优化方案2017高中数学第四章圆与方程章末复习提升课课件(精)
优化方案高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程应用案巩固提升新人教A版必修2
【优化方案】2017高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程应用案巩固提升 新人教A 版必修2[A 基础达标]1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0解析：选C.由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.故选C.2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤1解析：选B.由方程表示圆的条件得16＋4－20k >0. 所以k <1.3．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选D.因为两圆的圆心坐标为O (0，0)和C (－2，2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.4．若方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，a ，在第四象限．5．过P (5，4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0的切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 的面积是( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选B.将圆C 的方程化为标准方程(x －1)2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心坐标为C (1，1)，半径为|CA |＝5，|CP |＝（5－1）2＋（4－1）2＝5，在Rt △ACP 中，|AP |＝|CP |2－|CA |2＝25－5＝25，所以四边形PACB 的面积S ＝2×12|CA |×|AP |＝10.6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________．解析：由－D 2＝2，－E 2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得F ＝4.答案：47．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大．此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)9．自A (4，0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解：法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP (图略)，则OP ⊥BC ， 当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ×yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标(0，0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)． 法二：(定义法)由法一知OP ⊥AP ，取OA 的中点M ， 则M (2，0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，若N (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为点N (m ，3)在⊙M 上， 所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0，解得m ＝－3或m ＝7.[B 能力提升]1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10解析：选B.圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.故选B. 2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．一个半圆 D ．两个半圆解析：选D.方程可化为(|x |－1)2＋(y －1)2＝1， 又|x |－1≥0，所以x ≥1或x ≤－1，若x ≤－1，方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1；若x ≥1，方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.所以方程表示两个半圆．3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)． 设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)． 由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝3（x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)．所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆(除去点(3，0)与(6，0))．(2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3. 4．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)和(－2，1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．。
优化方案2017高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程应用案巩固提升新人教A版必修2
【优化方案】2017高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程应用案巩固提升 新人教A 版必修2[A 基础达标]1.圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213πC ．2πD ．23π解析：选B.根据圆的方程知半径为13，所以该圆的周长为2πr ＝213π.故选B.2．圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离是( )A ．5B ．3C ．4D ．2解析：选A.圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，所以d ＝|－25|32＋42＝5.故选A. 3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过原点，则( )A ．a 2＋b 2＝0B ．a 2＋b 2＝r 2C ．a 2＋b 2＋r 2＝0D ．a ＝0，b ＝0解析：选B.由题意得(0－a )2＋(0－b )2＝r 2.即a 2＋b 2＝r 2，故选B.4．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2 解析：选B.圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1解析：选 D.设点(a ，b )与圆C 1的圆心(－1，1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，故圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．若点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的外部，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得(5a ＋1－1)2＋(a )2>26，即a >1.答案：(1，＋∞)7.已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：58．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：设P (x ，y )，且点P 在圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝142上，则圆心C (－5，12)，r ＝14，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2＝|OP |2.又|OP |的最小值是r －|OC |＝14－13＝1，所以x 2＋y 2的最小值为1.答案：19．已知圆C 过点A (4，7)，B (－3，6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．解：法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A ，B ∈圆C ，C ∈l ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（7－b ）2＝r 2，（－3－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为C ∈l ，所以2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ，所以圆心为C (a ，5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即（a －4）2＋（5－2a －7）2＝（a ＋3）2＋（5－2a －6）2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1，3)，半径r ＝|CA |＝（4－1）2＋（7－3）2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程． 解：圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，因为它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32. 所以所求圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52. 所以对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54. [B 能力提升]1．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆解析：选D.方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，故方程y ＝9－x 2表示半个圆．2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．在圆x 2＋y 2＝16内部的所有整点中，到原点的距离最远的整点可以在( )A ．直线y －1＝0上B ．直线y ＝x 上C ．直线x ＋1＝0上D ．直线y ＋3＝0上解析：选D.如图，数形结合得点为(±2，－3)．3.如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析：直线l 平分圆(x －1)2＋(y －2)2＝5，则直线l 过圆心(1，2)．又不过第四象限，如图所示．结合图形可得0≤k ≤2.答案：[0，2]4.(选做题)已知平面上两点A (－2，0)，B (2，0)，在圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4上取一点P ，求使|AP |2＋|BP |2取得最小值时点P 的坐标，取得最大值时点P 的坐标，并求出最大、最小值．解：设圆C 上点P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋8＝2(x 2＋y 2)＋8，x 2＋y 2表示圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝4上的点P 到原点距离的平方．因为(0－1)2＋(0＋1)2＝2<4，所以原点在圆C内部．所以圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的点到原点的最大距离为2＋（0－1）2＋（0＋1）2＝2＋2，最小距离为2－ 2.过原点与圆心的直线方程为y＝－x，代入圆的方程得(x－1)2＋(－x＋1)2＝4，(x－1)2＝2，解得x＝±2＋1，故圆上使|AP|2＋|BP|2取得最大值的点P坐标为(2＋1，－2－1)，此时最大值为20＋82；使|AP|2＋|BP|2取得最小值的点P坐标为(－2＋1，2－1)，此时最小值为20－8 2.。
高中数学必修2----第四章圆与方程单元复习课件
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
4.2.3直线与圆的方程的应用
坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论.
4.3空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系
高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a2)(y b2)r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
2.直线与圆的位置关系，及圆与圆位置关系 的判定.
3.空间两点间距离公式的应用.
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) x
y
本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时， 必须确保 D2+E2-4F否>则0 ，方程不表示圆. 2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数， 两圆有一个公共点，可能是外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐 标系.
谢Байду номын сангаас观赏
z
z M（x，y，z）
右手坐标系
O
y
y
x
x 点在空间直角坐标系中的坐标
4.3.2空间两点间的距离公式
1.平面内两点 P 1 (1 x ,y 1 ,z 1 )P ,2 (2 x ,y 2 ,z 2 )的距离公式 |P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2 2.几何问题转化为代数问题求解的思想.
高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件
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(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x －a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 y－b＝－1k(x－a)．因为圆 C1 和 圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即
译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较
“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件
列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算
量，大大降低出错的概率．
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高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件
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【例 5】 已知三条直线 l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k－3＝0.
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由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52， 解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
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易错点 1 求解圆方程漏解致误
【例 6】 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴
所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
优化方案2017高中数学第四章圆与方程4.3.1-4(精)
本例(2)条件不变，当 Q 点是 CD 的中点，P 在 AB 上运动时，求|PQ|的最小值．
解： 设点 P(x， y， z)， 显然 P 在平面 Oxy 上的射影 M 在 OA 上， |PM| |AM| 则 x＝y，且 ＝ ， |BO| |AO| 2－ 2x z 即 ＝ ，所以 z＝1－x. 1 2 即 P 的坐标为(x，x，1－x)， 1 又 Q0，1，2
解析：|AB|＝ （－1－2）2＋（2－1）2＋（3－m）2＝ 110， 所以(3－m)2＝100，3－m＝± 10. 所以 m＝－7 或 13.
答案：－7 或 13
4．在空间直角坐标系中，点 A(2，3，4)关于点 P(－3，－2，1)的对称点为 B，则 B 点的坐标为________， |AB|＝________，|AP|与|AB|的关系是________．
x轴、y轴、z轴 ．这时我们说建立了 位长，建立三条数轴：_________________ 空间直角坐标系Oxyz ，其中点 O 叫做_________ 坐标原点 ，x 一个_______________________ 坐标轴 ，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标 轴、y 轴、z 轴叫做_______ xOy平面、yOz平面、zOx平面 平面， 分别称为________________________________ ， 通常建立 右手直角坐标系 ， 右手拇指 指向 x 轴的正方向， 的坐标系为_______________ 即让_________ 食指 指向 y 轴的正方向，_____ 中指 指向 z 轴的正方向． _____
记忆方法：“关于谁谁不变，其余的相反”，如：关于 x 轴对称 的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于 xOy 坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．
优化方案高中数学第四章圆与方程4.2.24.2.3圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用应用
【优化方案】2017高中数学第四章圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用应用案巩固提升新人教A版必修2[A 基础达标]1.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程是( )A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：选 D.把点(1，3)代入切线方程排除A、C，由圆心到切线距离为半径，可知选D.2.半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0解析：选 B.已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可知选 B.3.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选 C.因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.所以a＋b＝10，ab＝17，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.所以|C1C2|＝2（a－b）2＝32×2＝8.4．⊙A，⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B.△ABC的三边长分别为5，12，13，52＋122＝132，所以△ABC为直角三角形．5．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( ) A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h解析：选B.如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，所以时间为 1 h．故选B.6．圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦所在直线方程是____________．解析：两圆的方程相减得2x－2y＝0，即x－y＝0，这就是所求公共弦所在直线方程．答案：x－y＝07．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：由已知得C1(4，2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，所以|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝（4＋2）2＋（2＋1）2－3－2＝35－5.答案：35－58．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________．解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x2＋y2－133x＋y＋2＝0.答案：x2＋y2－133x＋y＋2＝09.已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点且面积最小的圆的方程．解：设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0.两圆圆心连线的方程为x－y＝0.解方程组x＋y－2＝0，x－y＝0，得圆心坐标为(1，1)．圆心M(0，0)到直线AB的距离为d＝2，弦AB的长为|AB|＝2（10）2－（2）2＝42，所以所求圆的半径为2 2.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点，并求出此定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．解：(1)圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0.此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．由x2＋y2－20＝0，－4x＋2y＋20＝0，得x＝4，y＝－2.所以已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.①当两圆外切时，d＝r1＋r2，即2＋5（a－2）2＝5a2，解得a＝1＋55或a＝1－55(舍去)；②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|5（a－2）2－2|＝5a2，解得a＝1－55或a＝1＋55(舍去)．综上所述，a＝1±55.[B 能力提升]1.若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝0解析：选 B.由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.2．若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2与圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)相切，则a的值为( )A．±3r B．±rC．±3r或±r D．3r或r解析：选 C.圆C1的圆心为(a，0)，半径为r，圆C2的圆心为(0，0)，半径为2r.①当两圆外切时，有|a|＝3r，此时a＝±３r(r>0)．②当两圆内切时，|a|＝|r|，此时a＝±r(r>0)．即当a＝±３r(r>0)时两圆外切，当a＝±r(r>0)时两圆内切．综合①②可知选 C.3.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2的值．解：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2.4．(选做题)设实数x，y满足x2＋y2≤4，x2＋y2－4x＋4y＋4≤0.(1)求x2＋y2的最大值与最小值；(2)求x－y的范围．解：x2＋y2≤4，x2＋y2－4x＋4y＋4≤０表示两个圆x2＋y2＝4与(x－2)2＋(y＋2)2＝4的公共内部(如图中阴影部分)．(1)x2＋y2表示阴影部分上的点(x，y)到原点O的距离的平方，由数形结合知x2＋y2的最大值为 4.最小值为|OQ|2＝(|OC|－2)2＝(22－2)2＝12－8 2.(2)令x－y＝t，则y＝x－t.t为直线x－y－t＝0在x轴上的截距．如图，当x－y－t＝0与圆x2＋y2＝4相切时，t可取得最大值，即|t|2＝2，即t＝±２2，所以t max＝2 2.当x－y－t＝0与圆(x－2)2＋(y＋2)2＝4相切时，t可取得最小值．即|4－t|2＝2，t＝4±２2，所以t min＝4－2 2.从而x－y的范围为[4－22，22]．。
2017学年高中数学-第四章-圆与方程-4.1.1-圆的标准方程PPT课件
1 方法 2：线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－2(x－4)，即 x ＋2y－4＝0.令 y＝0，得 x＝4， 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
与圆有关的最值问题
[例 3] 设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点， 则 x－12＋y－12的最大值为________．
答案：D
(2)已知圆被 x 轴平分，且过点 A(5,2)和 B(3，－2)，求圆的 标准方程．
解：方法 1：由题意得圆心在 x 轴上． 设圆心坐标为 M(a,0)，则|MA|＝|MB|， 即(a－5)2＋(0－2)2＝(a－3)2＋(0＋2)2，解得 a＝4. 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
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第四章·4.1 · 4.1.1
判断点与圆的位置关系的方法 (1)从形的角度， 比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小， 从而作出判断． (2)从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方程的左边， 再与右边的值比较，从而作出判断．
2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．( (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( 2.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
) )
(3) 圆 (x＋ 1)2 ＋ (y＋ 2)2 ＝ 4 的圆心坐标是 (1,2) ，半径是
点与圆的位置关系
解法 2：设点 C 为圆心， 因为点 C 在直线 x＋y－2＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(a,2－a)． 又因为该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|. 所以 a－12＋2－a＋12＝ a＋12＋2－a－12， 解得 a＝1.所以 2－a＝2－1＝1. 所以圆心坐标为 C(1,1)，半径 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
高中数学第四章圆与方程章末综合提升课件新人教A版必修2
[跟进训练] 1．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且 与直线 4x＋3y－29＝0 相切，求圆的方程． [解] 设圆心为 M(m，0)(m∈Z)， 由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5， 所以|4m－5 29|＝5，即|4m－29|＝25， 因为 m 为整数，故 m＝1， 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
[跟进训练] 1．已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且 与直线 4x＋3y－29＝0 相切，求圆的方程． [解] 设圆心为 M(m，0)(m∈Z)， 由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5， 所以|4m－5 29|＝5，即|4m－29|＝25， 因为 m 为整数，故 m＝1， 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得 a＝－2. 因为圆心 C(－2，0)，半径 r＝2， 所以圆 C 的方程为(x＋2)2＋y2＝4. (2)由题意知，直线 l1，l2 的斜率存在且不为 0，设 l1 的斜率为 k， 则 l2 的斜率为－1k，
所以 l1：y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0， l2：y＝－1k(x＋1)，即 x＋ky＋1＝0. 由题意，得圆心 C 到直线 l1，l2 的距离相等， 所以|－k22k＋＋1k|＝|－k22＋＋11|，解得 k＝±1， 所以直线 l1 的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0.
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得 λ＝43. 所以所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋43(3x－2y－3)＝0，即 x2＋y2＋8x－230y－9＝0.
高中数学第四章圆与方程复习优秀课件
二.课中 3.阅读教材.自主习标 A级问题
知识探究（三）：圆与圆的位置关系
思考1:两个大小不等的圆，其位置关系有内含、 内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中， 这些位置关系是如何判定的？
d
d
d
d
d
A 级问题
第 11 页
二.课中 3.阅读教材.自主习标 A级问题
d
d
d
d
d
若d＜｜R-r｜，则两圆内含；若d=｜R-r｜， 则两圆内切；若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆 相交；若d＝R＋r，则两圆外切；若d＞R＋r， 则两圆外离.
因此：
| 2 3k 3 | 5 k2 1
检测达标
第 29 页
二.课中 5.练测拓展.达成目标
例 已知过点 M (3,3)的直线被圆 x2 y2 4y 21 0 所截得的弦长为 4 5，求直线的方程．
解：即：| 3k 1| 5 5k 2
两边平方，并整理得到：2k 2 3k 2 0
X
(x+1)2+(y-2)2=1
B 级问题
第 19 页
二.课中 4.合作探究.研讨学标 B级问题
2、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径 为2.写出圆的方程.
Y 2 Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
B 级问题
第 20 页
A 级问题
第 15 页
整理B级问题.互相讨论两分钟
第 16 页
B级问题分组
流年组 墨画组 超凡组
1 2 寒松组 3 4 奂炽组 5 6 梵音组
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修2课件：第四章4.1.2
3．求轨迹方程的一般步骤 (1)建系：建立适当的直角坐标系． (2)设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任意一点 M 的坐标． (3)列式：列出关于 x，y 的方程． (4)化简：把方程化为最简形式． (5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第一页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
第二页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
1．方程 当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2＋__D__x_＋__E_y_＋__F_＝__0___叫做圆的
第七页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
第八页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
任何一个圆的方程都可化为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的形式，但 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程不一定表示圆．判断它是否 表示圆可以有以下两种方法： (1)计算 D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为 0，则 表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．
第十一页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
探究点二 三角形外接圆方程
已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)，B(－2，3)，C(4， －5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为 A，B，C 在圆上，
高中数学人教A版必修二课件：第四章 圆与方程 章末归纳提升
a＝4， 解得b＝0， r＝2
a＝0， 或b＝－4 3， r＝6.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
轨迹问题
求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨 迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验． 在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部 分．检验一般有两种： 一种是文字说明，一种是式子说明．所 谓式子说明，就是用式子注明方程中 x 或 y 的取值条件(即范 围)，由于式子说明的形式往往比文字说明显得清楚，因此一 般采用这种方法．
又因为 b＝2a，所以 a＝2，b＝4 或 a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋ 4)2＝10.
求圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切 于点 P(3，－2)的圆的方程．
【解】
法一
设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2
(2)当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝2， 且|AB|＝2 3，所以符合题意． 综上所述，直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0 或 x＝2.
已知圆 C 与圆 x2＋y2－2x＝0 相外切， 并且与直线 x＋ 3 y＝0 相切于点 Q(3，－ 3)，求圆 C 的方程．
【解】 设所求圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a， b)与 Q(3， － 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0， 且斜率为 3. a－12＋b2＝r＋1， |a＋ 3b|＝r， 2 由题意得 b＋ 3 ＝ 3， a － 3
【规范解答】 (1)当直线 l 存在斜率时， 设直线 l 的方程 为 y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0. 作示意图如图，MC⊥AB 于 C. 1 在 Rt△MBC 中， |BC|＝ |AB|＝ 3， |MB|＝2， 2 故|MC|＝ |MB|2－|BC|2＝1， |k－1＋3－2k| 由点到直线的距离公式得 ＝1， 2 k ＋1 3 解得 k＝ . 4 故直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0.
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修2课件：第四章4.1.1
B．0<a<1 D．a＝±1
第七页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
4．圆心为点 C(8，－3)，且经过点 P(5，1)的圆的标准方程是 ____________． 解析：法一：根据圆的定义，圆的半径 r＝|CP|＝
（8－5）2＋（－3－1）2＝5，所以圆的标准方程是(x－8)2＋(y ＋3)2＝25. 法二：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，因为点 P(5，1) 在圆上，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，即 r2＝25.故圆的标准方程是 (x－8)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－8)2＋(y＋3)2＝25
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
探究点二 点与圆的位置关系
(1)点 P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1 的内部，则 a
B．a<113
C．－15<a<15
D．－113<a<113
(2)已知两点 P1(4，9)和 P2(6，3)． ①求以 P1P2 为直径的圆的方程； ②试判断点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还
第二十五页，编辑于星期六：二十点 三十三分。
有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一 般地，①形如 k＝xy－－ba的最值问题可转化为求动直线斜率的最值 问题；②形如 t＝ax＋by 的最值问题转化为动直线截距的最值问 题；③形如(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题转化为圆上一动点到定 点(a，b)的最值问题．
由图可知，设过 A 点与圆 C 相切的切线方程为 y＝a(x－4)， 则点 C 到该直线的距离为 2， 即|a＋a22－＋41a|＝2， 解得 5a2－12a＝0， 所以 a1＝0，a2＝152， 即 kAA1＝0，kAA2＝152， 所以 0≤k≤152， 即x－y 4的最大值为152，最小值为 0.
高中数学必修二人教版课件第四章-圆与方程 本章总结提升精选ppt课件
C．0，6π
D．0，π3
D [解析] 易知直线 l 的斜率存在，所以可设 l：y＋1＝k(x ＋ 3)，即 kx－y＋ 3k－1＝0.因为直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共 点，所以圆心(0，0)到直线 l 的距离| 31k＋－k12|≤1，即 k2－ 3k≤0，
解得 0≤k≤ 3，故直线 l 的倾斜角的取值范围是0，π3 .
A．(x－2)2＋y2＝5
B．(y－2)2＋x2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．(y＋2)2＋x2＝5
A [解析] 易知圆(x＋2)2＋y2＝5 的圆心为(－2，0)，半 径 r＝ 5，其关于原点(0，0)对称的圆的圆心为(2，0)，半径 为 5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
本章总结提升 │ 整合创新
圆．( × )
2 ． 圆 x2 ＋ y2 ＋ 2ax－ ay － 10a － 25 ＝ 0(a∈R) 恒 过 两 定
点．( √ )
3．由点(x0，y0)向圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 所引切线的长
为 l＝ x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.( √ )
4．将两圆的方程作差即得其公共弦所在直线的方
本章总结提升 │ 整合创新
► 题型五 空间直角坐标系的应用 [类型总述] (1)空间直角坐标系；(2)空间点的坐标；(3)
空间两点间的距离公式．
本章总结提升 │ 整合创新
例 4 如图 T4-1 所示，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是对角线 D1B 的中点，点 Q 在棱 CC1 上， 建立适当的空间直角坐标系.
再见
程．( × )
5．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置
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A．①和② C．④和③
B．③和① D．④和②
(2)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2，0，0)，B(2，2，0)， C(0，2，0),D(1，1， 2)．若 S1，S2，S3 分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( A．S1＝S2＝S3 C．S3＝S1 且 S3≠S2 )
已知圆 x2＋y2＝r2，直线 l 与 x 轴垂直，且与圆交于 M， N 两点，若 A(－r，0)，B(r，0)，求直线 AM 与 BN 的交点 P 的 轨迹方程．
[解] 如图，由题意知 M，N 关于 x 轴对称，
2 2 设 M(x1，y1)，则 N(x1，－y1)，且 x2 1＋y1＝r .
设 P(x，y)，由 A，P，M 三点共线，得 y－0 y1－0 ＝ ，① x＋r x1＋r y－0 －y1－0 由 B，P，N 三点共线，得 ＝ ，② x－ r x 1－ r
自点 A(－3，3)发出的光线射到 x 轴上，被 x 轴反射后， 其反射光线所在直线与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切．求入 射光线 l 与反射光线 l′所在的直线方程． [解] 如图所示，圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 关于 x 轴对称的
圆 C′为(x－2)2＋(y＋2)2＝1， 由题意设过 A 点与圆 C′相切的直线 斜率为 k，则 l：y－3＝k(x＋3)． 点(2，－2)到直线 l 的距离为 d＝ |2k＋2＋3k＋3| 3 4 ＝1，解得 k＝－ 或 k＝－ . 2 4 3 1 ＋k 所以入射光线 l 的方程为：3x＋4y－3＝0 或 4x＋3y＋3＝0.又 l 与 l′关于 x 轴对称，故反射光线 l′所在的直线 方程为 3x－4y－3＝0 或 4x－3y＋3＝0.
第四章
圆与方程
章末复习提升课
求圆的方程
1．关于求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求圆心和半 径， 但基本方法是以待定系数法为主， 在设方程时应根据条件选 择使用标准方程还是一般方程，如果题目给出圆心坐标等关系， 则采用标准方程； 如果已知圆上多个点的坐标， 则采用一般方程． 2．另外注意，用动点轨迹的方法求圆的方程时，除定义外还有 其他等量关系， 如动点与两定点连线互相垂直、 动点到两定点的 距离的比是常数等．
空间坐标与三视图
空间点的坐标是通过空间点在空间坐标系中平面 xOy， xOz， yOz 的射影确定的， 事实上即为点的三视图， 将确定空间几何体的元 素投影在空间坐标系的面中， 将空间坐标与三视图有机结合是两 者紧密关系的数形结合的体现．
(1)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中， 一个四面体的顶点坐标分别是(0， 0， 2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出 编号为①②③④的四个图，则该四面体的正 视图和俯视图分别为( )
(2)直线 AB 即为这两个圆的公共弦所在直线． 由 x2＋y2－2x＋y－14＝0 与(x－4)2＋(y－2)2＝9 相减， 得 6x＋5y －25＝0. (3)设 AB、PC 交于点 Q， |6×（－2）＋5×（－3）－25| 52 则|PQ|＝ ＝ . 2 2 61 6 ＋5 |6×4＋5×2－25| 9 |CQ|＝ ＝ . 2 2 61 6 ＋5 在 Rt△PCA 中，因为 AQ⊥PC， 52 9 468 由平面几何知|AQ| ＝ × ＝ . 61 61 61
2
|AB|＝2|AQ|＝2×
468 12 ＝ 793. 61 61
与圆有关的最值问题
在解决有关直线与圆的最值和范围问题时， 最常用的方法是函数 法， 把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式， 用函数或方 程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形 结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件， 应用图形的直观位置关系得出要求的范围， 其中可应用平面几何 知识， 找到要求最值的量的几何意义， 再应用平面几何知识求出 要求的量的最值．
(2)如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标 1 平面 xOy 上的正投影，所以 S1＝ ×2 2 ×2＝2.三棱锥在坐标平面 yOz 上的正 投影与△DEF(E，F 分别为 OA，BC 的 1 中点)全等，所以 S2＝ ×2× 2＝ 2.三棱锥在坐标平面 xOz 上 2 的正投影与△DGH(G，H 分别为 AB，OC 的中点)全等，所以 1 S3＝ ×2× 2＝ 2，所以 S3＝S2 且 S3≠S1.故选 D. 2
已知 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心， 求四边形 PACB 面积的最小值．
[解] 因为点 P 在直线 3x＋4y＋8＝0 上，如图所示． 3 所以设 Px，－2－4x， C 点坐标为(1，1)， S 四边形 PACB＝2S△PAC＝|AP|· |AC|＝|AP|， 因为|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1， 所以当|PC|最小时，|AP|最小，四边形 PACB 的面积最小．
半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用．
过点 P(－2，－3)作圆 C：(x－4)2＋(y－2)2＝9 的两条切 线，切点分别为 A、B.求： (1)经过圆心 C，切点 A、B 这三点的圆的方程； (2)直线 AB 的方程； (3)线段 AB 的长．
[解] (1)如图所示，连接 CA、CB.由平 面几何知， CA⊥PA， CB⊥PB.点 P、 A、 C、B 共圆，且 CP 为直径．这也是过三 点 A、B、C 的圆． 因为 P(－2， －3)， 圆心坐标为 C(4， 2)， 所以所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即 x2＋y2 －2x＋y－14＝0.
[答案] (1)D (ຫໍສະໝຸດ )D将方程①②的左右两端分别相乘得
2 －y1 y2 ＝ 2. x2－r2 x2 － r 1 2 2 2 2 2 因为 x1 ＋y2 ＝ r ，即 x － r ＝－ y 1 1 1，
y2 所以 2 2＝1， x －r 即 x2－y2＝r2 即为所求．
和圆有关的对称问题
圆关于点、直线的对称图形仍然是一个和原来的图形全等的圆， 因此， 求对称的圆的方程只需要求出圆心关于点、 直线的对称坐 标即可， 半径不变． 圆的对称常和入(反)射光线等问题结合起来， 要充分利用光学知识理解题意．
2 3 1＋2＋ x 因为|PC|2＝(1－x)2＋ 4 2 5 25 2 5 x＋1 ＋9， ＝ x ＋ x＋10＝ 4 16 2
所以|PC|min＝3， 当|PC|最小时，|PA|＝ 32－1＝2 2， 所以四边形 PACB 面积的最小值为 2 2.
动点的轨迹问题
求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型， 解答这类问题常用 的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等．
（3－a）2＋（6－b）2＝r2，
2 2 2
a＝5，
2
2 9 25 y－ ＝ . 所以圆的方程为(x－5)2＋ 2 4
法二：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由 CA⊥l，A(3，6)、B(5，2)在圆上，
5 ＋2 ＋5D＋2E＋F＝0， D＝－10， E 得－ －6 解得E＝－9， 2 4 × ＝－1. F＝39. D 3 － 2 －3
2 2
32＋62＋3D＋6E＋F＝0，
所以所求圆的方程为 x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
直线与圆的位置关系
讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的 个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑， 其中 用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用． 如直线与圆相交
2 l ＋d2＝r2(其中，弦长为 l，弦心距为 d， 求弦长时，利用公式 2
有一圆 C 与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3，6)，且 经过点 B(5，2)，求此圆的方程．
[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心为 C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
（5－a） ＋（2－b） ＝r ， b＝9， 2 解得 b－6 4 25 × ＝－1， 3 a－ 3 r ＝ 4 .
B．S2＝S1 且 S2≠S3 D．S3＝S2 且 S3≠S1
[解析] (1)由三视图可知， 该几何体的正视图是一个直角三角形， 三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有 一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视 图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是 (0， 0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.