最新高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)
辽宁高考数学理科卷解析
一、选择题（每小题5分，共60分）. 1.已知集合{}{}35,55M x x N x x =-<=-<<,则MN =( )A. {}55x x -<< B. {}35x x -<< C. {}55x x-< D. {}35x x -<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 2.已知复数12i z =-，那么1z=( )A.55+ B.i 55- C.12i 55+ D.12i 55- 【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】21112i 12i 12i 12i (12i)(12i)1255z --====-++-+. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b( )【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴2+=a b 4. 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】圆心在0x y +=上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】直接法：一男两女,有1254C C ＝5×6＝30种,两男一女,有2154C C ＝10×4＝40种,共计70种.间接法：任意选取39C ＝84种,其中都是男医生有35C ＝10种,都是女医生有14C ＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =,则69SS = ( )A. 2 B. 73C. 83D.3【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设公比为q ,则3336333(1)132S q S q q S S +==+=⇒=.于是63693112471123S q q S q ++++===++. 7.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为( ) A. 2y x -= B.32y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =-+ 【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】2222(2)(2)x x y x x ---'==--,当1x =时切线斜率为2k =-. 8.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π2()23f =-，则(0)f = ( )第8题图A.23-B.23C.12-D. 12【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.【考查方式】给出函数sin()y A x ωϕ=+的图像，运用其性质求解未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π3于是2π(0)()3f f =,注意到2π3与π2关于7π12对称所以2ππ2()()323f f =-=. 9.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A. 12(,)33B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 12(,)23 D. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由于()f x 是偶函数,故()()f x f x =∴得1(21)()3f x f -<,再根据()f x 的单调性得1213x -<解得1233x <<. 10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，... N a ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10题图A.0,A V S T >=-B.0,A V S T <=-C.0,A V S T >=+D.0,A V S T <=+【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】月总收入为S,因此0A >时归入S ,判断框内填0A >支出T 为负数,因此月盈利V S T =+.11.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥 P －GAC 体积之比为( )A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 3:2 【测量目标】锥的体积.【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积. 在底面正六边形ABCDEF 中3tan 303BH AB AB ︒==而3BD AB =故DH ＝2BH 于是22D GAC B GAC P GAC V V V ---==第11题图12.若1x 满足225xx +=, 2x 满足222log (1)5x x +-=, 12x x +=( )A.52 B.3 C. 72D.4 【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由题意225xx += ①222log (1)5x x +-= ②（步骤1）所以112252,log (52)xx x x =-=-即12122log (52)x x =-（步骤2）令1272x t =-,代入上式得22722log (22)22log (1)t t t -=-=+-2522log (1)t t ∴-=-与②式比较得2t x = 于是12272x x =-（步骤3）1272x x ∴+=,故选C.（步骤4） 13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分 层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命 的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】1013 【试题解析】9801102021032110134x ⨯+⨯+⨯==.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等 【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413a =. 15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为 3m .第15题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于16×2×4×3＝4.16.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0)F ', 于是由双曲线性质24PF PF a '-==而5PA PF AF ''+=两式相加得9PF PA+,当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立.17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30︒，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，0.1AC = km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414， 6≈2.44）第17题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】在ABC △中，30,6030DAC ADC DAC ︒︒︒∠=∠=-∠=.（步骤1）所以0.1CD AC == 又180606060BCD ︒︒︒︒∠=--=，（步骤2）故CB 是CAD △底边AD 的中垂线，所以BD BA =,（步骤3）在ABC △中，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠即sin 60326sin1520AC AB ︒︒+==（步骤4）因此，3260.33km 20BD +=≈.故B ，D 的距离约为0.33km. （步骤5）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 .（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线.第18题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系. 【难易程度】较难【试题解析】（1）解法一：取CD 的中点G ，连接MG ，NG .设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，则MG ⊥CD ，MG =2，NG 2=（步骤1）因为平面ABCD ⊥平面DCED ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角. （步骤2）因为MN 6=，所以6sin 3MNG ∠=为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.（步骤3） 解法二：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为,,x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤1）则M （1,0,2）,N (0,1,0),可得(1,1,2)MN =-（步骤2） 又(0,2,2)DA =为平面DCEF 的法向量，可得6cos(,)3MN DA MN DA MN DA==-· 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为6cos ,3MN DA =（步骤3）第18题(1)图(2)假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB //CD ，所以AB //平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB //EN .又AB //CD //EF ，所以EN //EF ，这与ENEF =E 矛盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（2）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求()P A【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意X 的分列为X 0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 181（2）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，1,2i =.B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”,1,2i =依题意知P （A 1）=P (B 1)=0.1，P （A 2）=P (B 2)=0.3，（步骤1）11111122A A B A B A B A B =,（步骤2）所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B PA B P A B =+++（） =11111122()()())()()()P A B P A P B PA PB P A P B +++（ =0.10.90.90.10.10.10.30.30.28⨯+⨯+⨯+⨯= . （步骤3）20.（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为(1,0),(1,0)-.（1） 求椭圆C 的方程；（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意，c =1,可设椭圆方程为2219114b b+=+，（步骤1）解得23b =，234b =-（舍去）所以椭圆方程为22143x y +=. （步骤2） (2)设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=（步骤3）设(,)E E E x y ,(,)F F F x y ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()12234F k x k--=+,32E E y kx k =+-（步骤4） 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k +-=+32E Ey kx k =-++（步骤5）所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为12. （步骤6） 21.（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+->. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.【测量目标】函数的单调性.【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性. 【难易程度】较难【试题解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.211()a x ax a f x x a x x--+-'=-+= (1)(1)x x a x-+-=（步骤1）（i ）若11a -=即2a =,则2(1)()x f x x-'=故()f x 在(0,)+∞单调增加. （步骤2）(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<;（步骤3） 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤4）(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤5）(2)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+（步骤6）则211()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x--'=--+--=---（步骤7） 由于15a <<,故()0g x '>，即()g x 在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，（步骤8）即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---.（步骤9） 22.（本小题满分10分）已知ABC △中，AB =AC , D 是ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ,C 重合），延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC =30︒，ABC △中BC 边上的高为2+3， 求ABC △外接圆的面积.第22题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系.【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设F 为AD 延长线上一点∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC （步骤1） 又AB =AC ∴∠ABC =∠ACB ,且∠ADB =∠ACB , ∴∠ADB =∠CDF , （步骤2）对顶角∠EDF =∠ADB , 故∠EDF =∠CDF ,即AD 的延长线平分∠CDE . （步骤3）第22题图(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ,则AH ⊥BC .连接OC , OA 由题意∠OAC =∠OCA =15︒, ∠ACB =75︒,∴∠OCH =60︒.（步骤4）设圆半径为r ,则r +23r =2+3,a 得r =2,外接圆的面积为4π.（步骤5） 23.（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()3ρθ-=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（1）由πcos()13ρθ-=得13(cos )12ρθθ+=（步骤1） 从而C 的直角坐标方程为13122x y +=即32x +=（步骤2） 0θ=时，2,ρ=所以(2,0)M π2θ=时，3=3ρ所以3π()32N （步骤3） （2）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为3(0,3（步骤4） 所以P 点的直角坐标为3,则P 点的极坐标为23π()6所以直线OP 的极坐标方程为π,(,)6θρ=∈-∞+∞（步骤5） 24.（本小题满分10分）设函数()|1|||f x x x a =-+-.(1)若1,a =-解不等式()3f x ； (2)如果x ∀∈R ,()2f x ,求a 的取值范围.【测量目标】不等式.【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当1a =-时，()11f x x x =-++.由()3f x 得113x x -++（步骤1） ○1当1x -时，不等式化为113x x---即23x -（步骤2）○2当1x >时，联立不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩解得其解集为3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，综上得()3f x 的解集为33,,22⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.（步骤3） (2)若1,()21a f x x ==-，不满足题设条件.○1若1a <,21,,()1,1,2(1),1x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤4） ○2若1,a >21,1,()1,1,2(1),x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤5） 所以()2x f x ∀∈R ，的充要条件是12a -，从而a 的取值范围为][13∞-+∞（-，，）.（步骤6）。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题辽宁卷,含答案 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕 本卷须知：1. 本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，2. 答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在套本套试卷上无效。
3. 答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。
4. 在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
（1） a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，那么a=〔A 〕2〔B〔2〕M,N 为集合I 的非空真子集，且M,N 不相等，假设1,NC M M N ⋂=∅⋃=则 (A)M(B)N (C)I(D)∅(3)F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，那么线段AB 的中点到y 轴的间隔为 (A)34(B)1(C)54(D)74〔4〕△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么b a =(A)〔5〕从.中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数〞，事件B=“取到的2个数均为偶数〞，那么P(B ︱A)= (A)18(B)14(C)25(D)12〔6〕执行右面的程序框图，假设输入的n 是4，那么输出的P 是(A)8(B)5(C)3(D)2〔7〕设sin 1+=43πθ（），那么sin 2θ= (A)79-(B)19-(C)19(D)79 〔8〕如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，那么以下结论中不正确的选项是．．．．．．．(A)AC ⊥SB(B)AB ∥平面SCD(C)SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角(D)AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角〔9〕设函数f 〔x 〕=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1那么满足f 〔x 〕≤2的x 的取值范围是 〔A 〕[-1，2]〔B 〕[0，2]〔C 〕[1，+∞〕〔D 〕[0，+∞〕〔10〕假设a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，〔a-c 〕·〔b-c 〕≤0，那么c -b a +的最大值为〔A 〕1-2〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕2 〔11〕函数f 〔x 〕的定义域为R ，f 〔-1〕=2，对任意x ∈R ，f ’(x)＞2，那么f 〔x 〕＞2x+4的解集为〔A 〕〔-1，1〕〔B 〕〔-1，+∞〕〔C 〕〔-∞，-1〕〔D 〕〔-∞，+∞〕〔12〕球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30BSC ASC ，那么棱锥S-ABC 的体积为〔A 〕33〔B 〕32〔C 〕3〔D 〕1第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
2023高考辽宁(理)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球地表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42Rπ如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球地半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球地体和只公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率 V =243R π ()(1)(0,1,2,,)kkn kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球地半径一、选择题1.已知集合{}30,31x M xN x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…,则集合{}1x x …为( )A.M NB.M NC.()R M N ðD.()R M N ð解析:C解析:本小题主要考查集合地相关运算知识。
依题{}{}31,3M x x N x x =-<<=-…,∴{|1}M N x x ⋃=<,()R M N = ð{}1.x x …2.135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+ 等于( )A.14 B.12C.1D.2解析:B解析:本小题主要考查对数列极限地求解。
依题22135(21)1lim lim .(21)22n n n n n n n n →∞→∞++++-==++ 3.圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点地充要条件是( )A.(k ∈B.(,)k ∈-∞+∞C.(k ∈D.(,)k ∈-∞+∞ 解析:C解析:本小题主要考查直线和圆地位置关系。
依题圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点1d ⇔=>⇔(k ∈4.复数11212i i +-+-地虚部是( ) A.15i B.15 C.15i - D.15-解析:B解析:本小题主要考查复数地相关运算及虚部概念。
2023年辽宁省高考数学真题及答案解析
2023年辽宁省高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A.2B.1C.23D.1-3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A .4515400200C C ⋅种B.2040400200C C ⋅种C .3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种4.若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A.1- B.0C.12D.15.已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A.23B.3C.23-D.23-6.已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A.2e B.eC.1e -D.2e -7.已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）．A.358B.158- C.354- D.154-+8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A.120B.85C.85- D.120-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）．A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为C.AC =D.PAC △的10.设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A.2p = B.83MN =C.以MN 为直径的圆与l 相切 D.OMN 为等腰三角形11.若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A.0bc > B.0ab > C.280b ac +> D.0ac <12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
最新普通高等学校招生理科数学全国统一考试试题(辽宁卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．复数地 11Z i =-模为 （A ）12（B ）2 （C （D ）22．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >地 等差数列()na 地 四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中地 真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩地 频率分布直方图如图，数据地 分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分地 人数是15人，则该班地 学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对地 边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．使得()3n x n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示地 程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a =+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--=10．已知三棱柱111ABC A B C -地 6个顶点都在球O 地 球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 地 半径为A ．2 B ． C ．132 D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中地 较大值，{}min ,p q 表示,p q 中地 较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ，则A B -= （A ）2216aa -- （B ）2216a a +- （C ）16-（D ）16 12．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体地三视图如图所示，则该几何体地体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}na 地 前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=地 两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>地 左焦点为,F C 与过原点地 直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 地 离心率e = .16．为了考察某校各班参加课外书法小组地 人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组地 认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中地 最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =g 求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆地 直径，PA 垂直圆所在地 平面，C 是圆上地 点。
2021年高考辽宁卷理科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p n n -=-=，，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则=⋂)B C ()A (C U U （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{24}，D ．{1234}，，，2．若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(11)， B ．(15)， C ．(51)， D ．(55)，3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．275．若35ππ44θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ）A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，7．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]，A ．122B ．111 C ．322D ．211 10．设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A．B ．12C．D ．2412．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = ．14．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+，则||OM = ．15的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>）（I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30． （I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++> 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：市场情形 概率价格p 与产量q 的函数关系式 好 0.41643p q =- 中 0.41013p q =- 差 0.2 704p q =- 设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两1A 1C1BCBAMDE条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N*，lim nn a →∞（用t 表示）．22．（本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数； （III ）证明：3()2f x ≥．绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B （2）C （3）D （4）B （5）B （6）A （7）C （8）A （9）D （10）A （11）B （12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）-1（14）2（15）π34（16）30 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.(Ⅰ)解：)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23)(+--++=x x x x x x f ωωωωω 1)cos 21sin 23(2--=x x ωω1)6πsin(2--=x ω ···························································· 5分 由1-≤)6πsin(-x ω≤,得3-≤2)6πsin(-x ω1-≤1.可知函数)(x f 的值域为[-3,1]. ··············································· 7分（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周期为ω又由π,＞0，得π2π2=，即得.2=ω ·········································································· 9分 于是有1)2π2sin(2)(--=x x f ，再由2π2-πk ≤6π2-x ≤2π2+πk )(Z ∈k ，解得 6π-πk ≤x ≤3π+πk )(Z ∈k . 所以)(x f y =的单调增区间为[6π-πk ，3π+πk ])(Z ∈k . ········ 12分 （18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分12分.(Ⅰ)证明：连结CD.∵三棱柱ABC-A ，BC 是直三棱柱. ∴.1ABC CC 平面⊥∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影. ∵△ABC 中，AC =BC ，D 为AB 中点. ∴,CD AB ⊥∴,1D C AB ⊥ ∵,//11AB B A∴.111D C B A ⊥（Ⅱ）解法一：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF . ∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点. ∵,//AC DE又,,//AC CE CE AF ⊥ ∴,DE AF ⊥∵AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA . 在Rt △MAF 中,,221aBC AF == ︒=∠30MFA , ∴.63a AM =作MF AG ⊥，垂足为G. ∵,,DE AF DE MF ⊥⊥ ∴.AMF DE 平面⊥∴.AMF MDE 平面平面⊥ ∴.MDE AG 平面⊥在Rt △GAF 中, ︒=∠30MFA ，AF =,2a ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a.∵,//DE CA ∴,//MDE CA 平面∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等,为4a ， 解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF . ∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点， ∴,//AC DE又∵,,//AC CE CE AF ⊥ ∴,DE AF ⊥∵,ABC MA 平面⊥∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA . 在Rt △MAF 中,,221aBC AF == ︒=∠30MFA , ∴.63a AM =设C 到平面MDE 的距离为h . ∵MDE C CNE M V V --=,∴.·31·31h S MA S MDE CDE ∆∆= ,63,8·212a MA a DE CE S CDE ===∆,6330cos ,21·212a AF DE MF CE S MDE =︒==∆∴,12383122h a a ⨯⨯⨯∴4a h =,即C 到平面MDE 的距离相等,为4a(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分 .(Ⅰ)解:由题意可得L 1=)102033()?3164(22++---q q q q q 1014433-+-=q q (q ＞0).同理可得1081332-+-=q q L (q ＞0)1050333-+-=q q L (q ＞0) ··············· 4分(Ⅱ) 解:由期望定义可知3212.04.04.0L L L E ++=ξ)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0333-+-⨯+-+-⨯+-+-⨯=q q q q q q.1010033-+-=q q(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知ξE 是产量q 的函数,设 101003)(3-+-==q q E q f ξ(q ＞0)得='+-=')(.100)(2q f q q f 令0解得 10,10-==q q (舍去).由题意及问题的实际意义(或当0＜q ＜10时,f ′(q )＞0;当q ＞10时, f (q ) ＜0＝可知,当q=10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10.(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)解法一:设A 、B 两点坐标分别为),2(),,2(222121y y y y ，由题设知 .)()22()2()2(221222212222221221y y y y y y y y -+-=+=+解得 ,122221==y y所以).32,6(),32,6()32,6(),32,6(B A B A --或 设圆心C 的坐标为（r ,0），则.4632=⨯=r 因此圆C 的方程为 .16)4(22=+-y x ··················· 4分 解法二：设A 、B 两点坐标分别为),,(),,(2211y x y x 由题设知22222121y x y x +=+.又因为,22,2,2222121222121x x x x x y x y +=+==可得即.0)2)((2121=++-x x x x由x 1＞0，x 2＞0，可知x 1=x 2，故A 、B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上. 设C 点的坐标为（r ,0），则A 点坐标为)23,23(r r ，于是有r r 232)23(2⨯=，解得r =4,所以圆C 的方程为.16)4(22=+-y x ··················· 4分(Ⅱ)解：设∠ECF =2a ,则16cos 322cos 162|穋os |穦|·2-===a a a CF CE CF CE . ·· 8分在Rt △PCE 中,||4||cos PC PC r a ==.由圆的几何性质得 ||PC ≤,8171||=+=+MC ||PC ≥,6171||=-=-MC · 10分所以21≤αcos ≤32，由此可得8-≤CF CE ·≤916-. 故CF CE ·的最大值为916-，最小值为8-. ········· 14分（21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解法一：由题设知⎩⎨⎧=++=++,21111n n n b a tbn a 得112++=n n a ta ，又已知2≠t ,可得).22(2221-+=-++t a t t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t t tb t a t t b g b f n 所以可知 是等比其首项为2,2tt t tb 公比为-+.于是.2)2)(2()2)(2(221,1---++-+=-+--t t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又lim a n 存在，可得0＜|2|t＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t.22lim ta n n -=∞→ 解法二.由题设知tb n +1=2b n +1,且.2≠t 可得).21(2211-+=-++t b t t b n n由,0,2),()(≠≠≠t t b g b f 可知02,021≠≠-+t t b ,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+21t b n 是首项为21-+t b ,公2t的等比数列. .21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由12++n n b a 可知，若n n a ∞→lim 存在，则n n b ∞→lim 存在.于是可得0＜|2|t＜1,所以-1＜t 0≠.n n a ∞→lim =2n n b ∞→lim .22t-=解法三:由题设知tb n +1=2b n +1,即,2121+=+n n b t b ① 于是有,21212+=++n n b t b ② ②-①得得令,),(21112n n n n n n n b b c b b tb b -=-=-++++.21n n c tc =+由02,021)2(10,2),()(12≠≠+-=-=≠≠≠tb t b bc t t b g b f 可知，所以{}n c 是首项为b 公比为2t的等比数列，于是 .)(21)2(1)(121211b b b t t b c c c b nn n +---=++⋯⋯++=+ tt b a n n n --==+2])2(1[421（b 2-b 1）+2b . 又n n a ∞→lim 存在，可得0＜|2|t＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t .222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→ 说明：数列{}n a 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.(Ⅱ)证明：因为)(),)(),()(11(111n n n n n a f b b fb g a x fx g ====++-+-即所以.下面用数学归纳法证明1+n a ＜*)(N ∈n an . (1)当n =1时，由f (x )为增函数,且)1(f ＜1,得)1()(11f b f a ==＜1 )1()(12f a f b ==＜1 )(22b f a =＜1)1(a f =， 即2a ＜1a ，结论成立.（2）假设n=k 时结论成立，即1+k a ＜k a .由f (x )为增函数，得)(1+k a f ＜f k a 即2+k b ＜1+k b 进而得 )(1+k a f ＜f (1+k b )即2+k a ＜1+k a .这就是说当n =k +1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的*)(N ∈n ，1+n a ＜n a .(22)本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x xte e x g x e t ex g又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜x x e e -+2，即12)(2+-='x x te e x g ＞0.由此可知，)(x g 为R 上的增函数.(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t 12)(2+-='x x te e x g ＜0，即t ＞x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可.因此y =x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数.证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='x x te e x g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可.令,xe m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[b a e e m ∈).而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--bb aa e e t e e t 22 成立.取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数.(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x e t x e t t F x x,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F xx 易得)(t F ≥1)(212+-x e x .令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x-='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0.故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23， 于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f ≥23.证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x)(t F ≥23，当且仅当21)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0只需证明)21(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0，即2)(x e x -≥1以下同证法一.证法三：设)(t F =1)(22222++++-x et x e t xx，则).(24)(x e t t F x +-='易得.0)2(=+'x e F x 当t ＞2x e x +时, )(t F '＞0; t ＜2x e x +时, )(t F '＜0，故当t =2xe )(t F 取最小值.1)(212+-x e x 即)(t F ≥.1)(212+-x e x以下同证法一.证法四: )(x f 1)()(22+-+-=t x t e x设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x，易知点B 在直线y =x 上，令点A 到直线y =离为d ，则 )(x f 1||2+=AB ≥.1)(21122+-=+x e d x以下同证法一.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M NC ．()MM ND ．()MM N2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（ ）A ．14B ．12C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ．((2)k ∈-+，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈-+∞，，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i - D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3-B ．3C ．8-D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数100x x x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________．14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C两点的球面距离为3，则球心到平面ABC 的距离为_________．15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数205030（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值．A B CD E FP Q H A ' B 'C 'D ' G20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．22．（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =．所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==． ······················································ 12分 18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ····················· 3分 （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为··················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ····························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版） (2)(1)
2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，那么集合()UC AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 【答案】D 【解析】2.设复数z 知足(2)(2)5z i i --=，那么z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A 【解析】3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，那么（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，以下说法正确的选项是（ ） A ．假设//,//,m n αα则//m n B ．假设m α⊥，n α⊂，那么m n ⊥ C ．假设m α⊥，m n ⊥，那么//n α D ．假设//m α，m n ⊥，那么n α⊥ 【答案】B 【解析】5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：假设0a b •=，0b c •=，那么0a c •=；命题q ：假设//,//a b b c ，那么//a c ，那么以下命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】命题p 为假，命题q 为真，因此A 正确。
选A6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【答案】D 【解析】7.某几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B 【解析】 8.设等差数列{}n a 的公差为d ，假设数列1{2}n a a 为递减数列，那么（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C 【解析】9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B 【解析】10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的核心为F ，那么直线BF 的斜率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D 【解析】11.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C 【解析】12.已知概念在[0,1]上的函数()f x 知足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-.假设对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，那么k 的最小值为（ ）12 B ．14 C ．12π D ．18【答案】B【解析】第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上） 13.执行右边的程序框图，假设输入9x =，那么输出y = .答案】929【解析】14.正方形的四个极点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----别离在抛物线2y x =-和2y x =上，如下图，假设将一个质点随机投入正方形ABCD 中，那么质点落在阴影区域的概率是 .【答案】32【解析】15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的核心不重合，假设M 关于C 的核心的对称点别离为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，那么||||AN BN += .【答案】12【解析】16.关于0c >，当非零实数a ，b 知足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为 . 【答案】-2 【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.） 17.（本小题总分值12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【答案】 （1） 2,3==c a （2） 2723【解析】 （1）2,3.2,3∴5,6c ∴2-cos 23cos ,3,31cos 222====>=+=+====•==c a c a c a c a a acb c a B ac B ca BC BA b B 所以，解得，且（2）18. （本小题总分值12分）一家面包房依照以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率散布直方图，如下图： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设天天的销售量彼此独立.（1）求在以后持续3天里，有持续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在以后3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的散布列，期望()E X及方差()D X .【答案】 （1） （2） , 【解析】 （1） （2）19. （本小题总分值12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面相互垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 别离为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.【答案】 （1） 省略（2） 552【解析】 （1） （2）20. （本小题总分值12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b -=过点P（1）求1C 的方程； （2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的核心，直线l 过2C 的右核心且与2C 交于A ，B 两点，假设以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程【答案】 （1） 12-22=y x （2） 326-2,322-63+=+=y x y x 或【解析】 （1） （2） .326-2,322-6326-2,22-63∴21)-6(26262-7262)11-62(4-664)11-68(4-2462∴011-6462-2m ⇒064-1162-2m ⇒064-143-62)m 62-76-62-3(⇒0)62-7(2)62-7(62)m 3-2(323--3⇒0)2)(62-7(]2-)m 2-3([32-)1(-3∴062-7)](2-)m 2-3([)1(23-,232-0,3-32)2(136062-7)](2-)m 2-3([)1(2)(2-)2-3()()m 2-3()2-)(2-()2-3)(2-3()2-)(2-()2-)(2-()2-,2-)(2-,2-(0).,(),,(,3.0∴⊥)0,3(136.631)2,2(31∴)0,3(),0,3-()2,2(212222222221212221221222221212212122121221212121221122112222222222222222+=+===±=±=±=±==+=++=++++=++++=+++=+++++=+=+=++=+=++++=++++++=+++=+==•=+==•=+===+=+==+y x y x m m m m m m m m m m m m y y y y m m y y m m y y my y m y x y y y y m y y y y y y y y m y y my my y y x x y x y x PB PA y x B y x A my x PB PA PB PA l y x a b by a x P c c b a by a x P 或所以，所求直线方程为由韦达定理得联立得：与椭圆方程设直线方程，且过右焦点为由题知，直线所以，椭圆方程为，中，解得代入椭圆方程把点，，设椭圆方程，焦点为椭圆过21. （本小题总分值12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =； 存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.【答案】 （1） （2） , 【解析】 （1） （2）（II ）考虑].,2[),23ln(4sin 1cos )(3)(ππππ∈--+-=x x x x x h令,x t -=π则],2[ππ∈x 时，]2,0[π∈t 记)sin 1)(2()(3)(),21ln(4sin 1cos 3-)('t t t f t u t t t t t h t u ++=+-+==πππ则）（由（I ）得，当0)()2,(,0)(),0('0'0〈∈〉∈t u x t t u x t 时，当时，π在（0，x ）上)(t u 是增函数，又)00(=u ，从而当),0(0x t ∈时，)(t u 0〉，因此)(t u 在],0(0x 上无零点。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(辽宁卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，解析版）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B（2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i - 【答案】D（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23【答案】B(4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A（6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =（A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 【答案】B (7)曲线y=2xx -在点（1，－1）处的切线方程为 （A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 【解析】y ’＝2222(2)(2)x x x x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2 【答案】D(8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
最新整理辽宁省高考数试题理数.doc
普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则()()U U A B ⋂=痧(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + (3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b(C){0,1,3} (D)a +b =a -b (4)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0(B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0(D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！(6)在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176(7)已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=(A) -1(B) 2-(C) 2 (D) 1 (8)设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x +3y 的最大值为 (A) 20 (B) 35 (C) 45(D) 55(9)执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(A) -1 (B)23 (C)32 (D) 4(10)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 3的概率为 (A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45(11)设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为(A)5 (B)6 (C)7 (D)8(12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是(A)21x e x x ++ (2111)24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +- (Ⅱ)本卷包括必考题和选考题两部分。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题辽宁卷,含答案
绝密★启用前2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数 学〔供理科考生使用〕第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 〔1〕复数的11Z i =-模为 〔A 〕12〔B 〕22 〔C 〕2 〔D 〕2〔2〕集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 〔3〕点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为〔A 〕3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔B 〕4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-〔C 〕3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， 〔D 〕4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 〔4〕下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为〔A 〕12,p p 〔B 〕34,p p 〔C 〕23,p p 〔D 〕14,p p 〔5〕某组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.假设低于60分的人数是15人，那么该班的学生人数是〔A 〕45 〔B 〕50 〔C 〕55 〔D 〕60〔6〕在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π〔7〕使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 〔8〕执行如下图的程序框图，假设输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255〔9〕点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 〔10〕三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172 B ．210 C ．132D ．310〔11〕函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,那么A B -=〔A 〕2216a a -- 〔B 〕2216a a +- 〔C 〕16- 〔D 〕16〔11〕设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， 〔A 〕有极大值，无极小值 〔B 〕有极小值，无极大值 〔C 〕既有极大值又有极小值 〔D 〕既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两局部。
普通高等学校招生全国统一考试数学理(辽宁卷,含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，含答案）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|-5<x<5},则M ∩N=(A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5} (C) {x|-5<x ≤5} (D) {x|-3<x ≤5} （2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - （3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 (4) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3 (7)曲线y=2xx -在点（1，-1）处的切线方程为 （A ）y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23- (B) - 12 (C) 23 (D) 12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
2021年高考辽宁省数学试卷-理科(含详细答案)
2021年高考辽宁省数学试卷-理科（含详细答案）2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） a为正实数，i为虚数单位，a?i?2，则a= i（A）2 （B）3 (C)2 (D)1（2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若N?C1M??,则M?N? (A)M (B) N (C)I (D)?(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，AF?BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (A)357 (B) 1 (C) (D) 444（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=2a则b? a(A) 23 (B) 22 (C)3 (D)2 （5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B��A)= (A)1121 (B) (C) (D) 8452（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 21+?）=，则sin2?? 437117(A) ? (B) ? (C) (D)9999（（7）设sin（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的．．．?是(A) AC⊥SB (B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角?21-x，x ?1，（9）设函数f（x）=?则满足f（x）≤2的x的取值范围是1-logx，x＞1，2? （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+?）（D）[0，+?）（10）若a，b，c均为单位向量，且a・b=0，（a-c）・（b-c）≤0，则a?b-c的最大值为（A）2-1 （B）1 （C）2 （D）2（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+?）（C）（-?，-1）（D）（-?，+?）（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，?ASC??BSC?30?，则棱锥S-ABC的体积为（A）33 （B）23 （C）3 （D）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，求 $ f'(0) $。
答案：$ f'(0) = \frac{1}{2} $。
解析：根据导数的定义，我们有 $ f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) f(0)}{x 0} $。
将 $ f(x) $ 和 $ f(0) $ 代入，得到$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} 1}{x} $。
由于$ \sqrt{x^2 + 1} $ 在 $ x = 0 $ 附近可近似为 $ 1 +\frac{x^2}{2} $，所以 $ f'(0) $ 可近似为 $ \lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{x^2}{2} 1}{x} = \frac{1}{2} $。
2. 题目：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为$d$，求 $a_5$。
答案：$a_5 = a_1 + 4d$。
解析：根据等差数列的定义，我们有 $a_5 = a_1 + (5 1)d =a_1 + 4d$。
3. 题目：已知函数 $f(x) = x^3 3x$，求 $f(x)$ 的极值点。
答案：极小值点为 $x = 1$，极大值点为 $x = 1$。
解析：求导数 $f'(x) = 3x^2 3$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。
然后求二阶导数 $f''(x) = 6x$，当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点；当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 < 0$，所以 $x = 1$ 是极大值点。
4. 题目：已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的反函数。
2021年高考辽宁省数学试卷-理科(含详细答案)
2021年高考辽宁省数学试卷-理科（含详细答案）2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） a为正实数，i为虚数单位，a?i?2，则a= i（A）2 （B）3 (C)2 (D)1（2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若N?C1M??,则M?N? (A)M (B) N (C)I (D)?(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，AF?BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (A)357 (B) 1 (C) (D) 444（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=2a则b? a(A) 23 (B) 22 (C)3 (D)2 （5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B��A)= (A)1121 (B) (C) (D) 8452（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 21+?）=，则sin2?? 437117(A) ? (B) ? (C) (D)9999（（7）设sin（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的．．．?是(A) AC⊥SB (B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角?21-x，x ?1，（9）设函数f（x）=?则满足f（x）≤2的x的取值范围是1-logx，x＞1，2? （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+?）（D）[0，+?）（10）若a，b，c均为单位向量，且a・b=0，（a-c）・（b-c）≤0，则a?b-c的最大值为（A）2-1 （B）1 （C）2 （D）2（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+?）（C）（-?，-1）（D）（-?，+?）（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，?ASC??BSC?30?，则棱锥S-ABC的体积为（A）33 （B）23 （C）3 （D）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2i2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．2C 2D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23 C ．32D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B 211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：2211221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，20．如图，椭圆C 0：2221x y a b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i (2i)44i i 34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ． 3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ． 7． A 将sin α－cos α2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++， 整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S==-；i ＝4时，24322S==-；i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S=； i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12． C 对于e x与1＋x ＋x 2，当x ＝5时，e x＞32，而1＋x ＋x 2＝31，所以A 项不正确；211124x x -+，当14x ==，21157124645x x -+=<，所以B 项不正确；令f (x )＝cos x ＋12x 2－1，则f ′(x )＝x －sin x ≥0对x ∈［0，＋∞)恒成立，f (x )在［0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为f (0)＝0，所以f (x )≥0，cos x ≥1－12x 2，故C项正确；令g (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则11()114g x x x '=+-+，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x＝3．当x ∈(0,3)时，g ′(x )＜0，当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在x ＝3时取得最小值g (3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D 项不正确． 13．答案：38 解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a 12·q 8＝a 1·q 9，a 1＝q ，由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12q =，因为数列{a n }为递增数列，所以q ＝2，a 1＝2，a n ＝2n ．15．答案：－4解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴()212242, 22, y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩①② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩ ∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为212y x =，∴y ′＝x ， ∴过点P 的切线斜率为44x y ='=．∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8．又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：3 解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯=．由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111222332ABC h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以23h =，因此球心到平面ABC 的距离为3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M MN ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rm m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0NC MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝，D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，① 直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．②由①②得22221221()y y x a x a-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－212x a )，代入③得22221x y a b-=(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1． 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝(11x +＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0． (2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2，12x<+．记h (x )＝f (x )－96xx +， 则2154()1(6)21h x x x x '=+-+++ ＝222154654(6)4(1)(6)x x x x x +++-<-+++ ＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112xx +<+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)(1121x x +++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］ ＝4(1)x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6xf x x <+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ．精品文档精品文档 从而AC AB AD BD=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而AE AD AB BD =，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(13，(1，3-)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,3 3.,x t y t =⎧≤⎨=⎩ (或参数方程写成1,33,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=． 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2． (2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ， 则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝ 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。