陕西省理科数学高考试卷及答案

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陕西高考理科数学试题及答案详解

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )．A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…… 照此规律，第n 个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a ()-()-的大小，并说明理由．。

2021年陕西省高考理科数学真题及参考答案

2021年陕西省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设()()i z z z z 6432+=-++，则=z （）A .i 21-B .i 21+C .i +1D .i-12.已知集合{}Z n n s s S ∈+==,12，{}Z n n t t T ∈+==,14，则=T S （）A .φB .SC .TD .Z3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）A .60种B .120种C .240种D .480种7.把函数()x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象，则()=x f （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx B .⎪⎭⎫⎝⎛+122sin πx C .⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πx D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx 8.在区间()1,0与()21，中各随机取1个数，则两数之和大于47的概率为（）A .97B .3223C .329D .929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题时测量海岛的高.如图，点G H E ,,在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，成为“表高”，EG 成为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”.则海岛的高=AB （）A .表高表目距的差表距表高+⨯B .表高表目距的差表距表高-⨯C .表距表目距的差表距表高+⨯D .表距表目距的差表距表高-⨯10.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >11.设B 是椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足b PB 2≤，则C 的离心率的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，C .⎦⎤⎝⎛220，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛21.012.设01.1ln 2=a ，02.1ln =b ，104.1-=c ，则（）A .c b a <<B .a c b <<C .c a b <<D .ba c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C ：()0122>=-m y m x 的一条渐近线为03=+my x ，则C 的焦距为.14.已知向量()3,1=a，()4,3=b ，若()b b a ⊥-λ，则=λ.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）求BC ；（2）求二面角B PM A --的正弦值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.519.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212=+nn b S .（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.20.（12分）设函数()()x a x f -=ln ，已知0=x 是函数()x xf y =的极值点.（1）求a ；（2）设函数()()()x xf x f x x g +=，证明：()1<x g .21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点为F ，且F 与圆M ：()1422=++y x 上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PB P A ,是C 的两条切线，B A ,是切点，求P AB ∆面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 解析：设bi a z +=，则bi a z -=，∴()()i bi a z z z z 646432+=+=-++，∴1,1==b a ，∴i z +=1.2.C 解析：当Z k k n ∈=,2时，{}Z k k s s S ∈+==,14；当Z k k n ∈+=,12时，{}Z k k s s S ∈+==,34；∴S T ⊂，∴=T S T .3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.5.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .6.C 解析：所求分配方案数为2404425=A C .7.B解析：逆向：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221sin 12sin 4sin 23ππππx y x y x y 倍横坐标变为原来的左移.8.B解析：由题意记()1,0∈x ，()2,1∈y ，题目即求47>+y x 的概率，如下图所示，故322314343211112111=⨯⨯-=⨯⋅-⨯==AN AM S S P ABCD正阴.9.A解析：连接DF 交AB 于M ，则BM AM AB +=.记βα=∠=∠BFM BDM ，，则DF MD MF MBMB =-=-αβtan tan .而EHEDGC FG ==αβtan ,tan .∴ED EH GC MB ED EH FG GC MB MB MB MB -⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβtan 1tan 1tan tan 故=-⋅=EH GC DFED MB 表目距的差表距表高⨯，∴高=AB 表高表目距的差表距表高+⨯.10.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.11.C 解析：由题意，点()b B ,0.设()00,y x P ，则1220220=+b y a x ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2202201b y a x .故()2202022202022022220221b a by y b c b by y b y a b y x PB ++--=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=，[]b b y ,0-∈.由题意，当b y -=0时，2PB 最大，则b cb -≤-23，∴22c b ≥，∴222c c a ≥-，∴22≤=a c e ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0e .12.B解析：设()()1211ln ++-+=x x x f ，则()02.0f c b =-.易得()()()xx x x x x x f 211121212211+++-+=+-+='.当0≥x 时，()x x x 21112+≥+=+，故()0≤'x f .∴()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴()()0002.0=<f f ，故c b <.再设()()1411ln 2++-+=x x x g ，则()01.0g c a =-，易得()()()xx x x x x x g 4111412412412+++-+⋅=+-+='，当20<≤x 时，x x x x +=++≥+121412，∴()0≥'x g ，故()x g 在[)2,0上单调递增，∴()()0001.0=>g g ，故c a >，综上，b c a >>.二、填空题13.4解析：易知双曲线渐近线方程为x aby ±=，由题意得1,22==b m a ，且一条渐近线方程为x my 3-=，则有0=m （舍去），3=m ，故焦距为42=c .14.53解析：由题意得()0=⋅-b b a λ，即02515=-λ，解得53=λ.15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()36.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()4.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，34.01022221≈+s s .显然<-x y 1022221s s +，∴不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，且矩形ABCD 中，DC AD ⊥，∴以DP DC DA ，，分别为z y x ,,轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -.设t BC =，()()()1000,1,20,1,0,0,，，，，，P t M t B t A ⎪⎭⎫⎝⎛∴()1,1,-=t PB ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,2t AM .∵AM PB ⊥，∴0122=+-=⋅t AM PB ，∴2=t ，∴2=BC .（2）设平面APM 的一个法向量为()z y x m ,,=，由于()10,2，-=AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02202y x AM m z AP m ，令2=x ，得()2,1,2=m.设平面PMB 的一个法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅0202c b a PB n a CB n，令1=b ，得()1,1,0=n.∴14143273,cos =⨯=⋅=nm n m n m，∴二面角B PM A --的正弦值为14143.19.解：（1）∵n b 为数列{}n S 的前n 项积，∴()21≥=-n b b S n nn 又∵212=+nn b S ，∴2121=+-n n n b b b ，即n n b b 2221=+-，∴()2211≥=--n b b n n ，∵212=+nn b S ，当1=n 时，可得231=b .故{}n b 是以23为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知()()22121123+=⨯-+=n n b n ，则2222=++n S n ，∴12++=n n S n .当1=b 时，2311==S a .2≥n 时，()111121+-=+-++=-=-n n n n n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-==2111,23n n n n a n ，.20.解：（1）()[]()()x f x x f x x xf '+'='.当0=x 时，()[]()0ln 0==='a f x xf ，∴1=a .（2）由()()x x f -=1ln ，得1<x .当10<<x 时，()()01ln <-=x x f ，()0<x xf ；当0<x 时，()()01ln >-=x x f ，()0<x xf .故即证()()x xf x f x >+，()()01ln 1ln >---+x x x x .令t x =-1（0>t 且1≠t ），t x -=1，即证()0ln 1ln 1>--+-t t t t .令()()t t t t t f ln 1ln 1--+-=，则()()t tt t t t t t t t f ln 1ln 111ln 111=--++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-='.∴()t f 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.故()()01=>f t f ，得证.21.解：（1）焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛20p F ，到()1422=++y x 的最短距离为432=+p，∴2=p .（2）抛物线241x y =.设()()()002211,,,y x P y x B y x A ，，，则()1121111121412121y x x x x x y x x x y l P A -=-=+-=：，2221y x x y l PB -=：，且15802020---=y y x .PB P A l l ，都过点()00,y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202010102121y x x y y x x y ，故：y x x y l AB -=0021：，即0021y x x y -=.联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y x x y 421200得042002=+-y x x x ，∴020164y x -=∆.∴02020020204416441y x x y x x AB -⋅+=-⋅+=，4420020+-=→x y x d AB P ，∴()()230202320020020151221421442121---=-=-⋅-=⋅=→∆y y y x y x y x d AB S AB P P AB 而[]3,50--∈y .故当50-=y 时，P AB S ∆达到最大，最大值为520.11（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--k k k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。

全国高考理科数学考试卷陕西试卷参考答案

高考理科数学考试真题（陕西卷）参考答案1．D 【解析】()f x 的定义域为M =[-1,1],故C R M =(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D 2．C 【解析】故选择C3．C 【解析】cos ,a b a b a b a b ⋅=<>=，则cos ,1a b <>=，∴cos ,0,a b π<>= ∴a b ∥；而a b ∥，则有||||||=a a b b ·成立4．B 【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5．A 【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-故所求概率为22124ππ-=-，选A.6．D 【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，,a c b d ==，所以12z z =，故A 项正确；若12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故B 项正确；若12||||z z =，则2222a b c d +=+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；22212z a b abi =-+，22222z c d cdi =-+，若2222a b c d +=+，不能推出2222a b c d -=-，ab cd =，∴D 项错误．7．B 【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A=,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。

8．A 【解析】6[()]f f x =，所以33346(20T C ==- 9．C 【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则24040ADEABCSy S ∆∆-⎛⎫⎪⎝⎭，所以y=40-x ，又xy ≥300，，所以x (40-x )≥300 即2403000x x -+≤，解得10≤x ≤3010．D 【解析】取x=25,则[-x ]=[-2.5]=-3,-[x ]=-[2.5]=-2,所以A 项错误；[2x ]=[5]=[522⨯]=2[2.5]=4,所以B 项错误；再取y=28，则[x +y ]=[5.3]=5,[x ]+[y ]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 项错误. 11．9【解析】由a 2=16，b 2=m 得c 2=16+m ，则e =45416c =+=m a ， ∴m =9 12．3π【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=321·31212ππ=⨯⨯）（. 13．－4【解析】作出曲线y=1x -与y=2所表示的区域，令2x －y=z ，即y=2x －z ，作直线y=2x ，在封闭区域内平行移动直线y=2x ，当经过点（－1，2）时，z 取到最小值，此时最小值为－4.14．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·21n n ）（+（n ∈*N ）【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n ·21n n ）（+，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n 2=（－1）n+1·21n n ）（+（n ∈*N ）15．A 【解析】由柯西不等式可得（am +bn ）（bm +an ）≥（bn bm an +am ）2mn （a +b ）2=2 B ．6【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴∆PDE ∽∆PEA ∴PEPDPA PE =而PD =2DA =2 ∴P A =3 PE 2=P A ·PD =6 故PE =6C ．x =θ2cos 4121+，y=θ2sin 41， 0 ≤θ＜π 【解析】x 2+y 2-x=0，（x-21）2+y 2=41，以（021，）为圆心，41为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x =a cos 4121+，y=a sin 41，0 ≤a ＜2π，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数，则0 ≤θ＜π，所以0 ≤2θ＜2π，所以所求圆的参数方程为x=θ2cos 4121+，y=θ2sin 41， 0 ≤θ＜π16．【解析】： 1()(cos ,),cos 2)2f x x x x =-•.1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =- cossin 2sincos 266x x ππ=-sin(2)6x π=-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为222T πππω===，即函数()f x 的最小正周期为π。

高考数学陕西试题及答案

高考数学陕西试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数 \( f(x) = 2x - 1 \)，那么 \( f(2) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 直线 \( y = 3x + 2 \) 与 \( x \) 轴的交点坐标是：A. (0, 2)B. (-2/3, 0)C. (2/3, 0)D. (0, -2)答案：D5. 以下哪个数列不是等差数列？A. 2, 4, 6, 8, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 4, 7, 10, 13, ...答案：D6. 抛物线 \( y = x^2 \) 的顶点坐标是：A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (0, 1)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）7. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a + b = 10 \)，若 \( a \) 和 \( b \) 的最大公约数为2，则 \( a \) 和 \( b \) 的值分别是________、________。

答案：4, 68. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是________。

答案：59. 圆心在原点，半径为7的圆的标准方程是________。

答案：\( x^2 + y^2 = 49 \)10. 若 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \) 且 \( \alpha \) 在第一象限，那么 \( \cos(\alpha) \) 的值是________。

答案：\( \frac{4}{5} \)11. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于________对称。

全国高考理科数学试卷真题(陕西)参考答案解析

全国高考试卷真题(陕西) 理科数学参考答案1．A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．2．C 【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070150(160%)137． 3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．4．B 【解析】由122(1)(1)1nn n nn n n x x C x C xC x ，知215nC ， ∴(1)152n n ，解得6n 或5(舍去)． 5．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 6．A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．7．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．8．C 【解析】初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 9．B 【解析】∵0a b ，∴2a bab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵11 (()())(ln ln)ln()22r f a f b a b ab f ab p，∴p r q．10．D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34z x y=+．由题意可列321228x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z+-=过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max324318z=⨯+⨯=，故选D．11．D 【解析】2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y=-+⇒=-+≤⇒-+≤．如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-．若||1z≤，则y x≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B．12．A【解析】由A知0a b c；由B知()2f x ax b，20a b；由C知()2f x ax b，令()0f x可得2bxa，则()32bfa，则2434ac ba；由D 知428a b c，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b aab c ，得5108a b c ，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 13．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5． 14．22【解析】22ypx 的准线方程为2px，又0p ，所以2px 必经过双曲线221x y 的左焦点(2,0)，所以22p ，22p．15．(1,1)【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x=，所以21y x'=-，所以曲线1y x =在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即21x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 16．1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 17．【解析】（Ⅰ）因为//m n ，所以sin 3cos 0a Bb A ，由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0 又sin 0B ≠，从而tan 3A ，由于0A π<<，所以3A π=．（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A ．而7a =，2b =，3A π=，得2742c c ，即2230c c ．因为0c，所以3c ．故∆ABC 的面积为133sin 22bc A =． 18．【解析】（Ⅰ）在图1中，因为1ABBC ，2AD ，E 是AD 的中点，∠BAD =2π，所以BE ⊥AC ．即在图2中，BE ⊥1OA ，BE ⊥OC ．从而BE ⊥平面1A OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（Ⅰ）知，BE ⊥1OA ，BE ⊥OC ．所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=．如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A B A EBC ED ，BC ED所以B，(E，1A，C ．得22BC(,,0),22 122A C(0,,)22，CD BE (2,0,0).设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==，即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为3． 19．【解析】（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分步为以频率估计概率得T的分布列为从而 250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T12P(40,40)T T0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P ．20.【解析】（Ⅰ）过点(,0)c ,(0,)b 的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率3c a ．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244xy b ． (1) 依题意，圆心(2,1)M 是线段AB 的中点，且|AB |10．易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b ．设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x kk由124x x +=-，得28(21)4,14k k k 解得12k．从而21282x x b =-．于是12|AB ||x x =-==由|AB |10，得22)10，解得23b ．故椭圆E 的方程为221123x y +=．解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244xy b ． (2)依题意，点A ，B 关于圆心(2,1)M 对称，且|AB |10．设11(,)A x y ，12(,)y y y ，则2221144x y b ，2222244x y b ，两式相减并结合12124,y 2,x x y 得12124()8()0x x y y --+-=．易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率121212AB y y k x x -==-．因此AB 直线方程为1(2)12yx ，代入(2)得224820x x b ++-=．所以124x x +=-，21282x x b =-．于是12|AB ||x x =-==由AB ==23b =．故椭圆E 的方程为221123x y +=． 21．【解析】（Ⅰ）2()()212,n n n F x f x x x x 则(1)10,n F n1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x ．又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x ．因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x ，故111=+22n n n x x .（Ⅱ）解法一：由题设，11().2nn n x g x设211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x当1x =时, ()()n n f x g x当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'>++-11110.22nnn n n n x x若1x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'<++-11110.22nnn n n n x x所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h ，即()()n n f x g x ．综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x ．解法二由题设，211()1,(),0.2nnn n n x f x x x x g x x当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x ．当2n时, 2221()()(1)0,2f xg x x 所以22()()f x g x 成立．假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x ．那么，当+1nk 时，111k+1k 11()()()2kk kkk k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k .又11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x令1()11(x 0)kk k h x kx k x ，则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-．所以当01x ,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x ,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增．所以()(1)0k k h x h ，从而1k+1211()2kk x k x k g x ．故11()()k k f x g x .即+1n k ，不等式也成立．所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x ．解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+．则111a b ，11n n n a b x ，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x 时, =k k a b ,所以()()n n f x g x ．当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--，而2k n ≤≤，所以10k ，11n k -+≥．若01x , 11nk x ,()0k m x '<，当1x ,11n k x,()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m ，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b ,11n n a b ，故()()n n f x g x综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x22．【解析】（Ⅰ）因为DE 为⊙O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90，又BC ⊥DE ，所以90CBDEDB ，从而CBD BED ．又AB 切⊙O 于点B ，得DA ΒΒED ∠=∠，所以C ΒD D ΒΑ∠=∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD，又BC 32AB ，所以224ACAB BC ，所以3AD =．由切割线定理得2=AD AB AE ，即2=ADAB AE =6，故3DEAE AD ，即⊙O 的直径为3.23．【解析】（Ⅰ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．（Ⅱ）设13(3t,t),22P 又，则|PC |== 故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0). 24．【解析】（Ⅰ）由||x a b ，得b ax b a ．则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a,1b ．=≤244t t．41tt，即1t 时等号成立，故max3+12+4t t ．。

历年真题：陕西高考理科数学试题含答案(Word版)

陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（）.2A π .B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为（）.2Ae + .1B e + .C e .1De -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.已知底面边长为1则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）（A ）()12f x x =（B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）（A ）真，假，真（B ）假，假，真（C ）真，真，假（D ）假，假，假【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21t a n θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即 14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；（II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】（1）省略（2）21【解析】（1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角的正弦值.【答案】（1）省略（2）510【解析】（1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,,,(1)=><==<∴=======∴n AB n AB n FG n FE n z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上（1）若=++，；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】（1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】（1）22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A （2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+= 19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率.【答案】（1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3）（2） 0.896【解析】（1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润（2）896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B，其中1C 的离心率为2. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.【答案】（1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】（1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线（2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.（本小题满分14分）设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】（1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】（1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，（2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f（3）+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xxx x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。

高考陕西数学(理科)试题及参考答案

一、填空（每空1分，共31分）1、大绳两种穿法分别是和。

2、希望喷咀射流质量要好，则要求扩散角值要_小__，等速核长度L0值要_大__，流量系数C值要_大__。

3、岩石破碎前耗费的总功与弹性变形功的比值, 叫做岩石的塑性系数。

4、型号为215XHP6的国产三牙轮钻头，是____镶____齿，___滑动_______轴承，适用于硬____地层，直径等于_____215mm_____。

5、随着井眼深度的增加，井底岩石的硬度将_增加____塑性将____增加_____。

6、塑脆性岩石在岩石压膜作用下，先发生____弹性_____变形，然后发生_ 塑性_变形，变形到一定程度时发生__ 脆性_ _破碎。

7、牙轮钻头的主要破岩作用是___冲击压碎__和_____滑动剪切____两种。

8、钻杆接头丝扣类型有内平扣、贯眼扣、正规扣。

9、钻机的游系结构为5×6，大钩负荷为100吨，则快绳拉力为10t 。

10、牙轮在井底滑动主要是由于牙轮钻头的移轴、超顶、复锥三种结构因素造成的。

11、钻具是方钻杆、钻杆、钻铤、配合接头的总称。

12、三牙轮钻头的轴承中，滑动轴承承受径向载荷，止推轴承承受轴向载荷，滚珠轴承的主要作用是定位和锁住牙轮不脱落。

13、在喷射钻井的最大水功率工作方式中，上极限井深是指排量等于额定排量的井深；下极限井深是指排量等于携带岩屑最小排量的井深。

二、判断题（每题1分，共16分）1、脆性岩石的塑性系数等于1。

(+)2、方钻杆的公称尺寸是指它本体对边的宽度。

（+）3、7〞钻铤的外经是7〞，同理3〞1/2钻杆接头的外径也是3〞1/2。

（-）4、5×6的游动系统表示天车有5个滑轮，游车有6个滑轮。

（-）5、提高金刚石钻头的冲击震动作用有利于破岩。

(-)6、硬地层中使用的牙轮钻头，其牙齿的特点是：高,尖,薄,大,稀。

(-)7、当泥浆的PH值从中性变成酸性时，钻柱腐蚀速度较低。

（-）8、牙轮钻头在井底的冲击振动作用主要是由于牙轮单双齿交替接触井底引起的。

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陕西省理数一、选择题1.集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，则()R A B I ð= （D ）（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤}2.复数1iz i=+在复平面上对应的点位于（A ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 3.对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（B ）（A ）()f x f （x ）在（4π，2π）上是递增的（B ）()f x 的图像关于原点对称（C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为2 4.5()a x x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（D ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 5.已知函数()f x =，若((0))f f =4a ，则实数a= （C ）（A ）12 （B ）45(C) 2 (D ) 9 6.右图是求样本x 1，x 2，…x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A 】(A) S =S +x n (B) S =S +nx n (C) S =S + n (D) S =S +1n7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C 】 (A)13 (B) 23(C) 1 (D) 28.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆x 2+y 2－6 x －7=0相切，则p 的值为【C 】 (A)1212(B) 1 (C) 2 (D) 49.对于数列｛a n ｝，“a n +1＞∣a n ∣（n=1，2…）”是“｛a n ｝为递增数列”的【B 】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。

陕西数学高考试题及答案

陕西数学高考试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=0，则c的值为（）A. 3B. 5C. -3D. -5答案：C2. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 若直线y=kx+b与曲线y=x^3-3x^2+2x相切于点(1,0)，则k的值为（）A. 1B. 2C. -2D. -1答案：B4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，公差d=3，则S5的值为（）A. 40B. 35C. 30D. 25答案：A5. 已知函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (0,1)∪(1,2)D. (0,2)答案：B6. 若复数z满足|z|=1，则z^2+z+1=0的解的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，若a=3，b=4，则c的值为（）A. 5B. √7C. √13D. √15答案：A8. 若函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，x∈R，则f(x)的最小值为（）A. -1B. 0C. 1D. 3答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(x)=0，则x的值为______。

答案：2或410. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，公比q=2，则S4的值为______。

答案：1511. 若函数y=f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1)=1，则不等式f(x)<1的解集为______。

答案：(0,1)∪(1,2)12. 已知复数z=1+i，求|z|的值为______。

陕西考数学理科试卷(带详解)

精心整理2021 陕西理数高考真题解析一．选择题1. 集合 M{ x | lg x 0} ， N { x | x 2 , 4} ，那么 M N〔〕A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]【测量目标】集合的根本运算〔交集〕 .【考查方式】集合的表示法〔描述法〕求集合的交集 .【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】M x x 1 , N x 2≤ x 剟2 , M N x 1 x 2 应选 C.2. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔〕 A. y x 1B. yx 2C. y1D. y x | x |x【测量目标】函数单调性、奇偶性的判断 . 【考查方式】根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果. 【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】 A 是增函数不是奇函数错误， B 和 C 都不是定义域内的增函数排除，只有 D 正确，因此选 D. 3. 设 a,b R ， i 是虚数单位，那么“ ab 0 〞是“复数 a b为纯虚数〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件iC.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件 .【考查方式】先判断充分性、再判断必要性得到结果 . 【难易程度】容易【参考答案】 B【试题解析】当 ab0 ， a 0或 b 0 ， ab不一定是纯虚数b为纯虚数时， ai反之 a0 ， b 0 ， ab 0 ，因此 B 正确 .i4. 圆 C : x 2y 24x 0 ， l 过点 P(3,0) 的直线，那么〔〕A. l 与 C 相交B. l 与 C 相切C. l 与 C 相离D.以上三个选项均有可能【测量目标】直线与圆的位置关系 .【考查方式】根据 P(3,0) 与圆的位置关系判断 l 与圆的位置关系 .【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】因为 C : x 2y 2 4x 0 ( x 2) 2 y 24 ，所以圆 C 是以 (2,0) 为圆心，2 为半径的圆，又 P(3,0) 在圆内，所以 l 与圆 C 相交 .精心整理5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1 B1C1，CA CC12CB ，那么直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为〔〕第 5 题图A.5B.5C.2 5D.3 5355【测量目标】空间直角坐标系.【考查方式】根据空间直角坐标系用空间向量求异面直线夹角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】设 CB=1，那么CC1CA2， A(2,0,0),B(0,0,1), C1(0, 2,0), B1 (0, 2,1),AB1 ( 2,2,1), BC1 (0,2, 1),cos AB1, BC1 2 0 2 21( 1)5，应选 A.( 2)222 122( 1)256.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示〔如下图〕，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲， x乙，中位数分别为m甲， m乙，那么〔〕第 6 题图甲乙，m甲x乙，m m乙A. x x甲m乙B. x甲甲乙，m甲x乙，mm乙C. x x甲m乙D. x甲【测量目标】茎叶图 .【考查方式】从茎叶图特点判断平均数，再求出中位数得到结果.【难易程度】容易【参考答案】 B【试题解析】从茎叶图来看乙中数据集中，甲比拟分散，所以x甲x乙又甲18+22乙27+31=29，所以选 B.m =2=20 m =27.设函数 f ( x) xe x，那么〔〕A. x 1 为 f ( x)的极大值点B. x 1 为f ( x)的极小值点C. x 1 为f ( x) 的极大值点D. x 1 为 f ( x)的极小值点【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】求出所给函数的导函数，根据导函数求出函数的极值.【难易程度】容易精心整理【参考答案】 D【试题解析】 f ( x)(1 x)e x，当x1时，f (x)0， f ( x)在 (,1)上递减；当 x 1 时，f( x)0， f (x) 在 ( 1,) 递增，∴极值点为x 1.8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，那么所有可能出现的情形〔各人输赢局次的不同视为不同情形〕共有〔〕A．10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种【测量目标】排列、组合及其应用 .【考查方式】先找出获胜情况，再利用排列组合求出总方法数.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】某一个人获胜可以分成 3 中情况，得分 3:0,3:1,3:2；方法数为〔22120.1+C3 C 4 ) C 29. 在△ABC 中，角A, B, C所对边长分别为a, b, c，假设a2b22c2，那么cosC的最小值为〔〕A.3B.2C.1D.1 2222【测量目标】余弦定理、根本不等式求最值 .【考查方式】把余弦定理结合根本不等式判断cosC 的最小值 .【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】由余弦定理结合根本不等式可得cosC a2b2c2≥ a2b2c21c2 1 .2ab a2b22c22 10.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图， P 表示估计结果，那么图中空白框内应填入〔〕第10 题图A. PNB. P4N 10001000C. P MD. P4M10001000【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构判断空白框内应填入什么.【难易程度】容易【参考答案】 D4M【试题解析】由循环体可知结果P.1000二．填空题11.观察以下不等式111 5 ，22333照此规律，第五个不等式为．．．【测量目标】合情推理 .【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜想出一般的规律得到第五个不等式 .．．．【难易程度】容易精心整理【参考答案】 1+1+111111 22222. 234566【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从 1、 2、 3、4、5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：1+1+111111 222262. 2345612.(a x)5展开式中 x2的系数为10，那么实数 a 的值为【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据二项式定理及其性质求出 a 的值.【难易程度】容易【参考答案】 1【试题解析】 T r 1 C5r a5 r x r , r 2, C52 a5 210, a 1.13.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米第13 题图【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入求出水面宽.【难易程度】容易【参考答案】 26【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A〔 2，2〕那么抛物线方程为x2 2 py，〔步骤1〕代入得 22 =2p(2),2p=2，x2 2 y. 〔步骤2〕当水面下降 1 米时，水面和拱桥的交点记作 B 〔a, 3 ) 那么代入抛物线方程得：a = 6 ,因此水面宽2 6米. 〔步骤 3〕ln x,x 0f (x) 及该曲线在点 (1,0) 处的切线所围成14. 设函数 f ( x)， D 是由x轴和曲线y2 x 1, x , 0的封闭区域，那么 z x 2 y 在D上的最大值为【测量目标】导数的几何意义、二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出 Z max.【难易程度】容易【参考答案】 21【试题解析】 f ( x), k f (1) 1,∴切线l : y x 1x因而切线 l 、曲线f ( x)、x轴围成三角形区域，其中最优解是〔0，- 1)代入得z max 2 .15.A 〔不等式选做题〕假设存在实数x 使 | x a | | x 1|, 3 成立，那么实数 a 的取值范围是精心整理【测量目标】绝对值不等式的性质及其运用 .【考查方式】根据绝对值不等式的性质化简，进而求出实数 a 的取值范围 .【难易程度】容易【参考答案】 2 剟a 4【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可，根据不等式的性质得〔几何证明选做题〕如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E ， EF假设 AB 6， AE 1 ，那么 DF DB .【测量目标】直线和圆的位置关系相交弦定理 .【考查方式】根据相似三角形转化 DF DB ，然后根据相交弦定理求出结果 .【难易程度】容易【参考答案】 5DB ，垂足为F ，【试题解析】 Rt △ DEF ∽Rt △DEB , DF DE , 即 DE 2=DF BD ,又由相交弦定理得 DEBDDE 2 =AE EB1 55.DF BD5.第 15 题图15C 〔坐标系与参数方程〕直线 2 cos1与圆 2cos 相交的弦长为 .【测量目标】坐标系与参数方程 .【考查方式】先化为普通方程，然后利用勾股定理求解.【难易程度】容易【参考答案】 3【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线 x1, 圆 (x 1)2y 2 1,2由勾股定理可得相交弦长为 3 = 3.22三．解答题：16. 〔本小题总分值 12 分〕函数 f ( x)Asin( xπ1 〔 A0,0 〕的最大值为 3，其图象相邻两)π. 6条对称轴之间的距离为2 〔1〕求函数 f ( x) 的解析式；〔2〕设π) 2 ，求的值(0, ) ，那么 f (2 2【测量目标】三角函数的图象与性质、由图象求解析式.【考查方式】根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出的值 .【难易程度】中等【试题解析】〔 1〕 A 1 3 ， A 2 , 〔步骤 1〕又∵ 函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，T π π.2π 2， f (x) 2sin(2 x π 1.〔步骤 2〕2 .T T )2 6〔2〕 f ( ) 2sin( π 1 2, π 1 〔步骤 3〕) sin( ) ,2 6 6 20 π π π π π π π, 6 6 , 6 , .〔步骤 4〕2 3 6 3精心整理17. 〔本小题总分值 12 分〕设 a n 的公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 S n ，且 a 5 , a 3 , a 4 成等差数列.〔1〕求数列 a n 的公比；〔 2〕证明：对任意 k N ， S k 2 , S k , S k 1 成等差数列【测量目标】等差与等比数列的通项、性质、前n 项和 .【考查方式】由等差数列的项之间的关系推出数列的公比再利用等差中项法或公式法证明结论 .【难易程度】中等【试题解析】〔 1〕a 5 , a 3 , a 4 成等差数列， 2a 3 = a 5 +a 42a 1 q 2 a 1q 4 3〕a 1q , 〔步骤 1a 1 0, q 0,q 2 q2 0,q2, q1〔舍去〕q2 . 〔步骤 2〕〔2〕证法一 . 〔等差中项法〕k NSk 2Sk 12S k(S k 2 S k ) (S k1S k)ak 1ak 2ak 12a k 1 〔步骤 3〕a k 1 ( 2) 0.证法二 . 〔公式法〕Sk 2Sk 1a 1 (1 q k2 )a 1 (1 q k 1)a 1 (2 q k2q k 1 ) ; 〔步骤 4〕1 q1 q1 q 2S k ( S k2 S k 1)2a 1 (1 q k ) a 1 (2 q k 2q k 1 )1 q1 q 〔步骤 5〕a 1q k (q 2 q 2)0( q2), S k 2 , S k , S k 1 成等差数列 . 〔步骤 6〕1 q18. 〔本小题总分值 12 分〕〔1〕如图，证明命题“ a 是平面 π ππc是直内的一条直线， b 是外的一条直线〔 b 不垂直于〕，线 b 在 π b ，那么 a c 〞为真 .上的投影，假设 a〔2〕写出上述命题的逆命题，并判断其真假〔不需要证明〕第 18 题图【测量目标】平面向量在平面几何中的应用、两条直线的位置关系、四种命题及其之间的关系.【考查方式】根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题. 【难易程度】容易π n〔步骤 1〕【试题解析】〔 1〕证法一 . 〔向量法〕如图过直线 b 上任一点作平面的垂线设直线 a,b, c, n 的方向向量分别为 a , b ,c , n ，那么 b , c , n 共面 ∴存在实数，使c = b + n ， a c =a 〔 b + n 〕=〔 a b 〕+〔 a n 〕=0a π， n π， a n =0， a c =0， a c . 〔步骤 2〕第 18 题〔 1〕图证法二〔利用垂直关系证明〕如图c bA, P 为直线 b 上异于 A 的点，作 POπ,O c,〔步骤 3〕PO a, a b, b 平面 PAO ， PO b P,a 平面 PAO 〔步骤 4〕c 平面 PAO , a c. 〔步骤5〕精心整理第 18 题〔 1〕图〔2〕逆命题为a是平面π内的一条直线， b 是π外的和它不垂直的直线， c 是直线b在π上的投影，若a c ，那么 a b. 逆命题为真命题 . 〔步骤 6〕19. 〔本小题总分值 12 分〕椭圆 C1 : x2y21，椭圆 C 2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率.4〔1〕求椭圆C2的方程；〔2〕设 O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆C1和C2上，OB2OA ，求直线AB的方程【测量目标】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.AB 的方程 .【考查方式】根据椭圆间关系求出椭圆方程；联立直线与椭圆的解析式求出直线【难易程度】中等【试题解析】〔 1〕依题意设椭圆方程为x2y21(a2),e 3 , a242∴14 3 ,a216, ∴椭圆方程为x2y 2 1. 〔步骤1〕a22164〔2〕设 A〔x1 , y1 ), B〔x2, y2 ), OB 2OA,O, A, B 三点共线且不在 y 轴上，〔步骤2〕∴设直线 AB 方程为y kx ，并分别代入x2y 21和 x2y21得：4164416221616, 〔步骤 3〕x114k 2, x24k 2, OB2OA, x2 4x1 ,4 k 214k 2∴ k 1 ，所求直线为： y x 或 y x . 〔步骤 4〕20.〔本小题总分值 13 分〕某银行柜台设有一个效劳窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所12345需要的时间〔分〕频率从第一个顾客开始办理业务时计时 .〔1〕估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；〔2〕 X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望【测量目标】离散型随机变量的分布列与期望 .【考查方式】根据离散型随机变量的特点求解 .【难易程度】中等【试题解析】设顾客办理业务所需时间，Y ，用频率估计概率的分布列如下Y12345P( 步骤 1)(1 〕事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务〞记作 A，那么精心整理( 步骤 2)0.22.(2) X 所有可能取值为 0,1,2. 所以 P ( X =0)= P ( Y >2)=0.5;P ( X =1)= P ( Y =1) P ( Y >1)+ P ( Y =2)=0.49;0.01.〔步骤 3〕因此 X 的分布列为：12所以 X 的期望 EX 0 0.5+1 0.49+2 0.01=0.51.〔步骤 4〕21. 〔本小题总分值 14 分〕设函数 f n( x)x nbx c (nN , b,c R )〔1〕设 n ≥2 ， b1,c1，证明：f n (x) 在区间12,1内存在唯一的零点；〔2〕设n2 ，假设对任意x 1, x 2[1,1]，有 | f 2 ( x 1)f 2 ( x 2 ) |, 4 ，求 b 的取值范围；〔3〕在〔 1〕的条件下，设x n 是f n ( x) 在1 ,12内的零点，判断数列x 2 , x 3 ,, x n的增减性 .【测量目标】函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合运用.【考查方式】把解析式中未知数代入，结合零点存在定理证明；根据解析式最大值判断 b 范围；根据零点判断增减性 .【难易程度】较难【试题解析】 (1) 当 b 1,c1,n ≥ 2 时， f ( x) x nx 1( 步骤 1)11 11 0 ，〔 1，〕f ( ) f (1)(n)f ( x) 在1 内有零点 . 〔步骤 2〕21 2 221，〕又∵ 当 x 〔，1〕 , f ( x) nx n 1〔2 1 0, f (x) 在区间1内单调递增，2∴ f ( x) 在〔 1，1〕内有唯一的零点 . 〔步骤 3〕2(2) 当 n=2 时， f( x)= x 2 bx c, ( 步骤 4)假设b1, 即 b 2 时， f( x) 最大值 M = f( 1)f (1) 2 b4 与题设矛盾 .〔步骤〕25假设 1剟 b0, 即 0 剟b 2 时， M f( 1)f (b)=( b 1) 2 , 4 恒成立22 2假设 0剟 b 1，即 2 剟b 0 时2b)=( bMMf( 1) f (1)2 , 4 恒成立 .2 2综上： 2 剟b 2 . 〔步骤 6〕〔1,1 〕 f n+1 ( x) f n +1 (1)=〔x n 1+xn n 1+1 1)〔3〕设 x n是 f n ( x) 在内的唯一零点，n 1)〔12精心整理x n 1+x n1x n+x n 1 0, f n+1 ( x) 的零点x n+1在区间〔x n +1，1〕内，〔步骤 7〕n n∴数列 x2 , x3 ,, x n ,是递增数列 . 〔步骤 8〕。

2022年陕西省数学试卷理科真题及参考答案

2022年陕西省高考数学理科真题及参考答案注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}5,432,1，，=U ，集合M 满足{}3,1=M C U ，则（）A.M∈2 B.M∈3 C.M∉4 D.M∉52.若i z 21-=，且0=++b z a z ，其中a ，b 为实数，则（）A.2,1-==b a B.2,1=-=b a C.2,1==b a D.2,1-=-=b a3.已知向量a ，b 1=3=3=-，则=⋅b a （）A.2- B.1- C.1D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111a b +=，212111a a b ++=，32131111a a a b +++=，……，以此类推，其中() 2,1=∈*k Na k .则（）A.51b b < B.83b b < C.26b b < D.74b b <5.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （）A.2B.22 C.3D.236.执行右图的程序框图，输出的=n （）A.3B.4C.5D.67.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.平面EF B 1⊥平面1BDDB.平面EF B 1⊥平面BD A 1C.平面EF B 1∥平面AC A 1D.平面EF B 1∥平面DC A 118.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （）A.14B.12C.6D.39.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.31B.21 C.33 D.2210.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且0123>>>p p p .记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11.双曲线C 的两个焦点1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且53cos 21=∠NF F ，则C 的离心率为（）A.25 B.23 C.213 D.21712.已知函数()x f ，()x g 的定义域为R ，且()()52=-+x g x f ，()()74=--x f x g .若()x g y =的图象关于直线2=x 对称，()42=g ，则()=∑=221k k f （）A.21-B.22-C.23-D.24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学试题 (理科)(解析版)

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理）试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）． 1．设 a ， b 是向量，命题“若 a = -b ，则| a |=| b | ”的逆命题是（）（A ）若 a ≠ -b ，则| a |≠| b |（C ）若| a |≠| b | ，则 a ≠ -b （B ）若 a = -b ，则| a |≠| b |（D ）若| a |=| b | ，则 a = -b【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。

【解】选 D 原命题的条件是a = -b ，作为逆命题的结论；原命题的结论是| a |=| b | ，作为逆命题的条件，即得逆命题“若| a |=| b | ，则 a = -b ”，故选 D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x = -2，则抛物线的方程是（）（A ） y 2 = -8x （B ） y 2 = 8x （C ） y 2 = -4x （D ） y 2 = 4x【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选 B 由准线方程 x = -2得 -p= -2 ,且抛物线的开口向右（或焦点在 x 轴的正半轴），所以2y 2 = 2 px = 8x ．3．设函数 f (x ) （ x ∈R ）满足 f (-x ) = f (x ) ， f (x + 2) = f (x ) ，则函数 y = f (x ) 的图像是（）【分析】根据题意，确定函数 y = f (x ) 的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【解】选 B 由 f (-x ) = f (x ) 得 y = f (x ) 是偶函数，所以函数 y = f (x ) 的图象关于 y 轴对称，可知 B ，D 符合；由 f (x + 2) = f (x ) 得 y = f (x ) 是周期为 2 的周期函数，选项 D 的图像的最小正周期是 4，不符合，选项 B 的图像的最小正周期是 2，符合，故选 B ．4． (4x - 2- x )6（ x ∈R ）展开式中的常数项是（）（A ） -20 （B ） -15 （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由 x 的指数为 0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【解】选 C T = C r (4x )6-r (2- x )r = C r ⋅ 22x (6-r ) ⋅ 2- x r = C r ⋅ 212x -3xr ，r +1 6 6 6令12x - 3xr = 0 ，则 r = 4 ，所以T = C 4= 15，故选 C ．565．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）2ππ（A ） 8 -（B ） 8 - 33（C ） 8 - 2π2π （D ）3+微信“hehezmv” x x x x x x 2 xx π 2 x 2 2 2 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V = 23 - 1 ⨯π⨯ 22 ⨯ 2 = 8 - 8π.3 36．函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内（）（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。

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2011年陕西省理科数学高考试卷及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设,a b 是向量，命题“若a b =-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是A ．若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣B ．若a b =-，则∣a ∣≠∣b ∣C ．若∣a ∣≠∣b ∣，则a b ≠-D ．若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是4．6(42)xx --（x ∈R ）展开式中的常数项是 A ．-20 B ．－15C ．15D ．205．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 6．函数f （x ）=x —cosx 在[0，+∞）内 A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点7．设集合M={y|y=2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i |<2,i为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1] C ．[0,1）D ．[0,1]8．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分。

当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于A ．11B ．10C ．8D ．79．设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(,)x y10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是A ．136B ．19C ．536D ．1611．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a = 12．设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 13．观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为。

14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。

开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是。

B ．（几何证明选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=o，且6,4,12AB AC AD ===，则BE = 。

C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为。

三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。

16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=oo是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BCD ∠=o。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE u u u r 与DB u u u r夹角的余弦值。

17．（本小题满分12分）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且45MD PD =（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。

19．（本小题满分12分）如图，从点P 1（0,0）作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1（0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2。

再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q I ；P 2，Q 2…P n ，Q n ，记k P 点的坐标为（k x ，0）（k=1,2，…，n ）。

（Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系（2≤k ≤n ）；（Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++20．（本小题满分13分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟） 10~2020~30 30~40 40~50 50~60 L 1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2L 2的频率 0 0．1 0．4 0．4 0．1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的分布列和数学期望。

21．（本小题满分14分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（Ⅲ）是否存在00x 〉，使得01()()g x g x x-∠对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1——10 DBBCABCCDD 二、填空题11．1 12．3或4 13．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L 14．2000 15．A (][),33,-∞-+∞U B ．42 C ．3 16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ，又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD 平面平面BDC ．∴平面ABD ⊥平面BDC 。

（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝90︒及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，不防设DB =1，以D 为坐标原点，以,,DB DC DA u u u r u u u r u u u r所在直线,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D （0,0,0），B （1,0,0），C （0,3,0），A （0,0，3），E （12，32，0）， AE ∴u u u r =13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭，DB u u u r=（1，0,0,），AE ∴u u u r 与DB u u u r夹角的余弦值为cos ＜AE u u u r ，DB u u u r ＞=1222.22||||2214AE DBAE DB ⋅==⋅⨯u u u r u u u ru u ur u u u r 1222222214==⨯． 17．解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（x p ,y p ）由已知得,5,4xp x yp y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵P 在圆上， ∴ 225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为2212516x y +=（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y 将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得 ()22312525x x -+= 即2380x x --= ∴ 12341341,22x x -+== ∴ 线段AB 的长度为 ()()()22212121216414114125255AB x x y y x x ⎛⎫=-+-=+-=⨯= ⎪⎝⎭注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

18．解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。

或：在∆ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-证法一如图2a BC BC =•u u u v u u u v()()AC AB AC AB =-•-u u u v u u u v u u u v u u u v222AC AC AB AB =-•+u u u v u u u v u u u v u u u v222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-证法二已知∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,222AC AC AB COSA AB=-•+u u u v u u u v u u u v u u u v2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-19．解（Ⅰ）设11(,0)k k P x --，由xy e '=得111(,)k x k k Q x e---点处切线方程为111(),k k x x k y e e x x ----=-由0y =得11(2)k k x x k n -=-≤≤。

（ Ⅱ）110,1k k x x x -=-=-，得(1)k x k =--，所以(1)kx k k k PQ ee --==于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)111 (11)n nn e e e e e ee e ---------=++++==-- 20．解（Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得 P （A 1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P （A 2）=0．1+0．4=0．5，Q P （A 1）＞P （A 2）, ∴甲应选择LiP （B 1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，Q P （B 2）＞P （B 1）, ∴乙应选择L2．（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知()0.6,()0.9P A P B ==,又由题意知，A,B 独立，(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ∴====⨯=u u u r u r u r(1)()()()()()P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+u r u r u r u r0.40.90.60.10.42=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=X ∴的分布列为X 012P0．04 0．42 0．54∴00.0410.4220.54 1.5.EX =⨯+⨯+⨯=21．解（Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x=+， ∴21'()x g x x -=，令'()0g x =得1x =，当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间，因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（Ⅱ）1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x=-=-+，则22(1)'()x h x x -=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时'()0h x <，'(1)0h =，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x>，当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x<．（Ⅲ）满足条件的0x 不存在．证明如下：证法一假设存在00x > ，使01|()()|g x g x x-< 对任意0x > 成立，即对任意0x >，有 02()Inx g x Inx x<<+ ，（*）但对上述0x ，取0()1g x x e=时，有 10()Inx g x =，这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在00x > ，使01|()()|g x g x x-< 对任意0x >成立。