北师大版九年级下册第二章《二次函数》单元测试卷(含答案)

第二章《二次函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．对于任意实数h，抛物线y=（x﹣h）2与抛物线y=x2（）A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点相同D．都有最高点2．下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式为△=b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（）A．b＜0，c＜0，△＞0B．b＞0，c＞0，△＞0C．b＞0，c＜0，△＞0D．b＜0，c＞0，△＜04．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A．x＞4或x＜﹣2B．﹣2＜x＜4C．﹣2＜x＜3D．0＜x＜35．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A ．b 2＜4acB ．ac ＞0C ．2a ﹣b=0D ．a ﹣b+c=07．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b 2﹣4ac ＞0；③ab ＜0；④a 2﹣ab+ac ＜0，其中正确的结论有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．下列各点中，抛物线y=x 2﹣4x ﹣4经过的点是（ ） A ．（0，4）B ．（1，﹣7）C ．（﹣1，﹣1）D ．（2，8）9．已知二次函数y=x 2﹣5x+m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（﹣6，0）10．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2， 其中正确结论是（ ）A．②④B．①④C．①③D．②③二．填空题（共8小题）11．二次函数y=（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为平方米．13．已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为﹣2，则k= ．14．抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为．15．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．16．抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于两点，其中一个交点的坐标为（3，0），则另一个交点的坐标为．17．已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：．（只需写出一个）18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，下列结论：（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）a﹣b+c＜0，（5）2a+b＜0；（6）abc＞0；其中正确的是；（填写序号）三．解答题（共7小题）19．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．20．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．21．某商店以15元/件的价格购进一批纪念品销售，经过市场调查发现：若每件卖20元，则每天可以售出50件，且售价每提高1元，每天的销量会减少2件，于是该商店决定提价销售，设售价x元件，每天获利y元．（1）求每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若该商店雇用人员销售，在营销之前，对支付给销售人员的工资有如下两种方案：方案一：每天支付销售工资100元，无提成；方案二：每销售一件提成2元，不再支付销售工资．综合以上所有信息，请你帮着该商店老板算一算，应该采用哪种支付方案，才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大？最大利润是多少？22．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．23．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC 上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．24．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．25．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：抛物线y=（x﹣h）2与抛物线y=x2，A、a=1＞0，都开口向上，此说法正确；B、抛物线y=（x﹣h）2对称轴x=h，抛物线y=x2对称轴x=0，说法错误；C、抛物线y=（x﹣h）2顶点是（h，0），抛物线y=x2顶点是（0，0），说法错误；D、a＞0，都有最低点，说法错误．故选：A．2．【解答】解：A、y=2x﹣2，是一次函数，B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数，C、当a=0时，y=a（x﹣1）2不是二次函数，D、y=2x2﹣1是二次函数．故选：D．3．【解答】解：由图象与y轴的交点位置可知：c＜0，由图象与x轴的交点个数可知：△＞0，由图象的开口方向与对称轴可知：a＞0，＞0，从而可知：b＜0，故选：A．4．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），∴y＜0时x的范围是﹣2＜x＜4，故选：B．5．【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．6．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．7．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴ab＞0，所以③错误；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，而a＞0，∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．8．【解答】解：当x=0时，y=x2﹣4x﹣4=﹣4；当x=1时，y=x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣1时，y=x2﹣4x﹣4=1；当x=2时，y=x2﹣4x﹣4=﹣8，所以点（1，﹣7）在抛物线y=x2﹣4x﹣4上．故选：B ．9．【解答】解：二次函数y=x 2﹣5x+m 的图象的对称轴为直线x=． ∵该二次函数图象与x 轴的一个交点坐标为（1，0），∴另一交点坐标为（×2﹣1，0），即（4，0）． 故选：B ．10．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a ＜0；∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ， 故①正确由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，∴2a ﹣b=0， 故②错误；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0； 故③错误；由图象可知：若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2，故④正确． 故选：B ．二．填空题（共8小题） 11．【解答】解： ∵y=（x ﹣2m ）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=2m ， ∴当x ＜2m 时，y 随x 的增大而减小， ∵当m ＜x ＜m+1时，y 随x 的增大而减小，∴m+1≤2m，解得m≥1，故答案为：m≥1．12．【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（16﹣2x）米，∴矩形花圃的面积y=x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x﹣4）2+32，∵16﹣2x≤5，∴x≥5.5，又当x＞4时，y随x的增大而减小，∴当x=5.5时，y取得最大值，最大值为27.5，故答案为：27.5．13．【解答】解：将x=﹣2代入直线y=﹣x+1得，y=2+1=3，则交点坐标为（﹣2，3），将（﹣2，3）代入y=x2+k得，3=4+k，解得k=﹣1．故答案为：﹣1．14．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，∴抛物线的对称轴是直线x==2，即顶点坐标为（2，0），设y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2+0，把（﹣2，4）代入得：4=a（﹣2﹣2）2+0，解得：a=，即y=（x﹣2）2+0=x2﹣x+1，故答案为：y=x2﹣x+1．15．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c=﹣（x﹣1）2+c+1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴点（3，0）关于直线x=1的对称点为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．17．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象过原点，∴c=0．故解析式满足a＞0，c=0即可，如y=x2．故答案为：y=x2（答案不唯一）．18．【解答】解：（1）函数开口向下，则a＜0，且对称轴在y轴的右边，则b＞0，故命题错误；（2）函数与y轴交与正半轴，则c＞0，故命题正确；（3）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故命题正确；（4）∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故命题正确；（5）∵﹣＜1，∴2a+b＜0；故命题正确；（6）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0；故命题错误．故答案是：（2）（3）（4）（5）．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．当y=0时，有﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0）．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=1．设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵当x=1时，y=﹣x+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．（3）设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC==，AM=．分三种情况考虑：①当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=1+（m﹣3）2+4+m2，解得：m1=1，m2=2，∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；②当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，解得：m=，∴点M的坐标为（1，）；③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，解得：m=﹣，∴点M的坐标为（1，﹣）．综上所述：当△MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）．20．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），C （0，2）代入y=﹣x 2+mx+n 得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x=﹣=，则D （，0），∴CD===，如图1，当CP=CD 时，则P 1（，4）；当DP=DC 时，则P 2（，），P 3（，﹣），综上所述，满足条件的P 点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，而S△BCD=×2×（4﹣）=，∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），=﹣（x﹣2）2+当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．21．【解答】解：（1）y=（x﹣15）[50﹣2（x﹣20）]=﹣2（x﹣30）2+450，当x=30时，y的最大值为450，答：每件售价为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元．（2）方案一：每天的最大利润为450﹣100=350（元），方案二：y=（x﹣15﹣2）[50﹣2（x﹣30）]=﹣2（x﹣3）2+392，∴每天的最大利润为392元，392＞350，∴采用方案二支付，利润最大；22．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB =S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则PH=﹣t2+2t+6，PG=t，S△PAB =S△PAO+S△PBO﹣S△ABO=×6×t+×6×（﹣t 2+2t+6）﹣×6×6=﹣t 2+9t=﹣（t ﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值（3）如图3，若△PDE 为等腰直角三角形，则PD=PE ，设点P 的横坐标为a ，点E 的横坐标为b ，∴PD=﹣a 2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a 2+3a ，=﹣， 则b=4﹣a ，∴PE=|a ﹣（4﹣a ）|=|2a ﹣4|=2|2﹣a|，∴﹣a 2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，所以P （4，6）或P （5﹣，3﹣5）． 23．【解答】解：（1）当x=0，y=3，∴C （0，3）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣）．将C （0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，∴抛物线的解析式为y=﹣2x 2+x+3．（2）过点B 作BM ⊥AC ，垂足为M ，过点M 作MN ⊥OA ，垂足为N ．∵OC=3，AO=1，∴tan ∠CAO=3．∴直线AC 的解析式为y=3x+3．∵AC ⊥BM ，∴BM 的一次项系数为﹣．设BM 的解析式为y=﹣x+b ，将点B 的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．∴BM 的解析式为y=﹣x+．将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．∴MC=BM ═=．∴△MCB 为等腰直角三角形．∴∠ACB=45°．（3）如图2所示：延长CD ，交x 轴与点F ．∵∠ACB=45°，点D 是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD ＞45°．又∵△DCE 与△AOC 相似，∠AOC=∠DEC=90°，∴∠CAO=∠ECD ．∴CF=AF．设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．∴F（4，0）．设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．∴CF的解析式为y=﹣x+3．将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．将x=代入y=﹣x+3得：y=．∴D（，）．24．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，当x=t时，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]=﹣t2+t+20=﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（2，4），此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到的线段GH，∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，在△OBD中，PQ是中位线，∴PQ=OB=4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．25．【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；（2）①∵OA=8，OC=6，∴AC==10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB===，∴=，∴QE=（10﹣m ），∴S=•CP•QE=m ×（10﹣m ）=﹣m 2+3m ；②∵S=•CP•QE=m ×（10﹣m ）=﹣m 2+3m=﹣（m ﹣5）2+，∴当m=5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，∵抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+8的对称轴为x=， D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当∠FDQ=90°时，F 1（，8），当∠FQD=90°时，则F 2（，4），当∠DFQ=90°时，设F （，n ），则FD 2+FQ 2=DQ 2，即+（8﹣n ）2++（n ﹣4）2=16，解得：n=6±，∴F 3（，6+），F 4（，6﹣）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为F 1（，8），F 2（，4），F 3（，6+），F 4（，6﹣）．。