最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆柱面的截线》课后导练
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计 (2)
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计
知识框架
•二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线
•二平面与圆柱面的基本概念和性质
•二平面与圆柱面的截线
教学目标
1.理解二平面与圆柱面的基本概念和性质；
2.能够判定二次曲线与球、椭球面、双曲面、抛物面和圆柱面的位置关
系；
3.学会求解二平面与圆柱面的截线方程；
4.掌握借助图像解决有关问题的方法。
教学重点
•二平面与圆柱面的基本概念和性质；
•二平面与圆柱面的截线方程。
教学难点
•如何求解二平面与圆柱面的截线方程。
教学方法
•讲授法；
•示范法；
•互动探讨法。
1。
高中数学人教A版选修4-1学案第3讲 1 2 3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 Word版含解析
一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线．了解平行射影的含义，体会平行射影．．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)．会用双球证明定理、定理.(难点)[基础·初探]教材整理射影阅读教材～，完成下列问题．．正射影给定一个平面α，从一点作平面α的垂线，垂足为点′，称点′为点在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．．平行射影设直线与平面α相交(如图--)，称直线的方向为投影方向．过点作平行于的直线(称为投影线)必交α于一点′，称点′为沿的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图--下列说法正确的是( )．平行射影是正射影．正射影是平行射影．同一个图形的平行射影和正射影相同．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，不正确；只有正确．【答案】教材整理两个定理阅读教材～，完成下列问题．．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．．两个定理定理：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理：在空间中，取直线为轴，直线′与相交于点，夹角为α，′围绕旋转得到以为顶点，′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴的交角为β(当π与平行时，记β＝)，则()β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；()β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；()β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是( )。
高中数学人教A版选修4-1同步辅导与检测3.2平面与圆柱面的截线
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
8．已知圆柱面准线的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面 与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球， 并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离． 解析：设截割圆柱的平面为δ，与 δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分 别为C1、C2，切点分别为F1、F2.如图
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线
椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两
2r 焦球球心距离为 =8 3 . sin 60
截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率
1 e=cos 60= . 2
5 cm. 2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm. 将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)， 则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长． l 5π 由于 AB= = cm，BC=AD=5 cm， 2 2 25π 2 5 π 2 4 cm. 25 = ∴AC= 4 2 答案：B
3.2 平面与圆柱面的截线
1．理解圆柱面的概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______． 如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于 圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的 内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一 公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
数学人教A版选修4-1课后训练第三讲二平面与圆柱面的截线 Word版含解析
平面与圆柱面的截线练习
如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )
．倍．倍
．倍．倍
一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截，截口椭圆具有( )
．相同的长轴．相同的焦点
．相同的准线．相同的离心率
如图所示，过作⊥，△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
．．
．．
已知圆柱的底面半径为，平面α与圆柱母线的夹角为°，则它们截口椭圆的焦距是( )
．．．．
(能力拔高题)如图所示，已知为左顶点，是左焦点，交的延长线于点，，在椭圆上，有⊥于，⊥，则椭圆的离心率是①；②；③；
④；⑤.
其中正确的是( )
．①② ．①③④
．②③⑤ ．①②③④⑤
已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为°，此曲线是，它的离心率为．
已知椭圆两条准线间的距离为，离心率为，则球的半径是．
已知圆柱底面半径为，平面π与圆柱母线的夹角为°，在圆柱与平面交线上有一点到一准线的距离是，则点到另一准线对应的焦点的距离是．
如图所示，已知∶＝∶，＝，＝，求.
参考答案
答案：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，，，由已知，得，即＝，故两条准线间的距离为＝.
答案：因为底面半径大小不等，所以长轴不同.
嵌入的球不同，则焦点不同，准线也不同，
而平面与圆柱的母线夹角相同，故离心率相同.
答案：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，，.
∵△是等腰直角三角形，
∴＝＝，＝.
由椭圆的定义，得＋＝，
∴.
答案：如图，过点作⊥，为垂足，则.
在△中，
×，。
人教版数学高二A版选修4-1课后导练第三讲第一节平行射影
课后导练基础达标1.下列结论中正确的是( )①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的射影不可能是圆②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形③两条平行线段之比等于它们的平行射影之比④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然A.①②B.②③C.③④D.②③④解析:∵平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了.∴①是错误的,④是正确的.∵平行线的平行射影仍然是平行线,∴平行四边形平行射影仍然是平行四边形,故②正确.③正确.证明见类题演练1.答案:D综合运用2.证明三角形的中线的平行射影仍然是该三角形平行射影的中线.已知:如图3-1-6,△ABC及其中线AD在平面α上的平行射影分别是△A′B′C′和A′D′.求证:A′D′为△A′B′C′的中线.图3-1-6证明:连结BB′,DD′,CC′,则BB′∥DD′∥CC′.∵D是BC中点,∴D′是B′C′中点.∴A′D′仍是△A′B′C′的中线.拓展探究3.证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.思路分析:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.证明:(1)如图3-1-7,△A1B1C1与△A2B2C2和△A1′B1′C1′、△A2′B2′C2′各有两对对应顶点A1和A1′,B1和B1′,A2和A2′,B2和B2′重合,在两平面的交线g上.图3-1-7∵C1与C1′,C2与C2′是射影对应点,∴C1C1′∥C2C2′.由这些点向对应轴直线g 作垂线C 1H 1,C 1′H 1′,C 2H 2,C 2′H 2′.设C 1C 2与C 1′C 2′相交于直线g 上一点x,由相似三角形得2211H C H C =x C x C 21,''''2211H C H C =xC x C ''21. ∵C 1C 1′∥C 2C 2′,∴x C x C 21=x C x C ''21=''2211C C C C =k 时, 2211H C H C =''''2211H C H C =k. 又∵△A 1B 1C 1与△A 1′B 1′C 1′同底,△A 2B 2C 2与△A 2′B 2′C 2′同底,∴''''''222111222111C B A C B A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=或''''''222222111111C B A C B A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆==k,其中k 为常数.(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.图3-1-8在△A 1B 1C 1与其射影A 1′B 1′C 1′中,三对对应边相交于对应轴g 上.由(1)中结论知:yxC yxC S S '11∆∆=k,即yx C S 1∆=k yx C S '1∆. yzA yzA S S '11∆∆=k,即yz A S 1∆=k yz A S '1∆. xzB xzB S S '11∆∆=k,即xz B S 1∆=k xz B S '1∆.∴111C B A S ∆=yx C S 1∆+xz B S 1∆-yz A S 1∆=k yx C S '1∆+k xz B S '1-k yz A S '1∆=k(yx C S '1∆+xz B S '1∆-yz A S '1∆)=k '''111C B A S ∆.∴'''111111C B A C B A S S ∆∆=k.同理,'''222222C B A C B A S S ∆∆=k, ∴''''''222222111111C B A C B A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=.备选习题4.已知平面α、β相交于直线g,△ABC及点P在平面α上,P′是P在β上的射影.求作△ABC 在平面β上与P1P′投影方向相同的射影.图3-1-9作法:(1)连结PP′.(2)作直线PA交直线g于x.(3)连结P′x.(4)过A作AA′∥PP′交直线P′x于A′,则A′为A的射影.(5)同法作出B、C的射影B′、C′.(6)连结A′B′,A′C′,B′C′.则△A′B′C′即为△ABC的平行射影.。
最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆锥面的截线》温故知新
三平面与圆锥面的截线
温故知新
新知预习
1.在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于点O,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=0),则
(1)β>α,平面π与圆锥的交线为;
(2)β=α,平面π与圆锥的交线为;
(3)β<α,平面π与圆锥的交线为.
2.双曲线上任意一点到两定点距离为常数.
知识回顾
1.类比的思想.
2.分类讨论的思想.
当面临的问题不宜用一种方法处理或不宜用同一种形式叙述时,就把问题按照一定的原则或标准分为若干类,然后逐个进行讨论,再把这几类的结论汇总得出问题的答案,这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.。
数学人教A版选修4-1学案：课前导引 第三讲第二节平面
第二节 平面与圆柱面的截线
课前导引
情景导入
圆柱底面圆沿母线方向在斜截平面的平行投影,可以看作该平面与圆柱面的截线,直观上看是一个椭圆.果真是椭圆吗?
知识预览
1.椭圆的定义
平面上到两个定点(焦点)的距离之和等于定长(长轴长2a)的点的轨迹叫做椭圆.
2.定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
3.椭圆的性质
(1)如果长轴为2a,短轴为2b,那么2c=2a 2-b 2.
(2)准线:底面与截面的交线.
(3)离心率:e=cosφ=a
c ,其中φ是截面与母线的夹角. 5.Dandlin 双球是证明椭圆和探究性质的关键.
Dandlin 双球与截平面的切点是椭圆焦点.
Dandlin 双球的半径等于椭圆短半轴的长(b).。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线课后训练新人教A版选修4-1
平面与圆柱面截线练习1如果椭圆两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆两条准线间距离是焦距( )A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍2一组底面为同心圆圆柱被一平面所截，截口椭圆具有( )A ．一样长轴B ．一样焦点C ．一样准线D ．一样离心率3如下图，过F 1作F 1Q ⊥G 1G 2，△QF 1F 2为等腰直角三角形，那么椭圆离心率为( )A ．2B ．C ．21 4圆柱底面半径为r ，平面α与圆柱母线夹角为60°，那么它们截口椭圆焦距是( )A ．B ．CD ．3r5(能力拔高题)如下图，A 为左顶点，F 是左焦点，l 交OA 延长线于点B ，P ，Q 在椭圆上，有PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO ，那么椭圆离心率是①PF PD ； ②QF BF ； ③AO BO ； ④AF AB ； ⑤FO AO. 其中正确是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤ D．①②③④⑤6平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成角为45°，此曲线是__________，它离心率为__________．7椭圆两条准线间距离为8，离心率为12，那么Dandelin 球半径是__________． 8圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l 1，那么点P 到另一准线l 2对应焦点F 2距离是__________． 9如下图，PF 1∶PF 2＝1∶3，AB ＝12，G 1G 2＝20，求PQ .参考答案1答案：A 设椭圆长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c ，由，得，即a ＝3c ，故两条准线间距离为＝18c .2 答案：D 因为底面半径大小不等，所以长轴不同.嵌入Dandelin 球不同，那么焦点不同，准线也不同，而平面与圆柱母线夹角一样，故离心率一样.3 答案：D 设椭圆长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c .∵△QF 1F 2是等腰直角三角形，∴QF 1＝F 1F 2＝2c ，QF 2＝.由椭圆定义，得QF 1＋QF 2＝2a ，∴212c e a ====. 4答案：A 如图，过点G 2作G 2H ⊥AD ，H 为垂足，那么G 2H =2r.在Rt △G 1G 2H 中，G 1G 2==2r ×2=4r ，∴长轴2a ＝G 1G 2＝4r ，短轴2b ＝2r .∴焦距2c ＝2==.5答案：D ①PF PD符合离心率定义；②过点Q 作QC ⊥l 于C ， ∵QC ＝FB ，∴符合离心率定义；③∵AO ＝a ，BO ＝2a c ，∴，故AO BO 也是离心率；④∵AF ＝a －c ，AB ＝，∴，∴AF AB是离心率；⑤∵FO ＝c ，AO ＝a ，∴是离心率.6 答案：椭圆 27由题意知解得∴b ==8答案：52b 由题意知，椭圆短轴为2b ，长轴长2a ＝＝4b ，∴c =.∴或e . 设P 到F 1距离为d ，那么，∴d ＝32b .又PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ， ∴PF 2＝4b －PF 1＝4b －32b ＝52b . 9答案：解：设椭圆长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，由可得a ＝10，b ＝6，c 8，.由椭圆定义，知PF 1＋PF 2＝G 1G 2＝20，又PF 1∶PF 2＝1∶3，那么PF 1＝5，PF 2＝15.由离心率定义，得，∴PQ ＝254.。
最新人教版高中数学选修4-1《平面与圆柱面的截线》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．如图，椭圆中，F 1、F 2是焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线，则A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距．若长轴为2a ，短轴为2b ，则焦距2c ＝2a 2－b 2.3．椭圆上任一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ，则直线l 1叫做椭圆的一条准线．4．若e ＝cos φ，则e 叫做椭圆的离心率．1．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )．A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍答案：A解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c ，由已知，得2a 3＝2c ，即a ＝3c ， ∴两准线间的距离为2a 2c ＝18c 2c＝18C ． 2．下列说法不正确的是( )．A ．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．3．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________． 答案： 3解析：由题意知⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴Dandelin 球的半径为 3.4．已知平面α与一圆柱的底面成60°角，则该平面与圆柱截口图形的离心率是__________． 答案：32解析：平面与圆柱面截口图形为椭圆，其离心率e ＝sin 60°＝32. 5．已知一平面截圆柱面所得的截口椭圆的离心率为35，长轴长是20，求该圆柱的底面圆半径．解：设该椭圆半焦距为c ，短半轴长为b ，长半轴长为a ，则a ＝10，e ＝c a ＝35.∴c ＝35×10＝6. ∴圆柱的底面圆半径r ＝b ＝a 2－c 2＝102－62＝8.。
人教新课标A版选修4-1数学3.2平面与圆柱面的截线同步检测B卷
人教新课标A版选修4-1数学3.2平面与圆柱面的截线同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 一条直线D . 两条平行直线2. （2分）已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个与底面不平行的平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的最大值为（）A . 1B .C .D .3. （2分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A .B .C .D .5. （2分）某舞台灯光设计师为了在地板上设计图案，他把一端向下发光的光源和支架之间的角度固定为θ角，支架的一端固定在地板的中心位置，支架的另一端固定在天花板的适当位置，当光源围绕支架以θ角快速旋转时，地板上可能出现的图案有（）A . 椭圆B . 抛物线C . 圆D . 以上均有可能6. （2分）已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为 ,则平面β与圆柱母线的夹角是（）A . 30°B . 60°C . 45°D . 90°7. （2分）两个圆柱的底面半径分别为R,r（R>r）,平面π与它们的母线的夹角分别为α,β（α<β<90°）,斜截口椭圆的离心率分别为e1,e2,则（）A . e1>e2B . e1<e2C . e1=e2D . 无法确定8. （2分）已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱的斜截口椭圆的离心率为 ,则椭圆的长半轴是（）A . 2B . 4C .D .9. （2分）一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有（）A . 相同的长轴B . 相同的焦点C . 相同的准线D . 相同的离心率10. （2分）如图,过点F1作F1Q⊥G1G2,△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为（）A .B .C . 2-D . -111. （2分）已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为60°,则它们截口椭圆的焦距是（）A . 2 rB . 4 rC . rD . 3r12. （2分）一平面截圆柱（圆柱底面半径为1,高足够长）的侧面,得到一个离心率是的二次曲线,该曲线两焦点之间的距离为（）A .B . 2C . 3D .13. （2分）如图,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,点P,Q在椭圆上,有PD⊥l于点D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是① ;② ;③ ;④ ;⑤其中正确的是（）A . ①②B . ①③④C . ②③⑤D . ①②③④⑤14. （2分）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是（）A . 一段圆弧B . 一段抛物线C . 一段双曲线D . 一段正弦曲线二、填空题 (共7题；共12分)15. （1分）(2017·武威模拟) 如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为________．16. （2分）一平面截球面产生的截面形状是________ ；它截圆柱面所产生的截面形状是________ ．17. （3分）底面直径为10的圆柱被与底面成60°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长________ ，短轴长________ ，离心率为________ ．18. （1分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30°时，这个椭圆的离心率为________ ．19. （1分）一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（+1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影﹣﹣﹣﹣﹣﹣椭圆的离心率为________ ．20. （3分）底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长________ ，短轴长________ ，离心率为________ ．21. （1分）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧．则正确的说法序号是________三、解答题 (共4题；共20分)22. （5分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．23. （5分）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？24. （5分）一个圆柱形容器里装有水，放在水平面上，现将容器倾斜，这时水面是一个椭圆，当圆柱的母线AB与地面所成角时，椭圆的离心率是多少？25. （5分）用一与底面成30°角的平面去截一圆柱，已知圆柱的底面半径为4，求截面椭圆的方程．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共7题；共12分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、三、解答题 (共4题；共20分)第11 页共13 页第12 页共13 页22-1、23-1、24-1、25-1、第13 页共13 页。
[精品]新人教A版选修4-1高中数学分层测评11平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线和答案
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学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；(3)一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；(4)若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的内心．其中正确的命题是( )A．(3) B．(3)(4)C．(1)(3) D．(2)(4)【解析】由平行投影变换的性质知，当两条线段共线、平行或两线段是过同一点的平面的斜线段时，才有(1)正确，在(2)中这条直线可能在平面外，(3)显然正确，(4)中P点有可能是△ABC的旁心．【答案】 A2．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A．内心的平行射影还是内心B．重心的平行射影还是重心C．垂心的平行射影还是垂心D．外心的平行射影还是外心【解析】 三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行射影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，而内心、外心、垂心都有可能改变．故只有B 正确．【答案】 B3．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )【导学号：07370054】A.62 B.63 C.32D.22【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴母线与轴线的夹角α＝45°.又截面与轴线的夹角β＝30°，即β＜α，∴截线是双曲线，其离心率e ＝cos βcos α＝cos 30°cos 45°＝32＝62.【答案】 A4．椭圆x 24＋y 2＝1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A 1点在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解析】 设所成的二面角为α， 因为a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以cos α＝c a ＝32，所以α＝30°.【答案】 A5．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32【解析】 Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b ＝2c ，所以e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.【答案】 B 二、填空题 6．有下列说法：①矩形的平行射影一定是矩形； ②梯形的平行射影一定是梯形； ③平行四边形的平行射影可能是正方形； ④正方形的平行射影一定是菱形．其中正确命题有________________．(填上所有正确说法的序号) 【解析】 利用平行射影的概念和性质进行判断． 【答案】 ③7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若梯形不在α内，则它在α上的射影是________．【解析】 如果梯形ABCD 所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．如果梯形ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD 在平面α上的射影仍是梯形．【答案】 一条线段或一个梯形8．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________．【解析】 由2a ＝6，得a ＝3，又e ＝cos 45°＝22，∴c ＝e ·a ＝22×3＝322，∴b ＝a 2－c 2＝32－92＝322，∴圆柱面内切球的半径r ＝322.【答案】 322三、解答题9．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使|PA |＋2|PF |最小．【解】 如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2，∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线的距离为d ， 则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |，∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＝－463舍去， 即点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫463，2为所求． 10．在空间中，取直线l 为轴．直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α.l ′绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l 的交角为β.试用Dandelin 双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.【导学号：07370055】【证明】 如图：设Dandelin 双球与圆锥面的交线为圆S . 记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m . 在平面π与圆锥面的交线上任取一点P ， 设平面π与Dandlin 球的切点为F ，连接PF .在平面π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB 为PA 在平面π′上的射影．显然，m ⊥AB ，故∠PAB 是平面π与平面π′所成的二面角的平面角．在Rt △APB 中，∠APB ＝β， 则PB ＝PA ·cos β. ① 又设过点P 的母线交圆S 于点Q ， 则PQ ＝PF .在Rt △PBQ 中，PB ＝PQ ·cos α， ∴PB ＝PF ·cos α.②由①②得PF PA ＝PB cos α×cos βPB ＝cos βcos α.因为α＝β，所以PFPA＝1，即曲线任一点P 到定点F 的距离恒等于P 到定直线m 的距离．故点P 的轨迹为抛物线．[能力提升]1．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为( )A. 2B. 3 C ．2 2D.322【解析】 由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22，故b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径．【答案】 D2．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )A.22B. 2 C ．1D.12【解析】 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°＝ 2.【答案】 B3．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为__________．【解析】 如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球O 1和球O 2都相切的平面与轴截面的交线．由对称性知AB 过圆柱的几何中心O .由O 1O ⊥OD ，O 1C ⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O . 故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13.显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13. 【答案】 34.如图317，圆柱被平面α所截．已知AC 是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD 是最短的投影线段，EG ＝FH ，EF ⊥AB ，垂足在圆柱的轴上，EG 和FH 都是投影线，分别与平面α交于点G ，H .图317(1)比较EF ，GH 的大小；(2)若圆柱的底面半径为r ，平面α与母线的夹角为θ，求CD . 【解】 (1)∵EG 和FH 都是投影线，∴EG ∥FH .又EG ＝FH ， ∴四边形EFHG 是平行四边形， ∴EF ＝GH .(2)如图，过点D 作DP ⊥AC 于点P ， 则在Rt △CDP 中，有： sin ∠DCP ＝DP CD. 又∠DCP ＝θ，DP ＝2r ， ∴CD ＝2rsin θ.。
高中数学选修4-1(人教版)练习：第三讲3.2平面与圆柱面的截线 Word版含解析
第三讲圆锥曲线性质的探讨3.2 平面与圆柱面的截线A级基础巩固一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D2．若平面α与球O相切，切点为M，则()A．经过M点的直线都与球O相切B．不经过M点的直线都与球O相离C．平面α内不经过M点的直线有可能与球O相切D．平面α内经过M点的直线都与球O相切解析：平面α与球O 内切于M 点，则平面α内经过M 点的直线都与球O 相切，平面α内不经过M 点的直线都与球O 相离．答案：D3．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( ) A.32 B ．1 C.22 D.12解析：因为平面与圆柱截口图形为椭圆，所以其离心率e ＝cos 60°＝12. 答案：D4．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.32D ．非上述结论 答案：A5．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截得椭圆的焦距为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 2解析：由题意得椭圆长半轴a ＝2sin 45°＝22， 离心率c a ＝cos 45°＝22， 则半焦距c ＝22a ＝2，故焦距2c ＝4. 答案：C二、填空题6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________．答案：457．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________． 解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45， 解得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：－1925或21 8．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 双球的半径是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 所以Dandelin 球的半径为 3.答案：3三、解答题9．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．解：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2，所以短轴长为4.设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12. 所以2a ＝4b ＝8，c ＝a 2－b 2＝2 3.所以e ＝c a ＝234＝32. 所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为32. 10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则有：|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，所以|MO 1|＋|MO 2|＝10，由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. B 级 能力提升1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32解析：Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长．因为由题意可知2b＝2c，所以e＝ca＝cb2＋c2＝c2c＝22.答案：B2．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是3b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是________．解析：由题意知，椭圆短轴长为2b，长轴长2a＝2bsin 30°＝4b，所以c＝4b2－b2＝3b.所以e＝3b2b＝32或e＝cos 30°＝32.设P到F1的距离为d，则d3b＝32，所以d＝3 2b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，所以PF2＝4b－PF1＝4b－32b＝52b.答案：5 2b3．设F1，F2分别是椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝4 3a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．解：(1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2. 所以|PQ |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43a ， 化简，得43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ， y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|MP |＝|MQ |，得k MN ＝－1， 即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3， 从而a ＝32，b ＝3.故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.。
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线课程设计
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线课程设计一、课程背景二平面与圆柱面的截线是高中数学中的一个重点难点知识点，也是学生在学习几何变换时的必修内容。
掌握此知识点不仅有助于拓宽学生的数学思维，还有助于他们在日后的大学数学学习中打下良好的基础。
本设计适用于人教版高中选修4-1教材，旨在引导学生掌握二平面与圆柱面的截线知识。
二、教学目标1.了解二平面与圆柱面的定义和性质；2.掌握二平面与圆柱面的截线类型及特性；3.运用数学知识解决实际问题；4.培养学生的空间想象能力和数学推理能力。
三、教学内容3.1 二平面与圆柱面的定义•二平面的定义•圆柱面的定义3.2 二平面与圆柱面的性质•二平面的性质•圆柱面的性质3.3 二平面与圆柱面的截线类型•直截线•圆锥曲线•椭圆•双曲线•平行截线•交叉截线3.4 二平面与圆柱面的截线特性•截线与二平面和圆柱面的关系•截线的性质分析3.5 应用实例•如何应用二平面和圆柱面的截线知识解决实际问题四、教学方法本课程设计采用讲授、演示和练习相结合的教学方法。
在教学中，将引导学生积极思考，参与讨论，探究问题本质。
五、教学过程5.1 导入环节教师可以通过引入生活中的实例，调动学生的兴趣，如图形的识别与描述、修建房屋的平面图等。
5.2 概念说明通过教师的讲授、演示等方式，讲解二平面和圆柱面的定义、性质，引导学生掌握概念。
5.3 示例分析通过多种实例，比如日常生活中的物体，进行截线的类型分析，加深学生对截线类型的理解。
5.4 练习环节将学生分组，安排一些截线问题，让学生团队合作，运用多种截线类型解决问题，培养学生的团队协作能力和实际运用能力。
5.5 教学总结对本节课教学内容进行总结，帮学生理清知识点，加强巩固。
六、教学评估教师可以通过教学反馈问卷或听课记录等，来了解学生在学习过程中的表现与掌握情况，反思教学过程，优化教学内容和方法。
七、教学资源1.人教版高中选修4-1教材；2.经典例题及题解；3.课堂展示工具。
数学人教A版选修4-1学案：课堂探究 第三讲二 平面与圆
课堂探究探究一椭圆的度量性质圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关．【典型例题1】已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间距离和截面与母线所夹的角．思路分析：根据题意可知长轴长及短轴长，进而求出离心率，从而得出截面与母线的夹角．解：易知长半轴长a ＝122＝6，短半轴长b ＝r ＝3，两焦点间距离2c ＝2a 2－b 2＝262－32＝6 3.椭圆离心率e ＝c a ＝32. 设截面与母线的夹角为φ，则cos φ＝32.∴φ＝π6. 综上，截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长为12，短轴长为6，两焦点间距离为63，截面与母线所夹的角为π6. 探究二探讨椭圆的性质探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要熟知Dandelin 双球与圆柱及其截平面的关系，综合应用切线长定理、三角形的相似与全等，解直角三角形，以及平行射影的性质．【典型例题2】如图所示，已知球O 1，O 2分别切平面β于点F 1，F 2，P 1P 2为⊙O 1的一条直径，Q 1，Q 2分别为P 1，P 2在平面β内的平行射影，G 1G 2＝2a ，Q 1Q 2＝2b ，G 1G 2与Q 1Q 2垂直平分，求证：F 1F 2＝2a 2－b 2.证明：如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，则四边形ABHG1是矩形．∴G1H＝AB.∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，∴P1Q1P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径．∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切线长定理，知G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.又G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.∴F1F2＝G2H.在Rt△G1G2H中，G2H＝(2a)2－(2b)2＝2a2－b2，故F1F2＝2a2－b2.。
高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第二节 平面与圆柱面的截线课后导练 新人教A版选修41高中数学
第二节 平面与圆柱面的截线课后导练基础达标1.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为23,则平面β与圆柱母线的夹角是( )A.30°B.60°C.45°D.90° 解析:设β与母线夹角为φ,则cos φ=23,∴φ=30°. 答案:A2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( ) A.51 B.43 C.33 D.21解析:由a=2c,得a c =21,即e=21. 答案:D3.两圆柱底面半径分别为R 、r(R ＞r),平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜90°),斜截口椭圆的离心率分别为e 1、e 2,则( )A.e 1＞e 2B.e 1＜e 2C.e 1=e 2D.无法确定 解析:∵e 1=cos α,e 2=cos β,又∵α＜β＜90°时,cos α＞cos β,∴e 1＞e 2. 答案:A4.已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱斜截口的离心率为21,则椭圆的长半轴是( ) A.2 B.4 C.316D.34 解析:由题意知短半轴b=2,a c=a b a 22-=21,∴a a 42-=21,解得a=34.答案:D5.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有( ) A.相同的长轴 B.相同的焦点 C.相同的准线 D.相同的离心率解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Danlin 球不同,焦点不同,准线也不同. 平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同. 答案:D 综合运用6.如图3-2-5,已知∠PF 1F 2=30°,21F PF S ∆=23,OP⊥F 1F 2,求⊙O 1的半径.图3-2-5解析:设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,焦距为c.根据题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==∙︒=,,2321,30sin 222c b a bc a b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a 即OP=1,∴⊙O 1的半径为1.7.如图3-2-5,过F 1作F 1Q⊥G 1G 2,△QF 1F 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A.22 B.212- C.2-2 D.2-1解析:∵△QF 1F 2是等腰直角三角形,∴QF 1=F 1F 2=2c,QF 2=22c.由椭圆的定义得QF 1+QF 2=2a, ∴e=12211222222-=+=+=c c c a c . 答案:D8.如图3-2-6,已知PF 1∶PF 2=1∶3,AB=12,G 1G 2=20,求PQ.图3-2-6解析:设椭圆长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c. 由已知可得a=10,b=6,c=22b a -=8,e=a c =54. 由椭圆定义PF 1+PF 2=K 1K 2=G 1G 2=20.又∵PF 1∶PF 2=1∶3, ∴PF 1=5,PF 2=15. 由离心率定义, ∴PQ PF 1=54.∴PQ=425. 9.如图3-2-7,已知设两焦点的距离F 1F 2=2c,两端点G 1G 2=2a,求证:l 1与l 2之间的距离为ca 22.图3-2-7证明:设椭圆上任意一点P,过P 作PQ 1⊥l 1于Q 1,过P 作PQ 2⊥l 2于Q 2. ∵e===2211PQ PF PQ PF ac, ∴PF 1=a c PQ 1,PF 2=acPQ 2. 由椭圆定义PF 1+PF 2=2a, ∴a c PQ 1+acPQ 2=2a. ∴PQ 1+PQ 2=ca 22,即l 1与l 2之间的距离为ca 22.拓展探究10.如图3-2-8,已知A 为左顶点,F 是左焦点,l 交OA 的延长线于点B,P 、Q 在椭圆上,有PD⊥l 于D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①PD PF ;②BF QF ;③BO AO ;④AB AF ;⑤AOFO.其中正确的序号是_______________.图3-2-8解析:①PDPF符合离心率定义. ②过Q 作QC⊥l 于C, ∵QC=FB,∴BF QF =QCQF符合离心率定义. ③∵AO=a,BO=ca 2,∴BO AO =ca a 2=ac. 故BOAO也是离心率. ④∵AF=a -c,AB=ca 2-a,∴AB AF =a ca c a --2=ac .∴AB AF是离心率. ⑤∵FO=c,AO=a, ∴AO FO =ac是离心率. 答案:①②③④⑤ 备选习题11.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为_____________.解析:由(2b)2=2c·2a,得b 2=ac.又b 2=a 2-c 2,∴a 2-c 2=ac. ∴a 2-c 2-ac=0.两边同除ac, ∴c a -ac-1=0.∴e 1-e-1=0.∴e 2+e-1=0.∴e=215-或215--(舍去). 答案:215- 12.椭圆一轴长为2,离心率为21,则另一轴长为_________________. 解析:设另一轴长为m,若m ＜2,则a 2=4,b 2=m 2,c 2=4-m 2,e 2=4144222=-=m ac , ∴m=3.若m ＞2,同理,e 2=224m m -=41,解得m=34. 答案:3或34 13.已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线夹角为30°,在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b,则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是_____________. 解析:由题意知,椭圆短轴为2b,长轴长2a=︒30sin 2b=4b,∴c=b b b 3422=-. ∴e=2323=b b 或e=cos30°=23. 设P 到F 1的距离为d,则bd 3=23, ∴d=23b. 又PF 1+PF 2=2a=4b, ∴PF 2=4b-PF 1=4b-23b=25b. 答案:25b14.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )A.9倍B.4倍C.12倍D.18倍 解析:由已知,得32a=2c,即a=3c. ∴两准线间的距离为c a 22=cc 218=18c.答案:A15.已知椭圆两准线间的距离为8,离心率为21,则Dandlin 球的半径是____________. 解析:由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,21,42a c ca 解得⎩⎨⎧==,1,2c a∴b=322=-c b . ∴Dandlin 球的半径为3.。
数学人教A版选修4-1课后导练第三讲第二节平面与圆柱面的截线 Word版含解析
课后导练
基础达标
.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是( ) °°°°
解析:设β与母线夹角为φ,则φ,∴φ°.
答案
.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )
.
解析:由,得,即.
答案
.两圆柱底面半径分别为、(＞),平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜°),斜截口椭圆的离心率分别为、,则( )
＞＜.无法确定
解析:∵αβ,又∵α＜β＜°时α＞β,∴＞.
答案
.已知圆柱的底面半径为,平面π与圆柱斜截口的离心率为,则椭圆的长半轴是( )
.
解析:由题意知短半轴,∴,解得.
答案
.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有( )
.相同的长轴.相同的焦点
.相同的准线.相同的离心率
解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的球不同,焦点不同,准线也不同.
平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.
答案
综合运用
.如图,已知∠°⊥,求⊙的半径.
图
解析:设椭圆的长半轴为,短半轴为,焦距为.
根据题意得
解得即,∴⊙的半径为.
.如图,过作⊥,△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
解析:∵△是等腰直角三角形,
∴.
由椭圆的定义得,
∴.
答案
.如图,已知∶∶,求.
图
解析:设椭圆长轴为,短轴为,焦距为.
由已知可得.
由椭圆定义.。
高中数学 人教A版选修4-1 第3讲 第1课时平行射影、平面与圆柱面的截线 作业
第三讲 第1课时素质训练1．两条相交直线的平行射影是( ) A ．两条相交直线 B ．一条直线 C ．一条折线D ．两条相交直线或一条直线 【答案】D【解析】两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投影方向不平行，则两条相交直线的平行射影为两条相交直线；若这个平面与投影方向平行，则两条相交直线的平行射影为一条直线．故选D ．2．已知圆柱轴截面面积为Q ，那么侧面积为( ) A ．12πQB ．πQC ．2πQD ．4πQ【答案】B【解析】若圆柱底面半径为r ，高为h ，则圆柱侧面积S 侧＝2πrh ，Q ＝2rh ，即S 侧＝πQ .故选B ．3．(2016年安徽模拟)如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是( )A ．12B ．32C ．33D ．23【答案】A【解析】因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为R ，长半轴a ＝R cos 30°＝2R 3.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝R3.∴椭圆的离心率为e＝c a ＝12.故选A ． 4．已知圆柱的底面半径为2，平面α与圆柱斜截口的离心率为12，则椭圆的长半轴长是________．【答案】433【解析】由Dandelin 双球法知，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴，所以b ＝2.又离心率为12，所以e ＝c a ＝12⇒c ＝12a .又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝22＋⎝⎛⎭⎫12a 2，解得a ＝433. 5．已知椭圆两条准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是________．【答案】 3【解析】依题意，得⎩⎨⎧2a 2c＝8，e ＝c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝22－12＝ 3.∴Dandelin 球的半径为b ＝ 3.6．一圆柱底面半径为2，一截面与轴成60°角，从截平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为________．【答案】433【解析】由题意知截线是一个椭圆，并且其长轴长为2a ＝4sin 60°，解得a ＝433.又椭圆的短轴长为圆柱的底面直径，所以2b ＝4，即b ＝2. ∴c ＝a 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫4332－22＝233.又两个切点即为椭圆的两个焦点，故这两个切点的距离为2c ＝433.7．往一个放在桌面上的圆柱形玻璃杯中倒入半杯水，水平面所成的图形是______，如果将玻璃杯倾斜一定角度(与桌面不垂直)，此时水平面的图形是______．【答案】圆 椭圆【解析】当玻璃杯与桌面垂直时，水平面所成的图形是圆；当玻璃杯倾斜时，水平面的图形是椭圆．8．已知一圆柱的底面半径为3，圆柱的一截面的Dandelin 双球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．【解析】由Dandelin 双球法知，两球的球心距等于截面椭圆的长轴的长，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴的长，截面与两球的两切点即为截面椭圆的两焦点．∴2a ＝12，b ＝3，∴a ＝6，b ＝3. ∴c ＝a 2－b 2＝62－32＝3 3.∴两焦点间的距离为2c ＝6 3. ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝336＝32.设截面与圆柱母线的夹角为φ，则 cos φ＝e ＝32，又0<φ<π2，∴φ＝π6. 能力提升9．如图所示，设P 为△ABC 所在平面外一点，点O 为P 在平面ABC 上的正射影，若P A ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的什么心？【解析】如图所示，连接AO ，BO ，CO .因为点O 为P 在平面ABC 上的正射影，所以AO ，BO ，CO 分别为P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的正射影． 又因为P A ＝PB ＝PC ，所以AO＝BO＝CO.所以O为△ABC的外心．。
数学人教A版选修4-1课后导练第三讲第三节平面与圆锥面的截线 Word版含解析
课后导练基础达标.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为( )解析:由题意知·()()()()().答案.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率为( )解析:由题意知·,∴.答案.平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为°,则平面与圆锥交线的离心率是( )解析:设平面与轴线夹角为β,母线与轴线夹角为α.由题意,知β°,α°,∴.答案.平面π与圆锥的母线平行,那么它们交线的离心率是( ).无法确定解析:由题意,知交线为抛物线,故其离心率为.答案.一组平行平面与一圆锥的交线,具有( ).相同的焦距.相同的准线.相同的焦点.相同的离心率解析:因为平行平面与圆锥轴线夹角相等,由离心率定义,所以,离心率相同.答案综合运用.设过抛物线的焦点的弦,则以为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是( ).相交.相切.相离.以上答案均有可能解析:过点、分别作准线的垂线、,其中、为垂足,由抛物线的结构特点知.取的中点,过作垂直于准线,则∥∥,∴(）,即圆心到准线的距离等于半径.∴相切.答案.线段是抛物线的焦点弦.若、在抛物线准线上的正射影为、,则∠等于( ) °°°°图解析:如图,由抛物线定义,则,∴∠∠.又∵∥,∴∠∠.∴是∠的平分线.同理是∠的平分线.∴∠∠∠(∠∠)°.答案拓展探究.已知、是双曲线的两个焦点是经过且垂直于的弦.如果∠°,则双曲线的离心率是( )解析:如图,由对称性知△是等腰直角三角形,图∴.。
数学人教A版选修4-1素材：教材习题点拨 第三讲二 平面
教材习题点拨探究1解：由教材图35，根据切线长定理有G 2F 1＝G 2B ，G 2F 2＝G 2C ，于是G 2F 1＋G 2F 2＝G 2B ＋G 2C ＝BC ＝AD .又∵G 1G 2＝G 1F 2＋F 2G 2，由切线长定理知G 1F 2＝G 1D ，F 2G 2＝G 2C ，∴G 1G 2＝G 1D ＋G 2C .连接F 1O 1，F 2O 2，容易证明△EF 1O 1≌△FF 2O 2.∴EO 1＝FO 2.又∵O 1A ＝O 2C ，∴EA ＝FC .于是可证得△FCG 2≌△EAG 1.∴G 1A ＝G 2C .∴G 1G 2＝G 1D ＋G 1A ＝AD .在Rt △G 2EB 中，cos φ＝G 2B G 2E ＝G 2F 1G 2E， ∴G 2F 1＝G 2E cos φ.又∵φ＝90°－θ，∴G 2F 1＝G 2E cos φ＝G 2E sin θ.由此得到结论：(1)G 2F 1＋G 2F 2＝AD ；(2)G 1G 2＝AD ；(3)G 2F 1G 2E＝cos φ＝sin θ. 思考解：猜想，两个焦点可能在两个球与斜截面的切点上，即过球心O 1，O 2分别作斜截面的垂线，其垂足F 1，F 2就可能是焦点．探究2解：当点P 与G 2重合时，有G 2F 1＋G 2F 2＝AD .当点P 不在端点时，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1，F 2.过P 作母线，与两球面分别相交于K 1，K 2，则PK 1，PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1，K 2.根据切线长定理的空间推广，知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝AD .由于AD 为定值，故点P 的轨迹是椭圆．习题3.2图(1)图(2)证明：图(1)的轴截面如图(2)所示．∵F 1F 2＝2c ，G 1G 2＝2a ，∴G 2B ＝G 2F 1＝a ＋c ，G 1A ＝G 1F 1＝a －c .∵△EAG 1∽△EBG 2， ∴EG 1EG 2＝G 1A G 2B ，即EG 1EG 1＋2a ＝a －c a ＋c，解得EG 1＝a (a －c )c . ∵在Rt △PK 1Q 中，∠K 1PQ ＝φ，∴cos φ＝PK 1PQ ＝PF 1PQ. 又∵在Rt △G 2BE 中，∠BG 2E ＝φ，∴cos φ＝G 2B EG 2. ∴PF 1PQ ＝G 2B EG 2＝a ＋c a (a －c )c＋2a ＝c a ， 即P 到F 1的距离PF 1与到l 1的距离PQ 之比等于c a.。
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课后导练
基础达标
1.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为2
3,则平面β与圆柱母线的夹角是( ) A.30° B.60° C.45° D.90° 解析:设β与母线夹角为φ,则cosφ=2
3,∴φ=30°. 答案:A
2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( ) A.51 B.43 C.3
3 D.21 解析:由a=2c,得a c =21,即e=2
1. 答案:D
3.两圆柱底面半径分别为R 、r(R ＞r),平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜90°),斜截口椭圆的离心率分别为e 1、e 2,则( )
A.e 1＞e 2
B.e 1＜e 2
C.e 1=e 2
D.无法确定 解析:∵e 1=cosα,e 2=cosβ,又∵α＜β＜90°时,cosα＞cosβ,∴e 1＞e 2.
答案:A
4.已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱斜截口的离心率为2
1,则椭圆的长半轴是( ) A.2 B.4 C.316 D.3
4 解析:由题意知短半轴b=2,a c =a b a 22-=21,∴a a 42-=21,解得a=3
4. 答案:D
5.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有( )
A.相同的长轴
B.相同的焦点
C.相同的准线
D.相同的离心率
解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Danlin 球不同,焦点不同,准线也不同. 平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.
答案:D
综合运用
6.如图3-2-5,已知∠PF 1F 2=30°,21F PF S ∆=2
3,OP ⊥F 1F 2,求⊙O 1的半径.
图3-2-5
解析:设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,焦距为c. 根据题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==∙︒=,
,2
321,
30sin 222c b a bc a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧
===,
3,1,
2c b a 即OP=1,∴⊙O 1的半径为1.
7.如图3-2-5,过F 1作F 1Q ⊥G 1G 2,△QF 1F 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(
) A.22
B.21
2- C.2-2 D.2-1
解析:∵△QF 1F 2是等腰直角三角形,
∴QF 1=F 1F 2=2c,QF 2=22c.
由椭圆的定义得QF 1+QF 2=2a,
∴e=12211
222222-=+=+=c c c
a c .
答案:D
8.如图3-2-6,已知PF 1∶PF 2=1∶3,AB=12,G 1G 2=20,求
PQ.
图3-2-6
解析:设椭圆长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c.
由已知可得a=10,b=6,c=22b a -=8,e=a c =54
.
由椭圆定义PF 1+PF 2=K 1K 2=G 1G 2=20.
又∵PF 1∶PF 2=1∶3,
∴PF 1=5,PF 2=15.
由离心率定义, ∴PQ PF 1=5
4.∴PQ=42
5. 9.如图3-2-7,已知设两焦点的距离F 1F 2=2c,两端点G 1G 2=2a,求证:l 1与l 2之间的距离为c
a 2
2.
图3-2-7
证明:设椭圆上任意一点P,过P 作PQ 1⊥l 1于Q 1,过P 作PQ 2⊥l 2于Q 2.
∵e===2211PQ PF PQ PF a
c , ∴PF 1=
a c PQ 1,PF 2=a c PQ 2. 由椭圆定义PF 1+PF 2=2a, ∴a c PQ 1+a
c PQ 2=2a. ∴PQ 1+PQ 2=c
a 2
2, 即l 1与l 2之间的距离为c
a 2
2. 拓展探究
10.如图3-2-8,已知A 为左顶点,F 是左焦点,l 交OA 的延长线于点B,P 、Q 在椭圆上,有PD ⊥l 于D,QF ⊥AO,则椭圆的离心率是①
PD PF ;②BF QF ;③BO AO ;④AB AF ;⑤AO
FO .其中正确的序号是_______________.
图3-2-8
解析:①PD
PF 符合离心率定义. ②过Q 作QC ⊥l 于C, ∵QC=FB,∴
BF QF =QC QF 符合离心率定义. ③∵AO=a,BO=c
a 2
, ∴BO AO =c
a a 2=a
c . 故BO
AO 也是离心率. ④∵AF=a-c,AB=c
a 2
-a, ∴AB AF =a c
a c a --2=a c .∴AB AF 是离心率. ⑤∵FO=c,AO=a, ∴AO FO =a
c 是离心率. 答案:①②③④⑤
备选习题
11.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为_____________. 解析:由(2b)2=2c·2a,得b 2=ac.
又b 2=a 2-c 2,∴a 2-c 2=ac.
∴a 2-c 2-ac=0.两边同除ac, ∴c a -a c -1=0.∴e
1-e-1=0. ∴e 2+e-1=0.
∴e=215-或2
15--(舍去). 答案:2
15- 12.椭圆一轴长为2,离心率为
21,则另一轴长为_________________. 解析:设另一轴长为m,
若m ＜2,则a 2=4,b 2=m 2,c 2=4-m 2,
e 2=4144222=-=m a c , ∴m=3.
若m ＞2,同理,e 2=224m m -=41, 解得m=3
4. 答案:3或
34 13.已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线夹角为30°,在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b,则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是_____________. 解析:由题意知,椭圆短轴为2b,长轴长2a=
︒30sin 2b =4b, ∴c=b b b 3422=-.
∴e=2323=b b 或e=cos30°=2
3. 设P 到F 1的距离为d,则
b d
3=23, ∴d=2
3b. 又PF 1+PF 2=2a=4b, ∴PF 2=4b-PF 1=4b-
23b=25b. 答案:2
5b
14.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )
A.9倍
B.4倍
C.12倍
D.18倍
解析:由已知,得3
2a =2c,即a=3c. ∴两准线间的距离为c a 22=c
c 2
18=18c. 答案:A
15.已知椭圆两准线间的距离为8,离心率为2
1,则Dandlin 球的半径是____________. 解析:由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2
1,42
a c c a 解得⎩⎨⎧==,1,2c a ∴b=322=-c
b .
∴Dandlin 球的半径为3.。