2013大学物理竞赛辅导(振动和波)

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物理竞赛讲义十四振动、波

当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。

任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。

简谐波的波动方程和它的解——波函数在播的传播方向上，平衡位置为x 的质点在t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式——波函数y （x 、t ）。

对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式：])(2c o s [])(2c o s [])(c o s [000),(φλνπφλπφϖ+±=+±=+±=xt A x Tt A v x t A y t x 机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。

在坐标系建立后，波函数y （x 、t ）描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻偏离平衡位置的位移。

波（振）幅A ，从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。

从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。

在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。

波长λ，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2π）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。

当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。

周期T ，从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。

频率ν，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。

圆频率ω，从波动角度讲，2π秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2π秒内完成的全振动的个数。

【物理竞赛讲义】第06部分振动和波

第六部分振动和波第一讲基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。

谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。

依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。

所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。

从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

运动学参量的相互关系：a = －ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。

两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b 、方向垂直、同频率振动合成。

当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。

振动、波动部分答案(新)

大学物理学——振动和波振动班级学号姓名成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。

＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。

练习一一、填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。

若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于。

2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝；=ω ;=ϕ 。

3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。

已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为。

大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

1．有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ⨯10－2 m 。

假如使物体上下振动，且规定向下为正方向。

〔1〕t =0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。

〔2〕t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m/s 的速度向上运动，求运动方程。

题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和ϕ。

其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质〔振子质量m 与弹簧劲度系数k 〕决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。

解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。

而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。

如此弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。

系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω〔1〕设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。

由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。

如此运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x〔2〕t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；如此运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如下列图，试求：〔1〕运动方程；〔2〕点P 对应的相位；〔3〕到达点P 相应位置所需要的时间。

题2分析：由运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。

此题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。

曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比拟方便。

高中物理竞赛：振动与波

高中物理竞赛：振动与波一、知识网络与概要1.机械振动(1)弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.(2)单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.(3)振动中的能量转化.(4)自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.2.机械波(1)振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.(2)波的叠加,波的干涉、衍射现象. (3)声波、超声波及其应用. (4)多普勒效应.二、巩固：夯实基础1.机械振动的意义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.回复力：使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.2.描述振动的物理量(1)位移x ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.(2)振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.(3)周期T 和频率f ：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：T=f1. 当Ｔ和f 是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率.3.简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.(1)受力特征：回复力F=-kx.(2)运动特征：加速度a=-kx/m ，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大.判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.(3)振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为21T. 4.单摆：（1）周期公式：T=2πgl 其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.（2）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟振子的质量也没有关系）.（3）单摆的应用：A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）B.测重力加速度：g=224Tl . 5.简谐运动的位移—时间图象如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.6.受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.7.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.8、机械波的产生：的条件有两个：一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。

大学物理-振动和波ppt课件

直观展示简谐振动各参量的关系，便于确
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程；（2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.

大学物理习题解答8第八章振动与波动(1)

第八章振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。

· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+ϕ）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位ϕ 称为初相位。

· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。

2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。

· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x x x t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。

（1）当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。

（2）当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。

（3）当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。

4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。

· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。

2013年高考物理二轮课件第一部分专题六振动与波动光及光的本性

一完整曲线表示一个周期
表示一个波长
图象信息
(1)波长、振幅
(1)振动周期
(2)任意质点在此时刻
(2)振幅
的位移
(3)各时刻质点位移 (3)任意质点在此时刻
(4)各时刻质点速度及加速度方向
加速度的方向
(4)传播方向、振动方
向的互判
2.横波的传播方向与质点振动方向常用的判断方法
内容
图象
上下坡法
2．光的干涉、衍射和偏振现象 (1)光的干涉 ①产生条件：两光源频率相等且相位差恒定 ②出现明暗条纹的条件 Δr＝ kλ，明条纹
Δr＝k＋12λ，暗条纹．
③相邻条纹间距：Δx＝dl λ ④薄膜干涉的应用
a．检查平面的平整度 b．增透膜 (2)光的衍射：①条件：d≤λ ②单缝衍射：中央条纹最亮最宽，向两侧变暗变窄圆孔衍射：明暗相间的圆形条纹圆板衍射：圆形阴影的外侧是干涉条纹，中间是亮斑(泊松亮斑) (3)光的偏振：偏振光平行透过偏振片时光最强，垂直时最弱．
专题六振动与波动光及光的本性
2013高考导航知识网络
热点视角
考查形式以选择题为主，也有计算或作图题．考题表现在以下方面： 1.机械振动和机械波，波长、波速与频率的关系； 2.光的折射定律和全反射； 3.振动图象和波动图象结合波速公式仍然是振动与波动部分的命题热点； 4.光学部分还应注意光的波动性考点，如利用双缝干涉测定光的波长等．
当 n＝0 时，Δx′＝23 m
当 n＝1 时，Δx′＝83 m
……
综上所述，选项 B、D 正确．
【答案】 BD
强化训练1 (2012·高考福建卷)一列简谐横波沿x轴传播，t＝ 0时刻的波形如图6－4甲所示，此时质点P正沿y轴负方向运动，其振动图象如图乙所示，则该波的传播方向和波速分别是( )

II2_振动和波+详细解答

振动1．一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于（A ）21T （B ）1T （C ）1T /2 （D ）1T /2 （E ）1T /4（C ）弹簧的弹性系数问题：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。

为什么？因为我们知道胡克定律为：f kx =（力的大小），即 f k x=。

下面两根弹簧，本来材料、长度、弹性系数都是完全一样的，但是把其中的一根截短，加上相等的拉力f ，截短以后的弹簧伸长量要小于原来长度的弹簧的伸长量，弹性系数k 增大了。

f12T = 22k k =，下端挂一质量为12m的物体，则系统振动周期2T 为：2T 1112222T π⎛=== ⎝2．图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2π，1是位移曲线。

3．在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1）；（2）；（3）。

关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：0v (a)(b)t（a ）φ= -π/2（b ）φ= π/2（c ）φ= π所以：（1）Y=Acos (t T π2－2π) （2）Y=Acos (t T π2+2π) （3）Y=Acos (t Tπ2+π)4．一系统作谐振动，周期为T ，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0≤t ≤T /2范围内，系统在t = 、时刻动能和势能相等。

大学物理题库-振动与波动

振动与波动题库一、选择题（每题3分）1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（）（A ） 2v（B ）v （C ）v 2 （D ）v 42、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。

当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。

则振动表达式为（） (A)）（3cos 12.0ππ-=t x （B ））（3cos 12.0ππ+=t x （C ））（32cos 12.0ππ-=t x （D ））（32cos 12.0ππ+=t x3、有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为（）（A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则（）（Ａ）波长为100 ｍ（Ｂ）波速为10 ｍ·ｓ-1（Ｃ）周期为1/3 ｓ（Ｄ）波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（）(A) 1㎝（B ）3㎝（C ）5 ㎝（D ）7 ㎝6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为（）(A) y=2×10－2cos (πt/2－π/2) (m)(B) y=2×10－2cos (πt + π) (m)(C) y=2×10－2cos(πt/2+π/2) (m)(D) y=2×10－2cos (πt －3π/2) (m)7、一平面简谐波，沿X 轴负方向传播。

x=0处的质点的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（）（A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /28、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。

物理竞赛--振动和波复习

1 cos 0
3
cos
2
1(m)
tan 0
Asin 0 A cos0
3
0 3或4 3 据题意 0 3
27
[解法二] 因为x x1 x2 cos t 3 cos( t 2)
x
12
3
2
1 cos t
12 32123来自32sint
2 1 cos t 3 sin t
0
作t=0时刻矢量图
AArr22
ArAr
20
x2
100
rr AA11
x
x1
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
tan 0
A s in 0 Acos 0
A1 sin10 A1 cos 10
A2 sin20 A2 cos 20
注意:
Asin0 0
Acos0
0 (0,
xB 5
5cm
2;
5 4
5
Acos(
2
)
Asin
振动方程为: x 5
2
cos(
4
t
5 4
)cm
v x
t 6s
t 4s
5
2
4
sin(4
t
5 4
)
vA v0 5
2
4
sin
5 4
A
B
o
x
5 cm s1
4
t0
t 2s
习题集p50题2. 如图为用余弦函数表示的一质
点作谐振动曲线, 振动圆频率为
E1212kkAx22mEp1022ckoA12s2k2cA(o2s02t(120mt)02 A) 2

振动和波题目及答案

1一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为(A) E 1/4． (B) E 1/2．(C) 2E 1． (D) 4 E 1 ．［］ D 2一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A)π/6． (B) 5π/6． (C) -5π/6． (D) -π/6． (E) -2π/3．［］C 3在下面几种说法中，正确的说法是： (A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的． (B) 波源振动的速度与波速相同．(C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于π计)．(D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．(按差值不大于π计)［］C4一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的(A) 7/16. (B) 9/16.(C) 11/16. (D) 15/16 ［］D5一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1．若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m 21的物体，则系统振动周期T 2等于 (A) 2 T 1 (B) T 1 (C) T 12/(D) T 1 /2 (E) T 1 /4 ［］ D 6已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：(A))3232cos(2π+π=t x ．(B) )3232cos(2π-π=t x ．(C) )3234cos(2π+π=t x ．v 21(D) )3234cos(2π-π=t x ．(E) )4134cos(2π-π=t x ．［］C 7如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为(A)m k k 212+π=ν ． (B) mk k 2121+π=ν ． (C) 212121k mk k k +π=ν ． (D) )(212121k k m k k +π=ν ．［］B8如图所示，两列波长为λ 的相干波在P 点相遇．波在S 1点振动的初相是φ 1，S 1到P 点的距离是r 1；波在S 2点的初相是φ 2，S 2到P 点的距离是r 2，以k 代表零或正、负整数，则P 点是干涉极大的条件为：(A) λk r r =-12．(B) π=-k 212φφ．(C)π=-π+-k r r 2/)(21212λφφ．(D) π=-π+-k r r 2/)(22112λφφ．［］D 9两相干波源S 1和S 2相距λ /4，（λ 为波长），S 1的相位比S 2的相位超前π21，在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：(A) 0． (B)π21． (C) π． (D) π23．［］ C10机械波的表达式为y = 0.03cos6π(t + 0.01x ) (SI) ，则(A) 其振幅为3 m ． (B) 其周期为s 31． (C) 其波速为10 m/s ． (D) 波沿x 轴正向传播．［］ B11如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知P 点的振动方程为)cos(0φω+=t A y ，则波的表达式为(A) }]/)([cos{0φω+--=u l x t A y ． (B) })]/([cos{0φω+-=u x t A y ． (C) )/(cos u x t A y -=ω．(D) }]/)([cos{0φω+-+=u l x t A y ．［］A12一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．［］ C 1在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ______________________________；(b) ______________________________；(c) ______________________________． )212cos(π-=T t A x π 2分 )212cos(π+=T t A x π 2分)2cos(π+=TtA x π 1分2一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ．若如图P 1点处质点的振动方程为)2cos(1φν+π=t A y ，则P 2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________．])(2cos[212φλν++-π=L L t A y 3分λk L x +-=1 ( k = ± 1，± 2，…） 2分3(c)O P 1P 2两个相干点波源S 1和S 2，它们的振动方程分别是 )21cos(1π+=t A y ω和 )21cos(2π-=t A y ω．波从S 1传到P 点经过的路程等于2个波长，波从S 2传到P 点的路程等于7 / 2个波长．设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到P 点的振动的合振幅为__________________________．2A 3分4图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 =+=21x x x ________________(SI) )21cos(04.0π-πt （其中振幅1分，角频率1分，初相1分） 3分5有两相同的弹簧，其劲度系数均为k ．(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为___________________；(2)把它们并联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为___________________________________．k m /22π 2分k m 2/2π 2分 6一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =_____________；ω =________________；φ =_______________． 10 cm 1分(π/6) rad/s 1分 π/3 1分 7两个简谐振动曲线如图所示，则两个简谐振动-的频率之比ν1∶ν2=__________________，加速度最大值之比a 1m ∶a 2m =__________________________，初始速率之比v 10∶v 20=____________________．2∶1 1分 4∶1 1分 2∶1 1分 8一个余弦横波以速度u 沿x 轴正向传播，t 时刻波形曲线如图所示．试分别指出图中A ，B ，C 各质点在该时刻的运动方向．A _____________；B _____________ ；C ______________ ．向下；向上；向上9两个弹簧振子的周期都是0.4 s ，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为____________．π3分 10一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为)612cos(10421π+⨯=-t x , )652cos(10322π-⨯=-t x (SI)则其合成振动的振幅为___________，初相为_______________．1×10-2 m 2分 π/6 2分一如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为 )cos(φω+=t A x ．恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．2分当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分 A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2ω = 2 rad/s ． 2分按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分)2cos(204.0π+=t x (SI)． 2分二如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为t y π⨯=-4cos 1032 (SI)．(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式；(2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式．解：(1) 坐标为x 点的振动相位为)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 2分波的表达式为 )]20/([4cos 1032x t y +π⨯=- (SI) 2分 (2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为]205[4-+π='+x t t φω (SI) 2分波的表达式为 ])20(4cos[1032π-+π⨯=-xt y (SI) 2分三如图所示，两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2，其间距离为d = 30 m ，S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差．解：设S 1和S 2的振动相位分别为φ 1和φ 2．在x 1点两波引起的振动相位差 ]2[]2[1112λφλφx x d π---π-π+=)12(K即 π+=-π--)12(22)(112K x d λφφ ① 2分在x 2点两波引起的振动相位差 ]2[]2[2122λφλφx x d π---π-π+=)32(K 即 π+=-π--)32(22)(212K x d λφφ ② 3分②－①得 π=-π2/)(412λx x6)(212=-=x x λ m 2分由①π+=-π+π+=-)52(22)12(112K x d K λφφ 2分当K = -2、-3时相位差最小π±=-12φφ 1分四ABxu沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s ．求：原点O 的振动方程．解：由图，λ = 2 m ，又 ∵u = 0.5 m/s ，∴ ν = 1 /4 Hz ， 3分T = 4 s ．题图中t = 2 s =T 21．t = 0时，波形比题图中的波形倒退λ21，见图． 2分此时O 点位移y 0 = 0（过平衡位置）且朝y 轴负方向运动，∴ π=21φ 2分 ∴ )2121cos(5.0π+π=t y (SI) 3分x (m)y (m)0u 0.512t = 0-1。

振动与波动(习题与答案)

第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。

掌握波的相干条件。

能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。

周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。

t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。

振动与波——精选推荐

振动与波振动与波动⼀、选择题1. 弹簧振⼦作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动⽅程⽤余弦函数表⽰．若0t =时，振⼦在负的最⼤位移处，则初相为B(A) 0．(B) π．(C)2π． (D) 2π-． 2. ⼀质量为m 的物体和劲度系数为k 的轻弹簧组成的振动系统，若以物体通过-1/2振幅且向负⽅向运动为计时时刻，该系统的振动⽅程为A(A) 2)3x A π=+. (B) )3x A π=+.(C) cos(2)3x A π=+.(D) 2)3x A π=+.3. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 B(A)32π. (B) π. (C) 12π.(D) 0.4. 0t =时，振⼦在位移为/2A 处，且向负⽅向运动，则初相的旋转⽮量为 A5. ⼀个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-，且向x 轴正⽅向运动，代表此简谐运动的旋转⽮量为B6. 两个质点各⾃作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第⼀个质点的振动⽅程为1cos()x A t ωα=+．当第⼀个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第⼆个质点正在最⼤正位移处．则第⼆个质点的振动⽅程为 B(A) 21cos()2x A t ωαπ=++. (B) 21cos()2x A t ωαπ=+-. (C) 23cos()2x A t ωαπ=+-.(D) 2cos()x A t ωαπ=++.7. ⼀物体作简谐振动，振动⽅程为1cos()4x A t ωπ=+．在/4t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为 B(A) 2A ω．(B)2ω． (C) 2A ω．(D)2A ω． 8. ⼀物体作简谐振动，振动⽅程为1cos()4x A t ωπ=+．在/2t T =（T 为周期）时刻，物体的加速度为 B(A) 2A ω．(B)2ω． (C) 2A ω．(D)2A ω．9. 已知某简谐运动的振动曲线如图所⽰，则此简谐运动的运动⽅程为D(A) 222cos ππ33x t ??=-. (B) 222cos ππ33x t ??=+.(C) 422cos ππ33x t ??=-. (D) 422cos ππ33x t ??=+.10. ⼀质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正⽅向运动时，从⼆分之⼀最⼤位移处到最⼤位移处这段路程所需要的时间为 C(A) 12T ．(B) 8T ． (C) 6T ． (D) 4T． 11. 把单摆摆球从平衡位置向位移正⽅向拉开，使摆线与竖直⽅向成⼀微⼩⾓度θ，然后由静⽌放⼿任其振动，从放⼿时开始计时．若⽤余弦函数表⽰其运动⽅程，则该单摆振动的初相为 C(A) π． (B) 2π．(C) 0． (D) θ． 12. ⼀个弹簧振⼦和⼀个单摆（只考虑⼩幅度摆动），在地⾯上的固有振动周期分别为1T 和2T ．将它们拿到⽉球上去，相应的周期分别为1'T 和2'T ．则有 D(A) 11'T T >且22'T T >. (B) 11'T T <且22'T T <.(C) 11'T T =且22'T T =.(D) 11'T T =且22'T T >.13. ⼀质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 B(A)4T． (B)2T ． (C) T ． (D) 2T ．14. ⼀弹簧振⼦作简谐振动，当位移为振幅的⼀半时，其动能为总能量的 D(A)14． (B)12． (C)． (D)34． 15. ⼀质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是B(A) 4f ．(B) 2f ．(C) f ．(D)2f ． 16. 在下⾯⼏种说法中，正确的说法是： C(A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的．(B)波源振动的速度与波速相同．(C)在波传播⽅向上的任⼀质点振动相位总是⽐波源的相位滞后(按差值不⼤于π计)． (D)在波传播⽅向上的任⼀质点的振动相位总是⽐波源的相位超前(按差值不⼤于π计)17. ⼀质点作简谐振动，振动⽅程为)cos(φω+=t A x ，当时间/2t T =（T 为周期）时，质点的速度为 B(A) φωsin A -． (B) φωsin A ．(C) φωcos A -． (D) φωcos A ．18. 两个同振动⽅向、同频率、振幅均为A 的简谐运动合成后，振幅为2A ，则这两个简谐运动的相位差为D(A)3π． (B)2π． (C) π．(D) 2π19. 右图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。