2019-2020学年高中数学第三章直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2.doc

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高中数学《第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》423PPT课件

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P52 变式训练2 P54 课堂演练2 P56 易错警示 P56 课堂演练1,2
(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1) 和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为____1_或__0_．
解析：l1 的斜率 k1＝1－ 3a－－02＝a.
l2 的斜率 k2＝－2aa－－0－1＝1－a2a.
因为 l1⊥l2，
所以
k1k2＝－1，即
B. 0，π4 ∪ 34π，π
C. 0，π4
D. 0，π4 ∪ π2，π
[解析] (1)因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是0，π4∪34π，π.
A1 B1 A2 B2
K1k2=-1
A1A2 B1B2 0
练习
1.直线 3x-y+1=0的倾斜角等于（ B ）
A.
2π
3
C. 5π
6
π
B.
3
D.
π
6
B
2．填空题 (1)若过两点 A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为 12，则 m＝ ________. 答案：－2
（2）若直线2x y 2 0与ax 4y 2 0互相垂直，则 a ____
a·1－2a＝－1，解得 a
a＝1.
当 a＝0 时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线 l2 为 y 轴，A(－2，
0)，B(1,0)，直线 l1 为 x 轴，显然 l1⊥l2.
综上可知，实数 a 的值为 1 或 0.

3.1.1倾斜角与斜率ppt

o
x
思考4
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
升高量坡度（比）前进量
升高量
45°
前进量
3 m
坡度越大，楼梯越陡．
3 m
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
y
45°
升高量
前进量
o
α
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).
y
通常用小写字母k表示，即
解析：倾斜角为90° 的直线斜率不存在，故A，C错误；直线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180° ，故D错误．
答案：B
例1
如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 分析：直接利用公式求解. 解：直线AB的斜率k AB 直线BC的斜率 1 1 2 1 k BC ; 0 (4) 4 2 直线CA的斜率 kCA
k tan ( 90 ).
注意：α= 90 时，k不存在.
o
α
o
x
倾斜角α 不是90°的直线都有斜率.
斜率与倾斜角的对应关系
图示倾斜角(范围) 斜率(范围) 0°<α <9 90°<α <180 90 ° α =0° α =___ 0° °
k=0 ____ k>0 ____
不存在
k<0 ____

Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1

y2 - y1 y2 - y1 所以k = tanα= = 0. x1 - x2 x2 - x1

高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角答案 C解析设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在；当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)；当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案－12解析由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角．答案－2解析由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)．同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2

4．已知△ABC 中，A(0，3)、B(2，－1)、E、F 分别为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为________．解析：因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点，所以 EF∥AB. 所以 kEF＝kAB 答案：－2 －1－3 ＝＝－2. 2－0
5．已知直线 l1 的倾斜角为 45°，直线 l2∥l1，且 l2 过点 A(－2，－1)和 B(3，a)，则 a 的值为________．解析：因为 l2∥l1，且 l1 的倾斜角为 45°，所以 kl2＝kl1＝tan 45°＝1， a－（－1）即＝1，所以 a＝4. 3－（－2）答案：4
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．
[变式训练] 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－ 3)，D(8，－7)； (2)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3， 4)，H(2，3)． 5－ 1 －7＋3 4 解：(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝ 5 －3－2 8－3 －3－1 4 －，kAC＝＝－4， 5 3－2
③l1 经过点 A(－1，2)，B(－3，1)，l2 经过点 M(－1， 4)，N(1，5)． (1)解析：由题意知，k1＝tan 60°＝ 3， k2 ＝－2 3－ 3 －2－1 ＝ 3，
k1＝k2，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合．答案：平行或重合
1－ 2 5－4 1 (2)解： ①kl1＝＝－1， kl2＝＝－， kl1≠kl2， 4 2－ 1 －1－3 所以 l1 与 l2 不平行． ②直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直，且横坐标不同，所以 l1 与 l2 平行．

2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1

2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解 (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．解如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为．答案92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率答案 D解析倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于．答案12解析由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a ＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为．答案 (3,0)或(0,3)解析由题意知k PA ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是．答案 (－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为．答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( )A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

高中数学第03章直线与方程 .1.1 倾斜角与斜率试题

3。

1.1 倾斜角与斜率一、直线的倾斜角 1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是:已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2．直线倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等。

因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3．倾斜角的取值范围当直线l 与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .如下图:1l 的倾斜角为0°，2l 的倾斜角为锐角，3l 的倾斜角为直角,4l 的倾斜角为钝角。

二、直线的斜率 1．斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k 表示，即tan k α=.注：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α=0°时，斜率k =0，直线与x 轴；当0°<α〈90°时,斜率k 〉0，且k 值增大,倾斜角随着；当α=90°时,斜率k （此时直线是存在的，直线与x 轴垂直); 当90°<α<180°时，斜率k 〈0，且k 值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度(1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此,我们可以用表示直线的倾斜程度.(2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量,斜率侧重于代数角度,倾斜角侧重于几何角度. 三、过两点的直线的斜率公式 1．公式经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式为。

2．公式的推导如图（1)，(2)，设直线12PP 的倾斜角为α(α≠90°)，当直线12PP 的方向(即从1P 指向2P 的方向）向上时,过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两条直线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为21(,)x y .如图（1），当α为锐角时，121212,,QPP x x y y α=∠<<。

高中数学第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。

新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率

3．斜率公式
直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝yx22－－yx11(其中 x1≠x2)．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
8
求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2) 两点注意： ① 当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
2．直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值___叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝__t_a_n_α___.
取值范围
当α＝0°时，____k＝__0__；当0°<α<90°时，__k_<_0__ ；当90°<α<180°时，_不__存__在___；当α＝90°时，斜率____k_>_0__.
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D
【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.
直线的斜率公式
【例2】在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－ 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角或直角.

高中数学第3章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材新人教A

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.方法归纳在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.典题·热题例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；当m≠0时，若l 1∥l 2，则有312+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C误区警示在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =tt t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR 为平行四边形.又k OP ·k OR =-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.方法归纳判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.图3-1-3又直线AB 的斜率为mm m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以313--=m m .解得m=34+. 深化升华对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。

高中数学课件倾斜角与斜率

类型一直线的倾斜角尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点. 1.斜率为 3 的直线的倾斜角是(
3
) C.60° D.30°
A.120°
B.150°
2.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为_______，另两边AC，BC所在的直线的倾斜角为_______. 【解题指南】1．根据tan α 3 及0°≤α＜180°求解．
(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行
或重合.
2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系 (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势). (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势). (3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)过点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为 . .
(2)若直线l经过第二、四象限,则l的倾斜角α 的范围是 (3)斜率为2的直线过点(2,1)和(-2,m),则m= .
【解析】(1)根据斜率公式， 1 0 1 k ．
2 1 (2) k 2 5 1＜0，所以α是钝角. 0 (3)
(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于 x轴，所以α是直角.
2m 1 m m 1
(4) k 3 3m (2 3m 3) 3(m 1) 3＞0(m 1)，此时α是锐角．
1 0
答案：1 (2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以倾斜角α的范围是90°＜α＜180°．答案： 90°＜α＜180° (3)由斜率公式得 m 1 2，解得m=-7．

高中数学《第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》452PPT课件

x1 x2
（三）（拓展）斜率与倾斜角的关系 y=tanx
结论：当0° <α< 90°时，斜率k>0,k随α增大而增大当90° <α< 180°时，斜率k<0,k随α增大而增大当α= 0°时，斜率k=0；当α= 90°时，斜率k不存在
变式：已知A(0,0),B(1,1),C(2 3,2),若直线L过点A且与线段BC相交，求直线L的倾斜角α和斜率k的取值范围。
A（2，2） B（3，1）
由图可知kPB k kPA
P（1，1）
o
X
所以
y x
1的 1
取值
范
围
是0 ，
1
作业布置:
必做题：习题集1-8 选做题：9
如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线，那么这些直线有什么样的共同点和不同点？
在迈克杰克逊和他的舞伴们身体倾斜时，看起来十分整齐，为什么会有这种效果呢？
请同学们认真阅读课本上的基础知识，思考并完成学习指导书上的内容。
请同学们勇敢地说出自己的疑惑，和同学相互讨论，寻求解决办法，并分享成果。
k tan ( 900 )
当α=0°时，斜率k=0. 当0°<α<90°时，斜率k=tanα>0. 当α=90°时，斜率k不存在.
当90°<α<180°时，斜率k=tanα=-tan(180°-
α（)<20）. 当直线L经过点A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) 时，
k y2 y1 y1 y2 x x x x
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴
正向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直线L的倾

高一数学《3.1.1直线的倾斜角与斜率》

讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗?
y l
P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗?
(1)它们都经过点P.
y l
(2)它们的‘倾斜程度’不同.
P
O
xห้องสมุดไป่ตู้
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为，斜率为，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为
，
斜率为
.
练习 1．教材P.86练习第1、2、3、4题. 2．若直线l向上的方向与y轴正方向成30o 角，则l的倾斜角为60o、1，20lo的斜率为 3 .
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
P1 ，P2的顺序是否有关?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
k y2 y1 x2 x1
思考:
(1)直线的倾斜角确定后，斜率k的值与点
P1 ，P2的顺序是否有关? (2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时，上述公式 k y2 y1 还适用吗?
33
练习
4．当且仅当m为何值时，经过两点 A(m，3)、B(－m，2m－1)的直线的倾斜角为60o？
课堂小结
1. 倾斜角、斜率的概念； 2. 斜率的计算公式.
课堂作业
1. 阅读教材P.82到P.86； 2. 《习案》十七.
x2 x1
归纳：对于斜率公式要注意下面四点：

高中数学必修2第三章直线与方程课件3.1.1 直线的倾斜角和斜率

高量
B
6
2、直线的斜率
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倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
当 =0°时，
k tan
k 0
当00＜当
＜ 90°时， k 0
k不存在（直线存在）
7
=90°时，
9
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（1）如果直线 l1 的斜率为0， l1 l2 ，那
l 2的斜率怎样？（2）如果直线 l的斜率 k 的范围是 0 k 1
么直线那么它的倾斜角的范围是什么？
(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大?
10
例1：直线
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3、斜率公式直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则
y2 y1 k x2 x1
12
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y2 y1 y1 y2 k x2 x1 x1 x2
斜率公式与两点的顺序无关；
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斜率公式表明：直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，使用比较方便；
8
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倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，

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判断：
k tan
1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角与之对应. 2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率与之对应. 3.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 tan .
-1 1 2

人教A版高中数学必修2《三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1

注重数形结合的思想：数形结合，使概念更直观、易懂，能够更好的理解直线的倾斜角的概念，从而引入描述直线倾斜程度的概念——直线的倾斜角；体会直观想象这一核心素养。
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线，，及。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过

高中数学《第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》440PPT课件

直线L1,L2间的位置关系相交重合
平行
6
关于距离的公式
1、两点间的距离公式
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2,中点坐标公式
3.点到直线的距离公式：
两平行直线间的距离公式：
7
• 1.直线 3x-y+1=0的倾斜角等于（ B ）
2π
• A.
π
B.
3
3
5π • C. 6
时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
10
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交； (2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
11
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交； (2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
12
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交； (2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
• 由已知得 1 2k 2，解得k= 3 .
1 k2
4
• 所以所求直线方程为3x-4y-10=0.
• 综上，所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0.
• (Ⅱ)结合几何图形，可知当l⊥直线OP时，距
离最大为5，此时直线l的方程为2x-y-5=0.

高中数学必修2第三章：直线与方程课件 3.1直线的倾斜角与斜率

升高量升坡度（比）前进量高

前进
结论：坡度越大，楼梯越陡．
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直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角
直线的斜率(slope)。用小写字母 k 表示，即：
的正切值叫做这条
k tan
例如： 30 k tan30
即k不存在
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判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为
tan
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在
③两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；
④每条直线都有倾斜角。
⑤每条直线都有斜率。
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直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
过一点O的直线可以作无数条，可以用直线与X轴的夹角描述它们的倾斜程度
4
x
o
一点能确定一条直线的位置吗？
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一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：

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思考？
2、当直线平行于x轴，或与 x 轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P 1 ( x1 , y1 )
0

P 2 ( x2 , y2 )
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3.1.1直线的倾斜角与斜率
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勒奈· 笛卡尔（RenéDescartes，

2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计 新人教A版必修2.doc