名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步测试:数列综合1:数列的通项与求和 含答案
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10.数列综合1:数列的通项与求和
【基础训练】
1.求和:(1)
1111122334
(1)n n ++++
⨯⨯⨯⨯+;(2)
111
1
132435
(2)
n n ++++
⨯⨯⨯⨯+;
(3)111
1
123234345
(1)(2)
n n n +++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯++.
2、求数列1+12,2+14,3+18,…,n +1
2n ,…,的前n 项和.
3、(1).求数列1,111
,3,,5,,
248
的前2n 项和为;
(2)求数列{(-1)n n 2}的前n 项和S n .
4、求和:S n =1×2+3×22+5×23+…+(2n -1)2n .
【典型例题】
1、试求数列{n 2}的前n 项和S n .
2、已知数列{a n }的首项为1.
(1)若a n =a n -1+n +1
n 2(n +2)2(n ≥2且n ∈N*),求a n .
(2)若(n +1)2a n =n (n +2)a n -1(n ≥2且n ∈N*),求a n .
3、数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、
1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,
n =.
(1)求2a 、2b 的值;
(2)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有123111
12
111
17
n a a a a ++++
<----.
【总结提炼】
【巩固练习】 1、(1) 求数列
11
1
,,,
,12123
123n
+++++++的前n 项和.
(2) 数列{}
n a 的通项公式n a =,求其前n 项和.
2、在数列{}n a 中,121,2,a a ==且22(1)n n n a a +-=+-,求前n 项和为n S .
3.求数列1+(1+2)+(1+2+4)+…+(1+2+…12n -)前n 项和.
4.求和22
2
222(2)1335
(21)(21)
n n S n n ⨯=+++-+().
5.已知数列{}n a 是首项为a 且公比不等于1的等比数列,n S 是其前n 项和,174,2,3a a a 成等差数列,求1473223n n T a a a na -=++++的值.
6.已知点1(1,)3
是函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}(0)n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足11(2)n n n n S S S S n ---=+≥.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n T ,问1000
2009n T >
的最小正整数n 是多少?
7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()N n n a S n +=∈.
(1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .
10.数列综合1:数列的通项与求和
【基础训练】 1.(1)
1
n
n + (2)32342(1)(2)n n n +-++ (3)1142(1)(2)n n -++
2. 221
22
n n n ++-
3.(1)2112n n +-; (2)(1)
(1)2
n n n n s +=-.
4.S n =1(23)26n n +-+. 【典型例题】
1.提示:可以用332(1)331k k k k --=-+进行叠加. S n =n (n +1)(2n +1)
6 2. (1)22
15711
1444(1)4(2)
n a n n =
---++(要注意到验证n=1时的情况) (2)2(2)
3(1)
n n a n +=
+(同上)
3.(Ⅰ)由1122b a a =+,可得211224a b a =-=.
由22
12a b b =,可得22
21
36a b b ==.
(Ⅱ)因为n a 、n b 、1n a +成等差数列,所以12n n n b a a +=+…①.
因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列,所以2
11n n n a b b ++=,
因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,所以1n a +=…②.
于是当2n ≥时,n a =.
将②、③代入①式,可得是首项为4,公差为2
的等差数列,
()122n d n -=+,于是()2
41n b n =+.
由③式,可得当2n ≥时,()41n a n n ==+. 当1n =时,18a =,满足该式子,所以对一切正整数n ,都有()41n a n n =+. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为
2111
12
72347
4417
n n ++++
<
+-.
()()22
11111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫
<==- ⎪+---+-+⎝⎭
. 当4n ≥时,
2111
723441
n n +++
+-
111111111
1117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1111272347147
<
+++<.
当1n =时,1277<;当2n =时,11
112
7237
77+<+
=;
当3n =时,1111112
72347714147
++<++=.
【巩固练习】 1. (1)
2
n
n +(2) 112.
2.S n =⎩
⎨⎧n 2+n
2,n 偶数,
n 2+1
2,n 为奇数.
3.122n n +--
4.由222241111
11()414122121
k k a k k k k ==+=+----+,得
11
22(21)
n S n n =+
-+ 5.
161641()()252554
n a n a -+- 6.
(1)
()113f a ==,()13x
f x ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29
=-,
()()323227
a f c f c =---=-
⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列,2
2
13421
81233
27
a a c a ===-=-- ,所以 1c =;
又公比2113a q a ==,所以1
2112333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
*n N ∈ ;
1n n S S --=
= ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1=;
数列
构成一个首相为1公差为1
()111n n =+-⨯= , 2n S n =
当2n ≥, ()2
21121n n n b S S n n n -=-=--=- ;
21n b n ∴=-(*n N ∈);
(2)122334
11111n n n T b b b b b b b b +=
++++
()
1111
133557
(21)21n n =++++
⨯⨯⨯-⨯+
1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭; 由1000212009n n T n =
>
+得10009n >,满足1000
2009
n T >的最小正整数为112. 7.(1)12n n a S +=,12n n n S S S +∴-=,
1
3n n
S S +∴
=.又111S a ==, ∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1*3()n n S n -=∈N .
当2n ≥时,2
1223(2)n n n a S n --==≥,
21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩, ,,≥.
(2)12323n n T a a a na =++++,
当1n =时,11T =;
当2n ≥时,01
21436323n n T n -=+++
+,…………①
12133436323n n T n -=+++
+,………………………②
-①②得:12212242(333)23n n n T n ---=-++++
+-
213(13)222313
n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-.1113(2)22n n T n n -⎛⎫
∴=+- ⎪⎝⎭≥.
又111T a ==也满足上式,1*113()22n n T n n -⎛⎫
∴=
+-∈ ⎪⎝⎭
N .。