第十四章 整式的乘除知识总结与测验(老师备课版)

同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方 同底数幂的除法，零指数和负整数指数幂单项式乘单项式 单项式乘多项式多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公单项式除以单项式 多项式除以单项式第十四章 整式的乘除知识点总结与测验一、知识梳理：现实世界、其他学科、数学中的问题情境①整式的加减②幂整式及其运算 ③整式的乘法解决问题 ④整式的除法二、知识要点：1、单项式、多项式、单项式的次数、多项式的次数、整式、同类项 1.单项式（1）单项式的概念： （2）单项式的系数： （3）单项式的次数： 2.多项式（1）多项式的概念： （2）多项式的次数： （3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

3.整式：4.同类项的概念：2、整式的加减（合并同类项） 合并同类项：1.合并同类项的概念：2.合并同类项的法则：3.合并同类项步骤：在掌握合并同类项时注意：1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.2.不要漏掉不能合并的项。

3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

3、幂的运算法则：①=⋅nm a a （m 、n 为N*） ②=n m a )( （m 、n 为N*） ③=n ab )( （n 为N*） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 为N*，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0） ⑥=-pa（a ≠0，p 为N*）4、整式的乘法：（单单、单多、多多）平方差公式：完全平方公式： ， 5、整式的除法：（单出单、多除多）运算顺序：先乘除，后加减。

若有括号，最先做。

同级运算，从左到右。

掌握运算顺序，不忙活!三、考点例析：一）、考查基本运算法则、公式等：例1、（08佛山）计算：=--)2)(2(b a b a .答案：22252b ab a +-；点评：运用多项式相乘的法则即可；应注意符号、及其合并同类项，把结果变为简略的形式； 例2、（08孝感）下列运算中正确的是（ ） A ．336x y x = ；B ．235()m m =；C ．22122xx-=； D ．633()()a a a -÷-=- 答案：D ；点评：对照相应的公式即可看出正确的答案来； 例3、（08广州）下列式子中是完全平方式的是（ ） A ．22b ab a ++ B ．222++a a ； C ．222b b a +-； D ．122++a a ；答案：D ．点评：对照完全平方公式：可以看出：122++a a 222211(1)a a a =+⋅⋅+=+；而其它三个选项都是错误的； 二）、同类项的概念例4、 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值．点评：考查同类项的概念，由同类项定义可得25,227m n n m +=⎧⎨-+=⎩解出即可；求出：3,1;n m ==-所以：113;3m n -==三）、整式的化简与运算例5、(08江西)先化简，再求值：(2)(1)(1)x x x x +-+-， 其中12x =-． 解：(2)(1)(1)x x x x +-+-222(1)x x x =+-- 2221x x x =+-+ 21x =+．当12x =-时，原式12102⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭． 点评：在化简的过程中，可以适当的运用乘法公式、运算法则进行简便运算；四）、定义新运算：例6、（08孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：22a b a b =-☆， 则方程(43)13x =☆☆的解为x = ．17．6±点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）2243437=-=☆；（2）227713x x =-=☆， 所以：2271336x =-=，求出：6x =±；例7、（08 宿迁）对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c ，规定：当d b c a ==,时，有),(b a =),(d c ；运算“⊗”为：),(),(),(bd ac d c b a =⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是实数，若)4,2(),()2,1(-=⊗q p ，则_______),()2,1(=⊕q p ． 点评：两次运用题目中的新运算公式，不难求出问题的答案来：（1）由：(1,2)(,)(2,4)p q ⊗=-得出：224p q =⎧⎨=-⎩，所以：2,2;p q ==- （2）(1,2)(,)p q ⊕[](1,2)(2,2)12,2(2)(3,0);=⊕-=++-=五）整体思想的运用：例8、计算： 234()()()x y y x x y ---分析：这里的底数为：()x y -、()y x -，而这两个式子恰为相反数，我们可以把()y x -看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化：2()x y -、4()x y -两项的底数为()y x -，所以有： 解：原式=234()()()y x y x y x ---=234()y x ++-=9()y x -；点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数，这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用； 六）巧妙变化幂的底数、指数 例9、已知：23a=，326b=，求3102a b+的值；点评：根据现有的知识水平，很难求出a 、b 的值来，所以我们可以把：2a、532(2)b b =中的5(2)b分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：3102a b +31022a b =⨯352(2)(2)a b =235(2)(2)a b ⎡⎤=⎣⎦23(2)(32)a b⎡⎤=⎣⎦3236972=⨯=； 例10、 计算：99100(0.125)8-⨯；分析：显然：-0.125与8的乘积是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案来：①（-1）的偶次方是1；②(-1)的奇次方是（-1）；所以变化1008为：9988⨯；则有原式=9999(0.125)88-⨯⨯=99(0.1258)-⨯8⨯=(-1) 8⨯=-8;点评：一些互为倒数或者是互为负倒数的两个数的幂的乘积问题，可以变化次数较高的幂是两个同底数的幂的乘积，其中一个幂的次数恰为其倒数（或者负倒数）的次数，逆向运用积的乘方公式，即可简化运算；六、随堂测验一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（ ）.A ．2xy -的系数为2-，次数为1B ．a 的系数为1，次数为0C ．332x 的系数为2，次数为6 D ．3x y 的系数为1，次数为42．如图1，阴影部分的面积是（ ）.Ａ．112xy Ｂ．132xyＣ．6xy Ｄ．3xy3．下列运算正确的是（ ）.A ．221a a a a ÷⋅= B ．()336a a a -⋅=C ．()32628x x-=- D ．()236()()x x x -⋅-=-4．若M 的值使得()22421x x M x ++=+-成立，则M 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．若3,3x ya b ==，则23x y +的值为（ ）. A ．ab B ．2a b C ．2ab D ．23a b 6．已知5a b -=，3ab =，则(1)(1)a b +-的值为（ ）. A ．1- B ．3- C ．1 D ．3 7．代数式()()222235yz xz y xz z x xyz +-+++的值（ ）.A ．只与,x y 有关B ．只与,y z 有关C ．与,,x y z 都无关D ．与,,x y z 都有关8．计算：()()200820083.140.1258π-︒+-⨯的结果是（ ）.A ． 3.14π-B ．0C ．1D ．29．若2(9)(3)(x x ++4)81x =-，则括号内应填入的代数式为（ ）. A ．3x - B ．3x - C ．3x + D ．9x -3x2yy0.5x图110．现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a b ，为实数，则()**a b b a b +-等于（ ） A ．2a b - B ．2b b -C ．2bD ．2b a -二、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）11．把代数式222a b c 和32a c 的共同点填在横线上，例如它们都是整式，①都是_______；②都是______.12．已知31323m x y -与52114n x y +-的和是单项式，则53m n +的值是______.13．计算2342()()()m n m n mn ⋅-÷-的结果为______.14．一个三角形的长为(24)a cm +，宽为(24)a cm -，则这个三角形的面积为______.15．若2,48x y xy -==，则代数式22x y +的值为（ ）.16．我国宋朝数学家扬辉在他的著作《详解九章算法》中提出表1，此表揭示了()na b +（n 为非负数）展开式的各项系数的规律. 例如：()01a b +=它只有一项，系数为1；()1a b a b+=+它有两项，系数分别为1，1；()2222a b a ab b +=++它有三项，系数分别为1，2，1；()3322333a b a a b ab b +=+++它有四项，系数分别为1，3，3，1；……根据以上规律，()4a b +展开式共有五项，系数分别为__________.17．已知一个多项式与单项式2xy -的积为3222642x y x y xy --，则这个多项式是_________.18．观察下列各式：23456,,2,3,5,8,x x x x x x …….试按此规律写出的第10个式子是______. 19．一个正方形一组对边减少3cm ，另一组对边增加3cm ，所得的长方形的面积与这个正方形的每边都减去1cm 后所得的正方形的面积相等，则原来的正方形的边长为______. 20．有若干张如图2所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为()2a b +，宽为()a b +的长方形，则需要A 类卡片________张，B 类卡片_______张，C 类卡片_______张.三、细心做一做，马到成功（共60分） 21．计算下列各式（每小题4分，共16分）：（1）()223211482x y xyz xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()()2232x y x y y x y +--- （3）()()222121a a -+ （4）2200720092008⨯-（运用乘法公式）22．（5分）先化简，再求值：22[(2)(2)2(2)]()xy xy x y xy +---÷，其中10x =，125y =-．23．（5分）小马虎在进行两个多项式的乘法时，不小心把乘以()2x y -，错抄成除以()2x y -，结果得()3x y -，则第一个多项式是多少？ 24．（8分）梯形的上底长为()43n m +厘米，下底长为()25m n +厘米，它的高为()2m n +厘米，求此梯形面积的代数式，并计算当2m =，3n =时的面积.25．（8分）如果关于x 的多项式()()()22232125546xmx x x mx x mx x +-++-+---的值与x 无关，你能确定m 的值吗？并求()245m m m+-+的值.26．（8分）已知1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256========，…… （1）你能根据此推测出642的个位数字是多少？（2）根据上面的结论，结合计算，试说明()()()()()()24832212121212121-++++⋅⋅⋅+的个位数字是多少？27．（10分）阅读下文，寻找规律：已知1x ≠，观察下列各式：()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()234111x x x x x -+++=-…（1）填空：()1(x - 8)1x =-.（2）观察上式，并猜想：①()()211n x x x x -+++⋅⋅⋅+=______.②()()10911x x x x -++⋅⋅⋅++=_________.（3）根据你的猜想，计算：①()()234512122222-+++++=______.② 234200712222 (2)++++++=______. 七、参考答案1．D ．2．A ．3．C ．4．C ．5．B ．6．B ．7．A ．8．D ．9．A ．10．B ．13．82m n -14．22(28)a cm -15．100．16．1，4，6，4，1；17．232x y x y -++18．1055x .19．5cm 20．2，3，1. 21．（1）原式=342411224x y z x y xz ÷=（2）原式222222323624x xy y xy y x y =+--+=+（3）原式=()()()22242212141168 1.a a a a a -+=-=-+⎡⎤⎣⎦22．原式2222(424)()x y x y xy =--+÷22()x y xy xy =-÷=-． 23．设第一个多项式是A ，根据题意得，()23A x y x y÷-=-.所以()()2223372A x y x y x xy y =-⋅-=-+24．()()()432522n m m n m n +++⨯+÷⎡⎤⎣⎦22519922m mn n =++当2m =，3n =时，原式225192329310578114822=⨯+⨯⨯+⨯=++=.26．（1）因为644162(2)=，所以642的个位数字是6. （2）因为()()()()()()24832212121212121-++++⋅⋅⋅+()()()()()()()()()22483244832212121212121212121=-+++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+ =……()()323264212121=-+=-.所以()()()()()()24832212121212121-++++⋅⋅⋅+的个位数字是5.27．（1）2345671x x x x x x x +++++++；（2）①11n x +-；② 111x -. （3）①61263-=-； ② 200821-. 点拨：因为23420072008(12)(12222...2)12-++++++=-，234200720082008 ++++++=--=-.12222...2(12)21所以。