高中数学向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示.学生版
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示导学案无答案新人教A 版必修4一、【温故互查】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________ 2．怎样理解向量的数乘运算λa（1）模：|λa |= ______；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向_______；λ<0时λa 与a 方向_______；λ=0时λa=0 3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________ 二、【设问导读】 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
【练1】如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD探究（二）：平面向量的坐标表示探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？1、非零向量a 、b 的夹角的定义： _________________________________ 。
高中数学课件 平面向量的基本定理及坐标表示共25页
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高中数学课件 而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲)(学生版)
第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量基本定理的应用高频考点二：平面向量的坐标表示高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线角度2：由向量平行求参数角度3：由坐标解决三点共线问题第四部分：高考真题感悟1、平面向量的基本定理1.1定理：如果e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 1.2基底：不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即0⃗ 不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）a 用基底e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 两种表示，即a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =μ1e 1⃗⃗⃗ +μ2e 2⃗⃗⃗ ，则{λ1=μ1λ2=μ2，进而求参数. 2、平面向量的正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐标运算3.1平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个不共线的单位向量i,j 作为基底，存在唯一一组有序实数对(x,y )使a =xi +yj ,则有序数对(x,y )，叫做a 的坐标，记作a =(x,y ). 3.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ±b ⃗ =(x 1±x 2,y 1±y 2)； （2）数乘向量：若a=(x,y )，则λa =(λx,λy )； （3）向量数量积：若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ⋅b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2； （4）任一向量：设A =(x 1,y 1),B =(x 2,y 2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). 4、平面向量共线的坐标表示若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∥b ⃗ 的充要条件为x 1y 2−x 2y 1=01．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知向量a =(1,m )，b ⃗ =(2,−3)，且a //b ⃗ ，则m =（ ） A ．−32B ．23C ．−12D ．322．（2022·吉林毓文中学高一期中）向量a =(−1,3)，b ⃗ =(2,−1)，则a −2b⃗ 等于（ ） 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试A ．(−5,5)B ．(5,−5)C ．(−3,1)D ．(1,−1)3．（2022·辽宁实验中学高一期中）m ⃗⃗ =(3,−2)，n ⃗ =(1,x)，若()m m n ⊥+，则x = ( ) A ．−8B ．−6C ．6D ．84．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）已知向量a 、b ⃗ 满足a =(0,4)，b ⃗ =(3,0)，则|a −b ⃗ |=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·山西运城·高一期中）与向量a =(3,−4)方向相同的单位向量为（ ） A ．(35,45)B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(−35,−45)D ．(35,−45)高频考点一：平面向量基本定理的应用例题1．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在ΔABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13a ⃗ +12b ⃗ B ．14a ⃗ +12b ⃗ C ．15a ⃗ +12b ⃗ D ．16a ⃗ +12b ⃗例题2．（2022·山西吕梁·二模（文））在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是AD 上一点．若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A ．16B ．12C ．14D ．13例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）如图所示，在△OAB 中，C 是AB 中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC =________（请用a ⃗ ,b⃗ 表示OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.例题4．（2022·全国·高一专题练习）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是DC 的中点，以a ⃗ ,b⃗ 为基底表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________.例题5．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，则存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；②若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；③若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，b ⃗ ，c ⃗ 不共线，则存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；④若a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ，则向量a ⃗ ，b⃗ ，c ⃗ 共面．其中，正确的个数是______． 题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=________ 2．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）已知△ABC 中，点D 满足DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=___________.3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD b ，求BE ⃗⃗⃗⃗⃗ （用a ,b⃗ 表示）．4．（2022·全国·高一单元测试）如图，矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG⃗⃗⃗⃗⃗ =GD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)用向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .高频考点二：平面向量的坐标表示例题1．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））已知向量a ⃗ =(0,2)，b ⃗ =(−1,3)，c ⃗ =(−2,5)，且c ⃗ =xa ⃗ +2b ⃗ ，则x 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．-2D ．2例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ =(−1,2)的夹角为π，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，A 点的坐标为(3,4)，则B 点的坐标为（ ） A ．(−1,3)B ．(3,4)C ．(1,−8)D ．(5,0)例题3．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知向量a ⃗ =(−1,1)， b ⃗ =(1,−2)， 若ma ⃗ +nb ⃗ =(9,−8) (m,n ∈R )， 则m −n 的值为______．例题4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P 1(1,2)、P 2(3,−1)，则点P 坐标为______________.例题5．（2022·河北武强中学高一期中）已知A (1,3)，B (2,−2)，C (4,1). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求D 点的坐标； (2)设向量a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若ka ⃗ −b⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求实数k 的值. 题型归类练1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知点A(−1,4),B(2,6),C(3,0)，则满足GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 的G 的坐标为______.2．（2022·广东·仲元中学高一期中）已知M(−2,7)、N(6,1)，点P 是线段MN 上的点，且PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为________．3．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别为A (−1,1)，B (2,0)，C (3,3)．(1)求点D 的坐标；(2)求平行四边形ABCD 的面积．4．（2022·山东潍坊·高一期中）如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =1,DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 与MN 相交于点E ．(1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ和μ的值； (2)用向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =3BC ，E 是线段CD 上的点，直线BD 与直线AE 相交于点P ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD b ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )．(1)若A (1,1)，D (7,4)，C (2,3)，E 是线段CD 的中点，求与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量的坐标； (2)若DE =2EC ，用a ，b ⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出实数λ的值．高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线1．（多选）（2022·山东泰安·高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（）A．e1⃗⃗⃗ =(0,0)，e2⃗⃗⃗ =(1,2)B．e1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e2⃗⃗⃗ =(5,−2)C．e1⃗⃗⃗ =(3,5)，e2⃗⃗⃗ =(6,8)D．e1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e2⃗⃗⃗ =(−2,3)2．（2022·重庆八中高一期中）已知向量a=(2,−1)，则与a平行的单位向量的坐标为（）A．(−2√55,√55)B．(−2√55,√55)或(2√55,−√55)C．(√55,−2√55)D．(√55,−2√55)或(−√55,2√55)3．（2022·湖南·高一课时练习）已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)，求证：//AB CD.角度2：由向量平行求参数例题1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知向量a⃗=(1,2x)，b⃗=(x,x+1)，且a⃗，b⃗方向相反，则x的值为（）A．1 B．1 C．−12D．12例题2．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知向量a⃗=(2,4)，b⃗=(1,m)，若a⃗与a⃗+b⃗共线，则实数m=（）A．−12B．－2 C．12D．2例题3．（2022·河北沧州·二模）已知向量a⃗=(3,1),b⃗=(1,−2)，且(a⃗−b⃗)∥(a⃗+λb⃗)，则实数λ=__________.例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量a⃗=(1,2)，b⃗=(2,−2)，c⃗=(1,λ)．若c⃗ //(2a⃗+b⃗)，则λ=________．例题5．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量a⃗=(3,4)，b⃗=(1,2)，c⃗=(−2,−2)．(1)求|a⃗ |，|b⃗|的值；(2)若(a⃗+b⃗)//(−b⃗+kc⃗ )，求实数k的值．角度3：由坐标解决三点共线问题例题1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点O 为原点，A (1,3)，B (2,−1)，()4,C m ．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知A(−2,a),B(a +1,3),C(−1,2)三点共线，求实数a 的值．例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知平面内有两两不重合的三点A (1,−2a )，B (2,a )，C (2+a,0).若A ，B ，C 三点共线，求实数a 的值.题型归类练1．（2022·四川眉山·三模（理））已知向量a =(1,2)，b ⃗ =(2,k )，a ∥b⃗ ，则k =___________. 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量a =(−1,2)，b ⃗ =(1,2022)，向量m ⃗⃗ =a +2b ⃗ ，n ⃗ =2a −kb ⃗ ，若m n ∥，则实数k =______.3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）向量a =(2,3)，b ⃗ =(x,5)，且a ∥b⃗ ，则x =______． 4．（2022·河北·沧县中学高一期中）已知e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +8e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ). (1)证明：A,B,D 三点共线.(2)若点A (sin θ,cos θ)(θ∈R ),B(√3,3),C(−1,−√3)共线，求θ的值.5．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知a =(1,0),b ⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，ka −b ⃗ 与a +2b⃗ 共线． (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +mb⃗ ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高一期中）设A 、B 、C 、D 为平面直角坐标系中的四点，O 为原点坐标，且，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3) OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5，2)． (1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标; (2)若kAB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，求实数k 的值．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ）A ．12(a +b ⃗ ) B ．12(a −b ⃗ ) C ．12(b ⃗ −a ) D ．12a+b ⃗ 2．（2021·全国·高考真题（理））已知向量a =(1,3),b ⃗ =(3,4)，若(a −λb ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ=__________． 3．（2019·江苏·高考真题）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC的值是_____.。
平面向量.02平面向量的基本定理及坐标运算(A级).学生版
一 、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2）基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+， 即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0， 不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--， 由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛 盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =． （4）证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP知识内容向量的基本定理及坐标运算E 2E 1e 2e 1O ANM关于基底{},OA OB 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点P 一定在l 上． 证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数 t ，使AP t AB =()t OB OA =-，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即P 在l 上． 其中①式可称为直线l 的向量参数方程式（5）向量AB 的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．（3设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ== 注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． （5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．1. 平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A ． AB CD - B ． 1122AB CD -+ C ． 1()2AB CD - D ． ()AB CD -- DBA【例3】 （2008全国）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +CBA【例4】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．例题精讲【例5】如图，平行四边形ABCD中，E F、的交点,若AB=a，、的中点，G为DE BF、分别是BC DCAD=b，试以a，b为基底表示DE、BF、CG．AB【例6】设P是正六边形OABCDE的中心，若OA a=，OE b=，试用向量a，b表示OB、OC、ODO．【例7】（2009北京）已知向量a，b不共线，()R=+∈，d a bc ka b k∥，那么（）=-，如果c d A．1k=且c与d反向k=且c与d同向B．1C．1k=-且c与d同向D．1k=-且c与d反向【例8】已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则AP等于（）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭ C ．()AB AD λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭D ．()AB BC λ-，0λ⎛∈ ⎝⎭【例9】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．【例10】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．FDB【例11】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例12】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONMCBA2．平面向量的坐标表示与运算【例13】 设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ．【例14】 若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________．【例15】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例16】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例17】 若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC =【例18】 若()3,2M -， ()5,1N --且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例19】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例20】 已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例21】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．2【例22】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥,已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C,则D点的坐标为___________．【例23】已知向量()3,1a=，()1,3b=，(),7c k=，若()a c-∥b，则k= ．【例24】在直角坐标系xOy中，已知(3,13)A--，(0,2)B，(2,12)C，求证：A、B、C三点共线．【例25】已知()12a=，，()32b=-，，当ka b+与3a b-平行，k为何值（）A．14B．－14C．－13D．13【例26】已知(1,2),(3,2)a b==-,当实数k取何值时,k a＋2b与2a-4b平行？【例27】 点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【例28】 如的其中一个四等分点P 的坐标．【例29】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = ．【习题1】若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = ( )A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ． a +3b【习题2】已知a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 等于( )A ．9B ．6C ．5D ．3【习题3】（2009广东）已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【习题4】已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．2【习题5】已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ． 12D ．1【习题6】设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个课堂检测【习题7】设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ= ．【习题8】（2010陕西）已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．【习题9】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【习题10】（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( )A ．14a ＋12b B ． 23a ＋13b C ． 12a ＋14b D ． 13a ＋23b。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 新人
2．关于两向量的夹角 (1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一
平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2，在具体求 λ1， λ2 时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
跟踪训练 3 已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将O→B分成 2 1 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝ a，O→B＝b.
2．两向量夹角概念的正确理解 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量 平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的 角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量C→A与向量A→B的 夹角，∠BAD 才是向量C→A与向量A→B的夹角．
|自我尝试|
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作
为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的
向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基
底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内 所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对； 由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
高中数学向量第二节(平面向量的基本定理及坐标表示)精编专题复习pdf版
已知向量 a (2,4) ， b (1,1) ，则 2a b （ ）
A． (5,7) 例3
B． (5,9)
C． (3,7)
解析： 2a b (4,8) (1,1) (5,7) ．
D． (3,9)
答案：A
已知 a (1,0) ， b (2,1) ，（1）当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线；（2）若
例如：如图所示，AB CD ，位置不同，但 AB (2 1,4 2) (1,2)
和 CD (3 2,3 1) (1,2) 坐标相同.
3．坐标运算
坐标
设 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 )
加法
a b (x1 x2 , y1 y2 )
减法
a b (x1 x2 , y1 y2 )
[平面向量]
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理 如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 ，2 ，使 a 1e1 2 e2 ，我们把 不共线的向量 e1 ， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC， BC 的中点，已知 AM c ， AN d ，试用 c ，
数乘
a (x1,x2 )
a∥b
x1 y2 x2 y1
例如： a (1,2) ， b (3,4) ，则：
a b (1 3,2 4) (4,6) ，
a b (1 3,2 4) (2,2) ，
2 | 12
[平面向量]
2a (21,2 2) (2,4) ，
若 a (1,2) 与 b (m, 4) 平行，则满足1 4 2m ，得 m 2 ．
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.4平面向量共线的坐标表
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2.3。
2-2.3。
4 平面向量共线的坐标表示[课时作业]［A组基础巩固］1．若错误!＝（3,4）,A点的坐标为（－2，－1)，则B点的坐标为（）A．（1,3) B．（5，5）C．(1,5）D．(5,4)解析:设B(x,y)，则有错误!＝(x－（－2)，y－(－1）)＝(x＋2,y＋1)＝（3，4），所以错误!解得错误!所以B（1,3）．答案:A2．下列各组向量中,可以作为基底的是( )A．e1＝（0,0），e2＝（－2,1)B．e1＝（4，6），e2＝(6，9）C．e1＝(2，－5），e2＝（－6,4）D．e1＝（2，－3）,e2＝错误!解析：因为零向量与任意向量共线，故A错误．对于B，e1＝2（2,3),e2＝3（2,3）,所以e1＝错误! e，即e1与e2共线．对于D，e1＝4错误!＝4e2,所以e1与e2共线．2答案：C3．已知A，B,C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B（－5，2），若C点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A．－13 B．9C．－9 D．13解析：设C点坐标为(6，y),则错误!＝(－8,8)，错误!＝（3,y＋6）,因为A,B,C三点共线，所以错误!＝错误!，所以y＝－9.答案：C4．设向量a＝（1，－3），b＝(－2，4)，若表示向量4a,3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1) B．（－1，1)C．（－4，6) D．(4，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝3(－2，4)－2（1，－3)＝(－8,18)，4a＋（3b－2a）＝－c，所以（4，－12）＋(－8，18）＝－c,所以c＝(4，－6)．答案:D5．已知两点A（2，－1)，B（3,1）,与错误!平行且方向相反的向量a可能是（）A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3）C．a＝（－1,2）D．a＝（－4,－8）解析：∵错误!＝（1，2)，∴a＝(－4，－8）＝－4(1,2）＝－4错误!，∴D正确．答案：D6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A（5,－1)，B(－1，7)，C（1,2)，则顶点D的坐标为________．解析:设D(x,y），由错误!＝错误!，所以（x－5，y＋1）＝(2，－5),所以x＝7,y＝－6。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一览众山小
诱学导入
材料：若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0)，向量用坐标表示后，两个向量共线的条件也可以变为坐标的形式.
问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，怎样用坐标表示两个向量共线呢? 导入：将b=λa中的向量换成坐标，消掉λ即可.
温故知新
1.平面向量的基本定理如何理解?
答:对于平面上的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量λ1e1和λ2e2，使得a=λ1e1+λ2e2.当e1与e2互相垂直时，叫做把向量a正交分解，但是，在直角坐标平面内，只有用e1=(1,0)，e2=(0,1)作为标准正交基底，向量x i+y j的坐标是(x,y)，本书中所谈到的坐标都是这样的坐标.向量用坐标表示后，向量的加、减及实数与向量的积的运算就可转化为向量的坐标运算了.
2.两个向量共线的条件是怎样定义的?
答:若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0).在由b=λa导出平面向量的坐标表示向量共线的条件时，是在假设a≠0的情况下导出的，事实上，如果在讨论平行时，规定零向量可以与任一向量平行，所以可去掉a≠0的假设.
1。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型三 向量共线的应用 [例 3] 如图所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，O→C ＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标．
【解】 ∵O→C＝14O→A＝14(0,5)＝0，54，∴C(0，54)． ∵O→D＝12O→B＝12(4,3)＝2，32，∴D2，32. 设 M(x，y)，则A→M＝(x，y－5)，A→D＝2－0，32－5＝2，－72. ∵A→M∥A→D，∴－72x－2(y－5)＝0，即 7x＋4y＝20.① 又C→M＝x，y－54，C→B＝4，74， ∵C→M∥C→B，∴74x－4y－45＝0，即 7x－16y＝－20.② 联立①②解得 x＝172，y＝2，故点 M 的坐标为172，2.
答案：C
2．若A→B＝i＋2j，D→C＝(3－x)i＋(4－y)j(其中 i，j 的方向分别与 x，y 轴正方向相同且为单位向量).A→B与D→C共线，则 x，y 的值可能 分别为( )
A．1,2 B．2,2 C．3,2 D．2,4
解析：由题意知，A→B＝(1,2)，D→C＝(3－x,4－y)． ∵A→B∥D→C，∴4－y－2(3－x)＝0， 即 2x－y－2＝0.只有 B 选项，x＝2，y＝2 代入满足． 答案：B
即－4－7＝k＝λλk－101－2k， 解得 k＝－2 或 k＝11. 法二：由已知得A→B，A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11.
|素养提升| 1．两个向量共线条件的表示方法 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)当 b≠0 时，a＝λb. (2)x1y2－x2y1＝0. (3)当 x2y2≠0 时，xx12＝yy12，即两向量的相应坐标成比例．
高中数学 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
结 束
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2． 2 m＝3， m－n＝1， 由平面向量基本定理，得 所以 2m＋n＝1， n＝－1. 3 2 答案： 3 1 － 3
课堂·考点突 课后·三维演
λ1e1＋λ2e2 λ1，λ2，使a＝___________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 ．
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
2．平面向量的坐标运算
结 束
(x1＋x2，y1＋y2) 2 (λx1，λy1) x2 ＋ y 1 1
结 束
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ 1 1 解：∵ BA ＝ OA － OB ＝a－b， BM ＝ BA ＝ a－ b， 6 6 6 ―→ ―→ ―→ 1 5 ∴ OM ＝ OB ＋ BM ＝ a＋ b． 6 6 ―→ ―→ ―→ 1―→ ∵ OD ＝a＋b， ∴ ON ＝ OC ＋ CD 3 1―→ 1―→ 2―→ 2 2 ＝ OD ＋ OD ＝ OD ＝ a＋ b， 2 6 3 3 3 ―→ ―→ ―→ 2 2 1 5 1 1 ∴ MN ＝ ON － OM ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b． 3 3 6 6 2 6 ―→ 1 ―→ 1 5 ―→ 2 2 1 综上， OM ＝ a＋ b， ON ＝ a＋ b， MN ＝ a－ b． 6 6 3 3 2 6
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
结 束
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题 带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理， 如“题组练透”第2题．
2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)
《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一 平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二 平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
2．如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点， 若―A→C ＝λ―AM→＋μ―B→N ，则 λ＋μ＝________.
解析：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建 立平面直角坐标系，如图所示．
设正方形的边长为 1，则―AM→＝1，12，―B→N ＝ －12，1，―A→C ＝(1,1)． ∵―A→C ＝λ―AM→＋μ―B→N ＝λ－12μ，2λ＋μ，
(3)设O为坐标原点，∵―CM→＝―OM→－―O→C ＝3c， ∴―OM→＝3c＋―O→C ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵―C→N ＝―O→N －―O→C ＝－2b ， ∴―O→N ＝－2b ＋―O→C ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴―M→N ＝(9，－18)． 综上可知，M(0,20)，N(9,2)，―M→N ＝(9，－18)．
4．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设―A→B ＝a ，―B→C ＝ b ，―C→A ＝c，且―CM→＝3c，―C→N ＝－2b . (1)求 3a ＋b －3c； (2)求满足 a ＝mb ＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量―M→N 的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵a ＝(5，－5)，mb ＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_12_＋__y_12_.
高中数学课件-第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交考试要求分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.01聚焦必备知识知识梳理1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_______________的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝______________，|a|＝___________.常用结论夯基诊断×√×√2.回源教材(1)已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝____________.答案：3∵a ∥b ，∴4y ＝2×6，解得y ＝3.(2)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为____________.答案：(1，5)突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 1102突破核心命题考 点 一平面向量基本定理的应用DD 如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE.C1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.BA考 点 二平面向量的坐标运算DA1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.反思感悟ABB 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，考 点 三平面向量共线的坐标表示考向 1利用向量共线求参数B2利用向量共线求向量或点的坐标C平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R ).反思感悟突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(三十六)ADAD 因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.BA4.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不D能作为平面内所有向量的一个基底的是( )A.e1与e1＋e2B.e1－2e2与e1＋2e2C.e1＋e2与e1－e2D.e1－2e2与－e1＋2e2。
高一数学平面向量的基本定理及坐标表示(201911整理)
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
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题型一： 平面向量基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A . AB CD - B . 1122AB CD -+ C.1()2AB CD - D. ()AB CD -- DBA【例4】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +CB典例分析板块二.平面向量基本定理与坐标表示【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．AC【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBAB A CPNM【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODO．【例10】 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .【例11】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例12】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭C ．()AB AD λ+，02λ⎛∈ ⎝⎭，D ．()AB BC λ-，02λ⎛∈ ⎝⎭， ABCH•M【例13】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．【例14】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【例15】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF aFC a=-，1DE bEC b=-，若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【例16】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例17】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONMCBA【例18】 在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .【例19】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当12x =-时，y 的取值范围是 ．【例20】 已知P 是ABC ∆所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为S .证明:只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ； ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．【例22】 如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13【例23】 如图，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点， 且::2:1AD DB DE CE ==，AE 、CD 交于点P ，求APC ∆的面积．ABCD E P【例24】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．题型二: 平面向量的坐标表示与运算【例25】 设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为 ．【例26】 若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．【例27】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例28】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例29】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2=【例30】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例31】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例32】 若向量()1a x =-，与()2b x =-，共线且方向相同，求x【例33】 已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例34】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2【例35】 若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )A .3a +bB . 3a -b C.-a +3b D. a +3b【例36】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D ∥B C,已知点A (－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.【例37】 已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．【例38】 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．【例39】 已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A14 B －14C －31D 31【例40】 已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【例41】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R)AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【例，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．【例43】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = .【例44】 设O 为坐标原点，向量()12OA =，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB ，则2OA OB +的坐标为 ．【例45】 正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP =，，(40)OS =，，则RM =（ ）A ．7122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(74)，D ．7722⎛⎫⎪⎝⎭，【例46】 已知(10)(21)a b ==，，，， ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？【例47】 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.【例48】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不超过5，则k 的取值范围是．【例49】 已知向量(1sin )a θ=，，(13cos )b θ=，，则a b -的最大值为 ．【例50】 已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2θ+，若a //b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒【例51】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP OA t AB=+，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。
(2)四边形O AB P能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。