八上小专题6求角思想方法(三)方程思想求角度(含答案)
2022八年级数学上册第十一章三角形方法专题思想方法在求角度或边长中的运用习题课件新人教版
∵∠BGO＝∠BAG＋∠ABG，
∴∠BGO－∠ACF＝∠BAG＋∠ABG－∠ACF＝2∠BAC＋∠ABG－∠BAC＝ 1
∠ABG＋∠BAC＝90°－2n°.
类型二 运用方程思想求角度或边长 3.三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于18，求三角形 的三边长. 解：依题意，设三角形的三边长为x－2，x，x＋2， ∴x－2＋x＋x＋2＜18，x－2＋x＞x＋2，即4＜x＜6. ∵x为整数， ∴x＝5， ∴三边长为3，5，7.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五上午11时18分23秒11:18:2322.3.11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午11时18分22.3.1111:18March 11, 2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月11日星期五11时18分23秒11:18:2311 March 2022
(3)若∠MON＝n°，过点C作直线CF，交AB于点F.若CF∥OA，求∠BGO－ ∠ACF的度数.(用含n的式子表示)
(2)在△AOB 中，∠OBA＋∠OAB＝180°－∠AOB＝180°－n°.
∵∠OBA，∠OAB 的平分线交于点 C，
1
1
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∴∠ABC＋∠BAC＝2(∠OBA＋∠OAB)＝2(180°－n°)，即∠ABC＋∠BAC＝90°－2n°，
∴∠ACB＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝180°－90°－12n°＝90°＋12n°， ∴∠ACG＝180°－90°＋12n°＝90°－12n°.
怎样借助数学思想求角的度数
数学篇求角度问题是初中几何中的常见问题.在具体求解时除了需运用角的平分线性质，角的和、差、倍、分等运算技巧以及一些基本图形的性质外，还需合理借助相应的数学思想，如分类讨论思想、转化思想、方程思想等来解题.下面举例进行分析说明.一、借助分类讨论思想求角的度数所谓分类讨论思想，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要根据不同的情况进行分类讨论，分析、综合结论，得到答案.在求角度时，若问题存在多种情形，就需要采用分类讨论思想，对每种情形加以具体讨论.进行分类讨论时需要注意两点：一是确保分类标准统一；二是讨论全面，确保不重、不漏.例1已知∠AOB =100°，∠BOC =60°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数.分析：本题没有图，作图时应考虑OC 落在∠AOB 的内部和外部两种情况.解：（1）如图1，当OC 落在∠AOB 的内部时，∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，∴∠AOM =12∠AOB =12×100°=50°，∠BON =12∠BOC =12×60°=30°，∴∠MON =∠AOB -∠AOM -∠BON =100°-50°-30°=20°；图1图2（2）如图2，当OC 落在∠AOB 的外部时，∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，∴∠BOM =12∠AOB =50°，∠BON =12∠BOC =30°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.评析：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，不能片面考虑一种情况从而造成漏解.尤其在解答无图几何题时一定要慎重，要利用分类的思想分析满足条件的图形有几种情形，确保解答的完整性.二、借助整体思想求角的度数整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.在求解与三角形有关的角度问题时，局部求解比较困难，就可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三个内角的和等于180等相关定理，运用整体思想求解，进而使问题化繁为简，化难为易.例2如图3，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，如果∠BDC =140°，∠BGC =110°，则∠A =______．图3图4分析：连接BC ，根据三角形内角和定理求出∠DBC +∠DCB =40°，∠GBC +∠GCB =70°，所怎样借助数学思想求角的度数浙江宁波孙乾解法荟萃31数学篇以∠GBD +∠GCD =30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG +∠ACG =30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A =80°．解：连接BC ，如图4，∵∠BDC =140°，∴∠DBC +∠DCB =180°-140°=40°，∵∠BGC =110°，∴∠GBC +∠GCB =180°-110°=70°，∴∠GBD +∠GCD =70°-40°=30°，∵BE 是∠ACG 的平分线，CF 是∠ACD的平分线，∴∠ABG +∠ACG =∠GBD +∠GCD =30°，在ΔABC 中，∠A =180°-40°-30°-30°=80°．故答案为：80°．评析：整体代换是一种重要的解题策略.在解题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个的对象作为一个整体来考虑.在解答本题过程中多次运用了整体思想，才使问题顺利得解．三、借助转化思想求角的度数转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解答的一种思想方法.在求解角度问题中运用转化思想可将题干中的条件、结论转化，从而将分散的条件适当集中，使线段与线段，角与角，形与形之间建立联系.例3在小学阶段我们已经掌握了三角形内角性质：三角形的三个内角之和等于180°，如图5所示，△ABC 的内角和∠1+∠2+∠3=180°，请回答下列问题：图5图6(1）对于图6中的四边形ABCD ，其内角和∠1+∠2+∠3+∠4=_______；(2）平角等于180°，试求图5中∠4+∠5+∠6的大小，以及图6中∠5+∠6+∠7+∠8的大小.分析：题目初始引出了三角形的内角和知识，实则是引导同学们运用该知识进行角度之和问题的转化.计算角度之和常用的方法有两种：一是直接将多角之和转化为一角，然后计算该角的大小；二是结合等角转化，将所求角度转化为相关角之间的数量关系，即等角代换.解：(1）已知三角形的内角和为180°，则可以通过添加辅助线，将四边形ABCD 转化为两个三角形，连接AC ，显然四边形的内角和等于两个三角形内角和的叠加，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°×2=360°.(2）根据平角定义可知：图5中，∠4+∠5+∠6=180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3=540°-（∠1+∠2+∠3)=360°；图6中，∠5+∠6+∠7+∠8=180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3+180°-∠4=720°-（∠1+∠2+∠3+∠4)=360°.评析：在上面的解题过程中，计算图形中的角度之和，采用了恒等代换的策略，将所求角度之和转化为关联角的和差关系，进而利用三角形内角和等相关知识来解答.四、借助方程思想求角的度数方程思想就是将数学问题中的数量关系，运用数学语言转化为方程模型，即将问题中的已知量与未知量转化为一元一次方程或二元一次方程组，从而求解问题.在求解几何角度问题时，可以根据三角形内角和、外角和以及三角形内角与外角的关系构建关于几何角的方程.例4如图7所示，D 和E 分别是△ABC 解法荟萃32的边BC 、AC 上的点，已知∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∠BAD =30°，试求∠EDC 的度数.图7分析：题目所示图形存在多个三角形，题干给出了相应的角度关系，可利用方程思想，设出其中的未知角，根据其中的内角和、外角和构建方程，从而确定角度.解：设∠EDC =x ，∠B =∠C =y .∵∠ADC 为△ABD 的外角，由外角性质可知∠ADC =∠B +∠BAD =y +30°.由∠AED 为△CDE 的外角，得∠ADE =∠AED =∠EDC +∠C =x +y .由于∠ADC =∠ADE +∠EDC ，则y +30°=x +y +x ，解得x =15°，所以∠EDC =15°.评析：上述解法充分利用了方程思想，设出未知角，根据三角形外角性质，以及几何等量关系构建方程.方程思想是中学数学中的重要思想，不仅适用于常规的代数问题，在求解线段、角度问题中同样有着重要作用.上期《〈不等式与不等式组〉巩固练习》参考答案套，B 种型号健身器材y 套，依题意得：ìíîx +y =50,300x +400y =16000,解得：ìíîx =40,y =10.答：购买A 种型号健身器材40套，B 种型号健身器材10套．（2）设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号健身器材(50-m )套，依题意得：300m +400(50-m )≤18050,解得：m ≥19.5,又∵m 为整数，∴m 的最小值为20．答：A 种型号健身器材至少要购买20套.上期《〈锐角三角函数〉拓展精练》参考答案；3.A ；4.A ；5.33+3或33-3；6.2.4；7.；8.256；9.（1）BC 的长为7；（2）∠ACB 的正切值为6.10.解：（1）由题意得：∠CAE =15°,AB =30（米），∵∠CBE 是ΔABC 的一个外角，∴∠ACB =∠CBE -∠CAE =15°,∴∠ACB =∠CAE =15°，∴AB =BC =30（米），∴斜坡BC 的长为30（米）；（2）在RtΔCBE 中，∠DBE =53°，BC =30（米），∴CE =12BC =15（米)，BE =3CE =153（米），解法荟萃。
八年级数学上册 角的相关计算和证明(讲义及答案)(人教版)
角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDBAG FE DBA第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DCBAG FEDCBA第4题图 第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FCBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，EDC BA在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知）∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE=∠PBC+∠P （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）∴2β=2α+2∠P（等式的性质）∴∠A=2∠P （等式的性质）11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180° （等量代换）∴1902∠Aαβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）∴1902D A∠=︒+∠（等式的性质）。
专题3.利用方程思想求角度 学案
专题三运用方程思想求角度主编：衡荣月【预习归纳】1．三角形的内角和为 .2．三角形的外角和为 .3．三角形外角的性质定理：三角形的外角等于与它的两个内角；三角形的外角与它不相邻的任何一个内角.4．如图凹四边形ABCD，∠BAD= .5．多边形的内角和公式：n边形内角和等于 . 6．多边形的外角和等于 .7．从n边形（n>3）的一个顶点出发，可以引条对角线，所以一个n边形共有条对角线.【典例精析】知识点一:设一个元，利用三角形的内角和建立等量关系.例1：在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B，则∠A的度数是多少？针对训练：1.已知三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，求三角形各内角的度数。
例2：如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。
针对训练：2.如图，△ABC中，∠BAC:∠C=6:5,∠C比∠ABC小20°，BE，AD是△ABC的高，交点为H，求∠DHB的度数.知识点二：设两个元，设而不求例3：如图，在△ABC中，D，E是边BC上两点，∠BAE=∠AEB，∠CAD=∠ADC，∠DAE=20°，求∠BAC 的度数。
针对训练：3.如图在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD ⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，求∠BEA的度数。
【课堂小练习】1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3:4:5，则∠C的度数是（）A.45°B.50°C.60°D.75°2.已知一个正多边形的周长是63，且内角和是1260°，则它的边长是（）A.3B.7C.9D.213.如果等腰三角形两外角比为3:2，则顶角为 .（提示：等腰三角形的两底角相等）4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE. （提示：等腰三角形的两底角相等）（1）求∠A的度数；（2）DE与AC的位置关系5.如图，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠CDE=18°，求∠BAD的度数.。
专题01 运用数学思想求角度-透析人教版数学八年级上册重点题型
专题一运用数学思想求角度一、分类讨论思想在数学中，当所求解的问题存在多种情况，我们又不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得到各种情况下的结论，这种处理问题的方法就是分类讨论的思想方法．应用分类讨论思想方法解题的关键是要按照一定的标准，把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地进行分类．二、方程思想方程思想方法就是指把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程（组），从而达到解决数学问题的一种思维方法．在求有关三角形的角度、边数及边的长度等方面有重要作用．涉及应用多边形的内角和或外角和求边数问题时，一般情况下都是由内角和或外角和列出一元一次方程来求解，充分体现了方程思想．三、整体思想整体思想是中学数学中的一种重要思想方法，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解，各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清浙，演算简单，复杂问题迎刃而解．四、转化思想通过对条件的转化、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已知，最终求得问题的解答，这个过程体现了转化的思想方法．可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，达到解决原问题的目的．一、分类讨论思想求角度【例1】如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】n边形的内角和是（n-2）·180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故答案为：540°或360°或180°． 二、方程思想求角度【例2】如图，AD 平分∠BAC ，∠EAD =∠EDA ． （1）∠EAC 与∠B 相等吗？为什么？（2）若50B ∠=︒，13CAD E ∠∠=∶∶，则E ∠=__________．【解析】（1）相等．理由如下： ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ． 又∵∠EAD =∠EDA ，∴∠EAC =∠EAD -∠CAD =∠EDA -∠BAD =∠B ．三、整体思想求角度【例3】如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于A ．135°B ．150°C ．270°D ．90°【答案】C【解析】如图所示，∵∠C=90°，∴∠CEF+∠CFE=90°．∵∠1、∠2分别是△CEF的外角，∴∠1=∠C+ ∠CFE，∠2=∠C+∠CEF，∴∠1+∠2=∠C+∠CFE+∠C+∠CEF=90°+90°+90°=270°．故选C．四、转化思想求角度【例4】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为A．80°B．70°C．85°D．75°【答案】A【解析】如图，∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，∴∠4=∠3+∠B=100°，∵a∥b，∴∠5=∠4=100°，∴∠2=180°-∠5=80°，故选A．1．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=80°，则∠1＋∠2=A．35°B．70°C．90°D．120°2．如图，在△ABC中，∠DBC=13∠ABC，∠DCB=13∠ACB，∠A=45°，则∠BDC=__________．3．一个多边形，它所有的内角与一个外角的和为1700°，求这个多边形的边数与这一个外角的度数．4．画∠A，在∠A的两边上分别取点B、C，在∠A的内部取一点P，连接PB、PC．探索∠BPC与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论．5．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．（1）如图1，连接CE，①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．1．【答案】B【解析】根据三角形外角的性质可得：∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+∠6=360°，即∠1+60°+∠2+90°+80°+60°= 360°，解得∠1+∠2=70°，故选B．2．【答案】135°【解析】∵∠A=45°，∴∠ABC+∠ACB=135°，∴∠DBC+∠DCB=13（∠ABC+∠ACB）=45，∴∠BDC=135°．故答案为：135°．3．【解析】设边数为n，这个外角为x度，则0<x<180°．根据题意得：（n-2）·180°+x=1700°，即（n-2）·180°+x=9×180°+80°，∵0<x<180°，∴x=80°，n-2=9，∴x=80°，n=11．∴这个多边形的边数为11，这一个外角的度数为80°．（2）如图2，∵四边形的内角和是360°，∴∠BPC+∠A＋∠ABP＋∠ACP=360°，即∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP；（3）如图3，延长CP交AB于D，∵∠BPC=∠ABP+∠PDB，∠PDB=∠A+∠ACP，∴∠BPC=∠A＋∠ABP＋∠ACP.综上所述，∠BPC与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系存在以下三种情况：∠BPC=∠A＋∠ABP＋∠ACP=180°；∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP；∠BPC=∠A＋∠ABP＋∠ACP．5．【解析】（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=80°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=40°，∵CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE=40°；（2）①如图1，当CE⊥BC时，∵∠CBE=40°，∴∠BEC=50°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=40°，∴∠BEC=90°+40°=130°，③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，∴∠BEC=180°-40°-40°-90°=10°．。
八年级数学上册三角形专项训练 求角度 含解析
八年级数学上册三角形专项训练运用知识求角度一．选择题1．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（）A．45°B．60°C．30°D．90°2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最大角必大于（）A．70°B．60°C．80°D．90°3．将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝50°，则∠E的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°5．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P ＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．如图，△ABC纸片中，∠A＝56°，∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD、则∠EDB的度数为（）A．76°B．74°C．72°D．70°7．如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360°B．300°C．180°D．240°二．填空题8．如图所示，已知点D是AB上的一点，点E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝50°，∠ACD＝40°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为度．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝．10．如图，平面内五点A、B、C、D、E连接成“五角星型”，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝度．11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，D是AB上的点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A 恰好落在BC上的点E处，则∠BDE＝12．如图，在△ABC中，∠ABC的内角平分线延长后与∠ACB的外角平分线相交于点P．已知∠A＝60°，则∠P等于度．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．14．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B＝67°，∠ACB＝75°，∠AED＝50°，求∠BDF的度数．15．如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD 的度数．16．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P．（1）∠APD的度数为；（2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．17．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝30°，∠ABE ＝25°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFD的度数．18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交AC于点F，若∠C＝70°，∠BAC＝58°．（1）求∠ABE的度数；（2）求∠ADF的度数．19．如图1，在△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，且交BC的延长线于D．（1）若∠ACB＝50°，∠D＝15°，求∠B．（2）试探索∠ACB与∠B及∠D的关系；（3）如图2，在△ABC中，AF是△ABC外角∠EAB的平分线，AF的反向延长线交CB的延长线于D，∠ACB与∠B及∠D的关系依然成立吗？20．如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．（1）当∠A＝40°时，分别求∠D和∠P的度数．（2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：根据三角形的内角和是180°，知若三角形的三个内角相等，则每一个角是60°．若三角形的三个内角互不相等，则它的最大角必，小于60°．故选：B．2．解：根据三角形的内角和是180°，知若三角形的三个内角相等，则每一个角是60°．若三角形的三个内角互不相等，则它的最大角必大于60°．故选：B．3．解：∵图中是一副直角三角板，∴∠A＝30°，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝135°，∴α＝30°+135°＝165°．故选：A．4．解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝50°，∴∠C＝360﹣90﹣90﹣50＝130°，∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，∴∠CDE＝∠CBE＝45°，∴∠E＝130﹣45﹣45＝40°故选：C．5．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，故选：B．6．解：∵∠A＝56°，∠C＝88°，∴∠ABC＝180°﹣56°﹣88°＝36°，∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，∴∠CBD＝∠DBE＝18°，∠C＝∠DEB＝88°，∴∠EDB＝180°﹣18°﹣88°＝74°．故选：B．7．解：∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°．故选：C．二．填空题8．解：∵∠A＝50°，∠ABE＝28°，∠BEC为△ABE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝78°，∠ACD＝40°，根据三角形内角和定理可得，∠CFE＝180°﹣∠ACD﹣∠BEC＝62°．9．解：延长CH交AB于点F，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．10．解：如图，∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180．11．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°，由翻转变换的性质可知，∠DEC＝∠A＝52°，∴∠BDE＝∠DEC﹣∠B＝14°，故答案为：14．12．解：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，∴2∠P+2∠PBC＝∠ABC+∠A，∴2∠P＝∠A，即∠P＝∠A．∵∠A＝60°，∴∠P＝30°．故答案为：30．三．解答题13．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．因为∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．14．解：因为∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣67°﹣75°＝38°，因为∠BDF＝∠A+∠AED，所以∠BDF＝38°+50°＝88°．15．解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．16．解：（1）∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°．∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°；故答案为45°．（2）∵∠BDC＝58°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠BAP＝∠APD﹣∠ABD＝45°﹣32°＝13°．17．解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＝70°+30°＝100°；（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝180°，∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE，＝180°﹣100°﹣25°，＝55°．18．解：（1）∵∠C＝70°，∠BAC＝58°，∴∠ABC＝52°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝26°．（2）∵AD是BC边上的高，∴∠BED＝90°﹣26°＝64°，又∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠BED＝64°．19．解：（1）∵∠ACB＝50°，∠D＝15°，∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝35°，∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD＝35°，∴∠B＝∠EAD﹣∠D＝20°；（2）∵∠CAD＝∠ACB﹣∠D，∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD＝∠ACB﹣∠D，∴∠B＝∠ACB﹣∠D﹣∠D＝∠ACB﹣2∠D；（3）∵∠ACB＝∠D+∠DAC，∵∠DAC＝∠F AE，∴∠ACB＝∠D+∠F AE，∵AF平分∠EAB，∴∠F AB＝∠F AE，∴∠ACB＝∠D+∠F AB，∵∠F AB＝∠D+∠B，∴∠ACB＝∠D+∠D+∠B，∴∠B＝∠ACB﹣2∠D．20．解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+20°＝110°；∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，∴∠CBP＝∠CBE，∠BCP＝∠BCF，∴∠CBP+∠BCP＝∠CBE+∠BCF＝（∠CBE+∠BCF）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A），∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣×40°＝70°．（2）∠D+∠P的值不变．∵由（1）知∠D＝90°+∠A，∠P＝90°﹣∠A，∴∠D+∠P＝180°．。
初二数学上册综合算式专项练习解三角形的边长角度问题
初二数学上册综合算式专项练习解三角形的边长角度问题三角形是初中数学中非常重要的一个几何形状。
在解决三角形问题时，我们需要了解三角形的边长和角度之间的关系。
本文将介绍初二数学上册综合算式专项练习中涉及解三角形边长和角度问题的方法。
1. 三角形的三个角度：在三角形中，有一个重要的性质是三角形内角的和始终为180度。
具体而言，设三角形的三个内角分别为A、B和C，那么有以下等式成立：A +B +C = 180度2. 利用正弦定理解决边长问题：正弦定理是解决三角形边长问题的一个常用工具。
对于任意三角形ABC，我们可以根据正弦定理得出以下关系式：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形ABC的三条边的长度，A、B、C 表示对应的角度。
利用正弦定理，我们可以解决一些给定边长和角度的三角形问题。
例如，如果已知三角形的两边长度a和b，以及它们对应的夹角C，我们可以通过以下公式计算出第三边c的长度：c = sqrt(a^2 + b^2 - 2abcosC)，其中sqrt表示开平方根3. 利用余弦定理解决边长问题：余弦定理也是解决三角形边长问题的常用方法。
对于任意三角形ABC，根据余弦定理可得：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC利用余弦定理，我们可以解决一些给定边长和角度的三角形问题。
例如，已知三角形两边的长度a和b，以及它们对应的夹角C，我们可以通过以下公式计算第三边c的长度：c = sqrt(a^2 + b^2 + 2abcosC)4. 利用正弦、余弦、正切函数解决角度问题：在解决三角形角度问题时，我们可以利用三角函数（正弦、余弦、正切）来求解。
具体来说，我们可以使用以下公式：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = sinA/cosA根据这些公式，我们可以计算出三角形中的某个角的正弦、余弦、正切值，从而求解角度大小。
5. 综合练习：基于上述方法，我们可以进行一些综合练习，以加深对三角形边长和角度问题的理解和掌握。
数学人教版八年级上册方程思想解决角度问题
课题：用方程思想解决角度计算问题[学习目标]1、能灵活应用平行线的性质、三角形内角和、三角形外角定理；2、在等角较多的条件下，会设、会列、会消元，从而求出某些角之间的关系。
[合作探究] 探究一：【阅读材料1】：一束光线照在平面镜上，满足入射角等于反射角，也就是说，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角。
【阅读材料2】：如图一，光线AB 经过平面镜MP 反射到BC ，再经过平面镜PN 反射到CD 。
(1)判断∠1、∠2、∠P 之间的关系；(2)当平面镜PM 、PN 的夹角为多少度时，光线AB 、CD 平行。
【现学现用】：如图二，⊿ABC 中，∠B=∠C ，D 为BC 上一点，E 为AB 上一点，且∠ADE=∠AED ，判断∠CAD 、∠EDB 之间的关系，并说明理由。
图二【想一想】：回顾以上两题，思考下列问题：1、这种新方法的特点是什么？2、能运用这种方法解的题，有什么特点？图一NPE D CBA3、以上两题，列角度之间的关系式时，用到了什么定理？探究二：1、分别探究图1、图2中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的关系，并给予证明。
2、利用以上结论，研究下列问题：（1）如图3，PB 、PC 分别为∠ABD 、∠ACD 的平分线，判断∠A 、∠D 、∠P 之间的关系，并说明理由。
（2）如图4，PA 、PD 分别为∠BAC 、∠BDC 的平分线，判断∠B 、∠C 、∠P 之间的关系， 并说明理由。
DCBADCBA图2图1PDCBA图3P DCBA图4（3）如图5，PB 、PD 分别为∠ABC 、∠ADC 的平分线，判断∠A 、∠C 、∠P 之间的关系，并说明理由。
【课堂小结】：谈谈你这节课的收获或者困惑。
课 外 作 业1、解答下列系列问题：（1）若PB 、PC 分别为⊿ABC 的两内角的平分线，判断∠A 、∠P 之间的关系，并说明理由。
（2）若PB 、PC 分别为⊿ABC 的两外角的平分线，判断∠A 、∠P 之间的关系，并说明理由。
小专题求角度的几种数学思想方法人教版八年级数学上册作业课件
小专题求角度的几种数学思想方法人 教版八 年级数 学上册 作业课 件
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类型 4：整体思想 7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC.
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如图②，若△ABC 是钝角三角形，∵BD 是高， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－50°＝40°.∵CE 是高，∴∠BHC＝ 90°－∠ABD＝90°－40°＝50°. 综上所述，∠BHC 的度数是 130°或 50°.
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解：由(3)可知 ∠BDC＝∠A ＋∠B＋∠C ＝90°＋21°＋20° ＝131°， 而量得∠BDC＝130°， ∵130°≠131°， ∴不合格．
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小专题求角度的几种数学思想方法人 教版八 年级数 学上册 作业课 件
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期(期末考试总复习)精品专题3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一 已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形2．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ＝75°，则∠C ＝________.3．在△ABC 中，∠A ＝3∠B ，∠A －∠C ＝30°，则∠A ＝________°，∠C ＝________°.4．如图，已知在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．◆类型二 综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B ＝20°，∠A ＝∠C ＝40°，则∠CDE 的度数为()A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°6．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B ＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD 平分∠BAC ，∠EAD ＝∠EDA .(1)求证：∠EAC ＝∠B ；(2)若∠B ＝50°，∠CAD ∶∠E ＝1∶3，求∠E 的度数．◆类型三 在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b ，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C .在△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝________，∠XBC ＋∠XCB ＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC 相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内部C ′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90 604．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在△BDC 中，∠DBC ＝180°－90°－∠C ＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B ＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B .(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，即3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．D 9.C 10.C11．解：(1)150° 90°(2)不变化．因为∠A ＝30°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝150°.因为∠X ＝90°，所以∠XBC ＋∠XCB ＝90°，所以∠ABX ＋∠ACX ＝(∠ABC －∠XBC )＋(∠ACB －∠XCB )＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠XBC ＋∠XCB )＝150°－90°＝60°.12．C 13.70° 14.C15．C 解析：因为∠1＝180°－∠AMN ，∠2＝180°－∠ANM ，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN )．又因为∠ANM ＋∠AMN ＝180°－∠A ＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40° 解析：由折叠的性质得∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE .因为∠1＋∠A ′EA ＝180°，∠2＋∠A ′DA ＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED ＋2∠ADE ＝360°，所以∠AED ＋∠ADE ＝140°，所以∠A ＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF.＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°。
人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳
AB＝AC
即∠QAB＝∠PAC
∴△AQB≌△APC
另由旋转得AQ＝AP
∴BQ＝CP
三、翻折
如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的， 若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.
A
E
D
1
2
B
C
在求三角形内外角时，经常遇到与直角三角形、平行线、折叠相关的 问题，此时需要根据直角三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质推导 出与三角形相关的角，再根据三角形内角和定理、外角性质得出相关的角 的度数.
三角形全等证明的解题思路⑴
AD
BE
CF
AD
C
B
B
C
E
D
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等 图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于 证明三角形全等.
⑵∠A＝80°，∠B＝∠C；
解: ⑵设∠B＝x°,则∠C＝x°, 根据三角形内角和定理得80＋x＋x＝180, 解得x＝50,所以∠B＝∠C＝50°.
例 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未 知角的度数.
⑶∠A:∠B:∠C＝2:3:4
解:⑶因为∠A＋∠B＋∠C＝180°, 所以∠A＝180°× 2 ＝40°, 234 ∠B＝180°× 3 ＝60°, 234 ∠C＝180°× 4 ＝80°. 234
⑴求证：MB＝MD，ME＝MF； ⑵当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若 成立，请说明你的理由.
B
B
A E MF C A
方程思想求角度专题 - 教师版
方程思想求角度专题1．在△ABC 中，已知∠A +∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 或∠C 的度数．【答案】解：设A x ∠=︒，B y ∠=︒，C z ∠=︒，由题意得：180802x y z x y z y ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩， 解得3050100x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则30A ∠=︒，50B ∠=︒，100C ∠=︒．2．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，求∠DAC 的度数．【答案】解：312∠=∠+∠Q ，34∠=∠，12∠=∠，63BAC ∠=︒，41222∴∠=∠+∠=∠，24180BAC ∠+∠+∠=︒Q ，即3263180∠+︒=︒，239∴∠=︒，1633924DAC BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．3．如图，等腰△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，BD 为AC 边上的高．（1）求证：12DBC A =∠∠； （2）若∠A 为钝角，其它条件不变，画图证明上述结论是否成立；（3）若∠ABD ＝60°，求∠ABC 的度数．【答案】解：（1）ABC ACB ∠=∠Q ， 1(180)2C A ∴∠=︒-∠， BD AC ⊥Q ，90C DBC ∴∠=︒-∠，∴1(180)902A DBC ︒-∠=︒-∠，12DBC A ∴∠=∠； （2）上述结论成立，如图， BD AC ⊥Q ，90ADB ∴∠=︒，90C DBC ∴∠=︒-∠，ABC C ∠=∠Q ，1(180)2C A ∴∠=︒-∠， ∴1(180)902A DBC ︒-∠=︒-∠， 12DBC A ∴∠=∠； （3）60ABD ∠=︒Q ，30A ∴∠=︒，()118030752ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒．4．如图在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求∠A 的度数．【答案】 解：设A x ∠=︒．BD AD =Q ，A ABD x ∴∠=∠=︒，2BDC A ABD x ∠=∠+∠=︒，BD BC =Q ，2BDC BCD x ∴∠=∠=︒，AB AC =Q ，2ABC BCD x ∴∠=∠=︒，在ABC ∆中22180x x x ++=，解得：36x =，36A ∴∠=︒．5．在ABC △中，AB AD DC ==，12BAD C ∠=∠，求B ∠和BAC ∠的度数．【答案】设BAD x ∠=，则2C x ∠=，2DAC x ∠=，4ABD ADB x ∠=∠=， 在ABC △中，423180x x x ++=︒，解得20x =︒，∴80B ∠=︒，60BAC ∠=︒6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC ，AD ＝DE ＝BE ．（1）求∠A 的度数；（2）DE 与AC 的位置关系是 ．【答案】（1）依题意可设EBD EDB x ∠=∠=，则2A AED x ∠=∠=，3BDC ABC C x ∠=∠=∠= 在ABC △中，233180x x x ++=︒，解得22.5x =︒∴245A x ∠==︒（2）DE AC ⊥ DB。
八年级数学上册 3 方法技巧专题 三角形中有关角度的计算习题 (新版)湘教版
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为( )A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC 的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )A．60° B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(xx－xx·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )A．75° B．90° C．105° D．120°10．(xx－xx·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于( )A．60° B．25°C．35° D．45°第12题图第13题图13．(xx·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC 相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于( )A．42° B．66°C．69° D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为( )A．120° B．180°C．240° D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内部C ′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90 604．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在△BDC 中，∠DBC ＝180°－90°－∠C ＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B ＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC 的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B .(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，即3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．D 9.C 10.C11．解：(1)150° 90°(2)不变化．因为∠A ＝30°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝150°.因为∠X ＝90°，所以∠XBC ＋∠XCB ＝90°，所以∠ABX ＋∠ACX ＝(∠ABC －∠XBC )＋(∠ACB －∠XCB )＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠XBC ＋∠XCB )＝150°－90°＝60°.12．C 13.70° 14.C15．C 解析：因为∠1＝180°－∠AMN ，∠2＝180°－∠ANM ，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN )．又因为∠ANM ＋∠AMN ＝180°－∠A ＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40° 解析：由折叠的性质得∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE .因为∠1＋∠A ′EA ＝180°，∠2＋∠A ′DA ＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED ＋2∠ADE ＝360°，所以∠AED ＋∠ADE ＝140°，所以∠A ＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A ＝65°，∠B ＝75°，所以∠CEF ＋∠CFE ＝∠A ＋∠B ＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE ＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF ＋∠CFE ＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。