2017届河北省衡水中学高三数学(理)一轮复习单元检测：21坐标系与参数方程.doc
河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B选项.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .3.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴∈（，），又因为，∴故sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率 .本题选择A选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y==1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y==,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y==，时不满足条件y2≥x，输出 .10.已知数列，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点F，圆与轴相交于、两点．若为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，∴∴化为∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是故答案为：15.设，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由题意可设：，则：，则：当时，面积有最大值；当时，面积有最小值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）记，求的前项和【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式；（2），利用裂项求和即可.试题解析：（1）当时，由及，得，即，解得．又由，① 可知，②②-①得，即．且时，适合上式，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，故．（2）由（1）及，可知，所以，故．18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面，从而，再利用勾股定理证明,从而可得平面，进而可得结果；（2）取中点，可证明平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标，平面的法向量可取为，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面,由，，，可知，，，，从而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，.所以，，.由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接，，即为所求的二面角的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取个学生样本分析，求这个样本为级的个数的分布列与数学期望.【答案】(1) 等级为的概率为,成绩为的人数约有;(2)见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.则，，，.因此可得的分布列为：则.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；②若时，函数单调递增；③若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，当在内恒成立，函数单调递增；③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）证明：由题可知，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明. 设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以（*）式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.又，因此，，故，得证，从而得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为. （2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得。
2017届河北衡水中学高三9月联考摸底(全国卷)数学(理)试卷及解析
【解析】设双曲线方程为
，
如图所示， ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，在 中， ，即有 ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 为 ，即 ，则 ，故选A．
8.已知 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A.-6B.-3C.-4D.-2
【答案】C
【解析】由约束条件得到可行域如图： 变形为 ，当此直线经过图中 时，在 轴的截距最大， 最小，所以 的最小值为 ；故选C.
3.已知 是奇函数，且 ，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 是奇函数，且 ，所以 ，所以 ，又当 时， ，所以 ，所以 ，故选D.
4.直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当 时，圆心 到直线 的距离为 ，故当 时， ，求得 ，故选：D．
16.已知三棱锥 平面 ，其中 ， ， 四点均在球 的表面上，则球 的表面积为__________．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为 ， ∴该几何体的高为 ，底面正六边形平行两边之间的距离为 ， ∴该几何体的侧视图可能是C， 故选C．
7.已知 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为120°，则 的离心率为 （ ）
A. B.2C. D.
11.如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数 的部分图象得 ，即有 ，从而 ，而 在定义域内单调递增， ，由函数 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： ，解得 ，∴ ，∴函数 的零点所在 的区间是 ；故选B．
21 坐标系与参数方程(仿真押题)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题含解析
专题21 坐标系与参数方程（仿真押题）2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－错误!)＝错误!，曲线C的参数方程为错误!（1)写出直线l的直角坐标方程；(2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)∵ρsin（θ－错误!)＝错误!，∴ρ(错误!sinθ－错误!cosθ)＝错误!，∴错误!y－错误!x＝错误!,即x－错误!y＋1＝0。
故直线l的直角坐标方程是x－3y＋1＝0.(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cos α,2sinα），∴曲线C上的点到直线l的距离d＝错误!＝错误!≤错误!，故最大距离是错误!.方法二：曲线C是以（2，0）为圆心,以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为错误!，∴最大距离为错误!＋2＝错误!。
2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(α为参数）．(1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2）已知A(－2，0）,B（0，2)，圆C上任意一点M（x，y）,求△ABM面积的最大值．解：(1）圆C的参数方程为错误!（α为参数），所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0。
(2)点M(x，y）到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝错误!，故△ABM的面积S＝错误!×｜AB|×d＝|2cosα－2sinα＋9|＝｜2 错误!sin（错误!－α)＋9|，所以△ABM面积的最大值为9＋2 错误!.3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!(t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ。
(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程;(2）求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ〈2π）．解：(1)将直线l:错误!(t为参数)消去参数t，化为普通方程错误! x－y－2 错误!＝0，将错误!代入错误!x－y－2 错误!＝0,得错误!ρcosθ－ρsinθ－2 3＝0.4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ。
河北省衡水中学2017届高三上学期第21周周测数学(理) Word版含答案
河北省衡水中学2017届高三上学期第21周周测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、含有三个实数的集合可表示为{,1,}b a a ，也可表示为2{,0,}a b a +，则20162016a b + 的值是 A ．0 B ．1 C ．-2 D ．1±2、设复数2()1a i z i +=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3、函数cos 42x x y =的图象大致是4、在ABC ∆中，080,100,45a b A ===，则此三角形的解的情况是A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5、已知函数()f x 是R 上的单调函数且对任意实数x 都有21[()]213x f f x +=+，则2(log 3)f = A ．1 B ．45 C ．12D ．0 6、若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2B ．3C ．4D ．57、已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,3,2)a b m ==-，，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,c a b λμλμ=+为实数）则m 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2)-∞+∞8、已知棱长为1的正方体的俯视图是衣蛾面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为12,S S ，则A ．1211S S -为定值 B．22122S S +为定值 C ．1211S S +为定值 D ．12221222S S S S ++为定值 9、已知平面区域3418020x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(,)P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,y p x m +最大值为q ，则pq 等于 A ．2722 B ．3 C ．25D ．0 10、如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15 ，若直角三角形的两条直角边的长分别为,()a b a b >，则b a =A ．13B ．12C ．33D ．22 11、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为A ．[26,66]B ．[26,18]C ．[36,18]D ．[36,66]12、已知函数()f x 与()f x '的图象如下图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间 A ．(0,4) B ．4(,1),(,4)3-∞ C ．4(0,)3D ．(0,1),(4,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、数列{}n a 定义如下：12212(1)1,3,,1,2,3,21n n n n n a a a a a n n n +++===-=++， 若201642017m a >+ ，则正整数m 的最小值为 14、设,,[0,2)a b R c π∈∈，若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+，定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的焦点横坐标为,d 则满足条件的有序实数组(,,,)a b c d 得组数为15、先后抛掷投资（骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则事件(|)P B A 等于16、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若,48AF FB BA BC =⋅=，则抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为6,64n S a =，且45,a a 的等差中项为33a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分）某园林基地培养了一中新观赏植物，经过一点的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[)50,60[],90,100的数据）.（1）求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3珠高度在[)80,90 内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望.19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，0111,90,BB B A AB BC B BC D ===∠=为AC 的中点，1AB B D ⊥.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）求直线1B D 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知两点1(3,0)F -和点2(3,0)F ，点(,)P x y 使平面直角坐标系xOy 内的一动点，且满足24OF OP OF OP +++=，设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）设曲线C 上的两点,M N 均在x 轴的上方，且12//FM F N 点使轴上的定点(0,2)R ，若以MN 为直径的圆恒过定点R ，求直线1F M 的方程.21、（本小题满分12分）已知函数()()21ln,8f x x xg x x x==-.（1）求()f x的单调区间和极值点；（2）是否存在实数m，使得函数()()3()4f xh x m g xx=++有三个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.22、（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为6cos(4sinxyθθθ=⎧⎨=⎩为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换1314x xy y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C'.（1）求曲线C'的普通方程；（2）若点A在曲线C'上，点(1,3)D，当点A在曲线C'上运动时，求AD中点P的轨迹方程.23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()5()f x x m x m R=+--∈.（1）当3m=时，求不等式()6f x>的解集；（2）若不等式()10f x≤对任意实数x恒成立，求m的取值范围.附加题24、已知函数()1ln()f x x axa=+-，其中a R∈且0a≠ .（1）讨论()f x的单调区间；（2）若直线y ax=的图象恒在函数()f x图像的上方，求a的取值范围；（3）若存在1210,0x xa-<<>，使得()()12f x f x==，求证：12x x+>。
河北省衡水中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案)
2016～2017学年度下学期高三年级二模考试数学（理）试卷（答案）I 卷一、选择题（本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.）A 卷：DBBABBAACB DB B 卷：BCCDA CBDDD AB二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.10082016C 14.)3,3(15.416.3510三、解答题:本大题共6题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）由sin 3cos cos C A B =-可得sin()3cos cos A B A B +=-，即sin cos cos sin 3cos cos A B A B A B +=-，因为tan tan 1A B =-，所以A,B 2π≠，两边同时除以cos cos A B ，得到tan tan 3A B +=-，因为tan()tan()tan ,A B C C π+=-=-tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan C =，又0C π<<，所以3C π=。
根据正弦定理得sin sin sin 3a b c A B C ===，故,a A b B ==，sin sin sin sin 2220A B A B a b A B ++==+。
6分（2）由（1）及余弦定理可得222cos 32a b c abπ++=，因为c =，所以2210a b ab +-=，即2()210a b ab ab +--=，又由111a b+=，可得a b ab +=，故2()3100ab ab --=解得52()ab ab ==-或舍去，此时5a b ab +==，所以ABC ∆得周长为5+，ABC ∆的面积为15sin 234π⨯⨯=。
12分18.解：（1）由题意21x x <2221S S >。
2分（2）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台。
河北衡水中学2017届高三理科数学一轮复习第二十一周测试
4 3
4 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
y 的最大值为 q ，则 pq 等于 xm
D. 0
4 B. 5
B． 3
1 C. 2
） C． 4
D.0
27 22
B.3
C.
2 5
10．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落 在小正方形内的概率为
6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ A． 2
2 n 1 n an1 an , n 1, 2, n2 n2
， 若
y f ( x) 的值域为（
）
an 4
2016 ，则正整数 m 的最小值为___________． 2017
14． 设 a, b R, c 0,2 ， 若对任意实数 x 都有 2 sin 3x
的最短距离为 m ，若点 P x, y ，且 mx y 的最小值为的 p, （ A. ）
2 1 5． 已知函数 f ( x) 是 R 上的单调函数， 且对任意实数 x 都有 f f x x 则 f (log 2 3) ， 2 1 3
（ A.1 ）
D． 5
1 b , 若直角三角形的两条直角边的长分别为 a, b a b ,则 （ 5 a
）
理数周测 21
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河北衡水中学 2017 届高三数学一轮复习
河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z zz i i +=-=为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i -2. 已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日 4. 已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．35. 动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ． 1-B ．1C ．2D ．2 6. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ． 105+B ． 102C ．6226++D ．626++ 7. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8. ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 9. 已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ． 23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 10. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+= （ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 11. 已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ． 2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？12. 已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54nn n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．14. 在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的值为 ．15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．16. 已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =.（1）求角A 的大小; （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式; （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由; （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值.19. （本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上,且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值;（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程; ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.20. （本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （2）已知()()()()()211321,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21. （本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =.（1）①求证：数列{}2na 为等差数列;②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E .（1）证明:CD CE =; （2）求ADBD的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b θϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点(3M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎫⎪⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程; （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥;（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADBD DCB 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.5050 14.14- 15.2 16.20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解：解：（1）由正弦定理可得，cos 2sin cos cos A C B A C A =,从而可得()2sin cos 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是cos A =,又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭553sin coscos sin sin 1sin cos 1166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此116B π⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 18. 解：（1）由()222n n S na n n n N*=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由 221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）()()12321111111111,...1...7212122231n n n n c T c c c c n a n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,()()()()11110,2121221n n n n n n T T T T n n n n +++-=-=>∴<++++,即n T 单调递增, 故()1min 14n T T ==要使32n m T >恒成立, 只需1324m <成立, 即()8m m Z <∈. 故符合条件m 的最大值为7 .19. 解：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,又由①知111cos 1,sin x m m y nn θθ=-=+⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩,()cos 312sin 16f πθθθθ⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭, 22,,0262302k k k Z ππππθππθθπ⎧-≤+≤+∈⎪∴≤≤⎨⎪≤≤⎩或()42,3f πθπθ≤≤∴的增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20. 解：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,()222211'1,10a x ax f x x ax x x x ++=++=∴++≥ 恒成立,21x a x--∴≥, 记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-.（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()()22111ln ,'2x mx h x x x mx h x x m x x ++=++=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根12,x x ，由根与系数的关系得1212,,1x x m x x +=-=，()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥,2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t tϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=-⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==-⎪⎝⎭. 21. 解：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N*=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n aa a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,...n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是22n a =化简得=所以数列为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列2=,公差为4221,1n d a a a n =-=∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭,则有123111111111111...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 22. 解：（1）由题可知,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠, 故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得3CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则3BD CD AD AC ==故3ADBD=. 23. 解：（1）将(3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=,所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24. 解：（1）()()43,25,21,27,1243,2x x x f x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=∴⎨+-<≤⎪⎪+>⎩的最小值为()5,5f x ∴≥.（2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()222299111511a a a a +=++-≥=++,“=”成立,()22911a a ⇔+=+, 即a =当a =,2291a a ++ 取得最小值5,当a ≠,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以a ≠a ∴的取值范围a ≠。
高考数学复习必备 精品推荐 -衡水中学2017届高三高考押题理数试题(原卷版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 执行如图的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10087. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.9. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D. 学。
科。
网...10. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A. 720B. 768C. 810D. 81611. 焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A. 或B.C. 或D.12. 定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________．14. 已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为__________．16. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.19. 2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.学。
2017届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试卷及解析
已知函数 （ ）．
（1）若函数 存在极大值和极小值，求 的取值范围；
（2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若存在实数 ，使得 ，求
的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数 ，函数 存在极大值和极小值，故方程 有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解 的取值范围；（2）由 得 ，且 ．由（1）知 存在极大值和极小值，设 的两根为 ， （ ），则 在 上递增，在 上递减，在 上递增，所以 ， ，根据 可把 表示为关于 的表达式，再借助 的范围即可求解 的取值范围．
15.已知函数 在 时有极值 ，则 _________．
【答案】
【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值 ，反之结论不成立，即函数由 ，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．
【解析】
试题分析：由题意得， ，所以
，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令 ，则 ，故选B．
7.阅读右面的程序框图，运行相应的程 序，输出的结果为（）
A． B． C． D．
【答案】D
8.定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 （其中
为自然对数的底数）的解集为（）
A． B．
C． D．
其次， ，使不等式 成立，于是
令 ，则 ，所以函数 在 上是增函数，于是 ，故 ，即 的取值范围是
19.（本小题满分12分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的值；
河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题
河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则集合M N 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ）A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的）A．)21 B．)21C. )22 D38.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a aa aa n a a +++++=对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++ 的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥- ，若β= ，γ 的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D 12.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2yx a =-+，则ˆa = ．14.将函数()2cos 2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==， 1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，AO =AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知P ⎫⎪⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB =PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ） （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． （1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =．（2）由（1）知BE =所以222cos2AB BE AE B AB BE +-===，所以sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=-=-．18.解：（1）依题易知，圆锥的高为5h =，又圆柱的高为6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ． 又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以cos ,u v u v u v ===所以二面角B AD O --的正弦值为10． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； （2）依题知圆F的圆心为原点，半径为2,r AB ==所以原点到直线AB的距离为1d ==， 因为点P 坐标为2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为1y k x ⎛-=- ⎝⎭，即10kx y -+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ 的方程为x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ 的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234210x --=，设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ ==． 21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'= ⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增．③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增．（2）因为()()1,20a f x g x =+=， 所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+ 的根． 由（1）知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， 代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<， 所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
河北省衡水中学2017届高三上学期第21周周测数学(理)试题 Word版含答案
河北省衡水中学2017届高三上学期第21周周测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、含有三个实数的集合可表示为{,1,}ba a，也可表示为2{,0,}a b a +，则20162016a b + 的值是 A ．0 B ．1 C ．-2 D ．1±2、设复数2()1a i z i +=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3、函数cos 42x x y =的图象大致是4、在ABC ∆中，080,100,45a b A ===，则此三角形的解的情况是A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5、已知函数()f x 是R 上的单调函数且对任意实数x 都有21[()]213x f f x +=+，则2(log 3)f = A ．1 B ．45 C ．12D ．0 6、若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2B ．3C ．4D ．57、已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,3,2)a b m ==-，，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,c a b λμλμ=+为实数）则m 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2)-∞+∞8、已知棱长为1的正方体的俯视图是衣蛾面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为12,S S ，则A ．1211S S -为定值 B为定值 C ．1211S S +为定值 D ．12221222S S S S ++为定值 9、已知平面区域3418020x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(,)P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,y p x m +最大值为q ，则pq 等于 A ．2722 B ．3 C ．25D ．0 10、如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15 ，若直角三角形的两条直角边的长分别为,()a b a b >，则b a =A ．13B ．12C．3 D．2 11、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设B P x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为A ．B ．C ．D ．12、已知函数()f x 与()f x '的图象如下图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间 A ．(0,4) B ．4(,1),(,4)3-∞ C ．4(0,)3D ．(0,1),(4,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、数列{}n a 定义如下：12212(1)1,3,,1,2,3,21n n n n n a a a a a n n n +++===-=++， 若201642017m a >+ ，则正整数m 的最小值为 14、设,,[0,2)a b R c π∈∈，若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+，定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的焦点横坐标为,d 则满足条件的有序实数组(,,,)a b c d 得组数为15、先后抛掷投资（骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则事件(|)P B A 等于16、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若,48AF FB BA BC =⋅=，则抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为6,64n S a =，且45,a a 的等差中项为33a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分）某园林基地培养了一中新观赏植物，经过一点的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[)50,60[],90,100的数据）.（1）求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3珠高度在[)80,90 内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望.19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，0111,90,BB B A AB BC B BC D ===∠=为AC 的中点，1AB B D ⊥.（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）求直线1B D 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知两点1(F 和点2,0)F ，点(,)P x y 使平面直角坐标系xOy 内的一动点，且满足24OF OP OF OP +++=，设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）设曲线C 上的两点,M N 均在x 轴的上方，且12//FM F N 点使轴上的定点(0,2)R ，若以MN 为直径的圆恒过定点R ，求直线1F M 的方程.21、（本小题满分12分）已知函数()()21ln ,8f x x xg x x x ==-. （1）求()f x 的单调区间和极值点；（2）是否存在实数m ，使得函数()()3()4f x h x m g x x =++有三个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的参数方程为6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1314x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '.（1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点(1,3)D ，当点A 在曲线C '上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程.23、（本小题满分10分） 选修4-5 不等式选讲已知函数()5()f x x m x m R =+--∈.（1）当3m =时，求不等式()6f x >的解集；（2）若不等式()10f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.附加题24、已知函数()1ln()f x x ax a =+-，其中a R ∈且0a ≠ .（1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；（3）若存在1210,0x x a-<<>，使得()()120f x f x ==，求证：120x x +>。
河北省衡水中学2017届高三上学期第一次调研考试理数试题解析
2016～2017 学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每题5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .）1.已知会合 P x log 2 x1 ， Q x x1 ，则PI Q（ ）A ． 0,1B ． 1,1C ． 0,122D ． 1,122.已知 i 为虚数单位，复数 z 知足 12）3i z 1 i 3 ，则 z 为（A ．1B ．2C ．2D ．22 24163.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线或虚线画出某几何体的三视图， 该几 何体的体积为（）A ．8B ．12C ．18D ．244.已知命题 p ：方程 x22ax 1 0 有两个实数根；命题 q ：函数 fxx4的最小x值为 4．给出以下命题：① p q ；② p q ；③ p q ；④ pq ．则此中真命题的个数为（）A ．1B ．2C．3D．45.由曲线y x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）A．10B．4C．16 33D．66.函数f2的图象的大概形状是（）x 1 e x1 cos xA．B．C．D．7.阅读右边的程序框图，运转相应的程序，输出的结果为（）A．13B．21C．8D．13 21131388.定义在R上的函数f x 知足 f x f x1， f 0 4 ，则不等式 e x f x e x 3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A．0,B．,0U3,C．,0U0,D．3,9.若实数a，b，c，d知足b a222，则 a c22的最小3ln a c d 20 b d值为（）A ．2B．2C．22D．810.已知f x 1,0x1,存在 x2 x1x20 ，使得 f x1 f x2，则 x1 gf x2的取值范2x 1, x1,围为（）A ． 2 1,1B．1,1C．2,14224D．22 , 13211.设函数f x 1 x3x23x ，若方程 f 210 有12个不一样的根，则实数xt f x3t 的取值范围为（）A ．10, 2B．, 2C．34, 2315D．1,212.设曲线f x e x x （e为自然对数的底数）上随意一点处的切线为l1，总存在曲线g x 3ax 2cos x 上某点处的切线l2，使得l1l 2，则实数 a 的取值范围为（）2 11,2 B． 3, C．,3 31 2D．,第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）y x,13.设m1，变量 x ， y 在拘束条件y mx, 下，目标函数z x my 的最大值为 2 ，x y1则m_________．14.函数y e x mx 在区间0,3上有两个零点，则 m 的取值范围是_________．15.已知函数f x x33mx2nx m2在 x1时有极值 0 ，则m n_________．16.定义在R上的函数 f x知足： f x f x x2，当x 0时， f x x ，则不等式1f 1 x x的解集为 _________．f x2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）在ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 所对的边，且a b c．cos A2cos B3cos C （1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为3，求a的值．18.（本小题满分 12 分）函数 f ( x) ln x 1 ax22x ．2（1）当a3时，求f x 的单一区间；（2）若a1,，x1,e ，有 f x b 0 ，务实数 b 的取值范围．19.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角A，B， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 4b sin A7a ．（1）求sin B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cos A cosC的值． [ 根源 :学_科_网 Z_X_X_K]20.（本小题满分 12 分）已知函数 f x ax 24bx 2a ln x （ a,b R ）．（1）若函数y f x存在极大值和极小值，求b的取值范围；a（2）设m，n分别为f x的极大值和极小值，若存在实数b e 1 a, e21a ，使2 e2e 得 m n 1，求a的取值范围．21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x ln x ，g x x ．e x（1）记F x f x g x ，判断 F x 在区间1,2 内的零点个数并说明原因；（2）记F x在1,2内的零点为x0，m x min f x , g x，若m x n （ n R ）在1,内有两个不等实根 x x2 x1x），判断x1x与2x的大小，并给出对应的证明． [来1，（22源:学#科#网]请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， AE是圆 O的切线， A是切点， AD OE于 D，割线 EC交圆 O于 B，C两点．（1）证明：O，D，B，C四点共圆；（2）设DBC 50，ODC 30，求OEC的大小．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为x 10 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正y t半轴为极轴成立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2 4 sin2 0．[根源 : ZXXK]（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l向右平移h个单位，所得直线l与圆C相切，求h．24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f x2x a a ， a R ， g x2x 1 ．（1）若当g x 5 时，恒有 f x 6 ，求a的最大值；（2）若当x R 时，恒有 f x g x 3 ，求a的取值范围．[根源:ZXXK]。
河北省衡水中学2017届高三年级七调考试(理数)
河北省衡水中学2017届高三年级七调考试数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知i 为虚数单位，设复数i a z -=1，bi z +=22，R b a ∈,，若221=+z z ，则=-b a(A)0(B)2-(C)1(D)1-(2) 设集合}3|1||{≤+=x x P ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-∈⎪⎭⎫⎝⎛==)1,2(,31|x y y Q x，则=Q P(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛-91,4(B)⎥⎦⎤ ⎝⎛2,91(C)⎥⎦⎤ ⎝⎛2,31(D)⎪⎭⎫⎝⎛2,31(3) 已知ABC ∆三边c b a ,,上的高分别为1,22,21，则A cos 等于 (A)23(B)22-(C)42-(D)43-(4) 给出四个函数，分别满足①)()()(y f x f y x f +=+；②)()()(y g x g y x g ⋅=+；③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅；④)()()(y x y x ωωω⋅=⋅，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是(A)①—M ②—N ③—P ④—Q (B)①—N ②—P ③—M ④—Q (C)①—P ②—M ③—N ④—Q(D)①—Q ②—M ③—N ④—P(5) 正方体1111D C B A ABCD -中E 为棱1BB 的中点（如图），用过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(6) 已知圆12:22=+y x C ，直线2534:=+y x l ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 (A)21(B)31 (C)41 (D)61 (7) 如图所示，正弦曲线x y sin =，余弦曲线x y cos =与两直线0=x ，π=x 所围成的阴影部分的面积为(A)1(B)2(C)2(D)22(8) 在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱为直三棱柱）111C B A ABC -中，侧棱长为32，在底面ABC ∆中，︒=∠60C ，3=AB ，则此直三棱柱的外接球的表面积为(A)π34 (B)316π(C)π16(D)332π(9) 如果执行如图程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21 ，输出B A ,，则(A)B A +为N a a a ,,,21 的和(B)2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 (C)A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数(10) 数列}{n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若11=a ，111++=+n n n a S S ，则=50a (A)625-(B)725-(C)62(D)25(11) 设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则||||21PF PF ⋅的值为 (A)8(B) 10(C)12( D)15(12) 若函数)(x f 为定义在R 上的连续奇函数且0)()(3>'+x f x x f 对0>x 恒成立，则方程1)(3-=x f x 的实根个数为(A)0(B)1(C)2(D)3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省衡水中学2017届高三下学期第1周周测数学(理)试题
4cos(
).
4
（ 1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；
（ 2）过直线 l 上的点作曲线 C 的切线，求切线长的最小值 .
23、（本小题满分 10 分）
已知关于 x 的不等式 2x m 1的整数解有且仅有一个值为 2. （ 1）求整数 m 的值； （ 2）已知 a, b, c R ，若 4a 4 4b 4 4c4 m ，求 a 2 b2 c2 的最大值 .
（ 2）当 1 a 1时，求证：对任意的 x [0, ), f x 0 . 2
（ 3）若 O1 和 O2 的半径之比为 9 :16 ，求 DE 的值 . DF
22、（本小题满分 12 分）
x 已知直线 l 的参数方程
y
2
t
2
(t 是参数） 以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立
2t 4 2
2
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
是该图象与 x 轴的焦点，过点 C 的直线与该图象交于 D , E 两点，
则 ( BD BE) ( BE CE) 的值为
A． 1 B ．
1
1
C．
D ．2
2
2
6、若 m 6, n 4 ，按照如图所示的程序框图运行后，
输出的结果是
A． 1 B ． 100 C ． 10 D ． 1 100
7、已知等比数列 an 中， a2a8 4a ，等差数列 bn 中，
4x 的焦点作两条垂直的弦
1 AB, CD ，则
1
=
AB CD
A． 2 B ． 4 C ． 1 D ． 1
2
4
11、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为
2的
等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体中面积
【河北省衡水市】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科模拟数学试卷(一)
河北省衡水市2017年普通高等学校招生全国统一考试理科模拟数学试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|{|30}A x y B x x x ==-≥，则集合AB =（ ） A ．[]0,2 B ．[]0,3C ．[0,2)D ．(,0]-∞2．已知复数2i 1i z -=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2BC ．2 D3．若[1,6]a ∈，则函数a y x x =+在区间内单调递增的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫，不更，赞茅，上造，公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵位分之，问各得几何？”其意是：今有大夫，不更，赞茅，上造，公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵位高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更，赞茅，上造这三人分得鹿肉斤数为（ ）A ．200B ．300C ．5003D ．400 5．已知双曲线M 的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线M 的标准方程可能是（ ） A ．2241x y -= B ．221464x y -= C ．2214y x -= D ．2241y x -= 6．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．1410π++B ．1420π+C ．1212π+D ．2610π++7．函数()22(1)sin 1e f x x =-+的图象的大致形状是（ ）8．设10.151420.3,log ,log 25a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>9．执行如图是的程序框图，输出的n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1310．如图所示为函数()π2sin()(0,)2f x wx w ϕϕ=+>≤的部分图象，其中,A B 两点之间的距离为5，则函数()2cos()g x x w ϕ=+图象的对称轴为（ ）A ．128,()x k k =-∈ZB ．62,()x k k =-∈ZC ．64,()x k k =-∈ZD ．122,()x k k =-∈Z11．已知O 为坐标原点，F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，若抛物线于准线与直线:02p l x -=在第一、四象限分别交于,A B 两点，则22()()OF OA OF OB --的值等于（ ）A ．97+B ．144C ．73+D ．24p12．不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，已知()[]cos f x x x =-，给出下列结论： ①是()f x 偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π；③的()f x 单调递减区间为[],1()k k k +∈Z ；④()f x 的值域为[]cos1,1．正确的结论有（ ）A ．③B ．①③C ．③④D ．②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．已知向量(sin ,1),(sin ,0),(cos ,1)a b c θθθ==-=-，且(2)//a b c -，则tan θ等于_________14．若1(21)6m x dx -=⎰（其中1m >），则二项式1()m x x-展开式中含x 项的系数为__________ 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234216,24a a a a ==，若不等式1n S λ≤+对一切n ∈+N 恒成立，则实数λ的最大值为__________16．下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为_________2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c π)sin(2017π)0B b C --+=．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在ABC △的外接圆上，且5,CD ACD =△的面积为AC 的长．18．（本小题满分12分）如图（1），在五边形BCDAE 中，0//,90,1,2,CD AB BCD CD BC AB ABE ∠====△是以AB 为斜边的等腰直角三角形，现将ABE △沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，如图（2），记线段AB 的中点为O ．（1）求证：平面ABE ⊥平面EOD ；（2）求平面BCD 与平面ABE 所成角的锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）团购已成为时下商家和顾客均分成青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入团购的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，求事件“2η≥”的概率．20．（本小题满分12分）已知点M 是圆心为E 点圆22(16x y +=上的动点，点F ，线段MF 的垂直平分线角EM 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过原点O 作直线交（1）中轨迹C 于点A 、B ，点D 满足FD FA FB =+，试求四边形AFBD 的面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()()12ln (),e(e e x x f x x x a a g x -=+∈=-R 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）求证：当0x >时，()()f x g x a >+． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为(x t t y mt =⎧⎨=⎩为参数），圆C 的参数方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）．（1）若直线l 与圆C ，求实数m 的取值范围；（2）若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()13f x x x =+--．（1）画出函数()f x 的图象；（2）若不等式()3111m m f x m +--≥+对任意实数1m ≠-恒成立，求实数x 的取值范围．。
河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和【答案】D考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由角,,A B C 成等差数列，得3B π=；由sin sin )cos C A A B =+，得sin()A B +＝sin )cos A A B +，化简得0)3sin(cos =-πB A ，所以2π=A ,或3π=B ，所以“角,,A BC 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-D ．考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->12>，又()12a b -+≥，所以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2222αα+＋cos 2)2α+＝2222αα+＝2222222sin cos cos sin 2sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+++＝2222tan 1tan 2tan 1tan 12αααα-++++＝22223130231312⨯-++=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】试题分析：函数()f x 的图像如图所示，因为2264(3)5x x x -+=--，所以关于x 的方程()()210f x bf x -+=在(0,4]上有2个根．令()t f x =，则方程210t bt -+=在(0,4]上有2个不同的正解，所以204240(4)1610(0)10b b f b f ⎧<<⎪⎪⎪∆=->⎨⎪=-+≥⎪=>⎪⎩，解得1724b <≤．考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析．（2）∵()()*2211121n n b n N a n +==∈+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分()222111111441444121n b n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪++++⎝⎭+．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ∴14n T <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦．所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）3π．所以AD BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥．又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．6分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()2221220x m x x x x--'=-+=<， 故()m x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21x a x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中1x =，2x =（3）()()()()()ln 11ln 11m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mk x x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式 ()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为11x =<，或21x =>， 则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作圆O 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形，且BC CD的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【解析】试题分析：（1）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）用椭圆参数方程设矩形的四点，面积用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解． 试题解析：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立， 得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的定点(),2sinP θθ， 则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ； （2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6．考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。
2017版高考数学一轮总复习第13章坐标系与参数方程模拟创新题理
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第13章 坐标系与参数方程模拟创新题 理一、选择题1.(2016·河北石家庄调研)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A.ρ＝2B.θ＝π2C.ρcos θ＝2D.ρsin θ＝2解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D 二、填空题2.(2016·郑州调研)在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________. 解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a 2|12＋22≤2， 即|a －1|≤5，∴1－5≤a ≤1＋5， 即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]. 答案 [1－5，1＋5]3.(2014·临川二中模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点个数为________.解析 ∵曲线C 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，∴x 2＋(y －1)2＝1，是以(0，1)为圆心，1为半径的圆. ∵曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，∴x －y ＋1＝0.在坐标系中画出圆和直线的图形，观察可知有2个交点. 答案 24.(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________.解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0，2).又易知点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标系为(23，2)，故点A 到圆心的距离为（0－23）2＋（2－2）2＝2 3. 答案 23创新导向题极坐标方程与普通方程的互化求解问题5.(2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝10，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，其中α∈[0，2π). (1)试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.解 (1)∵2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝10，∴ρsin θ－ρcos θ＝10，直线l 的直角坐标方程：x －y ＋10＝0.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，消去参数可得曲线C 的普通方程：x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)可知，x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2. 圆心到直线的距离为：d ＝|1×0－1×2＋10|12＋（－1）2＝42，点P 到直线l 距离的最大值：42＋2. 极坐标，直角坐标及直线参数方程综合求解问题6.在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系.圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值.解 (1)圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.(2)由(1)得，P 与Q 点的坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.专项提升测试 模拟精选题一、填空题7.(2015·湖北孝感模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________.解析 ⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，两边平方相加得x 2＋y 2＝2，∴曲线C 是以(0，0)为圆心，半径等于2的圆.C 在点(1，1)处的切线l 的方程为x ＋y ＝2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x ＋y ＝2，并整理得ρcos θ＋ρsin θ＝2. 答案 ρcos θ＋ρsin θ＝28.(2014·陕西西安八校联考)已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx的取值范围是________.解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. 设y x＝k ，则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，即|2k |＝k 2＋1，平方得4k 2＝k 2＋1，k 2＝13，解得k ＝±33，由图形知k 的取值范围是－33≤k ≤33， 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 二、解答题9.(2016·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝－2＋22t (其中t为参数).现以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)写出直线l 和曲线C 的普通方程；(2)已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最大值. 解 (1)由题，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝－2＋22t (其中t 为参数).消去直线l 参数方程中的参数t 得直线l 普通方程为y ＝x ＋2. 又由曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ可化为(x －1)2＋y 2＝1， 设与直线l 平行的直线为y ＝x ＋b ， 当直线l 与曲线C 相切时，有|1＋b |2＝1，即b ＝－1± 2.于是当b ＝－1－2时，P 到直线l 的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即|2－（－1－2）|2＝322＋1.(或先求圆心到直线的距离为322，再加上半径1，即为P 到直线l 距离的最大值322＋1).创新导向题极坐标方程，参数方程，普通方程的综合应用问题10.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1交于(不包括极点O )三点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值.(1)证明 依题意，|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)解 当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6.化为直角坐标为B (1，3)，C (3，－3).C 2是经过点(m ，0)，倾斜角为α的直线，又经过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)，故直线的斜率为－3， 所以m ＝2，α＝2π3.。