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三角恒等变换知识点和例题

答案：9
27
Mathematics comes from life
4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB BC CA 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
设球半径为 R ，则
2 3 2 3 O A = × ×2 = . 3 2 3
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
Mathematics comes from life
瞧，多么宏伟壮观的金字塔！这将需要多少沙石？
Mathematics comes from life
赫尔佐格
“鸟巢(nest)”
德梅隆
我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑或者装饰时, 都需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时，如何计算呢？
正棱柱的侧面展开图
Mathematics comes from life
侧面展开
h′
正棱锥的侧面展开图
h′
Mathematics comes from life
侧面展开
h′
正棱台的侧面展开图
h′
Mathematics comes from life
例、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积．
Mathematics comes from life

简单三角恒等变换典型例题

1、和差公式及其变形：

1) sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ⇔sinαcosβ±cosαsinβ=sin(α±β)

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ⇔cosαcosβ∓sinαsinβ=cos(α±β)

tan(α±β)=tanα±tanβ⇔tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)1−tanαtanβ, tanα−tanβ=tan(α−β)(1+tanαtanβ)

2、倍角公式的推导及其变形：

1) sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

sinαcosα=sin2α/2⇔1±sin2α=(sinα±cosα)2

2) cos2α=cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cosα−sinα2

cos2α=cos2α−sin2α=(cosα+sinα)(cosα−sinα)

cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−(1−cos2α)

1+cos2α=2cos2α或2sin2α=1−cos2α

因为α是β的两倍，所以公式也可以写成cosβ=2cos2α−1

或1+cosβ=2cos2α或sin2β=cos2α】

注意：这里的符号“±”和“∓”需要根据具体情况进行判断。

二、基本题型

1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：

注意角的关系，如α=(α+β)−β,β=(α+β)−α,α+β=(π+α)−β等等。

1）已知α,β都是锐角，sinα=3/5，cosβ=4/5，且α+β=π/2，求cosα，sinβ。

高考数学专题复习《三角恒等变换》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

解： .故填1.
变式3.（1） ( )
A. B. C. D.
解： .故选D.
（2） _______.
解：
√
命题角度3 给值求值
例4（1）已知，，则的值为___.
解： .故填3.
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. 或 D.
解：因为 , 是方程的两根，所以 , ，所以 ,又 , ，所以 , , 因为 , ，所以 , ，，所以
√
解：因为，所以 .故选A.
√
（3）已知，，则 ( )
A. B. C. D.
解：由，，两式平方后相加可得，，即，所以，故 .故选C.
√
变式4.（1）已知为锐角，且 ,则 ( )
A. B. C. D.
√
所以，，所以，所以 .因为 , ,所以，所以 .故选D.
变式5.（1）中，若，，且为锐角，则 ___.
解：因为 , ，且为锐角，所以也为锐角， , ， ,而，所以 .故填 .
（2）已知 , 是方程的两根，且 , ，则的值为( )
变式1 【多选题】下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
解：因为，故A错误. ，故B正确. ，故C正确. 因为，所以，故D错误

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习

一、公式体系

1、和差公式及其变形:

（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± (２）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= (3)β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-

2、倍角公式的推导及其变形：

（１)αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=

⇔ααα2sin 2

cos sin =

⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±

(2）ααααααααα2

sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔

cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααα

αα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα

2cos 2

2cos 1=+ 【因为α是

2α

的两倍,所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2

cos 2cos 12α

α=+

因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成

高中简单的三角恒等变换知识点+例题

辅导讲义――简单的三角恒等变换

[例2] 若ππ43<<x ，则.______2cos 12cos 1=-++x x )2

4sin(2x

-π

[巩固] 若3

=+B A ，33

2tan tan =

+B A ，则._____cos cos =⋅B A 4

[例3] 函数x x x x f 2sin cos sin )(-⋅=的最小正周期是_______.π

[巩固] 函数21cos sin 3sin )(2

⋅+=x x x x f 的最小正周期是__________；当π24

0≤≤x 时，)(x f 的最大值是______.π，4

[例4] 求证：

.sin 1cos 1cos sin 1cos sin α

αααα-=-++-

[巩固]（1）求证：

ααα

αααααsin tan sin tan sin tan sin tan ⋅+=-⋅；

（2）证明：

.cos 1sin sin 1cos cos sin 1)sin (cos 2α

αααααα+-+=++-

[例5] 若54cos -=α，α是第三象限的角，则.____2

tan =α

[巩固] 已知51

cos sin =+αα，παπ2<<，则._____2

cos =α10103-

[例6] 若)2

,0(,π

βα∈，5

3)cos(=

+βα，135)sin(-=-βα，则.______2cos =α6556

[巩固] 已知βα,均为锐角，且α

αα

αβsin cos sin cos tan +-=，则._____)tan(=+βα 1

完整word版三角恒等变换知识点例题练习推荐文档

“c、 2 1 + cos 2 a (2)cos a 2 1 — cos 2 a sin a 2

+ cos a ) 2,

1 — sin

2 a = (sin a — cos a )2

4.函数 f( a ) = acos a + bsin a (a , b 为常数)，可以化为 f( a ) =7a 2

+ b 2

sin( a + © )或 f ( a ) =p a 2

+ b 2

cos( a — © )，其中 ©可由 a , b 的值唯一确定.

两个技巧

(1) .拆角、拼角技巧；-_-2 a .-三 C-a --±--p --)- 土-(卫_-—-_p -_)--；-a --=-(-卫一-土__p _)-_—_p

_-；一三"""2"'^

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理 (1)C ( a — : cos( a —p) =cos a cos p + sin a sin _ p (2)C ( a + p): cos( a + p) =cos a cos p — sin a sin _ p ； (3)S ( a + p ): sin( a + p ) =sin_ a cos p + cos a sin 一p ； (4)S ( a — :

sin( a —p) =sin a cos p — cos a sin p ；

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 + a a + p): tan( ⑸T ( tan a +tan p p ) — 1 — tan a tan p ；

⑹T ( a -p): tan( p tan a — tan P

2023年新高考数学大一轮复习专题18 三角恒等变换 (解析版)

专题18 三角恒等变换

【考点预测】

知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；

②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；

③tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

；

知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；

②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；

③2

2tan tan 21tan α

αα

-；知识点三：降次（幂）公式

2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222

αα

ααααα-+===

知识点四：半角公式

sin

2α

α== sin 1cos tan

1cos sin a

ααα-=

知识点五．辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a

b a a b a b =

+=+=ϕϕϕtan cos sin 2

2，，）．【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)

tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-

=⋅βαβ

αβαβαβα．

2．降幂公式与升幂公式

ααααααα2sin 2

1cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=

；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．

三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析

三角恒等变换

【考纲说明】

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

2、能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.

3、本部分在高考中约占5-10分.

【趣味链接】

1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不

多的事，但他比较懒,不变号.

2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他.

【知识梳理】

1、两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。 2、二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2tan tan 21tan α

αα

=-。

3、半角公式

2cos 12

sin αα

-±= 2c o s

12c o s αα+±= ααα

cos 1cos 12

tan

+-±

= （α

αααsin cos 1cos 1sin 2tan -=

+=） 4、三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα

αα

αβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=

⇒-↓=-

1、下列各式中，值为12的是 A 、1515sin cos B 、221212cos sin π

- C 、22251225tan .tan .- D 、1302

cos + 2、由0tan(A B )+=____________（能/不能）推出0tan A tan B +=

3、已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=

，那么2cos β的值为_____________

4、

131080sin sin -的值是_____________

二. 三角函数的化简、计算、证明的变形技巧

（1）巧变角:()()ααββαββ=+-=-+，2()()αβαβα=+--，

()()222αββααβ+=--- 4、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4

πα+的值是_____

5、已知02πβαπ<<

<<，且129cos()βα-=-，223

sin()αβ-=，求cos()αβ+的值

三角恒等变换-知识点+例题+练习

实用标准文档

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

tanα＋tanβ

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝

1－tanαtanβ

；

tanα－tanβ

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.

1＋tanαtanβ

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin

2α－sin

2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

2tanα

(3)T2α：tan2α＝2α.

1－tan

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；

(2)cos

1＋cos2α

2α＝

，sin

1－cos2α

2α＝

；

(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα) 2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝2sinα±π

4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a

2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝a

2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法

三角函数公式：

三倍角公式：θθθ3

sin

4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；

五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，

互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是

2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6

的二倍；

απ

±是

απ

±4

的二倍。

②2304560304515o o

=-=-=；问：=12sin π ；=12

cos π

；

③ββαα-+=)(；④

(

απ

--=

+；

⑤)4

(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、

割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形

有： o o 45tan 90sin cot tan tan sec cos sin

12222

===-=+=αααααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公

式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换基础知识及题型分类汇总

一、知识点：

一）公式回顾：

cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $，简记为C（$\alpha\pm\beta$）

sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，简记为S（$\alpha\pm\beta$）

sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，简记为S2

cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$，简记为C2

tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，其中

$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}$，简记为T2

二）公式的变式

1\pm\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$，简记为1±C2

frac{1\pm\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}$，简记为S2/2

sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac {\alpha\mp\beta}{2}$，简记为S±S

cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\al pha-\beta}{2}$，简记为C+C

cos\alpha-\cos\beta=-

高考数学知识点：简单的三角恒等变换

高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)

典型例题1：

二、三角恒等变换的常见形式

三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．

1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．

2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．

3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：

三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则

1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

典型例题3：

四、三角函数求值有三类

1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

典型例题4：

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：

高中数学必修四第三章三角恒等变换

必修四第三章：三角恒等变换

【知识点梳理】：

考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式

两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ++=

两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

注意：对于正切,,()2

k k k k z π

αβπαπβπ+≠+≠

+≠

+∈．

【典型例题讲解】：

例题1.已知3sin ,5

αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛

⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭的值.

例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求β

αtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.

例题6.已知2tan()5

αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4π

α+的值是_____

例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分

第四章三角恒等变换（讲义+例题）（解析版）

第四章三角恒等变换（讲义+例题）

1.同角三角函数基本关系式

22sin cos 1αα+=

sin tan tan cot 1cos α

αααα

⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-

(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 例1．已知α是第二象限，且1

tan 3

α=-

，计算：（1）sin()

5cos sin()

ααπα+--；（2）

sin cos()cos .απαα++ 答案（1）316；（2）6

. 【分析】

（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以cos α 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值. 【详解】

（1）原式cos 5cos sin α

αα=

-，上下同时除以cos α后，

得113

15tan 1653

-+；（2）原式22

sin cos cos sin cos cos cos sin ααα

ααααα

-+=-+=+，上下同时除以2cos α后，

得211

tan 16

311tan 5

αα+-+==++

举一反三

1．已知tan 2α=，求：（1）

sin 2cos sin cos αα

αα

+-；

（2）

221

sin sin cos 2cos αααα

+-.

答案．（1） 4 （2）54

【分析】

（1）分子分母同时除以cos α，化为

tan 2

tan 1

αα+-可得答案.

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换

一、知识点：

一）公式回顾：

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，简记为C(α±β)

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，简记为S(α±β)

sin2α=2sinαcosα，XXX为S2α

cos2α=cos²α-sin²α，XXX为C2α

tan2α=(α≠kπ/2且α≠kπ)简记为T2α

2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是

α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理

解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是

符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

二）公式的变式

1±sin²α=(sinα±cosα)²

cos²α=1/(1+tan²α)

1-cos²α=2sin²α

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

公式前的±号，取决于2合1公式所在的象限，注意讨论。

sinx+cosx=a+b

a+b

其中tanθ=b/a

二、经典例题剖析：

基础题型

例1:已知sin2α=5π/13，0<α<π/2，求sin4α，cos4α，tan4α.例2:在△ABC中，cosA=4/5，tanB=2，求tan(2A+2B).

题型二：公式的逆向运用

例3:求下列各式的值：

2tan15°

1.化简下列各式：

1) sin²22.5°cos²22.5°;

2) (1-2sin²75°)/(21-tan15°);

3) sin(3π/4)/[1-(tanπ/5)²].

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高考数学知识点：简单的三角恒等变换

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第四章 三角恒等变换（讲义+例题）（解析版）

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