2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.3.2

合集下载

2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.3.2 含解析

选修1-1第三章3。

33。

3.2一、选择题1．函数f（x)的定义域为开区间(a,b），导函数f′(x)在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x)在开区间（a，b)内有极小值点错误!(）A．1个B．2个C．3个D．4个［答案］ A［解析］极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)〈0→f′(x）＝0→f′(x)〉0.由图象可知只有1个极小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝错误!（）A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1[答案] A[解析]∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1,则x，y′，y的变化情况如下表：x （－∞，－1）－1(－1,1）1(1，＋∞)y′＋－＋y ↗c＋2↘c－2↗因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c ＝2.3．（2016·四川）已知a为函数f(x）＝x3－12x的极小值点，则a＝错误!(）A．－4 B．－2C．4 D．2［答案] D［解析］f′（x）＝3x2－12，令f′（x)>0得x<－2或x〉2，令f′（x)〈0得－2〈x<2，∴f(x）在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减,∴当x＝2时，f（x）取极小值,即2是函数f（x)的极小值点，故a＝2。

4．设函数f（x）＝x e x，则错误!（)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f（x）的极小值点[答案] D［解析]f′（x）＝e x＋x e x＝e x（1＋x），令f′（x）>0,得x>－1，令f′(x)〈0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞,－1)上递减，在（－1，＋∞）上递增，∴当x＝－1时，f（x）取得极小值．5．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则错误!（）A．x＝错误!为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f(x)的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点D．x＝2为f（x)的极小值点[答案] D［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x）＝－错误!＋错误!＝错误!(1－错误!）,由f′（x)＝0可得x＝2.当0〈x<2时，f′(x)<0,f（x)递减，当x〉2时，f′（x）〉0，∴f（x）单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于错误!（)A．2 B．3C．6 D．9［答案］ D［解析］f′（x)＝12x2－2ax－2b,由条件知f′（1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤(错误!)2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2x取得极小值时，x的值是________.错误![答案］－1[解析］f′（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2)（x＋1)，令f′（x)>0得－1<x<2，令f′(x）〈0，得x〈－1或x>2，∴函数f（x）在（－∞,－1)，(2，＋∞）上递减，在（－1，2)上递增，∴当x＝－1时,函数f(x）取得极小值．8．(2015·陕西文）函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.导学号 92600689 [答案]y＝－错误![解析]∵y＝x e x，∴y′＝e x＋x e x＝e x（x＋1），当x＝－1时y有极小值,此时y｜x＝－1＝－错误!，而y′｜x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－错误!.9．(2016·河南郑州高二检测）已知函数f(x）＝2f′(1）ln x－x,则f（x）的极大值为________.导学号 92600690[答案］2ln 2－2［解析］函数f(x）的定义域为(0，＋∞），由于函数f（x）＝2f′(1）ln x－x.则f′(x)＝2f′(1)×错误!－1(x>0）,f′（1)＝2f′（x）－1，故f′（1)＝1，得到f′（x)＝2×错误!－1＝错误!，令f′(x）〉0，解得x<2，令f′（x）〈0，解得x>2，。

高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.1.3 含解析

选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是导学号 92600557 ( )A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为导学号 92600558 ( )A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8) D．(－12，－18)[答案] B[解析] ∵y＝x3，∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2. 令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为导学号 92600559( )A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析] 由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B.4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2[答案] A[解析]∵f ′(x)＝limΔx→0(Δx＋x)3－2(Δx＋x)＋1－x3＋2x－1Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·Δx－2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)＝3x2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.5．已知曲线f(x)＝12x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为导学号 92600561( )A．－2 B．－1 C．1 D．2[答案] D[解析] Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，∴f ′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是导学号 92600562( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f′(3)<f′(2)，此两点处的斜率f(3)－f(2)3－2比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________.导学号 92600563[答案] 12。

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.1.3

的切线斜率为 k＝y′|x＝12＝4.所以切线方程是 y＋2＝4x－12，即 y＝4x－4. 【答案】 C
上一页
返回首页
下一页
第二十一页，编辑于星期五：十六点二十二分。
(2)已知曲线 C：y＝x3－x＋2，求曲线过点 P(1,2)的切线方程.
【导学号：26160071】
【自主解答】设切点为(x0，x30－x0＋2)，则得 y′|x＝x0
上一页
返回首页
下一页
第二十三页，编辑于星期五：十六点二十二分。
利用导数的几何意义求切线方程的方法 1．若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
上一页
返回首页
下一页
第三页，编辑于星期五：十六点二十二分。
导数的几何意义
1．设点 P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线 y＝f(x)上不同的点，当点 Pn(xn， f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为过点 P 的___切_线_____，且 PT 的斜率 k＝xnl→imx0 fxxnn－－xf0x0＝_f_′(_x_0)_____．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×

2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.1.1、2

数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．若函数 f(x)＝2x2 的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2
＋Δy)，则ΔΔyx的值为( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx2
D．4＋2Δx
解析： ΔΔyx＝21＋ΔxΔ2x－2×12＝4＋2Δx.
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数 f′(x)，再把 x＝x0 代入 f′(x)得 f′(x0)．
求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．
第二十八页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
第十页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
导数的概念
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变化率称为函数 y＝f(x)在 __x_＝__x_0__处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
即 f′(x0)＝ lim Δx→0
第二十二页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
当 x0＝2，Δx＝14时，函数在[2,2.25]上的平均变化率为 k2＝4×2＋2×14＝8.5. 当 x0＝3，Δx＝14时，函数在[3,3.25]上的平均变化率为 k3＝4×3＋2×14＝12.5. ∵k1<k2<k3，∴函数在 x＝3 附近的平均变化率最大．

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.3.2

【自主解答】 f′(x)＝3x2－6x. 令 f′(x)＝3x2－6x>0，得 x>2 或 x<0；令 f′(x)＝3x2－6x<0，得 0<x<2. ∴函数 f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当 x＝0 和 x＝2 时，函数分别取得极大值 0 和极小值－4. 故①②错，③④对．【答案】 B
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0 是极大值，f(2)＝－4 是极小值．
其中正确命题的个数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
上一页
返回首页
下一页
第八页，编辑于星期五：十六点二十二分。
上一页
返回首页
下一页
第九页，编辑于星期五：十六点二十二分。
(2)求下列函数的极值： ①f(x)＝2x＋8x；②f(x)＝3x＋3ln x. 【导学号：26160086】【自主解答】 ①∵f(x)＝2x＋8x， ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}， f′(x)＝2－x82，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
(3)极大值点和极小值点统称为_极__值__点____，极大值和极小值统称为函数的 ___极__值____．
2．求可导函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是__极__大__值___； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是__极__小__值___．

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.3.3

求a，b的值 ―→ 求fx在[－1，2]上的最大值
恒―fx― 成<→立c2 fxmax<c2 ―→ c的取值范围
上一页
返回首页
下一页
第二十二页，编辑于星期五：十六点二十二分。
【自主解答】 (1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由 f′－23＝192－43a＋b＝0， f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得 a＝－12，b＝－2，经检验，满足题意， f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
x
(－∞，－3)
－3
f′(x)
－
0
f(x)
极小值
所以 x＝－3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(－3)＝27，无最大值．
(－3,0) ＋
上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期五：十六点二十二分。
含参数的函数的最值问题
已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
阶
阶
段
段
一
三
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
上一页
返回首页
下一页
第一页，编辑于星期五：十六点二十二分。
1．理解函数最大值与最小值的定义．(重点) 2．掌握求函数最大值与最小值的方法．(难点) 3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)
上一页
返回首页
下一页
第二页，编辑于星期五：十六点二十二分。
求 a，b 的值．
【解】由题设知 a≠0，否则 f(x)＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得 f′(x)

2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.3.3

第十页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1．给出下列四个命题：
① 若函数 f(x) 在 [a ， b] 上有最大值，则这个最大值一定是
[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个
第二十七页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
[问题1] 这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？
[提示1] 能． [问题2] 若y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？ [提示2] 不能．
第十七页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7， f(4)＝13×43－4×4＋4＝238，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是238，最小值是－43.
→ 令f′x＝0得到相应的x的值 → 列表 → 确定极值点比较大小
→ 求极值与端点处的函数值 → 确定最值
比较极值与端点值方法二：求f′x → 求极值点 → 的大小确定最值

2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.2.1

选修1-1 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设y ＝e 3，则y ′等于导学号 92600589( ) A ．3e 2 B ．e 2C ．0D ．以上都不是[答案] C[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.2．(2016·广西南宁高二检测)若函数f (x )＝x 2，则f (x )在x ＝1处的导数为导学号 92600590( )A ．2xB ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] f ′(x )＝2x ，∴f (x )在x ＝1处的导数为f ′(1)＝2.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有导学号 92600591( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是导学号 92600592( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B [解析] ②y ′＝133x 2；③y ′＝－2x －3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是导学号 92600593( )A ．若y ＝sin x ，则y ′＝cos xB ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xC ．若y ＝1x ，则y ′＝1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝12x[答案] A[解析] ∵B 项中，y ′＝－sin x ；C 项中，y ′＝－1x 2；D 项中，y ′＝12x ，∴选A ．6．f (x )＝1x 3x 2，则f ′(－1)＝导学号 92600594( )A ．52B ．－52C ．53D ．－53[答案] D[解析] ∵f (x )＝x －53，∴f ′(x )＝－53x －83，∴f ′(－1)＝－53(－1)－83＝－53.二、填空题7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________.导学号 92600595 [答案] 3[解析] y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.8．函数y ＝sin π，则y ′＝________.导学号 92600596 [答案] 0[解析] y ＝sin π＝0，∴y ′＝0.9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________.导学号 92600597[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan 135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．(2016·浙江宁波高二月考)求曲线y ＝cos x 在x ＝π6处的切线方程.导学号 92600598[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . ∴曲线y ＝cos x 在x ＝π6处的切线的斜率k ＝－sin π6＝－12.又当x ＝π6时，y ＝cos π6＝32，故曲线在x ＝π6处的切线方程为y －32＝－12(x －π6)，即y ＝－12x ＋32＋π12.一、选择题1．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为导学号 92600599( )A ．1B ．－π4C ．π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号 92600600( ) A ．12B ．－12C ．1eD ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为导学号 92600601( )A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)[答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32.4．函数y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为导学号 92600602( )A ．94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e 22[答案] D[解析] ∵y ′|x ＝2＝e 2， ∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)．当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|－e 2|×1＝e 22，故选D ．二、填空题5．(2015·陕西理)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．导学号 92600603 [答案] (1,1)[解析] 由于(e x )′＝e x ，(1x )′＝－1x2，故曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝e 0＝1，设P (x 0，1x 0)，曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率－1x 20，若两直线垂直则有1×(－1x 20)＝－1，解得x 0＝1，故P (1,1)．6．若曲线y ＝x 2的一条切线平行于直线y ＝4x －3，则这条切线的方程为________.导学号 92600604[答案] 4x －y －4＝0[解析] y ′＝2x ，设切点为(x 0，y 0)，则由题意可知，y ′|x ＝x 0＝4，即2x 0＝4，所以x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝4，故该切线过点(2,4)且斜率为4，所以这条切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝x 3.导学号 92600605 (1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解析] (1)∵y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝3， ∴切线方程y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x3消去y 得，3x －x 3－2＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.∴其他公共点为(－2，－8)．8．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)、B (3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程.导学号 92600606[解析] ∵y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)、B (3π2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a sin 0＋b －1＝a sin 3π2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0. ∴y ＝sin x .又∵y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝0＝1.∴切线方程为y＝x.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.1.1、2 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.1 3.1.1、2一、选择题1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx 的取值为导学号 92600527( )A ．Δx >0B ．Δx <0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0[答案] D[解析] Δx 可正也可负，但是不可以为0，故选D.2．对于函数y ＝1x ，当Δx ＝1时，Δy 的值是导学号 92600528( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定[答案] D[解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy 必须指明在哪一点处．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为导学号 92600529( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) D ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] A[解析] B 中lim Δx →[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]表示函数值的变化量的极限；C 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)表示函数值的变化量；D 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示函数的平均变化率．4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是导学号 92600530( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6[答案] D[解析] 当Δt 趋近于0时，－3Δt －6趋近于－6，即t ＝1时该质点的瞬时速度是－6. 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝导学号 92600531( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0[答案] C[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx＝lim Δx →0 Δx 2－3ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C.6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝aΔx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则导学号 92600532( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[答案] C[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 aΔx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋bΔx )＝a .∴f ′(x 0)＝a . 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________.导学号 92600533[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] ∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴ΔyΔx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m )与时间t (单位：s)之间的函数关系式s ＝12g t 2(g＝9.8 m/s 2)，试估计t ＝3s 时物体下落的瞬时速度是________.导学号 92600534[答案] 29.4 m/s[解析] 从3s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量： Δs ＝s(3＋Δt )－s(3)＝4.9(3＋Δt )2－4.9×32 ＝29.4Δt ＋4.9(Δt )2，从而，Δs Δt ＝29.4＋4.9Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于29.4 m/s.9．已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝__________.导学号 92600535[答案] 8 [解析] lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0[f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2]＝2lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. 三、解答题10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度.导学号 92600536[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2，∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1. ∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.一、选择题1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于导学号 92600537( )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9C ．12＋2ΔtD ．12[答案] C[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt＝12＋2Δt .2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s 和时间t 的关系是：s ＝3t －t 2，则它的初速度是导学号 92600538( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] 初速度即为t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt 2. 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于3，故它的初速度为3.3．(2016·浙江台州检测)若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0)h导学号 92600539( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 都无关[答案] B[解析] 由导数的定义可知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故选B.4．(2016·安徽淮北高二检测)设f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝导学号 92600540( )A ．－1B ．12C ．1D ．13[答案] C[解析] ∵f ′(－1)＝lim Δx →f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx －1)3＋aΔx ＝3a ，∴3a ＝3，解得a ＝1.故选C.二、填空题5．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为__________.导学号 92600541[答案] 0 m/s[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2＋16(2＋Δt )＋4×22－16×2＝－4Δt 2，∴ΔS Δt ＝－4Δt 2Δt＝－4Δt ， ∴v ＝lim Δt →ΔSΔt ＝lim Δt →0(－4Δt )＝0. ∴物体在t ＝2s 时的瞬时速度为0 m/s.6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________.导学号 92600542 [答案]28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 三、解答题7．求函数f (x )＝3x －2x 在x ＝1处的导数.导学号 92600543[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－21＋Δx －1＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝3Δx ＋2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋21＋Δx ， ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 (3＋21＋Δx)＝5，∴f ′(1)＝5. 8．一物体的运动方程如下：(单位：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t <3). 求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度.导学号 92600544[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12 m/s.。

高中数学人教版选修1-1习题第3章导数及其应用3.3.3 Word版含解析

选修第三章一、选择题．函数＝－－＋在[－]上的最大值、最小值分别是( )．；－．；－．；－．；－[答案][解析]′＝－－，由′＝⇒＝－或＝(舍去)．＝－时＝，＝－时＝，＝时＝－.∴＝，＝－.故选．．函数()＝－(<)( )．有最大值，但无最小值．有最大值，也有最小值．无最大值，但有最小值．既无最大值，也无最小值[答案][解析]′()＝－＝(＋)(－)，∵∈(－)，∴′()<，即函数在(－)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．．函数()＝－(－≤≤)的最大值为( )．．．．－[答案][解析]′()＝－，令′()＝，得＝±，－≤<－时，′()<，－<<时，′()><≤时，′()<，故函数在＝－处取极小值，在＝处取极大值．∵()＝，(－)＝－，又(－)＝，()＝－，∴[()]＝，[()]＝－.．若函数()＝－－在区间[]上的最大值、最小值分别为、，则－的值为( )．．．．[答案][解析]′()＝－＝(＋)(－)，令′()＝，得＝－，＝.()＝－, ()＝－－, ()＝－，∴()＝－，()＝－－，∴－－(－－)＝.．下列说法正确的是( )．函数的极大值就是函数的最大值．函数的极小值就是函数的最小值．函数的最值一定是极值．在闭区间上的连续函数一定存在最值[答案][解析]根据最大值、最小值的概念可知选项正确．．函数()＝－在区间[，]上的最大值为( )．－．－．－．[答案][解析]′()＝－＝，令′()>，得<<，令′()<，得<<，∴()在()上递增，在(，)上递减，∴当＝时，()取极大值，这个极大值也是最大值．∴()＝()＝－.二、填空题．当∈[－]时，函数()＝的值域是[答案][，][解析]′()＝＝，令′()＝得＝，＝.(－)＝, ()＝, ()＝，∴()＝, ()＝，故函数()的值域为[，]．．若函数()＝－＋，－≤≤的最小值为，则的值是[答案]。

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.3.1

上一页
返回首页
下一页
第十六页，编辑于星期五：十六点二十二分。
[再练一题]
2．设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图 3－3－2 所示，则导函
数 y＝f′(x)可能为( )
【导学号：26160082】
图 3－3－2
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期五：十六点二十二分。
【解析】由函数的图象知：当 x＜0 时，函数单调递增，导数应始终为正；当 x＞0 时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有 D 正确．
上一页
返回首页
下一页
第二十九页，编辑于星期五：十六点二十二分。
3．函数 f(x)＝(x－1)ex 的单调递增区间是________．【解析】 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，令 f′(x)＞0，解得 x＞0，故 f(x)的增区间为(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期五：十六点二十二分。
[构建·体系]
上一页
返回首页
下一页
第二十七页，编辑于星期五：十六点二十二分。
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝－x2
B．y＝xex
C．y＝x2－x
D．y＝－x＋ln x
【解析】对于 y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0，
上一页
返回首页
下一页
第七页，编辑于星期五：十六点二十二分。
【自主解答】 (1)函数的定义域为 R， ∵f(x)＝x3－2x2＋x， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令 f′(x)＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 f(x)的单调递增区间是－∞，13，(1，＋∞)．令 f′(x)＜0，解得13＜x＜1. 因此 f(x)的单调递减区间是13，1.

2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.3.3

选修1-1第三章 3.3 3.3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号92600712 ()A．12；－8B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号92600713()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号92600714()A．18B．2C．0D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1. f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ， ∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0 [答案] A[解析] f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析] f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x (e x )2＝2x －x 2e x ，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2. f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e ，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0，故函数f (x )的值域为[0，e]．8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________. 导学号 92600719[答案] 26[解析] f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1. f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a . 又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ，由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3) ＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1，令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239. 2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )，则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得．其中正确的命题个数是导学号 92600723( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)] [答案] C[解析] f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析] f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15，所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4. ∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.3.1 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.3 3.3.1一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是导学号 92600651( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2，所以函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是(0,2)．2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上导学号 92600652( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2016·江西抚州高二检测)函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是导学号 92600653( )A ．(13，＋∞)B ．(－∞，13)C ．[13，＋∞)D ．(－∞，13)[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知3x 2＋2x ＋m ≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是导学号 92600654( )[答案] C[分析] 由导函数f ′(x )的图象位于x 轴上方(下方)，确定f (x )的单调性，对比f (x )的图象，用排除法求解．[解析] 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C ．5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是导学号 92600655( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，1e )上单调递减，在(1e ，5)上单调递增D ．在(0，1e )上单调递增，在(1e ，5)上单调递减[答案] C[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >1e .令y ′<0，得0<x <1e.∴函数y ＝x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，5)上单调递增．6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是导学号 92600656( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________.导学号 92600657 [答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－13.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.导学号 92600658[答案] －3 －9[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0f ′(3)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－3，c ＝－9.9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.导学号 92600659[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3，又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋1的导函数f ′(x )，且f ′(1)＝3.(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间.导学号 92600660 [解析] (1)f ′(x )＝x 2＋2mx ， ∴f ′(x )＝1＋2m ＝3，∴m ＝1. ∴f (x )＝13x 3＋x 2＋1，∴f (1)＝73.∴切线方程为y －73＝3(x －1)，即3x －3y ＋4＝0.(2)f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，令f ′(x )>0，得x >0或x <－2，令f ′(x )<0，得－2<x <0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是导学号 92600661( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D ．2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是导学号 92600662( )A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝1x－2D．y＝sin x[答案] C[解析]A中，y′＝－6x，当－1<x<0时，y′>0，当0<x<1时，y′<0，故函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上不是减函数，B中，y＝ln x在x＝0处无意义；C中，y′＝－1(x－2)2<0对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝1x－2在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cos x>0对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sin x在(－1,1)上是增函数．3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是导学号92600663 ()A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定[答案] C[解析]当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，∴f(0)<f(1)．因此f(0)＋f(2)<2f(1)．4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有导学号92600664()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.二、填空题5．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________. 导学号92600665[答案] (π3，π)[解析] 由f ′(x )＝1－2cos x >0得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π，故函数f (x )的单调递增区间为(π3，π)．6．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 导学号 92600666[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). 导学号 92600667(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．8．(2016·广东汕头高二质检)函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线.导学号 92600668(1)求实数a 、b 、c 的值；(2)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的单调区间． [解析] (1)∵函数f (x )、g (x )的图象都过点P (2,0)， ∴f (2)＝16＋2a ＝0，解得a ＝－8，g (2)＝4b ＋c ＝0.又f (x )、g (x )的图象在点P 处有相同的切线，且f ′(x )＝6x 2－8, g ′(x )＝2bx ， ∴f ′(2)＝g ′(2)，∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16， ∴F (x )＝2x 3＋4x 2－8x －16，∴F ′(x )＝6x 2＋8x －8＝6(x ＋2)(x －23)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)>0，得x <－2或x >23，∴函数F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)<0，得－2<x <23，∴函数F (x )的单调递减区间为(－2，23)．综上，F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)，单调递减区间为(－2，23)．。

2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.4

第二十页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
第二十八页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
利润最大问题是我们生活中最常遇到的问题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利用导数求函数的最大值．
第二十九页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
第十五页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
合作探究课堂互动
第十六页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径r为多大时：
第二十一页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
第二十二页，编辑于星期五：十七点五分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破

2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.2

答案： D
第十四页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为________．解析： y′＝ex，∴k＝e0＝1. 答案： 1
第十五页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
4．求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x；(2)y＝1＋x x；(3)y＝lg x－ex. 解析： (1)y′＝6x＋cos x－xsin x. (2)y′＝1＋1＋x－x2x＝1＋1 x2. (3)y′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1．会应用导数的定义推导四种常见函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x的导数公式．
2．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 3．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 4．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
指数函数、对数函数的导数公式的记忆，对于公式(ln x)′＝ 1x、(ex)′＝ex 很好记．但公式(logax)′＝xln1 a，(ax)′＝ax·ln a 的记忆比较难，特别是 ln a 的位置易记混，应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．
第十一页，编辑于星期五：十七点四分。
数学选修1-1

2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.2.2 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．曲线运动方程为s ＝1－tt 2＋2t 2，则t ＝2时的速度为导学号 92600619( )A ．4B ．8C ．10D ．12[答案] B [解析] s ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－t t 2′＋(2t 2)′＝t －2t 3＋4t ， ∴t ＝2时的速度为：s ′|t ＝2＝2－28＋8＝8. 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是导学号 92600620( ) A ．y ′＝x B ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x[答案] C[解析] y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是导学号 92600621( ) A ．193B ．163C ．133D ．103[答案] D[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∵f ′(－1)＝3a －6，∴3a －6＝4，∴a ＝103.4．(2016·北京昌平高二检测)若函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(π2)的值为导学号 92600622( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] D[解析] f ′(x )＝cos x －sin x ，∴f ′(π2)＝cos π2－sin π2＝－1.5．(2016·广西南宁高二检测)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为导学号 92600623( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] B[解析] y ′＝3x 2－2，∴切线的斜率k ＝3－2＝1，∴切线的倾斜角为45°. 6．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为导学号 92600624( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3f ′(1)x 2－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2. 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝________.导学号 92600625[答案] 1－1x2[解析] f (x )＝x ＋1x ，∴f ′(x )＝1－1x2.8．(2016·贵州遵义一中高二检测)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.导学号 92600626[答案] 2[解析] ∵f ′(x )＝(x sin x )′＝x ′sin x ＋x ·(sin x )′ ＝sin x ＋x cos x∴f ′(π2)＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，∴1×(－a2)＝－1，∴a ＝2.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________.导学号 92600627[答案] 3[解析] f ′(x )＝a (ln x ＋1)，f ′(1)＝a ＝3. 三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB .导学号 92600628[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1， f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.一、选择题1．(2016·重庆巴蜀中学高二检测)不可能以直线y ＝12x ＋b 作为切线的曲线是导学号 92600629( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝1xD ．y ＝e x[答案] C[解析] 若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2<0，∴曲线y ＝1x 上任意点处的切线的斜率k <0，故其切线方程不可能为y ＝12x ＋b .2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为导学号 92600630( )A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4 ＝e 4(sin 4＋cos 4)＝2e 4sin (4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C ．3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为导学号 92600631( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)导学号 92600632( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－e －1，故选C ．二、填空题5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.导学号 92600633[答案] －423[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则y ′＝x 2＋2， ∴x 20＋2＝4，∴x 0＝ 2. ∴切点(2，823)在直线y ＝4x ＋b 上，∴b ＝－423. 6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________.导学号 92600634[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x . 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式.导学号 92600635[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.导学号 92600636 (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.。

高中数学人教版选修1-1习题第3章导数及其应用3.2.2 Word版含解析

选修第三章一、选择题．曲线运动方程为＝＋，则＝时的速度为( )．．．．[答案][解析]′＝′＋()′＝＋，∴＝时的速度为：′＝＝＋＝.．函数＝·的导数是( )．′＝．′＝．′＝＋．′＝＋[答案][解析]′＝′·＋·()′＝＋·＝＋.．已知()＝＋＋，若′(－)＝，则的值是( )．．．．[答案][解析]′()＝＋，∵′(－)＝－，∴－＝，∴＝.．(·北京昌平高二检测)若函数()＝＋，则′()的值为( )．．．．－[答案][解析]′()＝－，∴′()＝－＝－.．(·广西南宁高二检测)曲线＝－＋在点()处的切线的倾斜角为( ) ．°．°．°．°[答案][解析]′＝－，∴切线的斜率＝－＝，∴切线的倾斜角为°.．若函数()＝′()－＋，则′()的值为( )．．－．．[答案][解析]∵′()＝′()－，∴′()＝′()－，∴′()＝.二、填空题．函数()＝＋，则′()＝[答案]－[解析]()＝＋，∴′()＝－.．(·贵州遵义一中高二检测)若曲线()＝＋在＝处的切线与直线＋＋＝互相垂直，则实数＝[答案][解析]∵′()＝()′＝′＋·()′＝＋∴′()＝＋＝.又直线＋＋＝的斜率为－，∴×(－)＝－，∴＝.．(·天津文)已知函数()＝，∈(，＋∞)，其中为实数，′()为()的导函数．若′()＝，则的值为[答案][解析]′()＝(＋)，′()＝＝.三、解答题．函数()＝－－＋的图象上有两点()和()，在区间()内求实数，使得函数()的图象在＝处的切线平行于直线[解析]直线的斜率＝－，′()＝－－，令′()＝－(<<)，。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.4 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.4一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是导学号 92600741( )[答案] A[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A ．2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y (万元)与年产x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为导学号 92600742( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件[答案] C[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·(60－x 2)(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为导学号 92600743( )A ．30B ．40C ．50D ．35[答案] B[解析] V ′(x )＝(30x 2－x 32)′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40.∴当x ＝40时，箱子的容积有最大值．4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，则箱子的最低总造价为导学号 92600744( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元[答案] D[解析] 设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，箱底另一边的长度为16x m ，则l ＝16×15＋(2×3x ＋2×3×16x)×12＝240＋72⎝⎛⎭⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝⎛⎭⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．5．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，则应生产导学号 92600745( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台[答案] A[解析] 设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)， y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为导学号 92600746( )A ．3VB ．32V C ．34V D ．23V [答案] C[解析] 如图，设底面边长为x (x >0)，则底面积S ＝34x 2，∴h ＝V S ＝4V 3x 2. S 表＝x ·4V 3x 2×3＋34x 2×2＝43V x ＋32x 2，S ′表＝3x －43V x 2，令S ′表＝0得x ＝34V ，因为S 表只有一个极值，故x ＝34V 为最小值点．二、填空题7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨.导学号 92600747[答案] 20[解析] 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x 2＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故x ＝20时， f (x )最小．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________.导学号 92600748[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________.导学号 92600749[答案] 3 m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <32，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2 m 、1 m 、1.5 m 时，体积最大，最大体积V max ＝3 m 3. 三、解答题10．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？导学号 92600750[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80处，函数V (x )取得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值．将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)．答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大，最大容积为128 000 cm 3.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是导学号 92600751( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ．2．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为导学号 92600752( )A ．4B ．8C ．43D ．83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为导学号 92600753( )A ．16 m,16 mB ．32 m,16 mC ．32 m,8 mD ．16 m,8 m[答案] B[解析] 如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．4．(2016·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进行该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是导学号 92600754( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时[答案] C[解析] y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8.当6≤t <8时，y ′>0；当8<t ≤9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．二、填空题5．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料.导学号 92600755 [答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值． 6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元.导学号 92600756[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．三、解答题7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？导学号 92600757[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8. (2016·广东佛山检测)如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记|CD |＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.导学号 92600758[解析] (1)依题意，建立以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示，则点C (x ，y )满足方程x 2＋y 24＝1，且x >0，y >0，∴y ＝21－x 2(0<x <1)．∴S ＝12(2x ＋2)·21－x 2＝2(x ＋1)1－x 2(0<x <1)．(2)令f (x )＝S 2＝4(x ＋1)2(1－x 2)(0<x <1)，则f ′(x )＝8(x ＋1)2(1－2x )．令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x <12时， f ′(x )>0, f (x )为增函数；当12<x <1时，f ′(x )<0, f (x )为减函数． ∴f (12)是f (x )在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f (12)＝274，此时S ＝332.故当x ＝12时，S 取得最大值332.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.2.1、3.2.2

上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期五：十六点二十二分。
(3)y′＝(cos xln x)′
＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′
＝－sin
xln
x＋coxs
x .
(4)y′＝exx′＝x′exe－xx2 ex′ ＝ex－e2xxex＝1－ex x.
上一页
返回首页
下一页
第十六页，编辑于星期五：十六点二十二分。
f′(x)＝0 f′(x)＝_α_·_x_α－__1 __
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s _x___
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
f′(x)＝_－__s_i_n_x__
f′(x)＝_a_x_l_n_a___(a>0 且 a≠1)
(1)已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝_______. (2)求下列函数的导数： ①y＝x20； ②y＝x14； ③y＝log6x.
上一页
返回首页
下一页
第九页，编辑于星期五：十六点二十二分。
【自主解答】 (1)由题意可知，f′(x0)＝1，又f′(x)＝2x，所以2x0＝1，
下一页
第二十九页，编辑于星期五：十六点二十二分。
4．直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x＞0)的一条切线0)，
【导学号：26160078】
∵y′＝1x，∴12＝x10，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－1
上一页
返回首页
下一页

2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 3.4

上一页
返回首页
下一页
第二十一页，编辑于星期五：十六点二十三分。
(2)由 y＝f(x)＝－x22＋x9＋8x1＋ 35(x≥0)，得 f′(x)＝－2x＋98·2x＋41x＋－122－x2＋98x＋35＝－x22－x＋2x1＋2 63(x≥0)．令 f′(x)＝0，则 x2＋2x－63＝0. ∴x＝－9(舍去)或 x＝7. 又∵当 x∈(0,7)时，f′(x)>0；当 x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)极大值＝f(7)＝42. 又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42. 故当年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大．
【自主解答】设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为
12180×001x04＝1 2x80元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)
＝8001＋15ln
x来表示，所以每平方米的综合费用为
g(x)＝f(x)＋1 2x80＝800＋
160ln x＋1 2x80(x＞0)，所以 g′(x)＝160xx2－8(x＞0)，
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变．
图 3－4－1
其中说法正确的有( )
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
上一页
返回首页
下一页
第五页，编辑于星期五：十六点二十三分。
【解析】由图象可知，②④是正确的．【答案】 B
上一页
返回首页
下一页
第六页，编辑于星期五：十六点二十三分。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：

2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.3.2