量子力学 4-3-声子-模式密度

第四讲晶格振动与晶体热学性质维单原子晶格振动一维单原子晶格振动一维双原子晶格振动三维晶格振动简正坐标与声子(3-1节，3-2节P88-92）晶格振动谱的实验测定晶格振动模式密度格模式密度晶体宏观热性质：热容、热膨胀和热传导晶体宏观热性质：热容热膨胀和热传导1一维单原子链中原子振动位移我们仍以一维单原子链为例讨论简正坐标和声子的概念，然后将其合理的推广到三维晶格。

将其的推广到维格 对于N 个原子组成的一维原子链，存在N 个振动模式。

可以来标示12第由(ωl ，k l )来标示，l =1,2,…N 。

第k l 个振动模式引起的第n 个原子的位移：)(,)(na k t i l l n l l eA t −=ωμ 每个原子的振动应该是所用振动模式的叠加，故第n 个原子的总位移：∑∑−==na k t i l l n n l l eA t )(,)(ωμμ2ll解决办法是引入简正坐标：根据前两节的分析，N个原子的晶格振动⇔N支格波或N支集体振动模式的运动，每支振动模式是近独立的。

因此，N 集体振动模式的运动每支振动模式是近独立的因此个原子晶格振动总能量应该等于N支格波的能量和。

可以将N个振动模式等效为N个谐振子，相应的频率为ωl，每个谐振子的振动由简正坐标描述。

简正坐标的引入可以使哈密顿量H对角化（化为平方和，无交叉项），将N个耦合的振动方程简化为N个独立的谐振子方程，使量子处理简化。

由于晶体内原子的振动相互关联，实际上电子或光子与晶格的相互作用不会只作用于某单个原子，而是与所有原子集体参与的某一振动模式作用。

所以简正坐标引入来描述晶格振动，不仅可以使表述简化，也是符合实际的。

振可使表述简是符实的4一种格波或者说一种集体振动模式对应一类声子频一种格波，或者说一种集体振动模式，对应一类声子，频率为相应格波频率ωi。

如果某一振动模式处在E i=(1/2+n i)ħωi的能量状态时，我们可以说其有n i个频率为ωi的声子，故n i为声子数，通常与温度有关。

晶格振动能量的增加和减少可用声子的产生和温度有关晶格振动能量的增加和减少可用声子的产生和消灭来表示，即声子数的减少和增加。

引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：简谐近似下晶格振动的热力学问题就可当做由3N种不同声子组成的理想气体系统处理。

光子、电子、中子等受系统处理光子电子中子等受到晶格振动的作用就可看成是光子、电子、中子等与声子的碰撞作用。

声子可产生和消灭，如电子给晶格ħωi能量，的碰撞作用。

声子可以产生和消灭，如电子给晶格称为发射一个声子。

若电子从晶格吸收ħωi能量，称为吸收一个声子。

16小结：本讲处理原子振动的基本思路晶体中原子晶格格点为平衡位置振动，称为晶•晶体中原子以晶格格点为平衡位置振动，称为格振动。

•晶体原子之间存在相互作用，某一原子的振动必然引起周围原子的振动，形成格波（晶格振动的传播）,分为不同模式。

•根据量子力学，格波的能量是量子化，这种能量量子称为声子。

声子概念的引使处理晶格振动。

声子概念的引入使处理晶格振动与外界作用的问题简化。

17声子的准动量•但是在考虑粒子与晶格振动相互作用时，声子的表现犹如一个具有动量ħk l 的粒子，通常称为声子的准动量。

•在周期晶格中相互作用的波的总波矢需守恒。

我们讨论晶体射线衍射时光子在晶体发生波矢和能量守的X 射线衍射时，光子在晶体发生弹性散射，波矢和能量守恒满足下式：'=−G k k <动量守恒>0)()('=−k E k E h<能量守恒>•k 是入射光子波矢，k’为散射光子波矢，而G h 是一倒格矢。

这一过程中只激发一个频率ω=0，k =0的声子模式，晶体作为整体发生动量-ħG h 的反冲。

由于晶体质量太大，这种均匀模式的动量很难以明显形式表现出来，但整个系统的动量和能20量始终严格守恒。

如果光子的散射是非弹性的，在这个过程吸收或激发了一个波矢为k l ，频率为ωl 的声子，系统的动量和能量守恒关系可写为：hl G k k k +±=−''<准动量守恒>l h k E k E ω±=−)()(表示吸收或发射一个波矢为<能量守恒>其中±表示吸收或发射个波矢为k l 的声子。

我们可以认为波矢为k l 的声子具有准动量ħk l ，上式第一式通常称为准动量守恒由于对格波而言表示完全相同的振动状态恒。

由于对格波而言，k l 和k l +G h 表示完全相同的振动状态，因此上式多出一G h 项k l ≠0的声子并不携带物理动量，这意味着在发射或吸收k l ≠0k =021的声子同时，l 的声子也被激发或吸收（即发生平动），动量恰好等于±ħk l +ħG h声子既具有能量又具有“准动量”，即具有粒子的属性；然而声子毕竟不是“真实粒子”，也不具有真实动量。

所以我们把声子看成是一种“准粒子”。

声子反映是晶格原子集体状态发单多子我们把声子看成是种准粒子。

声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。

多粒子系统集体运动的激发单元常称为元激发。

在固体中有很多类型的元激发，处理这些元激发的理论方法是类似的，声子是一种典型的元激发。

种典型的元激发。

22()()νh第四讲晶格振动与晶体热学性质维单原子晶格振动一维单原子晶格振动一维双原子晶格振动三维晶格振动简正坐标与声子(3-1节，3-2节P88-92）晶格振动谱的实验测定（3-6）晶格振动模式密度格模式密度晶体宏观热性质：热容、热膨胀和热传导晶体宏观热性质：热容热膨胀和热传导24晶格振动谱的实验测定晶格振动频率与波矢量之间的函数关系ω(k)，即格波的色散关系，就是晶格振动谱，也称声子谱。

晶体与晶格振动有关的性质都与ω(k)相关。

因此实验测定晶格振动谱是非常重要的。

粒子因晶格振动而产生的非弹性散射是实验测定ω(k)的基础。

如果我们固定入射粒子流的动量和能量，测量不同方向上散射的粒子流的动量和能量，就可以根据前面介绍的非弹性散射过程中的准动量守恒和能量守恒来确定波矢k和频率ω(k)的关系。

最重要的实验方法是利用中子与晶体格波的相互作用，另外也有利用X射线散射，可见光的散射等。

25中子散射用E 0和E 表示入射中子和散射中子的能量，用p 0和p 表示入射中子和散射中子的动量，根据碰撞过程的能量守恒和准动量守恒定律：⎫±=−lE E h 0ω⎭⎬+±=−h l G k p p h h 0式中，k l 和ωl 表示是声子的波矢和频率，G h 表示晶体倒空间的倒易矢量。

”+”号和”−”号分别表示消灭和产生声子的过程。

可见，若能固测量不同方向散射波的动量就可根定入射中子流p 0和E 0，测量不同方向散射波的动量p 和能量E ，就可根据上式确定声子的频率和波矢的关系。

中子的能量一般为0.02∼0.04eV ，与声子的能量是同数量级；中子的德布罗意波长ħ/mv 约为2~3×10-8cm ，正好是晶格常数的数量级，因此，26提供了确定格波ω、k 的最有利条件。

反应堆中出来的慢中流利用单晶的布中子流拉格反射产生单色的波。

利用单晶的布拉格反射分析散射中子的动量（及能量）能量）。

测量中子束的强度27三轴中子散射谱仪示意图光的散射当光通过固体，也会与格波相互作用而发生散射。

介质折射率的变化（或者说极化率的变化）是引起光散射的原因。

晶格振动的声学波和光学波都会产生折射率的变化。

散射过程也要满足能量守恒和准动量守恒，对于单声子过程：⎬⎫=−±=−k'h h h li ωωω'⎭+±h l i G k k k h h h h k i ，ħωi 代表入射光波矢和能量，k’，ħω’代表散射光的波矢和能量。

同样率声率固定入射光，测量不同方向散射光的频率，就可以得到声子的频率和波数矢量。

般可见光的波矢1量级因此相互作用的声子波矢一般可见光的波矢|k |只有105cm -1量级，因此相互作用的声子波矢|k |也是在105cm -1量级。

从晶体布里源区看，它们只是在布里渊中心附近很小一28块区域，即长波声子。

因此，利用光散射测量的只是晶格振动谱长波附近很小的一部分。

准动量守恒式中，G h =0。

也可以利用X射线的散射，测量晶格振动谱，其原理类似。

X射线的波矢与晶体倒格子矢量同数量级，因此测量范围可以遍布整个布里源区，而不仅仅局限布里源区中心附近。

但射线能量（0eV）远大于声子能量（0eV），实际X∼104∼10-2上用能量守恒关系确定声子能量是很困难的。

29第四讲晶格振动与晶体热学性质维单原子晶格振动一维单原子晶格振动一维双原子晶格振动三维晶格振动简正坐标与声子(3-1节，3-2节P88-92）晶格振动谱的实验测定晶格振动模式密度（3-9）格模式密度（39）晶体宏观热性质：热容、热膨胀和热传导晶体宏观热性质：热容热膨胀和热传导30作业1.根据你的理解，什么是声子？声子可以有多少种？你如何理解声子的产生、消灭？声子和真实的粒子有什么异同？理解声的产生消声和真实的粒有什么异同2. 设N个原子组成的二维晶格面积为S。

其长声学波对应的色散关系为(ω)ckk=求其长声学波对应的晶格振动模式密度。

求其长声学波对应的晶格振动模式密度36。