2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.2 1.2.1 第二课时 三角函数线
2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(二) 三角函数的图象与性质
复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．2．若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．[典例] 已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43. [答案] －45 －43[类题通法]利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．[题组训练]1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6 解析：选C 由三角函数的定义知： tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－cos π6sin π6＝－3212＝－ 3.又sin5π6＞0，cos 5π6＜0. 所以α是第四象限角，因此α的最小正值为5π3.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.3．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．2．(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．[典例] 已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2. 即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) ＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. [类题通法]三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．[题组训练]1．若sin (π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－23B ．－66C.66 D.23解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－1－sin 2α＝－23. 2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.3．计算：sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝________. 解析：因为sin4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32， cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝cos 25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32， 所以sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝－32×32＝－34. 答案：－344．已知sin(180°＋α)＝－1010，0°＜α＜90°， 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[典例] (广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.[类题通法]解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[题组训练]1．(重庆高考)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：选A tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.2．计算：cos π12cos 5π12＝________.解析：cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14.答案：14.3．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且tan(α＋β)＝2tan α.4tan α2＝1－tan 2α2，则α＋β＝________.解析：∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2tanα24tanα2＝12， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. 答案：π44．在△ABC 中，sin B ＝cos A ，若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .解：因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.因sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32，知A ＝30°. 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解：选D r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， ∴x ＝－2 3.故选D.2．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π＜α＜－3π2，∴－π＜α2＜－3π4，∴cos α2＜0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14， 即cos 2α＝14. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3，故选D.4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8 解析：选D ∵sin α－cos α＝－52， ∴1－2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝－18，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝－8. 5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝⎛⎭⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎫－13＝103，故选A. 6．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝2425. 7．在0°～720°中与2π5角终边相同的角为________．解析：因为25π＝25π×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°， 所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝72°； 当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°中与2π5角终边相同的角为72°，432°.答案：72°，432°8．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝_______________________. 解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝34. 因为α为钝角，即π2＜α＜π，所以－3π4＜π4－α＜－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＜0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝－74. 答案：－749．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－22，则 2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.解析：∵tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－22， ∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2. ∵π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴tan θ＜0，∴tan θ＝－22， 2cos 2 θ2－sin θ－tan 5π42sin (θ＋π4)＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2.答案：3＋2 2 10．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.解：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2cos 220°＝cos 40°＋12cos 220°＝ 2. 11．已知cos α－sin α＝3 25，且π＜α＜3π2，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值． 解：∵cos α－sin α＝325， ∴1－2sin αcos α＝1825， ∴2sin αcos α＝725. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， ∴sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0, ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0，解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴tan α＜0， ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)2讲学案：第一章1.1 空间几何体的结构
空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2~4，思考并完成以下问题1．空间几何体是如何定义的?分为几类？2．多面体有哪些？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？3．常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的?[新知初探] 1．空间几何体概念定义空间几何体空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体2．空间几何体的分类分类定义图形及表示相关概念空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点:棱与棱的公共点空间几何体旋转体由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体轴：形成旋转体所绕的定直线3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征分类定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边如图可记底面（底）：两个互相平行的面侧面：其余各面形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱作：棱柱ABCDA′B′C′D′侧棱：相邻侧面的公共边顶点:侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面（底）:多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点:各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平如图可记上底面：原棱锥的截面错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)棱柱的侧面都是平行四边形( ）（2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（）（3）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( ）答案：(1）√（2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析:选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________（填序号）．(1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形；（3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．（3）不正确,上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)棱柱的结构特征[典例] 下列关于棱柱的说法中,错误的是( ）A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形［解析］显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修4讲义：第一章 1.3 第一课时 诱导公式(一) Word版含答案
三角函数的诱导公式第一课时诱导公式(一)预习课本P23～25，思考并完成以下问题(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式的内容是什么？(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？[新知初探]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α.4．α＋k ·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( ) A ．36 B ．－36 C ．336D ．－336答案：B3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：B4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4给角求值问题[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin4π3·cos 19π6·tan 21π4. 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.(2)原式＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6·tan ⎝⎛⎭⎫4π＋5π4 ＝sin4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·tan π4＝⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×1＝34.化简求值问题[典例]化简：(1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)；(2)sin(1 440°＋α)·cos(α－1 080°)cos(－180°－α)·sin(－α－180°).[解](1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)＝cos αtan(π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin(4×360°＋α)·cos(3×360°－α)cos(180°＋α)·[－sin(180°＋α)]＝sin α·cos(－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[活学活用]化简下列各式：(1)cos(α＋π)sin2(α＋3π)tan(α＋π)cos3(－α－π)；(2)sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α)(k∈Z)．解：(1)原式＝－cos α·sin2α－tan α·cos3α＝tan2αtan α＝tan α .(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ－α)cos[(2n－1)π－α]sin[(2n＋1)π＋α]cos(2nπ＋α)＝sin(－α)·cos(－π－α)sin(π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1－1)π－α]sin[(2n＋1＋1)π＋α]·cos[(2n＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.给值(或式)求值问题[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值． [解] 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6的值； (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝23. 2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33，α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6”，则结论如何？解：因为α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π. cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－13＝63. 3．[变条件，变设问]tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α. 解：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr.4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.11。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象 含答案
1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1][典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．[活学活用]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间． 解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5， ∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域． 解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A ．⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1 C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1. 4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°， 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5， 又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)． 令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)， 解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修讲义第一章 应用举例含答案
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思
路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某
人在喷水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45°，沿 A 向北偏东 30°方向前进 100 m
到达 B 处，在 B 处测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )
sin C sin B
AC·sin C 4·sin 120°
即 AB＝
＝
＝4 3.
sin B sin 30°
7
2．一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile
的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )
45°，
而 β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点 A 在点 B 的北偏西 15°.故选 B.
3．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系为( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知 α＝β，故应选 B.
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在
点 B 的( )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
解析：选 B 如图所示，∠ACB＝90°，又 AC＝BC，∴∠CBA＝
3
所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1-3 第二课时 诱导公式二 含答案 精品
第二课时 诱导公式(二)预习课本P26～27，思考并完成以下问题 (1)π2－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ (2)诱导公式五、六有哪些结构特征？[新知初探]诱导公式五和公式六[点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) 答案：(1)× (2)×2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案：C3．若cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A4．化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案：－cos α[典例] 化简： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.化简：(1)cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α；(2)sin(－α－5π)cos ⎝⎛⎭⎫α－π2－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos(α－2π)． 解：(1)原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α) ＝－cos 2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos α· cos [－(2π－α)]＝sin [－(α＋π)]cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos(2π－α) ＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin 2α＋cos 2α ＝1.[典例] 求证：2sin ⎝⎭θ－3π2cos ⎝⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.[证明] 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．求证：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin 2α.证明：左边＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·[－sin(2π－α)]cos α＝sin αcos α[－(－sin α)]cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝右边，故原式成立.[典例] 已知cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＝58，求cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．[解] ∵cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＝11＋cos θ＝58，∴cos θ＝35.∴cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11－cos θ＝11－35＝52.已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．解：cos(105°－α)－sin(15°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]－sin [90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－23.层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC ．23mD ．32m解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223 B ．223 C ．－23D ．23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫132＝－223.5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.8．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝1 2.又0<α<π，则sin α＝2 2.将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0<β<π，故cos β＝±3 2.。
2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念条件 周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( ) A ．T ＝2π的奇函数 B ．T ＝2π的偶函数 C ．T ＝π的奇函数 D ．T ＝π的偶函数 答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数． 答案：奇三角函数的周期[典例]求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一 定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝ƒ(x ＋π)， 即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π. ∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一 定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二 图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3； (2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性． (1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos (－x )＝sin(cos x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )为偶函数.[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1.层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义 域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二 应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数 解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2 ＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A. 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章1.11.1.1任意角含答案
1．1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.[典例]并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] 法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得 n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一 学业水平达标1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是( ) A ．390°，690° B ．－330°，750° C ．480°，－420°D ．3 000°，－840°解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在的象限是( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析：选A 由题意知α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋180°＋45° ＝n ·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
2017-2018学年新人教A版高中数学必修4全册学案254P
2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1.1.1 任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础²初探]教材整理1 任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图111，图111(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112³360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2 象限角与轴线角阅读教材P3“图1.13至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3 终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k²360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )(3)终边相同的角的表示不唯一.( )【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是( )【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k²360°<α<k²360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k²360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D (2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k²360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k²360°(k∈Z).其中正确说法的序号是________.【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k²360°(k∈Z).③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k²360°(k∈Z).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图112所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图112【精彩点拨】 找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ²360° k ∈Z 适合题意的角的集合 【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4³360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为：A ＝{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k <Z }.阴影在x 轴下方部分的角的集合为：B ＝{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ²360°＋180°＋60°≤β<k ²360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)³180°＋60°≤β<(2m ＋1)³180°＋105°，m ∈Z }.集合A 可以化为{β|2m ³180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }.故A ∪B 可化为{β|n ²180°＋60°≤β<n ²180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.(2)第一步，将α写成α＝k ²360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图113中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图113【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ²360°<α<45°＋k ²360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk 所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？ 【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°(k ∈Z )，30°＋k ²120°<α3<60°＋k ²120°(k ∈Z ). 故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ²360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ²360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ²360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ²360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】 【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置. 【自主解答】 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°，∴180°＋2k ²360°<2α<360°＋2k ²360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角.同理45°＋k 2²360°<α2<90°＋k 2²360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ²360°<α2<90°＋n ²360°， 此时，α2为第一象限角； 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ²360°<α2<270°＋n ²360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出n α或αn的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ²360°－90°<α<k ²360°，k ∈Z ， ∴－k ²360°<－α<－k ²360°＋90°，则－k ²360°＋180°<180°－α<－k ²360°＋90°＋180°，k ∈Z ，当k ＝0时，180°<180°－α<270°，故180°－α为第三象限角.【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( ) A.第一象限角 B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角 【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k²360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k²360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k²360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k²360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k²360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k²360°(k∈Z).【答案】k²360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k²360°，k∈Z}. 当k＝1时，β＝－120°＋1³360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角. (2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k²360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.1.1.2 弧 度 制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)[基础²初探]教材整理1 角度制与弧度制的定义阅读教材P 6～P 7第三行以上内容，完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( ) (2)1弧度是长度为半径的弧.( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)³ (2)³ (3)³ (4)√ 教材整理2 角度制与弧度制的换算阅读教材P 7第四行至P 8例3以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化2.将下列角度与弧度进行互化.(1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)7π12＝________；(4)－115π＝________.【解析】(1)20°＝20³π180＝π9；(2)－15°＝－15³π180＝－π12；(3)712π＝712π³⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝105°；(4)－115π＝－115π³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.【答案】 (1)π9 (2)－π12 (3)105° (4)－396°教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P 8例3内容，完成下列问题.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.【解析】 扇形的面积为12³62³π3＝6π.【答案】 6π[小组合作型]角度与弧度的互化与应用(1)把－157°30′化成弧度为________，－5π12化成度为________.(2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad ＝180°，1°＝π180 rad这一关系.【自主解答】 (1)－157°30′＝－157.5°＝－3152³π180 rad ＝－78π rad.－5π12＝－5π12³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. (2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ²360°(k ∈Z ). 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.【答案】 (1)－78π，－75°(2)25π，125π角度制与弧度制互化的关键与方法1 关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；2 方法：度数³π180＝弧度数；弧度数³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数；3 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[再练一题]1.把56°15′化为弧度是( ) 【导学号：00680003】A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16【解析】 56°15′＝56.25°＝2254³π180 rad ＝5π16 rad.【答案】 D用弧度数表示角(1)与角23π终边相同的角是( )A.113π B.2k π－23π(k ∈Z )C.2k π－103π(k ∈Z )D.(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( )A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))形式来判断； (2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k 为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.【自主解答】 (1)A 中，11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；B 中，2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；C 中，2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；D 中，(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D 错.(2)因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.【答案】 (1)C (2)B1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.确定角范围时，k 的值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k ，如α＝π4＋2k π(k ∈Z )①，k π－π3<β<k π－π6，k ∈Z ②，在确定角α或β的范围时，要根据k 的系数来取值，如①中k 的系数为2π，则取k 的任一个值如0，得α＝π4在第一象限.②中k 的系数为π，则要分k 为奇数、偶数两种情况取值.k 为奇数时，取k ＝1，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，56π，在第二象限；k 为偶数时，取k＝0，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6，在第四象限，则β为第二或第四象限的角.[再练一题]2.用弧度表示终边落在如图116所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图116【解】 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [探究共研型]弧长公式与扇形面积公式的应用探究1 用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：70512003】A.1 radB.2 radC.3 radD.4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】 (1)设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ²r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr＝2 rad.【答案】 B(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )²r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)，∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2，此时α＝l r ＝20－2³55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.[再练一题]3.已知一扇形的圆心角为α，所在圆半径为R ，周长为4R ，则扇形中所含弓形的面积是________.【解析】 由周长为4R 可知扇形的弧长为2R ，面积为S ＝12lR ＝12²2R ²R ＝R 2，圆心角弧度数为|α|＝l R＝2RR＝2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为R cos 1，底为2R sin 1，所以此三角形面积为S 1＝12²R cos 1²2R sin 1＝R 2sin 1cos 1，从而弓形面积为S 2＝S －S 1＝R 2(1－sin 1cos 1).【答案】 R 2(1－sin 1cos 1)1.下列转化结果错误的是( ) A.22°30′化成弧度是π8B.－10π3化成度是－600°C.－150°化成弧度是－7π6D.π12化成度是15° 【解析】 对于A,22°30′＝22.5³π180＝π8，正确；对于B ，－10π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3³180π°＝－600°，正确；对于C ，－150°＝－150³π180＝－5π6，错误；对于D ，π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12³180π°＝15°，正确.【答案】 C2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】 B 中，k ＝1时为⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故C ，D 均错，只有A 正确.【答案】 A3.与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ²360°＋π6，k ∈ZB.{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C.{α|α＝2k ²360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z【解析】 ∵30°＝30³π180 rad ＝π6rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选 D.【答案】 D4.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )【导学号：00680004】A.403πB.203πC.2003π D.4003π 【解析】 240°＝240³π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|²r ＝43π³10＝403π，选A.【答案】 A5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.【解】 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α， 则2R ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12lR ，得12lR ＝1.②由①②得R ＝1，l ＝2，∴α＝lR＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.1.2.1 任意角的三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)2.掌握诱导公式及其应用.(重点)3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)[基础²初探]教材整理1 任意角的三角函数阅读教材P 11～P 12例1以上内容，完成下列问题.1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.定义：图121在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦函数sin α的定义域是R ；余弦函数cos α的定义域是R ；正切函数tan α的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)由sin α＝yr，故角α终边上的点P (x ，y )满足y 越大，sin α的值越大.( )(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )【解析】 (1)当y 越大时，y r比值不变，故sin α不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)³ (2)√ (3)√教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P 13“探究”内容，完成下列问题.图122口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”)【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一阅读教材P 14“例4”以上内容，完成下列问题.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6等于________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32.【答案】32教材整理4 三角函数线阅读教材P 15倒数第四行至P 17“练习”以上部分，完成下列问题.1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.三角函数线的定义：如图123，①设任意角α的顶点在原点O (O 亦为单位圆圆心)，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y )，②过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于y 轴).图123于是sin α＝y ＝MP ，cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM ＝ATOA＝AT . 我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.如图124，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图124A.正弦线PM ，正切线A ′T ′B.正弦线MP ，正切线A ′T ′C.正弦线MP ，正切线ATD.正弦线PM ，正切线AT【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确. 【答案】 C[小组合作型]任意角三角函数的定义及应用(1)若sin α＝35，cos α＝－45，则在角α终边上的点有( )A.(－4,3)B.(3，－4)C.(4，－3)D.(－3,4)(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. (3)因为r ＝ －3a 2＋ 4a 2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.【答案】 (1)A (2)－32 12－ 3 (3)1或－1由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0).则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.[再练一题]1.设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值. 【导学号：00680006】【解】 由点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，所以f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3³32＋12＝2.三角函数符号的判断判断下列各式的符号.(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 190°； (3)sin 2cos 3tan 4.【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.【自主解答】 (1)∵2 015°＝1 800°＋215°＝5³360°＋215°， 2 016°＝5³360°＋216°，2 017°＝5³360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.[再练一题]2.(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)； ③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 【解析】 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限.(2)－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0；cos π＝－1<0.【答案】 (1)C(2)D诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π²tan 4π. 【精彩点拨】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4³360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3³360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π²tan 4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π²tan 0 ＝sin π6＋0＝12.1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.[再练一题] 3.求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2³360°＋90°)＋tan(3³360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.[探究共研型]三角函数线问题探究1 有人说：在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)，你认为正确吗？【提示】 正确.由三角函数的定义可知sin α＝yr ，cos α＝x r，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝y x，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α).探究2 利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)；cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式.【提示】 (1)对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围.图①(2)对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围.图②在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【精彩点拨】 根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围.【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.[再练一题]4.求函数y ＝2cos x －1的定义域. 【解】 由题意得：2cos x －1≥0， 则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：第一章 1.5 第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
第二课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质预习课本P54～55，思考并完成以下问题(1)在简谐运动中，y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)有哪些性质？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的有关性质1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的值域为[－2， 2 ]．( ) (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (3)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．4 D ．－4 答案：C4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴方程是________________________． 答案：x ＝k π＋3π4，k ∈Z[(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R ； (2)y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R. [解] (1)A ＝2，T ＝2π12＝4π，φ＝π6. (2)将原解析式变形，得y ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π，则有A ＝6，T ＝2π2＝π，φ＝23π.[活学活用]已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6， ∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，将M ⎝⎛⎭⎫π3，0代入得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， 取φ＝－2π3，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.[典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z) ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0 [一题多变]1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y 轴最近的一条对称轴方程．解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？ 解：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝14k π－π24，取k ＝0时，x ＝－π24.则所求对称中心为⎝⎛⎭⎫－π24，0.三角函数对称轴、对称中心的求法层级一 学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C. 3．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________. 解析：∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋2π3， ∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝2π3. 答案：22π3 2π37.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32. 答案：328．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________． 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 9．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)． 10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8， 频率为18，振幅为2，初相为π4.层级二 应试能力达标1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1 C ．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3， ∴A ＝2，B ＝1，∵T ＝2πω＝2π3， ∴ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝( )A ．－1B ．1C ．12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1. 3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z. 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0 D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．5．在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3＝0， ∴4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝k 4π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12，∴离原点最近的交点坐标⎝⎛⎭⎫π12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫π12，06．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6，则实数ω的值为________．解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝k ωπ＋π4ω，k ∈Z.根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32.答案：327．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)． 又0＜φ＜π，∴φ＝2π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2， ∴T ＝2πω＝2×π2， ∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)， 即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减． ∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)．8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z. ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．。
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1-2 1.2-1 第二课时 三角函数线 含答案 精品
第二课时三角函数线预习课本P15～17，思考并完成以下问题(1)有向线段是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？[新知初探]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A ．π4B ．3π4 C ．7π4D ．3π4或7π4 答案：D4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：>[典例] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .1．利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan2π3＝AT ； 4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′， 由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以①sin2π3>sin 4π5，②tan 2π3<tan 4π5. 题点二：利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3 ≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z.层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4 <x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知：cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5.故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6 <θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修4讲义：第一章 1.1 1.1.2 弧 度 制 Word版含答案
1．1.2 弧 度 制预习课本P6～9，思考并完成以下问题 (1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad ，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝lr.[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad 的单位“rad ”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad ＝360° 180°＝π_radπ rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数 弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式 扇形面积公式 角度制l ＝n πr 180 S ＝n πr 2360弧度制l ＝α·r (0<α<2π)S ＝12lr ＝12αr 2(0<α<2π)[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r ，l ，S “知二求二”，它实质上是方程思想的运用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．若α＝k π＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限答案：C3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3答案：D4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6角度与弧度的换算[典例] (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5. (2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数． [活学活用]将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4. 用弧度制表示角的集合[典例] (1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． [解] (1)2 005°＝2 005×π180 rad ＝401π36rad ＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36rad ，又π<41π36<3π2， ∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z)， 由－5π≤2k π＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________． 解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4， 所以－1 125°＝－8π＋7π4. 答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .扇形的弧长公式及面积公式1．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角． 层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ，∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修讲义第一章第一课时 三角函数的定义与公式一含答案
(2)若 sin α＝sin β，则 α＝β.( )
(3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sin α>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 sin α<0，tan α>0，则 α 在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
52
( ) ，－
3．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 5
∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝
3 2.
(2)∵193π＝3×2π＋π3，
( ) ∴tan193π＝tan
3
π × 2π＋3
＝tanπ3＝
3.
(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，
( ) ( ) ∴sin
－314π
＝sin
－4
×2π＋
π 4
＝sinπ4＝
x.已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几个公式更方便． r
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分
类讨论．
[活学活用]
1．如果 α 的终边过点 P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么 sin α 的值等于( )
1 A．2
1 B．－2
3
3 C．－ 2
∴x＝－12，y＝
1 1－ －2
( ) ( ) ∴P
－12，
3 2
.
3 2＝ 2 ，
2．若角 α 的终边上一点的坐标为(1，－1)，则 cos α 为( )
6
A．1
B．－1
C．
2 2
D．－
2 2
解析：选 C ∵角 α 的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离 r＝ 12＋ －1 2
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章1.6三角函数模型的简单应用含答案
三角函数模型的简单应用预习课本P60～64，思考并完成以下问题 (1)如何利用数据建立拟合三角函数模型？(2)解三角函数应用题的解题步骤是什么？[新知初探]1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．[小试身手]1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝2sin 100πt ，t ∈(0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A ．1100B ．100C ．150D ．50答案：C2．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 答案：C3．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为________．答案：52[典例] s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.[活学活用]交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V . (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值.[典例] 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，并求出最大值．[解] (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰在你的朋友的正上方，再过半个周期时，恰相反，故过(6k ＋2)(k ∈Z)分钟后距离之差最大，最大值为40米．解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据，知周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5， ① 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，②∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1＞1，∴cos π6t ＞0. ∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2.即12k －3＜t ＜12k ＋3，③∵0≤t ≤24，故可令③中k 分别为0,1,2， 得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午3：00.层级一 学业水平达标1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎭⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：选C 当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C.3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A ．12，1πB ．2，1πC ．12，πD ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：A ．10 000元B ．9 500元C ．9 000元D ．8 500元解析：选C 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y ＝500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x ＋π＋9 500.当x ＝3时，y ＝9 000.6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次． 答案：0.87.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图象可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT ＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：58．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，则a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，则y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5 (℃)． 答案：20.59.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量和最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，所以A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. 因为12×2πω＝14－8，所以ω＝π6.所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式；(2)画出种群数量y 关于时间t 变化的草图．(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)解：(1)设表示该曲线的函数为y ＝A sin(ωt ＋a )＋b (A ＞0，ω＞0，|a |＜π)．由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A ＝2002＝100，ω＝2π12＝π6，b ＝800. 又∵7月1日种群数量达到最高， ∴π6×6＋a ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 又∵|a |＜π，∴a ＝－π2.故种群数量y 关于时间t 的函数解析式为y ＝800＋100sin π6(t －3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图．层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝215π. 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z.当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]．3．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]，[7,12]解析：选D ∵T ＝12，∴2π12＝π6，从而可设y 关于t 的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ. 又t ＝0时，y ＝32，即sin φ＝32，不妨取φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3.∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)时，该函数递增， ∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]． 4．有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx2的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由y ＝－sinπx2的图象知，要使在区间[0，t ]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t ]的长度不小于2T －T 4＝7T 4，即t ≥74·2π|ω|＝74·2ππ2＝7，故选C.5．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为____________________．解析：根据题图设h ＝A ·sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6·sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π＝－6·sin π6t ，t ∈[0,24]．答案：h ＝－6sin π6t ，t ∈[0,24]6．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________.解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，T ＝0.8，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2.又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t . 答案：y ＝－4cos5π2t7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12， 故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8， 所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋12.2. 又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2. (2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫17π6－π6＋12.2 ＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2＜10.3， 有sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＜－12， 因此2k π＋7π6＜π6t －π6＜2k π＋11π6(k ∈Z)， 所以2k π＋4π3＜π6t ＜2k π＋2π，k ∈Z ， 所以12k ＋8＜t ＜12k ＋12.令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设点B 与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．解：(1)由题意可作图如图．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于点M .当θ＞π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．则h 与θ间的函数解析式为h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是2π60＝π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析：选A y ＝sin x 2为奇函数，T ＝2π12＝4π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1×r . ∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝12×6×6＝18.3．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵－π2＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.5．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )解析：选B 取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π2，则y ＝0，排除A ，选B.6．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A ．25B ．－25C ．－2D ．2解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得12cos α＝6sin α，即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0， ∴π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 当π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6. 9.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )A ．A ＝3，T ＝2πB ．B ＝－1，ω＝2C ．T ＝4π，φ＝－π6D ．A ＝3，φ＝π6解析：选C 由题图可知T ＝2⎝⎛⎭⎫4π3＋2π3＝4π， A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1.∵T ＝4π，∴ω＝12.令12×4π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数 解析：选C 当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，f (x )＝sin π＝0，不合题意，A 不正确；当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π6，f (x )＝sin 5π6＝12，B 不正确；把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，C 正确；当x ＝π12时，f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π2＝1，当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32＜1，在⎣⎡⎦⎤0，π6上f (x )不是增函数，D 不正确．11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12 B ．⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，π6 D ．⎣⎡⎦⎤11π12，17π12解析：选D 由图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)，取k ＝1，即得选项D. 12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25514．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的解析式为________________．解析：由题意，知A ＝3，ω＝2πT ＝2π2π7＝7，φ＝π6，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6 15．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝πω.答案：m ＝n16．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，∴T 4≥π4，即ω≤2，所以ω的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos (3π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－4π)cos (θ＋2π)cos (3π＋θ)＋cos (－θ)的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1. ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4， 因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.19．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值．(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z.因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]． 列表如下，则函数f (21．(本小题满分12分)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1.(1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z)．当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π8＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，所以ω＝1， 易知B ＞0，又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且－π2＜φ＜π2，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1.(2)因为函数f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的周期为2π3， 又k ＞0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图：sin t ＝s 在t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的解必须满足s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，所以方程y ＝f (kx )(k ＞0)在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时恰好有两个不同的解必须满足m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3).。
2017-2018学年高中数学必修4全册学案含解析人教A版287P
2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1．1.1任意角[提出问题]问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.[导入新知]角的分类1．按旋转方向2.(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]1．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.问题1：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[活学活用]在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．[例2] (1)720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)与角α＝－ 1 910°终边相同的角的集合为{}β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z .∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，∴31136≤k ＜61136， 故k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z}．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}，故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．[类题通法]1．常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[活学活用]1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.答案：(1)420°＝60°＋360°第一象限角(2)－495°＝225°－2×360°第三象限角(3)1 020°＝300°＋2×360°第四象限角2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}分别是第几象限角？[例3] 若α是第二象限角，则2α，2[解] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z)． ①当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． [类题通法]1．n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： (1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；……；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[活学活用]已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2分别是第几象限角． 答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角α2可能是第二象限角或第四象限角1.角的概念的易错点[典例] 下列说法中正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．[答案] D[易错防范]1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.4．解决好此类问题应注意以下三点：(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．(2)弄清锐角和象限角的区别．(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[成功破障]下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________．答案：①[随堂即时演练]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )A．120°B．－120°C．240° D．－240°答案：D2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案：C3．下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．答案：①②③④4．在0°～360°范围内与－1 050°终边相同的角是________，它是第________象限角．答案：30°一5.试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°[课时达标检测]一、选择题1．－435°角的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：A4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上答案：C5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z答案：B二、填空题6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．答案：240°7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案：－5 －608．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．答案：一或三三、解答题9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．1．1.2 弧 度 制[提出问题]问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1°.问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？提示：180°.问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定． [导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360作为一个单位． (2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.[化解疑难]角度制和弧度制的比较(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.[提出问题]问题1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π.问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π.问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？ 提示：π＝180°. [导入新知]1．弧度与角度的换算[化解疑难]角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad ， 充分利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ， 则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则扇形的弧长及面积公式的记忆(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝l r⇔l ＝r |α|. (2)扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．[例1] (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.[类题通法] 角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数． [活学活用]已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．答案：α<β<γ<θ＝φ[例2] 2. (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[解] (1)4(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？答案：r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.[例3] 的角的集合．[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6， 而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [类题通法]用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z. 在进行区间合并时，一定要做到准确无误． [活学活用]以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合． 答案：αα＝34π＋k π，k ∈Z1.弧度制下的对称关系[典例] 若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.[解析] 如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为αα＝π3＋2k π，k ∈Z.∵α∈(－4π，4π)， ∴－4π<π3＋2k π<4π(k ∈Z)，∴－136<k <116(k ∈Z)．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.[答案] －11π3，－5π3，π3，7π3[多维探究]在弧度制下，常见的对称关系如下(1)若α与β的终边关于x 轴对称，则α＋β＝2k π(k ∈Z)； (2)若α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．若α和β的终边关于x 轴对称，则α可以用β表示为( ) A ．2k π＋β (k ∈Z) B ．2k π－β (k ∈Z) C ．k π＋β (k ∈Z) D ．k π－β (k ∈Z) 答案：B2．在平面直角坐标系中，α＝－2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称； (2)若α，β的终边关于y 轴对称； (3)若α，β的终边关于原点对称； (4)若α，β的终边关于直线x ＋y ＝0对称． 答案：(1)β＝2π3＋2k π，k ∈Z(2)β＝－π3＋2k π，k ∈Z(3)β＝π3＋2k π，k ∈Z(4)β＝π6＋2k π，k ∈Z[随堂即时演练]1．下列命题中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D2．若α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．－135°化为弧度为______，11π3化为角度为______．答案：－34π 660°4．已知半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2π3＋2k π，k ∈Z5．设角α＝－570°，β＝3π5.(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 答案：(1)α＝－19π6；α在第二象限；(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径长的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案：D2．1 920°化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案：D 3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3 D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 答案：B二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角有________．答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.1.2.1 任意角的三角函数第一课时 三角函数的定义[提出问题使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：否．问题3：若|OP |＝1，则P 点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？提示：P 点的轨迹是以原点O 为圆心，以1为半径的单位圆，即P 点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便．[导入新知]1．任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x ；yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).2．三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．[化解疑难]对三角函数定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.[提出问题]问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0.问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？提示：相等．因为它们的终边重合．问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？提示：不存在．[导入新知]1．三角函数的定义域2．三角函数值的符号[化解疑难]巧记三角函数值的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.[提出问题]问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. [导入新知]终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z. [化解疑难]诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k ·2π，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α，其中k ∈Z.[例1] ，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] (1)－1213 513 －125(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝－2＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.[类题通法]利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 答案：2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a >0，25，a <0[例2] (1)若sin αtan α<0，且tan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3. [解] (1)C(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0. ②∵π2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos 3<0.又∵－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0. [类题通法]三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．[活学活用]已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B[例3] (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.[类题通法]诱导公式一的应用策略应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．[活学活用]求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 答案：(1)32＋1 (2)11．应用三角函数定义求值[典例] (12分)已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．[解题流程][规范解答] 由题意可得： 由|OP |＝－3m 2＋m 2＝分)(1)当m >0时，|OP |＝10|m |＝10m ，(4分)则sin α＝m10m＝1010，cos α＝－3m10m＝－3 1010，tan α＝m－3m ＝－13.(7分)[名师批注]由于题目条件中只告诉m ≠0，不知道m 的符|OP |＝\r(10)|m |.此处极易忽视此点，误认为|OP |＝\r(10)m ，从而导致解题不完整而失分.(2)当m <0时，|OP |＝10|m |分)则sin α＝－1010，cos α＝3 1010，tan α＝－13.(12分)根据正切函数的定义tan α＝yx，本题中tan α的取值与m 的符号无关，即无论m >0还是m <0，tan α都是m －3m ＝－13.[活学活用]已知角α的终边上一点P (－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153.[随堂即时演练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案：D2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能 答案：B3．计算：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π＝________. 答案：124．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上。
2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．4．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 7．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A．2 B．2＋ 2C．2＋2 2 D．－2－2 2解析：选C由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，2π＝8，从而ƒ(x)＝2sin π4x.∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sinπ2＋2sin3π4＝2＋2 2.8．如图，在四边形ABCD中，|AB|＋|BD|＋|DC|＝4，|AB|·|BD|＋|BD|·|DC|＝4，AB·BD＝BD·DC＝0，则(AB＋DC)·AC的值为()A．4B．2C．4 2 D．2 2解析：选A∵AC＝AB＋BD＋DC，AB·BD＝BD·DC＝0，∴(AB＋DC)·AC＝(AB＋DC)·(AB＋BD＋DC)＝AB2＋AB·BD＋AB·DC＋DC·AB＋DC·BD＋DC2＝AB2＋2AB·DC＋DC2.∵AB·BD＝0，BD·DC＝0，∴AB⊥BD，DC⊥BD，∴AB∥DC，∴AB·DC＝|AB||DC|，∴原式＝(|AB|＋|DC|)2.设|AB|＋|DC|＝x，则|BD|＝4－x，|BD|·x＝4，∴x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴原式＝4，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：510．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721011．在△ABC 中，已知sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B · cos C ，则tan A ＝________，sin 2A ＝________.解析：由sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B cos C 得cos A －sin A ＝10cos(B ＋C )＝－10cos A ，所以sin A ＝11cos A ，所以tan A ＝11，sin 2A ＝2sin A cos Asin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 1＋tan 2A ＝1161.答案：11116112．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1的最小正周期是________，振幅是________． 解析：f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为 2.答案：π213．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且|2a －b |＝13，则|2a ＋b |＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4×22－4a ·b ＋32＝13，解得a·b ＝3.因为|2a ＋b |2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a ＋b |＝37.向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝33＝1.答案：37 114．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (x )＝________，f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，AB ＝1，故M ＝12，函数f (x )的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f (x )＝12cos(πx ＋φ)，又函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－12sin πx ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝－12sin π2＝－12. 答案：－12sin πx －1215．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数． 其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案：④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小题满分15分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如图所示．19．(本小题满分15分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)， ∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0， ∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22. 20．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系 含答案
1．2.2 同角三角函数的基本关系预习课本P18～20，思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan_α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin 2α3＋cos 2α3＝1都成立．( )(2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则cos α＝( ) A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：A3．已知cos α＝12，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．±12B ．±32C ．－32D ．－12答案：C4．已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512[典例] (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值．[解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.sin θ(或cos θ)常用以下方式求解的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角[活学活用](1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝2，试求2sin α－3cos αcos α＋sin α的值．解：(1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α， 故2sin α－3cos αcos α＋sin α＝4cos α－3cos αcos α＋2cos α＝cos α3cos α＝13.[典例] (1)(2)若角α是第二象限角，化简：tan α 1sin 2α－1. [解] (1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ·sin 2θ. 解：(1)原式＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α· (1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.[典例] 求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：左边＝tan α·sin α(tan α＋sin α)tan 2α－sin 2α＝tan α·sin α(tan α＋sin α)tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan α·sin α(tan α＋sin α)tan 2α(1－cos 2α)＝tan α·sin α(tan α＋sin α)tan 2α·sin 2α＝tan α＋sin αtan α·sin α＝右边，∴原等式成立．法二：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)·tan α·sin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法三：左边＝tan α·sin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立． 法四：∵tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2α·sin 2α－(tan 2α－sin 2α)tan αsin α(tan α－sin α)＝tan 2α·sin 2α－tan 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α) ＝tan 2α(sin 2α－1)＋sin 2αtan α·sin α(tan α－sin α) ＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtan α·sin α(tan α－sin α) ＝－sin 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α) ＝0， ∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.法五：∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α) ＝tan 2α－sin 2α ＝tan 2α－tan 2α·cos 2α ＝tan 2α(1－cos 2α) ＝tan 2α·sin 2α， ∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[活学活用]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α) ＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2 ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α， ∴左边＝右边.[典例] 已知sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．[解] 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝14，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14，所以sin θcos θ＝－38.由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ ＝ (sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－38＝72.1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225. ∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ ＝1＋2425＝75.由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ. 解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－60169<0， ∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫－60169＝ 289169＝1713.层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153.层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________. 解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32. 答案：－32 6．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． 所以原等式成立．。
高中数学三维设计必修4讲义：第一章 1.4 1.4.2 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[新知初探]正弦函数、余弦函数的图象和性质[点睛](1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()(2)存在x∈R满足sin x＝ 2.()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.()答案：(1)×(2)×(3)×2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是()A ．[0，π]B ．⎣⎡⎦⎤π2，3π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．[活学活用]求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． 解：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以令π＋2k π≤2x －π3≤2π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋k π≤x ≤7π6＋k π，k ∈Z. 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2π3＋k π，7π6＋k π，k ∈Z.[典例] (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°. (2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.[活学活用]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝cos ⎝⎛⎭⎫－π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故sin 194°＞cos 160°.1．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域． 解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π 9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小． (1)sin10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9.∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9.层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( )解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
三维设计人教版必修四Unit-1-Women-of-achievement培训讲学
①inspire
鼓舞；激发
②encourage
鼓励；激励
③motivate
激发；激励
2.以-hood 为后缀的名词面面观
①childhood ②adulthood ③boyhood ④brotherhood ⑤neighborhood
童年 成年 少年时代 手足之情 邻里；社区；街坊
语境串记基点
语段复现重点
举止；习性
11.observe vt.观察；观测；遵守→ observation n．观察；观测；评论 12.argue vt.& vi.讨论；辩论；争论→ argument n．争论；争辩；争吵
语境串记基点
语段复现重点
综合演练题点
课下练熟高考
Unit 1 Women of achievement
4.Some of the students have already learned enough English to
_c_a_r_r_y_o_n__ a conversation with a native speaker. 5. By chance he found the very book he was always looking for.
语境串记基点
语段复现重点
综合演练题点
课下练熟高考
Unit 1 Women of achievement
结
束
用 得 活(用所给词的适当形式填空)
1.Many experts thought that there is a definite connection
(connect) between citizens' heart problems and their ways of
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第二课时三角函数线预习课本P15～17，思考并完成以下问题(1)有向线段是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？[新知初探]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线[点睛]三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A ．π4B ．3π4 C ．7π4D ．3π4或7π4 答案：D4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：>[典例] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .1．利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan2π3＝AT ； 4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′， 由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以①sin2π3>sin 4π5，②tan 2π3<tan 4π5. 题点二：利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3 ≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z .层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0，∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，229．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4 <x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知：cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6 <θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。