实变和泛函期末试题答案

06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案

1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)

证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>∃δ,使得

),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即

E x U ⊂),(0δ,

故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.

证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集.

(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分)

证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ∃中互异点列},{n x 使得

)(0∞→→n x x n . ………………………..2分

由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以

a x f x f x f n n n n ≥==∞

→∞

→)(lim )lim ()(0,

即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分

由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂,……………………… 5分 知E E E E =∂=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证.

2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>∀δ, 存在子集E E ⊂δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且

.)\(δδ

证明 任选一列自然数}{i n ,与此相应作E 的子集 则)(x f n 必在}][{i n E 上一致收敛于)(x f .

事实上,对0ε∀>,选0,i 使

1

,i ε<则当0i n n >时,对一切 00

10

1

[{}][,][,],o i i k i i x E n E n E f f k n i ∈⊂=-<≥都有

1

()()n f x f x i ε-<

<. ……………………… 6分 所以, 0>∀δ, 若能适当的选取}{i n , 使(\[{}])i m E E n δ<, 则令[{}]i E E n δ=即

可.

利用引理, 0,(\[,])0()m E E n n εε∀>→→∞. 故对任给的0δ>, 对1,i

ε=

1,2,3,i =L , i n ∃,使得

1(\[,])2

i i m E E n i δ

<,

取}],[{i n E E =δ所以)}({x f n 在δE 上一致收敛.且……………………………………… 12分

111(\[,]),2i i i i m E E n i δ

δ∞

∞==≤<=∑∑……………………………. 15分

结论得证.

3．证明勒贝格控制收敛定理：设

(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列；

(2) a.e.)()(x F x f n ≤于E ,n =1,2,…,)(x F 在E 上可积分； (3) )()(x f x f n ⇒, 则)(x f 在E 上可积分,且 ⎰

⎰=E

E

n n

dx x f dx x f )()(lim

. (15分)

证明

证明一 由于)()(x f x f n ⇒,根据Rieze 定理,存在子列{}

)(x f i n a.e.收敛于)(x f .

由于()()a.e.n f x F x ≤于E ,从而 a.e.)()(x F x f i n ≤于E ,得 a.e.)()(x F x f ≤于E .因为

)(x F 可积,可得到)(x f 在E 上是可积的,且每个)(x f n 在E 上是可积的. …………… ..2分

下证lim ()()n E

E

n

f x dx f x dx =⎰⎰.我们分两步证明：

(1) 先设mE <+∞.对任何0ε>,因为()F x 在E 上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在0δ>,使当e E ⊂且me δ<时有

()4

e F x dx ε

<⎰. …………………………… ..4分

又因为)()(x f x f n ⇒,所以存在0N >,使当n N ≥时有

[]n mE f f σδ-≥<,

其中02mE

εσ=

>.所以当n N ≥时,

[]

()4

n E f f F x dx σε

-≥<

⎰

,………….………………… ..6分

因此

⎰

⎰-E

E

n dx x f dx x f )()(＝

(()())n E

f x f x dx -⎰

=[]

[]

()()()()n n n n E f

f E f f f x f x dx f x f x dx σσ-

≥-<-+-⎰⎰

=2

2

εε

ε+= ………………………….……….………………… ..9分

这就证明了当mE <+∞时,成立

lim ()()n E

E

n

f x dx f x dx =⎰⎰.