2017-2018学年安徽省六安市第一中学高一下学期第一次阶段性考试数学 文科试题 扫描版
2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第一次段考数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第一次段考数学（文）试题一、单选题1．0sin 2010= ( ) A ．12B ．12-C ．3D ．32【答案】B【解析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可得到结果. 【详解】()01sin20105360210210302sin sin sin =⨯︒+︒=︒=-︒=-，故选B 【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式的应用，属于基础题.2．已知扇形的弧长为4 cm ，圆心角为2 弧度，则该扇形的面积为 （ ） A ．4 cm 2 B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2【答案】A【解析】根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积． 【详解】解：因为：扇形的弧长为4cm ，圆心角为2弧度，所以圆的半径为l r α== 42=2， 所以扇形的面积为12s lr ==12×4×2＝4． 故选A ． 【点睛】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力． 3．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】22(22)(10)17++-=，半径分别为2,3，321723∴-<<+，所以两圆相交 ．故选C ．【考点】圆与圆的位置关系．4．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（） A ．sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin2y x =C ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．1sin2y x = 【答案】A【解析】利用三角函数的伸缩变换将y=sin （x+4π）图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （2x+4π）图象，再利用平移变换可得答案． 【详解】 函数y=sin （x+4π）图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （2x+4π）图象， 再将函数y=sin （2x+4π）图象向右平移4π个单位，所得图象的函数解析式为y=sin[2（x﹣4π）+4π）]=sin （2x ﹣4π）， 故选A ． 【点睛】本题考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关键，属于中档题．5．关于函数2tan(2)3y x π=+，下列说法正确的是（ ） A ．是奇函数 B ．在区间7(,)1212ππ上单调递增 C ．(,0)12π-为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π【答案】C 【解析】22()1232πππ⨯-+=，所以(,0)12π-是函数2tan(2)3y x π=+图象的一个对称中心，故选C ．6．已知函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ的值可以取（ ）A ．56π B ．23π C ．6π D ．3π 【答案】C【解析】根据题意得出()32k k Z ππϕπ+=+∈，求出ϕ的表达式，然后利用赋值法可得出ϕ的一个值. 【详解】由于函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈， 得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7．已知三点A (1,0)，B (0，3 )，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．21 C ．25D ．43【答案】B 【解析】【详解】选B.【考点】圆心坐标8．三角函数值1sin ，2sin ，3sin 的大小顺序是（ ） A ．123sin sin sin >> B ．213sin sin sin >> C ．132sin sin sin >>D ．3 2 1sin sin sin >>【答案】B【解析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到090θ<<o o 上的正弦值，借助正弦函数在090θ<<o o 的单调性比较大小． 【详解】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°． ∴sin1≈sin57°， sin2≈sin 114°＝sin66°． sin3≈171°＝sin9°∵y ＝sin x 在090θ<<o o 上是增函数， ∴sin9°＜sin57°＜sin66°， 即sin2＞sin1＞sin3． 故选B ． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题．9．已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为（ ） A ．45B ．1C ．95D ．135【答案】A【解析】MN 的最小值为3424155N l d r -----=-=,选A. 点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．函数21tan 44y x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭） A ．2,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．2,,242πππ⎡⎤⎛⎤--⋃- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．2,,242πππ⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】C【解析】根据偶次根式被开方数非负得出x 的不等式组，结合正切函数的单调性解出即可. 【详解】由题意可得21tan 0440x x π⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩，即2tan 1440x x π⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤⎩， 得()24422k x k k Z x πππππ⎧-+<-≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，得()4222k x k k Z x ππππ⎧-+<≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩， 解得22x π-≤≤-或42x ππ-<≤，因此，函数21tan 44y x x π⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭的定义域为2,,242πππ⎡⎤⎛⎤--⋃- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及正切不等式与二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.11．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．12．某港口水的深度()y m 是时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，记作()y f t =.下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ ）小时（忽略进出港所需的时间）. A ．6 B ．12 C ．16 D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题设可得,解之得，所以，从数表中所提供的数据信息可以看出：函数的最小正周期，故，所以，由题意可得当时能安全进出港，即，所以，解之得或，所以在时和时这个小时内出港是安全的，由此可知该船最多在港内停留小时.应选C.【考点】三角函数模型在日常生活中的灵活运用.二、填空题13．圆：2220x y x y +-+=和圆：22320x y x y ++--=交于,A B 两点，则直线AB的方程是____． 【答案】2520x y --=【解析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【详解】由()22222320x y x y x y x y +-+-++--= 得2520x y --= 故答案为2520x y --=． 【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题，考查了公共弦所在直线的求法，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边过()1,2-点，则cos α=________.【答案】5【解析】根据三角函数的定义可求出cos α的值. 【详解】由三角函数的定义可得()225cos 512α==--+. 故答案为：5-【点睛】本题考查利用三角函数的定义求三角函数值，考查计算能力，属于基础题.15．已知(1,0,2)A ，(1,3,1)B -，点M 在Z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________． 【答案】(0,0,3)-【解析】设M 点的坐标为()0,0,m ,根据空间两点间距离公式可由MA MB =解出m ，即可得到点的坐标.【详解】设M 点的坐标为()0,0,m 因为MA MB =所以222221+0+(m 2)13(1)m -=++- 解得3m =-故点M 的坐标为()0,0,3-. 【点睛】本题主要考查了空间两点间的距离公式，属于容易题.16．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果1x 、2,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=________.3【解析】根据函数()y f x =的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线12x π=对称，进而得出126x x π+=，然后代值计算即可. 【详解】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为236T πππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，则22Tπω==， 此时，()()sin 2f x x ϕ=+， 由于sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =在6x π=-附近单调递增，所以，()23k k Z πϕπ-=∈，则()23k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<Q ，0k ∴=，3πϕ=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 1x Q 、2ππ,63x 骣琪?琪桫，且()()12f x f x =，由图象可知，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线12x π=对称，则126x x π+=，因此，()1223sin sin sin 63332f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫+===-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，同时也考查了三角函数值的计算，求出三角函数解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17．已知α是第三象限角且tan 2α=. （1）求sin α的值；（2）求()()()sin sin 32cos sin παπαπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭+--的值. 【答案】（1）25；（2）3. 【解析】（1）先判断出sin α的符号，然后利用同角三角函数的商数关系和平方关系得出有关sin α和cos α的方程组，即可解出sin α的值；（2）利用诱导公式化简所求分式，并在分式的分子和分母中同时除以cos α，将所求分式化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】（1）αQ 为第三象限角，则sin 0α<，由同角三角函数的基本关系得22sin tan 2cos sin cos 1sin 0αααααα⎧==⎪⎪⎨+=⎪⎪<⎩，解得25sin α=；（2）()()()sin sin 3cos sin tan 123cos sin cos sin tan 1παπααααπααααα⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭===+---+-. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系求值，涉及弦化切思想与诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数()223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）单调递减区间为：()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（22，最小值2-. 【解析】（1）解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递减区间； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π-的取值范围，利用余弦函数的基本性质可计算出函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【详解】（1）解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当230x π-=时，即当6x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 2f x =当2233x ππ-=时，即当2x π=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 22f x =-.因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为22-.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间和最值的计算，解题时要充分结合余弦函数的基本性质求解，考查计算能力，属于基础题. 19．()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()y f x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求ϕ；（2）画出函数()y f x =的区间[]0,π上的图象.（要求列表）【答案】（1）6π=ϕ；（2）图象见解析. 【解析】（1）将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的取值范围可得出ϕ的值； （2）26x π+分别取6π、2π、π、32π、2π、136π，计算出相应的x 值，列表，描点，连线，即可得到函数()y f x =的区间[]0,π上的图象 【详解】 （1）将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，得55sin 201212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()56k k Z πϕπ∴+=∈，得()56x k k Z ππ=-∈，0ϕπ<<Q ，1k ∴=，6π=ϕ； （2）由（1）知，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当[]0,x π∈时，132666x πππ≤+≤，列表如下： 26x π+6π 2π π32π 2π136πx6π 512π 23π 1112ππ()f x121 01-12则函数()y f x =在区间[]0,π上的图象如下图所示：【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称中心求参数，同时也考查了利用五点法作图，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知关于x 、y 的方程22:240C x y x y m ++--=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:210l x y +-=相交于M ，N 两点，且5MN =，求实数m 的值.【答案】（1）()5,-+∞；（2）4m =-.【解析】（1）根据一般方程表示圆得出关于实数m 的不等式，解出即可；（2）先求出弦心距，利用弦长的一半、弦心距、圆的半径三者之间满足勾股定理列关于m 的等式，即可求出实数m 的值. 【详解】（1）因为关于x 、y 的方程22:240C x y x y m ++--=表示圆，则()222440m +-+>，解得5m >-，因此，实数m 的取值范围是()5,-+∞；（2）圆C 的标准方程为()()22125x y m ++-=+，圆心C 的坐标为()1,2-，半径为5R m =+，圆心C 到直线:210l x y +-=的距离为14155d -+-==， 则22212MN R d ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即51m +=，解得4m =-.【点睛】本题考查利用一般方程表示圆求参数，同时也考查了利用直线截圆的弦长求参数，一般利用弦长的一半、弦心距、圆的半径三者之间满足勾股定理以及圆心到直线的距离来列等式求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()36f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中0>ω）的图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求函数()f x 的图象的所有对称轴； （2）若函数()y f x m =-在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点1x 、2x ，求m 的取值范围. 【答案】（1）()32kx k Z ππ=+∈；（2）33,2⎛- ⎝⎦. 【解析】（1）根据题中条件可得出函数()y f x =的最小正周期，可计算出ω的值，令()62x k k Z ππωπ-=+∈，可得出函数()y f x =的图象的对称轴方程；（2）由()0f x m -=，可得出()m f x =，令5112,666t x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则问题可以转化为直线y m =与函数sin y t =在区间511,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()y f x =的图象上相邻两个最高点的距离为π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==， 所以，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， 因此，函数()y f x =的图象的所有对称轴的方程为()32k x k Z ππ=+∈； （2）由()0f x m -=，可得出()m f x =， 令26t x π=-，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，511,66t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则直线y m =与函数sin y t =在区间511,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，如下图所示：由图象知，当33,m ⎛∈ ⎝⎦时，直线y m =与函数sin y t =在区间511,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点.因此，实数m 的取值范围是33,⎛ ⎝⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数对称轴方程的求解，同时也考查了利用正弦型函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.22．已知圆()()22:124C x y -+-=.（1）若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C 外一点(),P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，且有PM PO =（O 为坐标原点），求使PM 取得最小值时点P 的坐标. 【答案】（1）0y =或43y x =-或322x y +=+32x y +=-；（2）11,105P ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）分两种情况讨论：①直线过原点，设所求切线方程为y kx =；②直线在x 轴、y 轴上的截距均为()0a a ≠，设所求切线方程为x y a +=.利用圆心到直线的距离等于半径列等式，求出相应的参数，即可得出所求切线的方程；（2）先由PM PO =求得点P 的轨迹方程为2410x y +-=，由此可得出当PO 与直线2410x y +-=垂直时，PM 最短，求出直线PO 的方程，求出该直线与直线2410x y +-=的交点，即为所求的点P .【详解】（1）①设圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距均为0，则切线过原点，设所求切线方程为y kx =，即0kx y -=.则圆心到切线的距离为2221k d k -==+，解得：0k =或43-．此时，所求切线的方程为0y =或43y x =-； ②若截距均不为0，设所求切线方程为x y a +=，则圆心到切线的距离为322a d -==，解得322a =±此时，所求切线方程为322x y +=+322x y +=- 综上所述，所求切线方程为0y =或43y x =-或32x y +=+或32x y +=-； （2）由题意可知，PM CM ⊥，则()()2222222124241PM PC CM x y x y x y =-=-+--=+--+，由PM PO =得2222241x y x y x y +--+=+，化简得2410x y +-=.所以，点P 的轨迹方程为2410x y +-=，要使PM 最小，即PO 最小，过O 作直线2410x y +-=的垂线，垂线方程为2y x =，联立24102x y y x +-=⎧⎨=⎩，解得11015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，所求的点P 的坐标为11,105⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，同时也考查了动点轨迹方程的求解，考查计算能力，属于中等题.。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④【答案】A【解析】分析：①②③逐一写出为可以④逐一写出为排除详解：①②③逐一写出为可以，④逐一写出为不满足，故选A。
点睛：分奇数、偶数的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观察其规律2. 下列命题中，正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】C【解析】试题分析：选项A中，条件应为；选项B中当时不成立；选项D中，结论应为；C正确．考点：不等式的性质．3. 下列说法正确的是（）A. 的最小值为2B. 的最小值为4，C. 的最小值为D. 的最大值为1【答案】D【解析】分析：利用均值判断，逐一排除不满足使用均值不等式的条件选项。
详解：，定义域，所以值域为，所以无最小值。
A错误，当时取等号，而时故不能取等号，B错误的最小值为1，C错误。
故选D。
点睛：均值不等式成立的3个条件“一正、二定、三相等”。
一正：的范围要为正值二定：如果为数，那么均值不等式两边本身就为定值。
如果为变量，那么均值不等式两边为未知数，使用均值不等式后必须为一个常数才算使用成功。
三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件。
4. 在数列中，，，则的值为（）A. B. 5 C. D. 以上都不对【答案】B【解析】分析：逐一写出前面有限项观察其规律。
详解：，故以3为周期的摆动数列，故选B。
点睛：对于递推表达式不好化简的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观察其规律，若有周期，利用周期求解。
5. 各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】分析：所以，利用等比中项求解详解：在等差数列中，，由等差中项所以，由等比中项.故选A点睛：等差数列的性质：若，则。
安徽省六安市第一中学20172018学年高一数学下学期期末考试试题理
六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)nn a n =-- D ．1(1)(21)n n a n +=--2.已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2018a 等于（ ） A ．12-B ．12C ． -1D ．2 3.已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，22*14()n n a a n N +-=∈，那么使10n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．254.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则2334b b b b ++的值为（ ）A ．12B ．4C ．2D 2 5.若01a <<，则不等式1()()0x a x a-->的解集是（ ）A ．1{|}x a x a <<B ．1{|}x x a a <<C ．1{|}x x a x a <>或D ．1{|}x x x a a<>或6.已知,a b R ∈，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．220a b -< B ．220ab-< C ．110a b-> D ．cos cos 0a b -< 7.已知点(2,2)A ，若动点(,)P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）A ．22．2 C 2 D 58.若20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或，则对于函数2()f x cx bx a =++应有（ ）A ．(5)(0)(1)f f f <<-B ．(5)(1)(0)f f f <-<C ．(1)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(1)(5)f f f <-<9.已知,a b R ∈，且2a b P +=，222a b Q +=P ，Q 的关系是（ ）A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <10.已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13] 11.已知数列{}n a 的通项为258n na n =+，则数列{}n a 的最大值为（ ）A 258B ．7107C ．461 D ．不存在12.设正数a ，b 满足2b a -<，若关于x 的不等式222(4)40a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为 里． 14.已知点(1,2)在直线2(0)x yab a b+=>上，则2a b +的最小值为 ． 15.不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14，则k = ．16.已知,m n R ∈，若关于实数x 的方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根1x ，2x 满足101x <<，21x >，则ba的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若221a x =+，22b x x =+，3c x =--，比较a ，b ，c 的大小.18.已知函数22()log (611)f x ax ax =-+.（1）当1a =时，求不等式2()log 3f x ≥的解集； （2）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围.19.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件） 10 5最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，3564a a =，且*23log 2()n an b n N =+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*()nn nb c n N a =∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21.（1）若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<的解集是[1,)+∞的子集，求实数a 的取值范围；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且9()abc a b =+，求a b c ++的最小值.22.已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21n n n S a n S =≥-.（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）证明：123111123n S S S S n+++⋅⋅⋅+<.六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5: CBCAC 6-10: BCDCA 11、12：CC 二、填空题13. 6 14. 4 15. 1 16. 1(2,)2-- 三、解答题17.解：∵221a x =+，22b x x =+，3c x =--，∴22(21)(2)a b x x x -=+-+2221(1)0x x x =-+=-≥，即a b ≥，2(2)(3)b c x x x -=+---223333()024x x x =++=++>，即b c >，综上可得：a b c ≥>.18.解：（1）1a =时，22()log (611)f x x x =-+，则222()log 3log (611)f x x x ≥⇔-+2log 3≥，即26113x x -+≥，解得2x ≤或4x ≥.∴不等式2()log 3f x ≥的解集为(,2][4,)-∞+∞；（2）∵()f x 的定义域为R ，∴26110ax ax -+>对任意x R ∈恒成立， 当0a >时，236440a a ∆=-<，解得1109a <<.又0a =成立， ∴a 的取值范围是11[0,)9. 19.解：设搭载产品甲x 件，产品乙y 件，预计总收益160120z x y =+.则2003003000105110,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，（或写成23302220,0,x y x y x y x y Z+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩）作出可行域，如图.作出直线0l ：430x y +=并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(9,4)M .∴max 160912041920z =⨯+⨯=（万元）.答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元.20.解：（1）12n n a -=，31n b n =-.（2）1312n n n n b n c a --==，数列{}n c 的前n 项和21258311222n n n T --=+++⋅⋅⋅+， ∴21125343122222n n n n n T ---=++⋅⋅⋅++， ∴21111113123()22222n n n n T ---=+++⋅⋅⋅+-111(1)3122231212n n n ---=+⨯--113123(1)22n n n --=+--3552n n +=-.∴135102n n n T -+=-.21.解：（1）由题(2)()0x x a --<，当2a ≥时，不等式的解集为{|2}x x a <<，此时显然是[1,)+∞的子集，当2a <时，不等式的解集为{|2}x a x <<，要使其为[1,)+∞的子集，∴12a ≤<，综上，[1,)a ∈+∞.（2）根据题意，9()abc a b =+，则9a bc ab+=⨯， 则()9a ba b c a b ab+++=++⨯99992a b a b a b a b =+++≥⨯⨯6612=+=，当且仅当3a b ==时，等号成立；则a b c ++的最小值为12.22.证明：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，整理得：112(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，1112n n S S --=，从而1{}nS 构成以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，111(1)22n n n S S ++-⨯=，∴12n S n=. ∴当1n =时，1112n S n =<， 当2n ≥时，2111122(1)n S n n n n =<⋅-111()21n n=--， ∴12311123n S S S S n +++⋅⋅⋅+1111111(1)222231n n <+-+-+⋅⋅⋅+--1112n<-<. 另解：当2n ≥时，2211111()22(1)411n n n n <=---+ ∴1111111(12432435<+-+-+-1111)211n n n n +⋅⋅⋅+-+---+ 11111(1)2421n n =++--+ 1117(1)12428<++=<.。
安徽省六安一中2017-2018学年高一下学期开学数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省六安一中高一（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣12．已知函数的定义域是（）A．[﹣1，1] B．{﹣1，1} C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．125．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．7．方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧8．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或19．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．1010．对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列正确的是（）①若A（﹣1，3），B（1，0），则；②若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；③若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．A．①②B．②C．③D．①②③二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．12．设函数f（x）=，则函数的零点个数为个．13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为．14．求函数的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点A（﹣3，﹣1）和点B（5，5）．（Ⅰ）求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆C的标准方程．16．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．17．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明BE⊥DC；（2）求二面角E﹣AB﹣P的值；（3）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．19．设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x﹣1，其中实数k1，k2满足k1k2+1=0．（1）证明：直线l1与l2相交；（2）试用解析几何的方法证明：直线l1与l2的交点到原点距离为定值；（3）设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最大值．2015-2016学年安徽省六安一中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，M是x﹣a=0的解集，而x﹣a=0⇒x=a；故M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，①N=∅，则a=0；②N≠∅，则有N={}，必有=a，解可得，a=±1；综合可得，a=0，1，﹣1；故选D．2．已知函数的定义域是（）A．[﹣1，1] B．{﹣1，1} C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数解析式可得，通过解不等式组可得x的范围，即得函数的定义域．【解答】解：∵，∴，∴1≤x2≤1∴x2=1即x=±1∴函数的定义域为：{﹣1，1}故选B3．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】由指数函数，对数函数的单调性，确定0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．【解答】解：0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．故选A．4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．7．方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧【考点】曲线与方程．【分析】根据（x﹣）=0，可得x=或=0，从而可得结论．【解答】解：∵（x﹣）=0，∴x=或=0（﹣2≤y≤4），∴x2+（y﹣1）2=9（x≥0）或x=y（﹣2≤y≤4）．故选D．8．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1【考点】直线的截距式方程．【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值．【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a=0得，此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2+a，由=2+a，得a=1 或a=﹣2，故选D．9．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．10【考点】两点间的距离公式．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．10．对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．则下列正确的是（）①若A（﹣1，3），B（1，0），则；②若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；③若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．A．①②B．②C．③D．①②③【考点】的真假判断与应用．【分析】利用“折线距离”：d（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，逐一判断①②③即可得到答案．【解答】解：①∵A（﹣1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1﹣（﹣1）|+|0﹣3|=2+5=5，故①错误；②不妨令点A为坐标原点，B（x，y），则d（A，B）=|x|+|y|=1，B点的轨迹是一个正方形，而不是圆，故②错误；③设直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设C点坐标为（x0，y0），∵点C在线段AB上，∴x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，不妨令x1＜x0＜x2，y1＜y0＜y2，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=x0﹣x1+y0﹣y1+x2﹣x0+y2﹣y0=x2﹣x1+y2﹣y1=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故③正确．∴正确的是③．故选：C．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．12．设函数f（x）=，则函数的零点个数为3个．【考点】函数零点的判定定理．【分析】问题等价于函数y=f（x）与函数y=﹣图象的公共点个数，作出函数的图象可得．【解答】解：函数的零点个数等价于函数y=f（x）与函数y=﹣图象的公共点个数，作出它们的图象可得公共点个数为3，故答案为：313．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先连BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角转化为直线BC1与DM 所成的角．结合M、N分别是棱BB1、B1C1的中点及三垂线定理得出直线BC1与DM所成的角90°，从而求得异面直线AD1与DM所成的角．【解答】解：连BC1，则BC1∥AD1则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM所成的角．∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点∴BC1∥MN，∵∠CMN=90°，∴直线BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，直线BC1与DM所成的角90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°．故答案为：90°．14．求函数的最小值为5．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据其几何意义即可求出答案．【解答】解：函数=+=+表示x轴上动点P（x，0）到A（4，1）和B（0，﹣2）的距离和，当P为AB与x轴的交点时，函数取最小值|AB|==5，故答案为：5三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点A（﹣3，﹣1）和点B（5，5）．（Ⅰ）求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）求出过点A且与直线AB垂直的直线l的斜率，根据点斜式得直线l的方程，整理得直线l的一般式方程；（Ⅱ）确定圆心坐标与半径，即可求以线段AB为直径的圆C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由条件知，则根据点斜式得直线l的方程为，整理得直线l的一般式方程为4x+3y+15=0．…（Ⅱ）由题意得C（1，2），故以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．…16．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）当x∈[0，]时，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；（3）f（x+3）＜2x+a可化为a＞x2+5x在x∈[0，]恒成立，转化为a＞（x2+5x）max，求最值即可．【解答】解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）﹣f（0）=2，又f（1）=0，可得f（0）=﹣2，（2）令y=0，可得f （x ）﹣f （0）=x （x +1）， 所以f （x ）=x 2+x ﹣2，（3）x ∈[0，]时，f （x +3）＜2x +a 恒成立，即x ∈[0，]时，a ＞x 2+5x +10恒成立． ∴a ＞（x 2+5x +10）max ，因为x 2+5x +10在[0，]单调增，所以最大值为．所以a 的范围是a ＞．17．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′，∠BAC=90°，，AA ′=1，点M ，N 分别为A ′B和B ′C ′的中点．（Ⅰ）证明：MN ∥平面A ′ACC ′； （Ⅱ）求三棱锥A ′﹣MNC 的体积．（椎体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高）【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（Ⅰ）证法一，连接AB ′，AC ′，通过证明MN ∥AC ′证明MN ∥平面A ′ACC ′．证法二，通过证出MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′．证出MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，即能证明平面MPN ∥平面A ′ACC ′后证明MN ∥平面A ′ACC ′．（Ⅱ）解法一，连接BN ，则V A ′﹣MNC =V N ﹣A ′MC =V N ﹣A ′BC =V A ′﹣NBC =．解法二，V A ′﹣MNC =V A ′﹣NBC ﹣V M ﹣NBC =V A ′﹣NBC =．【解答】（Ⅰ）（证法一）连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC=90°，AB=AC ，三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点，又因为N 为B ′C ′中点，所以MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′； （证法二）取A ′B ′中点，连接MP ，NP ．而M ，N 分别为AB ′，B ′C ′中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′．所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′；又MP ∩PN=P ，所以平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面A ′ACC ′； （Ⅱ）（解法一）连接BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′=B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC ，又A ′N=B ′C ′=1，故V A ′﹣MNC =V N ﹣A ′MC =V N ﹣A ′BC =V A ′﹣NBC =． （解法二）V A ′﹣MNC =V A ′﹣NBC ﹣V M ﹣NBC =V A ′﹣NBC =．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点． （1）证明BE ⊥DC ；（2）求二面角E ﹣AB ﹣P 的值；（3）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，只要证明=0，即可得出⊥．（2）设平面ABE 的法向量为=（x ，y ，z ），利用，可得取，取平面PAB 的法向量为=（1，0，0），设二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角为θ，利用cos =即可得出．（3）=（﹣2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），设平面PBD 的法向量为=（x ，y ，z ），利用，即可得出，设直线BE 与平面PBD 所成角的为α，利用sin α=|cos |=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （0，1，0），P （0，0，2），C （﹣2，2，0），D （﹣2，0，0），E （﹣1，1，1），∴=（﹣1，0，1），=（0，2，0），∴=0，∴⊥， ∴BE ⊥DC ．（2）解： =（0，1，0），设平面ABE 的法向量为=（x ，y ，z ），则，即，取=（1，0，1），取平面PAB 的法向量为=（1，0，0）， 设二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角为θ，cos===，由图可知：二面角E ﹣AB ﹣P 的平面角θ为锐角， ∴．（3）解：=（﹣2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），设平面PBD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，化为，取=（1，﹣2，﹣1），设直线BE 与平面PBD 所成角的为α，则sin α=|cos|===．19．设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x﹣1，其中实数k1，k2满足k1k2+1=0．（1）证明：直线l1与l2相交；（2）试用解析几何的方法证明：直线l1与l2的交点到原点距离为定值；（3）设原点到l1与l2的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最大值．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）假设l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+1=0，得k12+1=0，这与k1为实数的事实相矛盾，故l1与l2相交．（2）由（1）知k1≠k2，联立方程组求得交点坐标，然后由两点间的距离公式求得直线l1与l2的交点到原点距离为定值；（3）利用点到直线的距离和不等式的性质进行解答．【解答】证明：（1）反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+1=0，得k12+1=0，这与k1为实数的事实相矛盾，∴k1≠k2，故l1与l2相交．（2）由（1）知k1≠k2，由方程组解得交点P的坐标（x，y）为，而x2+y2=+===1．即l1与l2的交点到原点距离为1．解：（3）d1+d2=+=+=+====，当|k1|=1即k1=±1时，d1+d2的最大值是．2016年11月2日。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期周末统测(十二)数学试题 Word版含答案
2017-2018学年数学试卷(十二)一、选择题：1.函数2sin cos 44+-=x x y 的最小周期是（ ） A ．π B ．π2 C ．2π D ．4π2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则)42sin(πθ+的值为（ ）A ．1027-B ．1027 C ．102- D ．1023.若ABC ∆的内角满足322sin =A ，则=+A A cos sin （ ） A ．315 B ．315- C ．35 D ．35-4. 函数1)12(sin )12(cos 22-+--=ππx x y 是（ ）A ．周期为π2的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π2的偶函数5.设ABC ∆的三个内角为C B A ,,，向量)sin ,sin 3(B A m =，)cos 3,(cos A B n =，若)c os (1B A n m ++=⋅，则C 等于（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6.求3210tan 50cos 1-+的值（ ） A ．3 B ．0 C ．32- D ．3-7.当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．34 8.锐角三角形的内角B A ,满足B AA tan 2sin 1tan =-，则有（ ）A ．0cos 2sin =-B A B ．0cos 2sin =+B AC ．0sin 2sin =-B AD ．0sin 2sin =+B A9.已知0cos 3sin =++a x x ，在)2,0(π内有相异两解βα,，当23<<-a 时，则=+βα（ ）A ．38π B ．37π C ．π2 D ．35π 10.定义运算bc ad db ca -=.若71cos =α，1433cos sin cos sin =ββαα，20παβ<<<，则β等于（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π二、填空题11.在ABC ∆中，2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则=C sin log 2 .12.函数x xxy 2cos sin 1cos 2--=的值域是 . 13.设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则)122sin(πα+的值为 . 14.若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题15.求值（1）18sin 45sin 27cos 18sin 45cos 27sin ++（2）80sin 2)]10tan 31(10sin 50sin 2[2++16.已知函数)0(23cos 3cos sin )(2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）写出函数的单调递减区间； （2）设]2,0[π∈x ，)(x f 的最小值是2-，最大值是3，求实数b a ,的值.17.已知函数)4sin()4sin(sin )tan 11()(2ππ-+++=x x m x x x f . （1）当0=m 时，求)(x f 在区间]43,8[ππ上的取值范围；（2）当2tan =α时，53)(=αf ，求m 的值. 18.点P 在直径1=AB 是半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且1=PT ，α=∠PAB ，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？19.已知向量)2,2cos (x a -=，)2sin 32,2(x b -=，函数4)(-⋅=b a x f . （1）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值并求出相应x 的值；（2）若将)(x f 图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的21倍，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位得到)(x g 图象，求)(x g 的最小正周期和对称中心； （3）若1)(-=αf ，)2,4(ππα∈，求α2sin 的值.六安一中2015—2016学年第二学期高一年级周末统测数学试卷(十二)参考答案一、选择题：二、填空题： 11．21-；12．]3,81[-；13．50217；14．]2,(-∞三、解答题：15．（1）原式145tan 18cos 45cos 18cos 45sin 18sin 45sin )1845cos(18sin 45cos )1845sin(===+-+-=（2）62)1050sin(22)]1060cos(10sin 10cos 50[sin 210cos 80sin 2)]10sin 60sin 10cos 60(cos 10sin 210cos 50sin 2[80sin 2)]10cos 10sin 310cos (10sin 50sin 2[80sin 2)]10tan 31(10sin 50sin 2[2=⋅+=⋅-+=⋅++=⋅++=++16．解：b a x a x a x f +++-=23)2cos 1(232sin 21)( b x a b x a x a +-=+-=)32sin()2cos 232sin 2π（1）1211125,2323222πππππππππ+≤≤++≤-≤+k x k k x k ，∴Z k k k ∈++],1211,125[ππππ为所求的单调递减区间； （2）1)32sin(23,32323,20≤-≤-≤-≤-≤≤πππππx x x ，3)(,223)(max min =+=-=+-=b a x f b a x f ，⎩⎨⎧+-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-3223223b a b a b a而得)(x f 的值域为]221,0[+. （2）x m x x x m x x x x f 2cos 22sin 2122cos 12cos 2cos sin sin )(2-+-=-+= 21]2cos )1(2[sin 21++-=x m x ，由2t a n =α，得54t a n 1t a n 2c o s s i n c o s s i n 22s i n 222=+=+=ααααααα，53tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos 222222-=+-=+-=ααααααα，所以21)]1(5354[2153+++=m ，解得2-=m . 18．解：如图所示，AB 为直径，∴90=∠APB ，1=AB ，ααsin ,cos ==PB PA .又PT切圆于P点，α=∠=∠PAB TPB ，∴αs i n2121⋅⋅+⋅=+=∆∆PB PT PB PA S S S TPB PAB ABTP 四边形 41)42sin(4241)2cos 2(sin 41)2cos 1412sin 41+-=+-=-+=πααααα（. ∵20πα<<，43424ππαπ<-<-，∴242ππα=-即83πα=时，ABTP S 四边形最大.19．解：（1）)62sin(442sin 3242cos 24)(π+-=--+-=-⋅=x x x b a x f .∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x ，当6762ππ=+x ，即=x 2π时，2)(max =x f .（2）由题意x x x g cos 2)2sin(2)(-=+-=π，∴)(x g 的最小正周期为π2，对称中心为)0,(πk （Z k ∈）.（3）由41)62s i n (1)(=+⇒-=πααf ，由)2,4(ππα∈，得]67,32[62πππ∈+x ，∴415)62cos(-=+πα, ∴11sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 66666642ππππππαααα=+-=+-+==.。