线性代数项目-mathematics

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mathematica求解矩阵方程

mathematica求解矩阵方程矩阵方程是线性代数中的重要概念，它是指形如AX=B的方程，其中A、X、B均为矩阵。

在实际应用中，矩阵方程经常出现，例如在信号处理、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍如何使用Mathematica求解矩阵方程。

我们需要定义矩阵A和B。

在Mathematica中，可以使用MatrixForm函数定义矩阵，例如：A = MatrixForm[{{1, 2}, {3, 4}}]B = MatrixForm[{{5}, {6}}]这里定义了一个2×2的矩阵A和一个2×1的矩阵B。

接下来，我们可以使用LinearSolve函数求解矩阵方程AX=B，代码如下：X = LinearSolve[A, B]这里的X即为方程的解，它是一个2×1的矩阵。

我们可以使用MatrixForm函数将其输出：MatrixForm[X]除了LinearSolve函数，Mathematica还提供了其他求解矩阵方程的函数，例如Solve和Inverse。

Solve函数可以用于求解非线性矩阵方程，例如AX^2+B=X，代码如下：X = Solve[A.X^2 + B == X, X]这里的X是一个列表，包含了方程的所有解。

Inverse函数可以用于求解可逆矩阵方程，例如AX=B，代码如下：X = Inverse[A].B这里的X即为方程的解，它与使用LinearSolve函数求解的结果相同。

除了求解矩阵方程，Mathematica还可以进行矩阵运算、矩阵分解、矩阵求导等操作，使得矩阵计算变得更加方便和高效。

例如，我们可以使用MatrixPower函数求解矩阵的幂，代码如下：A^2这里的结果是一个2×2的矩阵，即A的平方。

我们还可以使用Eigensystem函数求解矩阵的特征值和特征向量，代码如下：Eigensystem[A]这里的结果是一个列表，包含了矩阵A的特征值和特征向量。

mathematica 行向量列向量矩阵

mathematica 行向量列向量矩阵摘要：一、Mathematica软件简介二、行向量与列向量1.定义及特点2.基本操作与运算三、矩阵的概念与运算1.矩阵的定义2.矩阵的分类3.矩阵的运算4.矩阵的性质四、Mathematica在矩阵运算中的应用实例五、总结与展望正文：【一、Mathematica软件简介】Mathematica是一款功能强大的数学软件，自1988年问世以来，广泛应用于科学计算、数据分析、教育等领域。

它具有丰富的函数库，能解决诸如线性代数、微积分、概率统计等各种数学问题。

在本文中，我们将重点探讨Mathematica在向量、矩阵运算方面的应用。

【二、行向量与列向量】行向量和列向量是线性代数中的基本概念。

在Mathematica中，行向量和列向量分别表示为rows和columns。

【1.定义及特点】行向量：一个由n个元素组成的1×n矩阵，其中n为自然数。

行向量有n 个分量，分别表示该向量在各个方向上的分量值。

列向量：一个由n个元素组成的n×1矩阵，其中n为自然数。

列向量有n 个分量，分别表示该向量在每个方向上的分量值。

【2.基本操作与运算】在Mathematica中，行向量和列向量的基本操作与运算主要包括以下几点：1.加法：两个向量相加，结果为一个新向量，其元素为两个向量对应分量之和。

2.减法：两个向量相减，结果为一个新向量，其元素为两个向量对应分量之差。

3.数乘：向量与实数相乘，结果为一个新向量，其元素为原向量对应分量乘以实数。

4.标量积：两个向量的标量积为一个实数，等于两个向量对应分量的乘积之和。

5.向量积：两个向量的向量积为一个新向量，其分量依次为两个向量对应分量的向量积。

【三、矩阵的概念与运算】矩阵是线性代数中的核心概念，它可以看作是一个由行向量或列向量组成的矩形阵列。

在Mathematica中，矩阵表示为一个二维数组。

【1.矩阵的定义】矩阵是一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

Mathematica教程用Mathematica求解线性代数基本问题

Module[{x,y,...},body] Module[{x=x0,y=y0,…},body] lhs:=Module[vars,rhs/:cond] Block[{x,y,... },body] Block[{x=x0,y=y0,…},bddy]
具有局部变量x,y… 的模块
具有初始值的局部变量的模块 rhs和cond共享局部变量运用局部值x,y, …计算body 给x,y,..赋初始值
Do循环结构
Do[expr,{i,imax}] 循环计算expr,以步长1,i从 1增加到imax
循环计算expr,以步长di,i Do[expr,{i,imin,imax,di}] 从imin增加到imax Do[expr,{n}] 循环计算expr n次
•
•
•
键入
t0={{1，2，3}，{4，5，6}}
则得到一个名为t0的2行3列的矩阵。
• 2、也可利用工具栏或菜单输入矩阵 • 点击工具栏上的矩阵输入的工具，就会得到一个二行二列的矩阵输入框，若不是二行二列的矩阵，可通过按Ctrl+Enter键增加一行，按Ctrl+,键增加一列，用鼠标选定一行（或一列），按Del键可删除一行(或一列）。通过这样的操作，就可输入任意一个矩阵。下面的图演示了这个过程。
Out[5]=True
ln[6]:=TrueQ[x==y]
Out[6]=false
用“===”可直接测试两个表达式的等同性:
In[7]:=x===y
Out[7]:=False
一般情况下,“===”返回值为真(True)或假(False), 而“==”为符号形式输出,表示一个符号等式。在特殊情况下可用“===”测试一个表达式的结构,而用“==”测试数学上的等同性。

数学的单词

数学的单词全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、基本数学单词1. 数学（Mathematics）：Mathematics是数学的英文名称，它源自于希腊语“μάθημα”（máthēma），意为学问、学识。

数学是一种基础学科，涉及到数量、结构、变化和空间等概念的研究。

2. 数（Number）：Number指的是用来计数和测量的抽象概念。

数是数学的基本单位，包括自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数等。

3. 数学符号（Mathematical Symbol）：Mathematical Symbol 是用来表示数学概念、关系和运算的符号或符号系统。

常见的数学符号包括加号“+”、减号“-”、乘号“*”、除号“/”、等号“=”等。

4. 算术（Arithmetic）：Arithmetic是数学的一个分支，主要研究基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法等。

5. 代数（Algebra）：Algebra是数学的一个分支，主要研究未知量和其关系的代数表达式、方程和函数等。

6. 几何（Geometry）：Geometry是数学的一个分支，主要研究空间形状、大小、位置关系和变化等几何概念。

7. 微积分（Calculus）：Calculus是数学的一个分支，主要研究变化率、极限、积分和微分等连续变量的数学概念。

8. 概率论（Probability）：Probability是数学的一个分支，主要研究随机事件发生的可能性和规律等概率性问题。

9. 统计学（Statistics）：Statistics是数学的一个分支，主要研究数据的收集、分析、解释和预测等统计性问题。

1. 加法（Addition）：Addition指的是将两个或多个数相加的运算，如2+3=5。

2. 减法（Subtraction）：Subtraction指的是将一个数从另一个数中减去的运算，如4-2=2。

5. 平方（Square）：Square指的是一个数的平方，如3的平方是9。

Mathematica的主要功能

3、数
Mathematica 以符号运算为主，这与一些语言有所不同，例如源自, e, 2 ,3
2 等符号表示准确数，近似数用带小数点的数表示，例如
1.2，2.3*10^5 等。Mathematica 中求近似值以及近似值的精度控制
函数为函数“N”，其调用格式如下：
N[表达式] 计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16 位有效数字），但是按标准输出只显示前 6 位有效数字
每次运行结束后，Mathematica 会自动在输入的式子前面加上 “In[n]：=”（n 表示输入命令的序列号），在输出的答案前面加上 “Out[n]=”（n 表示输出结果的序列号），以便分清输入和输出并自动加上编号。可以用“%”表示前一个输出的内容，“%%” 表示倒数第 2 个输出的内容，依此类推，“% n”表示第 n 个（即 Out[n]）输出的内容。也就是说 Mathematica 输出的内容被系统记忆，它们可以像其它变量一样在后面的计算中引用。
四、编程基础
1、自定义函数
前面介绍了 Mathematica 本身自带的内置函数，下面我们以实例来说明定义函数的方法。例如，要定义函数 f (x) ex (sin x 1) ln x2 ，我们只要键入命令 f[x_]:=Exp[x]*(Sin[x]+1)+Log[x^2] 运行即可。
注意：在函数的自变量后面有一个下划线“_”，这表示 x 为自变量，可以把 x 代入为任何的值进行计算；等号前面的有个冒号，表示定义函数。同样可以定义多变量函数。定义了函数 f[x]后，可以直接地调用 f[x]来进行符号数学运算（例如积分、微分等）
三、基本代数运算
下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用于变换数学表达式、解方程和解不等式。Mathematica 具有强大的符号运算功能，下面列举的函数均可代入具有字母的表达式进行计算，得到精确解。

mathematics矩阵运算

mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。

本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。

一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵中的元素可以是实数或者复数。

二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。

对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。

例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。

将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。

例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。

线性代数（linearalgebra）

线性代数（linear algebra）Linear algebra (Linear Algebra) is a branch of mathematics. Its research objects are vectors, vector spaces (or linear spaces), linear transformations and finite dimensional linear equations. Vector space is an important subject in modern mathematics. Therefore, linear algebra is widely used in abstract algebra and functional analysis. Linear algebra can be expressed concretely by analytic geometry. The theory of linear algebra has been generalized to operator theory. Since nonlinear models in scientific research can often be approximated as linear models, linear algebra has been widely applied to natural and social sciences.The development of linear algebraBecause the work of Descartes and Fermat, linear algebra basically appeared in seventeenth Century. Until the late eighteenth Century, the field of linear algebra was confined to planes and spaces. The first half of nineteenth Century to complete the transition matrix to the n-dimensional vector space theory begins with Kailai in the second half of nineteenth Century, because if when work reached its culmination in.1888, Peano axiomatically defined finite or infinite dimensional vector space. Toeplitz will be the main theorem is generalized to arbitrary body linear algebra on the general vector space. The concept of linear mapping can in most cases get rid of matrix computation directed to the inherent reasoning, that is not dependent on the selection of the base. Do not exchange and exchange or not with the ring as the operator domain, this concept to die, this concept very significantly extended vector space theory and re organize the nineteenth Century Instituteof the.The word "algebra" appeared relatively late in China, in the Qing Dynasty when the incoming China, it was translated into "Alj Bala", until 1859, the Qing Dynasty famous mathematician, translator Li Shanlan translated it as "algebra", still in use.The status of linear algebraLinear algebra is a subject that discusses matrix theory and finite dimensional vector spaces combined with matrices and their linear transformation theory.The main theory is mature in nineteenth Century, and the first cornerstone (the solution of two or three Yuan linear equations) appeared as early as two thousand years ago (see in our ancient mathematical masterpiece "nine chapters arithmetic").The linear algebra has many important applications in mathematics, mechanics, physics and technology, so it has important place in various branches of algebra;In the computer today, computer graphics, computer aided design, cryptography, virtual reality and so on are all part of the theory and algorithm of linear algebra;.Between geometric and algebraic methods embodied in the concept of the subject of the connection from the axiomatic method on the abstract concept and rigorous logic reasoning, cleverly summed up, to strengthen people's training in mathematics, science and intelligent gain is very useful;And with the development of science, we should not only study the relationship between the individual variables, but also further study the relationship between multiple variables, all kinds of practical problems in most cases can be linearized, and because of the development of the computer, the linearized problem can be calculated, linear algebra is a powerful tool to solve these problems.Basic introduction to linear algebraLinear algebra originated from the study of two-dimensional and three-dimensional Cartesian coordinate systems. Here, a vector is a line segment with a direction that is represented by both length and direction. Thus vectors can be used to represent physical quantities, such as force, or to add and multiply scalar quantities. This is the first example of a real vector space.Modern linear algebra has been extended to study arbitrary or infinite dimensional spaces. A vector space of dimension n is called n-dimensional space. In two-dimensional andthree-dimensional space, most useful conclusions can be extended to these high-dimensional spaces. Although many people do not easily imagine vectors in n-dimensional space, such vectors (i.e., n tuples) are very useful for representing data. Since n is a tuple, and the vector is an ordered list of n elements, most people can effectively generalize and manipulate data in this framework. For example, in economics, 8 dimensional vectors can be used to represent the gross national product (GNP) of 8 countries. When all the nationalorder (such as scheduled, China, the United States, Britain, France, Germany, Spain, India, Australia), you can use the vector (V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, V8) showed that these countries a year each GNP. Here, each country's GNP are in their respective positions.As a purely abstract concept used in proving theorems, vector spaces (linear spaces) are part of abstract algebra and have been well integrated into this field. Some notable examples are: irreversible linear maps or groups of matrices, rings of linear mappings in vector spaces. Linear algebra also plays an important role in mathematical analysis,Especially in vector analysis, higher order derivatives are described, and tensor product and commutative mapping are studied.A vector space is defined on a domain, such as a real or complex domain. Linear operators map the elements of a linear space into another linear space (or in the same linear space), and maintain the consistency of addition and scalar multiplication in the vector space. The set of all such transformations is itself a vector space. If a basis of linear space is determined, all linear transformations can be expressed as a table, called matrix. Further studies of matrix properties and matrix algorithms (including determinants and eigenvectors) are also considered part of linear algebra.We can simply say that the linear problems in Mathematics - those that exhibit linear problems - are most likely to be solved. For example, differential calculus studies the problemof linear approximation of functions. In practice, the difference between a nonlinear problem and a nonlinear one is very important.The linear algebra method refers to the problem of using a linear viewpoint to describe it and to describe it in the language of linear algebra and to solve it (when necessary) by using matrix operations. This is one of the most important applications in mathematics and engineering.Some useful theoremsEvery linear space has a base.The nonzero matrix n for a row of N rows A, if there is a matrix B that makes AB = BA = I (I is the unit matrix), then A is nonsingular matrix.A matrix is nonsingular if and only if its determinant is not zero.A matrix is nonsingular if and only if the linear transformation it represents is a automorphism.A matrix is semi positive if and only if each of its eigenvalues is greater than or equal to zero.A matrix is positive if and only if each of its eigenvalues is greater than zero.Generalizations and related topicsLinear algebra is a successful theory, and its method has been applied to other branches of mathematics.The theory of modulus is to study the substitution of scalar domains in linear algebra by ring substitution.Multilinear algebra transforms the "multivariable" problem of mapping into the problem of each variable, resulting in the concept of tensor.In the spectral theory of operators, by using mathematical analysis, infinite dimensional matrices can be controlled.All of these areas have very large technical difficulties.Basic contents of linear algebra in Chinese UniversitiesFirst, the nature and tasks of the courseThe course of linear algebra is an important basic theory course required by students of science and Engineering in universities and colleges. It is widely used in every field of science and technology. Especially today, with the development and popularization of computer, linear algebra has become the basic theory knowledge and important mathematical tool for engineering students. Linear algebra is to train thehigh-quality specialized personnel needed for the socialist modernization construction of our country. Through the study of this course, we should make students get:1 determinant2, matrix3. The correlation of vectors and the rank of matrices4 、 linear equations5, similar matrix and two typeAnd other basic concepts, basic theories and basic operational skills, and lay the necessary mathematical foundation for further courses and further knowledge of mathematics.While imparting knowledge through various teaching links gradually cultivate students with abstract thinking ability, logical reasoning ability, spatial imagination ability and self-learning ability, but also pay special attention to cultivate students with good operation ability and comprehensive use of the knowledge to the ability to analyze and solve problems.Two, the content of the course teaching, basic requirements and class allocation(1) teaching content1 determinant(1) definition of order n determinant(2) the nature of determinant(3) the calculation of the determinant is carried out in rows (columns)(4) the Clem rule for solving linear equations2, matrix(1) the concept of matrix, unit matrix, diagonal matrix, symmetric matrix(2) linear operations, multiplication operations, transpose operations and laws of matrices(3) inverse matrix concept and its properties, and inverse matrix with adjoint matrix(4) the operation of partitioned matrices3 vector(1) the concept of n-dimensional vectors(2) the linear correlation, linear independence definition and related theorems of vector groups, and the judgement of linear correlation(3) the maximal independent group of vectors and the rank of vectors(4) the concept of rank of matrix(5) elementary transformation of matrix, rank and inverse matrix of matrix by elementary transformation(6) n-dimensional vector spaces and subspaces, bases, dimensions, coordinates of vectors4 、 linear equations(1) the necessary and sufficient conditions for the existence of nonzero solutions of homogeneous linear equations and the necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of nonhomogeneous linear equations(2) the fundamental solution, the general solution and the solution structure of the system of linear equations(3) the condition and judgement of the solution of nonhomogeneous linear equations and the solution of the system of equations(4) finding the general solution of linear equations by elementary row transformation5, similar matrix and two type(1) eigenvalues and eigenvectors of matrices and their solutions(2) similarity matrix and its properties(3) the necessary and sufficient conditions and methods of diagonalization of matrices(4) similar diagonal matrices of real symmetric matrices(5) two type and its matrix representation(6) the method of linearly independent vector group orthogonal normalization(7) the concept and property of orthogonal transformation and orthogonal matrix(8) orthogonal transformation is used as the standard shape of the two type(9) the canonical form of quadratic form and two form of two type are formulated by formula(10) the inertia theorem, the rank of the two type, the positive definite of the two type and their discrimination(two) basic requirements1, understand the definition of order n determinant, will use the definition of simple determinant calculation2, master the basic calculation methods and properties of determinant3, master Clem's law4. Understand the definition of a matrix5, master the matrix operation method and inverse matrix method6. Understanding the concept of vector dependency defines the relevance of the vector by definition7, grasp the method of finding the rank of the matrix, and understand the relation between the rank of the matrix and the correlation of the vector group8, understand the concept of vector space, will seek vector coordinates9. Master the matrix rank and inverse matrix with elementary transformation, and solve the system of linear equations10, master the method of solving linear equations, and know the simple application of linear equations11. Master the method of matrix eigenvalue and eigenvector12. Grasp the concept of similar matrices and the concept of diagonalization of matrices13, master the orthogonal transformation of two times for standard type method14, understand the inertia theorem of the two type, and use thematching method to find the sum of squares of the two type15. Grasp the concept and application of the positive definiteness of the two typeMATLABIt is a programming language and can be used as a teaching software for engineering linear algebra. It has been introduced into many university textbooks at home and abroad.。

mathematica计算n阶行列式

mathematica计算n阶行列式n阶行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及求解线性变换等方面有着广泛的应用。

在Mathematica 中，我们可以使用Det函数来计算n阶行列式的值。

行列式是一个由元素组成的方阵，其中元素的排列方式对计算结果起到关键作用。

对于一个n阶行列式来说，我们可以通过对第一行（或第一列）展开来计算其值。

展开后的表达式是一个多项式，其中每一项的系数就是对应元素的代数余子式。

在Mathematica中，我们可以使用MatrixForm函数来直观地表示一个矩阵。

例如，对于一个3阶行列式来说，我们可以使用如下代码进行表示：```mathematicaMatrixForm[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]```其中，a、b、c等为矩阵的元素。

这样，我们就可以清晰地看到矩阵的结构，便于进行计算和分析。

接下来，我们将使用Det函数来计算一个n阶行列式的值。

假设我们有一个4阶行列式，可以使用如下代码进行计算：```mathematicaDet[{{a, b, c, d}, {e, f, g, h}, {i, j, k, l}, {m, n, o, p}}]```其中，a、b、c等为矩阵的元素。

运行此代码后，Mathematica将返回计算结果，即该4阶行列式的值。

除了计算n阶行列式的值，Mathematica还提供了其他一些与行列式相关的函数，如Eigenvalues、Eigenvectors等。

这些函数可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，从而进一步分析矩阵的性质和行列式的特点。

除了使用Det函数外，我们还可以使用Simplify函数对行列式进行化简。

化简后的行列式可以更好地展示其特点和性质，便于我们进行分析和理解。

在Mathematica中，我们还可以使用Transpose函数对矩阵进行转置。

转置后的矩阵可以改变行列式的排列方式，从而影响行列式的计算结果。

利用Mathematica软件实现线性方程组求解

利用Mathematica 软件实现线性方程组求解摘要：Mathematica 作为一款独特的数学软件,有强大的数值计算和符号计算能力,具有很强的实用性,而线性方程组在线性代数中具有重要的地位.针对线性方程组的解具有零解、唯一解、无穷解的情况,文章借助Mathematica 数学软件分别给出求解的算法以及如何直接调用内部函数求解线性方程组的方法.文章中主要利用高斯-约当（Gauss-Jordan ）消元法、矩阵的LU 分解法求解线性方程组,并用Mathematica 软件对这两种算法予以实现.同时给出了带有可读性好的求解过程、能用于各种逆矩阵和线性方程组求解的通用程序,利用Mathematica 数学软件实现对求逆矩阵和线性方程组的可读性计算.关键字：Mathematica ;线性方程组;可读性计算;算法引言1.Mathematica 软件功能简介Mathematica 作为一款独特的数学软件,有强大的数值计算和符号计算能力.同时,线性方程组是连接矩阵和向量组的纽带,也是矩阵和向量组的直接应用.在我们的实际工作中出现的大量数学模型,他们最后都可以化为解线性方程组,所以对线性方程组的解的研究是非常重要的.在数学的许多分支中都涉及到线性方程组的问题,我们通常分齐次与非齐次两大类以及未知量个数与方程个数相等或不等对其进行求解,在系数矩阵为方阵时,还可以按照行列式是否为零进行分类.对于线性方程组的求解,其算法是非常清楚的,就是利用矩阵的行初等变换将对应的增广矩阵化为行最简矩阵,然后就可写出通解.但是由于整个过程涉及到大量数字运算,往往会因计算过程中不小心出现一些计算错误而导致错误的结论,有时甚至出现对没解的方程求出有解,或相反.然而,如果利用数学软件Mathematica ,可以将大家从繁琐的数字运算中解脱出来,而将注意力集中在基本概念和基本算法的学习上,从而增加学习兴趣,提高学习效率.笔者从事了一年多大学生创新实验《基于数学软件的高等代数解题实践研究》,通过实践发现,如果能够通过计算机编程让计算机自动求解各种线性方程组,这将是非常快速、方便的.因此本文以Mathematica 数学软件为平台,通过举例、演示与实验来理解线性方程组中的一些抽象概念和理论,并简捷直观地用计算机来解决复杂的线性方程组的求解问题,化简过难、过繁的运算技巧.本文根据Mathematica 软件强大的数值计算无误差的特点和符号计算功能,总结Mathematica 的关于线性方程组计算的功能、命令,总结了求解线性方程组的解的算法,并给出带有可读性好的求解过程、能用于各种线性方程组求解的通用程序,实现线性方程组的可读性计算.由于本章用到线性代数的许多基本知识,有必要对相关的概念和性质做一下说明. 定义1 如两个方程组具有完全相同的解,则称两个方程组为等价方程组.定义2 关于方程组的初等运算有三种类型：1）交换方程组中两个方程：i j R R ↔,称为交换运算.2）用一个非零的实数乘以某一方程：i i R R λ→,称为倍法运算.3）某方程加上另一个方程的倍数：i j i R R R λ+→,称为消法运算.定理1 若一个方程由另一个方程经过有限次初等运算得到的,则这两个方程组等价.定义3 矩阵的初等变换,用i A 表示矩阵A 的第i 行,那么有：1）交换A 的两行：i j A A ↔,称为交换变换.2）用一个非零的实数λ乘以A 的某一行：i j A A λ→,称为倍法变换.3）用A 某行加上另一行的λ倍：i j i A A A λ+→,称为消法表换.定义4 对矩阵A 施行初等变换,得到的矩阵称为相应的初等阵.例如23100100010001001010A A ↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作23E2210010001000001001A A λλ⨯↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作()2E λ32310010001001000101A A A λλ+⨯↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记作()23E λ定理2 对矩阵施行初等变换相当于将矩阵左乘相应的初等阵.212+-210210221-101-5001001A A A ⨯→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）相当于12(-2)E A100102102-21021-1=01-5001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3 对任何n 阶矩阵A,以下性质等价：1） A 存在逆矩阵,即A 是可逆矩阵.2） 0A ≠,即A 是非奇异矩阵.3） A 的行向量组(列向量组)线性无关.4）方程组AX b =有唯一解.定理4 如果矩阵A 经过一系列的初等变换化为单位阵E,则单位阵E 通过相同的初等变换化为1A -.由此得出用初等变换求矩阵逆的方法下例所示. 例1：求矩阵123133247A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆. 解：()(2)(1)(1)(2)(3)(1)13(3)(2)13(1)(3)(3)(1)(1)(2)211231*********33010010-110247001011-201123100100010-110010001-1-110A E +-⨯→+-⨯→+-⨯→+-⨯→+-⨯→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭（）（）（）（）（）（）()-161-3-110=01-1-11E A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2 Mathematica 软件常用命令及其功能为了便于读者更好地利用Mathematica 软件解决数学问题,首先给出本文程序涉及的Mathematica 数学软件的命令及其功能.Append[expr,elem]——生成一个在表expr 的最后添加元素elem 后的表;Complement[listall, list1,list2,…]——求全集listall 对listi 的差集; Delete[expr,{i}]——删除expr 中第i 个元素后剩下的表;Do[expr,{imax}]——重复执行expr 共imax 次;Table[expr,{imax}]-—生成一个由表达式expr 产生的元素构成的共imax 个元素的表; Do[expr,{i,min,max}]——循环变量i 按步长1从min 取至max,重复执行表达式expr; Do[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},…]——多重循环;Dot[a,b]——矩阵、向量、张量a 与b 的内积;Transpose[list]——对矩阵list 进行转置; IdentityMatrix[n]——自动生成一个n 阶单位矩阵;Insert[expr,elem,n]——在表expr 的第n 个元素前插入元素elem 产生一个新表; If[condition,t,f]——如果条件condition 为True,执行t 段,否则执行f 段;Length[expr]——表expr 中第一层元素的个数( 通常称为表的长度);LinearSolve[A,b],给出向量x,使得Ax b =成立.——求解线性方程组Ax b =的一个特解; LUBackSubstitution[数据,b]——利用LUDecomposition[矩阵Ａ]输出的结果求解方程组矩阵.x=bLUDecomposition[A]——求出矩阵A 的LU 分解;LUMatrices[lu]——返回一个形式为{l,u}的列表;MatrixForm[expr]——按矩阵形式将表expr 输出;NullSpace[A]——求齐次线性方程组AX=0的基础解系;Print[expr1,expr2,…]——顺次输出表达式expri 的值;RowReduce[A]——将矩阵A 化为简化行梯形形式;Simplify[expr]——对表达式expr 进行化简;Solve[eqns,vars]——从方程组eqns 中解出变量vars;(*information*)--注释语句,其中information 表示对程序作说明;{a,b,c}--Mathematica 中表的结构,表示元素分别为a,b,c 的表;3线性方程组解的算法及在Mathematica 软件中的实现3.1线性方程组的解考虑线性方程组：,,,()n m m n A X b X R b R R A m ⨯=∈∈= （1）其对应的齐次线性方程组为：0AX = （2）讨论线性方程组AX b =的求解问题,式中A 为m n ⨯阶系数矩阵,b 为1m ⨯阶右端列向量,X 为待求的1n ⨯阶列向量.这里首先假定m n ≤,如果m n >留待稍后讨论.当m n =且行列式0A ≠时,称AX b =为恰定方程组;当m n <时,称AX b =为不定方程组;当m n >时,称AX b =为超定方程组;在上述方程组求解的讨论中,常常要用到系数矩阵A 的秩()R A ,与增广矩阵的秩(,)R A b ,有时还要计算对应齐次方程组0AX =的基础解系.线性方程组（1）的解有以下3个结论:线性方程组的解的基本问题：当()(,)R A R A b n ==时,（1）有唯一解;当()(,)R A R A b n =<时,（1）有无穷多组解;当()(,)R A R A b <时,（1）无解.线性方程组的解的结构问题：线性方程组（1）对应的齐次方程组（2）的基础解系由()n R A -个向量组成;（2）的通解为基础解系的任意线性组合;（1）的通解为（1）的特解与（2）的通解之和.Mathematica 软件中的命令Solve 可以直接求出方程组（不限于线性）的解,一般格式为：Solve[eqns,vars],其功能是从方程组eqns 中解出变量vars.（但对于大的方程组而言,这种方法就显得有点儿麻烦,而且效率不高.）也有专门用于求解线性方程组的命令,一般格式为：LinearSolve[A,b],给出向量x,使得AX b =成立.其功能是求解线性方程组AX b =的一个特解,此命令的缺陷是当方程组的解不唯一时,只能求出一个特解而不能求通解.其中A 是方程组的系数矩阵,而b 为线性方程组的“右边项”.如果A 为可逆阵,那么LinearSolve 就给出线性方程组的唯一解.如果A 为奇异阵,那么方程组就可能没有解,也有可能存在无穷组解.如果方程组具有唯一解,Mathematica 就会给出这个解（如例3）.如果方程组没有解,Mathematica 就会返回出错信息（*Linear equation encountered which has no solution.*）,即遇到了没有解的线性方程组.（如例4）例2：求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++147338523532321321321x x x x x x x x xA1={{2,1,3},{3,2,5},{3,3,7}};b1={5,8,14};Det[A1]=10≠,故知方程组有唯一解LinearSolve[A1,b1] （*利用Solve 函数求解11A X b =*）={-3,-4,5} （*求得解543321=-=-=x x x *）例3:求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++124313427233z y x z y x z y x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12171;4313422331b a a1={{3,3,2},{2,-4,3},{1,3,4}};b1={{7},{1},{12}};运行LinearSolve[a1,b1]得：231776,,701435⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫-⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭例4：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++1143313462z y x z y x z y x 没有解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11162;4333411122b a a2={{2,1,1},{1,-4,3},{3,-3,4}};b2={{6},{1},{11}};运行LinearSolve[a2,b2]得：LinearSolve::nosol: Linear equation encountered that has no solution.（遇到了没有解的线性方程组）LinearSolve[{{2,1,1},{1,−4,3},{3,−3,4}},{{6},{1},{11}}]如果方程组没有解,Mathematica 就会返回出错信息（*Linear equation encountered which has no solution.*）,即这是一个没有解的线性方程组.如果方程组Ax=b 有无穷组解,问题就有一些复杂了.对于这种情况,Mathematica 就会返回一个解,我们称其为特解.而所有解是由特解加上对应的齐次方程组Ax=0的所有解构成的.所有满足0AX =的向量X 全体称为A 的零空间,可以很容易地用NullSpace 命令确定出零空间的构造.NullSpace[A ]返回A 的零空间的基向量,即齐次线性方程组AX=0的基础解系.A 的零度,即A 的零空间中最大线性无关向量组的向量个数,可以通过运行Length[NullSpace[a]]得到. A的秩可以用n-Length[NullSpace[A]]算出,其中n表示A 的列数.例5：方程组2y74323349x zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有无穷组解.a={{2,1,1},{1,-4,3},{3,-3,4}};b={{7},{2},{9}};nullspacebasis=NullSpace[a]{{−7,5,9}}（*由于零向量非空,因此没有唯一解*）particular = LinearSolve[a, b]{{10/3}, {1/3}, {0}}（*这是一个特解*）方程组的完全解具有形式t*nullspacebasis+particular,其中t是任意参数.然而,为了表示成单个列表,我们必须展平nullspacebasis和particular. generalsolution = t*Flatten[nullspacebasis] + Flatten[particular]{10/3 - 7 t, 1/3 + 5 t, 9 t}作为检验的步骤,我们下面把一般解代回到原来的方程组中.a.x /. x -> {10/3 - 7 t, 1/3 + 5 t, 9 t} // Expand{7,2,9}关于线性方程组求解的算法研究已比较成熟,本文主要利用高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法和矩阵LU分解法求解线性方程组.3.2高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法求解线性方程组ax=b的高斯-约当方法是基于对增广矩阵[]a b的简化处理,这个过程通过初等变换把矩阵转化为简化行阶梯形的形式.基本初等行变换有下述三种：①交换两行②在一行中乘上一个非零常数③在一行中加上另一行的倍数.容易证明初等行变换对方程组的解没有影响.一个矩阵称为简化行阶梯形形式,是指①每一行中第一个非零元素都是1（称为首1）②在这个1的上面或者下面的元素都是0③对于两个首1的行,下面的行中第一个非零元素比前一个更靠右.在求解线性方程组时,我们首先应该使用初等行变换把增广矩阵转化为简化梯形形式.学过线性代数或者高等代数的读者都知道初等行变换是非常麻烦的,很容易出错.并且只要有一个地方出错,后面的计算就已经无用了.然而,Mathematica数学软件中的RowReduce命令可以自动把任意矩阵转化为简化行梯形形式.RowReduce[A]——把矩阵A 转化为简化行梯形形式.例6：考虑3⨯4阶矩阵,其元素为ij a i j =-.a=Table[Abs[i-j],{i,1,3},{j,1,4}];a//MatrixForm⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123012101210 RowReduce[a] //MatrixForm⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡23021100010001 下面我们演示行简化过程是怎么用于线性方程组的求解.为了便于比较,我们使用的范例采用前面的例3、例4与例5 中考虑的三个例子.例7：（a ）方程组124313427233=++=+-=++z y x z y x z y x （有唯一解）（b ）方程组1143313462=+-=+-=++z y x z y x z y x （无解）（c ）方程组943323472=+-=+-=++z y x z y x z y x (有无穷组解)这三个方程组的增广矩阵分别为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=9433234171123;11433134161122;12431134272331a a aa1={{3,3,2,7},{2,-4,3,1},{1,3,4,12}};a2={{2,1,1,6},{1,-4,3,1},{3,-3,4,11}};a3={{2,1,1,7},{1,-4,3,2},{3,-3,4,9}}; RowReduce[a1]//MatrixForm⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-357610014170107023001 (*当矩阵被简化后,如果把它看作方程组,容易看出x=-23/70,y=17/14,z=76/35*) RowReduce[a2] //MatrixForm795910001-00001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(*简化后的矩阵第三行指的是0001x y z ++=,这当然是不可能的.这个矛盾（一行中只有最后一个元素是非零,其余都是零）说明方程组没有解.*) RowReduce[a3] //MatrixForm7109351931001-0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(底行全是0没有任何不对的地方,然而这个方程组没有唯一解,如果令z=t,其中t 为独立参数,那么方程组的解具有如下形式：10715,,3939x t y t z t =-=+=) [注释] 虽然这个解与例5给出的解在形式上稍有些不同,但从它们确定相同的解集的意义上看,它们是等价的.求解线性方程组的算法步骤为：1.对增广矩阵（非齐次）或系数矩阵（齐次）进行初等行变换,将其转化为行最简形矩阵（对非齐次线性方程组判断是否有解);2.确定非自由未知量和自由未知量,将行最简形“翻译”为方程组;3.令自由未知量等于任意常数,得到通解.3.3 矩阵的LU 分解法（Doolittle 法）LU 分解法（杜利特尔Doolittle 方法）是另外一种经常使用的求解线性方程组的方法,尤其是当具有许多方程组,而且每个方程组的系数相同时,这种方法特别有用. LU 分解法的基本思想是这样的.如果A 为方阵,那么它可以分解为A=LU,其中L 为下三角矩阵,主对角线上元素全是1,U 为上三角矩阵.这样方程组Ax=b 就转化为（LU ）x=b,其可重写为L （Ux ）=b.如果令y=Ux,那么可以从Ly=b 中解出y,一旦有了y,就可以从Ux=y 中解出x.(LU)Ly b Ax b x b Ux y =⎧=⇔=⇔⎨=⎩虽然矩阵LU 分解法把一个方程组的求解转化为两个方程组的求解,但由于现在每个方程组的系数矩阵都是三角矩阵,因此计算起来速度是很快的.这样一来,如果使用LU 分解法求解线性方程组,就包含两个步骤：分解与回代.对应的Mathematica 命令就分别为LUDecomposition 与LUBackSubstitution .LUDecomposition[A]——求出矩阵A 的LU 分解;LUBackSubstitution[数据,b]——利用LUDecomposition[矩阵Ａ]输出的结果求解方程组矩阵.x=bLUDecomposition 的输出为数据,由三部分组成：（1）矩阵L 与U 被压缩到一个矩阵中,（2）一个置换向量,以及（3）矩阵的L ∞条件数.把数据送给LUBackSubstitution 就可以求解出线1112111121421222212221212111n n n n n nn n n nn a a a r r r a a a l r r A a a a l l r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭性方程组.置换向量对行进行重新安排,以保证矩阵具有最大的数值稳定性.本文不再对条件数加以讨论.LUDecomposition 与LUBackSubstitution 不能用于求解具有无穷组解的线性方程组.例8：利用LU 分解法求解线性方程组2y 743232213x z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.为了用LU 分解法求解线性方程组,我们首先对系数矩阵进行矩阵分解.2117143;2;32213a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦运行Clear all;a={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}};b={{7},{2},{13}};data=LUDecomposition[a]得{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1}LUBackSubstitution[data,b]{{1},{2},{3}}在例9和例10中演示了LUDecomposition 返回数据的结构.例9 567131232728m ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;m={{5,6,7},{1,3,12},{3,27,28}};{lu,m,cond}=LUDecomposition[m]{{{1,3,12},{5,-9,-53},{3,-2,-114}},{2,1,3},1}在本例中,没有进行行置换,因为此时的置换向量p 就是｛1,2,3｝.LUDecomposition[m]的第一部分是以压缩形式给出的两个矩阵,因为我们已知LU 的形式为100100100x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 所以要想指定矩阵L 、U,只需要指定九个元素（用x 表示）.在LUDecomposition[m]的第一部分就是用单个矩阵的形式给出这九个数.lu//MatrixForm234256347⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这些数虽然是组合在一个矩阵中,但每个数所在的位置却是分别与L 、U 中的位置一致的,因此100234LU 210056341007⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例10 211143322m ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; Clear all;m={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}};{lu,p,cond}=LUDecomposition[m]{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1}lu//MatrixForm714991432953⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--如果仍然按前面例子同样的步骤处理,就会得到71499100143210;095;3100l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 但这时l 与u 乘起来并不等于原来的矩阵.l.u//MatrixForm143211322-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦实际上这时置换向量为p=｛2,1,3｝,表明矩阵中第一行与第二行交换了顺序.如果这时交换l 中相应的行,再乘上U 就会得到原来的矩阵.149210100;31l ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L.U//MatrixForm211143322⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦重构出L 与U 矩阵的更方便的方法是利用LUMatrices 命令,这条命令包含在软件包LinearAlgebra`MatrixManipulation`中.LUMatrices[lu]——返回一个列表,形式为{l,u},由对应于lu 的矩阵在LU 分解中被置换后的上三角与下三角矩阵组成,其中lu 为运行LUDecomposition[A]所得结果中的第一个元素.例11：自动求解例9中的L 、U运行<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`调入软件包. 运行m={{2,1,1},{1,-4,3},{3,2,2}}; {lu,p,cond}=LUDecomposition[m]得数据{{{1, -4, 3}, {2, 9, -5}, {3, 14/9, 7/9}}, {2, 1, 3}, 1} 运行LUMatrices[lu] 得转换后的L 、U 矩阵｛｛1,0,0｝,{2,1,0},{3,14/9,1}｝,{{1,-4,3},{0,9,-5},{0,0,7/9}}} 由此可见可以自动提取转换后的L 、U 矩阵： L= LUMatrices[lu][[1]]; U= LUMatrices[lu][[2]];L[[p]]//MatrixForm (*L[[p]]根据向量p 对矩阵L 的行进行置换*)14921010031⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U//MatrixForm7914309500-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭运行下列命令,从结果可见L 与U 的乘积与原矩阵一致：L[[p]].U//MatrixForm211143322⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭例12：利用LU 分解法求解方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400320102423xLU 分解法的计算步骤：1.首先将方程组的系数矩阵进行LU 分解,得到A LU =.2.求解LY=b.3.求解UX=Y.(*输入数据*)A = {{3, 2, -4}, {2, 0, 1}, {0, 2, 3}}; b = {0, 0, 4};(*对A 进行LU 分解：A=LU*)Print["待求方程组为", MatrixForm[A], "x=", MatrixForm[b]]; n = Length[b];{lu, p, c} = LUDecomposition[A];Print["LU 分解的紧凑格式为", MatrixForm[lu]]; Print["置换向量为", p];l = lu SparseArray[{i_, j_} /; j < i -> 1, {n, n}] + IdentityMatrix[n]; Print["分离的L 矩阵为", MatrixForm[l]];u = lu SparseArray[{i_, j_} /; j >= i -> 1, {n, n}]; Print["分离的U 矩阵为", MatrixForm[u]]; (*求解Ly=b*)y = LinearSolve[l, b[[p]]]; Print["求解Ly=b 得:y=", y]; (*求解ux=y*)x = LinearSolve[u, y] // N; Print["方程组解为：x=", x];运行以上程序得：4线性方程组求解过程的可读性计算假设AX E =,其中A 为n 阶系数矩阵,E 为单位矩阵,即123=,,,,n E e e e e （）,其中(1,2,)i e i n =为单位列向量,X 为n 个列向量构成的矩阵,即2(,,)i n X x x x =,其中,(1,2,)i x i n =为列向量.于是,可以把等式AX E =看作求解n 个线性方程组,(1,2,)i i Ax e i n ==出了所有i x 之后,也即得到了矩阵X .而由AX E =可知,矩阵X 是A 的逆矩阵,即1X A -=.这样就求出了A 的逆矩阵.于是求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程.我们利用Mathematica 软件实现对求逆矩阵的可读性计算,对我们探讨线性方程组的解法有非常重要的意义.4.1 求逆矩阵可读性计算我们编写可读性程序如下： (*求矩阵的逆矩阵*)运行InvMatr[A_] := (If[! MatrixQ[A],Print["A is not a Matrix, We don't calculate the inverse of A."], Print["Matrix A =", MatrixForm[A], ", "]; If[Det[A] == 0,Print["Because of Det[A]=0, There isn't inverse Matrix of A."], n = Length[A];ident = IdentityMatrix[n]; AT = Transpose[A]; Temp = AT;Do[Temp = Append[Temp, ident[[i]]], {i, 1, n}]; AE = Transpose[Temp];Print["(A|E)=", MatrixForm[AE]]; Do[k = Infinity; r = j;Do[ If[Abs[AE[[i, j]]] < k && AE[[i, j]] != 0, k = AE[[i, j]]; r = i], {i, j, n}];If[r != j, TempMatrix = AE[[r]]; AE[[r]] = AE[[j]]; AE[[j]] = TempMatrix];Do[AE[[i]] = AE[[i]] - AE[[j]]*AE[[i, j]]/AE[[j, j]], {i, 1, j - 1}];Do[AE[[i]] = AE[[i]] - AE[[j]]*AE[[i, j]]/AE[[j, j]], {i, j + 1, n}]; AE[[j]] = AE[[j]]/AE[[j, j]];Print["-->", MatrixForm[AE]]; , {j, 1, n} ];B = Transpose[AE]; Temp = {B[[n + 1]]};Do[Temp = Append[Temp, B[[i]]], {i, n + 2, 2 n}];Print["The Inverse Matrix A of is ", Transpose[Temp] // MatrixForm, "."] ] ] )为说明本程序可用于任何对矩阵的逆的各种情形的求解处理,举例计算如下.例13：已知a1={2,3,1,4};a2={3,0,2,5};a3={4,3,8};a4={2,7,4,15};A={a1,a2,a3,a4},求A 的逆阵. 运行Clear; a1={2,3,1,4}; a2={3,0,2,5}; a3={4,3,8}; a4={2,7,4,15}; A={a1,a2,a3,a4}; InvMatr[A]得：A is not a Matrix, We don't calculate the inverse of A. 如果我们输入的A 不是矩阵,我们不可求A 的逆阵.例14：求矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛64401800154012202的逆矩阵. 运行Clear;a1={2,0,2,2}; a2={1,0,4,5}; a3={1,0,0,8}; a4={1,0,4,64}; A={a1,a2,a3,a4}; InvMatr[A]得：Matrix A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛64401800154012202 Because of Det[A]=0, There isn't inverse Matrix of A.此时,A 的行列式为0,A 没有可逆阵.例15：求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--242022233的逆矩阵.Clear;a1={3,3,2};a2={2,-2,0}; a3={-2,4,2}; A={a1,a2,a3}; InvMatr[A]运行结果为：例16：求矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000023000023000023000023的逆矩阵Clear;a1={3,2,0,0,0};a2={0,3,2,0,0};a3={0,0,3,2,0};a4={0,0,0,3,2}; a5={0,0,0,0,3};A={a1,a2,a3,a4,a5}; InvMatr[A]通过上面的讨论我们可以看出该程序对任何一个矩阵型数据均能做出相应的处理,对输入的矩阵为可逆时,程序能计算出逆矩阵.进而我们通过Mathemtica 软件对解方程组也可实现可读性计算.4.2 线性方程组的可读性计算虽然Mathematica 软件中有解方程组的函数,但是,用此函数求解方程组存在不足之处：不能看到求解方程组的过程,也不能看到求解方程组的其他信息;输入方程组信息的形式繁琐且输出的内容不符合代数教材中通常的习惯,不能为其他程序提供更多的信息.而通过Mathematica 软件到底能不能对解线性方程组算法的实现将其过程展现出来呢？我们的答案是肯定的.只是在求解过程中,要运用到更多的输出形式函数．其程序相对较复杂.程序中较多的命令都是由简单命令复合而成,现对复合命名的构造过程进行描述.为了使实例17中的增广矩阵2-21-1121-42-2334-103-57812-11-2-1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭具有分块形式22111|214223|3410357|812112|1⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭---------, 就需要在最后一列前插入符号“|”进行分隔,但Mathematica 中的矩阵是由行表构造而成,因此先用Transpose 命令对矩阵AUB 进行转置,并事先生成一个全由“|”为元素的一维表B0,一次性地把B0 插入到AUB 的转置矩阵的最后一行之前,然后再转置,就实现了我们希望的输出效果．完整的命令如下：B0=Table["|",{i,1,m}];MatrixForm[Transpose[Insert[Transpose[AUB],B0,n+1]]]Mathematica对表进行操作时是对表的每个元素进行同一操作,因此在对AUB 中找出的主元AUB(r,j)进行归一化处理时,可用下列命令实现对r行元素各除以AUB(r,j)：AUB[[r]]=AUB[[r]]/AUB[[r,j]];为了把j 列除主元AUB(r,j)外的各元素全变成零,可对1 至r-1 行及r+1 至m 行分别进行第三类初等行变换．完整命令如下：Do[AUB[[i]]=AUB[[i]]-AUB[[r]]*AUB[[i,j]] ,{i,1,r-1}];Do[AUB[[i]]=AUB[[i]]-AUB[[r]]*AUB[[i,j]] ,{i,r+1,m}];处理解唯一时的输出时要解决的问题：AUB 的第n+1 列就是所求的解,但当m>n 时由于方程个数比未知量个数多,直接输出AUB(n+1)将出现多余的0,因此先把这些0 的位置存入表dele 中,再用Delete 命令把AUB(n+1)中多余的0 删除;为了把行向量以列的方式输出,由于Transpose 对一维表无效,因此把删除多余元素后的表放在{}中以增加其维数,最后形成的完整命令如下：dele=Table[{i},{i,n+1,m}];MatrixForm[Transpose[{Delete[Transpose[Simplify[AUB]][[n+1]], dele]}]]]下面是经过完整的求解线性方程组的可读性计算的完整程序：conslist = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, C12, C13,C14, C15, C16, C17, C18, C19, C20, C21, C22, C23, C24, C25};varlist = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13,x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25}; MatrixPrint[A_] := (B0 = Table["|", {i, 1, m}];MatrixForm[Transpose[Insert[Transpose[AUB], B0, n + 1]]])PrintSolve[] := (ME = IdentityMatrix[S];basV = Complement[Table[i, {i, 1, n}], fuq];L = Length[basV];(*L 记录基变量的个数*)AUB = Transpose[AUB];eta = Table["", {S}];i = 0; eta[[i]] = AUB[[n + 1]];eta[[i]] = Table[eta[[i]][[j]], {j, 1, L}];Do[eta[[i]] = Insert[eta[[i]], 0, fuq[[k]]], {k, 1, S}];Do[eta[[i]] = -AUB[[fuq[[i]]]];eta[[i]] = Table[eta[[i]][[j]], {j, 1, L}];Do[eta[[i]] = Insert[eta[[i]], ME[[i, k]], fuq[[k]]], {k, 1,S}], {i, 1, S}];Ck = Table[conslist[[i]], {i, 1, n}];solv = MatrixForm[Transpose[{eta[[0]]}]];Do[solv = solv + MatrixForm[Transpose[{eta[[i]]}]]*Ck[[i]], {i, 1,n - r}];Print["X=", solv];)SolutionEquation[A_, B_] := (n = Length[A[[1]]]; m = Length[B];X = Table[varlist[[i]], {i, 1, n}]; AX = Dot[A, X];Print["求解下列线性方程组:"];Do[Print[AX[[i]], "=", B[[i]]], {i, 1, m}];Print["解:先对增广矩阵进行初等行变换:"];AUB = Transpose[Append[Transpose[A], B]];Print[MatrixPrint[Simplify[AUB]]];r = 1; fuq = {};(*fuq 存放自由未知量的下标*)Do[k = Infinity; flag = 0;(*查找列主元素的位置*)Do[If[AUB[[i, j]] != 0, flag = 1], {i, r, m}];If[flag == 0, fuq = Append[fuq, j]; Continue,Do[If[Abs[AUB[[i, j]]] < k && AUB[[i, j]] != 0, k = AUB[[i, j]]; t = i], {i, r, m}];If[t != r, TempMatrix = AUB[[t]];AUB[[t]] = AUB[[r]]; AUB[[r]] = TempMatrix];AUB[[r]] = AUB[[r]]/AUB[[r, j]];Do[AUB[[i]] = AUB[[i]] - AUB[[r]]*AUB[[i, j]], {i, 1, r - 1}];Do[AUB[[i]] = AUB[[i]] - AUB[[r]]*AUB[[i, j]], {i, r + 1, m}];Print["-->", MatrixPrint[Simplify[AUB]]];r = r + 1];, {j, 1, n}];r = r - 1;S = n - r;(*基础解系中解的个数*)Print[" 增广矩阵的秩r=", r, ", 未知量个数 n=", n, ";"];If[r == n, Print["结论：因为增广矩阵的秩等于未知量个数,方程组有唯一解：X=", dele = Table[{i}, {i, n + 1, m}];MatrixForm[Transpose[{Delete[Transpose[Simplify[AUB]][[n + 1]], dele]}]]], If[r == m, Print["结论：因为增广矩阵的秩等于方程个数且小于未知量个数,方程组有无穷多组解："];PrintSolve[],If[AUB[[r + 1, n + 1]] != 0, Print["因为增广矩阵的秩小于未知量个数,但 dr+1!= 0,所给方程组无解"], Print["因为增广矩阵的秩小于未知量个数, 且dr+1=0,方程组有无穷多组解："];PrintSolve[];];];];)说明：本程序可用于变量在25个内的任何线性方程组的求解,如果变量超过25个,只需要增加程序中conslist 与varlist 分量个数即可.例17：求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+-+-=+-+-=+-+-2342310634852232533354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 在Mathematica 输入并运行：A={{3,-3,1,-1,1},{1,-5,2,-3,2},{5,-8,4,-3,6},{1,3,-2,4,-3}};b={3,2,10,2};SolutionEquation[A,b]即得到如下求解结果,其中所有内容全部由程序自动输出得到. 求解下列线性方程组: 3x1-3x2+x3-x4+x5=3 x1-5x2+2x3-3x4+2x5=2 5x1-8x2+4x3-3x4+6x5=10 x1+3x2−2x3+4x4−3x5=2例18：求解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++--=+-++=+-++1423412231245354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 在Mathematica 输入并运行：A={{1,3,5,-4,2},{1,3,2,-2,1},{1,-4,1,1,-1},{1,2,1,-4,1}};b={1,-1,3,-1}; SolutionEquation[A,b]即得到如下求解结果,其中所有内容全部由程序自动输出得到.例19：求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++=--=-+332523233231321321321x x x x x x x x x x x a1={1,2,-1};a2={1,-3,-1};a3={3,1,2};a4={-2,0,3};A={a1,a2,a3,a4};B={3,2,5,-3}; SolutionEquation[A,B]参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003[2] 王绍恒,王艺静.利用Mathematica软件实现解线性方程组的可读性计算[J].重庆三峡学院学报,2009(3),25（3）:143-146[3] 姜友谊,应宏,王绍恒.化实对称矩阵为对角矩阵的计算机算法[J]．西南民族学院学报,2002,28(4)：428-432[4] 张禾瑞,郝鈵新,高等代数(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2007[5] 刘水强,王绍恒．利用初等行变换解线性矩阵方程[J]．重庆三峡学院学报,2001,17(5)：87-89[6] 徐士良.计算机常用算法[M].北京:清华大学出版社,2000.8．[7] 徐安农,科学计算引论：基于Mathematica的数值分析[M].北京:机械工业出版社,2010.8[8] 冯天祥,数值计算方法理论与实践研究[M].成都：西南交通大学出版社,2005[9] 阳明盛,林建华.Mathematica基础及数学软件[M],大连：大连理工大学出版社,2003[10][美] Rchard J. Gaylord,Samuel N.Kamin ,Paul R. Wellin著,耿勇译.数学软件Mathematica 入门[M].高等教育出版社,2001[11][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].邓建松,彭冉冉,译.北京：科学出版社,2002.。

数学软件四大家族——Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica优缺点比较

数学软件四⼤家族——Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica优缺点⽐较⽬录数学软件四⼤家族——Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica优缺点⽐较2016-11-10 20:03 ⽬前在科技和⼯程界上⽐较流⾏和著名的数学软件主要有四个，分别是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica。

它们在各⾃针对的⽬标都有不同的特⾊。

Maple V 系统 Maple V是由Waterloo⼤学开发的数学系统软件，它不但具有精确的数值处理功能，⽽且具有⽆以伦⽐的符号计算功能。

Maple V的符号计算能⼒还是MathCAD和MATLAB等软件的符号处理的核⼼。

Maple提供了2000余种数学函数，涉及范围包括：普通数学、⾼等数学、线性代数、数论、离散数学、图形学。

它还提供了⼀套内置的编程语⾔，⽤户可以开发⾃⼰的应⽤程序，⽽且Maple⾃⾝的2000多种函数，基本上是⽤此语⾔开发的。

Maple采⽤字符⾏输⼊⽅式，输⼊时需要按照规定的格式输⼊，虽然与⼀般常见的数学格式不同，但灵活⽅便，也很容易理解。

输出则可以选择字符⽅式和图形⽅式，产⽣的图形结果可以很⽅便地剪贴到Windows应⽤程序内。

5个星的数学软件，纯粹数学的巨⼈，如果想做数学和应⽤数学的能⼒（数值的除外）其是最好的选择。

但是此软件⼆次开发能⼒不好，仅把软件的发展⽬标放在数学上，不想向其它领域发展。

Maple⾃带的语⾔较容易理解，就像⽤英语说话⼀样。

优势：符号计算⾮常强⼤，和Mathematica相⽐各有千秋许多多项式操作⽐Mathematica更快⼀些符号积分Maple也有速度优势（特别是不定积分），不过有时返回的结果没有Mathematica给出的更严谨、鲁棒性好，能算的积分类型没有Mathematica多Maple的“适应性”更好，有的问题Mathematica需要⼀定的预处理才能算的更快，得出满意的结果Maple更擅长(偏)微分⽅程，(其实Maple和Mathematica都能解⼀些对⽅解不了的⼀些特殊微分⽅程)可以带步骤求解⼀些问题，Mathematica需要第三⽅的Package或借助WolframAlpha上⼿较快，⼀些常见的操作⽆需命令，通过右键菜单就能完成缺点：界⾯有点卡(基于Java swing)，经典界⾯流畅但是很⼟⾃带的代数⽅⾯的package⽐较丰富化简能⼒，不等式求解，逻辑系统较Mathematica逊⾊⼀些数值计算总体上⽐Matlab和Mathematica差⼀些⾼精度和⼤数计算⽅⾯强于Matlab弱于Mathematica统计⽅⾯有些薄弱MATLAB 系统 MATLAB原是矩阵实验室（Matrix Laboratory），在70年代⽤来提供Linpack和Eispack软件包的接⼝程序，采⽤C语⾔编写。

常用数学软件教程 044 第4章 Mathematica使用基础第4节线性代数

第4章 Mathematica 使用基础4.4 线性代数目录索引4.4 线性代数 (3)4.4.1 矩阵定义 (3)Array[f ，n]：定义n 维向量f (3)Array[f ，{n 1，n 2，…}]：定义n 1×n 2×…阶矩阵f........................................... 3 Array[f ，{n 1，n 2，…}，{r 1，r 2，…}]：定义n 1×n 2×…阶矩阵f ，其起始下标为r 1，r 2，… .......................................................................................................... 3 IdentityMatrix[n]：n 阶单位矩阵.................................................................. 3 DiagonalMatrix[list]：对角线为list 中元素的对角矩阵 .................................. 3 DiagonalMatrix[list ，k]：第k 条副对角线上为list 中元素，其余元素为0的矩阵 3SparseArray[{pos 1，pos 2，…}->{val 1，val 2，…}]： CostantArray[f ，{n 1，n 2，…}]：在位置pos i 上元素值为val i 的稀疏矩阵............................................................... 4 SparseArray[{pos 1，pos 2，…}->{val 1，val 2，…}]： CostantArray[f ，{n 1，n 2，…}]：每一个元素都等于常数c 的n 1×n 2×…阶矩阵f ..................................................... 4 HilbertMatrix[n]：n×n 阶希尔伯特矩阵，元素等于1/(i+j-1) .......................... 4 HankelMatrix[n]：n×n 阶汉克尔矩阵，第一行和第一列元素为1、2、…、n . 4 HankelMatrix[list]：以list 为第一行和第一列元素的汉克尔矩阵 ................... 4 ToeplitzMatrix[n]：n×n 阶特普利茨矩阵，第一行和第一列元素为1、2、…、n 4ToeplitzMatrix[list]：以list 为第一行和第一列元素的特普利茨矩阵 .............. 5 ※注：在Mathematica5.0中，要先调用线性代数程序包...................................... 5 A[[i ，j]]或a[[i ，j]]：A=Array[a ，{m ，n}]的第i 行第j 列元素 ..................... 7 A[[i]]：A 的第i 行元素 ............................................................................... 7 A[[All ，j]]：A 的第j 列元素 ....................................................................... 7 A[[{i1，i2，...，ip}，{j1，j2，...，jq}]]：由第i1，i2，...，ip 行和第j1，j2，...，jq 列构成的子矩阵.............................................................................................. 7 Take[A ，{i0，i1}，{j0，j1}]：由第i0，i1行到第j0，j1列构成的子矩阵 .... 7 Tr[A ，List]：由列表给出矩阵的对角线元素................................................. 7 4.4.2 矩阵运算 .. (7)A+B ：矩阵A 、B 相加 ................................................................................ 8 c*A ：常数c 乘以矩阵A.............................................................................. 8 A.B ：矩阵A 、B 相乘，即矩阵的内积 (8)A*B ：矩阵A 、B 的对应元素相乘 ............................................................... 8 A^n ：矩阵A 的每个元素都进行n 次幂运算 (8)Dot[a ，b]：向量a 与b 的内积.cos a b ab θ=（即向量a 的长度乘以向量b 在a 上的投影的长度），θ为向量a 与b 的夹角 (9)Cross[a，b]：向量a与b的外积sin⨯=（其长度等于以向量a、a b a bθb为边的平行四边形的面积），θ为向量a与b的夹角 (9)Transpose[m]：计算矩阵m的转置 (9)ConjugateTranspose[m]：计算m的转置共轭阵 (9)Inverse[m]：求m的逆矩阵 (9)Det[m]：求m的行列式 (9)Minors[m]：求方阵m的子式，其中第{i，j}个元素是去掉第n-i+1列和第n-j+1行之后的行列式的值 (9)Minors[m，k]：求m的所有k阶子式 (9)Tr[m]：求m的迹 (9)MatrixRank[m]：求m的秩 (9)MatrixPower[m，n]：求m的n次幂 (10)MatrixExp[m]：求e m (10)Normalaze[v]：将向量v单位化 (11)Orthogonalize[{v1，v2，...}]：将向量组v1，v2，...单位化 . (11)GramSchmidt e[{v1，v2，...}]：将向量组v1，v2，...单位化（Mathematica5.0中） (11)Norm[expr]：求向量或矩阵的范数 (12)Norm[expr，p]：求p的范数 (12)Eigenvalues[m]：求方阵m的特征值 (12)Eigenvalues[m，k]：给出方阵m的前k个特征值 (12)Eigenvectors[m]：求方阵m的特征向量 (12)Eigenvectors[m，k]：给出方阵m的前k个特征向量 (12)Eigensystem[m]：给出方阵m的（特征值、特征向量） (12)Eigensystem[m，k]：给出方阵m的前k个(特征值、特征向量) (12)LinearSolve[m，b]：求mx=b的一个解，若m非奇异，得唯一解；若m奇异，的方程组的一个特解 (13)NullSpace[m]：求mx=O的基础解系 (13)LUDecomposition[m]：对方阵m进行LU分解 (14)CholeskyDecomposition[m]：将对称正定矩阵m做楚列斯基分解 (14)QRDecomposition[m]：给出m的QR分解，结果存放为{q，r}，q为正交方阵，r为上三角阵 (14)JordanDecomposition[m]：给出方阵m的若尔当分解，结果存放为{s，j}，s为过渡矩阵，j为若尔当标准型 (14)N[expr]：给出表达式expr的近似值，默认有效数字为6位 (15)N[expr，n]：给出expr的近似值，有效数字为n位 (15)Expr//N：给出expr的近似值，默认有效数字为6位 (15)Map[f，expr]：对expr中第1层次的元素进行f操作 (15)4.4 线性代数相信大家在学习线性代数时，对于求一个较大矩阵的逆、特征值或者将其化为标准型，都会为其繁冗的符号运算头痛不已。

高等数学名词

高等数学名词
一些高等数学的常见名词包括：
1. 线性代数（Linear Algebra）：研究线性方程组、向量空间、线性变换等内容。

2. 微积分（Calculus）：分为微分学和积分学，研究极限、导数、微分方程、积分等内容。

3. 离散数学（Discrete Mathematics）：研究图论、集合论、组
合数学等离散结构和离散问题。

4. 概率论与数理统计（Probability and Mathematical Statistics）：研究随机事件的概率和统计学中的数据分析、假设检验等方法。

5. 偏微分方程（Partial Differential Equations）：研究多元函数
的偏导数和满足一定方程的解。

6. 实变函数论（Real Analysis）：研究实数集、连续函数、极限、序列等实数函数的性质。

7. 复变函数论（Complex Analysis）：研究复数集、复数函数、解析函数等内容。

8. 数学物理（Mathematical Physics）：研究数学理论在物理问
题中的应用，如量子力学、泛函分析等。

9. 数字分析（Numerical Analysis）：研究用数值方法解决数学问题的算法和误差分析。

10. 几何学（Geometry）：包括欧氏几何、非欧几何和微分几何等研究空间形状和变换的数学分支。

线性代数课程简介

通过系数矩阵和常数向量来表示线性方程组。
线性方程组的增广矩阵表示法
将系数矩阵和常数向量合并为一个增广矩阵。
线性方程组的向量表示法
将未知数表示为向量，通过向量运算来表示线性方程组。
高斯消元法求解过程
高斯消元法的基本思想
通过对方程组进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，从而求解未知数。
高斯消元法的步骤
数值计算
正交变换在数值计算中可用于求解线性方程组、特征值问题等。
信号处理
正交变换在信号处理中可用于信号分解、滤波等。
07
二次型与正定矩阵
二次型概念及标准型
二次型定义
二次型是一个二次齐次多项式，其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n}a_ {ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系数， $x_i$和$x_j$是变量。
05
线性变换与矩阵对
角化
线性变换定义及性质
线性变换定义
线性变换是一种特殊的映射，它保持向量空间中的加法和数乘运算封闭性。即对于任意向量v和w以及标量k和l，有 T(kv + lw) = kT(v) + lT(w)。
保持向量加法
T(v + w) = T(v) + T(w)。
保持原点不动
T(0) = 0。
01
正定矩阵定义：对于任意非零向量$X$，都有$X^TAX > 0$，则称对称矩阵$A$是正定的。
02
正定矩阵的性质
03
正定矩阵的特征值都是正数。
04
正定矩阵的行列式大于零。
05
正定矩阵可逆，且逆矩阵也是正定的。
06

mathematica 行向量列向量矩阵

mathematica 行向量列向量矩阵Mathematica是一款强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析等领域。

本文将重点介绍Mathematica中的行向量、列向量以及矩阵的相关概念和操作。

一、Mathematica基础概念介绍Mathematica中的向量和矩阵是线性代数的基本概念。

向量是具有相同类型的元素的序列，可以表示为一个列表。

矩阵是具有相同类型的元素的二维数组。

在Mathematica中，行向量和列向量分别表示为一维列表和二维列表。

二、行向量与列向量的定义及应用1.行向量：行向量是一个长度为n的列向量，其中n表示向量中元素的个数。

在Mathematica中，用方括号[]表示行向量，如下所示：```{a1, a2, a3, ..., an}```2.列向量：列向量是一个长度为n的行向量，其中n表示向量中元素的个数。

在Mathematica中，用圆括号()表示列向量，如下所示：```(a1, a2, a3, ..., an)```3.应用：行向量和列向量在Mathematica中有很多应用，如线性方程组求解、矩阵运算等。

三、矩阵的创建与操作1.创建矩阵：在Mathematica中，可以使用以下方法创建矩阵：```Matrix[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]```其中，{a1, a2, a3}和{b1, b2, b3}分别表示矩阵的行向量和列向量。

2.矩阵操作：矩阵在Mathematica中可以进行加法、减法、乘法等基本操作。

以下为一个例子：```Matrix[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}] + Matrix[{7, 8, 9}, {10, 11, 12}]```3.矩阵转置：使用Transpose函数可以实现矩阵的转置，如下所示：```Transpose[Matrix[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]```四、实例演示与实践以下为一个简单的实例，演示如何使用Mathematica解决线性方程组问题：```方程组：a * x +b * y = 1c * x +d * y = 2已知系数矩阵：{a, b, c}{d, e, f}求解得到的解为：{x, y}```使用Mathematica求解：```eqns = {a * x + b * y == 1, c * x + d * y == 2};coefficients = {a, b, c, d, e, f};sol = Solve[eqns, x, y];```通过以上实例，我们可以看出Mathematica在处理线性方程组问题方面的强大功能。

数学的所有名词解释

数学的所有名词解释数学作为一门精确的科学，有着严谨的定义和丰富的名词术语。

在这篇文章中，我将为您解释和探讨数学中的一些重要名词，希望能够帮助您更好地理解和欣赏数学的美妙之处。

1. 数学（Mathematics）数学是一门探索数量、结构、变化以及空间等概念的学科。

它以逻辑推理和抽象概念为基础，通过符号和公式描述现实世界的规律性。

数学的研究对象包括数的性质、图形和空间关系、量的测量以及随机现象等。

2. 数（Number）数是数学研究的基本概念，用于计量和表示数量。

数可分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。

自然数是最基本的数，从1开始并依次增加。

整数包括自然数以及它们的相反数和0。

有理数是可用两个整数的比表示的数，可以是有限小数或无限循环小数。

实数则涵盖了所有的有理数和无理数，如开根号2和圆周率π等。

3. 运算（Operation）运算是数学中进行数值计算和加工的方式。

常见的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法是将两个数合并为一个数，减法是从一个数中减去另一个数，乘法是将两个数相乘，除法则是将一个数分为多少份。

运算还可以通过符号和规则来表示，例如加号（+）、减号（-）、乘号（×）和除号（÷）等。

4. 几何（Geometry）几何是研究形状、大小、相对位置以及空间属性的数学分支。

它通过点、线、面、体等基本元素，以及角度、长度、面积和体积等概念来描述和分析图形。

几何还包括平面几何、立体几何以及尺度几何等不同的分支。

5. 代数（Algebra）代数是研究数与符号之间关系的数学分支。

它使用字母和符号来表示数和未知数，并通过方程式和不等式等形式来描述数学关系。

代数涉及各种代数运算，如解方程、因式分解、多项式运算以及函数等。

6. 概率与统计（Probability and Statistics）概率与统计是研究随机现象和数据分析的数学分支。

概率研究的是不确定性事件的可能性，统计则关注从实际数据中推断出总体特征和规律。

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数课程代码：课程性质: 必修总学分：2 总学时： 32* 其中理论教学学时：32*适用专业和对象：理（非数学类专业）、工、经、管各专业**使用教材：注：（1）大部分高校开设本课程的教学学时数约为32—48学时，为兼顾少学时高校开展教学工作，本大纲以最低学时数32学时（约2学分）进行教学安排，有多余学时的学校或专业可对需要加强的内容适当拓展教学学时。

（2）对线性代数课程而言，理工类与经管类专业的教学基本要求几乎一致，所以这里所列教学内容及要求对这两类专业均适合。

一、课程简介《线性代数》是高等学校理（非数学类专业）、工、经、管各专业的一门公共基础课，其研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

该课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性。

主要内容是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法，使学生具有熟练的矩阵运算能力并能用矩阵方法解决一些实际问题。

通过本课程的学习，使学生理解和掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算，理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构，掌握线性方程组的求解方法和理论，掌握二次型的标准化和正定性判定。

线性代数的数学思想和数学方法深刻地体现辩证唯物主义的世界观和方法论，线性代数的发展历史也充分展示数学家们开拓创新、追求真理的科学精神，展现古今中外数学家们忠诚爱国、献身事业的高尚情怀。

思想政治教育元素融入线性代数的教学实践之中，可以培养学生用哲学思辨立场、观点和方法分析解决问题，能够提高学生的创新能力和应用意识，培养学生的爱国主义情怀、爱岗敬业精神和开拓创新精神，帮助学生在人生道路上形成良好的人格，树立正确的世界观、人生观、价值观。

线性代数理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在物理、化学、生物、航天、经济、工程等领域中都有着广泛的应用。

同时，线性代数课程注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力、空间直观和想象能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

线性代数项目-mathematics

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Mathematica教程用Mathematica求解线性代数基本问题

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