初中数学竞赛讲座之二--绝对值
第二讲绝对值难题讲解学习
第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零•即卜当金〉0时！|a|= J 0）当离=0时|［怜当印<0时・绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关•在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数.反之，相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a, b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1) I a+b | =| a | +| b | ;⑵| ab | = | a || b |; (3) | a-b | = | b-a |;⑷若 | a | =b,则a=b;⑸若| a |v| b |,贝U a v b;⑹若a> b，则 | a |>| b | .解（1）不对.当a, b同号或其中一个为0时成立.（2）对.⑶对.⑷不对.当a > 0时成立.⑸不对.当b > 0时成立.⑹不对.当a + b> 0时成立.例2设有理数a, b, c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简| b-a | + | a+c |+ I c-b |.團1-1解由图1-1可知，a>0, b v 0, c v 0,且有| c | >| a |>| b |> 0.根据有理数加减运算的符号法则，有b-a v 0, a+ c v 0, c-b v 0.再根据绝对值的概念，得| b-a | =a-b,| a+c | =-(a+c) , | c-b | =b-c.于是有原式=(a -b) -(a+c)+(b -c)=a -b-a-c+b-c=-2c.例3 已知x v -3,化简：| 3+ | 2- | 1+x |||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=| 3+ | 2+(1+x) | | (因为1+x v 0)=| 3+ | 3+x | |=| 3-(3+x) | (因为3+x v 0)=| -x | =-x.例4若血弄0,则占+上十二询所有可能值是什么? l a! I b l l c l解因为abc丰0,所以a丰0, b^ 0, c丰0.=1 a, b, c均大于零时，原式=3;(1)当⑵当a, b, c均小于零时，原式=-3;⑶当§ a, b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1;⑷当§ a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式--1瞅昏詁訥< 可能的值W辽说明本例的解法是采取把a, b, c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用.例5若丨x丨=3,| y | =2，且丨x-y | =y-x,求x+y的值.解因为 | x-y |> 0,所以y-x》0, y >x•由 | x | =3,| y | =2 可知，x v 0, 即x=-3.(1) 当y=2 时，x+y=-1 ；(2) 当y=-2 时，x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6 若a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1, 试计算 | c-a | + | a-b |+ | b-c | 的值.解a , b, c均为整数，贝U a-b, c-a也应为整数，且| a-b | 19,| c-a | 99为两个非负整数，和为1,所以只能是| a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1, ①或| a-b | 19=1 且 | c-a | 99=0.②由①有a=b且c=a± 1,于是| b-c | = | c-a | =1;由②有c=a且a=b ± 1,于是| b-c | =I b-c | =1 且 |a-b | + | c-a | =1,| a-b | =1.无论①或②都有所以I c-a | + | a-b | + | b-c | =2.例孑若I x-y+3 I I x+y-1999 I互为相反数，求的值. x-y解依相反数的意义有I x-y+3 | =- | x+y-1999 | .x-y+3 I =0 且I x+y-1999 I 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有I=0•即(s + y-1999 = 0, ②由①有x-y=-3,由②有x+y=1999 .②-①得2y=2002, y=1001 ,所以幫一y x ~ y 一孑例8 化简：| 3x+1 I + I 2x-1 |.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简I 3x+1 I,只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分Q冷与篡＜冷两种情况加以讨论的，此瞅赵是一个分界点-类似地’对于1 2盖J I而言，葢二+是一个分界点r为同吋去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点J和:标在谿由上把数轴分为三个部分（如图1 -2所示），即这样我们就可以分类讨论化简了.區1解(1)当囂<冷时.原式=-(3x+1) -(2x-1)= -5x ;(2)当^<x<|时，原式=(3x+1) -(2x-1)=x+2 ;⑶当耳”时，原式=(3x+1)+(2x -1)=5x .即x + 2,当-时;5x(当Q右吋.说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者.解有三个分界点：-3, 1, -1 .(1) 当x w -3 时，y=-(2x+6) -(x-1)+4(x+1)=x -1,由于x< -3，所以y=x-1w -4, y的最大值是-4.(2) 当-3< x w-1 时，y=(2x+6) -(x -1)+4(x+1)=5x+11 , 由于-3w x W -1,所以-4w 5x+11 w 6, y的最大值是6.(3) 当-1w x w 1 时，y=(2x+6) -(x-1)-4(x+1)= -3x+3, 由于-1 w x W 1，所以O w -3x+3w 6, y的最大值是6.(4) 当x> 1 时，y=(2x+6)+(x -1)-4(x+1)= -x+1 ,由于x> 1,所以1-x w 0, y的最大值是0.综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例10 设a v b v c v d，求I x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d |的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦.若能利用| x-a|, | x-b | ,| x-c |,| x-d |的几何意义来解题，将显得更加简捷便利.解设a, b, c, d, x在数轴上的对应点分别为A, B, C, D, X,则| x-a |表示线段AX之长，同理，| x-b | , | x-c | , | x-d |分别表示线段BX, CX DX之长.现要求| x-a |,| x-b |,| x-c |, | x-d |之和的值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A, B, C, D四点距离之和最小.因为a v b v c v d，所以A, B, C, D的排列应如图1 - 3所示:图1-3所以当X在B, C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC即(d-a)+(c -b).例11若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有I 4-5x | =4- 5x且| 1-3x | =3x-1.故x应满足的条件是(4-5x>O r解之得号£ V — *此时原式=2x+(4 -5x) -(1 -3x)+4=7 .练习二1. x是什么实数时，下列等式成立：(1) I (x -2)+(x -4) | = | x-2 | + | x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x -5) | =(7x+6)(3x -5).2. 化简下列各式：(2) | x+5 | + | x-7 | + | x+10 | .3. 若a+ b v 0，化简 | a+b-1 | - | 3-a-b | .4. 已知y= | x+3 | + | x-2 | - | 3x-9 |，求y 的最大值.5. 设T= | x-p | + | x-15 | + | x-p-15 |，其中0 v p v 15,对于满足p< x< 15 的x来说，T的最小值是多少？6. 已知a v b,求| x-a | + | x-b |的最小值.7. 不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C,如果| a-b | + | b-c | = | a-c |，那么B点应为().(1) 在A, C点的右边；(2) 在A, C点的左边；(3) 在A, C点之间；(4) 以上三种情况都有可能.。
第二讲-绝对值
第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。
一．基础知识回顾：1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 。
5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。
7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a=（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考： 若1a <2a <3a <…<n a ①当n 为偶数时，当x 满足什么条件时，代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值.（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a >-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当 m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程无解二、【典型例题分析】（一）绝对值的化简：含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数）。
七年级数学竞赛训练题(绝对值)
七年级数学竞赛题之二---绝对值知识点：1.去绝对值的符号法则：a =⎪⎩⎪⎨⎧-=)0()0(0)0( a a a a a2.绝对值的基本性质:（1）非负性质：a ≥0 ，b a ab =，ba b a =（b ≠0）, a 2=22a a =,b a b a +≤+, b a b a b a +≤-≤- 3.绝对值的几何意义 从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；b a -表示数a 和数b 两点间的距离。
练习1.若一个数的绝对值为4，则这个数是 。
2.已知︱a-2︱+︱b-3︱=0,则a= ,b= .3.若a 与b 互为相反数，则100a+100b=( )A.0B.1C.2D.34.绝对值和相反数都等于本身的数是 。
5.若a 是有理数，则︱a ︱一定是（ ）A.正数B.非正数C. 负数D. 非负数6.下列说法正确的是（ ）A.-︱a ︱一定是负数B.若︱a ︱=︱b ︱，则a 与b 互为相反数C.只有两个数相等时它们的绝对值才相等D.若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数7.若︱2a ︱=-2a,则a 一定是（ ）A.正数B.负数C. 非正数D. 非负数8.（第16届“希望杯”邀请赛“）如果∣a ∣=3,∣b ∣=5,那么a= ,b= , ∣a+b ∣-∣a-b ∣的绝对值等于 .9.已知∣x ∣=5,∣y ∣=1,那么∣∣x-y ∣-∣x+y ∣∣= .10.数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A,B 两点的距离为3，那么 点B 对应的数是 。
11.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则a-3= .12.已知a 、b 为有理数，且a ＞0,b ＜0,a+b ＜0,将四个数a,b,-a,-b 按小到大的顺序排列是 。
13.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简b c b a --+的结果为（ ）A.aB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c14.在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：①abc ＜0 ②c a c b b a -=-+- ③(a-b)(b-c)(c-a)＞0④a ＜1-bc.其中，正确的结论有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.114.计算：214131412131---+-= 。
初一数学竞赛讲义2(绝对值)
第2讲 绝对值 班级______姓名_______绝对值是数学中的一个基本概念。
是学习相反数、有理数的运算等相关知识的基础。
与绝对值有关的知识点主要有：(1)绝对值的非负性；(2)如何化简含有绝对值的式子；(3)利用绝对值求最大值或者最小值。
在后继课程中，我们还有将绝对值与不等式、函数、方程等知识联系起来。
绝对值的基本性质：(1),0||,0a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩,这是化简绝对值的根据；(2)||0a ≥，称为绝对值的非负性。
这是由绝对值的几何意义决定的。
绝对值最小的数为0，因此一个绝对值的取值最小也是0，利用这一点，解题非常有用。
例1、已知|||20||20|y x b x x b =-+-+--,其中，0<b<20,b ≤x ≤20,那么y 的最小值为______. 分析:结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值的符号。
例2、式子||||||ababa b ab ++的所有的可能的值有（ ）A.2 个B.3 个C. 4 个D.无数个例3、已知|2||1|0ab b -+-=，求1111...(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值。
例4、已知a 、b 、c 为整数，且|a-b|+|c-a|=1，求||||||c a a b b c -+-+-的值。
分析：需要先求出a,b,c 的值。
例5、化简(1) |21|x - （2）|1||3|x x -+-分析：需要分情况讨论，我们可以借助于数轴。
例6、|x-3|+|x+2|的最小值为_______，|x-3|—|x+2|的最大值为______.分析：画出数轴，根据其几何意义。
练习1、若有理数a 、b 满足|a+4|+|b —1|=0，则a+b=_______2、若|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a ，则a+b=________.3、若m 是有理数，则|m|—m 一定是( )A.零B.非负数C. 正数 D 负数4、化简 (1) |3—x| (2) |3x —2|+|2x+3|5、已知a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，求||||||||a b c abc a b c abc +++的值。
七年级数学竞赛 第02讲 绝对值
七年级数学竞赛第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b ±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p ≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。
(完整版)七年级上专题讲座有理数及其运算绝对值篇
第二讲 有理数及其运算②——再探绝对值绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。
它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。
一 知识点精讲1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。
2、去绝对值符号的法则。
0000a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭- 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。
4、技能构建。
（1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图a －b<0，b －a>0，a ＋b<0（2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。
如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b（3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。
（4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b（5）|ab|＝|a|·|b|a ab b=（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2（6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。
它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。
二 典型例题讲解及思维拓展：例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。
例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。
例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a||例4：已知，x<y<0，设M=|x|，N=|y|，p= ，则M 、N 、p 的大小关系是___________。
例5：（湖北省选拔赛题）若|a|=5，|b|=3，且|a－b|=b －a ，那么|a+b|=___。
七年级数学专题讲座——绝对值
｜x｜=3
-4
-3
-2
-1
0
1Leabharlann 2345
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等 的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相 反数的绝对值相等也成立．
例题分析
例1 a，b为实数，下列各式对吗？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
不对．
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；
例题分析
解: 依相反数的意义有 ｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜． 因为任何一个实数的绝对值是非负数， 所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999． ②-①得2y=2002， y=1001， 所以
例题分析
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜
对 对
(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
不对．
不对．
例题分析
例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示， 化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解: 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0， 且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0． b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 所以 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
说明:本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个 数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解 决绝对值问题时很常用．
初中数学竞赛——绝对值
第2讲 绝对值知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．五. 含绝对值的方程（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:a b a b a b -≤+≤+七. 含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）（1） 如果n 为奇数，则当12n x a +=时取最小值；（2） 如果n 为偶数，则当122n n a x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．【例2】 已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d +++的值.c b0 a【例4】 化简：12x x -+-.【例5】 化简：525x x +--.【例6】 化简：23132x x x ++---.【例7】 化简：5423x x x ++-++；【例8】化简：21x x-+. 【例9】化简：121x x--++.【例10】已知0x<，化简：23x xx x---.【例11】若25x<<，化简：5252x x xx x x---+--.【例12】 若0a <，且ax a≤，化简：12x x +--.【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.二. 绝对值方程【例15】 解方程：（1）2(1)5x x --+=； （2）576x --=-；【例16】4329+=+.x x【例17】解方程：（1）143-+-=；x x（2）324+-=；x x（3）13-=+．x x【例18】解方程：|||4|5x-=.【例19】解方程：||48|3|5+-=.x x【例20】 解方程：324x x -+=.【例21】 解方程：3212x x x --+=+【例22】 解方程：213x --=.【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】 解不等式： |35|10x +≤.【例25】 解不等式：23x x +>-.【例26】 解不等式：|3||21|2x x +--<.【例27】 解不等式：4231x x ---≤.【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.【例33】 求35x x ++-的最小值.【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.（2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．作业1. 已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--.2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c ++.4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．6. 化简：2325x x x x --．7. 化简：123x x x -++--．a b 08. 解方程：100100300x x ++-=．9. 解方程：116x x x +-++=.10. 解方程：（1）32368x x ++-=； （2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12. 计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-； （2）31523x x x -+++-； （3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.14. 计算21563x x x ++-++的最小值．15. 已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求b a a b ⋅的值.。
初中绝对值的定义
初中绝对值的定义1. 什么是绝对值？绝对值是数学中的一个概念，它用来表示一个数与零之间的距离。
绝对值常见的表示方法是用两个竖线 || 将数括起来，例如 |x| 表示数x的绝对值。
2. 绝对值的定义绝对值的定义非常简单，就是将一个数的正值保持不变，负值取相反数。
数x的绝对值可以用如下公式表示：|x| =\begin{cases}x, & \text{if } x \geq 0 \\-x, & \text{if } x < 0\end{cases}3. 绝对值的性质绝对值有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
3.1 非负性对于任意实数x，它的绝对值永远不会是负数。
绝对值的结果要么是0，要么是一个正数。
3.2 与0的关系对于任意实数x，如果它是0，那么它的绝对值也是0。
可以说绝对值函数在0处取得了最小值。
3.3 对称性绝对值函数具有对称性，也就是说对于任意实数x，有 |x| = |-x|。
这是因为无论x是正数还是负数，它们与0的距离都是一样的。
3.4 三角不等式绝对值函数有一个重要的性质，就是满足三角不等式。
对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
这意味着两个数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加。
4. 绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，下面我们来介绍几个常见的应用场景。
4.1 距离计算绝对值常常用来计算两个数之间的距离。
例如，我们要计算一个点A的横坐标与原点之间的距离，可以使用绝对值来表示：距离 = |x|这里x表示点A的横坐标。
4.2 解绝对值方程绝对值方程是一个含有绝对值的方程，例如 |x - 3| = 5。
解这类方程需要分情况讨论。
当 |x - 3| > 5 时，等式左边的绝对值大于5，这时x可能是一个正数或一个负数，所以有两个解。
当 |x - 3| = 5 时，等式左边的绝对值恰好等于5，这时x可能是一个正数或一个负数，也有两个解。
初中数学竞赛—绝对值
第2讲 绝对值知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．五. 含绝对值的方程（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:a b a b a b -≤+≤+七. 含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）（1） n（2） 如果n 为偶数，则当122n n a x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．【例2】 已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d+++的值.【例4】 化简：12x x -+-.【例5】 化简：525x x +--.【例6】 化简：23132x x x ++---.【例7】 化简：5423x x x ++-++；【例8】 化简：21x x -+.【例9】 化简：121x x --++.【例10】 已知0x <，化简：23x x x x---.【例11】 若25x <<，化简：5252x x x x x x---+--.【例12】 若0a <，且ax a≤，化简：12x x +--.【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】 a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.二. 绝对值方程【例15】 解方程：（1）2(1)5x x --+=； （2）576x --=-； （3）4426x x -=+．【例16】 4329x x +=+.（1）143x x -+-=； （2）324x x +-=； （3）13x x -=+．【例18】 解方程：|||4|5x -=.【例19】 解方程：||48|3|5x x +-=.【例20】 解方程：324x x -+=.【例21】 解方程：3212x x x --+=+【例22】 解方程：213x --=.【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】 解不等式： |35|10x +≤.【例25】 解不等式：23x x +>-.【例26】 解不等式：|3||21|2x x +--<.【例27】 解不等式：4231x x ---≤.【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.【例33】 求35x x ++-的最小值.【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.（2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．作业1. 已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--.2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c++.4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．6. 化简：2325x x x x --．7. 化简：123x x x -++--．8. 解方程：100100300x x ++-=．9. 解方程：116x x x +-++=.10. 解方程：（2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12. 计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-；（2）31523x x x -+++-；（3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.15. 已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求b a a b ⋅的值.。
初中数学竞赛——绝对值
第2讲 绝对值知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1） 找零点；（2） 分区间；（3） 定正负；（4） 去符号．五. 含绝对值的方程（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解．（2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:a b a b a b -≤+≤+七. 含有绝对值的代数式的极值问题 对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）（1）（2） 如果n 为偶数，则当122n n a x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．【例2】 已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d+++的值.【例4】 化简：12x x -+-.【例5】 化简：525x x +--.【例6】 化简：23132x x x ++---.【例7】 化简：5423x x x ++-++；【例8】 化简：21x x -+.【例9】化简：121x x--++.【例10】已知0x<，化简：23x xx x---.【例11】若25x<<，化简：5252x x xx x x---+--.【例12】若0a<，且axa≤，化简：12x x+--.【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.二. 绝对值方程【例15】 解方程：（1）2(1)5x x --+=；（2）576x --=-；（3）4426x x -=+．【例16】 4329x x +=+.（1）143x x -+-=；（2）324x x +-=；（3）13x x -=+．【例18】 解方程：|||4|5x -=.【例19】 解方程：||48|3|5x x +-=.【例20】 解方程：324x x -+=.【例21】 解方程：3212x x x --+=+【例22】 解方程：213x --=.【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】 解不等式： |35|10x +≤.【例25】 解不等式：23x x +>-.【例26】 解不等式：|3||21|2x x +--<.【例27】 解不等式：4231x x ---≤.【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.【例33】 求35x x ++-的最小值.【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.（2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．作业1. 已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--.2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c++.4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．6. 化简：2325x x x x --．7. 化简：123x x x -++--．8. 解方程：100100300x x ++-=．9. 解方程：116x x x +-++=.10. 解方程：（2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12. 计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-；（2）31523x x x -+++-；（3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.15.已知1223=++-+-，当x ay x x xa b⋅的值.=时，y的最小值是b，求b a。
苏科版七年级上册数学竞赛讲义：聚焦《绝对值》专题.doc
聚焦《绝对值》【图解考点】求出各个分界点去掉绝对值符号化为一般方程求解 【技法透析】1. 绝对值的基木性质在含冇绝对值式了的运算及变形中，绝对值的性质冇很重要的作用，其主要性质冇: 若a 、b为有理数，贝IJ ： (1) 非负性:©1^1 >0；②若问+ 01=0,则 a=b = 0；绝对值的垂本性质 I a6 | = | a I • \ b \绝对值的相关知识 去绝对值符号的方法 定义 类型 绝对值方程 从数轴上“读取"信息.运用数形结合法去绝对值符号运用••零点分段法”分类讨论去绝对值符号绝对值符号中含冇未知数的方程含爹贡或多个绝对值符号的较复朵的绝对值方程 解绝对值方程的一般步聚 根据未知数的取值范悯分类讨论 若 I a I + | 6 | =0 则 Q =6=0非负性 =a由已知条件去绝对值符号(2)若同=|幵贝ija=±b；£ _Hb~\b\④|a|-|^|< a±b\ <\a\ + \b\.特别关注：若干个非负数之和为0,则这儿个非负数必须同时为0,即：\a\ + \b\+- + n\ =0,贝iJa=b=・・・=n=0.2.去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数(或式)的止负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：⑴由己知条件去绝对值.(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值.(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号, 即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可.3.绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为卜| 它的解法情况如下：①当a>0吋，方程有两解：x=a或x=—a,②当a=0时,方程有一解:x=0,③当a<0时，方程无解.(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点.②根据未知数的収值范围分类讨论.③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程小，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法.在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程.特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法.4.绝对值的儿何意义在生活中的应用在实际生活川经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时乂使实际问题数学化，从而运用绝对伯的几何定义求解.一般地，设山，a2, a3,…％是数轴上依次排列的点表示的有理数,对于卜-q| +卜-°2〔+…卜-4」，贝U：(1)当n为奇数时，此式在x= a n+l时取最小值；~2~(2)当n为偶数时，此式在时取最小值.I r1【名题精讲】赛点1绝对■值的化简【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对俏化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性 的判断是化简的关键，木例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，绝対值符号内均为负数，于是有当a<0时H=-a.每一-( - ------ )・(— --------- )-(— ---------- —)(丄一 1)=— +1=^^2017 2016 2016 2015 2015 2014 2 2017 2017【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对 绝对值符号中的数(或式)的正负性进行判断.去掉绝对值符号有三种方法，本例町以由 已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1迈的性质顺利达到去掉绝 对值符号的目的.赛点2绝对值的分类讨论例 2 若 abc<0, a+b+c>0,且 x= = + £ + ：，试求代数式(1 ~2x)2016—2016 x+ 2016的值.【切题技巧】 解决本题的关键是对a 、b 、c 的符号的所有可能情况进行分类讨论， 由abc<0可知a 、b 、c 中有一个或三个全为负数，又由a+b+c>0知a 、b^ c 不可能全为 负数，所以a 、b 、c 中有一个负数，两个正数.【规范解答】 由abc<0,可知a 、b 、c 中有一个负数或三个全为负数，又由a+b+ c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以可得a 、b 、c 中有一个负数，两个正数，依x 的轮 换性，不妨设a>0、b>0> cvO •则:x = —+ —+= 1 .所以原代数式的值为：(1—2X1)""—2016X 1+2016=1—2016a b -c+2016=1.【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用己知条件去掉绝 对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法.在分类讨论时，分类要 全面、准确、不失一•般性. 【同类拓展】 已知有理数x, y, z 满足xy<0, yz>0,且卜|=3, \y\ =2, |z + l| = 2 ,C. -2 求x + y+z 的值.-2 1 1 + 1 1 + 1 2017 2016 2016 2015 2015+ -- --------- H ------ 1 3 2 2 【规范解答】原式= 1 1 — 1 zlL 凹+日的值是(D ) 【同类拓展「.有理数a, b 的大小关系如图，则心 弭2 WD- -3A. 0B. 1 2014 例1赛点3求卜_1| +卜_2| +卜_3| + ..・+卜_2016|的最小值.【规范解答】由绝对值的几何意义知lx—缶在数轴上表示数x与数a两点Z间的距离,故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…，2015, 2016 的点的距离和最小.【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…2016的点的距离之和最小,可看出当1008^x^1009时，原式的值最小，把x=1008代入原式中得:原式=|1008-1| + |1008-2| + |1008-3| + --- + |1008-2016|=1007+1006+1005+-•+1 +0+1 +2+3+・-1008=2 (1+2+3+-1007) +1008【借题发挥】⑴由绝对值的儿何意义可知如图①当aWxWb时，|x-6f| + |x-Z?|的值最小,如图②当x=b时，|x-a| + |x-/?| + |x-c|的值最小.a xb a b(x) c(D ②(2)—般地,设％, a2, a3-a n是数轴上依次排列的点表示的有理数,若n为奇数，则当x= a,”]时，\x-a{\ + \x-a2\ + -- + \x-a n\的值最小；若n 为偶数，则当aa fl WxW a n时,-- ——+]2 2 2卜_ q | +卜_色| +…+卜_ 的值最小.(3)在实际牛活屮，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题.如某公共汽车运营线路AB段上有A、B、C、D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加汕站M的路程总和最小，试分析加汕站M在何处最好？求最小路程总和，即求M到A、B、C、D的距离和最小，不妨设A、B、C、D四点在数轴上且分别表示为数a, b,c, d(a<c<d<b), 点M表示的数为工，则点M到A、B、C、D四点距离和为\x-a\ + \x-b\ + \x-c\ + \x-d 由绝对值儿何定义可求解.【同类拓展】3.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑, 问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数.一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2 台，这样调出的电脑总数最小数目为12台.赛点4绝对值方程例4 解方程|x-2| + |2x+l| = 10【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x —2=0, 2x+l=0,分别得到x=2, x=—丄用2,—丄将数轴分成三段：2 2£<—夕・一*£工V2，工$2・然示在每一段匕右掉绝对值花号山K懈.【规范解答】分三种情况考虑(1)当工<一*时，原方程可化为：一(工一2) —(2文+1) = 10,解得工=一3•・・一3在所给的范围』<一*内・・・Y=-3是原方程的解.(2)当一2时•原方程可化为一(丁一2) + (2=+1) = 10,解得工=7V7不是所缔的范lfl-y<T<2内・・・」=7不是原方程的解・(3》当工22时，原方程可化为：(x-2)+(2x+l)-10 ・•〜=¥•・・工=¥在所给的范附x>2内，.••工=¥是原方程的解.综上所述山=一3,工=¥是原方程的解•【借题发挥】对于含有多重绝对值符号的方程，可用零点分段法，从内向外逐个去掉绝对值符号，只是在分类讨论时要注意未知数的取值范围，以免出错，如解方程：x-|2x+l||=3,解题时运用“零点分段法”从内向外，根据绝对值的代数定义、性质去简化方程.【同类拓展】4.己知|兀+2田1_兀| = 9_»_5| —11 -y|,求x+y的最大值和最小值.。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“｜｜”来表示。
例如，数字 5 的绝对值是 5，记作|5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是5，记作|－5| ＝ 5。
从几何意义上来说，绝对值就是一个数到原点 0 的距离。
距离是没有方向的，所以绝对值一定是非负的。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的结果总是非负的，即对于任意实数 a，有|a| ≥ 0。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么|a| ＝｜a|。
3、若|a| ＝ a，则a ≥ 0；若|a| ＝ a，则a ≤ 0这意味着当绝对值符号内的数为非负数时，去掉绝对值符号后，数不变；当绝对值符号内的数为负数时，去掉绝对值符号后，要在数前加上负号。
三、绝对值的计算1、正数的绝对值是它本身例如，｜7| ＝ 72、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－8| ＝ 83、 0 的绝对值是 0即|0| ＝ 04、多个数的运算当计算包含绝对值的式子时，需要先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行运算。
例如，计算|3 5|，先计算 3 5 ＝－2，因为－2 是负数，所以|3 5| ＝｜－2| ＝ 2。
四、绝对值方程1、形如｜x| ＝ a （a ≥ 0）的方程当a ≥ 0 时，方程|x| ＝ a 的解为 x ＝ ±a。
例如，｜x| ＝ 5，那么 x ＝ 5 或 x ＝－5。
2、形如｜ax ＋ b| ＝ c （c ≥ 0）的方程先将方程变形为 ax ＋ b ＝ ±c，然后分别解这两个方程。
例如，｜2x 1| ＝ 3，可变形为 2x 1 ＝ 3 或 2x 1 ＝－3，分别解得x ＝ 2 或 x ＝－1。
五、绝对值不等式1、形如｜x| ＜ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 a ＜ x ＜ a。
例如，｜x| ＜ 3，解集为－3 ＜ x ＜ 3。
2、形如｜x| ＞ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 x ＜ a 或 x ＞ a。
竞赛推免第二讲：绝对值
第二讲：绝对值绝对值化简1.绝对值的化简例1 若2<x<6时，化简_______.解析 2<x <6，x -2>0，x -6<0，点评： 去绝对值符号的关键是根据条件判断绝对值符号里的式子的正负性质. 例2：已知a<0，ab<0，化简的结果是（ ）A. B.1C.7D.解析 a<0，ab<0，b>0，a-b -3<0，4+b-a >0， 故选A 点评 ：从条件a <0，ab <0得出a-b -3和4+b-a 的正负性质有一定的难度，需要我们平时积累经验.去绝对值符号的问题，往往与数轴联系起来，要求能从数轴上的各点的相对位置，判断绝对值符号里的数或式子的正负性质.例3：如果的值为（ ） A.-1B.3.C.±1D.不确定 解析 :， 与应为两正一负，<0故选A.点评 ：当a >0时，；当a<0时，. 通过它的结果可以判定a 的正负性质.()()()0000a a a a a a ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞＜26x x ---=∴∴()()26262628x x x x x x x ---=----=-+-=-⎡⎤⎣⎦34a b b a ---+-1-7-∴∴∴()()3434341a b b a a b b a a b b a ---+-=----+-=-++--+=-1233121231231,t t t t t t t t t t t t ++=则3121231t t t t t t ++=∴123,,t t t ∴123t t t ∴1231231t t t t t t =-1a a a a ==1a a a a==--二、绝对值的非负性由绝对值的化简可知，正数的绝对值是正数；负数的绝对值是正数；0的绝对值是0，所以，无论a 是何数，总有=0，目前我们学过的非负数还有a 2（a 的偶数次方）.例：若有理数x 、y 满足，则=_______.解析 是一个非负数，也是一个非负数,要使两个非负数的和等于0零，这两个数必为零，所以x +1=0，得x=-1,得y=2004,所=+2004-1+2=1+2004=2005.点评 非负数的性质看上去很前单，但有着广泛的用途，我们知道一般来说，来一个未知数，需要一个方程，但上面只有一个方程，却能求出两个未知数的值，所以，一旦出现未知数的个数多于方程的个数时，不妨试一试看能否将方程化为几个非负然的和等于零的形式。
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第二讲绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，则a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．
(3)对．
(4)不对．当a≥0时成立．
(5)不对．当b＞0时成立．
(6)不对．当a＋b＞0时成立．
例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
于是有
原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．
说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
(1)当y=2时，x+y=-1；
(2)当y=-2时，x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
解依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002，y=1001，
所以
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示)，即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解有三个分界点：-3，1，-1．
(1)当x≤-3时，
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时，
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
(3)当-1≤x≤1时，
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
(4)当x≥1时，
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
例10设a＜b＜c＜d，求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
的最小值．
分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．
练习二
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．。