关于詹森不等式证明不等式问题

jensen不等式证明均值不等式

Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。

Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。

本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。

一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。

具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。

1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。

此即Jensen不等式的常见表述形式。

二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。

常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。

具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。

这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。

三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。

对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。

这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。

3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。

通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。

Jensen不等式在导出和证明几何不等式中的应用

n n
∑
f
i= 1 n
p ix i
≤
i
∑p f
i i= 1 n i= 1
(x i ) ( 0. 1)
i
∑p
i= 1
∑p
如果 f ( x ) 是上凸连续函数, 则 ( 0. 1) 式中的不等号反向。当 n = 3 时, ( 0. 1) 式变为 p 1x 1 + p 2x 2 + p 3x 3 p 1f (x 1 ) + p 2f (x 2 ) + p 3f (x 3 ) f ≤ p1 + p2 + p3 p1 + p2 + p3 如果 f ( x ) 是上凸函数, 则有
第 13 卷第 4 期 1996 年 8 月
铁道师院学报 Jou rna l of Suzhou R a ilw ay T eachers Co llege
. 13 N o. 4 Vol A ug. 1996
Jen sen 不等式在导出和证明
几何不等式中的应用
张芝兰李鸿祥
( 上海市邮电学校, 上海 200000) ( 上海铁道大学, 上海 200333)
70
铁道师院学报
1996 年
代入前一式, 并注意到 abc = 4R rp ( [ 1 ] 中 ( 1. 1) 式) , 便得不等式
a b c + + ≥ 16 r 2 ( 5R r b rc rc ra ra rb
6 6 6
4 r) 2
( 1. 6)
5. 取上凸函数 f ( x ) = ln x , x > 0。置 p 1 = a , p 2 = b, p 3 = c, x 1 = ra , x 2 = rb , x 3 = rc。此时不等式 ( 0. 3) 变为 ln

琴生不等式在高中数学中的巧用

琴生不等式在高中数学中的巧用拉格朗日MJ 兰三中摘要：近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。

所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。

高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。

这里我主要选了Jensen 不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。

从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。

利用凸函数的jensen 不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

一、琴生不等式的引入凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。

若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

Jensen 不等式的定义：设f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b ）内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)...(n x x x f n +++21≦nx f x f x f n )(...)()(21+++,其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

若f （x ）在（a ，b ）内严格上凸，则上述不等式反向。

更一般的情况：设p i ∈R +，且11=∑=n i i p，f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b)内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)()(∑∑==≤ni ii n i i i x f p x p f 11 其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

关于Jensen不等式的一个证明

f (
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) 是凸函数 x
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参考文献〔
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的有类似这样叙述的定理
本文是这种定理
的另一证明
本文承熊春先老师指教
特此致谢
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人民教育出版社
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武汉大学数学系编
学系编《数学分析
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琴生不等式【学生版】

自招竞赛数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

利用詹森不等式(Jensen)证明不等式问题

利用詹森不等式（Jensen）证明不等式问题作者：吴方跃来源：《速读·上旬》2016年第09期摘要：研究不等式的方法可谓众多，本文利用詹森（Jensen）不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍詹森（Jensen）不等式定义，证明詹森（Jensen）不等式和用詹森（Jensen）不等式定义如何解决不等式证明问题，由于詹森（Jensen）不等式的重要性，文章中将詹森（Jensen）不等式作为基础不等式，推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式。

关键词：不等式；詹森不等式不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位。

因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。

研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高等数学中詹森（Jensen）不等式为理论基础，探讨如何解决不等式问题。

1Jensen不等式定理1若f为[a，b]上凸函数（凹函数），则对任意[xi∈[a，b]]，[λi>0（i=1，2…，n）]，[i=1n=1]有[fi=1nλixi≤（或≥）i=1nλif（xi）]。

证明：在这里只证明f为凸函数的情况.下面让我们应用数学归纳法来证明。

当n=2时，则由凸函数定义知命题显然成立。

设n=k时命题成立，即对任意[x1，x2…xk∈[a，b]]及[ai>0]，[i=1，2…，k，i=1kai=1]都有[f（i=1kaixi）≤i=1kaif（xi）]现设[x1，x2…xk，xk+1∈[a，b]]及[λi>0（i=1，2…，k+1）]，[i=1k+1λi=1]令[ai=λiλk+1]，[i=1，2…，k]，则[i=1kai=1]，由数学归纳假设可推得[f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）]=[f[（1-λk+1）λ1x1+λ2x2+…+λkxk1-λk+1+λk+1xk+1]]≤[（1-λk+1）fa1x1+a2x2+…+akxk+λk+1f（xk+1）]≤[（1-λk+1）a1fx1+a2fx2+…+akfxk+λk+1f（xk+1）]=[（1-λk+1）λ11-λk+1fx1+λ21-λk+1fx2+…+λk1-λk+1fxk+λk+1f（xk+1）] =[i=1k+1λifxi]故命题成立。

考研不等式的证明方法

考研不等式的证明方法考研数学中，不等式是一个重要的内容，常常需要我们掌握不同不等式的证明方法。

下面我将介绍一些常用的不等式证明方法，帮助你更好地应对考试中的不等式问题。

1.直接法：根据不等式的定义，使用已知条件或基本的数学性质进行证明。

例如，证明对任意实数x，都有，x，≥0。

2.反证法：假设不等式不成立，然后通过证明导致矛盾，进而推出不等式成立。

例如，证明对任意实数x，都有x^2≥0。

3.数学归纳法：适用于一些具有递归结构的不等式。

首先证明当n=1时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。

例如，证明对任意正整数n，都有1+2+3+...+n≥(1+n)/21.AM-GM不等式证明方法：(1) 直接法：根据AM-GM不等式的定义进行证明。

例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

(2) 反证法：假设不等式不成立，然后推导出矛盾。

例如，证明对任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

(3)数学归纳法：适用于多个变量的情况。

首先证明n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。

(4) Jensen不等式：根据Jensen不等式的定义进行证明。

例如，证明对任意凸函数f(x)，有f((x1+x2+...+xn)/n)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n。

2. Cauchy-Schwarz不等式证明方法：(1) 直接法：根据Cauchy-Schwarz不等式的定义进行证明。

例如，证明对任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。

(2) 三角不等式法：利用三角不等式和实数平方函数的性质进行证明。

例如，证明对任意实数a和b，有，ab，≤(a^2+b^2)/23.柯西不等式证明方法：(1) 直接法：根据柯西不等式的定义进行证明。

琴生不等式

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。

同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。

詹森不等式证明及应用

例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中均
为正数。
a
5
sinx1 sin x2
sinx1
x2
xn
n
n
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
n
1 1 1
n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
an
ak0,k1,2,L,n a
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
习数学许多不等式证明起到很重要的作用。
本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法
且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影
a
2
詹森不等式的证明
方法一: 用数学归纳法证詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n 成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量
6
例5：利用Jensen不等式证明Hölder不等式
以及柯西不等式。
1
1
Hölder不等式
n aibi n aipp n biqq
i1
i1
i1
柯西不等式
n
2
aibi
n
ai2
n
bi2
i1 i1 i1
a
7
詹森不等式的应用应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题
问题1：
a
8
问题2：
a
9
詹森不等式的应用
应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用
设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而且是凸域K内的型凸函数，则有 E [f(x)]f(E [x])

詹森不等式-详解

詹森不等式-详解詹森不等式（Jensen's inequality），也译为延森不等式、琴生不等式目录• 1 詹森不等式简介• 2 詹森不等式的一般形式o 2.1 测度论的版本o 2.2 概率论的版本• 3 詹森不等式的特例o 3.1 机率密度函数的形式o 3.2 有限形式o 3.3 统计物理学• 4 参考文献詹森不等式简介詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。

它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.詹森不等式的一般形式詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。

这两种方式都表明同一个很一般的结果。

假设μ是集合Ω的正测度，使得μ(Ω) = 1。

若g是勒贝格可积的实值函数，而是在g的值域上定义的凸函数，则。

以概率论的名词，μ是个概率测度。

函数g换作实值随机变量X（就纯数学而言，两者没有分别）。

在Ω空间上，任何函数相对于概率测度μ的积分就成了期望值。

这不等式就说，若是任一凸函数，则。

詹森不等式的特例假设Ω是实数轴上的可测子集，而f(x)是非负函数，使得。

以概率论的语言，f是个机率密度函数。

詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：若g是任一实值可测函数，φ在g的值域中是凸函数，则。

若g(x) = x，则这形式的不等式简化成一个常用特例：。

若Ω是有限集合，而μ是Ω上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：，其中。

若φ是凹函数，只需把不等式符号调转。

假设是正实数，g(x) = x，λi = 1 / n及。

上述和式便成了，两边取自然指数就得出熟悉的平均数不等式：。

这不等式也有无限项的离散形式。

统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：，其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。

jensen不等式

1. Jensen不等式回顾优化理论中的一些概念。

设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。

当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。

如果或者，那么称f是严格凸函数。

Jensen不等式表述如下：如果f是凸函数，X是随机变量，那么特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

这里我们将简写为。

如果用图表示会很清晰：图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。

（就像掷硬币一样）。

X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成立。

当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。

Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是。

先验概率与后验概率事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率. 一、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

二、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.三、先验概率与后验概率通俗释义事情有N种发生的可能，我们不能控制结果的发生，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力。

琴生不等式【讲师版】

自招竞赛数学讲义琴生不等式和幂平均不等式知识定位不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

知识梳理琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

琴生不等式在高中数学中的巧用

琴生不等式在高中数学中的巧用拉格朗日MJ 兰三中摘要：近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。

所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。

高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。

这里我主要选了Jensen 不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。

从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。

利用凸函数的jensen 不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

一、琴生不等式的引入凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。

若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

Jensen 不等式的定义：设f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b ）内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)...(n x x x f n +++21≦nx f x f x f n )(...)()(21+++,其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

若f （x ）在（a ，b ）内严格上凸，则上述不等式反向。

更一般的情况：设p i ∈R +，且11=∑=n i i p，f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b)内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)()(∑∑==≤ni ii n i i i x f p x p f 11 其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

利用Jensen不等式证明不等式

利用Ｊｅｎｓｅｎ不等式证明不等式作者：周宗棋来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第11期广东中山桂山中学 528463摘要：不等式的证明，已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明不等式的方法，且那些方法都非常巧妙，但笔者另辟蹊径，利用Jensen不等式来证明不等式.关键词：Jensen不等式；证明在利用Jensen不等式来证明不等式之前，我们先由数学分析引入如下两个定理.定理1 二阶可导函数f（x）为区间I上的凸（凹）函数的充要条件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.定理2 （Jensen不等式）若f（x）为［a，b］上的凸函数，对任意xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），且λi=1，则fxiλi≤λif（xi）.特别地，当λi=时，fxi≤·f（xi）.下面利用Jensen不等式证明不等式.[⇩]证明整式不等式例1 设xk>0（k=1，2，…，n），x1+x2+…+xn=1，p∈N*，p≥2.求证：x+x+…+x≥n1-p.证明设函数f（x）=xp（00，所以，f（x）在（0，1）上为凸函数.由Jensen不等式f[⇩]证明分式不等式例2 设a1，a2，…，an>0，n≥2，且a1+a2+…+an=1.求证：++…+≥.证明设f（x）=（00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.由Jensen不等式 f例3 若ai>0（i=1，2，…，n，n≥2），且ai=s（s为正数）.求证：≥（其中k为常数，且k为正整数）.证明设f（x）=（00，所以f（x）在（0，s）上为凸函数.由Jensen不等式f由例3同理可证例4.例4 若0求证：≥（其中k为常数，且k为正整数）.例5 （第47届波兰数学奥林匹克第二轮）设a，b，c>0，且a+b+c=1.求证：++≤.证明设f（x）=（0因为0由Jensen不等式得f≥（f（a）＋f（b）＋f（c）），例6 （第二届北方数学奥林匹克）已知正数a，b，c满足a+b+c=3.求证：++≤5.证明方法同例5，证明略.[⇩]证明无理不等式例7 设xk>0（k=1，2，…，n），且x1+x2+…+xn=1.求证：++…+≥n.证明设f（x）=（0所以f ′（x）=，f ″（x）＝，因为00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.由Jensen不等式例8 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.求证：1+≥（n+1）n.证明原不等式等价于ln1+≥nln（1+n）.设f（x）=ln1+（0所以f ′（x）=，f ″（x）=，因为00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.由Jensen不等式1+≥nln（1+n）成立，从而原不等式成立.例9 （Klamkin不等式）设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.+n，从而原不等式成立.例10 若x，y，z是正数，且x+y+z=1.例11 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.求证：≥例12 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1， k∈N*.求证：aik+≥nk不等式，然后构造函数，并判断函数的凸凹性，最后用Jensen不等式证明.从上述例题可以看出，利用Jensen不等式证明不等式，思路清晰，技巧性少，便于操作，显然是证明不等式的一种较好的方法.。