武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)及答案
湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)(解析版)
湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,, ,则A. B. C.或 D.或6【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意,,则集合A、B表示的直线平行且不重合，即求得，代入两直线不重合，复合题意，故选B.2．已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【答案】D【解析】由题意得a+2=,解得a=-2或a=1.3．如果实数满足:,则下列不等式中不成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查不等式的性质.由，利用绝对值不等式的性质，得A.正确；对于B.得即与矛盾，故B错误；对于C.等价于即，由，故C正确；由，平方得，故D正确，综上，不等式中不成立的是B.故选B.4．在等比数列中,则等于A.或B.或C.D.【答案】A【解析】本题主要考查等比数列的性质.依题意，根据等比数列的性质得,则，是方程的两根，解得或得或.故选A.5．在三角形ABC中,,,,则满足条件的三角形有()个A.1B.2C.0D.与有关【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理的应用.根据正弦定理，，由，则满足条件的三角形有2个，故选B.6．是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是①②③④A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系.根据公理4可得①正确；对于②,，则与平行或异面或相交，故②错误；对于③,得与平行或相交，故③错误；对于④,,则与相交或平行，故④错误；综上，正确的只有①，故选A.7．过圆内一点的最长弦与最短弦分别为、,则直线与的斜率之和为A. B. C. D.或【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及直线的斜率.把圆的方程化为标准方程得：(x−3)2+(y−4)2=25，得圆心坐标为(3,4)，则过(2,5)的最长弦AB所在直线的斜率为，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，故过(2,5)最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为−1+1=0.故选B.8．已知等差数列的前项和为,公差,当取最小值时,的最大值为10,则数列的首项的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质.依题意，当取最小值时,的最大值为10,则，即，求得，故选B.9．已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是A. B. C. D.【答案】C【解析】根据几何体的三视图，该几何体是如图所示的四棱锥，且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD，高为cm.则该四棱锥的体积为.故选C.10．设实数满足,如图所示,则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】由图象知y⩽10−2x，则xy⩽x(10−2x)=2x(5−x))，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验(,5)在可行域内，故xy的最大值为，故选A.11．三棱锥的顶点在平面ABC内的射影为P,给出下列条件,一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有()个①；②两两垂直；③；④A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查线面垂直.由①可得≌≌，得，得P为三角形ABC的外心；对于②，若两两垂直，则⊥平面，则⊥，由⊥平面，可得⊥，即可证得⊥平面，可得⊥，同理可证⊥，则P为三角形ABC的垂心；对于③，由；可得⊥平面，只有当点与点重合时，点P为三角形ABC的垂心；对于④，利用②可得P为三角形ABC的垂心；综上，一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有②④，共2个，故选B.12．在中,角所对的边分别为.若,且,则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理.根据正弦定理，得,即，得，又则即，则=====，故最大值是.二、填空题：共4题13．数列前10项的和为 .【答案】【解析】本题主要考查数列的前n项和.，则数列前10项的和为.故填.14．三棱锥中,正三角形ABC的边长为,,二面角的平面角的大小为,则 .【答案】【解析】本题主要考查二面角及余弦定理.取AB的中点，在等腰中，求得，在正三角形中，求得，且二面角的平面角的平面角,利用余弦定理可得=，，故填.15．若数列的前项之积等于,,则数列的通项公式为______. 【答案】【解析】本题主要考查数列求通项.依题意，==,当时，，当时，==，故.16．动直线与圆及直线分别交于P、Q两点,则的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数和与差的三角公式.设点，依题意，则，点，则===，当时，有最小值.三、解答题：共6题17．三角形ABC三边长分别为,最大角C是最小角A的两倍.(1)求(用表示);(2)求正整数的值.【答案】(1)根据大角对大边及大边对大角可知，所对角为，所对角为，由余弦定理得：.(2)由正弦定理得：及得.由得：.【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理.(1)根据大角对大边及大边对大角可知，所对角为，所对角为，由余弦定理得：.(2)由正弦定理得：及得.由得：.18．求证:两条平行线与同一个平面所成角相等.已知:,平面.求证:与平面所成角相等.【答案】已知：，平面.求证：与平面所成角相等.证明：如果都在平面内，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是；如果，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是；如果都与平面平行，它们与平面所成角都是；如果都与平面垂直，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是.如果与平面斜交，设其交点分别为、，分别过上的点作的垂线，，. 如图所示，连接、，由线面角的定义可知与平面所成角分别为，因为，又所以，所以.综上，两条平行线与同一个平面所成角相等.【解析】本题主要考查直线与平面所成的角.分情况讨论：①直线都在平面内，它们与平面所成角都是；②都与平面平行，它们与平面所成角都是；③直线与平面斜交，分别过上的点作的垂线，.如图所示，连接、，利用三角形相似证得，从而证得结论.19．已知数列的首项,且.()求证:数列是等比数列；()求数列的前项和.【答案】()证明：，因此数列是等比数列，且公比为2.()由()及题设可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，因此，于是；∴.则,①∴,②②-①得.【解析】本题主要考查等比数列的判定、错位相减法求和.(1)，从而证得数列是等比数列；()由(1)得数列是等比数列，且公比为2的等比数列，求得，故，然后利用错位相减法求得数列的前项和.20．在长方体中,与平面交于H点,E是的中点,.(1)求证:平面;(2)证明:H为三角形的重心.【答案】证明：(1)连接交于，为的中点，连接交于，是的中点，连接，在长方体中，且，所以为平行四边形，所以，又，所以为的中点，为的中点，所以.，平面，平面，所以平面.(2)在矩形中，，且平面，所以为直线与平面的公共点，所以点就是点。
2023-2024学年湖北省武汉市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省武汉市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则Z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是()A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为73.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是()A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则4.下列结论正确的是()A.平行向量不一定是共线向量B.单位向量都相等C.两个单位向量之和不可能是单位向量D.5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“90后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是()A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则()A. B. C. D.8.已知矩形ABCD，，，将沿BD折起到若点在平面BCD上的射影落在的内部不包括边界，则四面体的体积的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是()A.B.该样本数据的中位数和众数均为85C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人10.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.已知m ，，i 是关于x 的方程的一个根，则D.若复数z 满足，则的最大值为11.在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则下列结论正确的有()A.B.B 的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷(含答案)
2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−z)i=2，则复数z的虚部为( )A. −iB. −1C. 2iD. 22.已知向量a与b的夹角为30∘，|a|=3，|b|=2，则|a−b|=( )A. 1B. 2−3C. 2+3D. 133.已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是( )A. 3.5B. 4C. 4.5D. 54.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i(i=1,2,3,4,5)，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i(i=1,2,3,4)，平均数为y，下面说法正确的是( )A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数C. 若x=y，则新数据的方差一定小于原数据方差D. 若x=y，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量(不计损耗)约为( ) (参考数据：π≈3.14)A. 1.3m 3B. 1.5m 3C. 1.8m 3D. 2.2m 36.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α，l⊄β，则( )A. α//β，l//αB. α⊥β，l ⊥βC. α与β相交，且交线平行于lD. α与β相交，且交线垂直于l7.如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AC ⊥BC ，∠DAC =30∘，∠BAC =45∘现将△ACD 沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D−ABC 的外接球的表面积为8π，则三棱锥D−ABC 的体积为( )A. 14B.34C.38D.338.已知棱长为4的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，点E 是棱AB 的中点，点F 是棱CC 1的中点，动点P 在正方形AA 1D 1D(包括边界)内运动，且PB 1//面DEF ，则PD 的长度范围为( )A. [ 13,19]B. [3355,25]C. [121717,25]D. [3395,19]二、多选题：本题共3小题，共15分。
湖北省武汉二中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省武汉二中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β4．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．285．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．36．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（）A．B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．一定相离B．一定相切C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心8．已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a2+b2的取值范围是（）A．（，）B．（，16）C．（1，16）D．（，4）9．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为（）A．B．C．D．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则•的取值范围是（）A．[﹣6，6]B．[﹣9，9]C．[0，8]D．[﹣2，6]12．数列{a n}满足：a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，则b n的前6项的和的4倍为（）A．183 B．132 C．528 D．732二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13．已知x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．15．x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，则m范围是．16．等差数列{a n}中，＜﹣1，且其前n项和S n有最小值，以下正确的是．①公差d＞0；②{a n}为递减数列；③S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零；④n=19时，S n最小；⑤n=10时，S n最小．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17、18题10分，19、20、21题12各12分，22题14分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．19．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．20．已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．21．四棱锥P﹣ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．22．设S n是非负等差数列{a n}的前n项和，m，n，p∈N+，若m+n=2p，求证：（1）S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）．湖北省武汉二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选C．点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式的逆运算化简求值，牢记特殊角的三角函数值．2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．解答：解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．解答：解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．故选C．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．4．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．28考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解解答：解：由题意可得，解可得a1=1，d=∴=40故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，知C1M⊥AA1，由B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，知C1M⊥A1B1，故C1M⊥平面ABB1A1；由C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，知A1B⊥C1M，由AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，知A1B⊥AM；由AM∥B1N，C1M∥CN，知平面AMC1∥平面CNB1．解答：解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，∴A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，∴A1B⊥平面AC1M，∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM，即②正确；∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选D．点评：本题考查直线与平面垂直、直线与直线垂直、平面与平面平等的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．6．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（）A．B．C．3D．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：首先利用余弦定理求出c，然后求高．解答：解：因为在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，所以cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍去）则BC边上的高为csin60°=；故选A．点评：本题考查了利用余弦定理求三角形的一边；熟练运用定理是关键．7．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．一定相离B．一定相切C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．解答：解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，熟练掌握直线与圆位置关系的判断方法是解本题的关键．8．已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a2+b2的取值范围是（）A．（，）B．（，16）C．（1，16）D．（，4）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：在aob坐标系中，作出不等式表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．由坐标系内两点的距离公式可得z=a2+b2表示区域内某点到原点距离的平方，由此对图形加以观察可得a2+b2的上限与下限，即可得到本题答案．解答：解：以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD内部，（不包括边界）其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）设P（a，b）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=a2+b2=|OP|2，可得当P与D重合时，P到原点距离最远，∴z=a2+b2=16可得当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，P到原点距离最近，等于=∴z=a2+b2=综上所述，可得a2+b2的取值范围是（，16）故选：B点评：本题给出二元一次不等式组，求z=a2+b2的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．9．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）考点：数列的函数特性．专题：综合题．分析：依题意，a n=（n∈N*），{a n}是递减数列，可知，解之即可得答案．解答：解：∵a n=（n∈N*），且{a n}是递减数列，∴，即，解得＜a＜．故选D．点评：本题考查数列的函数特性，求得是关键，也是难点，考查理解与转化能力，属于中档题．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：因为B1C∥平面EDD1，所以三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，棱锥的高为长方体的棱长CD，底面EDD1，是以1为底1为高的三角形，利用棱锥的体积公式可求．解答：解：∵B1C∥平面EDD1，∴三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，而三棱锥F﹣EDD1，高为长方体1，底面EDD1，是以1为底1为高的三角形，∴==；故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，关键是明确三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，进一步明确其店面面积和高，利用体积公式解答．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则•的取值范围是（）A．[﹣6，6]B．[﹣9，9]C．[0，8]D．[﹣2，6]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先，分别以CA，CB二直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而可求出图形上各点的坐标，可设P（x，y），根据条件知P点在△ABC内部及其边界上．这样即可求出，设z=﹣4x+y+7，从而y=4x+z﹣7，通过求该直线在y轴上的截距z﹣7的最大、最小值，便可求出z的最大、最小值，从而得出的取值范围．解答：解：如图，以边CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：A（4，0），B（0，2），D（0，1），E（2，1）；设P（x，y），P点在△ABC内部包括边界，则：；∴；设z=﹣4x+y+7，则y=4x+z﹣7，该式表示斜率为4，在y轴上的截距为z﹣7的直线；由图形看出当直线y=4x+z﹣7过点B时，z﹣7取最大值2，∴z取最大值9；当该直线过点A时，z﹣7取最小值﹣16，∴z取最小值﹣9；∴z的范围，即的范围为[﹣9，9]．故选：B．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决数量积问题的方法，数量积的坐标运算，以及线性规划的方法求变量的范围．12．数列{a n}满足：a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，则b n的前6项的和的4倍为（）A．183 B．132 C．528 D．732考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过韦达定理可知a n+a n+1=﹣3n、a n•a n+1=b n，进而可知a n+2﹣a n=﹣3，通过n=1可知a2=﹣4，进而计算可得结论．解答：解：∵a n、a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣3n、a n•a n+1=b n，∴a n+2﹣a n=﹣3，∴a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为﹣3的等差数列，∴奇数项构成的数列为：{1，﹣2，﹣5，…}，偶数项构成的数列为：{﹣4，﹣7，﹣10，…}，∴b1+b2+b3+b4+b5+b6=1×（﹣4）+（﹣4）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣7）+（﹣7）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣10）+（﹣10）×（﹣8）=﹣4+8+14+35+50+80=183，∴4（b1+b2+b3+b4+b5+b6）=4×183=732，故选：D．点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13．已知x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题．解答：解：由约束条件画出可行域如图：目标函数可化为y=﹣x+z，得到一簇斜率为﹣1，截距为z的平行线要求z的最大值，须保证截距最大由图象知，当目标函数的图象过点A是截距最大又∵点A的坐标为（）∴z的最大值为=；故答案为：．点评：本题考查线性规划，须准确画出可行域．还要注意目标函数的图象与可行域边界直线的倾斜程度（斜率的大小）．14．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．解答：解：∵圆C：x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1∴当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：﹣点评：本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．15．x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，则m范围是﹣2≤m≤4．考点：基本不等式；函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先把x+2y转会为（x+2y）（）×展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y≥m2﹣2m﹣6求得m2﹣2m﹣6≤2，进而求得m的范围．解答：解：∵∴x+2y=（x+2y）（）×=（4+4×+）≥（4+2×2）=2，当且仅当4×=时取等号，∵x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，∴m2﹣2m﹣6≤2，求得﹣2≤m≤4，故答案为：﹣2≤m≤4．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数恒成立问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．等差数列{a n}中，＜﹣1，且其前n项和S n有最小值，以下正确的是①③⑤．①公差d＞0；②{a n}为递减数列；③S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零；④n=19时，S n最小；⑤n=10时，S n最小．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的前10项为负数，从第11项开始为正数，且a10+a11＞0，由等差数列的求和公式和性质逐个选项验证可得．解答：解：∵等差数列{a n}前n项和S n有最小值，∴公差d＞0，①正确，②错误；又∵＜﹣1，∴a10＜0，a11＞0，且a10+a11＞0，∴等差数列{a n}的前10项为负数，从第11项开始为正数，∴当n=10时，S n最小，④错误，⑤正确；∴S19===19a10＜0，S20==10（a10+a11）＞0，∴S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零，③正确．故答案为：①③⑤点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，判定出数列项的正负变化是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17、18题10分，19、20、21题12各12分，22题14分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．18．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．考点：余弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求出最小正周期和单调减区间．（2）由f （A）=1求得，再根据2A+的范围求出2A+的值，从而求出A的值，再由和余弦定理求得b和c的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知：f（x）==，∴f（x）的最小正周期T=π．…由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈z，求得，k∈z．∴f（x）的单调递减区间[，k∈z．…（2）∵f （A）==﹣1，∴，…又＜2A+＜，∴2A+=π，A=．…∵即bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，…又b＞c，∴b=3，c=2．…点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．19．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）对直线的截距分类讨论即可得出；（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，由于l不经过第二象限，可得或，解出即可．解答：解：（1）当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，∴t=1，直线l的方程为3x+y=0．当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，得=t﹣1，即t+2=1，∴t=﹣1，直线l的方程为x+y+2=0．故所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，∵l不经过第二象限，∴或解得t≤﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了直线的方程及其应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为﹣1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣3）2=9﹣m，∴圆心C（﹣，3），半径r2=9﹣m＞0，即m＜，∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点∴9﹣m＜，即m＞8，则m的范围为（8，）；（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m﹣27=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2，x1x2=，y1y2=•==，∵x1x2+y1y2=0，∴+=﹣1，解得：m=3．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系有d与r的大小关系来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．21．四棱锥P﹣ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PB中点G，连结FG，AG，证明FG和AE平行且相等，AEFG为平行四边形，可得EF∥AG．再利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．（2）取PA的中点N，连接BN，DN，∠ANB=θ是二面角D﹣PA﹣B的平面角，即可得出结论．解答：（1）证明：取PB中点G，连结FG，AG，∴FG平行且等于BC，AE平行且等于BC，∴FG和AE平行且相等，∴AEFG为平行四边形，∴EF∥AG．∵AG⊂平面PAB，而EF不在平面PAB内，∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：取PA的中点N，连接BN，DN﹣﹣﹣∵△PAB是等边三角形，∴BN⊥PA，∵Rt△PBD≌Rt△ABD，∴PD=AD，∴AN⊥PB，设∠ANB=θ是二面角D﹣PA﹣B的平面角﹣﹣∴BD⊥面PAB，BD⊥BN，在Rt△DBN中，BD=AB=2BN，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣tanθ==2，cosθ=，∴二面角D﹣PA﹣B的余弦值为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．设S n是非负等差数列{a n}的前n项和，m，n，p∈N+，若m+n=2p，求证：（1）S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的性质以及定义即可证明S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）利用等差数列的前n项和公式，进行证明即可．解答：（1）证明：设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…是等差数列．（2）证明：在等差数列{a n}中，由m+n=2p易得a m+a n=2a p，等式两边同时加2a1，得得（a1+a m）+（a1+a n）=2（a p+a1）．由等差数列前n项和公式化简得，有（+）（+）=+++≥++2=（）2因此，（+）•≥（）2，故+≥•（）2=•（）2，又（以上等号可同时成立）故+≥成立．点评：本题主要考查等差数列的性质的以及数列与不等式的证明，综合性较强，有一定的难度，考查学生的运算和推理能力．。
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，求 与 的夹角 的余弦值．
18. （ 1 ）计算
（2）已知
，求
的值；
和
的值．
3
19. 若函数
，
的部分图像如下图所示．
（1）求函数 的解析式及其对称中心； （2）若将函数 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 在区间 上的单调区间．
2 倍，纵坐标不变， 得到函数
的图像， 求函数
4
20. “菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．通过研究，发现该型 烟花爆裂时距地面的高度 （单位：米）与时间 （单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如下表：
B. 的对称中心是
C. 是奇函数
D. 的对称轴是
6. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度 能是（ ）
随时间 变化的函数
的大致图像如图所示， 则杯子的形状可
A.
B.
C.
D.
7. 已知非零向量 与 满足
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
，且
，则
C. 等腰非等边三角形
为（ ） D. 等边三角形
1
8. 若
，
，
，定义在 上的奇函数 满足 : 对任意的
且
都有
，则
的大小顺序为（ ）
A. C. 9. 要得到函数
B. D.
的图像，只需将函数
的图像（ ）
A. 向左平移 个单位
B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位
D. 向右平移 个单位
10. 已知 是三角形
内部一点，且
A.
B. 1 C.
D. 2
，则
的面积与
6
13. 在平面直角坐标系
湖北省武汉市数学高一下学期理数期末考试试卷
湖北省武汉市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集则=（）A . {2}B . {3}C . {2,3,4}D . {0,l,2,3,4}2. （2分）不等式(x-5)(6-x)>0的解集是（）A .B .C . (5,6)D .3. （2分）命题“”的否定为（）A .B .C .D .4. （2分）“a=1”是“直线与平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，和都是圆内接正三角形，且BC//EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则（）A .B .C .D .6. （2分）设定义在上的函数若关于x的方程有5个不同的实数解，则这5个根的和等于（）A . 12B . 10C . 6D . 57. （2分）的展开式中常数项是（）A . 5B . -5C . 10D . -108. （2分） (2017高一上·成都期末) 若实数a，b，c满足loga3＜logb3＜logc3，则下列关系中不可能成立的（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . a＜c＜b9. （2分）函数 f（x）=的大致图象是（）A .B .C .D .10. （2分） P为圆C1：x2+y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2+y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·毕节期末) 若，分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·西安模拟) 函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．14. （1分）(2017·湖北模拟) 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102），已知P（100≤ξ≤110）=0.36，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．15. （1分） (2016高三上·新津期中) 已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是________16. （1分）对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是[，+∞）．则其中所有真命题的序号是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程；（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？参考公式： = ， = ﹣， = x+ ．19. （5分） (2016高二下·友谊开学考) 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．20. （15分） (2018高二下·牡丹江月考) 某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0100.0050.0012.072 2.7063.841 6.6357.87910.828（参考公式：，其中）（1）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（3）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.21. （10分）(2017·大连模拟) 已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．22. （10分）(2017·诸城模拟) 已知函数f（x）= （x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
湖北省部分重点中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
湖北省部分重点中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、选择题 1．已知m ，n 表示两条不同直线， α表示平面，下列说法中正确的是（ ）A. 若m α⊥， n α⊂，则m n ⊥B. 若m ∥α， n ∥α，则m ∥nC. 若m α⊥， m n ⊥，则n ∥αD. 若m ∥α， m n ⊥，则n α⊥【答案】A2．直线sin 10x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ）A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭ C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 3．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A. 22a b < B. 2ab b < C. 2211ab a b< D. 0a b +< 4．若()12:160,:280l x m y l mx y +++=++=的图像是两条平行直线，则m 的值是（ ） A. 1m =或2m =- B. 1m = C. 2m =- D.m 的值不存在5．在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成角θ的取值范围是（ ） A. 03πθ<<B. 03πθ<≤C. 02πθ<<D. 02πθ<≤6．如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为7，则该几何体的表面积为（ ）A. 18B. 21C. 24D. 277．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sinA=3sinB=4sinC ，则△ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定8．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O ，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）A.10B. 5C. 5D. 59．变量,x y 满足2{2390x y x y x +≤-≤≥，若存在,x y 使得(0)xy k k =>，则k 的最大值是（ ）A. 1B. 2C.D. 10．设{}n a 是等差数列， {}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若111313,a b a b ==，则有（ ）A. 77a b =B. 77a b >或77a b <C. 77a b <D. 77a b >11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC === 2AC AB ==,且AC AB ⊥,则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 9π12．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过38，则该塔形中正方体的个数至少是( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个 二、填空题13．点和点关于点的对称点都在直线的同侧，则的取值范围是__________。
湖北省武汉市第二中学2018-2019学年高一下学期期末数学(理)试题
A． B． C． D．
11．已知 ， ， ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列 的“好数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为（）
湖北省武汉市第二中学2018-2019学年高一下学期期末数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．若等差数列 的前5项之和 ，且 ，则 （）
A．12B．13C．14D．15
2．下列结论：
① ；
② ；
③ ， ；
④ ， ，
（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2 ，求三棱锥C一A1DE的体积.
20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量 （千辆/h）与汽车的平均速度 之间的函数关系式为： ．
（1）若要求在该段时间内车流量超过2千辆 ，则汽车在平均速度应在什么范围内？
A． B． C． D．
13．若 ， ， ，则M与N的大小关系为___________．
14．已知数列 的前n项和 ，则 ___________．
15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．
A．3或-3B．3C．-3D．不存在
6．如图，正方形 的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．
湖北省武汉二中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年湖北省武汉二中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}，A∩B=∅，则a=（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或62．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或13．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．D．b2﹣a2＜04．在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．5．在三角形ABC中，A=45°，a=，＜b＜2，则满足条件的三角形有（）个．A．1 B．2 C．0 D．与c有关6．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．47．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣28．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=，当S n取最小值时，n的最大值为10，则数列的首项a1的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．三棱锥S﹣ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P，给出下列条件，一定可以判断P 为三角形ABC的垂心的有（）个①SA=SB=SC②SA，SB，SC两两垂直③∠ABC=90°，SC⊥AB④SC⊥AB，SA⊥BC．A．1 B．2 C．3 D．412．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上13．数列前10项的和为______．14．三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，则SC=______．15．若数列{a n}的前n项之积等于n2+3n+2，（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为______．16．动直线y=a与圆x2+y2=1及直线2x+y﹣4=0分别交于P、Q两点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．三角形ABC三边长分别为n，n+1，n+2，n∈N+，最大角C是最小角A的两倍．（1）求cosA（用n表示）（2）求正整数n的值．18．求证：两条平行线与同一个平面所成角相等已知：a∥b，平面α求证：a，b与平面α所成角相等．19．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n+3，n∈N++1（1）求证：数列{a n+3}是等比数列；（2）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与平面A1BC1交于H点，E是DD1的中点，．（1）求证：EF∥平面A1BC1（2）证明：H为三角形A1BC1的重心．21．已知圆O的方程为x2+y2=9，圆内一点C（2，1），过C且不过圆心的动直线l交圆O 于P、Q两点，圆心O到直线l的距离为d．（1）用d表示△OPQ的面积S，并写出函数S（d）定义域；（2）求S的最大值并求此时直线l的方程．22．已知圆C与直线y=﹣x+2相切，圆心在x轴上，且该圆被直线y=x截得的弦长为4．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l与圆C交于A，B两点．若直线OA与OB的斜率之积为﹣（3+）k2，求•的值．2017-2018学年湖北省武汉二中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}，A∩B=∅，则a=（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或6【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集为空集，确定出a的值即可．【解答】解：A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}={（x，y）|y=3x﹣3，x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}={（x，y）|y=x+}，∵A∩B=∅，∴两直线平行，∴=3，解得a=6，故选：B．2．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1【考点】直线的截距式方程．【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值．【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a=0得，此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2+a，由=2+a，得a=1 或a=﹣2，故选D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．D．b2﹣a2＜0【考点】不等式比较大小．【分析】由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，，a2﹣b2＞0，，即可判断出正误．【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，，即，a2﹣b2＞0，因此A，C，D正确．对于B：∵0＞a﹣b＞a，∴，即，因此B不正确．故选：B．4．在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，从而得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，又由====，能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，∴a4•a14=6，∴a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，解方程x2﹣5x+6=0，得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，∴====，∴当a4=2，a14=3时，=，当a4=3，a14=2时，=．故选：A．5．在三角形ABC中，A=45°，a=，＜b＜2，则满足条件的三角形有（）个．A．1 B．2 C．0 D．与c有关【考点】正弦定理．【分析】由已知可求A为锐角，且bsinA＜a＜b，即可判断满足条件的三角形的个数为2个．【解答】解：∵A=45°，a=，＜b＜2，∴可得：bsinA=b∈（，），∴A为锐角，且bsinA＜a＜b，故有两组解．故选：B．6．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线线，面面的位置关系，即可得出结论．【解答】解：①a∥b，b∥c，根据平行公理可得a∥c，正确；②a⊥b，b⊥c，则a∥c，a，c相交或异面，不正确；③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ，α，γ相交，不正确；④α⊥β，α∩β=a，b⊥a，b⊂β，则b⊥β，不正确．故选A．7．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=，当S n取最小值时，n的最大值为10，则数列的首项a1的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意，由此能求出数列的首项a1的取值范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，当S n取最小值时，n的最大值为10，∴，∵公差d=，∴﹣≤a1≤﹣．∴数列的首项a1的取值范围是[﹣，﹣]．故选：B．9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，据此可求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，因此该几何体的体积V==．故选：C．10．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A11．三棱锥S﹣ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P，给出下列条件，一定可以判断P 为三角形ABC的垂心的有（）个①SA=SB=SC②SA，SB，SC两两垂直③∠ABC=90°，SC⊥AB④SC⊥AB，SA⊥BC．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱锥的结构特征．【分析】由斜线相等得到射影相等判断①；利用线面垂直的判定和性质结合垂心概念判断②③④．【解答】解：如图，对于①，由SA=SB=SC，可得PA=PB=PC，可得P为底面三角形ABC的外心；对于②，SA，SB，SC两两垂直．由SB⊥SA，SB⊥SC，可得SB⊥平面SAC，则SB⊥AC，又SP⊥平面ABC，∴SP⊥AC，则AC⊥平面SPB，则PB⊥AC．同理可得PA⊥BC，则P 为底面三角形ABC的垂心；对于③，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，又SC⊥AB，得AB⊥平面SBC，∴平面ABC⊥平面SBC，则S在底面的射影P在BC上，不一定为底面三角形的垂心；对于④，SC⊥AB，SA⊥BC．由SP⊥平面ABC，得SP⊥AB，又SC⊥AB，则AB⊥平面SPC，则AB⊥PC，同理可得AC⊥PB，可得P为底面三角形的垂心．∴可以判断P为三角形ABC的垂心的有2个．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．【解答】解：∵acosA=bsinA，∴，又由正弦定理得，∴sinB=cosA=sin（），∵B，∴π﹣B=．∴B=A+．∴C=π﹣A﹣B=．∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+．∵0，，∴0，∴0＜sinA．∴当sinA=时，sinA+sinC取得最大值．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上13．数列前10项的和为．【考点】数列的求和．【分析】通过裂项可得a n=（﹣），并项相消计算即可．【解答】解：∵a n==（﹣），∴S10= [（1﹣）+（）+（）+（）+…+（）]=（1+﹣﹣）=，故答案为：；14．三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，则SC=．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取AB中点O，连结AO、CO，推导出SO=1，CO=3，∠SOC是二面角S﹣AB﹣C 的平面角，由此利用余弦定理能求出SC的长．【解答】解：取AB中点O，连结AO、CO，∵三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，∴SO⊥AB，CO⊥AB，且SO==，CO===3，∴∠SOC是二面角S﹣AB﹣C的平面角，∵二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，∴∠SOC=60°，∴SC===．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项之积等于n2+3n+2，（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为a n=．n∈N*．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：a1a2•…•a n=n2+3n+2，（n∈N+），n=1时，a1=6．n≥2时，a1a2•…•a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）+2，相除即可得出．【解答】解：由题意可得：a1a2•…•a n=n2+3n+2，（n∈N+），∴a1=6．n≥2时，a1a2•…•a n=（n﹣1）2+3（n﹣1）+2=n2+n，（n∈N+），﹣1∴a n==．∴a n=．n∈N*．故答案为：a n=．n∈N*．16．动直线y=a与圆x2+y2=1及直线2x+y﹣4=0分别交于P、Q两点，则|PQ|的最小值为2﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出与直线2x+y﹣4=0平行的圆的切线方程，分别计算切线方程、直线2x+y﹣4=0与x轴交点的横坐标，即可得出|PQ|的最小值．【解答】解：设与直线2x+y﹣4=0平行的直线方程为2x+y+k=0，则圆心O（0，0）到该直线的距离为d==1，解得k=±；应取k=﹣，所以切线方程为2x+y﹣=0；令y=0，得x=，直线2x+y﹣4=0中，令y=0，得x=2；所以|PQ|的最小值为2﹣．故答案为：2﹣．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．三角形ABC三边长分别为n，n+1，n+2，n∈N+，最大角C是最小角A的两倍．（1）求cosA（用n表示）（2）求正整数n的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）设n所对角为A，n+2所对角为C，运用三角形的余弦定理，化简可得cosA；由正弦定理和二倍角的正弦公式，化简整理可得cosA；（2）由（1）可得n的方程，可得，解方程可得n的值．【解答】解：（1）根据大角对大边及大边对大角可知，设n所对角为A，n+2所对角为C，由余弦定理得：，由正弦定理得：及C=2A 得 ==，可得；（2）由（1）可得得（n +2）2=n （n +5）， 解得n=4．18．求证：两条平行线与同一个平面所成角相等 已知：a ∥b ，平面α求证：a ，b 与平面α所成角相等．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】分类讨论，利用线面角的定义，即可证明．【解答】证明：如果a ，b 都在平面α内，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是0°；如果a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ⇒b ∥α，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是0°； 如果a ，b 都与平面α平行，它们与平面α所成角都是0°；如果a ，b 都与平面α垂直，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是90° （一种情况1分）如果a ，b 与平面α斜交，设其交点分别为A 、B ，分别过a ，b 上的点作α的垂线，CE ，DF如图所示，连接AE 、BF ，由线面角的定义可知a ，b 与平面α所成角分别为∠CAE ，∠DBF ，因为CE ⊥α，DF ⊥α⇒CE ∥DF ，又AC ∥BD ，所以∠ACE=∠BDF ，所以∠CAE=∠DBF综上，两条平行线与同一个平面所成角相等．19．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n +1=2a n +3，n ∈N + （1）求证：数列{a n +3}是等比数列； （2）求数列{n （a n +3）}的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）a n +1+3=2a n +3+3，即a n +1+3=2（a n +3），由等比数列的定义，即可证数列{a n +3}是等比数列；（2）根据（1）由等比数列的通项公式，求出a n +3，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，求出前n 项和T n ．【解答】解：（1）a n +1+3=2a n +3+3，即a n +1+3=2（a n +3）， ∴，又a 1+3=4≠0，∴数列{a n +3}是首项为4，公比为2的等比数列； （2）由（1）得a n +3=4•2n ﹣1=2n +1， ∴n （a n +3）=n •2n +1，T n =1×22+2×23+3×24+…+n •2n +1，①2T n =1×23+2×24+…+（n ﹣1）•2n +1+n •2n +2，② ①﹣②得：﹣T n =4+23+24+…+2n +1﹣n •2n +2=4+﹣n •2n +2=﹣4+（1﹣n ）•2n +2， ∴T n =2n +2（n ﹣1）+4．20．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1D 与平面A 1BC 1交于H 点，E 是DD 1的中点，．（1）求证：EF ∥平面A 1BC 1（2）证明：H 为三角形A 1BC 1的重心．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接B 1D 1交A 1C 1于O ，O 为A 1C 1的中点，连接AC 交BD 于O 1，O 1是BD 的中点，连接D 1O 1，证明OB ∥D 1O 1，证明EF ∥OB ，即可证明以EF ∥平面A 1BC 1 （2）证明BH=2HO ，又BO 为三角形A 1BC 1的中线，推出H 为三角形A 1BC 1的重心． 【解答】证明：（1）连接B 1D 1交A 1C 1于O ，O 为A 1C 1的中点， 连接AC 交BD 于O 1，O 1是BD 的中点，连接D 1O 1，在长方体中，OD 1∥BO 1且OD 1=BO 1，所以BOD 1O 1为平行四边形，所以OB ∥D 1O 1， 又，所以F 为DO 1的中点，E 为DD 1的中点，所以EF ∥D 1O 1 EF ∥OB ，OB ⊂平面A 1BC 1，EF ⊄平面A 1BC 1， 所以EF ∥平面A 1BC 1（2）在矩形BB 1D 1D 中，B 1D ∩B 1D=M ，M ∈B 1D 且M ∈BO ⊂平面A 1BC 1， 所以M 为直线B 1D 与平面A 1BC 1的公共点，所以M 点就是H 点． 又在矩形BB 1D 1D 中，三角形B 1OH 相似于三角形BDH ， 又，所以BH=2HO ，又BO 为三角形A 1BC 1的中线，所以H 为三角形A 1BC 1的重心．21．已知圆O的方程为x2+y2=9，圆内一点C（2，1），过C且不过圆心的动直线l交圆O 于P、Q两点，圆心O到直线l的距离为d．（1）用d表示△OPQ的面积S，并写出函数S（d）定义域；（2）求S的最大值并求此时直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出OC的长度，得到d的范围，再由垂径定理把弦长用d表示，可得△OPQ 的面积S的表达式；（2）利用基本不等式求得S的最大值，得到相应的d值，再由点到直线距离公式求得直线的斜率得答案．【解答】解：（1）如图，∵圆内一点C（2，1），∴|OC|=，则圆心O到直线l的距离为d∈（0，]．∵圆O的半径为3，∴|PQ|=2，则S（d）==．函数定义域为（0，]；（2）由S（d）==．得S的最大值为，当且仅当9﹣d2=d2，即，d=∈（0，]．此时直线l的斜率存在，设为k，则直线方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0．由d=，解得k=﹣1或k=﹣7．∴直线l的方程为：x+y﹣3=0或7x+y﹣15=0．22．已知圆C与直线y=﹣x+2相切，圆心在x轴上，且该圆被直线y=x截得的弦长为4．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l与圆C交于A，B两点．若直线OA与OB的斜率之积为﹣（3+）k2，求•的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出圆心C的坐标为（a，0），半径为r，根据圆C与y=﹣x+2相切，被直线y=x截得的弦长为4，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可．（2）直线l的方程为y=k（x+1），联立直线与圆的方程，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求解即可．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，此时圆心坐标为（a，0），半径为r，圆C与直线y=﹣x+2相切，∴r=…①，该圆被直线y=x截得的弦长为4．∵圆心C到直线y=x的距离d=，弦长的一半为，∴根据勾股定理得： +8=r2，…②，解①②得a=﹣，r=3．圆C的标准方程为（x+）2+y2=3．（2）（2）直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（k2+1）x2+（2k2+2）x+k2﹣7=0，直线l与圆C交于A，B两点，△=（2k2+2）2﹣4（k2+1）（k2﹣7）=（8+24）k2+36＞0恒成立…设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2[x1x2+（x1+x2）+1]，∴=1+==﹣（3+）k2，故k2=9…则x1x2═，x1+x2═，y1y2=9×（++1）=﹣，故•=x1x2+y1y2=﹣．…2018年9月27日。
武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)及答案
武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷（理科)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是第四象限角, , 则=( ）A。
B。
C。
D。
2。
如果直线的斜率分别为二次方程的两个根，那么与的夹角为( ) A．B．C．D．3. =( )A。
B. C. 2 D.4. 已知非负实数x，y满足条件，则的最大值是( )A. 50 B。
40 C。
38 D.185。
把函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( )A．B．C．D．6。
已知，, 直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.7. 设a、b、c是互不相等的正数, 则下列等式中不恒成立．．．．的是( )A．B．C．D．8. 函数的图像如图所示，M=, N=，则( ）A。
M>N B.M=NC。
M<N D.M,N的大小关系不确定9.已知函数对任意实数均有成立, 当时，.则当时, 函数的表达式为( ）A。
B。
C。
D。
10。
设M是△ABC内一点, 且, ∠BAC=30°，定义, 其中分别是△MBC，△MAC, △MAB的面积.若, 则的最小值是( ）A.18 B。
16 C.9 D。
8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11。
已知直线，若，则。
12。
已知关于的不等式的解集是，则的值是____________13。
已知关于的不等式的解集不是空集, 则m的取值范围是____________14。
若不共线的平面向量两两所成的角相等, 且满足，则_____________15。
△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b,c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：有两个结论：甲：△ABC是等边三角形。
乙：△ABC是等腰直角三角形。
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题_____________三、解答题:本大题共6小题, 共75分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.16。
2018-2019学年湖北省武汉二中高一下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2018-2019学年湖北省武汉二中高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）A．12B．13C．14D．152．下列结论：①a＞b⇒a2＞b2；②a＞b⇒＜；③a＞b，c＞d⇒a﹣d＞b﹣c；④a＞b，c＞d⇒ac＞bd；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．43．数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前100项和S100＝（）A．B．C．D．4．已知m、n、a、b为空间四条不同直线，α、β、γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β5．等比数列{a n}中，若a3＝﹣9，a7＝﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣56．如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12B．16C．D．7．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．上述说法中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的8个顶点都在同一球面上，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则该球的表面积为（）A．200πB．100πC．50πD．25π9．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为α，SE与面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AB﹣C的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．γ≤β≤α11．已知2a+b+2ab＝3，a＞0，b＞0，则2a+b的取值范围是（）A．（0，3）B．[3﹣，3）C．[2，+∞）D．[2，3）12．对于数列{a n}，定义为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x≤0，M＝x2+x，N＝4x﹣2，则M与N的大小关系为．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+2n+1，则a1+a6＝．15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为．16．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．给出下列四个结论：①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0．（1）当a＝2时，解上述不等式；（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式．18．已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为零，a1，a2，a5是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，，求三棱锥C﹣A1DE的体积．20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为：y＝．（1）若要求在这段时间内车流量超过2千辆/h，则汽车在平均速度应在什么范围内？（2）在该时段内，若规定汽车平均速度不得超过ckm/h，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？21．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC ＝45°，△SAB为正三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝2，AB＝SA＝SB＝2，求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．22．已知各项为正数的数列{a n}满足：a n＝，n＝2，3，4，…，且a n≠1．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）若a1∈（0，]，证明：对一切正整数n，都有a1•a3•a5…a2n﹣1＜．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）A．12B．13C．14D．15【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7＝1+6×2＝13，故选：B．2．下列结论：①a＞b⇒a2＞b2；②a＞b⇒＜；③a＞b，c＞d⇒a﹣d＞b﹣c；④a＞b，c＞d⇒ac＞bd；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用举例法和不等式的基本性质的应用求出结果．解：对于选项：①a＞b⇒a2＞b2；当0＞a＞b时，不成立．②a＞b⇒＜；当a＝0或b＝0时，没有意义，不成立．③a＞b，c＞d⇒a﹣d＞b﹣c；根据不等式的基本性质的应用，不等式成立．④a＞b，c＞d⇒ac＞bd；当a＞b＞0且c＞d＞0时，不等式成立．故选：A．3．数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前100项和S100＝（）A．B．C．D．【分析】由题设条件可知：a n＝（），利用裂项相消法求S100．解：∵a n＝，∴a n＝（），S100＝[（）+（）+…（）]＝．故选：C．4．已知m、n、a、b为空间四条不同直线，α、β、γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】A，只有和交线垂直，才能得线面垂直；B，α⊥β，β⊥γ，α与γ的位置关系不确定；C，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a、b平行或异面；D，若m⊥α，m∥n，n∥β，面β内一定存在直线存在与直线m平行，解：对于A，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错；对于B，∵α⊥β，β⊥γ，α与γ即可以平行，也可以相交，故错；对于C，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a、b平行或异面，故不正确；对于D，若m⊥α，m∥n，n∥β，面β内一定存在直线存在与直线m平行，则α⊥β，正确；故选：D．5．等比数列{a n}中，若a3＝﹣9，a7＝﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣5【分析】由等比数列的定义和性质可得a52＝a3•a7＝9，由此求得a5的值．解：等比数列{a n}中，a3＝﹣9，a7＝﹣1，由等比数列的定义和性质可得a52＝a3•a7＝9，解得a5＝﹣3，或a5＝3（不合题意，舍去），因为若a5＝3，则a42＝a3•a5＝﹣27，a4不存在．故选：C．6．如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12B．16C．D．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．解：由直观图可得原图如图所示，且OA＝2，，所以AB＝6，所以周长为16，故选：B．7．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．上述说法中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据展开图还原，即可根据图形判断出各说法的真假．解：还原的正方体如图所示：对于①，BM与ED异面，①错误；对于②，因为EN∥BC，且EN＝BC，所以四边形NEBC为平行四边形，所以CN∥BE，②错误；对于③，由②可知，CN∥BE，所以∠EBM（或其补角）为异面直线CN与BM所成角，因为三角形EBM为等边三角形，所以∠EBM＝60°，③正确；对于④，因为DM⊥CN，BC⊥DM，所以DM⊥平面BCN，即DM⊥BN，④正确．故选：B．8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的8个顶点都在同一球面上，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则该球的表面积为（）A．200πB．100πC．50πD．25π【分析】利用长方体的八个顶点都在球O的球面上，则长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径即可求出球的表面积．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上，∴长方体的体对角线为外接球的直径，设球半径为r，则长方体的体对角线长为＝，则2r＝5，则r＝．∴外接球的表面积为4πr2＝4×（）2π＝50π．故选：C．9．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC【分析】在A中，推导出BC⊥AC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC，可得正确；在B中，由BC⊥平面PAC，可证BC⊥AE，又AE⊥PC，可证AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥EF，可得正确；在C中，由AC⊥BC，得若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，与AC⊥PA矛盾，可得错误；在D中，由AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PBC，可得正确．解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为α，SE与面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AB﹣C的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．γ≤β≤α【分析】由题意画出图形，分别找出角α，β，γ，由其三角函数值的大小比较角的大小．解：如图，过S作底面的垂线SO，垂足为O，连接EO，则SO⊥EO，∴∠SEO＝β．取F为AB的中点，连接OF，则SF⊥AB，OF⊥AB，∠SFO为二面角S﹣AB﹣C的平面角，等于γ．过E作BC的平行线，过O作AB的平行线，相交于G，则∠SEG为SE与BC所成的角，等于α．∵SO⊥底面ABCD，∴SO⊥EG，又EG⊥OG，SO∩OG＝O，∴EG⊥平面SOG，则EG ⊥SG，在Rt△SOF与Rt△SOE中，有sinγ＝，sinβ＝，而SE＞SF，∴sinγ＞sinβ，得γ＞β（γ，β均为锐角）；在Rt△SGE与Rt△SOF中，有tanα＝，tanγ＝，而SG＞SO，EG＝OF，∴tanα＞tanγ，得α＞γ（α，γ均为锐角）．当E与F重合时，α＝β＝γ．综上，β≤γ≤α．故选：C．11．已知2a+b+2ab＝3，a＞0，b＞0，则2a+b的取值范围是（）A．（0，3）B．[3﹣，3）C．[2，+∞）D．[2，3）【分析】根据基本不等式即可得出，从而得出2a+b≥2，而根据2a+b+2ab＝3可知2a+b＜3，从而可得出2a+b的取值范围．解：∵a＞0，b＞0，∴，∴，解得2a+b≥2，且2a+b＜3∴2a+b的取值范围是[2，3）．故选：D．12．对于数列{a n}，定义为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由题意，＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，转化求解a n＝2（n+1），通过a n﹣kn＝（2﹣k）n+2．说明数列{a n﹣kn}为等差数列，S n ≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0，求解即可．解：由题意，＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2n，则2n﹣1a n＝n2n+1﹣（n﹣1）2n＝（n+1）2n，则a n＝2（n+1），对a1也成立，故a n＝2（n+1），则a n﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，≤k≤，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x≤0，M＝x2+x，N＝4x﹣2，则M与N的大小关系为M＞N．【分析】作差即可比较出大小关系．解：∵x≤0，∴M﹣N＝x2+x﹣（4x﹣2）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0．∴M＞N．故答案为：M＞N．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+2n+1，则a1+a6＝17．【分析】利用a1＝S1．a6＝S6﹣S5，即可得出．解：a1＝S1＝4．a6＝S6﹣S5＝62+12+1﹣（52+10+1）＝13．∴a1+a6＝4+13＝17．故答案为：17．15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为15．【分析】根据球的半径先求出球的体积，根据圆与等边三角形的关系，设出△DAB的边长为a，由面积公式表示出圆锥的体积，设拿出铁球后的水面高度为h，用h表示出水的体积，由V锥＝V球+V水，即可求出h的值．解：因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得：，设△PAB的边长为a，则由三角形面积公式与内切圆关系可得，解得：a＝2×，则圆锥的高为3×，则圆锥的体积为V圆锥＝，设拿出铁球后的水面为EF，且点P到EF的距离为h，如下图所示：，则由PH＝h，可得EH＝，所以拿出铁球后水的体积为V水＝＝，由V锥＝V球+V水，可得675π＝300π+，解得：h＝15，即将铁球取出后容器中水的深度为15，故答案为：15．16．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．给出下列四个结论：①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变．其中，所有正确结论的序号是①③④．【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．解：①当E为棱CC1上的一中点时，此时F也为棱AAC1上的一个中点，此时A1C1∥EF；满足A1C1∥平面BED1F成立，∴①正确．②∵BD1⊆平面BED1F，∴若存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，则B1D⊥BD1，则矩形BDD1B1，是正方形或菱形，在正方体中，BD＝BB1．则矩形BDD1B1，不可能是正方形或菱形，∴不可能存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，∴②错误．③连结D1B，则D1B⊥平面A1C1D，而B1D⊆平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，成立，∴③正确．④四棱锥B1﹣BED1F的体积等于+，设正方体的棱长为1，∵无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为为定值，三棱锥D1﹣BB1E的高D1C1＝1，保持不变．三角形BB1F的面积为为定值，三棱锥D1﹣BB1F的高为D1A1＝1，保持不变．∴三棱锥D1﹣BB1E和三棱锥D1﹣BB1F体积为定值，即四棱锥B1﹣BED1F的体积等于+为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0．（1）当a＝2时，解上述不等式；（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式．【分析】（1）a＝2时不等式为（2x﹣1）（x﹣1）＜0，求出解集即可；（2）讨论a＝0，a＜0和0＜a＜1，从而求得不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0的解集．解：（1）当a＝2时，不等式为（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得＜x＜1；所以该不等式的解集为（，1）．（2）当a＜1时，若a＝0，则不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0化为x﹣1＞0，解得x＞1；若a＜0，则不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0化为（x﹣）（x﹣1）＞0，且＜0＜1，解得a＜或x＞1；若0＜a＜1，则不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0化为（x﹣）（x﹣1）＜0，且＞1，解得1＜x＜；综上知，a＝0时，不等式的解集为（1，+∞）；a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；0＜a＜1时，不等式的解集为（1，）．18．已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为零，a1，a2，a5是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题设条件可求得a n，进而求得等比数列{b n}的公比及通项公式；（2）由（1）中求得的结果算出a n b n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题设条件可得：a22＝（1+d）2＝a1a5＝1+4d，解得d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，又b1＝a1＝1，公比q＝＝3，∴b n＝3n﹣1；（2）由（1）可得：a n•b n＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1①，又3T n＝1×31+3×32+…+（2n﹣1）•3n②，由①﹣②可得：﹣2T n＝1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝1+2×+（1﹣2n）•3n＝（2﹣2n）•3n﹣2，∴T n＝（n﹣1）•3n+1．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（1）连结AC1交A1C于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱锥C﹣A1DE的体积．【解答】（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：＝＝1．20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为：y＝．（1）若要求在这段时间内车流量超过2千辆/h，则汽车在平均速度应在什么范围内？（2）在该时段内，若规定汽车平均速度不得超过ckm/h，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？【分析】（1）解不等式，即可求出结果；（2）利用基本不等式即可求出结果．解：（1）车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为：y＝，则，变形可得（v﹣40）（v﹣90）＜0，解得：40＜x＜90，即汽车的平均速度应在（40，90）内；（2）由y＝＝，①当0≤c＜60时，u＝v+在（0，60）上单调递减，y＜，②当c≥60时，y＝＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝60时取等号，故当汽车的平均速度v＝60时，车流量最大，最大车流量为千辆/h．21．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC ＝45°，△SAB为正三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝2，AB＝SA＝SB＝2，求二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值．【分析】（1）作辅助线，可证△SOA≌△SOB，利用面面垂直的判定可得OA⊥平面SBC，由此BC⊥OS，OA⊥BC，进而BC⊥平面OAS，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面SAC及平面SAB的法向量，利用向量公式即可得解．解：（1）证明：过A作OA⊥BC交BC于点O，连接OS，∵∠ABC＝45°，OA⊥BC，∴△AOB为等腰直角三角形，且OA＝OB，∵△SAB为正三角形，∴AB＝SA＝SB，∴△SOA≌△SOB，∴∠SOA＝∠SOB，又侧面SBC⊥底面ABCD，侧面SBC∩底面ABCD＝BC，OA⊥BC，∴OA⊥平面SBC，又OS在平面SBC内，∴OA⊥OS，则OB⊥OS，即BC⊥OS，又BC在平面SBC内，∴OA⊥BC，又OA∩OS＝O，且都在平面OAS内，∴BC⊥平面OAS，又SA在平面OAS内，∴SA⊥BC；（2）由（1）知，以O为坐标原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵BC＝2，AB＝SA＝SB＝2，∴，∴，则，设平面SAC的一个法向量为，则，可取，设平面SAB的一个法向量为，则，可取，∴，∴由图象可知，二面角C﹣SA﹣B的大小的余弦值为﹣．22．已知各项为正数的数列{a n}满足：a n＝，n＝2，3，4，…，且a n≠1．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）若a1∈（0，]，证明：对一切正整数n，都有a1•a3•a5…a2n﹣1＜．【分析】（1）由已知可得，取倒数即可证明数列{}为等差数列；（2）由（1）求得，令t＝，得到t ＝∈[﹣1，1），可得，结合不等式的性质得＝×＜＝，从而得到a1•a3•a5…a2n﹣1＜．【解答】（1）证明：各项为正数的数列{a n}满足：a n＝，则，a n≠1，取倒数可得．∴．可得数列{}为等差数列；（2）证明：由（1）可得，数列{}为等差数列，则{}是以为首项，以d＝﹣1为公差的等差数列．则．令t＝，∵a1∈（0，]，∴t＝∈[﹣1，1），则．∴．∴a1•a3•a5…a2n﹣1＝，∴＝＝×．由不等式性质可得：若0＜a＜b，则＜总成立．因而＜，＜，…，＜．∴＝×＜＝．∴a1•a3•a5…a2n﹣1＜．。
湖北省高一下学期期末数学考试试卷(理科)
湖北省高一下学期期末数学考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一下·济南期中) 如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）已知数列满足，则（）A . 240B . 120C . 60D . 303. （2分） (2020高一下·元氏期中) 在中，，则三角形的解的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 不确定4. （2分） (2020高二上·温州期中) 实数，满足约束条件，则的最小值是（）A . 5B . 4C . -5D . -65. （2分）矩阵M =对应的变换是（）A . 关于原点的对称变换B . 关于x轴的反射变换C . 关于y轴的对称变换D . 以上均错6. （2分）(2020·赣县模拟) 在三角形中，，，，双曲线以A、B 为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知数列中，，则等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·原平期末) 已知函数若存在非零实数,使得成立,则实数的取值范围是（）A . .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·青海期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD②B1D⊥面EFG③面EFG∥面ACC1A1④EF∥面CDD1C1正确结论的序号是（）A . ①和②B . ②和④C . ①和③D . ③和④10. （2分）已知正数满足，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一上·宁波期末) 已知 ,函数 ,若存在 ,使得成立,则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·武邑月考) 若等比数列{an}的前n项和Sn＝2010n＋t(t为常数)，则a1的值为（）A . 2008B . 2009C . 2010D . 2011二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）不等式≤0的解集为________．14. （1分）(2020·南京模拟) 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，则的值为________．15. （1分） (2019高二上·太原月考) 如图，在正三棱柱，（底面为正三角形的直三棱柱称为正三楼柱）中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为________.16. （1分） (2017高一上·宜昌期末) 已知函数 =________．17. （1分） (2016高三上·浦东期中) 不等式的解集是________．三、解答题 (共4题；共35分)18. （10分） (2018高一下·柳州期末) 已知等差数列的前项和 .（1）求数列的通项公式；（2）若在数列中的每相邻两项之间插入2个数，使之构成新的等差数列，求新的等差数列的通项公式.19. （10分）(2019·永州模拟) 在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）如图，为边上一点，且，求的面积..20. （5分） (2020·大连模拟) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.21. （10分） (2018高一下·六安期末) 已知数列中，，其前项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖北省武汉第二中学2024届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
湖北省武汉第二中学2024届高一数学第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-2．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．已知角终边上一点，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．若函数()()12,1,1,1,x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．22 C ．2D ．22-6．三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D ．7．我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”（注：“均输”即按比例分配，此处是指五人所得成等差数列；“钱”是古代的一种计量单位），则分得最少的一个得到( ) A ．13钱 B ．23钱 C ．56钱 D ．1钱8．曲线221169x y +=与曲线22(0)169x y k k +=>的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等9．ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则原ABC ∆的面积为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．210．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于点M ，E ，N .若,DM mDA DN nDC == (m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是( )A ．65 B ．125 C ．245D ．485二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖北省武汉市二中广雅中学高一数学理期末试卷含解析
湖北省武汉市二中广雅中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．2. 在等比数列中，，则（）A. B. C. 或 D.－或－参考答案：C略3. 下列函数中，在区间（0，+∞）上存在最小值的是( )A．y=（x﹣1）2 B．C．y=2x D．y=log2x参考答案：A【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的单调性，再判断函数能否取到最值的情况，从而得出结论．【解答】解：A、函数y=（x﹣1）2是开口向上的抛物线，又对称轴为x=1，故当x=1时函数取最小值，故选A；而B、C、D中的三个函数在区间（0，+∞）上都为增函数，而区间（0，+∞）为开区间，自变量取不到左端点，故函数都无最小值；故选：A．【点评】本题主要考查函数值域的求法，要求函数的值域应先判断函数的单调性，再看函数是否能取到最值．4. 某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们第一次、第二次、第三次月考的物理成绩如表：A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大参考答案：D【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】分别求出平数、方差，由此能求出结果．【解答】解：在A中，甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为=≈85.7，故A错误；在B中， ==85， =（81+83+85）=83， ==86，∴在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故B错误；在C中， ==，= [（81﹣83）2+（83﹣83）2+（85﹣83）2]=，= [（90﹣86）2+（86﹣86）2+（82﹣86）2]=，∴在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故C正确；在D中，在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故D错误．故选：D．5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．6. 设集合，则（）A.RB.[－3,6]C.[－2,4]D. (－3,6]参考答案：B7. 若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) (参考数据) A．110米 B．112米 C．220米 D．224米参考答案：A略8. 函数在区间(1，3)内的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】先证明函数的单调递增，再证明，即得解.【详解】因为函数在区间(1，3)内都是增函数，所以函数在区间(1，3)内都是增函数，又所以，所以函数在区间(1，3)内的零点个数是1.故选：B【点睛】本题主要考查零点定理，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 已知函数＝(a－x)|3a－x|，a是常数，且a>0，下列结论正确的是（）A．当x＝2a时, 有最小值0 B．当x＝3a时，有最大值0C．无最大值且无最小值D．有最小值，但无最大值参考答案：C10. 不等式的解集是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）参考答案：D【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据不等式的性质得到关于关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：∵，即≥0，故或，解得：x≥1或x＜﹣1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】算出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==解之得m=2（舍去0）故答案为：2【点评】本题给出直线与圆相切，求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．12. 若，是方程的两个根，且，则．参考答案：13. 在函数①；②；③中，满足性质的是函数（填写所有满足要求的函数序号）。
2020学年 湖北省武汉市第二中学 高一下学期期末数学(理)试题(解析版)
2020学年湖北省武汉市第二中学高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a =（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】试题分析：由题意得，155155()25102a a S a a +==⇒+=，又3152a a a =+，则35a =，又23a =，所以等差数列的公差为2d =，所以72535213a a d =+=+⨯=． 【考点】等差数列的通项公式．2．下列结论： ①22a b a b >⇒>； ②11a b a b>⇒<； ③a b >，c d a d b c >⇒->-； ④a b >，c d ac bd >⇒>， 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据不等式性质，结合特殊值法即可判断各选项. 【详解】对于①，若=1,2a b =-，满足a b >，但22a b >不成立，所以A 错误； 对于②，若=1,2a b =-，满足a b >，但11a b<不成立，所以B 错误； 对于③，c d d c >⇒->-，而a b >，由不等式性质可得a d b c ->-，所以③正确； 对于④，若=1,2,1,3a b c d =-=-=-满足a b >，c d >但ac bd >不成立，所以④错误；综上可知，正确的为③，有1个正确； 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式性质应用，根据不等式关系比较大小，属于基础题. 3．数列{}n a 的通项公式为1(21)(21)n a n n =-⋅+，则数列{}n a 的前100项和100S =（ ）． A ．200201B ．200401C ．100201D ．100401【答案】C【解析】根据通项公式，结合裂项求和法即可求得100S . 【详解】数列{}n a 的通项公式为1(21)(21)n a n n =-⋅+，则10012399100S a a a a a =+++⋅⋅⋅++11111133557197199199201=+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111233557197199199201⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪⎝⎭ 1112201⎛⎫=- ⎪⎝⎭100201=故选：C. 【点睛】本题考查了裂项求和的应用，属于基础题.4．已知m 、n 、a 、b 为空间四条不同直线，α、β、γ为不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bD ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系及其性质，即可判断各选项. 【详解】对于A ，αβ⊥，a α⊂，只有当a 与平面α、β的交线垂直时，a β⊥成立，当a 与平面α、β的交线不垂直时，a β⊥不成立，所以A 错误； 对于B ，αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或αβ⊥，所以B 错误；对于C ，//αβ，a α⊂，b β⊂，由面面平行性质可知//a b ，a b ⊥r r或a 、b 为异面直线，所以C 错误；对于D ，若m α⊥，//m n ，//n β，由线面垂直与线面平行性质可知，αβ⊥成立，所以D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面位置关系的性质与判定，对空间想象能力要求较高，属于基础题.5．在等比数列{}n a 中，39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3或-3 B ．3C ．-3D ．不存在【答案】C 【解析】【详解】 解析过程略6．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(13)+D ．4(12)+【答案】B【解析】根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解.【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形， 因为正方形O A B C ''''的边长为2cm ， 所以原图形2OA BC == cm ，242OB O B =''=，则()224226AB =+=，所以原平面图形的周长为()62216+⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题. 7．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题． 8．长方体1111ABCD A B C D -中的8个顶点都在同一球面上，3AB =，4=AD ，15AA =，则该球的表面积为（ ）．A ．200πB ．100πC ．50πD ．25π【答案】C【解析】根据长方体的外接球性质及球的表面积公式，化简即可得解. 【详解】根据长方体的外接球直径为体对角线长， 则222234552R =++=，所以52R =， 则由球的表面积公式可得225244502S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球，故选：C. 【点睛】本题考查了长方体外接球的性质及球表面积公式应用，属于基础题.9．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒A ．BC ⊥平面PACB ．AE EF ⊥C ．AC PB ⊥D ．平面AEF ⊥平面PBC 【答案】C【解析】根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC 选项，由面面垂直的判定可判断D. 【详解】对于A ，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，而BC ⊂底面圆面，则PA BC ⊥， 又由圆的性质可知AC BC ⊥，且=PA AC A ∩， 则BC ⊥平面PAC .所以A 正确；对于B ，由A 可知BC AE ⊥，由题意可知AE PC ⊥，且BC PC C ⋂=，所以AE ⊥平面PCB ，而EF ⊂平面PCB ，所以AE EF ⊥，所以B 正确；对于C ，由B 可知AE ⊥平面PCB ，因而AC 与平面PCB 不垂直，所以AC PB ⊥不成立，所以C 错误.对于D ，由A 、B 可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PCB ，由面面垂直的性质可得平面AEF ⊥平面PBC .所以D 正确； 综上可知，C 为错误选项. 故选：C. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.10．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为α，SE 与平面ABC D 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．a βγ≤≤D ．γβα≤≤【答案】C【解析】根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小.【详解】四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等， 所以四棱锥为正四棱锥，（1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SNNE OMα==；（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OEβ=;（3）连接OM ，则tan SOOMγ=，如下图（3）所示：因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥， 而,,αβγ均为锐角， 所以,αγβ≥≥ 故选：C. 【点睛】本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题. 11．已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．)32,3⎡⎣C ．[)2,+∞D ．[)2,3【答案】D【解析】根据所给等式，用a 表示出b ，代入2a b +中化简，令21t a =+并构造函数()42f t t t=+-，结合函数的图像与性质即可求得2a b +的取值范围.【详解】因为223a b ab ++=，所以32412121a b a a -==-+++， 由0b >解得1322a -<<，因为0a >，所以302a <<，则2a b +42121a a =+-+ 421221a a =++-+由302a <<可得1214a <+<， 令21t a =+，14t <<. 所以421221a a ++-+ 42t t=+- 画出()42f t t t=+-，14t <<的图像如下图所示：由图像可知，函数()42f t t t=+-在14t <<内的值域为[)2,3， 即2a b +的取值范围为[)2,3， 故选：D. 【点睛】本题考查了由等式求整式的取值范围问题，打勾函数的图像与性质应用，注意若使用基本不等式，注意等号成立条件及自变量取值范围影响，属于中档题.12．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．916[]47， B ．167[]73， C ．712[]35，D ．125[]52， 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得{}n a 的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：由题意,11222n nn a a a A n-+++=L 12n +=，则1112222n n n a a a n -++++=⋅L ，很明显14a =n ⩾2时,()21212212n n n a a a n L --+++=-，两式作差可得：()()11221212n n n n n a n n n -+=--=+，则a n =2(n +1),对a 1也成立，故a n =2(n +1)， 则a n −kn =(2−k )n +2， 则数列{a n −kn }为等差数列，故S n ⩽S 6对任意的*n N ∈恒成立可化为：a 6−6k ⩾0,a 7−7k ⩽0；即()()62207220k k ⎧-+≥⎪⎨-+≤⎪⎩，解得：16773k ≤≤. 实数k 的取值范围为16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 本题选择B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题13．若0x ≤，2M x x =+，42N x =-，则M 与N 的大小关系为___________． 【答案】M N >【解析】根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小. 【详解】2M x x =+，42N x =-，0x ≤，所以()()242M N x x x -=+--232x x =-+()()12x x =--当0x ≤时，()()120x x -->所以0M N ->， 即M N >， 故答案为：M N >. 【点睛】本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，则61a a +=___________．【答案】17【解析】根据所给n S 的通项公式，代入求得1a ，并由665a S S =-代入求得6a .即可求得61a a +的值. 【详解】数列{}n a 的前n 项和321n S n n =++，则11214S =++=，而26626149S =+⨯+=，25525136S =+⨯+=，所以665493613a S S =-=-=， 则6141317a a +=+=， 故答案为：17. 【点睛】本题考查了数列前n 项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题. 15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为3225的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．【答案】15【解析】根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出PAB ∆的边长为a ，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为h ，用h 表示出水的体积，由=+V V V 锥球水即可求得液面高度. 【详解】因为铁球半径为3225，所以由球的体积公式可得343003V R ππ==球， 设PAB ∆的边长为a ，则由面积公式与内切圆关系可得23113225sin 223a a π⨯⨯=，解得323225a =⨯，则圆锥的高为33225⨯. 则圆锥的体积为()()2331322532256753V ππ=⋅⋅⨯⋅⨯=锥，设拿出铁球后的水面为EF ，且P 到EF 的距离为h ，如下图所示：则由PH h =，可得33EH h =, 所以拿出铁球后水的体积为231339V h h h ππ⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭水，由=+V V V 锥球水，可知3675=300+9h πππ，解得15h =，即将铁球取出后容器中水的深度为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题. 16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变． 【答案】①②④【解析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1.∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F-的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．三、解答题17．已知关于x 的不等式()()110ax x --<． （1）当2a =时，解上述不等式． （2）当1a <时，解上述关于x 的不等式【答案】（1）1(,1)2．（2）当0a =时，解集为{|1}x x >，当01a <<时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a <时，解集为{1x x 或1x a ⎫<⎬⎭ 【解析】（1）将2a =代入，结合一元二次不等式解法即可求解. （2）根据不等式，对a 分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集. 【详解】（1）当2a =时，代入可得()()2110x x --<， 解不等式可得112x <<， 所以不等式的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）关于x 的不等式()()110ax x --<． 若1a <，当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >； 当01a <<时，化简不等式可得()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>解不等式可得11x a <<， 当0a <时，化简不等式可得()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解不等式可得1x <或1x a <， 综上可知，当0a =时，不等式解集为{|1}x x >，当01a <<时，不等式解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a <时，不等式解集为{1x x 或1x a ⎫<⎬⎭ 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，含参数分类讨论的应用，属于基础题. 18．(本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1=1，公差d ≠0，且a 1，a 2，a 5是等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．【答案】（1）b n =3n －1；（2）（2）S n =(n －1)·3n +1【解析】本试题主要是考查了数列的概念，和数列的求和，尤其是等差数列和等比数列的性质的运用，以及利用错位相减法求解数列的和的思想的综合运用。
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武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知α是第四象限角, 5tan 12α=-, 则sin α=( ) A. 15 B.15- C. 513 D.513-2. 如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根, 那么1l 与2l 的夹角为( )A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π 3. ︒-︒-10cos 220cos 32=( ) A.12B.2C. 2D.4. 已知非负实数x ,y 满足条件⎩⎨⎧≤+≤+625y x y x , 则y x z 86+=的最大值是( )A. 50B. 40C. 38D.185. 把函数sin ()y x x =∈R 图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6. 已知)3,1(A , )3,3(--B , 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点, 则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,33 B.(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃∞-3,330,C.⎥⎦⎤⎝⎛3,23 D.[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-,333,7. 设a 、b 、c 是互不相等的正数, 则下列等式中不恒成立．．．．的是 ( )A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138. 函数c bx ax x f ++=2)(的图像如图所示, M=b a c b a +++-2, N=b a c b a -+++2, 则 ( ) A.M>N B.M=N C.M<ND.M,N 的大小关系不确定9.已知函数)(x f 对任意实数x 均有)()(),()(x f x f x f x f =--=-π成立, 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时, ()cos 1f x x =-.则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ2,23x 时, 函数)(x f 的表达式为( )A. cos 1x +B. cos 1x -C. cos 1x --D. cos 1x -+10. 设M 是△ABC 内一点, 且32=⋅, ∠BAC=30°, 定义),,()(p n m M f =, 其中p n m ,,分别是△MBC, △MAC, △MAB 的面积.若),,21()(y x M f =, 则yx 41+的最小值是 ( ) A.18 B.16 C.9 D.8 二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11. 已知直线012:,01:21=++=-+y mx l my x l ,若12//l l , 则=m 。
12.已知关于x 的不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭, 则a b +的值是 ____________ 13. 已知关于x 的不等式m x x <-++11的解集不是空集, 则m 的取值范围是 ____________ 14. 若不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等, 且满足1,2,4===a b c , 则=a +b+c _____________15. △ABC 的三个内角A,B,C 的对边长分别为a ,b,c, R 是△ABC 的外接圆半径, 有下列四个条件：ab c b a c b a 3))()(1(=-+++ C B A s i n c o s 2s i n )2(=B a cC a b cos ,cos )3(== B b a C A R sin )2()sin (sin 2)4(22-=-有两个结论：甲：△ABC 是等边三角形. 乙：△ABC 是等腰直角三角形.请你选取给定的四个条件中的两个为条件, 两个结论中的一个为结论, 写出一个你认为正确的命题_____________三、解答题：本大题共6小题, 共75分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解不等式1321132-->-x x17. (本小题满分12分)已知向量=a=)sin 2,cos 2(αα,=b =)sin 2,cos 2(ββ,其中O 为坐标原点, 且5.626πππαβ≤<<≤(1)若a ⊥ (b -a ), 求αβ-的值；(2)当a · (b -a )取最小值时, 求△OAB 的面积S.18. (本小题满分12分)已知ABC ∆的顶点A 为(0, 5), AB 边上的中线所在直线方程为027114=-+y x ,B ∠的平分线所在直线方程为052=+-y x , 求BC 边所在直线的方程.19. (本小题满分12分)已知函数)(x f =3sin x ωx ωcos ⋅－cos 2x ω+23(R x R ∈∈,ω)的最小正周期为π, 且其图象关于直线6π=x 对称．(1)求)(x f 的解析式并求出)(x f 的单调增区间；(2)若函数)(1x f y -=的图象与直线a y =在]2,0[π上只有一个交点, 求实数a 的取值范围．20. (本小题满分13分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔, 如图所示, 塔高BC=40(米), 塔所在的山高OB=290(米), OA=210(米), 图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上, l 与水平地面的夹角为α ,1tan 3α=.试问此人距水平地面多高时, 观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高).21. (本小题满分14分)设2()32f x ax bx c =++, 0a b c ++=且, , 求证： (1) 若0)1()0(>⋅f f ，求证：-2＜ab＜-1； (2)在（1）的条件下，证明函数()f x 的图像与x 轴总有两个不同的公共点A,B ，并求AB 的取值范围.(3)若2,()2()a b c g x ax a b x b >>=+++，求证：x ≤()()f x g x >.武汉二中高一年级下学期期末考试数学 (理科)参考答案11. 22±12. －1413. 2>m 14. 715.⑴⑵→甲 或 ⑵⑷→乙 或 ⑶⑷→乙 16. 原不等式可变形为12103123x x -->-- 通分整理得：5(33)0(31)(36)x xx->--……………………………………………………4分 计算得36x >或133x <<……………………………………………………………6分 即31log 2x >+或01x <<∴原不等式解集为3{|011log 2}x x x <<>+或…………………………………12分 17. (1)由()a b a ⊥-得()0a b a ⋅-= 即2()0a b a ⋅-=又||2,||2,,a b a b βα==<>=-∴c o s ()20βα--= c o s (βα-5626ππαβπ≤<<≤ 4πβα∴-=……………………………………………………………………………6分(2)由(1)知()22cos()2a b a βα⋅-=--5626ππαβπ≤<<≤203βαπ∴<-≤ 当23βαπ-=时， ()a b a ⋅-取最小值此时22sin 3OAB S π=⋅=…………………………………………………12分 18. 设00(,)B x y , 由AB 中点在411270x y +-=上, 可得00541127022x y +⋅+⋅-= 联立00250x y -+=解得(3,1)B -……………………………………………………………………………5分 设A 点关于250x y -+=的对称点为'(',')A x y ,则有'52'''525022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-⋅+=⎪⎩解得'(2,1)A …………………………………………………………………………10分∴BC 边所在的直线方程为y=1…………………………………………………………12分19. (1)23)2cos 1(212sin 2323cos cos sin 3)(2++-=+-⋅=x x x x x x f ωωωωω 1)62sin(12cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x …………2分由π的周期为)(x f ，122±=⇒=∴ωπωπ，1)62sin()(+-±=∴πx x f 当1=ω时， 1)62sin()(+-=∴πx x f ，2316sin )6(=+=ππf 不是最大值也不是最小值，其图象不关于6π=x 对称，舍去；当1-=ω时， 1)62sin()(++-=∴πx x f ，012sin )6(=+-=ππf 是最小值，其图象关于6π=x 对称，故1)62sin()(++-=∴πx x f 为所要求的解析式. ………………………………6分单调增区间是[6ππ+k ，32ππ+k ] Z k ∈…………………………………8分 (2)由(1)知 )62s i n ()(1π+=-=x x f y在同一坐标系内作出a y x y =+=和)62sin(π的图象，由图可知，直线时，或在121,21=⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈=a a a y 两曲线只有一个交点， ∴121,21=⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈a a 或.…………………………………………………………………12分20. 如图建立直角坐标系, 则(210,0),(0,290),(0,330)A B C直线l 的方程为1(210)3y x =-即1703y x =- 设(,)P x y 为直线l 上一点. (y>0)则330PC y k x -=290PB y k x-= 2290330tan (290)(330)11PB PCPB PCy y k k x x BPC y y k k x ----∴∠==--+⋅+…………………………………4分 22404011(290)(330)(360)(400)33x xx y y x x x ==+--+-- 236036093604001037609360400103760x x x x x==⋅⋅-⋅+⋅⋅+-⋅……………8分341=当且仅当936040010x x⋅⋅=即360x =时取等号………………………………10分此时170503y x =-=∴当此人距水平地面50米时, 观看塔的视角最大……………………………………13分21. 1)若0,a =则b c =-2(0)(1)(32)0f f c a b c c ⋅=⋅++=-≤与已知矛盾0a ∴≠…………………………………………………………………………………2分由(0)(1)0f f ⋅>, 得(32)0c a b c ++>由条件0a b c ++=消去c, 得()(2)0a b a b ++<20a > (1)(2)0b ba a∴++< 21ba∴-<<-…………………………………………………………………………4分 (2)方程0232=++c bx ax 的判别式24(3)b ac =-由条件0a b c ++=消去b, 得222234()4[()]024c a c ac a c =+-=-+>∴方程()0f x =有实根即函数()f x 的图象与x 轴总有两个不同的交点A 、B. 设12(,0),(,0)A x B x 由条件知1223b x x a +=-1233c a b x x a a+==- 22121212()()4x x x x x x ∴-=+-＝22244431(1)()93923b b b a a a ⋅++=⋅++21ba -<<- 21214()39x x ∴≤-<122||3x x ≤-<2||3AB ≤<………………………………………………9分 (3)设22()()()()(2)2h x f x g x ax b a x c b ax a c x a c =-=+-+-=-+++,0a b c a b c >>++=0a ∴>且a a c c >--> 即122c a -<<- 又()h x 的对称轴为21022a c cx a a+==+>x ∴≤()3)2(2)0h x a a c a c a c ≥+++=+>即x ≤时，()()f x g x >恒成立…………………………………………………14分更多试卷真题 欢迎访问/。