离散数学代数结构部分
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学是计算机科学领域中的一门基础课程，它主要研究离散结构和离散对象之间的关系。离散数学中有许多重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学和其他领域中有广泛的应用。下面是对离散数学中一些重要的公式和定理的汇总。
1.集合：
-幂集公式：一个集合的幂集是所有它子集的集合。一个集合有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
-集合的并、交、差运算规则：并集运算满足交换律、结合律和分配律；交集运算也满足交换律、结合律和分配律；差集运算不满足交换律和结合律。
2.逻辑：
-代数运算规则：多个逻辑表达式的与、或、非运算满足交换律、结合律和分配律。
-归结原理：对于一个给定的只包含“合取”和“析取”的合式公式集合，如果假设集合中的每个合式公式都为真，以及从这些前提出发，不能推导出这个集合中的一个假命题，则称这个假设集合是不一致的。
3.图论：
-图的欧拉路径和欧拉回路：对于一个连通的图，如果它存在欧拉路径，那么这个图中最多只有两个度数为奇数的节点；如果一个连通的图存在欧拉回路，那么所有节点的度数都是偶数。
-图的哈密顿路径和哈密顿回路：对于一个图，如果它存在哈密顿路径，那么这个图中任意两个不相邻的节点u和v之间必然存在一条边；如果一个图存在哈密顿回路，那么从任意一个节点开始，可以经过图中的所有节点且最后回到起点。
4.代数结构：
-子群定理：如果G是群H的一个子集，并且G是关于群H的运算封闭的，那么G是H的一个子群。
- 同态定理：如果f是从群G到群H的一个满射同态，那么G的核ker(f)是G的一个正规子群，而H是G/ker(f)的同构像。
离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个
重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。运算指的是将集
合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。置换是一种改变事物次序的方法，
它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。置换群是
一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。置换群可以
描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作
为第二个置换的作用对象来实现。例如，设置换π1表示将物体的位置1和位
置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换
π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。封闭性指的是任意
两个置换的合成结果仍然是一个置换。结合律是指对于置换群中的任意三个置
换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。单
位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。对于每个置换a，都存在一个逆置
离散数学代数结构
而1(0⊙1) ≠ (10)⊙(11)，所以对于⊙不是可分配的
吸收律
四、吸收律
2020年11月5日星期四
设有代数结构< S, ⊙, >，若
(x)(y) (x,y S x⊙(x y)= x) 则称运算⊙对于满足左吸收律
(x)(y) (x,y S (x y) ⊙ x = x) 则称运算⊙对于满足右吸收律
< Z, min, max >是一个代数结构，S={1, 2, 3, 4} < S, min, max >是< Z, min, max >的子代数吗？ 是，因为S对于运算min和max是封闭的
子代数
2020年11月5日星期四
设E是偶数集合，则< E, + >是< Z, + >的子代数吗？ 是
设M是正奇数集合，则< M, ×>是< Z, ×>的子代数吗？ 是
非空集合T S，在f1, f2, …, fm运算作用下是封闭的 则称< T, f1, f2, …, fm >为< S, f1, f2, …, fm >的子代数 （subalgebra）
子代数
2020年11月5日星期四
例5.1.3 < Z, + >是一个代数结构，S={1, 2, 3, 4} < S, + >是< Z, + >的子代数吗？ 不是，因为S对于运算+不封闭
离散数学_第06章代数结构概念及性质
（2）在A={0,1}集合上，p∈A, f(p)=﹁p, ﹁表示否定。则 f(p)=﹁p是将p映为它的 否定。 ﹁p是由p唯一确定的，它是对A中的一 个元素施行否定运算的结果。
f : A→A是函数。
（3）在R 集合上，x∈R ,则f(x)= 1/x是将x映 为它的倒数。 1/x是由x唯一确定的，它是对R+ 中的一个数施行倒数运算的结果。（但在R上， 倒数不是一元运算，因为0无像）。
注意，n元运算是个闭运算，因为经运算后 产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 n元运算与一般函数的区别之处。此外，有 些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特
殊的作用，称它为S中的特异元或常数。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否 定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是 谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与 交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、
⊙是可结合的并且x的逆元x-1存在，则x-1是唯一
的。
【例】
(1) 在自然数集合 N 上，对于乘法"· "运算，
只有数1有逆元1，对于数加"+"运算，只有数0
有逆元0。总之，任何代数结构其幺元恒有逆
元，逆元为其自身。
（2）在整数集合I上（+，· 的定义同上），I上
每个元素均有加法逆元，对任意x∈I, x的逆元
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
离散数学第十二章代数结构基本概念及性质
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元， 因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表示为x-1。
一般地说来，一个元素的左逆元不一定等 于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左 逆元而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素 的左或右逆元还可以不是唯一的。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数 结构了。
定义12.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的ni 元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…， fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1， f2 ，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加 法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中， 否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是 谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交 是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、 乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算， 因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用"、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用 、 、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示二元 运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或 肩置，如┐x、 、 x"；而二元运算符习惯于前置、 中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学(三)
第一节 二元运算及其性质
一、二元运算与一元运算的定义 1. 二元运算的定义与实例 定义 10.1 设 S 为集合,函数 f：S× S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为 二元运算.也称 S 对 f 封闭. 例（1）加法、乘法是自然数集合 N 上的二元运算，减法和除法不是. （2）加法、减法和乘法是整数集合 Z 上的二元运算，而除法不是. （3）乘法、除法是非零实数集 R*上的二元运算，加法、减法不是. （4）设 S={a1,a2,…,an}, aiaj =ai 为 S 上二元运算.
当 |S| 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元. .
定理 10.2 设为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算的单位元, 对于 x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆 元. 证：由 ylx = e 和 xyr = e 得 yl = yle = yl (xyr) = (ylx) yr = eyr = yr 令 yl = yr = y,则 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元,则 y= ye = y (xy) = (yx) y = ey = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明： 对于可结合的二元运算， 可逆元素 x 只有惟一的逆元， 记作 x1.
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
子代数 积代数
笛卡儿积 成分：集合及运算 公理：运算性质 产生 等价关系 代数系统的构成 映射
同 种 的 同 类 型 的
商代数
新代数系统
代数系统的 同态与同构
代数系统间的关系
§5.1 代数系统的引入
先引进在一个集合A上的运算概念 。
2013-7-31
离散数学
6
一元运算
例1：将实数集合R上的每一个数a ≠ 0映射成它的倒数 例2：求一个复数的共轭复数（复数集合C上的一元运算）。
*
一元硬币
二元硬币
一元硬币
二元硬币
矿泉水
可口可乐
可口可乐
酷儿
不封闭 思考：例5例6中的运算封闭吗？
2013-7-31
离散数学
8
封闭定义：对于集合A，一个从An到B的映射，称 为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该n 元运算是封闭的。 不是所有的代数系统都是封闭的，但一般情况下 ，我们总是讨论封闭的代数系统。
2013-7-31
离散数学
19
交换性
定义5-2.3：设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任 意的x，y∈A，都有x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交换 的。 特点 —— 运算表中的元素关于主对角线对称。
【例】设Q是有理数集合，△是Q上的二元运算，对任意的 a，b∈Q，a△b＝a+b-a· b，问运算△是否可交换。
2、[离散数学] 图论代数结构--文字版
![2、[离散数学] 图论代数结构--文字版](https://img.taocdn.com/s3/m/45f44c66f5335a8102d220de.png)
图论与代数结构戴一奇 胡冠章 陈 卫
清华大学出版社
(京)新登字158号
内 容 简 介
离散数学是计算机专业的主要数学基础,本书与“数理逻辑与集合论”一起构成了清华大学计算机系的离散数学教材,全书共分10章:图论的基本概念;道路与回路;树;平面图与图的着色;匹配与网络流;图的连通性;代数结构预备知识;群;环和域;格与布尔代数。
全书结构紧凑、内容精炼、证明严谨、语言流畅。为了便于读者理解和掌握基本理论,书中提供了丰富的例题,同时给出了众多良好的图算法,并进行了复杂性分析。此外,每章附有较多习题,其难度恰当。
本书可作为计算机专业学生的教科书或参考书,也可供计算机工程技术人员作为参考。
图书在版编目(CIP)数据
图论与代数结构/戴一奇等编著。—北京:清华大学出版社,1995
ISBN7－302－01814－6
Ⅰ．图… Ⅱ．戴… Ⅲ．①图论②代数－结构(数字)Ⅳ．①0157．5②015
中国版本图书馆CIP数据核字(95)第03642号
出版者:清华大学出版社(北京清华大学校内,邮编100084)
印刷者:北京通县宏飞印刷厂
发行者:新华书店总店北京科技发行所
开 本:787×10921/16 印张: 14．25字数: 335千字
版 次:1995年8月第1版 1997年12月第2次印刷
书 号:ISBN7－302－01814－6/T P・810
印 数:4001～6000
定 价:12．90元
前 言
离散数学是计算机专业的基础数学课程,它以离散量为研究对象,主要包括数理逻辑、集合论、图论和代数结构四部分内容。
清华大学计算机科学与技术系把离散数学安排为“数理逻辑与集合论”,“图论与代数结构”两门课程,分两个学期讲授,各占50学时。
离散数学(二)布尔代数部分
三、有限布尔代数的结构
引理2: 设<B,∨,∧, ′, 0,1>是有限布尔代数, 则 (1) 任意b,c∈B, 有b∧c'=0当且仅当b ≤ c； (2) 对于B中任一原子a和任一非零元素b, a≤b 和a≤b'两式中有且仅有一式 成立。 证明: (1) 必要性⇒ 若b∧c'=0, 证明b ≤ c. (b∨c)∧(c'∨c)=(b∧c')∨c=0∨c=c (b∨c)∧(c'∨c)=(b∨c)∧1=b∨c 所以b∨c=c,故b ≤ c. 充分性 ⇐ 若b ≤ c, 证明b∧c'=0.c'≤ c',且b ≤ c,有b∧c'≤ c∧c'=0,所以b∧c'=0. (2) 先证a ≤ b 和a ≤ b'两式不可能同时成立. 假如a ≤ b 和a ≤ b'同时成立, 就有a ≤ b∧b'=0, 这与a是原子相矛盾。 再证a ≤ b 和a ≤ b'两式中必有一式成立. 因为a∧b ≤ a, a是原子, 所以只 能是a∧b=0或a∧b=a. 若a∧b=0,则 a∧(b')'=0, 由(1)得a ≤ b'; 若a∧b=a, 得 a≤b. 命题得证.
三、有限布尔代数的结构
引理2说明: 原子是这样的元素,它把B中的元素分为两类,第一类是与 自己可比较的(包括自身),它小于等于这一类中的任一元素。第二类是与 自己不可比较的或是0,它小于等于这一类中任一元素的补元。 为了加深对原子和定理7.4―2的认识,试考察图7.4―3,(a)中,a1是原子; (b)中,a1和a2是原子;(c)中,a1,a2和a3是原子. 在(a),(b)(c)三图中,虚线都是表 示原子a1将B的元素划分成两类。
数学中的离散数学与代数结构
数学中的离散数学与代数结构
数学是一门充满魅力和智慧的学科，它涵盖了广泛的领域和概念。其中，离散
数学和代数结构是数学中两个重要且紧密相关的分支。本文将探讨离散数学和代数结构的概念、应用以及它们在现实生活中的意义。
离散数学是研究离散对象的数学分支，与连续数学形成鲜明对比。它关注的是
离散的、不连续的数学结构，如集合、图论、逻辑、组合数学等。离散数学的研究对象不仅包括整数、有理数等，还包括离散的结构和算法。离散数学在计算机科学、信息技术、网络安全等领域有广泛的应用。
离散数学中的一个重要概念是图论。图论研究的是由节点和边构成的图形结构。图论在计算机科学中有着广泛的应用，比如网络拓扑结构的分析、路由算法的设计等。通过图论，我们可以研究和解决许多实际问题，如社交网络中的关系分析、电力网络中的最优供电方案等。
另一个重要的离散数学概念是逻辑。逻辑是研究推理和证明的学科，它关注的
是命题之间的逻辑关系。逻辑在数学证明中起着重要的作用，它帮助我们理清思路，推导出正确的结论。逻辑的应用不仅局限于数学领域，它还在计算机科学、人工智能等领域发挥着重要作用。
除了离散数学，代数结构也是数学中一个重要的分支。代数结构研究的是数学
对象之间的运算规则和关系。它包括群论、环论、域论等多个分支。代数结构在数学中有着广泛的应用，它帮助我们研究和解决各种数学问题，如线性代数中的矩阵运算、数论中的整数运算等。
群论是代数结构中的一个重要分支，它研究的是满足一定运算规则的集合。群
论在物理学、化学等自然科学中有着广泛的应用。比如，对称群在几何学中起着重要作用，它帮助我们研究和理解对称性。另外，群论还在密码学中发挥着重要作用，它帮助我们设计和分析密码算法，保护信息的安全。
离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质
1
0
1
0
0
4.吸收律
给定<S，⊙，○>，则
⊙对于○满足左吸收律
:=(x)(y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x)
⊙对于○满足右吸收律
:=(x)(y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收
律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于 和吸收律类似地定义。 若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可 吸收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时 满足吸收律。
同理可证， ○对于⊙满足吸收律。故⊙和
○互为吸收的。
5.等幂律与等幂元 给定<S，⊙>，则 “⊙”是等幂的或“⊙”满足等幂 律:=( x)(x∈S→x⊙x=x) 给定<S，⊙>且x∈S，则 x是关于“⊙”的等幂元:=x⊙x=x 于是，不难证明下面定理： 定理12.2.2 若x是<S，⊙>中关于⊙的等幂 元，对于任意正整数n，则xn=x。
例12.2.1 给定<A，⊙>且对任意a，b∈A有
a⊙b=b。证明运算“⊙”是可结合的。
证明：因为对任意a，b，c∈A
(a⊙b)⊙c=b⊙c=c
a⊙(b⊙c)=a⊙c=c
故 (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) 注意，不是任何代数结构上的运算都满足 结合律，如整数集上“－”运算就不满足结合 律。如：5－(2－1)＝4,但是(5－2)－1＝2.
自考离散数学第4章
定理4.1.3 设有代数系统<A,*>中，A的元素个数多于1，若其存在关于运算*的 单位元e和零元O，则e≠O。
4.1 代数系统
定义4.1.6 设代数系统<A,*>中，e是关于*运算的单位元，若对A中某个元素a， 存在A的一个元素b，使得b*a=e,则称b是a的左逆元；a*b=e,则称b是a的右逆 元。如果一个元素b，它既是a的左逆元，又是a的右逆元，则称b是a的一个逆 元，记作b-1
设 | G | > 1 ， 且 群 < G , * > 有 零 元 O , 对 群 中 任 何 元 素 x G ， 都 有
x*O=O*x=O≠e,所以零元O就不存在逆元，与<G,*>为群相矛盾。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
定理4.3.4 设<G,*>为一个群，对于a,b G.必存在唯一的x G，使a*x=b。 证明：因为<G,*>为一个群，对于任一a G，必有逆元a-1，令x=a-1*b,
离散数学第四章代数结构?主要内容?41代数系统?42半群与独异点?43群与子群?44环与域?45格与子格?46分配格与有补格?47布尔代数41代数系统?世界上各种事物的作用实际上都可以看作是运算
离散数学
第四章 代数结构
主要内容 4.1代数系统 4.2半群与独异点 4.3群与子群 4.4环与域 4.5格与子格 4.6分配格与有补格 4.7布尔代数
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定义5.13 设
定义5.14 设
例5.14 个数的最小公倍数的运算。则
表示求两
解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。
例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*
解：
例5.16 设有集合
讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。 解：
例5.17 设
解：
第六章 几个典型的代数系统
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元， 没有可逆元素。
5.3节
定义 5.10 个运算 记作
定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有 (x*y)*z ＝ x*(y*z) ，则称该二元 运算 * 是可结合的，或者说运算 * 在 A 上适合结合律。 例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则 “+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律
第三部分 代数结构
第五章 代数系统
代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。 代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
本部分主要内容 二元运算及其性质。 二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆
元。
代数系统的定义及其性质。
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
如何判断一个运算是否为集合 S 上的 二元运算 1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。 2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
解： H的右陪集为
定理6.9 设H是群
定理6.10 设
定理6.11 设
证明： 略。 推论6.1
定理6.12 设
定理6.13 设
定义6.12 群 定理6.14（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。 根据定理6.11的推论有
推论6.2 设 推论6.3 设
例6.9 例6.10 群
定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。
证明：必要性是显然的。
定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群
证明：必要性 充分性证明：
定理6.8(子群判定定理3)设H是群
证明：必要性是显然的。
例6.11 设
6.2节
定义6.11 设
陪集与拉格朗日定理
例6.12 设
定义5.4 设*是定义在集合A上的一个 二元运算，如果对于任意的x∈A，都 有x*x＝x，则称运算*是等幂的。 例5.4 设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上 定义的两个二元运算，集合的“并”运 算∪和集合的“交”运算∩，验证∪， ∩是等幂的。 解： 对于任意的A∈P(S)， 有A∪A＝A和A∩A＝A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 定义5.7 设*是S上的二元运算，
在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
本章讨论几类重要的代数结构： 半群、群、环、域、格与布尔代数
6.1节
定义6.1 设
是可结合的即：
半群与群
定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1
定义6.3 设
例6.2 定义6.3 设
定义6.4 设
定义6.5 设
例6.3 设
证明G关于矩阵乘法构成一个群．
故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法 满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群，
在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。
定义6.6 若群
例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元， 所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有 逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以 它们是交换群。 0没有逆元，所 以它们仅是有么半群而不是群。
例6.26 设n是正整数
例6.27（1）对于偏序集
定理6.22
设
定理6.23 设
定义6.26 设
定义6.27 设
例6.28 设格
定义6.28 设
例6.29 说明下图中的格是否为分配格， 为什么？
定义6.29 设
定义6.30 设 例6.30 例6.31
根据定理6.11的推论有
定义6.13 设
任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群
定理6.15 设
证明：略。
例6.13 设
例6.14 设
定理6.16 设
6.3
群的同态与同构
定义6.14
设
例6.13 设
定义6.15 设
定理6.17 设
证明：略。
定义6.16 设
从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律 和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ，
定理6.2 设
下面证明唯一性
从而唯一性得证。
例6.8 设
定理6.3
定理6.4 设
定理6.5 G为有限群，则 G的运算表中的每 一行（每一列）都是G中元素的一个置换， 且不同的行（或列）的置换都不相同。 定义6.10 设
代数系统
设 S 是非空集合，由 S 和 S 上若干 构成的系统称为代数系统，
代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
定义5.12 设
例5.11 设
例5.1设A＝{x|x＝ 2 ，n∈N}，问 在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢?
n
解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
定义5.5 设。和*是S上的两个二元运 算，如果对任意的 有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。
定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有 则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定 义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)， 验证运算*和★满足吸收律。
定义6.31 设
定义6.32 设
定义6.33 如果一个格是有补分配格，则称 它为布尔格或布尔代数。
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定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
定理5.2 设*是S上的二元运算， 如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ， 又存在关于运算的右幺元 er 则S中必存在关于运算*的幺元e并且
2. 零元 定义5.8 设*是S上的二元运算，
定理6.18 （群同态基本定理）设
6.4 定义6.17 设
循环群与置换群
定理6.19 设
例6.16
例6.17 设
定义6.18 设
例6.18 设
定义6.19 设
例6.19 4元置换
定义6.20设
定理6.20
定义6.21
例6.20 如图 进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但 经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格 中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看 作是作用在
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元 , 如果 S 中元素 x 既存在关于运算 * 的左 逆元 yl ，又存在关于运算*的右逆元 yr ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
5.1节 二元运算及其性质
定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。 在整数集合 Z 上，对任意两个整数所进 行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的 x,y∈A，都有 x*y ＝ y*x ，则称该二元运算 * 是可交 换的。 例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。 解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算， 它由以下运算表给出。不难证明G是一 个群，称该群为Klein四元群。
定义6.7 设
例6.6 在群
解：
定理6.1 设
证明：略。
定义6.8 设
定义6.9
例6.7 对于集合
列出其运算表如下表 这个群的阶数是6， 元素0，1，2，3， 4，5的次数分别 为1，6，3，2， 3，6。
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。
所以零元是唯一的。
定理 5.4 设 * 是 S 上的二元运算，如 果S中既存在关于运算 *的左零元 l 又 存在关于运算*的右零元 r
2. 逆元 定义5.9 设*是S上的二元运算，
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.21 （1）整数集
定理6.21 设
2,3证明略。
例6.22
定义6.23 设
例6.23 （1）整数环
例6.22模6整数环
定义6.24 设
6.5
定义6.22 设
环和域
例6.25 设
6.6
格与布尔代数
定义6.25 设