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1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a解：原式=2)(38b a b三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC SB ac AD BC S sin 2121又 C ab AD BC S sin 2121 C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31k 故有直线BD 的方程：(1))1(312 x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为B a(2) 10)2()1(22 y x解方程（1）、（2）得B 、D 的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标D 1 C 1A C解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y xy 4)2(2422得222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k 即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219 a a a a 即。

1981年试题全国高考数学试题及参考答案

1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A＝{有理数},B＝{无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B＝{实数}.(或A∪B＝R,或A∪B＝实数集合.)(2)A∩B＝.(或A∩B＝{ },或A∩B＝空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋DB2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2＝CD2＋BD2＝[bsin(180°－A)]2＋[c＋bcos(180°－A)]2＝b2＋c2－2bccosA.如果∠A是直角,cosA＝0,∴a2＝b2＋c2＝b2＋c2－2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2＝│BC│2 ＝(c－bcosA)2＋(－bsinA)2＝b2＋c2－2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x－a－b－c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a＋b＋c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n＝1时等式成立.(ii)假设当n＝k时等式成立,即所以当n＝k＋1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087＝0.00377 lg1.0092＝0.00396 lg1.0096＝0.00417lg1.0200＝0.00860 lg1.2000＝0.07918 lg1.3098＝0.11720lg1.4568＝0.16340 lg1.4859＝0.17200 lg1.5157＝0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x＝10×(1.02)20,两边取对数,得lgx＝1＋20lg1.02＝1.17200,∴x＝14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1＋y%)20≤12,即(1＋y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1＋y%)≤lg1.2.即lg(1＋y%)≤0.00396.∴1＋y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB＝10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P－a－Q的平面角,∴∠ADC＝120°.又AD＝2,BCDE为矩形,∴ CD＝BE＝4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF＝60°,AD＝2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－3＝0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y＝k(x－1)＋1,代入双曲线方程,整理得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0, (iii)由第二式解出k＝2,但k＝2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ－sin2θ)t2＋2(4cosθ－sinθ)t＋5＝0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC＝a,BC＝b,作数列u1＝a－b,u2＝a2－ab＋b2,u3＝a3－a2b＋ab2－b3,……,u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－……＋(－1)k b k;求证:u n＝u n－1＋u n－2(n≥3).[Key] 十、证法一:通项公式可写为u k＝a k－a k－1b＋a k－2b2－…＋(－1)k b k因a－b＝AC－BC＝AC－AF＝FC＝1,ab＝AC·BC＝CD2＝1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n＝u n－1＋u n－2成立,只要证明a n＋1－(－1)n＋1b n＋1＝a n－(－1)n b n＋a n－1－(－1)n－1b n－1,即a n－1·a2－(－1)n－1b n－1·b2＝a n－1·a＋(－1)n－1b n－1·b＋a n－1－(－1)n－1b n－1, 或或上式确是等式,故证得u n＝u n－1＋u n－2.。

高考数学模拟试卷文科 81

高考数学模拟试卷（文科） (8)一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）1.（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A.93B.123C.137D.1672.（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A.[0，1]B.（0，1]C.[0，1）D.（﹣∞，1]3.（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A.（﹣1，0）B.（1，0）C.（0，﹣1）D.（0，1）4.（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A.﹣1B.C.D.5.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.3πB.4πC.2π+4D.3π+46.（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A.1B.2C.5D.108.（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A.||≤||||B.||≤|||﹣|||C.（）2=||2D.（）•（）=2﹣ 29.（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数10.（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f （b）），则下列关系式中正确的是（）A.q=r＜pB.p=r＜qC.q=r＞pD.p=r＞q11.（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元12.（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A.+B.+C.﹣D.﹣二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为.14.（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k.据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为.15.（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为.16.（5分）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为.三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17.（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积.18.（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE.（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值.19.（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨20.（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为. （Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2.21.（12分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2.（Ⅰ）求fn′（2）；（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣＜（）n.三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修41：几何证明选讲]22.（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C. （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径.[选修44：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.[选修45：不等式选讲]24.已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值.高考数学模拟试卷（文科） (8)参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）1.（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A.93B.123C.137D.167【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数.【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C.【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础.2.（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A.[0，1]B.（0，1]C.[0，1）D.（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案. 【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1].故选：A.【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题.3.（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A.（﹣1，0）B.（1，0）C.（0，﹣1）D.（0，1）【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标.【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）.故选：B.【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础.4.（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A.﹣1B.C.D.【分析】利用分段函数的性质求解.【解答】解：∵，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=.故选：C.【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用.5.（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D.【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档.6.（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出.【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题.7.（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A.1B.2C.5D.10【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=6x=3满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣3不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10.故选：D.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题.8.（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A.||≤||||B.||≤|||﹣|||C.（）2=||2D.（）•（）=2﹣ 2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得.【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣ 2.故选：B.【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题.9.（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论.【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数.再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，故选：B.【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.10.（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f （b）），则下列关系式中正确的是（）A.q=r＜pB.p=r＜qC.q=r＞pD.p=r＞q【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系.【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B.【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题.11.（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值. 【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域.由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴zmax=3x+4y=6+12=18.即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D.【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键.12.（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A.+B.+C.﹣D.﹣【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可.【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分.y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=.故选：C.【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力.二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为 5 . 【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得.【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得+a=1010×2解得a=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题.14.（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k.据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 8 .【分析】由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8. 【解答】解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴ymax=3+k=3+5=8，故答案为：8.【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查.15.（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为 y=﹣.【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣.因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣.故答案为：y=﹣.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题.16.（5分）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为+…+=+…+.【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣.其等式右边为后n项的绝对值之和.即可得出.【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣.其等式右边为后n项的绝对值之和.∴第n个等式为：+…+=+…+.【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17.（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积.【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积.【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=.【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力.18.（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD 的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE.（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值.【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC.（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE 的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值.【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC==a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=AB=a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，V==a=a3，由a=a3=36，得出a=6.【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练.19.（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论.【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，从而估计运动会期间不下雨的概率为.【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.20.（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为. （Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2.【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论.【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则x1+x2=，x1x2=，且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2.则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2.【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题.21.（12分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2.（Ⅰ）求fn′（2）；（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣＜（）n.【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到fn′（2）；（Ⅱ）只要证明fn（x）在（0，）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后fn（an）变形得到所求.【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，所以，①则2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==（1﹣n）2n﹣1，所以.（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，fn（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，所以fn（x）在（0，）内至少存在一个零点，又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，）内单调递增，所以fn（x）在（0，）内有且仅有一个零点an，由于fn（x）=，所以0=fn（an）=，所以，故，所以0＜.【点评】本题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心.三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修41：几何证明选讲]22.（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C. （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径.【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径.【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3.【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键.[选修44：坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.化为ρ2=2，把代入即可得出；.（II）设P，又C.利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出.【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3.（II）设P，又C.∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2.此时P（3，0）.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.[选修45：不等式选讲]24.已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值.【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值.【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题.高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

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***2021年第四次文数训练一、选择题：本大题共12小题，每题 5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A=x|x2，B=x|32x0，那么A．AB=x|x3B．A B2C．A Bx|x3D．A B=R 22．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验.田这n块地的亩产量〔单位：kg〕分为别x1，x2，?，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定度程的是A．x1，x2，?，xn的平均数B．x1，x2，?，xn的标准差C．x1，x2，?，xn的最大值D．x1，x2，?，xn的中位数3．以下各式的运算结果为纯虚数的是222A．i(1+i)B．i(1-i)C．(1+i)D．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是1πA．B．481πC．D．2425．F是双曲线C：x y=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐2-23标是(1,3).那么△APF的面积为1123A．B．C．D．32326．如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是***x 3y 3,x y 1,那么z=x+y的最大值为7．设x，y满足约束条件y 0,A．0sin2x8．.函数y1 cosx B．1 C．2 D．3 的局部图像大致为9．函数f(x) lnx ln(2 x)，那么A．f(x)在〔0,2〕单调递增B．f(x)在〔0,2〕单调递减C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称D．y=f(x)的图像关于点〔1,0〕对称n n的最小偶数n，那么在和两个空白框中，10．如图是为了求出满足321000可以分别填入***A．A>1000和n=n+1 B．A>1000 和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+211．△ABC的内角A、B、C的对边分为别a、b、c。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81.doc

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81第I 卷（选择题共50分）一、选择题1、设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈，{|0,}3xB x x R x =≥∈+，则A B = A 、(32]-- B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞ D 、5(0,3)[,)2-+∞2、若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A 、-2B 、4C 、-6D 、6 3、给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++② 若正整数m 和n 满足m n ≤2n ≤③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。

当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切其中假命题的个数为A 、0B 、1C 、2D 、3 4、设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥5、设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为A 、2±B 、43±C 、12±D 、34± 6、从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、907、某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A 、81125 B 、54125 C 、36125 D 、271258、要得到y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度 9、设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为A 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞10、若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞D 、9(1,)4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案

【高考试题】1981年全国高考数学试题★答案 (理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A ∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key] 二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key] 三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key] 四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key] 五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060[Key] 七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key] 八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D 作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key] 九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)。

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2．（8 分）（1981•北京）化简：
考点：专题：分析：
方根与根式及根式的化简运算．计算题．利用指数幂的运算法则，把原式转化为料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

(广东专用)2020高考数学第一轮复习用书第81课极坐标文

第81课极坐标1．（2020西城一模）在极坐标系中，极点到直线l ：πsin()4ρθ+=的距离是．【解析】∵πsin()4ρθ+= ∴sin cos 2ρθρθ+=，∴20x y +-=，∴极点到直线l =2．（2020江门一模）在极坐标系中，经过点)3 , 2(πA 且垂直于OA （O 为极点）的直线的极坐标方程是．【答案】2)3cos(=-θπρ 【解析】∵2cos()3πθρ-=，∴2)3cos(=-θπρ．3．（2020肇庆一模）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线(cos )6ρθθ+=的距离的最小值为．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为224x y +=，直线的直角坐标方程为60x +-=，圆心到直线的距离3d ==，∴圆上一点直线的最小值等于321d r -=-=．4．（2020丰台一模）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正方向极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程24cos 30ρρθ-+=．则圆心C 到直线l 的距离是．【答案】12【解析】直线l的方程为10x --=，圆C 的方程为22(2)1x y -+=，∴圆心(2,0)C 到直线l12=． 5．（2020佛山二模）在极坐标系中，射线(0)3πθρ=≥与曲线1C ：4sin ρθ=的异于极点的交点为A ，与曲线2C ：8sin ρθ=的异于极点的交点为B ，则AB = ．【答案】【解析】∵射线的直角坐标方程为tan ,03y x x π==≥，曲线1C 的直角坐标方程为224x y y +=，曲线2C 的直角坐标方程为228x y y +=，由2240x y y y x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ，由2280x y y y x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，解得6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即B ，∴AB ==6．（2020上海高考）如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf ．【答案】1sin()6πθ-【解析】直线l的直角坐标方程为2)3y x =-，3y -=，cos 3sin θρθ-=∴1(cos )122ρθθ-=， ∴sin()16πρθ--=，∴1sin()6ρπθ=-．。

1981年高考数学试题

1981年高考数学试题（正文）一、选择题1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+mx+n$，其中$m$，$n$为常数，若函数$f(x)$的图像在点$(1,1)$处的切线方程为$y=2x+b$，则$m=$______。

解析：题目中给出函数$f(x)$在点$(1,1)$处的切线方程为$y=2x+b$，需要求出$m$的值。

根据切线的定义，切线与函数图像在切点处相切，并且切线的斜率等于函数的导数值。

所以，切线的斜率为2，即$f'(1)=2$。

根据函数的导数定义，可以求出$f'(x)$的表达式：$f'(x)=3x^2-6x+m$。

将$x=1$代入，得到$f'(1)=3-6+m=2$，解得$m=5$。

所以，$m=5$。

2. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d=3$，且$a_4=7$，则$a_1=$______。

解析：题目中给出等差数列$\{a_n\}$的公差$d=3$，以及第四项$a_4=7$，需要求出第一项$a_1$的值。

根据等差数列的性质，可以得到$a_4=a_1+3\times(4-1)=a_1+9$。

将$a_4=7$代入，得到$a_1+9=7$，解得$a_1=-2$。

所以，$a_1=-2$。

二、填空题1. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项$b_1=a$，公比$q=\frac{1}{2}$，若$b_4=2$，则$a=$______。

解析：题目中给出等比数列$\{b_n\}$的首项$b_1=a$，公比$q=\frac{1}{2}$，以及第四项$b_4=2$，需要求出首项$a$的值。

根据等比数列的性质，可以得到$b_4=b_1\times(\frac{1}{2})^{4-1}=b_1\times\frac{1}{8}$。

将$b_4=2$代入，得到$b_1\times\frac{1}{8}=2$，解得$b_1=16$。

所以，$a=16$。

2. 已知点$A(3,4)$和点$B(5,2)$，过点$A$和点$B$的直线方程为$y=kx+b$，则$k+b=$______。

数学试卷81年普通高等国统一考试.文科数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=2)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin c Cb B a A ==六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

高考数学文81

训练目标 (1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应用复数的几何意义.训练题型 (1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与应用；(4)复数的几何意义的应用.解题策略 (1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系. 12122．(2015·安徽屯溪一中月考)若复数z 满足(1＋3i)z ＝23i(i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在第________象限．3．若z ＝sin θ－35＋(cos θ－45)i 是纯虚数，则tan(θ－π4)＝________. 4．(2015·山东日照一中阶段检测)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 3－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 6．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a ＋b ＝1，现有如下三个结论：①z 可能为实数；②z 不可能为纯虚数；③若z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝a 2＋b 2.其中正确结论的个数为________．7．(2015·苏北三市高三第二次调研考试)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b 的值是________．8．(2015·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2016，则z ＋10z的模等于________． 9．(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，则实数a 的取值范围为________________．10．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i i(i 为虚数单位)，则|z |＝______. 11．下列命题中正确的是________．①已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的充要条件；②当z 是非零实数时，|z ＋1z|≥2恒成立； ③复数z ＝(1－i)3的实部和虚部都是－2；④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z ＝－i.12．已知复数z ＝1－i 在复平面内对应的向量为O Z →，把OZ →按逆时针方向旋转θ得到一个新向量OZ 1→.若OZ 1→对应一个纯虚数z 1，则当θ取最小正角时，z 1＝________.13．若复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，z 1＋z 2是实数，则实数a ＝________. 14．已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射f ：C →R 满足对任意的z 1，z 2∈C ，以及任意的λ∈R ，都有f (λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf (z 1)＋(1－λ)f (z 2)，则称映射f 具有性质P ，给出如下映射：①f 1：C →R ，f 1(z )＝x －y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；②f 2：C →R ，f 2(z )＝x 2－y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；③f 3：C →R ，f 3(z )＝2x ＋y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．其中具有性质P 的映射为________．(写出所有满足条件的映射的序号)答案解析1．－342.一3.－74.3＋4i5.3 6．2解析当b ＝0时，a ＝1，此时z ＝1为实数，故①正确；当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，故②错误；z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2，故③正确．7．0解析 ∵(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，∴(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ＝10i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝0，4a ＋3b ＝10，∴3a －4b ＝0.8．6 2解析 z ＝i ＋i 2016＝1＋i ，z ＝1－i ， ∴z ＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝1－i ＋10×1－i 2＝6－6i ，其模为6 2.9．(－6，32) 解析 z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝(3－a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－2a 5－6＋a 5i ，因为z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，6＋a >0，解得－6<a <32. 10.17 11.②③ 12.2i解析因为旋转时复数的模不发生变化，又z ＝1－i 在复平面内对应的点在第四象限，所以复数z 1在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，所以z 1＝|1－i|i ＝2i.13．3解析 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i ， ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.14．①③解析设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则λz 1＋(1－λ)z 2＝[a λ＋c (1－λ)]＋[b λ＋d (1－λ)]i.对于①，f 1(λz 1＋(1－λ)z 2)＝[a λ＋c (1－λ)]－[b λ＋d (1－λ)]，而λf 1(z 1)＋(1－λ)f 1(z 2)＝λ(a －b )＋(1－λ)(c －d )＝[a λ＋c (1－λ)]－[b λ＋d (1－λ)]，∴f 1(λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)，所以f1具有性质P；对于②，f2(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]2－[bλ＋d(1－λ)]，而λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)＝λ(a2－b)＋(1－λ)(c2－d)，显然f2(λz1＋(1－λ)z2)与λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)不恒相等，所以f2不具有性质P；对于③，f3(λz1＋(1－λ)z2)＝2[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]，而λf3(z1)＋(1－λ)f3(z2)＝λ(2a＋b)＋(1－λ)(2c＋d)＝2[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]，∴f3(λz1＋(1－λ)z2)＝λf3(z1)＋(1－λ)f3(z2)，所以f3具有性质P，故具有性质P的映射的序号为①③.。

高考数学专题复习专题12 选修系列第81练几何证明选讲练习理(2021年最新整理)

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证明选讲练习理训练目标在初中平面几何的基础上进一步掌握有关平面几何证明的定理或方法．训练题型（1）证明三角形相似及相似三角形的性质;（2）圆的切线的判定与性质；（3）相交弦定理、切割线定理的应用．解题策略回忆初中学过的平面几何有关的定义、定理、推论等,理解高中新给出的结论，充分利用图形，解决相关问题.1.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点,AE的延长线交BC于F.（1)求错误!的值；(2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值．2.（2016·南京六校联考）如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O 的割线,已知AC＝AB.求证:FG∥AC.3。

(2016·南京、盐城一模)如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切,过点C作AB的垂线，垂足为D.若PA＝18，PC＝6，求线段CD的长．4.(2016·南通三模)如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P,AH⊥PB于H。

求证：PA·AH＝PC·HB.5。

（2016·南京、盐城一模）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D,AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD,BD。

1981年全国统一高考数学试卷(文科)

1981年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（8分）（1981•北京）化简：．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．1981年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分100分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（8分）（1981•北京）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果．解答：解：原式===．点评：本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．3．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．4．（10分）（1981•北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（﹣π，π）上的最大值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数f（x）的解析式提取，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期，得到（﹣π，π）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可．解答：解：f（x）=（sinxcos+cosxsin）=，所以f（x）以为振幅，以2π为周期，区间（﹣π，π）恰好是f（x）的一个周期的定义区间，故f（x）在区间上取得最大值．点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值．5．（10分）（1981•北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明．考点：正弦定理．专题：证明题．分析：先写出正弦定理，然后证明．先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以可得证．解答：解：．证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E．设△ABC的面积为S，则=；∴，将上式除以，得：．点评：本题主要考查正弦定理的证明．属基础题．6．（10分）（1981•北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，﹣1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；中点坐标公式．专题：计算题．分析：本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为﹣1，进行解题，联立方程，求解即可．解答：解：设AC中点为M（x，y），则有，∴M（x，y）=M（1，2）．又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为．故有直线BD的方程：，又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=10 （2）解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（﹣2，3）．（注：用复数法解亦可）点评：本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题．7．（17分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（15分）（1981•北京）ABCD﹣A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1，要证明截面ACB1⊥对角面DBB1D1，只需证明截面ACB1内的直线AC垂直对角面DBB1D1内的相交直线BB1、BD即可．解答：证明：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1如图，由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD；又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC，∴AC⊥对角面BB1D1D，已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D．点评：本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题．9．（18分）（1981•北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1﹣x2）2，（y﹣y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k．1（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得．解答：解：（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．解方程组：，得（2x+k）2=4x，即4x2+4（k﹣1）x+k2=0，故有x1+x2=1﹣k，x1x2=．∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．又因P1，P2在直线y=2x+k上，故（y1﹣y2）2=4（x1﹣x2）2=4（1﹣2k）．根据题设条件，即（1﹣2k）+4（1﹣2k）=45，解得：k=﹣4．（2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有．依题意得△PP1P2的面积关系：，即6=|2a﹣4|，∴a=5，a=﹣1．点评：“设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式l AB=|x1﹣x2|．。

高考数学总复习高效课时作业81 文新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业8-1 文新人教版一、选择题1．直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 解析：k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又k ＝tan α，0≤α≤π，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π.故选D. 答案：D2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：∵两条直线互相垂直，∴a (a ＋2)＝－1，∴a ＝－1，故选D.答案：D3．(湖北省八市2012年3月高三联考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：因为两直线平行，所以k ＝3或12＝4－k －2，解得k ＝3或k ＝5，故选C. 答案： C4．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.45D.53解析：设C (x ，y )，∵AC →＝2CB →，∴(x －7，y －1)＝2(1－x ，4－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，代入y ＝12ax 得： 3＝12a ×3，∴a ＝2.故应选A. 答案：A5．经过点P (1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：∵直线过点P (1，4)，代入后舍去A ，D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C ，选B.答案：B二、填空题6．(2011年浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．解析：∵两直线垂直，∴A 1A 2＋B 1B 2＝2－2m ＝0，∴m ＝1.答案：17．(2011年重庆)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．解析：圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，故所求直线过圆心(1，2)．其方程为y ＝2x .答案：y ＝2x8．(2011年湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k ，圆心(1，1)到直线y ＋2＝k (x ＋1)的距离为|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，即所求直线l 的斜率为1或177. 答案：1或1779．(2012年日照二模)若存在直线l 平行于直线3x －ky ＋6＝0，且l 与直线kx ＋y ＋1＝0垂直，则实数k ＝________．答案：0三、解答题10．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解析：(1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M (5＋x 02，y 0－22)， BC 中点N (7＋x 02，y 0＋32)． ∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5. ∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)．(2)∵M (0，－52)，N (1，0)， ∴直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(注意截距概念的运用和直线的图象特征．)(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．此时l 的方程为3x ＋y ＝0.当截距不为零时，有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)．它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0，即a ≤－1时，直线l 不经过第二象限．12．(2011年安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 12＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1. 而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 12＋2k 1k 2k 22＋k 12－2k 1k 2＝k 12＋k 22＋4k 12＋k 22＋4＝1. 此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二：l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0，从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x . 代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．。

1981高考数学全国卷及答案文

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A ∪B, 2.A ∩B. 解：1.A ∪B={实数},2.A ∩B=Φ二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-解：原式=2)(38b a b -三．（本题满分6分）在A 、B 、C 、D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P 42=12（种）所有可能的选举结果：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 、 BA 、CA 、DA 、CB 、DB 、DC2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果： ABC 、ABD 、ACD 、BCD四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx 在区间（-π，π）上的最大值解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以x f x f x f x x f ππππ-+= 五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答：.sin sin sin cCb B a A == 证：引AD 垂直BC 于D;引BE 垂直CA 的延长线于E 设△ABC 的面积为S ，则;sin 21)180sin(2121A bc A bc BE AC S =-︒=⋅=B ac AD BC S sin 2121=⋅=又 C ab AD BC S sin 2121=⋅= C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===∴将上式除以,21abc 得：.sin sin sin cCb B a A == 六．（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点A （0，-1）和C （2，5），求顶点B 和D 的坐标解：设AC 中点为M （x,y ）,则有)2,1(),(.2251,1220M y x M y x =∴=+-==+=又设AC 斜率为k ，则k=3因此得BD 的斜率为31=-k 故有直线BD 的方程：(1))1(312--=-x y 又以M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2) 10)2()1(22=-+-y xB a解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分15分）ABCD-A 1B 1C 1D 1为一正四棱柱，过A 、C 、B 1三点作一截面，求证：截面ACB 1⊥对角面DBB 1D 1证：设AC 、BD 交于O 点作截面ACB 1、对角面BB 1D 1D 以及它们的交线OB 1的图形由于AC 1是正四棱柱，所以ABCD 是正方形，故AC ⊥BD;又BB 1⊥底面ABCD ，故BB 1⊥AC ∴AC ⊥对角面BB 1D 1D已知AC 在截面ACB 1内，故有截面ACB 1⊥对角面BB 1D 1D九．（本题满分18分）1．设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得的弦长为53，求k 的值2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标解：设直线与抛物线的交点为P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).解方程组： x k x kx y x y 4)2(2422=+⎩⎨⎧+==得 D 1 C 1A C222121222121212221222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).(12)4(12)45,: 4.x k x k k x x k x x x x x x x x k k k P P y x k y y x x k k k k +-+=+=-=∴-=+-=--⋅=-=+-=-=-=-+-==-即故有又因在直线上故即解得2．设x 轴上一点P 的坐标为（a ,0）又点P 到直线P 1P 2的距离为h ，则有=h 依题意得△PP 1P 2的面积关系：.1,5|,42|6,5|42|53219-==∴-=-⋅⋅=a a a a 即。

1981年全国统一高考数学试卷理科

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。