2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷 Word版含答案

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2012年高考数学湖南卷理科试题及答案(全word版)

D C B A图1湖南省2012年高考试题数学( 理科)分值:150分时量:120分钟考试日期:2012-06-07一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分. 1.设集合M ={-1,0,1},N ={x |x 2≤x },则M ∩N =（）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,1}2.命题“若4απ=,则tan 1α=”的逆否命题是 ( ) A ．若4απ≠,则tan 1α≠ B ．若4απ=,则tan 1α≠C ．若tan 1α≠,则4απ≠D ．若tan 1α≠,则4απ=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )4.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,)i i x y(1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -= 6.函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（）A ．[-2,2]B ．] C ．[-1,1] D ．] 7.在ABC ∆中, AB =2, AC =3,AB BC ⋅=1,则BC = ( ) ABC．D8.已知两条直线1:l y m =和8:(0,l y m m =>≠,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至ABPO图2图3图4右相交于点A B 、,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D 、.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,ba的最小值为( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上. (一)选做题(请在第9、10、11两题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.在直角坐标系xoy 中,已知曲线11,:(12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)与曲线2sin ,:3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,a >0) 有一个公共点在x 轴上,则a = .10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若PA =1,AB =2,PO =3,则圆O 的半径等于 . (二)必做题(12〜16题)12.已知复数z=(3+i)2(i 为虚数单位),则|z|= .13.6的二项展开式中的常数项为 (14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.(1)若6ϕπ=,点P 的坐标为,则ω= ; (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC ∆内的概率为 . 16.设*2(2,)n N n n N =≥∈,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=将此操作称为C 变换,将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ,当22i n ≤≤-时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +,例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.(1)当16N =时,7x 位于2P 中的第个位置; (2)当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第个位置.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如上表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间x 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)18.(本小题满分12分)如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,4,3,5,90,AB BC AD DAB ABC E ===∠=∠=是CD 的中点.(Ⅰ)证明:CD ⊥平面PAE ;(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记A(n)=12n a a a +++,B(n)=231n a a a ++++,C(n)=342n a a a ++++,n=1,2,….(Ⅰ)若121,5a a ==且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{a n }的通项公式． (Ⅱ)证明:数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n组成公比为q 的等比数列.BDPE20.(本小题满分13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k (k 为正整数).(Ⅰ)设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;(Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.(本小题满分13分）在直角坐标系xoy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线1C 的方程;(Ⅱ)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别于曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明:当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值.22.(本小题满分13分)已知函数()ax f x e x =-,其中0a ≠.(Ⅰ)若对一切x R ∈,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合;(Ⅱ)在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k 问:是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题 B,C,D,D A,B,A,B 二、填空题 9.32 10.1{|}4x x > 11. 12. 10 13. -160 14. -4 15.(1) 3 (2)4π16.(1) 6 ,(2)43211n -⨯+三、解答题17.【解】(Ⅰ)由已知得251055y ++=,所以20y =,所以1003025201015x =----=……2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得:153303251(1),( 1.5),(2)10020100101004P X P X P X =========, 201101( 2.5),(3)100510010P X P X ======. 所以X 的分布列如右表所示, X 的数学期望为()E X =1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9…………………………………6分 (Ⅱ) 记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,i X (i =1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则1()(1P A P X ==且211)(1X P X =+=且211.5)( 1.5X P X =+=且21)X =…………………8分由于各顾客的结算相互独立,且i X (i =1,2)的分布列都与X 的分布列相同,所以…………10分121212()(1)(1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=333333920202010102080=⨯+⨯+⨯= 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.………………………………………12分〖点评〗本题考查学生的阅读能力,考查概率的计算,考查离散型随机变量的期望,属于中档题.18.【解】解法一:(Ⅰ)连接AC ,由AB =4,BC =3,∠ABC =90°,得AC =5,又AD =5,E 是CD 得中点,所以CD ⊥AE ,…………………………2分 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD.所以PA ⊥CD ,………………3分而PA,AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE .………………………………………………5分(Ⅱ)过点B 作BG ∥CD,分别与AE,AD 相交于点F 、G,连接PF, 由CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE,于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG ⊥AE .……………………………………7分由PA ⊥平面ABCD 知,∠PBA 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角.由题意∠PBA=∠BPF,因为sin ∠PBA=PA ,sin ∠BPF=BF ,所以PA=BF .……………………9分B由∠DAB=∠ABC=90°知,AD ∥BC,又BG ∥CD.所以四边形BCDG 是平行四边形, 故GD=BC=3,于是AG=2.在RT △BAG 中,AB=4,AG=2,BG ⊥AF,所以也所以BF=2AB BG ==于是.…………………………………………11分又梯形ABCD 的面积为S=12×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD 的体积为V=13×S ×PA=13×16.……………………12分解法二:以A 为坐标原点,AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).……………2分 (Ⅰ)CD =(-4,2,0),AE =(2,4,0),AP =(0,0,h).因为CD AE ⋅=-8+8+0=0,CD AP ⋅=0.………………4分所以CD ⊥AE,CD ⊥AP,而AP,AE 是平面PAE 内的两条相交直线, 所以CD ⊥平面PAE.………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由题设和第一问知,,CD PA 分别是平面PAE,平面ABCD 的法向量,而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,………………………………7分所以|cos ＜,CD PB ＞|=|cos ＜,PA PB ＞|,即||||||||||||CD PB PA PB CD PB PA PB ⋅⋅=⨯⨯………………9分由第一问知CD =(-4,2,0),(0,0,),PA h =-又(4,0,)PB h =-,故2|00|h h ++=,解得h =…………………………………………………11分又梯形ABCD 的面积为S=12×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD 的体积为V=13×S ×PA=13×16.……………………12分〖点评〗本题是中档题,利用空间直角坐标系通过向量的计算,考查直线与平面所成角的求法,直线与直线的垂直的证明方法,考查空间想象能力,计算能力,是常考题型.19.【解】(Ⅰ) 因为对任意n ∈N*三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,所以()()()()B n A n C n B n -=-,………………………………………………………………1分即1122n n a a a a ++-=-,亦即21214n n aa a a ++-=-=.故数列{a n }是首项为1,公差为4的等差数列,于是1(1)443n a n n =+-⨯=-.………………4分 (Ⅱ)证明:(必要性)若数列{a n }是公比为q 的等比数列,对任意n ∈N*,有1n n a a q +=.由0n a >知,(),(),()A n B n C n 均大于0,于是………………………………………5分231121212()()()n n n n a a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++,…………………………………………6分 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++,………………………………………7分即()()()()B nC n q A n B n ==,所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列;………………8分 (充分性):若对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列,则()(),()()B n qA n C n qB n ==,于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-,即2211()n n a a q a a ++-=-,亦即2121n n a qa a qa ++-=-……………………………………………………………………10分由n=1时,(1)(1)B qA =,即21a qa =,从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >,所以2211n n a a q a a ++==, 故数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列.………………………………………………11分综上所述,数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意*n N ∈,三个(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………………………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)设完成A,B,C 三种部件生产需要的时间(单位:天)分别为123(),(),()T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),()6200(1)T x T x T x x x kx k x⨯====-+, 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.…………………………………………4分 (Ⅱ)完成订单任务的时间为123()max{(),(),()}f x T x T x T x =,其定义域为*200{|0,}1x x x N k<<∈+ 所以12(),()T x T x 为减函数,3()T x 为增函数,注意到*21()2()()T x k T x k=∈N①当k=2时,12()()T x T x =,此时10001500()max{,}2003f x x x =-,其中*2000,3x x N <<∈ 所以由函数1310001500,2003T T x x ==-的单调性及图象可知,当100015002003x x =-,即4009x =时, 函数()f x 有最小值.由于40044459<<,且*x N ∈.且13250300(44)(44),(45)(45)1113f T f T ====,且2503001113<, 所以x =44时,完成订单任务的时间最短,时间最短为250(44)11f =.……………………………8分②当2k >,即3k ≥时,12()()T x T x <,所以10001500()max{,}200(1)f x x k x=-+ 其中315001500375(,)200(1)200450T k x k x x x=≥=-+--,所以只须求1000375max{,}50x x -的最小值,其中*050,x x N <<∈. 同理可知当100037550x x =-,即400(36,37)11x =∈所以当36x =时,1000375250250max{,}50911x x =>-, 当37x =时,1000375375250max{,}501311x x =>-, 所以此时完成订单任务的最短时间大于25011.…………………………………………………11分③当2k <,即1k =时,12()()T x T x <,此时2000750()max{,}100f x x x=-,且*0100,x x N <<∈同理令2000750100x x=-,得800(72,73)11x =∈当72x =时,2000750250250(72)max{,}100911f x x ==>-, 当73x =时,2000750750250250(73)max{,}10027911f x x ===>- 所以此时完成订单任务的最短时间也大于25011.………………………………………………12分综上所述,当2k =时,完成订单任务的时间最短,此时,,A B C 三种部件的人数分别为44,88,68. …………………………………………………………………………………………………………13分〖点评〗本题考查函数模型的构建,考查函数的单调性,分类讨论、数形结合(多想少算)的数学思想,解题的关键是确定分类标准,有难度.21.【解】(Ⅰ)解法一:设(,)M x y ,由已知得|2|3x +,…………………………2分由图可知,点M 在直线2x =-的右侧,故20x +>,5x +化简得曲线1C 的方程为220y x =.……………………………………………………………5分解法二:由题设知,曲线1C 上任意一点M 到圆心2(5,0)C 的距离等于它到直线5x =-的距离.因此,曲线1C 是以(5,0)为焦点,直线5x =-为准线的抛物线. 故其方程为220y x =.(Ⅱ)当点P 在直线4x =-上运动时,记(4,)(3)P t t -≠±,则过点P 且与圆2C 相切直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,如右图所示, 设两切线的统一方程为(4)y t k x -=+,即40kx y t k -++=,于是3=,整理得22721890k tk t ++-=(0∆>恒成立),又设过两切线,PA PC 的斜率为12,k k ,则212129,472t t k k k k -+=-=……①…………………8分又联立切线PA 与抛物线方程得11240,20k x y t k y x-++=⎧⎨=⎩得2112020(4)0k y y t k -++=设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ,则易知1121120(4)8020t k ty y k k +==+ 同理可知3428020ty y k =+,……………………………………………………………………11分所以21212123412124()16400(4)(4)400t t k k k k t ty y y y k k k k +++=++= 212124()1644006400tt t k k k k +-+==所以,当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400.……………13分〖点评〗本题考查轨迹方程,考查直线与圆相切、韦达定理的运用,解题的关键是切线与抛物线联立,属于中档题.22.【解】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()1axf x e x =-<,这与题设矛盾.又0a ≠,故0a >.……1分而()1ax f x ae '=-,令()0f x '=,得11lnx a a=.当11ln x a a<时,()0f x '<,()f x 递减;当11ln x a a >时,()0f x '>,()f x 递增.故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln f a a a a a=-.………………………………………3分于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥.……①令()ln g t t t t =-,则()ln g t t '=-.当01t <<时,()0g t '>,()g t 单调递增;当1t >时,()0g t '<,()g t 递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=,即1a =时,①式成立.………………5分综上所述,a 的取值集合为{1}.………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题知,21212121()()1ax ax f x f x e e k x x x x --==---, 令2121()()ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--,则121()12121()[()1],ax a x x e x e a x x x x ϕ-=----- 212()21221()[()1]ax a x x e x e a x x x x ϕ-=----…………………………………………………………8分令()1,t F t e t =--则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t ≠时,()(0),F t F >即10t e t -->.从而121()21210,()10ax a x x e e a x x x x ->--->-,212()12210,()10ax a x x e e a x x x x ->--->- 所以12()0,()0x x ϕϕ<>,………………………………………………………………………11分因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在12(,)c x x ∈,使得()0c ϕ=,又2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x -∈-,使()f x k '>.yzhgsb@ ·2012届高三◆数学试卷第11页共11页综上所述,存在在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立,且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --.……13分〖点评〗本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,构建新函数确定函数值的符号,从而使问题得解.。

2012年高考真题——数学(湖南卷)word版[文科理科两份]

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M ∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是A.若α≠4π，则tan α≠1B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ，yi ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg5. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为 A 220x -25y =1 B 25x -220y =1 C 280x -220y =1 D 220x -280y =1 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为7. 在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =8 ，已知两条直线l1 ：y=m 和 l2 ： y=821m +(m ＞0)，l1与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点A ，B ，l2 与函数y= y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D 记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a的最小值为 AB二，填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第9.10 11三题中人选两题作答案，如果全做，则按前两题记分）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：x=t+1 (t为参数)与曲线C2 ：x=asin θY= 1-2t y=3cos θ(θ为参数，a＞0 ) 有一个公共点在X轴上，则a 等于————10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______(二)必做题（12~16题）12.已知复数z=（3+i）2(i为虚数单位)，则|z|=_____.13.(的二项展开式中的常数项为。

2012年高考数学试卷及解析湖南卷(理科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 设集合{1,0,1}M =-，2{|}N x x x =≤,则M N = （） A ．{0} B. {0,1} C. {1,1}- D. {1,0,1}-3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）4. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ，用最小二乘法建立的回归方程为 0.8585.71y x =-，则下列结论不正确的是（）A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 5. 已知双曲线2222:1x y C ab-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A ．221205xy-= B.221520xy-= C.2218020xy-= D.2212080xy-=8. 已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段A C 和B D 在x 轴上的投影长度分别为,a b .当m 变化时，b a的最小值为（）A ． B. C. D.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）二、必做题（12~16题）12．已知复数2(3)z i =+（i 为虚数单位），则||z = 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南卷）

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】9页(P62-66,I0029-I0032)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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2012年高考理科数学湖南卷(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合21,0,1,{}{|}M N x x x =-=≤,则M N = ( ) A .{0} B .{0,1} C .{-1,1} D .{-1,0,1}2.命题“若π4α=,则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若π4α≠,则tan 1α≠B .若π4α=,则tan 1α≠C .若tan 1α≠,则π4α≠D .若tan 1α≠,则π4α=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( )A B C D4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系,根据一组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确．．．的是( )A .y 与x 具有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(,)x yC .若该大学某女生身高增加1 cm ,则其体重约增加0.85 kgD .若该大学某女生身高为170 cm ,则可断定其体重必为58.79 kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A .221205x y -=B .221520x y -=C .2218020x y -= D .2212080x y -= 6.函数π()sin cos()6f x x x =-+的值域为（）A .[]2,2- B.[ C .[]1,1- D.[227.在ABC △中,2,3AB AC ==,AB BC =1,则BC =( )ABC.D8.已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A B ,,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D ,.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,ba的最小值为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy 中,已知曲线11,:12,x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ,θ,=⎧⎨=⎩（θ为参数,0a >）有一个公共点在x 轴上,则a = . 10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若1,2,PA AB ==3PO =,则圆O 的半径等于 .12.已知复数2i)(3z =+（i 为虚数单位）,则|z |= .13.6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,则输出的数S = . 15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. （1）若π6ϕ=,点P的坐标为,则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC △内的概率为 .16.设2(,2)n N n n =∈*≥N ,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=,将此操作称为C 变换.将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ；当22i n -≤≤时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +.例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当16N =时,7x 位于2P 中的第个位置；（2）当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第个位置.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（Ⅰ）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）18.（本小题满分12分）如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,4,3,5,AB BC AD ===90,DAB ABC E ∠=∠=是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,记()A n =12n a a a +++,()B n =231n a a a ++++,()C n =342n a a a ++++,=1,2,n .（Ⅰ）若121,5a a ==,且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ,B ,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6 件,或B 部件3 件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A ,B ,C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值.22.（本小题满分13分）已知函数()e axf x x =-,其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x ∈R ,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立？若存在,求0x 的取值范围；若不存在,请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题CBDPE图5A1.【答案】B 【解析】{0,1}N =，{1,0,1}M =-，{0,1}M N ∴=．【提示】先求出{0,1}N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集） 2.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则t a n 1α=”的逆否命题是“若tan 1,α≠则π4α≠”．【提示】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，即可求它的逆否命题．【考点】四种命题及其之间的关系 3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C ，都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【提示】根据已知的平面图形的正视图和侧视图，即可求出它的俯视图．【考点】平面图形的直观图与三视图 4.【答案】D【解析】由回归方程为0.85571ˆ8.x y-=知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．【提示】根据两变量之间的回归方程，即可判断两者之间的关系．【考点】线性回归分析 5.【答案】A【解析】设双曲线22221x a C yb -=:的半焦距为c ，则210c =，5c =，又C 的渐近线为by x a=±，点P （2，1）在C 的渐近线上，12ba∴=⨯，即2a b =，又222c a b =+，a ∴=b =C ∴的方程为221205x y -=．【提示】根据给出的双曲线的焦距及其渐近线上一点，即可求出双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】B【解析】π1π()sin cos sin sin 626f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin [1,1]6x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为[．【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域．【考点】两角差的正弦，三角函数的值域 7.【答案】A【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B =-=⨯⨯-=，1cos 2B BC∴=-，又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=，解得BC =．【提示】根据给出的三角形两边及数量积，结合数量积运算及余弦定理即可求解另一边．【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理8.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2|log |y x =图象如图，由2|log |x m =，得12m x -=，22mx =，由28|log |21x m =+，得82132m x -+=，82142m x +=，依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-===-，8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭【提示】根据给出的三个函数表达式，画出函数图象，结合图象与不等式即可判断b a最小值．【考点】函数图象的应用，基本不等式二、填空题 9.【答案】32【解析】曲线1112x t C y t=+⎧⎨=-⎩：，直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；曲线2sin 3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩：，直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0)a -，(,0)a ，由0a >，曲线1C 与曲线2C有一个公共点在x 轴上，知32a =．【提示】根据给出的两条直线的参数方程与极坐标方程，分别转化成直角坐标方程，根据题意设交点求解．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与普通方程的转化10.【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()|21|2|1|f x x x =+--，则由13,()21()41,(1)23,(1)x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，得()0f x >的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．【提示】设函数表达式，求其等价的分段函数，再分段求其大于零时的解集即可．【考点】绝对值不等式 11.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为r ，由割线定理知PA PB PC PD =，即1(12)(3)(3)r r ⨯+=-+，r ∴=．【提示】根据给出的线段长，由切割线定理PA PB PC PD =，即可求出圆的半径．【考点】切割线定理 12.【答案】10【解析】22(3i)96i i 86i z =+=++=+，||10z ==．【提示】根据给出的复数表达式，进行四则运算，即可求出其模．【考点】复数代数形式的四则运算 13.【答案】160-【解析】6⎛ ⎝的展开式项公式是6631662(1)rr r r r r rr T C C x ---+⎛==- ⎝，由题意知30r -=，3r =，所以二项展开式中的常数项为333462(1)160T C =-=-．【提示】根据给出的二项式，即可求出其展开式的常数项．【考点】二项式定理 14.【答案】4-【解析】输入1x =-，3n =，执行过程如下：2i =，6233S =-++=-；1i =，3(1)115S =--++=；0i =，5(1)014S =-++=-，所以输出的是4-．【提示】根据程序框图的逻辑关系，并根据程序框图即可求出S 的值．【考点】循环结构的程序框图 15.【答案】3π4【解析】①()cos()y f x x ωωϕ'==+，当π6ϕ=，点P的坐标为⎛ ⎝⎭时，πcos 6ω= 3ω∴=；②由图知2ππ22T AC ωω===，1π22ABC S AC ω==△，设A ，B 的横坐标分别为a ，b ，设曲线段弧ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ，则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为π2π24ABC S P S ===△．【提示】根据给出的函数导数的图象判断ω的大小，由定积分求面积，并结合概率求解即可．【考点】函数图象的应用，定积分的几何意义，几何概型 16.【答案】643211n -⨯+【解析】①当16N =时，0123456P x x x x x x x =…，可设为(1,2,3,4,5,6,…，113571524616P x x x x x x x x x =……，即为(1,3,5……，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =…，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)…，7x 位于2P 中的第6个位置；②方法同①，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【提示】根据题意归纳推理求解即可．【考点】归纳推理三、解答题17.【答案】（Ⅰ）由已知，得251055y ++=，35x y +=，所以15x =，20y =，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，得：153(1)10020P X ===， 303( 1.5)10010P X ===，251(2)1004P X ===，X 的数学期望为()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2．5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于顾客的结算相互独立，且1X ，2X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X PX P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．【提示】根据给出的数据求分布列与期望，判断事件之间互斥关系，从而求得对立事件的概率即可．【考点】用样本数字特征估计总体数字特征，对立事件的概率18.【答案】（Ⅰ）如图，连接AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=，得5AC =，又5AD =，E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）过点B 作BG CD ∥，分别与AE ，AD 相交于F ，G 连结PF ，由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥，由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，4AB =，2AG =，BG AF ⊥由题意，知PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=，sin BFBPF PB∠=，所以PA BF =，由90DAB ABC ∠=∠=，知，AD BC ∥，又BG CD ∥，所以四边形BCDG 是平行四边形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG △中，4AB =，2AG =，BG AF ⊥，所以BG =，2AB BF BG ===于是PA BF ==，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=【解析二】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA h =，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,3,0)C ，(0,5,0)D ，(2,4,0)E ，(0,0,)P h ；（Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,)AP h =，8800CD AE =-++=，0CD AP =，所以CD AE ⊥，CD AP ⊥，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP A P BC D P B P A P B =，由（Ⅰ）知，(4,2,0)CD =-，(0,0,)AP h=-由(4,0,)PB h =-，故2216516h hh++，解得5h =，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1112851633V S PA =⨯⨯=⨯=【提示】根据定理判定线面垂直；找出四棱锥的高求其体积．【考点】直线与平面垂直的判定，四棱锥的体积19.【答案】（Ⅰ）对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a +--=-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，于是1(1)443n a n n =+-⨯=-；（Ⅱ）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=，由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………，即()()()()B nC n q A n B n ==，所以三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列；②充分性：若对于任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列，则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-，得2211()n n a a q a a ++-=-，即2121n n a qa a a ++-=-，由1n =有(1)(1)B qA =，即21a qa =，从而210n n a qa ++-=，因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．【提示】根据给出的三个关系式，根据三者之间的关系结合等差、等比性质求解即可．【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质20.【答案】（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为1()T x ，2()T x ，3()T x 由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx ，200(1)k x -+均为1到200之间的正整数；（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),()f x T x T x T x =，其定义域为2000,1x x x k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭N ，易知，1()T x ，2()T x 为减函数，3()T x 为增函数，注意到212()()T x T x k=，于是：①当2k =时，12()()T x T x =，此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，3()T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =，由于40044459<<，而1250(44)(44)11f T ==，3300(45)(45)13f T ==，(44)(45)f f <，故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =；②当2k >时，12()()T x T x >，由于k 为正整数，故3k ≥，此时375()50T x x=-，{}1()max (),()x T x T x ϕ=易知()T x 为增函数，则{}{}1311000375()max (),()max (),()()max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫=≥==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，()T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =，由于400363711<<而1250250(36)(36)911T ϕ==>，375250(37)(37)1311T ϕ==>，此时完成订单任务的最短时间大于25011；③当2k <时，12()()T x T x <，由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数2()T x ，3()T x 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．【提示】根据题意建立模型，判断单调性求最值即可．【考点】分段函数模型，函数单调性的判断，利用函数单调性求最值21.【答案】（Ⅰ）解法一：设M 的坐标为(,)x y，由已知得|2|3x +，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧，于是20x +>，5x =+，化简得曲线1C 的方程为220y x =；解法二：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =；（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，即040kx y y k -++=，于是3=，整理得2200721890k y k y ++-=①，设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1y ，2y 是方程①的两个实根，故001218724y y k k +=-=-②，由10124020k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩，得21012020(4)0k y y y k -++=③，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，4y ，则1k ，2k 是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=④，同理可得0234220(4)y k y y k +=⑤，于是由②，④，⑤三式，得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦==．所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400．【提示】根据给出的圆的方程及两曲线之间的关系，联立方程由韦达定理即可求解．【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 22.【答案】（Ⅰ）{1}（Ⅱ）0x 的取值范围为212211e e ln,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x e 1ax x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >，而()e 1ax f x a '=-，令()0f x '=，得11lnx aa =，当11ln x a a<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln f a a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥，令()ln g t t t t =-，则()ln g t t '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减．故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =，因此，当且仅当11a=即1a =时，a 的取值集合为{1}；（Ⅱ）由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---，令2121e e ()()e ax ax axx f x k a x x ϕ-'=-=--，则121()12121e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=-----，212()21221e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=----，令()e 1tF t t =--，则()e 1tF t '=-．当0t <时，()0F t '<，()F t 单调递减；当0t >时，()0F t '>，()F t 单调递增．故当0t =，()(0)0F t F >=，即e 10t t -->，从而21()21e()10a x x a x x ---->，12()12e()10a x x a x x ---->，又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-，所以1()0x ϕ<，2()0x ϕ>，因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0x ϕ=，2()e 0axx a ϕ'=>，()x ϕ单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211e e ln ()ax ax c a a x x -=-，故当且仅当212211e e ln ,()ax ax x x a a x x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦时，0()f x k '>．综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为212211e e ln ,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦．【提示】给出函数解析式，利用导数判断函数单调性求参数的取值范围；利用导数判断段单调性并求不等式．【考点】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题。

湖南省普通高中学业水平考试数学试题(Word版)

机密★启用前湖南省普通高中学业水平考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列几何体中为圆柱的是2．执行如图1所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出y 的值为 A ．10 B ．15 C ．25 D ．353．从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数为偶数的概率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．如图2所示，在平行四边形ABCD 中中，AB AD +=u u u r u u u rA ．AC uuu rB ．CA u u u rC ．BD u u u r D ．DB u u u r5．已知函数y ＝f （x ）（[1,5]x ∈-）的图象如图3所示，则f （x ）的单调递减区间为 A ．[1,1]- B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[1,5]- 6．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式恒成立的是 A ．a +c ＞b ＋d B ．a +d >b +c C ．a -c >b -d D ．a -b >c-d 7．为了得到函数cos()4y x π=+的图象象只需将cos y x =的图象向左平移A ．12个单位长度 B ．2π个单位长度C ．14个单位长度 D ．4π个单位长度 8．函数(1)2()log x f x -=的零点为A ．4B ．3C ．2D ．1 9．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，AC，则BC ＝A ．12BCD ．110．过点M （2，1）作圆C ：22(1)2x y -+=的切线，则切线条数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题；本大题共5小题，每小题4分，共20分， 11．直线3y x =+在y 轴上的截距为_____________。

2012年湖南卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}1,0,1{−=M ，}{2x x x N ≤=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{−D ．}1,0,1{− 2．命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A ．若4πα≠，则1tan ≠α B ．若4πα=，则1tan ≠αC ．若1tan ≠α，则4πα≠D ．若1tan ≠α，则4πα=3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ−=x y ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg5．已知双曲线1:2222=−b y a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．152022=−y x B ．120522=−y x C ．1208022=−y x D ．1802022=−y x 6．函数)6cos(sin )(π+−=x x x f 的值域为A ．]2,2[−B ．]3,3[−C ．]1,1[−D ．]23,23[−7．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1=⋅BC AB ，则=BCABC ．D8．已知两条直线m y l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，的最小值为 A ． B ． C ．348 D ．344二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧−=+=t y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθcos 3,sin :2y a x C （θ为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ． 10．不等式01212>−−+x x 的解集为．11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z ． 13．6)12(xx −的二项展开式中的常数项为．（用数字作答） 14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=−=n x ，则输出的数=S ．ba15．函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω ；（2）若在曲线段与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为． 16．设*2(,)nN n N n =∈≥2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列113124N N P x x x x x x −=，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ≤≤−时，将i P 分成2i段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．（1）当16N =时，7x 位于2P 中的第个位置；（2）当2()nN n =≥8时，173x 位于4P 中的第个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率） 18．（本小题满分12分）ABC 2N 2N 2N如图5，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，4AB =，3BC =，5AD =，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD −的体积． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++，231()n B n a a a +=+++，342()n C n a a a +=+++，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分13分）已知函数()axf x e x =−，其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合.（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学 (参考答案)1.【答案】B 【解析】 M={-1,0,1} M ∩N={0,1}.2. 【答案】C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠”.3.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.4. 【答案】D【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 5.【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即. 又，，C 的方程为-=1.6.【答案】B{}0,1N =∴p q p ⌝q ⌝4π4πy y x ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+−=−x y 22x a 22y bc 210,5c c ==b y x a =±12ba∴=2a b =222c a b =+a ∴==∴220x 25y【解析】f （x ）=sinx-cos(x+)，，值域为]. 7.【答案】A【解析】由下图知..又由余弦定理知，解得.8．【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=(m ＞0)，图像如下图，由= m ，得，= ，得.依照题意得.，9.【答案】 6π1sin cos sin )226x x x x π=−+=−[]sin()1,16x π−∈−()f x ∴AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π−=⨯⨯−=1cos 2B BC ∴=−222cos 2AB BC AC B AB BC+−=⋅BC =821m +2log y x =2log x 122,2m mx x −==2log x 821m +821821342,2m m x x +−+==8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++−−+−−+−=−=−=−821821222m m mm +++==8141114312122222m m m m +=++−≥−=++min ()b a ∴=32AC821m =+xm【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在X 轴上，知. 10.【答案】【解析】令，则由得的解集为.11.【解析】设交圆O 于C，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知12.【答案】10【解析】=，. 13.【答案】-160 【解析】()6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为. 14.【答案】【解析】输入 ,n =3,，执行过程如下：；；，所以输出的是.15. 【答案】（1）3；（2）（lbylfx ）1C 1,12x t y t=+⎧⎨=−⎩32y x =−x 3(,0)22C sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩22219x y a +=x (,0),(,0)a a −0a >1C 2C 32a =14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭()2121f x x x =+−−()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧−<−⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩()f x 0>14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭PO ,1(12)(3-)(3),PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即2(3)z i =+29686i i i ++=+10z ==663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x −−−+==−30,3r r −==33346C 2(1)160T =−=−4−1x =−2:6233i S ==−++=−1:3(1)115i S ==−−++=0:5(1)014i S ==−++=−4−4πO【解析】（1），当，点P 的坐标为（0，）时；（2）由图知，，设的横坐标分别为. 设曲线段与x 轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为. 16.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）当N=16时,,可设为, ,即为,,即, x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第个位置.17.【解析】（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得的分布为X 的数学期望为 . （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则()y f x '=cos()x ωωϕ=+6πϕ=2cos,362πωω=∴=222T AC ππωω===122ABCS AC πω=⋅=,A B ,a b ABC S ()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+−+=⎰224ABCSP Sππ===43211n −⨯+012345616P x x x x x x x =(1,2,3,4,5,6,,16)113571524616P x x x x x x x x x =(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)2159133711152616P x x x x x x x x x x x =(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)43211n −⨯+251055,35,y x y ++=+=15,20.x y ==153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(1,2)i X i =i. 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X 的分布列相同，所以. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为. 18. 【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且12,X X 121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=9803BC =90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面.PA CD ⊥,PA AE 是平面PAE ,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接BPF ∠BG AE ⊥PA ABCD ⊥平面PBA ∠PB ABCD 4,2,,AB AG BG AF ==⊥,PBA BPF ∠=∠sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=.PA BF =90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又BCDG 3.GD BC ==2.AG =Rt ΔBAG 4,2,,AB AG BG AF ==⊥25AB BG BF BG =====5PA BF ==ABCD 1(53)416,2S =⨯+⨯=P ABCD −解法2：如图（2），以A 为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB 与所成的角和PB 与所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得. 又梯形ABCD 的面积为，所以四棱锥的体积为 . 19.【解析】（l bylfx ）解（１）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=,,AB AD AP x y z轴，轴，轴,PAh =(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h (4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =−==8800,0,CD AE CD AP ⋅=−++=⋅=,.CD AE CD AP ⊥⊥,AP AE PAE .CD PAE ⊥平面,CD AP PAE 平面ABCD 平面PAE 平面ABCD 平面cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即(4,2,0),(0,0,),CD AP h =−=−(4,0,),PB h =−=5h =1(53)4162S =⨯+⨯=P ABCD −111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=N n *∈(),(),()A n B n C n ()()()(),B n A n C n B n −=−112,n n a a a ++−=2121 4.n n a a a a +−−=−={}n a 1(1)44 3.n a n n =+−⨯=−{}n a N n *∈由知，均大于０，于是即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列. （２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即由有即，从而. 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数组成公比为的等比数列.20.【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有期中均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为易知，为减函数，为增函数.注意到于是（1）当时，此时1.n nq a a −=0n a >(),(),()A n B n C n 12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++()()B n A n ()()C n B n q (),(),()A n B n C n q N n *∈(),(),()A n B n C n q ()(),()()B n qA n C n qB n ==[]()()()(),C n B n q B n A n −=−2211(),n n a a q a a ++−=−2121.n n a qa a a ++−=−1n =(1)(1),B qA =21a qa =210n n a qa ++−=0n a >2211n n a a q a a ++=={}n a 1a q {}n a q (),(),()A n B n C n q 123(),(),(),T x T x T x 12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x kx k x⨯====−+,,200(1)x kx k x −+{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭12(),()T x T x 3()T x 212()(),T x T x k=2k =12()(),T x T x =，由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 .由于 . 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为. （2）当时，由于为正整数，故，此时易知为增函数，则.由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 .由于此时完成订单任务的最短时间大于. （3）当时，由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为，大于. 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬−⎩⎭13(),()T x T x 100015002003x x=−()f x 4009x =134********4445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而44x =250(44)11f =2k >12()(),T x T x >k 3k ≥{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==−()T x {}13()max (),()f x T x T x ={}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬−⎩⎭1(),()T x T x 100037550x x =−()x ϕ40011x =14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而250112k <12()(),T x T x <k1k ={}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬−⎩⎭23(),()T x T x 2000750100x x =−()f x 80011x =2509250112k =分别为44,88,68.21.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M 到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（Ⅱ）当点P 在直线上运动时，P 的坐标为，又，则过P 且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得①设过P 所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故② 由得 ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得(,)xy 23x +=2C 2x =−20x +>5x =+1C 220y x =1C 2C (5,0)5x =−1C (5,0)5x =−220y x =4x =−0(4,)y −03y ≠±2C k 0(4),y y k x −=+0即kx-y+y+4k=0 3.=2200721890.k y k y ++−=,PA PC 12,k k 12,k k 001218.724y yk k +=−=−101240,20,k x y y k y x −++=⎧⎨=⎩21012020(4)0.k y y y k −++=1234,,,y y y y 0112120(4).y k y y k +⋅=0234220(4).y k y y k +⋅=.所以，当P 在直线上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.22.【解析】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当. ① 令则当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立. 综上所述，的取值集合为.（Ⅱ）由题意知，令则 010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤−+⎣⎦=4x =−0a <0x >()f x 1axe x =−<0a ≠0a >()1,axf x ae '=−11()0,ln .f x x a a'==得11ln x a a <()0,()f x f x '<11ln x a a >()0,()f x f x '>11ln x a a=()f x 11111(ln )ln .f a a a a a=−,()1x R f x ∈≥111ln 1a a a−≥()ln ,g t t t t =−()ln .g t t '=−01t <<()0,()g t g t '>1t >()0,()g t g t '<1t =()g t (1)1g =11a=1a =a {}121212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x −−==−−−2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ−'=−=−−121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ−⎡⎤=−−−−⎣⎦−212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ−⎡⎤=−−−⎣⎦−令，则.当时，单调递减；当时，单调递增. 故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为.（lbyl fx ）()1t F t e t =−−()1tF t e '=−0t <()0,()F t F t '<0t >()0,()F t F t '>0t =()(0)0,F t F >=10.te t −−>21()21()10a x x ea x x −−−−>12()12()10,a x x ea x x −−−−>1210,ax e x x >−2210,ax e x x >−1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>()y x ϕ=[]12,x x 012(,)x x x ∈0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>c 21211ln ()ax ax e e c a a x x −=−212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x −∈−0()f x k '>012(,)x x x ∈0()f x k '>0x 212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x −−。

2012年理数高考试卷答案与解析-湖南

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M={-1,0,1} ， N={x|x 2≤ x}，则M ∩ N=A.{0}B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}【答案】 B【解析】N 0,1 M={-1,0,1} M ∩ N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出N 0,1 ,再利用交集定义得出 M∩ N.2.命题“若α = ，则 tan α =1”的逆否命题是4A.若α≠，则 tanα ≠1 B. 若α = ，则 tanα ≠ 14 4C. 若 tanα ≠ 1，则α≠ D. 若 tanα ≠1，则α =4 4【答案】 C【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若p ，则q ”，所以“若α = ，则 tanα =1”的逆否命题是“若4tan α ≠ 1，则α ≠” .4【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】 D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.第 1 页共 17 页【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力 .是近年高考中的热点题型 .4.设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ x i ，y i ）（ i=1， 2 ，⋯， n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kgD.若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重比为 58.79kg【答案】 D【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最y bx a bx y bx (a y bx ) ，所以回归直线过样本点的中心（x ，小二乘法建立的回归方程得过程知? y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确 .【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错 .5. 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为a 2 - 2 bx 2 y 2x 2 - y 2 x 2 y 2x 2 y 2A ．-=1 B. 5 20=1 C. - =1D.-=120 5 80 2020 80【答案】 A【解析】设双曲线 C： x 2 y 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c10, c 5 .a 2 - 2b 又 C 的渐近线为 ybx ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线 1 b 2 ，即 a 2b .上，a a又 c2a2b2， a 2 5,b5 ， C的方程为x2- y2 =1.20 5【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 .第 2 页共 17 页6. 函数 f （x） =sinx-cos(x+ )的值域为6A． [ -2 ,2] B.[-3 , 3 ] C.[-1,1 ]D.[-3 3, ]2 2【答案】B【解析】 f（ x） =sinx-cos(x+ ) sin x 3 cos x 1 sin x 3 sin( x ) ，sin( x )1,1 ，f (x) 值6 2 2 6 6 域为 [- 3 , 3 ].【点评】利用三角恒等变换把f ( x) 化成Asin( x) 的形式，利用sin( x )1,1 ，求得 f (x) 的值域 .7. 在△ ABC中， AB=2， AC=3， AB BC = 1 则 BC ___ .中 &% 国教 *^ 育出版网A. 3B. 7C.2 2D. 23【答案】A【解析】由下图知AB BC = AB BC cos( B) 2 BC ( cos B) 1.cosB 1 .又由余弦定理知cos B AB 2BC 2AC2，解得BC 3 .2B C 2 AB BCAB C【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB, BC 的夹角为 B 的外角 .8 ．已知两条直线l1： y=m和 l8(m＞ 0)， l1与函数ylog2 x 的图像从左至右相交于点A， B ，l2 2： y=2m 1与函数 y log 2 x 的图像从左至右相交于bC,D .记线段 AC和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当m 变化时，a的最小值为来源 %&: 中国教育出版网A． 16 2 B.8 2 C.8 4 D. 4 4【答案】B第 3 页共 17 页【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像如下图，2m 1由 log 2 x = m ，得 x 1 2m , x 2 2m ， log 2 8 8 8x = ，得 x 32 2 m 1 , x 4 2 m 1 2 . 2m 1 8 依照题意得 a 2 m 2 2 m1, b 2m 2 82 m12m 2 , ba 2 m 2 8 2m1 8 8 2m 2m 1 m8 2 2 2 m1 . 2m 1m 8 m 1 4 1 4 1 3 1 ， ( b )min 8 2 .2m 1 2 1 2 2 2 a m 2y log 2 xDy 8C2m 1 A By m O1 x【点评】在同一坐标系中作出y=m ， y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像，结合图像可解得 .2m 1二、填空题：本大题共8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 .（一）选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9. xOy 中，已知曲线C1：x t 1, x a sin ,在直角坐标系y 1(t 为参数 )与曲线C2：3cos 2t y( 为参数，a0 ) 有一个公共点在 X 轴上，则 a __ .【答案】32【解析】曲线C1x t 1,y 3 2 x ，与 x 轴交点为 ( 3 ,0) ；：1直角坐标方程为y 2t 2x asin, x2y21，其与 x 轴交点为( a,0),( a,0) ，曲线 C2：3cos 直角坐标方程为29y a第 4 页共 17 页由 a 0，曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 3X 轴上，知 a.2【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等 .曲线 C 1 与曲线 C 2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得 . 10.不等式 |2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.【答案】 x x143,( x 1) 2 【解析】令f ( x) 2x 1 2 x 1 ，则由 f (x)4x 1,( 1x 1) 得 f ( x) 0 的解集为 x x 1 . 2 4 3,( x 1)【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组） .11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A ，B 两点 .若 PA=1， AB=2， PO=3，则圆 O 的半径等于 _______.O BPA【答案】 6【解析】设 PO 交圆 O 于 C ， D ，如图，设圆的半径为 R ，由割线定理知PA PB PC PD,即1 (1 2) (3- r )(3 r ), r 6. DOC PB A【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ，从而求得圆的半径 .(二 )必做题（ 12~16 题）12.已知复数 z (3 i )2 (i 为虚数单位 )，则 |z|=_____.第 5 页共 17 页【答案】 10【解析】 z (3i )2= 9 6i i 2 8 6i ， z82 62 10 .【点评】本题考查复数的运算、复数的模 .把复数化成标准的 abi ( a, b R) 形式，利用z a 2 b 2 求得 .13.( 2 x - 1 )6 的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）x【答案】 -160【解析】 ( 2 x - 1 )6 的展开式项公式是 T r 1C 6r (2 x )6 r( 1 )r C 6r 26 r ( 1)r x 3 r . 由题意知 x x3 r 0 r, 3 T 4C 6 2 ( 1) 160 .，所以二项展开式中的常数项为 3 3 3 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3 所示的程序框图，输入 x 1 ,n=3,则输出的数 S=. 【答案】4 【解析】输入 x 1 ,n=3, ，执行过程如下： i 2: S 6 2 3 3 ； i 1: S 3( 1) 1 15 ； i 0: S 5( 1) 0 1 4 ，所以输出的是 4 .【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错 .15.函数f（ x）=sin (x )的导函数y f (x) 的部分图像如图4 所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图第6 页共17页像与 x 轴的两个交点， B 为图像的最低点 .（ 1）若，点 P 的坐标为（ 0 ， 3 3），则;62（ 2）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ ABC 内的概率为 .【答案】（1） 3；（ 2）4【解析】（1） y f ( x)cos( x ) ，当，点 P 的坐标为（ 0，3 3）时 6 2 cos3 3 , 3 ； 6 2T21 AC（ 2）由图知AC ， SABC 2 ，设 A, B 的横坐标分别为 a,b .2 22设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则 S b f (x)dx f ( x) a bsin( a ) sin( b ) 2， a由几何概型知该点在△ABC 内的概率为P SABC 2 .S 2 4【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P 在图像上求，（ 2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.n* ， n ≥ 2），将 N 个数 x 1,x 2 ,⋯， x N 依次放入编号为 1,2，⋯， N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯16.设 N=2（ n∈ NxN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 和后N个位置，得到排列2 2P1=x1 x3⋯ xN-1x2x4⋯ xN，将此操作称为C 变换，将 P1分成两段，每段N 个数，并对每段作C 变换，得到p2；当22第 7 页共 17 页≤ i ≤ n-2 时，将 P i 分成 2i 段，每段 N个数，并对每段C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8， 2i此时 x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置 .（ 1）当 N=16 时， x 7 位于 P 2 中的第 ___个位置；（ 2）当 N=2n （ n ≥ 8）时， x 173 位于 P 4 中的第 ___个位置 .【答案】（1） 6；（ 2） 3 2n 4 11【解析】（1）当 N=16 时 ,P 0 x 1 x 2 x 3x 4 x 5x 6 x 16 ,可设为 (1,2,3,4,5,6,,16) , P 1 x 1 x 3 x 5 x 7 x 15 x 2 x 4 x6 x 16 ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8, ,16) ,P 2 x 1 x 5 x 9 x 13 x 3x 7 x 11x 15 x 2 x 6 x 16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6,,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置 ,；（ 2）方法同（1） ,归纳推理知 x 173 位于 P 4 中的第 3 2n4 11 个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示 .一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数（人） x30 25 y 10 结算时间（分钟 /人） 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％ .（Ⅰ）确定 x ， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； [&% 中国教育出版网*#（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．． 2.5 分钟的概率 .（注：将频率视为概率）中 %# 国教育出版网【解析】（1）由已知 ,得25y 10 55, x y 35, 所以 x 15, y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得p( X 1 ) 1 53 ,p (X 1. 5 ) 3 03 p , X ( 2 )2 51,1 00 2 0 1 0 0 1 0 1 00 4p( X 2 . 5 ) 2 01 p,X( 3 )1 0 1 .1 00 5 1 00 1 0X 的分布为X 1 1.5 2 2.5 3P 3 3 1 1 120 10 4 5 10 X 的数学期望为第 8 页共 17 页331 1 1E( X ) 11. 5 22. 53 . 1. 9 2 0 1 0451 0（Ⅱ）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， X i (i2)1,为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则P( A) P( 1X 且1 2X 1) P (1X 且 1 2X 1. 5 ) P 1 X( 且 1. 25X.1 )由于顾客的结算相互独立，且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以P( A) P( X 1 ) ( P 2X 1) P 1( X 1) P 2 (X 1. 5 )P X( 1. 5P) X ( 1)1 1 23333 339 20 20 20 10 10 20 .80故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9.80 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％知 25 y 10 100 55%,x y 35, 从而解得 x, y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．． 2.5 分钟的概率 . 18.（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ，AB=4， BC=3， AD=5，∠ DAB=∠ABC=90°， E 是 CD 的中点 .来源 %:* 中国教育出 @ 版网（Ⅰ）证明： CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积 .【解析】解法 1（Ⅰ如图（ 1）），连接 AC，由 AB=4， BC 3，ABC 90 , 得 AC 5. 又 AD 5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD AE.第 9 页共 17 页PA 平面 ABCD, CD 平面 ABCD, 所以 PA CD .而 PA, AE是平面 PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面 PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG CD, 分别与 AE, AD相交于 F ,G,连接 PF . 由（Ⅰ） CD⊥平面 PAE知，ＢＧ⊥平面 PAE于.是 BPF 为直线ＰＢ与平面 PAE 所成的角，且 BG AE .由 PA 平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .AB 4, AG 2, BG AF , 由题意，知PBA BPF ,因为 sin PBA PA ,sin BPF BF , 所以 PA BF .PB PB由DAB ABC 90 知， AD / / BC, 又BG / /CD , 所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GDBC 3.于是AG 2.在 Rt BAG 中， AB 4, AG2, BG AF , 所以BG AB2AG2 2 5, BF AB216 8 5 .BG 2 5 5 于是 PA BF 8 5 .5又梯形 ABCD 的面积为S 1 (5 3) 4 16, 所以四棱锥P ABCD 的体积为2V1S PA 1 168 5 128 5 .3 3 5 15第 10 页共 17 页解法 2：如图（ 2），以 A 为坐标原点，AB, AD , AP 所在直线分别为x 轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 .设PA h, 则相关的各点坐标为：A(4,0,0), B(4,0,0), C (4,3,0), D (0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).（Ⅰ）易知 CD ( 4,2,0), AE (2,4,0), AP (0,0, h). 因为CD AE 8 8 0 0,CD AP 0, 所以 CD AE, CD AP.而 AP, AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD 平面 PAE .( Ⅱ )由题设和（Ⅰ）知，CD, AP 分别是平面 PAE ，平面 ABCD 的法向量，而PB 与平面 PAE 所成的角和PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以cos CD, PB cos PA, PB , 即CD PB PA PB .CD PB PA PB由（Ⅰ）知，CD ( 4,2,0), AP (0,0, h), 由 PB (4,0, h), 故160 0 0 0 h2.2 5 16 h2h 16h285解得 h .513) 4 16 ，所以四棱锥PABCD 的体积为又梯形 ABCD的面积为S (521S PA 1 8 5 1 2 8 5V 165 15 .3 3【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由积.19.（本小题满分12 分）1V S PA 算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体3已知数列 {an}的各项均为正数，记 A（n）=a1 +a2+⋯⋯ +an ，B（ n）=a2+a3+⋯⋯ +an+1，C （ n）=a3+a4+⋯⋯ +an+2，n=1,2，⋯⋯ [来 ^& 源 :中教网 @~%]（ 1）若 a1=1， a2 =5，且对任意n∈ N﹡，三个数A（ n），B （ n）， C（ n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.（ 2）证明：数列 { an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN ，三个数 A（ n），B（ n），C（ n）第 11 页共 17页组成公比为q 的等比数列 .【解析】解（１）对任意 n N ,三个数 A(n), B(n),C (n) 是等差数列，所以B(n) A(n) C( n)B( n),即 a n 1a1a n 2 , 亦即 a n2a n1a2a14.故数列 a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是 a 1 ( n 1) 4 4n 3.n n（Ⅱ）（１）必要性：若数列a n是公比为ｑ的等比数列，则对任意n N ，有a n 1 a nq . 由a n0 知， A(n), B(n), C( n) 均大于０，于是B(n) a2a3... a n1q(a1a2... a n)q, A(n) a1a2...a n a1a2... a nC(n) a3a4... a n2 q(a2a3... a n 1)q, B(n) a2a3 ...a n a2a3... a n1 1即B(n)＝C (n)＝ q ，所以三个数A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列 .A(n) B(n)（２）充分性：若对于任意n N ，三个数 A( n), B(n), C ( n) 组成公比为 q 的等比数列，则B( n) q A( n) , C ( n) ，q B n于是 C(n) B( n)q B( n) A(n) , 得 a n2a2q(a n 1 a1), 即a n2qa n 1 a 2 a .由 n 1有 B(1) qA(1), 即a2qa1，从而 a n2qa n 10 .因为 a n 0a n 2 a2q ，故数列a n是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，，所以a1a n 1综上所述，数列a n是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈ N﹡，三个数 A(n), B(n),C (n)组成公比为 q 的等比数列 .【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.第 12 页共 17 页20.（本小题满分 13 分）来源中教 %&*网某企业接到生产3000 台某产品的 A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２ ,２ ,１（单位：件） .已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件 .该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （ k 为正整数） . （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案 .【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1( x), T 2 ( x),T 3 (x), 由题设有2 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0T ( x) ,T ( x ) ,T (x ) ,1 6 x23 2 0 0 ( 1 k )xx k x 期中 x, kx,200 (1 k) x 均为 1 到 200 之间的正整数 .（Ⅱ）完成订单任务的时间为f ( x) max T 1( x),T 2 ( x), T 3 ( x) , 其定义域为 x 0 x 200 , x N. 易知， T 1( x),T 2 ( x) 为减函数， T 3( x) 为增函数 .注意到1 k2 于是T 2 ( x) k T 1( x),（ 1）当 k2 时， T 1(x) T 2 (x), 此时f ( x) max T 1( x), T 3 ( x) max1000 , 1500 ，x 200 3x由函数 T 1 (x), T 3 (x) 的单调性知，当1000 1500时 f ( x) 取得最小值，解得x 200 3x 400x .由于944 4045, 而 f(44)T1(44) 250 , f (45) T3 (45) 300 , f (44) f (45) .9 11 13故当 x 44 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250.f (44)11375 , (x) max T1( x),T ( x)易（ 2）当k 2 时， T1( x)T2( x),由于 k 为正整数，故k3 ，此时 T(x)50 x知 T ( x) 为增函数，则f ( x)max T1 ( x), T3( x)第 13 页共 17 页max T1 (x),T (x)( x) max 1000 375. x,x51000 375(x) x 400. 由于由函数 T1 (x),T (x) 的单调性知，当50 x 时取得最小值，解得11x3 64 0 0( 3T61 )2 5 0 2 5 0T, ( 3 7 )3 75 2 5 0,3 而7,( 3 6 ) ( 3 7 )1 1 9 1 1 1 311此时完成订单任务的最短时间大于250.11（3 ）当 k 2 时，T1 ( x) T2 ( x),由于k 为正整数，故 k 1 ，此时f ( x)max T2 ( x),T3( x) max 2000 , 750.由函数 T2 ( x),T3 ( x) 的单调性知，x 100 x当 2000 750时 f (x) 取得最小值，解得x 800 x 100 x250 ，大于25011完成订单任务的最短时间为.9 11.类似（ 1）的讨论 .此时综上所述，当 k 2 时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为 44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分 13分） [www.z%zstep.co* ~&m^]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（ x-5）2＋ y2=9 外，且对 C1上任意一点 M ，M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值 . （Ⅰ）求曲线 C1的方程；（Ⅱ）设 P(x0,y0)（y0≠± 3）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点 A， B 和C， D.证明：当 P 在直线 x=﹣4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 .【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知得x 2 (x 5)2y2 3 ，易知圆 C2上的点位于直线 x 2 的右侧 .于是x2 0 ，所以( x 5) 2y2x 5 .化简得曲线 C1的方程为y220x .第 14 页共 17 页解法 2 ：由题设知，曲线C1上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线x5 的距离，因此，曲线C1是以 (5,0) 为焦点，直线x 5 为准线的抛物线，故其方程为y220x .（Ⅱ）当点P 在直线 x 4 上运动时， P 的坐标为 ( 4, y0 ) ，又 y0 3 ，则过 P 且与圆C2相切得直线的斜率k 存在且不为 0 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y y0k( x即kx-y+y 0 +4k=0.于是4),5k y04k3.k 2 1整理得72k 218y0k y029 0. ①设过 P 所作的两条切线PA, PC 的斜率分别为k1 , k2，则 k1, k2是方程①的两个实根，故k1k218 y0y0 .②72 4由k1x y y04k10, 得k1y220 y 20( y04k1).③y220x,设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为y1, y2 , y3 , y4，则是方程③的两个实根，所以y1y220( y04k1 ).④k1同理可得y3y420( y04k2 ).⑤k2于是由②，④，⑤三式得y1 y2 y3 y4400( y04k1)( y04k2 )k1k2400y02 4(k1 k2 ) y0 16k1k2k1k2第 15 页共 17 页400y02y0216k1k2k1k26400 .所以，当 P 在直线x 4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法 .第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A, B,C , D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13 分）已知函数 f( x)= ax ，其中≠ex a0.（1）若对一切 x∈ R， f (x) ≥ 1 恒成立，求 a 的取值集合 .（2）在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1, f (x1 )) ， B(x2 , f (x2 )) (x1x2 ) ，记直线 AB的斜率为 K，问：是否存在 x0∈（ x1，x2），使 f( x0 )k 成立？若存在，求 x的取值范围；若不存在，请说明理由 .【解析】（Ⅰ）若 a 0 ，则对一切x 0 ， f ( x) e ax x 1 ，这与题设矛盾，又 a 0，故a 0.而 f (x) ae ax1, 令 f ( x) 0, 得x1 ln 1 .1 1 a a1 1 1 1当xln (x)0, f ( x) 单调递减；当a时， f xln 时， f ( x) 0, f ( x) 单调递增，故当 xln时，a a a a af ( x) 取最小值 f ( 1ln1) 1 1 ln 1 .a a a a a于是对一切 x R, f ( x) 1恒成立，当且仅当1 1 ln 1 1 . ①a a a令 g(t) t t ln t , 则 g(t )ln t.当 0 t 1 时， g (t) 0, g(t ) 单调递增；当t 1时， g (t) 0, g(t ) 单调递减 .故当t 1时， g(t) 取最大值g(1) 1.因此，当且仅当11即 a 1时，①式成立 .a综上所述， a 的取值集合为 1 .f (x2 ) f (x1) axeax（Ⅱ）由题意知，ke 2 1x2x1x21.x1第 16 页共 17 页令 ( x) f ( x) k ae ax e ax 2 e ax1 , 则x 2 x 1( x 1 ) e ax 1 e a( x x ) a( x 2 x 1 ) 1 , x 2 x 1 2 1( x ) e ax 2 a (x 1x 2 ) a( x x ) 1 . e 2 x 2 x 1 1 2令 F(t ) e t t 1，则 F (t) e t 1. 当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递减；当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递增 .故当t 0 ， F(t)F (0) 0, 即 e t t 1 0.从而 e a ( x 2 x 1) a( x 2 x 1 ) 1 0 ， e a (x 1 x 2 ) a(x 1 x 2 ) 1 0,又 e ax 1 0, e ax2 0,x 2 x 1 x 2 x 1所以 ( x 1 ) 0, (x 2 ) 0.因为函数 y( x) 在区间 x , x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 x 0 (x 1, x 2 ) 使 1 2 ( x 0 ) 0, ( x) a 2e ax 0, ( x) 单调递增，故这样的 c 是唯一的，且 c 1 ln e ax2 e ax 1 . 故当且仅当 a a( x 2 x 1 ) 1 e ax2e ax1 , x2 )时， f ( x 0 ) k .x ( lna( x 2 x 1 ) a综上所述，存在x 0 (x , x ) 使 f ( x ) k 成立 .且 x 的取值范围为 1 2 0 01 e ax2 e ax 1 ( ln a( x 2 , x 2 ) . a x 1 ) 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法 . 第一问利用导函数法求出 f ( x) 取最小值f ( 1 ln 1 ) 11 ln 1 .对一切 x∈ R， f(x) 1 恒成立转化为 f ( x)min 1，从而得出 a 的取值集合；第二问在假a a a a a设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.第 17 页共 17 页。

2012湖南省学业水平考试样卷

2012湖南省普通高中学业水平考试样卷（数学）考生姓名班级得分本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分时量 120分钟满分 100分一、选择题：本大题10小题，每小题4分满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}{},,,M a b N b c ==，则M N ⋂= A {},a b B {},b c C {},a c D {}b2、函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是 A π B 2π C 4π D2π 3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，直线11B D 与平面1BDC 的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 直线11B D 在平面1BDC 内 4、某检测箱中有10袋食品，其中有 8袋符合国家卫生标准。

质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为A 18B 15C 110D 455、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 A 圆柱 B 三棱柱 C 球 D 四棱柱6、已知向量a =（2，1），(1,)b x =，若a b ⊥，则实数x 的值是 A 2- B 1- C 0 D 17、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若60,45,6A B b ===，则a= A 3 B 2 C 3 D 68、下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是A ()f x x =-B 1()f x x= C ()lg f x x = D 1()()2x f x =9、函数()ln 1f x x =-的零点所在的区间是A （0，1）B （1，2）C （2，3）D （3，4）10、在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5)OA OB ==-，正视图侧视图俯视图ABD C1D1C1B1A 第3题则向量OP =A （1，4）B （1，8）C （2，4）D （2，8）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分 11、样本数据3，9，5，2，6的中位数是12、已知0x >，则函数1y x x=+的最小值是 13、已知某程序框图如图所示，若输入的x 值为1-，则输出的值是14、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ABCD PA AD ⊥=平面，，则二面角P-CD-B 的大小是15、已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3z x y m =-+的最大值是2，则实数m= 三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

2012年高考湖南省数学文科试题及答案(全word版)

D C B A图1湖南省2012年高考试题数学(文科)分值:150分时量:120分钟考试日期:2012-06-07一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.设集合2{1,0,1},{|}M N x x x =-==,则M N = ( ) A ．{1,0,1}- B ．{0,1} C ．{1} D ．{0} 2.复数(1)(z i i i =+为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +3.命题“若4απ=,则tan 1α=”的逆否命题是 ( ) A ．若4απ≠,则tan 1α≠ B ．若4απ=, 则tan 1α≠C ．若tan 1α≠,则4απ≠D ．若tan 1α≠,则4απ=4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )5.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i x)(1,2,,)i y i n = ,用最小二乘法建立的回归直线方程为 0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg6.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -= 7.设1,0a b c >><,给出下列三个结论:①c ca b>;②c c a b <;③log ()log ()b a a c b c ->-.其中所有的正确结论的序号是 ( )A. ①B. ①②C.②③D.①②③图3CBAPO图4 8.在ABC ∆中,2,60AC BC B == ,则BC 边上的高等于( ) A B C D9.设定义在R 上函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数.当[0,]x ∈π时,0()1f x <<;当(0,)x ∈π且2x π≠时,()()02x f x π'->.则函数()sin y f x x =-在[2,2]-ππ上的零点个数为 ( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题:本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,共30分,把答案填写在题中的横线上. (一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)10.在极坐标系中,曲线1:cos sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上,则a = .11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,试验范围定为29 o C ～63oC,精确度要求±1oC.用分数法时行优选时,能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 . (二)必做题(12〜16题)12.不等式2560x x -+≤的解集为 .13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 .(注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-,其中x 为12,,,n x x x14.如果执行如图3所示的程序框图,输入 4.5x =,则输出的数i = . 15.如图4,在平行四边形ABCD 中,AP BD ⊥,垂足为P ,且3AP =,则AP AC ⋅ 16.对于*n N ∈,将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ,当i k =时,1i a =,当0i ≤≤1k -时,i a 为0或1.定义n b 如下:在n 的上述表示中,当012,,,,k a a a a 中等于1的个数为奇数时,1n b =,否则0n b =. (1)2468b b b b +++= ;(2)记m c 为数列{}n b 中第m 个为0项与第1m +个为0的项之间的项数,则m c 的最大值是 .图5三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如上表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定,x y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)..18.(本小题满分12分)已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R ωϕωϕπ=+∈><<的部分图象如图5所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求函数()((1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.19.(本小题满分12分)如图6,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD , 底面四边形ABCD 是等腰梯形,,AD BC AC BD ⊥ . (Ⅰ)证明:BD PC ⊥;(Ⅱ)若4,2AD BC ==,直线PD 与平面PAC 所成的角为30 , 求四棱锥P ABCD -的体积.PDCBA图620.(本小题满分13分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.(Ⅰ)用d 表示12,a a ,并写出1n a +与n a 的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过(3)m m ≥年使企业的剩余资金为40000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).21.(本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,已知中心在原点,离心率为12的椭圆E 的一个焦点为22:420C x y x +-+= 的圆心.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设P 是椭圆E 上一点,过P 作两条斜率之积为12的直线12l l 、,当直线12l l 、都与圆C 相切时,求点P 的坐标.22.(本小题满分13分)已知函数()x f x e ax =-,其中0a >.(Ⅰ)若对一切x R ∈,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合;(Ⅱ)在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k ,证明:存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '=成立.图5参考答案一.选择题 B,A,C,C; D,A,D,B,B 二.填空题10.2; 11. 7 ; 12. {|23}x x ≤≤; 13. 6.8 ; 14. 4 ; 15. 18 ; 16.(1) 3 ; (2) 2 . 三.解答题17.【解】(Ⅰ)由已知得251055y ++=,所以20y =,所以1003025201015x =----=………2分该超市调查的100位顾客一次购物的结算时间的平均值为:115 1.530225 2.5203101.9100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==(分钟)……………………………………5分所以估计该超市所有顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.………………………6分 (Ⅱ)设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,又顾客一次购物结算时间为1分钟、1.5分钟、2分钟的事件分别为123A A A 、、;…………………………………………7分依题意,将频率视为概率,则123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======………8分因为123A A A A = ,且123,,A A A 是互为互斥事件,…………………………………………10分所以,123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ==++ ……………………………………11分33172010410=++=………………………………………………………………12分 18.【解】(Ⅰ)由图象可知,2()1212T 11π5π=-=π,则22Tω==π,……………………………………2分又点5(,0)12π在函数图象上,所以5sin()06A ϕπ+=,即5sin()06ϕπ+=又因为02ϕπ<<,所以554663ϕπππ<+<,从而56ϕπ+=π,即6ϕπ=…………………………………………4分又点(0,1)在函数图象上,所以sin 16A π=,得2A =.故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+.……………………6分(Ⅱ)()2sin[2()]2sin[2()]2sin 22sin(21261263g x x x x x πππππ=-+-++=-+所以1()sin 22(sin 22)sin 222sin(2)23g x x x x x x x π=-+==-……………9分由222232k x k ππππ-≤-≤π+,得5,1212k x k k Z πππ-≤≤π+∈所以函数()g x 的单调递增区间是5[,],1212k k k Z πππ-π+∈…………………………………12分PODCBA 图619.【解】(Ⅰ)证明:因为PA ⊥底面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥;又AC BD ⊥,且,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线,所以BD ⊥平面PAC ,又PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥.…………………………………6分;(Ⅱ)设AC BD O = ,连接PO ,由(Ⅰ)知BD ⊥平面PAC ,所以DPO ∠是直线PD 与平面PAC 所成的角.从而30DPO ∠= ………………………………………………8分也所以Rt DOP ∆中,2PD OD =,又因为四边形ABCD 是等腰梯形,AC BD ⊥, 所以AOD BOC ∆∆、均为等腰直角三角形, 又4,2AD BC ==,所以AO OD OB OC ====从而4PD PA =,………………………………………………………10分211922ABCD S AC BD =⨯=⨯=梯形, 也所以四棱锥P ABCD -的体积11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.……………………………12分20. 【解】(Ⅰ)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,………………………………………2分21135(150%)450022a a d a d d =+-=-=-,…………………………………………………4分易知*13()2n n a a d n N +=-∈……………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,13(*)2n n a a d n N +=-∈,所以*132(2)()2n n a d a d n N +-=-∈,又因为1230003a d d -=-,……………………………8分1*132(2)()()2n n a d a d n N --=-∈,即1*3(30003)()2()2n n a d d n N -=-+∈…………………10分由题意得4000m a =,即13((30003)240002m d d --+=.解得13[()2]10001000(32)2(3)332()12m m m m mm d m +-⨯-==≥--…………………………………………12分故企业每年上缴资金d 的值为11000(32)32m m m m+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000万元. ………………………………………………………………………………………………13分21. 【解】(Ⅰ)由22420x y x +-+=得22(2)2x y -+=,故圆C 的圆心坐标为(2,0)C .…………1分从而可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,依题意得2c =,…………………………3分且12c e a ==,所以22224,12a c b a c ===-=,故椭圆E 的方程为2211612x y +=……………5分 (Ⅱ)如图所示,设点00(,)P x y ,直线0:()(1,2)i oi l y y k x x i -=-=;由题知,d ==,……………………………7分化简得,2220000[(2)2]2(2)20i i x k x y k y --+-+-=, 所以12,k k 是方程2220000[(2)2]2(2)20x k x y k y --+-+-=的两个实根,于是202200(2)20,8[(2)2]0,x x y ⎧--≠⎪⎨∆=-+->⎪⎩由于点P 在圆C外,所以2200(2)2x y -+>恒成立,…………10分即02x ≠且22122021(2)22y k k x -==--,得2200(2)22x y -=+……①……………………11分又因为点P 在椭圆E 上,故220011612x y +=……② 由①②式解得,02x =-时,03y =±;当0185x =时,0y=……………………………12分所以P 点坐标为(2,3)-或(2,3)--或18(5或18(5.……………………………13分22. 【解】(Ⅰ)注意到(0)1f =,所以对一切x R ∈,()1f x ≥恒成立,即()(0)f x f ≥.……………1分所以由函数的最小值含义知,min ()(0)1f x f ==,………………………………………………2分又因为()0xf x e a '=-=时,得ln (0)x a a =>,且ln x a <时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当ln x a >时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; 所以当且仅当ln x a =时,函数min ()(ln )f x f a =………………………………………………4分也所以ln 0a =,即1a =.所以a 的取值集合为{1}…………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由题知,21212121()()x x f x f x e e k a x x x x --==---.又由(Ⅰ)知,()x f x e a '=- 所以要证存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '=成立.即证存在012(,)x x x ∈,使21021x x x e e e x x -=-成立. 也即证存在012(,)x x x ∈,使02121()()0x x xx x e e e ---=成立.又令()g x =2121()()x xx x x e e e ---,其中210x x ->,所以函数()g x 在R 上单调递增,又11212112()()()x x xg x x x e e e x x =-+-<,且1122()()0xg x x x e '=->,所以函数1()g x 在2(,)x -∞上的递增,所以222122()()0x x xg x x x e e e <-+-=;又21222112()()()x x xg x x x e e e x x =-+-<,且2221()()0xg x x x e '=->,所以函数2()g x 在1(,)x +∞上的递增,所以111211()()0x x xg x x x e e e >-+-=,综上可知,函数()g x =2121()()x x xx x e e e ---在12(,)x x 存在唯一零点0x ,即存在012(,)x x x ∈,使02121()()0x x xx x e e e ---=成立.所以原命题成立.。

2012年高考文科数学湖南卷-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）答案解析一、选择题 1.【答案】B 【解析】{}0,1N =，1,{}0,1M =-，{,}01MN ∴=【提示】先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M N【考点】集合的基本运算【提示】先把z 化成标准的i(,)a b a b +∈R 形式，然后由共轭复数定义得出1i z =--。

【考点】复数代数形式的四则运算及复数的基本概念 3.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题是“若tan 1α≠，则π4α≠” 【提示】通过分析“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题可判断【提示】通过空间想象画出三视图【考点】空间几何体的三视图 5.【答案】D【解析】由回归方程为ˆ0.8585.71y x =-知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确。

【提示】可由最小二乘法建立的回归方程得过程，再利用回归方程可以预测估计总体。

又C 2b a ，即a =【提示】利用数形结合的思想，结合基本运算能力。

【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识。

7.【答案】D【解析】由不等式及1a b >>知11a b <，又0c <，所以a b>ｃｃ，①正确；由指数函数的图像与性质知②正确；由1a b >>，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数的图像与性质知③正确。

cos AB BC B ，1sin 2ABCSAB BC B BC h ==，知。

【提示】把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得。

(完整版)普通高中学业水平考试数学试题含答案.doc

2012 年普通高中学业水平考试数学试题第一卷（选择题共 45分）一 .选择题（ 15' ×3=45' ）1.已知角的终边经过点 ( 3,4 ), 则 tan x 等于 ( )3 B. 34 D. 4A. 4 C. 34 3 2.已知 lg 2 a,lg3b ,则 lg3等于 ()2A. a bB. b aC.bD.aab3.设集合 M (1,2) ,则下列关系成立的是 () A.1 ∈MB.2∈MC.(1,2) ∈ MD.(2,1) ∈ M4.直线 x y 3 0 的倾斜角是 ( )A.30 0B.450C.600D.9005.底面半径为 2,高为 4 的圆柱 ,它的侧面积是 () A. 8πB .16πC .20π D.24π6.若 b<0<a(a,b ∈ R), 则下列不等式中正确的是 ( )A.b 2<a2B.11 C. baD. a b a bba7.已知 x,0 ,cos x 4,则 tan x 等于 ( )2 53B.3C.4D. 4A.44338.已知数列 a n 的前 n 项和 S nn 1 ,则 a 3 等于 ()n 2 A. 1B. 1C.1D. 1242028329.在ABC 中 ,sin Asin B cos Acos B 0 则这个三角形一定是 ()A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 10.若函数 f (x) 1 2) ,则 f ( x) ( )(xx 2A.在 ( 2, ) 内单调递增B.在 ( 2, ) 内单调递减C. 在 (2, ) 内单调递增D.在 (2, ) 内单调递减11.在空间中 , a, b, c 是两两不重合的三条直线 , ,, 是两两不重合的三个平面 ,下列命题正确是()A. 若两直线 a,b 分别与平面平行 ,则 a / /b .B. 若直线 a 与平面内的一条直线 b 平行 ,则 a / / .C. 若直线 a 与平面 β内的两条直线 b 、c 都垂直 ,则 a ⊥β.D. 若平面 β内的一条直线 a 垂直平面 γ,则 γ⊥ β. 12.不等式 ( x 1)(x2) 0 的解集是 ()A. x 2 x1B. x x2或 x1C. x 1x 2D. x x1或 x213.正四棱柱ABCD-A1B 1C 1D 1中 ,A 1 C 1 与BD所在直线所成角的大小是()A.30 0B.450C.600D.90014.某数学兴趣小组共有张云等样的方法从中抽取3 人参加比赛10 名实力相当的组员 ,现用简单随机抽,则张云被选中的概率是 ( )A.10%B.30%C.33.3%D.37.5%15.如图所示的程序框图 ,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数 ,那么在空白处的判断框中 , 应该填入下面四个选项中的()( 注 : 框图中的赋值符号 “ =”可以写成也 “”或 “： =”)A. cxB. xcC. cbD. bc第二卷（非选择题共 55 分）二 .填空题 (5' ×4=20')16. 已知 a 0,b 0,a b 1 则 ab 的最大值是 ____.17. 若直线 2ay 1 0 与直线 (3a 1)x y 1 0 平行 ,则实数 a 等于 ____.18. 已知函数 f ( x)2 x ,( x 4) ,那么 f (5) 的值为 _____.f (x 1),( x4)19. 在, 内 ,函数 ysin( x) 为增函数的区间是 ______.320. rrr rr r设 a12, b 9,a b54 2 ,则 a 和 b 的夹角 θ为 ____.三 .解答题（共 5小题,共 35分）21. r rr rr r的值 .已知 a (2,1), b ( , 2), ⑴若 ab 求的值 ;⑵若 a / /b 求22.(本题 6 分 )已知一个圆的圆心坐标为 ( 1,2) ,且过点 P(2, 2) ,求这个圆的标准方程 . 23.(本题 7 分 )已知 a n 是各项为正数的等比数列 ,且 a 1 1, a 2 a 3 6 ,求该数列前 10 项的和 S n . 24.(本题 8 分 )已知函数 f ( x)3 1 R ,求 f (x) 的最大值 ,并求使 f (x) 取得最大值时sin x cosx, x22x 的集合 .25.(本题 8 分 )已知函数 f (x) 满足 xf (x) b cf (x),b0, f ( 2)1, 且 f (1 x) f (x 1) 对两边都有意义的任意x 都成立 .⑴求 f (x) 的解析式及定义域;⑵写出 f ( x) 的单调区间 ,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？参考答案一、 1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A 二、 16、117、118、 819、 [6 ,5]20、34364三、 21、解：∵ a ⊥ b ，∴ a ? b=0 ，又∵ a=（ 2，1）， b = （ λ， -2），∴ a ? b=2λ-2=0 ，∴ λ=122、解：依题意可设所求圆的方程为（ x+1） 2+（ y-2） 2=r 2。

20122017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷15．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知等差数列{}n a 的前3项分别为2，4，6，则数列{}n a 的第4项为（） A 、7 B 、8 C 、10 D 、122、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥3、函数()()()21+-=x x x f 的零点个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、34、已知集合{}{}3,,2,0,1x B A =-=，若{}2=⋂B A ，则x 的值为（） A 、3 B 、2 C 、0 D 、-15、已知直线12:1+=x y l ，52:2+=x y l ，则直线1l 与2l 的位置关系是（） A 、重合 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、平行6、下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是（） A 、()0,0 B 、()4,2 C 、()4,1- D 、()8,17、某班有50名同学，将其编为1、2、3、、、50号，并按编号从小到大平均分成5组，现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第二组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为（）A 、14B 、23C 、33D 、438、如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是（） A 、0=⋅CB CA B 、0=⋅AB CD C 、0=⋅CD CA D 、0=⋅CB CD 9、将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（）A 、⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y D 、ADBC⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y10、如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为（） A 、32 B 、54 C 、56 D 、34二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11、比较大小：5log 2 3log 2（填“>”或“<”）12、已知圆()422=+-y a x 的圆心坐标为()0,3，则实数=a13、某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为14、已知角α的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321，，则=αcos 15、如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、 C 之间的距离是100米，︒=∠105BAC ，︒=∠45ACB ，则A 、B 两点之间的距离为米。

2012年湖南省高中学业水平模拟测试---数学4.doc

2012年湖南省普通高中学业水平模拟测试（4）数学试题制卷人：唐稚欣 2012,5注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在第I 卷机读卡上。

2．选择题选出答案后，必须用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号按．图示规范填涂。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合{}|15A x N x =∈≤≤，则（A ）5A ∉（B ）5A ⊆（C ）5A 豠（D ）5A ∈（2）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为3”的概率是（A ）13（B ）14（C ）15（D ）16（3）77sincos44ππ的值为（A ）12-（B ）22-（C ）12（D ）22（4）已知函数1()2f x x=-的定义域为M ，()2xg x e =-的值域为N ，则M N =（A ）[)+∞,2（B ）()2,∞-（C ）(2,2)-（D ）∅（5）函数∈=x x y (cos 2R ）是（A ）周期为π2的奇函数（B ）周期为π2的偶函数（C ）周期为π的奇函数（D ）周期为π的偶函数学校班级姓名考号----------------------------------------密-------------------------------封------------------------------线------------------------------------------（6）已知直线l 过点(0,1)-，且与直线2y x =-+垂直，则直线l 的方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =+ （C ）1y x =-- （D ）1y x =-+（7）已知向量(1,2)a =，(2,3)b x =-，若a ∥b ，则x =（A ）3（B ）34（C ）3- （D ）34-（8）已知函数)2(21)(≠-=x x x f ，则()f x （A ）在（-2，+∞）上是增函数（B ）在（-2，+∞）上是减函数（C ）在（2，+∞）上是增函数（D ）在（2，+∞）上是减函数（9）若实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（10）从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（A ）13 （B ）49（C ）59（D ）23（11）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（A ）8 （B ）5 （C ）3 （D ）2（12）已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）(1,10) （B ）(5,6) （C ）(10,12) （D ）(20,24)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．（13）三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小关系为．（14）给出下列四个命题①平行于同一平面的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行； ④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．（15）已知直线l :1y x =+和圆C:2212x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系为．（16）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分8分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ．（I ）求ba；（II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ．如图，在三棱锥S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．（I）求证：AD⊥平面SBC；（II）试在SB上找一点E，使得BC//平面ADE，并证明你的结论．SDA BC（19）（本小题满分10分）商场销售某种商品，若销售量是商品标价的一次函数，标价越高，销售量越少．把销售量为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为15元/件．如果该商品的成本价是5元/件，商场以高于成本价的标价出售，且能够全部售完．（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切．（I ）求圆O 的方程；（II ）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根，且21k a -≤2k a （k ＝1，2，3，…）．（I ）求1357,,,a a a a 及2n a （n ≥4）（不必证明）；（II ）求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．ABCDSE参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答案DDACBADDABCC二、填空题（每小题3分，共12分）（13）a b c <<；（14）②④；（15）相切；（16）32．三、解答题（17）（本小题满分8分）解：（I ）由正弦定理得，22sin sin cos 2sin A B A A +=，即22sin (sin cos )2sin B A A A +=故sin 2sin , 2.bB A a==所以 …………（4分）（II ）由余弦定理和222(13)3,cos .2ac b a B c+=+=得由（I ）知222,b a =故22(23).c a =+可得212cos ,cos 0,cos ,4522B B B B =>==又故所以 …………（8分）（18）（本小题满分10分）（I ）证明： BC ⊥平面SAC ，AD ⊂平面SAC ，∴BC ⊥AD ，又∵AD ⊥SC ，BCSC C =，BC ⊂平面SBC ，⊂SC 平面SBC ，∴AD ⊥平面SBC ． …………（5分）（II ）过D 作DE //BC ，交SB 于E ，E 点即为所求．∵BC //DE ，BC ⊄面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BC //平面ADE ． …………（10分）（19）（本小题满分10分）解：（I ）设销售量为n ，商品的标价为每件x 元，利润为y 元．则n =kx +b （k <0）∵0=15k +b ,b =-15k ，∴n =k （x -15），y =（x -5）k （x -15）=k （x -10）2-25k ，(]5,15x ∈． …………（4分）01025k x k <∴==-max 时,y ．即商场要获取最大利润商品的标价应为每件10元．…………（6分）（II ）记y 1为价格效益，()()()()1515752010320k x x y k x k x x--==+-≤-则7553x x x==当且仅当即时,y 最大．53∴标价为每件元时,价格效益最大．…………（10分）（20）（本小题满分12分）解：（I ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34x y -=的距离，即 4213r ==+．得圆O 的方程为224x y +=． …………（4分）（II ）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =，得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得 222222(2)(2)x y x y x y ++-+=+，即 222x y -=． …………（8分）(2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=- 由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． …………（12分）（21）（本小题满分12分）解：（I ）方程2(32)320k kx k x k -++⋅=两个根为123, 2k x k x ==．……（2分）当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =；当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =；当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =； …………（6分）因为n≥4时，23nn >，所以22 (4)n n a n =≥ …………（8分）（II ）22122(363)(222)n n n S a a a n =+++=+++++++＝2133222n n n+++-． …………（12分）。

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