高中数学课时跟踪检测(二十六)二倍角公式及其应用北师大版必修4
高中数学3.3二倍角的三角函数同步精练北师大版必修4
高中数学 3.3 二倍角的三角函数同步精练 北师大版必修41．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( ) A ．223 B ．－223C ．23D ．－232．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A ．459 B ．259C ．－459D ．－2593．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值为( ) A ．－16 B ．16 C ．52 D ．－564．1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )A ．－2cos 5° B．2cos 5°C ．－2sin 5°D ．2sin 5° 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B ．79C ．29D ．－236．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是__________． 7．等腰三角形顶角的余弦值为23，那么这个三角形一底角的余弦值为__________． 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值． 9．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 10．已知△ABC 的面积为3，且满足0＜A B ·A C ≤6.设AB 和AC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ的最大值与最小值．参考答案1．解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2(sin θcos θ)2＝59， ∴(sin θcos θ)2＝29. ∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＞0，∴sin θcos θ＝23. ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223. 答案：A2．解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α.∵cos α＝23，0＜α＜π， ∴sin α＝53. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×53×23＝459. 答案：A3．解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2得tan α＝13. 原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝13－12＝－16. 答案：A4．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.答案：C5．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13. ∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－29＝79. 答案：B 6．解析：∵f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， ∴T ＝2π1＝2π. 答案：2π7．解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则α＝π2－β2，cos β＝23， ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β2＝sin β2＝1－cos β2＝66. 答案：668．解：sin2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos(B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1 ＝－19. 9．解：y ＝2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1 ＝2(sin 2x ＋cos 2x )2cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， ∴tan x ∈[－3，1]．令tan x ＝t ，则有y ＝g (t )＝(t ＋1)2＋1，∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5. 综上，当x ＝－π4时，y min ＝1；当x ＝π4时，y max ＝5. 10．解：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可得12bc sin θ＝3,0＜bc cos θ≤6，可得cos θ＞0，tan θ≥1. 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. (2)f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－3cos 2θ ＝1＋sin 2θ－3cos 2θ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3. ∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2， ∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，2π3， ∴2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3≤3. 即当θ＝5π12时，f (θ)max ＝3； 当θ＝π4时，f (θ)min ＝2.。
高中数学必修四北师大版 二倍角的三角函数 课时作业 含答案
二倍角的三角函数课时作业 北师大版必修4一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ的值为( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45[答案] B[解析] 由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角， 故cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ ＝1－221＋22＝－35. 2．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．259B ．459C ．－459D ．－259[答案] B[解析] 设等腰三角形的底角为α， 则cos α＝23，∴sin α＝53，设顶角为β，则sin β＝sin(180°－2α) ＝sin2α＝2sin αcos α＝2×53×23＝459. 3．设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2[答案] D[解析] ∵α∈(π，2π)，则α2∈(π2，π)，∴1－cos π＋α2＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2. 4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4. ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin2θ＝4.∴sin2θ＝12.5．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A ．35 B ．45 C ．74D ．34[答案] D[解析] 本题考查了三角的恒等变形以及倍半角公式． 由θ∈[π4，π2]可得2θ∈[π2，π]，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34. 6．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] 考查倍角公式和三角函数的性质．因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A ． 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝______.[答案] －725[解析] 本题主要考查诱导公式及二倍角公式的灵活运用． ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.8．若cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________． [答案]1118[解析] 因为sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θ·cos 2θ＝1－12sin 22θ，又因为cos2θ＝23，所以sin 22θ＝1－cos 22θ＝1－29＝79，所以sin 4θ＋cos 4θ＝1－12×79＝1－718＝1118. 三、解答题9．已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x ，cos4x ，tan4x 的值．[解析] ∵sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝sin(π4＋x )cos[π2－(π4－x )]＝sin(x ＋π4)cos(π4＋x ) ＝12sin(2x ＋π2)＝12cos2x ＝16， ∴cos2x ＝13.。
高中数学课时作业25二倍角的三角函数二北师大版必修4
解析：(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝＋，
∵π<α<，∴<<.
∴cos<0，sin>0.
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单凋递减区间．
解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
14．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
此时AO＝DO＝10 (m)．
故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.
答案：C
12．已知sin2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：
＝
＝＝＝.
因为sin2θ＝，0<2θ<，
所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.
高中数学必修四-二倍角公式及辅助角公式
二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。
北师大版高中数学必修四同步课时跟踪检测(二十七) 半角公式及其应用
课时跟踪检测（二十七） 半角公式及其应用一、基本能力达标1．已知2π＜θ＜3π，cos θ＝m ，则sin θ2＝ ( )A ．－1－m2B.1－m2 C ．－1＋m2D.1＋m2解析：选A 因为2π＜θ＜3π，所以π＜θ2＜3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 2．已知cos θ＝－14(－180°＜θ＜－90°)，则cos θ2＝ ( )A ．－64 B.64C ．－38 D.38解析：选B 因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜θ2＜－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝1－142＝64，故选B. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0 ，cos α＝45，则tan α2＝ ( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 4．若π＜α＜2π，则化简1－cos (α－π)2的结果是 ( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，原式＝1＋cos α 2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.故选C.5．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得 ( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.6．求值：cos 4 π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：327．化简：sin 4α1＋cos 4α·cos 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α＝________.解析：法一：原式＝2sin 2αcos 2α2cos 22α·cos 2α2cos 2α·cos α1＋cos α＝sin 2α2cos α·11＋cos α＝2sin αcos α2cos α·11＋cos α＝sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos2α2＝tan α2. 法二：原式＝tan 2α·cos 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α＝sin 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α＝tan α·cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝tan α2.答案：tan α28．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小值为________． 解析：由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (x )min ＝－1. 答案：－1 9．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值． (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：(1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ＝1－45＋35－45＋35＝－4.10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为13，23，求cos α2＋sin β2＋tan α2的值．解：依题意，得cos α＝13，cos β＝23，因为α，β为锐角，所以cos α2＋sin β2＋tan α2＝1＋cos α2＋1－cos β2＋1－cos α1＋cos α＝1＋132＋1－232＋1－131＋13＝2＋62.二、综合能力提升1．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin(5π－θ)＝ ( ) A.34 B.74 C.34或74 D ．－34解析：选A 法一：因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.又sin 2θ＝378，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎫3782＝－18，所以sin(5π－θ)＝sin θ＝1－cos 2θ2＝1＋182＝34.故选A.法二：因为sin 2θ＝378，所以2sin θcos θ＝378， 即sin θcos θ＝3716.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin 2θcos 2θ＝sin 2θ(1－sin 2θ)＝9×7162，即sin 4θ－sin 2θ＋9×7162＝0，解得sin 2θ＝916或sin 2θ＝716.又θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以22≤sin θ≤1，所以sin θ＝34.所以sin(5π－θ)＝sin θ＝34，故选A. 2．若sin α1＋cos α＝12，则sin α＋cos α的值为 ( )A. B.85C ．1 D.2915解析：选A ∵sin α1＋cos α＝tan α2＝12，∴sin α＋cos α＝2tanα21＋tan 2α2＋1－tan 2α21＋tan 2α2＝2×12＋1－141＋14＝75. 3．已知3π2＜α＜2π，化简12＋1212＋12cos 2α的结果为 ( ) A ．sin α2 B ．－sin α2C ．cos α2D ．－cos α2解析：选D ∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜α2＜π，∴cos α＞0，cos α2＜0，∴原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α＝1＋cos α2＝cos 2α2＝－cos α2.4．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝ ( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2解析：选A 由α是第三象限角，知α2是第二或第四象限角，又cos α＝－45，所以sin α＝－35，tan α＝34. 由tan α＝2tanα21－tan 2α2＝34，解得tan α2＝－3(正值舍去)，从而1＋tanα21－tanα2＝－12.5．已知cos 2θ＝－2325，π2＜θ＜π，则tan θ2的值为________． 解析：∵cos 2θ＝－2325，π2＜θ＜π， ∴sin θ＝1－cos 2θ2＝1＋23252＝265， cos θ＝－1＋cos 2θ2＝－1－23252＝－15， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋15265＝62.答案：626．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，则α的值为________． 解析：因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4， 即4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.答案：9π167．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，2cos 2x2－1，函数f (x )＝a ·b . (1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，2cos 2x2－1)， ∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝sin x －3cos x . ∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．8.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．解：在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α， 在Rt △OAD 中，DA OA ＝tan π3＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α，所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ， 则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin α·sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由0＜α＜π3，得π6＜2α＋π6＜5π6，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 取得最大值，最大值为13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，且最大面积为36.由Ruize收集整理。
18学年高中数学课时跟踪检测(二十六)倍角公式新人教B版必修4
课时跟踪检测（二十六） 倍角公式层级一 学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C. 13D. 23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B. 43C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A. 4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αsin α等于( )A ．2cos αB ．2sin α C. 12D ．cos α解析：选A 原式＝4sin αcos α1＋2cos 2α－1·cos 2αsin α＝2cos α.5．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．75° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.6．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－43. tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.答案：347．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝____________，cos 2θ＝____________.解析：∵sin θ2＋cos θ2＝233，∴⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，∴sin θ＝13，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：13 798．求值：1sin π18－3cosπ18＝________.解析：原式＝cos π18－3sin π18sin π18·cos π18＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4·sinπ9sin π9＝4.答案：49．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22α＋cos α2sin αcos α＋2cos 2α＝2α＋cos α4cos αα＋cos α.∵α为第二象限角，且sin α＝154， ∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55.∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.层级二 应试能力达标1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A. 16 B. 13 C. 12D. 23解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.2．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α的值为( )A. 78 B ．－78C ．－47D. 47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12， 所以cos α－sin α＝24，平方得1－2cos αsin α＝18， 所以sin 2α＝78，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝78. 3．化简：sin 235°－12sin 20°＝( )A. 12 B ．－12C ．－1D ．1解析：选B 原式＝1－cos 70°2－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A. 79 B. 13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝β－α＋tan α1－β－αα＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.答案：π47．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎪⎫232＝169.又因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x π＋x 的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x π＋x ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝x －sin xx ＋sin x22x －sin xx＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
北师大数必修四同步讲义：第三章 3 第1课时 二倍角公式及其应用 Word含答案
§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用,1．二倍角公式名称简记符号公式适用范围二倍角的正弦公式S2αsin 2α＝2sin__αcos__αα∈R 二倍角的余弦公式C2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1二倍角的正切公式T2αtan 2α＝2tan α1－tan2αα≠π2＋kπ，α≠π4＋kπ2，其中k∈Z(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①或cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.②其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．(2)常用的两个变形：(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．()(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．()解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠π4＋k π(k∈Z )，故此说法错误．(2)正确．当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.★答案★：(1)× (2)√ (3)× 2.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选B.原式＝cos 20°sin 20°cos 225°－sin 225°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 3.tan 15°1－tan 215°＝________．解析：原式＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12tan 30°＝36.★答案★：364．若sin α＝55，则cos 4α－sin 4α＝________. 解析：cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. ★答案★：351．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义．(2)联系：公式S 2α，C 2α，T 2α是在公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.化简求值求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)tan π12－1tan π12.【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.1.(1)计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.(2)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．解：(1)原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.故填 2.(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝24sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝23sin 12°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6°＝22sin 24°cos 24°cos 48°16cos 6°＝2sin 48°cos 48°16cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6° ＝116.给值求值(1)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79D ．－89(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan 4α的值． 【解】 (1)选B.cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝16， 即12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22， 故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－（－22）2＝427.把本例(1)中的条件“sin α＝55”改为“sin α＋cos α＝55”，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 解：因为sin α＋cos α＝55， 所以(sin α＋cos α)2＝15，即1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α<0， 所以sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝355，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝55×⎝⎛⎭⎫－355＝－35， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)另外，注意几种诱导公式的应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ；③cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x .2.已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值； (2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378.(2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 【解】 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AH tan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH－BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ ︵的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．3.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，由B 点到E 点的方向前进30 m 至点C 处，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到D 点，测得顶点A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ， 所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m.又因为∠ADE ＝2θ＋∠CAD ，所以∠CAD ＝2θ， 所以AD ＝CD ＝10 3 m. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ ＝103sin 4θ，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ， 所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32. 又因为2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ＝π6，所以θ＝π12. 所以AE ＝30sin π6＝15(m)．所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.规范解答关于三角函数性质的综合问题(本题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． [解] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2.(4分)因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(6分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.(7分)当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )是递增的； (9分)当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )是递减的． (11分)综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上是递减的．(12分)(1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：即处由2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2到2sin(2ωx ＋π4)＋2的变化．在处，对2x ＋π4的范围进行判断．(2)在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中⎣⎡⎦⎤0，π2.1．sin π12cos 5π12的值等于( )A ．－12＋34B.12－34 C ．－12－34D.12＋34解析：选B.sin π12cos 5π12＝sin π12sin ⎝⎛π2⎭⎫－5π12＝sin 2π12＝1－cos π62＝1－322＝12－34. 2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78解析：选D.由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ， 因为AB ＝4BD ，所以sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：由tan(π＋2α)＝－43，得tan 2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43.因为α是第二象限的角，所以tan α<0，所以tan α＝－12.★答案★：－124．锐角三角形ABC 中，若B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围是________．解析：因为B 为锐角，所以0<A <π4.又C 为锐角，且C ＝π－B －A ＝π－3A ， 所以0<π－3A <π2.所以－π2<3A －π<0.所以π2<3A <π，π6<A <π4.所以2<2cos A < 3.所以sin B sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ∈(2，3)．★答案★：(2，3)[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79B.79C.23D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos 2α＋1 ＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B. 2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sin B sin C ＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )⇒2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ⇒cos B cos C ＋sin B sin C ＝1⇒cos(B －C )＝1，又－180°<B －C <180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形． 3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( )A ．m <nB ．m >nC ．mn <1D ．mn >1解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α， n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β， 因为0<α<β<π4，所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin 2α<sin 2β，即m 2<n 2，又m >0，n >0，所以m <n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________．解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α.★答案★：sin α7．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tan x ＝2，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43.tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：348．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.[B 能力提升]11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcosα＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.12．已知角α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________．解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0，所以2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.因为β为锐角，所以β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）tan α＝13＋121－13×12＝1，因为β为锐角，所以β＝π4.★答案★：π413．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋ 23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin 2α＋34·cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin α·cos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14·(1－cos 2α)＝34.。
北师大版数学高一必修4练习 3.3第1课时 二倍角公式及其应用
[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79 B.79C.23 D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－2cos 2α＋1＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B.2．在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则△ABC 是() A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sinBsinC ＝1＋cos A2⇒2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)⇒2sinBsinC ＝1－cosBcosC ＋sinBsinC⇒cosBcosC ＋sinBsinC ＝1⇒cos(B －C)＝1，又－180°<B －C<180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形．3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16 D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2C ．2D ．4 解析：选C .tan67°30′－1tan 67°30′ ＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( ) A ．m<nB ．m>nC ．mn<1D ．mn>1 解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α，n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin2β，因为0<α<β<π4， 所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sinx 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin2α<sin2β，即m 2<n 2，又m>0，n>0，所以m<n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________． 解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α. 答案：sin α 7．已知tanx ＝2，则tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tanx ＝2，所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos 2x 2 ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝14sin2x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －32×1＋cos 2x 2＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，14， 函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)． 因为A ，D 关于点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)． 此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为102m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m 2.[B 能力提升]1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－43 解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52， 即3cos 2α＋4sin αcos α＝32， 所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32， 所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13， 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.2．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为__________． 解析：由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12， 所以()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝14， 所以2sin αcos α＝34. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22()sin α－cos α ＝－2()sin α＋cos α，而()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝74， 又因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝72， 所以原式＝－142. 答案：－142 3．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin2ωx －cos2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)， 所以ω＝k 2＋13(k ∈Z)． 又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5. (2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．4．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝34.。
高中数学 3.3 二倍角的三角函数(一)课时作业 北师大版
§3 二倍角的三角函数(一)课时目标 1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝______________；(3)sin 2α＝__________________，cos 2α＝________________________________________________________________________．一、选择题1．计算1－2sin 222．5°的结果等于( ) A ．12 B ．22 C ．33 D ．322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C ．13D ．794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B ．105 C ．－155 D ．1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos 2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25二、填空题 7．3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______．10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________．三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．§3 二倍角的三角函数(一) 答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计 1．B 2．A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79．]4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12．∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin θ＋cos θ2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3．]5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15．∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0． 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155．]6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145．]7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝23－cos 20°3－cos 20°＝2．8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2． ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2．9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3．10．π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0．∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0．∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4A ＝右边． ∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ． 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x cos x －sin x cos xcos x ＋sin x＝sin 2x cos x －sin x cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin 2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π．又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34． ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100． 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18． 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20°2cos 10°·sin－10°sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1．＝。
3.3.1二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
给值式求值. sin 2x＋cos 2x－1 π 4 已知 cos( ＋x)＝ ，求 4 5 1－tan x 的值．
根据二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝1－ sin x 2 2sin α，首先将倍角2x化为单角x，利用tan x＝ 将切化 cos x 弦，进行化简整理，结合已知条件沟通目标求解问题，已知 条件的应用可以从诱导公式和二倍角公式角度处理，也可 以将已知展开平方后处理.
1 2.cos α－sin α－cos 2α＝－ sin 2αsin 4α. 4
8 8
解析： 左边＝(cos4α＋sin4α)(cos4α－sin4α)－cos 2α ＝[(cos2α＋sin2α)2－2cos2αsin2α]· 2α－cos 2α cos 1 2 1 ＝－ sin 2α· 2α＝－ sin 2αsin 4α. cos 2 4 ∴原式得证．
2
2cos α－1 (2)原式＝ π 2sin －α 4 2 π · －α cos π 4 cos －α 4 2cos2α－1 ＝ π π 2sin －α· cos －α 4 4 2cos2α－1 cos 2α ＝ ＝ ＝1. cos 2α cos 2α
2
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
π 2 4 法二：cos( ＋x)＝ (cos x－sin x)＝ ， 4 2 5 1 16 2 2 平方后得到： (cos x＋sin x－sin 2x)＝ ⇒sin 2x 2 25 7 ＝－ . 25
[题后感悟] 从角的关系寻找突破口．这类三角函 数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件 变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、 函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的 角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以 便将题设条件代入结论．
数学北师大版必修4知识导航：3.3二倍角的三角函数 含
§2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π（k ∈Z ）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-. （2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k ∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k ∈Z ）之外，还必须有α≠2kπ（k ∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番. 解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。
高中数学 课下能力提升(二十七)倍角公式及其应用 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题
课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用一、选择题1．(大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225 D.24252．(某某高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22B.12C ．0D ．－13．(某某高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34C ．－43 D.434．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin θ＋cos θ的值是( )A.62B ．－62 C ．－22D.22二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________． 6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________． 7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．8．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 三、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．10．(某某高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．答案1．解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.2．解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 3．解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．解析：选Ccos(π4＋θ)×cos(π4－θ)＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)，∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12，∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)．∴T ＝2π2＝π.答案：π6．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3.答案： 37．解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.又∵tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ，∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49. 答案：498．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4.∴sin(α＋π4)＝－1－cos 2（α＋π4）＝－1－（35）2＝－45.∴cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425，sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35.所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。
北师大版高中数学必修四同步课时跟踪检测(二十六) 二倍角公式及其应用
课时跟踪检测（二十六） 二倍角公式及其应用一、基本能力达标1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝ ( ) A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3解析：选D 由已知得sin 2α＋1－2sin 2α＝14， 所以sin 2α＝34， 而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32，cos α＝12. 因此，tan α＝ 3.6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos 150°＝－cos 30°＝ －32. 答案：－327．已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－321－916＝－247. 答案：－2478．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.解析：原式＝12cos 20°cos 40°cos 80° ＝23·sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°23·2sin 20°＝sin 160°16sin 20° ＝sin 20°16sin 20° ＝116.答案：1169．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π， 又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1， ∴α＋2β＝3π4. 10．化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(从角入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12 ＝1－12＝12. 法二：(从次数入手) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos2α·cos 2β＝14＋14＝12. 二、综合能力提升1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12， 所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12， 所以cos α－sin α＝24，平方得1－2cos αsin α＝18， 所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．43 B.833C ．4D ．8解析：选D ∵f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2＝2tan x －－cos x 12sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝412＝8. 3．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选A y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，为奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π，故选A.4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直，得a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.5．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 36．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 答案：－797．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x 2＝2，∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2α sin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.由Ruize收集整理。
北师大版数学必修4课时作业25二倍角的三角函数(二) Word版含解析
课时作业二倍角的三角函数(二)基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．已知α＝＋α，则＝( )或不存在．．或不存在解析：由α＝＋α，即＝，当＝时，则不存在，当≠时，则＝.答案：．若α＝，且α∈，则α－α的值为( )．－．－解析：因为α∈，所以α<α，(α－α)＝－α，所以α－α＝－.答案：．若(α＋β)β－(α＋β)β＝，则(α＋β)＋(α－β)＝( ) ．．－．．±解析：因为(α＋β)β－(α＋β)·β＝(α＋β－β)＝α＝，所以(α＋β)＋(α－β)＝αβ＝.答案：．若θ∈，θ＝，则θ＝( )解析：因为θ∈，所以θ∈，所以θ≤，所以θ＝－＝－＝－.又θ＝－θ，所以θ＝＝＝，所以θ＝.答案：．化简＋得( )．＋α．＋．．＋解析：原式＝＋＋－＝＋α－＝＋α－α＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知－＝，则θ＝.解析：因为－＝，所以－θ＝，即θ＝，所以θ＝－θ＝－＝.答案：．若＝，则α等于．解析：由＝，得(α＋α)＝α－α，即α＝－.又α＝＝＝＝.答案：．函数＝＋的最小正周期为．解析：＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以该函数的最小正周期为π.答案：π三、解答题(每小题分，共分)．化简：()；()已知π<α<，化简：＋.解析：()原式＝＝＝.()原式＝＋，∵π<α<，∴<<.∴<，>.∴原式＝＋＝－＋＝－.．求证：－(α＋β)＝.证明：∵(α＋β)－(α＋β)α＝[(α＋β)＋α]－(α＋β)α＝(α＋β)α＋(α＋β)α－(α＋β)α＝(α＋β)α－(α＋β)α＝[(α＋β)－α]＝β，两边同除以α得－(α＋β)＝.能力提升(分钟，分)．已知α＋α＝，则－＝( )．－．－解析：∵α＋α＝，平方可得＋α＝，可得α＝－.－＝＝α＝－.答案：．已知θ＝，<θ<，则＝.。