.（5分）已知直线y=kx+2与椭圆 +y =1 2
则斜率k的范围是_______.
【解题提示】联立方程组，消去y,由Δ>0求k的范围.
【解析】
答案：
x 2 y2 3.（5分）如图，把椭圆 + =1的长轴AB分成8等份，过每 25 16
个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点， F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=_______.
一、选择题（每题5分，共15分）
x 2 y2 1.(2010·太原高二检测）已知F1、F2是椭圆 + =1 的两焦 16 9
点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则 |AF1|+|BF1|等于( (A)11 (B)10 ) (C)9 (D)16
（1）求动点M的轨迹方程； （2）若过点N（ 1 ,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N
2
为线段CD的中点，求直线l的方程. 【解析】（1）设M（x,y),因为kAM·kBM=-2，所以
y y =-2(x≠〒1). x+1 x-1
化简得:2x2+y2=2(x≠〒1).
x 2 y 2 (a>b>0),以其左焦点F （-c,0) 1.（5分）已知椭圆E： + =1 1 2 2 a b
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
返回
椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
返回
[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系
离 心 率
焦距为2c;
c e a
a2=b2+c2
推荐作业：
必做题：1 、 阅读教材p28-31页内容完成例5；2 、 课本第31页习题第3、4、6题 选做题：
课外练习 1、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 且椭圆过(-2,-4)点,求椭圆的标准方程. 2、已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成 等差数列,求该椭圆的离心率.
2
轻松愉快
------谈收获
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 （
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
问题1 已知椭圆方程为是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是：
6
。
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8， 此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2
高中数学北师大版选修2-1 3.1.2.1椭圆的简单性质 课件(30张)
= 1 的短轴长为6,∴a2= 25,b2=9. 答案 :D
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【做一做 2】 若椭圆的焦距等于它的短轴长,则椭圆的离心率 为( )
1 2 A. B. C. 2 2
2D. 2
2 , 3
答案 :B 【做一做 3】 若椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e = 长轴长为 6, 则椭圆的方程为( )
������2 ������2 1或 + 36 20 ������2 ������2 ������2 ������2 A. + = 1B. + = 1 36 20 9 5 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 C. + = 1 或 + = 1D. + 9 5 5 9 20 36
������ , ������, ������, ������之间的关系为������2 ������ ������ ������
= ������2 − ������2,
������ ������
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化. 椭圆的离心率������ = , 用������, ������表示为������ = 1������ 2 ������ ������ , 当 越小时, 椭圆越扁 , ������越大; 当 越大时 ������ ������ ������
1.对称性
������2 椭圆 2 ������
+
= 1 是以������轴、 ������轴为对称轴的轴对称图形 ,
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
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[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解： 设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C， 由|MA|＝|MC|得|MA| ＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心 M 到两定点 A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆， 且 2a＝8,2c＝6，b＝ a2－c2＝ 7， x2 y2 ∴M 的轨迹方程是16＋ 7 ＝1.
返回
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲 设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快 速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点， 用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度． 问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点 再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16.
答案：B 返回
x2 2 6．点 P 在椭圆 4 ＋y ＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△ PF1F2. 解：∵点 P 在椭圆上∴|PF1|＋|PF2|＝4，
高中数学选修2-1北师大版 椭圆的简单性质 课件(23张)
x2 y2 x2 y2 5、请你在同一坐标系中 画出椭圆 1及 1 25 9 25 16 ，观察图形，思考用什 么量可以刻画椭圆的扁 平程度？
探 究 新 知
教学过程设计
课堂 小结 知识 应用 探究 新知 创设 情境
知 识 应 用
x2 y2 例1、求椭圆 1中x、y的取值范围，以及 100 36 长轴和短轴的长、焦点 和顶点的坐标，离心率 大小。
椭圆几 何性质 的发现 及应用
基于《课程标准》的教学目标设计
3
教学目标
（1）学生通过画具体的椭圆图形，分析图形特 征，从而归纳出椭圆的几何性质； （2）根据椭圆的标准方程，学生能用代数方法验 证所得出的几何性质；
（3）学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心 率、长轴、短轴等问题。
说课内容
1 2 3 4
x2 y2 x2 y 2 例2、比较椭圆 1及 1的形状， 25 16 16 7 哪一个更圆，哪一个更 扁？为什么？
教学过程设计
课堂 小结 知识 应用 探究 新知 创设 情境
课 堂 小 结
1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？
2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？ 从中你有何启发？
课 堂 小 结
说课内容
1 2 3 4
5
教材内容与学情分析 基于《课程标准》的教学目标设计 基于教学目标的教学流程设计 教学反思
教学反思
教学设计思路：教学目标设计从学生实际出发， 制定并叙写出清晰、简明、可操作的教学目标， 努力让每一个教学活动都有明晰的指向、确定的 标准。
问题设置 ：通过问题链形式让学生明确学习任务
5
教材内容与学情分析 基于《课程标准》的教学目标设计 基于教学目标的教学流程设计 教学反思
探 究 新 知
教学过程设计
课堂 小结 知识 应用 探究 新知 创设 情境
知 识 应 用
x2 y2 例1、求椭圆 1中x、y的取值范围，以及 100 36 长轴和短轴的长、焦点 和顶点的坐标，离心率 大小。
椭圆几 何性质 的发现 及应用
基于《课程标准》的教学目标设计
3
教学目标
（1）学生通过画具体的椭圆图形，分析图形特 征，从而归纳出椭圆的几何性质； （2）根据椭圆的标准方程，学生能用代数方法验 证所得出的几何性质；
（3）学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心 率、长轴、短轴等问题。
说课内容
1 2 3 4
x2 y2 x2 y 2 例2、比较椭圆 1及 1的形状， 25 16 16 7 哪一个更圆，哪一个更 扁？为什么？
教学过程设计
课堂 小结 知识 应用 探究 新知 创设 情境
课 堂 小 结
1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？
2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？ 从中你有何启发？
课 堂 小 结
说课内容
1 2 3 4
5
教材内容与学情分析 基于《课程标准》的教学目标设计 基于教学目标的教学流程设计 教学反思
教学反思
教学设计思路：教学目标设计从学生实际出发， 制定并叙写出清晰、简明、可操作的教学目标， 努力让每一个教学活动都有明晰的指向、确定的 标准。
问题设置 ：通过问题链形式让学生明确学习任务
5
教材内容与学情分析 基于《课程标准》的教学目标设计 基于教学目标的教学流程设计 教学反思
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2.1 椭圆的简单
_－__a_≤__x_≤___a_且____ 范围 _－__b_≤__y_≤___b___
_－__b_≤__x_≤__b__且____ _－__a_≤__y_≤__a__
顶点 A1(－a,0)、A2(a,0)， A1(0，－a)、A2(0，a)， B1(0，－b)、B2(0，b) B1(－b,0)、B2(b,0)
讲课堂互动讲义
根据方程确定椭圆的性质 已知椭圆的方程为 4x2＋9y2＝36， (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长 以及离心率； (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路导引] (1) 化为标准方程 ―→ 求出a，b，c ―→ 焦点位置 ―→ 得其几何性质 (2) 将方程变形 ―→ 列表 ―→ 描点 → 得出图形
(2)画出的椭圆越来越扁．
椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准 方程
_xa_22_＋__by_22_来自__1_(_a_＞__b_＞__0_) __ay_22＋__xb__22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)
对称性 对称轴_x__轴__和__y__轴_，对称中心__(_0_,0_)__
③椭圆的离心率是椭圆的焦距与长轴长的比，记 作 e＝22ac＝ac，因为 a＞c＞0，所以 0＜e＜1. ④提到离心率，我们应想到两个公式即 e＝ac和 e ＝ 1－ba22.
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率
依次是( )
A．5、3、0.8
B．10、6、0.8
C．5、3、0.6
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e ＝ 23，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点 坐标、顶点坐标．
高中数学北师大版选修2-1 3.1.1.1椭圆及其标准方程 课件(30张)
������2 或 ������ ������2 + ������
= 1(������ > 0, ������ > 0, ������≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲 是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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= 1(������ > 0, ������ > 0, ������≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲 是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.1椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1
椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－
c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果 F1 到直
线
AB
的距离为
b ，求椭圆的离心率． 7
解析： ∵A(－a,0)，B(0，b)，
∴直线 AB 的方程为：－xa＋by＝1，
即 bx－ay＋ab＝0，
∵点
F1(－c,0)到直线
【错解】 ∵P 是椭圆上一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a. ∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2 |PF1|·|PF2|， 即|PF1|·|PF2|≤a2， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． ∴12c2≤a2≤3c2，∴13≤ac22≤2，
∴13≤e2≤2. ①
∵e＞0，∴ 33≤e≤
2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短 轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求此椭圆的标准 方程．
解析： 若椭圆的焦点在 x 轴上，
设其标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
＝4，e＝ac＝
5 3.
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点 的坐标(x，y)，列表如下：
x0 1 2 3 y 2 1.9 1.5 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图像，再 利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
[名师妙点] 求椭圆的性质时，应把椭圆化为标 准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观地 写出a、b的值，进而求出c，求出椭圆的长轴和 短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标等几何性 质．
《3.1.2 椭圆及其标准方程 》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品
设 P 为椭圆ax22＋by22＝1 上任意一点，F1 为它的一
个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
• [解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定 义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，
• ∵||PF1|－|PF2||≤2c， • ∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， • ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c， • 即a－c≤|PF1|≤a＋c • ∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.
重点难点点拨
• 本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两 种形式．
• 本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
知能自主梳理
• 1．平面内与两个定点F1、F2的 ______距_离__之_和_等__于_定_长_______ ___(大__于_|F_1_F2_|)_的_点____的轨迹叫作椭圆．这两个 定点F1、F2叫作椭圆的___焦_点____，两焦点的 距离|F1F2|叫作椭圆的___焦_距____．
• ∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|. • 又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与椭圆联立求出P
点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为所求最小值．
探索拓研创新
• 根据椭圆的标准方程求参数的取 值范围
已知方程|mx|－2 1＋2－y2m＝1 表示焦点在 y 轴上的
椭圆，则 m 的取值范围是( )
• 4．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂 直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的 两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过 程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化 简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它 单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧； (2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程 的两侧，并使其中一侧只有一个根式．
个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
• [解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定 义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，
• ∵||PF1|－|PF2||≤2c， • ∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， • ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c， • 即a－c≤|PF1|≤a＋c • ∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.
重点难点点拨
• 本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两 种形式．
• 本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
知能自主梳理
• 1．平面内与两个定点F1、F2的 ______距_离__之_和_等__于_定_长_______ ___(大__于_|F_1_F2_|)_的_点____的轨迹叫作椭圆．这两个 定点F1、F2叫作椭圆的___焦_点____，两焦点的 距离|F1F2|叫作椭圆的___焦_距____．
• ∴|P′F1|＋|P′A|>|PF1|＋|PA|. • 又F1(－2,0)，F2(2,0)，写出F2A的方程，与椭圆联立求出P
点坐标，则此|PF1|＋|PA|即为所求最小值．
探索拓研创新
• 根据椭圆的标准方程求参数的取 值范围
已知方程|mx|－2 1＋2－y2m＝1 表示焦点在 y 轴上的
椭圆，则 m 的取值范围是( )
• 4．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂 直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的 两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过 程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化 简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它 单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧； (2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程 的两侧，并使其中一侧只有一个根式．
北师大版选修2-1高中数学3.1《椭圆》(第2课时)ppt课件
预习效果检测
1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
所以|PF1|·|Pຫໍສະໝຸດ 2|＝43b2②.由①和②根据基本不等式，得|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2. 即43b2≤a2，又 b2＝a2－c2，故43(a2－c2)≤a2，解得 e＝ac≥12.
又 e<1，所以该椭圆的离心率 e 的范围是12，1.
解法二：由解法一得出|PF1|＋|PF2|＝2a |PF1|·|PF2|＝43b2
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的 方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速
得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或 方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件 灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目 的．
已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)， F2(c,0)若椭圆上存在点 P 使sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，则该椭圆的 离心率的取值范围为________________．
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12 =8 3 , cos 30
∴a=4 3 ,b=6,
∴c= (4 3)2 62 2 3 .
∴e= c = 1 .
a
答案：
1 2
2
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
x 2 y2 6.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴一个端点 2 a b
到右焦点的距离为2. （1）求该椭圆的方程；
B2N:(x2+c)(x+c)+y2y=(a-c)2.又两条切线都过点B2（0,b),所以
c(x1+c)+y1b=(a-c)2,c(x2+c)+y2b=(a-c)2.所以直线c(x+c)+ yb=(a-c)2就是过点M、N的直线.又直线MN过点B1（0,-b),代入 化简得c2-b2=(a-c)2,所以e= 3 -1.
x2 =x2+y2-3=x2+(1)-3= 3 x2-2, 4 4
∵x∈［-2,2］,
∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF１·PF2有最小值-2；
当x=〒2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1.
7.（2010·新余高二检测）已知点A，B的坐标分别是（-1,0),
(1,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2.
为圆心，a-c为半径作圆，过上顶点B2（0，b)作圆F1的两条切 线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下 顶点B1（0,-b)，则椭圆E的离心率为( (A) 2 -1 (C) 5 -2 (B) 3 -1 (D) 7 -3 )
【解析】选B.由题意得：圆F1：（x+c)2+y2=(a-c)2,设M（x1, y1)，N(x2,y2),则切线B2M：（x1+c)(x+c)+y1y=(a-c)2,切线
【解析】选A.|AF1|+|BF1|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|-|AB|=
（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）-|AB|=2〓4+2〓4-5=11.
2.（2010·宁德高二检测）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等 腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·台州高二检测）已知点P在圆x2+y2=4上运动，过P
点作PD⊥x轴于D，且DM=
3 DP，则点M的轨迹方程是_______. 2
【解题提示】设出M点的坐标（x,y),把P点坐标用x,y表 示出来，然后求出M的轨迹方程.
【解析】
答案：
5.如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面 所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为_______. 【解析】由图可知截口椭圆的短轴长2b=12, 长轴长2a=
=（|P7F2|+|P7F1|）+（|P6F2|+|P6F1|）+（|P5F2|+|P5F1|）
+|P4F1|=10+10+10+5=35.
答案：35
【解析】
2
∴ a =1.
2c
∴2ac=b2,即a2-c2=2ac,∴e2+2e-1=0. 解得：e= 2 -1,e=- 2 -1（舍去）.
3.已知点P在圆x2+(y-4)2=1上移动，点Q在椭圆
x2 2 +y =1 上移 4
动，则|PQ|的最大值是(
(A)3 (B)4
)
(C)5 (D)6
【解题提示】由点Q在椭圆上，设出Q坐标，把|PQ|的最 大值转化为Q到圆心的距离的最大值加上1来进行求解.
【解析】由椭圆的对称性知 |P1F1|=|P7F2|，|P2F1|=|P6F2|， |P3F1|=|P5F2|，且|P4F1|=5， ∴|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+…+|P7F1| =（|P1F1|+|P7F1|）+（|P2F1|+|P6F1|）+（|P3F1|+|P5F1|） +|P4F1|
一、选择题（每题5分，共15分）
x 2 y2 1.(2010·太原高二检测）已知F1、F2是椭圆 + =1 的两焦 16 9
点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则 |AF1|+|BF1|等于( (A)11 (B)10 ) (C)9 (D)16
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右
焦点，求PF1·PF2的最大值与最小值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，
c = 3,且a=2,得c= 3 ,b=1, a 2 x2 2 ∴所求椭圆方程为 +y =1 . 4
由题意
（2）设P(x,y)，由（1）知F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）， 则PF1·PF2=（- 3 -x,-y）·( 3 -x,-y)
（1）求动点M的轨迹方程； （2）若过点N（ 1 ,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N
2
为线段CD的中点，求直线l的方程. 【解析】（1）设M（x,y),因为kAM·kBM=-2，所以
y y =-2(x≠〒1). x+1 x-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
化简得:2x2+y2=2(x≠〒1).
x 2 y 2 (a>b>0),以其左焦点F （-c,0) 1.（5分）已知椭圆E： + =1 1 2 2 a b
(A) 3
2
(B) 2
2
(C) 2 1
(D) 2
【解析】选C.如图： 由椭圆的对称性知A、B关于x轴对称， 即|AF2|=|BF2|.
△ABF2为等腰直角三角形，则∠AF2B= π ,
AF1 π ∠AF2F1= ,∴tan∠AF2F1= . 4 F1 F2 2 又A点坐标为(-c, b ), a b2
x 2 2 有两个不同的交点， 2.（5分）已知直线y=kx+2与椭圆 +y =1 2
则斜率k的范围是_______.
【解题提示】联立方程组，消去y,由Δ>0求k的范围.
【解析】
答案：
x 2 y2 3.（5分）如图，把椭圆 + =1的长轴AB分成8等份，过每 25 16
个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点， F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=_______.
∴a=4 3 ,b=6,
∴c= (4 3)2 62 2 3 .
∴e= c = 1 .
a
答案：
1 2
2
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
x 2 y2 6.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴一个端点 2 a b
到右焦点的距离为2. （1）求该椭圆的方程；
B2N:(x2+c)(x+c)+y2y=(a-c)2.又两条切线都过点B2（0,b),所以
c(x1+c)+y1b=(a-c)2,c(x2+c)+y2b=(a-c)2.所以直线c(x+c)+ yb=(a-c)2就是过点M、N的直线.又直线MN过点B1（0,-b),代入 化简得c2-b2=(a-c)2,所以e= 3 -1.
x2 =x2+y2-3=x2+(1)-3= 3 x2-2, 4 4
∵x∈［-2,2］,
∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF１·PF2有最小值-2；
当x=〒2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1.
7.（2010·新余高二检测）已知点A，B的坐标分别是（-1,0),
(1,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2.
为圆心，a-c为半径作圆，过上顶点B2（0，b)作圆F1的两条切 线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下 顶点B1（0,-b)，则椭圆E的离心率为( (A) 2 -1 (C) 5 -2 (B) 3 -1 (D) 7 -3 )
【解析】选B.由题意得：圆F1：（x+c)2+y2=(a-c)2,设M（x1, y1)，N(x2,y2),则切线B2M：（x1+c)(x+c)+y1y=(a-c)2,切线
【解析】选A.|AF1|+|BF1|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|-|AB|=
（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）-|AB|=2〓4+2〓4-5=11.
2.（2010·宁德高二检测）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等 腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·台州高二检测）已知点P在圆x2+y2=4上运动，过P
点作PD⊥x轴于D，且DM=
3 DP，则点M的轨迹方程是_______. 2
【解题提示】设出M点的坐标（x,y),把P点坐标用x,y表 示出来，然后求出M的轨迹方程.
【解析】
答案：
5.如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面 所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为_______. 【解析】由图可知截口椭圆的短轴长2b=12, 长轴长2a=
=（|P7F2|+|P7F1|）+（|P6F2|+|P6F1|）+（|P5F2|+|P5F1|）
+|P4F1|=10+10+10+5=35.
答案：35
【解析】
2
∴ a =1.
2c
∴2ac=b2,即a2-c2=2ac,∴e2+2e-1=0. 解得：e= 2 -1,e=- 2 -1（舍去）.
3.已知点P在圆x2+(y-4)2=1上移动，点Q在椭圆
x2 2 +y =1 上移 4
动，则|PQ|的最大值是(
(A)3 (B)4
)
(C)5 (D)6
【解题提示】由点Q在椭圆上，设出Q坐标，把|PQ|的最 大值转化为Q到圆心的距离的最大值加上1来进行求解.
【解析】由椭圆的对称性知 |P1F1|=|P7F2|，|P2F1|=|P6F2|， |P3F1|=|P5F2|，且|P4F1|=5， ∴|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+…+|P7F1| =（|P1F1|+|P7F1|）+（|P2F1|+|P6F1|）+（|P3F1|+|P5F1|） +|P4F1|
一、选择题（每题5分，共15分）
x 2 y2 1.(2010·太原高二检测）已知F1、F2是椭圆 + =1 的两焦 16 9
点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则 |AF1|+|BF1|等于( (A)11 (B)10 ) (C)9 (D)16
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右
焦点，求PF1·PF2的最大值与最小值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，
c = 3,且a=2,得c= 3 ,b=1, a 2 x2 2 ∴所求椭圆方程为 +y =1 . 4
由题意
（2）设P(x,y)，由（1）知F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）， 则PF1·PF2=（- 3 -x,-y）·( 3 -x,-y)
（1）求动点M的轨迹方程； （2）若过点N（ 1 ,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N
2
为线段CD的中点，求直线l的方程. 【解析】（1）设M（x,y),因为kAM·kBM=-2，所以
y y =-2(x≠〒1). x+1 x-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
化简得:2x2+y2=2(x≠〒1).
x 2 y 2 (a>b>0),以其左焦点F （-c,0) 1.（5分）已知椭圆E： + =1 1 2 2 a b
(A) 3
2
(B) 2
2
(C) 2 1
(D) 2
【解析】选C.如图： 由椭圆的对称性知A、B关于x轴对称， 即|AF2|=|BF2|.
△ABF2为等腰直角三角形，则∠AF2B= π ,
AF1 π ∠AF2F1= ,∴tan∠AF2F1= . 4 F1 F2 2 又A点坐标为(-c, b ), a b2
x 2 2 有两个不同的交点， 2.（5分）已知直线y=kx+2与椭圆 +y =1 2
则斜率k的范围是_______.
【解题提示】联立方程组，消去y,由Δ>0求k的范围.
【解析】
答案：
x 2 y2 3.（5分）如图，把椭圆 + =1的长轴AB分成8等份，过每 25 16
个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点， F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=_______.