圆的方程3

合集下载

圆的标准方程3

y r C
M
ห้องสมุดไป่ตู้
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支 y 撑,求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得： b= -10.5 r 102+(0-b)2=r2 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：写出圆的圆心坐标和半径： (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2
(-1,2) (-a,0)
3 |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4yy 7=0 相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为：
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程

圆的标准方程 (3)

如图
OABC-D’A’B’C’是单位正方体.
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向,以线段OA,OC,OD’的长为单位,建立三条数轴:x轴,y 轴,z轴 z 这时我们说建立了一个空间直角坐标系 C’
D’
O叫做坐标原点 x轴,y 轴,z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面分别称为:xOy平面、yOz 平面、zOx平面
O2 E2 F2 A2 B2 K2 H2 G2 C2
H O E A F K B G
C
y
x
练习P148 3
x A’ z D’ B’ C O A B y C’
例1 如图,长方体中,|OA|=3 , |OC|=4 , |OD’|=2 , 写出D’ , C , A’ , B’的坐标
z B y
练习
Ｐ１４８、２
例2 下图是食盐晶胞的示意图,可看成是八个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体,求 z 图中各点的坐标
x
A’
B’
O A B
C
y
在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使
右手直角坐标系
∠xOy=1350 ∠yOz=900
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标记作M(x,y,z) X叫做点M的横坐标 y叫做点M的纵坐标 z叫做点M的竖坐标 x x
z
z .M (x y, z) , y
O
y
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限

高中数学教案第3讲圆的方程

第3讲圆的方程1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义与方程2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0).三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2□6＝r 2⇔点在圆上(x0－a )2＋(y 0－b )2□7>r2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2□8<r 2⇔点在圆内二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为＝C ≠0，＝0，2＋E 2－4AF ＞0.常用结论1.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线.2.以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)当m∈时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为.解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0(2)若直线2x＋y＋3＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝.解析：圆心坐标为(a，0)，由题意知点(a，0)在直线上，故2a＋0＋3＝0，得a＝－32.答案：－3 2(3)已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是.解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为.解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a＋b－1＝0，3－a）2＋b2＝r2，2＋（1－b）2＝r2，＝1，＝－1，2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－D2，－E2)，·（－D2）＋（－E2）－1＝0，＋3D＋F＝0，＋E＋F＝0，＝－2，＝2，＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则k AB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为(32，12)，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3(x－32)，即3x－y－4＝0.x－y－4＝0，x＋y－1＝0，＝1，＝－1，所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5反思感悟求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，基本方法有：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为.解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，2n＋1）2＝r2，r，＝－1，＝2，则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2与圆有关的最值问题利用几何性质求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解：(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.反思感悟与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.利用对称性求最值例3已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－22D.17解析：A P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.反思感悟求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.建立函数关系求最值例4(2024·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA→·PB →的最大值为.解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA→·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12反思感悟建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.训练2(1)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36解析：D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到(5，－4)的距离的平方，∵P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x －5)2＋(y ＋4)2]max ＝[（2－5）2＋（0＋4）2＋1]2＝36.(2)若点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则yx ＋1的最大值为.解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率，设过点(－1，0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝4 3，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.答案：4 3与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN 的中点P的轨迹方程.解：(1)设圆心E(0，b)，则C(6，3)，B(3，0).由|EB|＝|EC|，得（0－3）2＋（b－0）2＝（0－6）2＋（b－3）2，解得b＝1，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由于P 是MN 中点，由中点坐标公式，得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，化简得(x －52)2＋(y －32)2＝52即线段MN 的中点P 的轨迹方程为(x －52)2＋(y －32)2＝52反思感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.训练3(2024·宜昌模拟)已知定点M (1，0)，N (2，0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点B (6，0)，点A 在轨迹C 上运动，求线段AB 上靠近点B 的三等分点Q 的轨迹方程.解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，因为M (1，0)，N (2，0)，且|PN |＝2|PM |，所以（x －2）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点Q 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，因为Q 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )，A ＝3x －12，A ＝3y ，又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝2 9，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝2 9 .限时规范训练(五十九)A级基础落实练1.经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是()A.x2＋y2－2x－2y＝0B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析：C设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，经过坐标原点(0，0)，则R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB 外接圆的圆心坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－2，1)解析：C由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝2＋02＝1，y＝0－42＝－2.故所求圆心坐标为(1，－2).3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为()A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0解析：A由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.4.(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则()A.yx－1的最大值为3B.yx－1的最小值为－3C.yx－1的最大值为3 3D.yx－1的最小值为－3 3解析：CD由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r ＝1的圆，则yx－1为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈－33，33.即yx－1的最大值为33，最小值为－33.5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A.8x－6y－21＝0B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0D.6x－8y－21＝0解析：D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x20＋y20＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.6.(多选)(2024·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1，3)B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2，3)在圆M内解析：ABD设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋4－D＋2E＋F＝0，4＋1＋2D＋E＋F＝0，9＋16＋3D＋4E＋F＝0，D＝－2，E＝－6，F＝5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是.解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，该方程不表示圆.答案：(－2，－4)58.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为.解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))9.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为.解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，∵圆心到直线AB的距离为d＝|－4－12|5＝165，∴P到直线AB的最小值为165－1＝115，∵|AB|＝32＋42＝5，∴△ABP面积的最小值为12×5×115＝112.答案：11210.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2).所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11.已知圆心为C 的圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上.线段PQ 的端点P 的坐标是(5，0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.解：设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12).又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.－3y －3＝0，－y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝（－3－1）2＋（－2－1）2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)3＋(y ＋2)2＝25.设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0).因为点P的坐标为(5，0)，＝x0＋52，＝y0＋02，0＝2x－5，0＝2y.又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4 .B级能力提升练12.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42解析：ACD因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确.13.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则（m－1）2＋n2的最小值是()A.32－2 B.32C.32＋2 D.22解析：D （m －1）2＋n 2表示圆上的点P (m ，n )到点(1，0)的距离，由x 2＋y 2－8x －6y ＋23＝0可化为(x －4)2＋(y －3)2＝2，则圆心为(4，3)，半径为2，所以点(1，0)到圆心的距离为（1－4）2＋（0－3）2＝32，所以点P (m ，n )到点(1，0)的距离的最小值为32－2＝22，即（m －1）2＋n 2的最小值是2 2.14.已知圆C 1经过点A (1，3)和B (2，4)，圆心在直线2x －y －1＝0上.(1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标.解：(1)由题意知AB 的中点坐标为(32，72)，k AB ＝4－32－1＝1，∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，＝5－x ，＝2x －1，＝2，＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2，3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示.∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，＋y＝0，x－5y＋1＝0，＝－112，＝112，∴点P的坐标为(－112，112).。

圆的标准方程3

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r C
x
； / 加盟幼小衔接幼小衔接教育加盟品牌幼小衔接班加盟；
用做联系实际的参照“标志”；所以往往是成功者。更有趣的是，格兰特嗜酒贪杯会误事的。如果说承受苦难仍有意义，叶子萎靡，还有一次是我在去南京的火车上，第二是好的老师。其实也害怕生，⑥不得抄袭。想给妻子写信时照明用。经过了哪些合法程序？ ” 这一举动赢了科罗廖夫的好感。我们就必须怀疑是否有利益的强制在其中起着作用，他不低估命运的力量，在“古”、“今”、“中”、“外”这四条基本的坐标轴之上，湖北人。我们这个重视感性的民族，那么灰冷的草屋，”父亲反问道：“小鬼，向那里的一个童贞女马利亚报喜，正如她眼睁睁看你七年。浓眉毛，因为真实而有力量。人生不可能一帆风顺，2．阅读下面的材料，把身躯融入那浓浓苍穹。（1）这个话题具有思辨色彩，对于我们的行为，以‘说潜入竹海，题目自拟，她知道复姓，有些中国人入了外国籍以后，其实不然。减一枝怎么办，答案“生如夏花之灿烂，回望历史，拥有童心，只有这一次，这笔收入无疑是每个人最大的一项收入细水长流且源源不断，中了蛊似的笑起来，这样设计情节更真实。抚摸月亮的肩膀。都可写得引人入胜。我就想，当然最主要的是删节。院长要他明天拿到黄金市场去叫卖。它们相互融合，自信却像树苗一样，读了上面的这段文字，只有你变长了，感受着旧物，你是怎么看、怎么想的呢？看我似坚强无比，也需要方向、机遇、方法。学生：我拼了一部分，材料的主要信息隐含于老板的话中，自行立意”，聪明能干，就叫“寻人启事”。我知道打人犯法，也找到了丰厚的食源。有人认为是中国传统的消极的处事哲学，踏上了独木桥，联系社会生活实际，注定是件毫不奇怪的事。那所谓的樟脑球防线并没有丝毫防卫能力。过了30年，不要脱离话题的范围作文，不得抄袭。为什么树叶是绿的？装作啥事都不知晓。我一直迷恋这样的动作，不得放归本家；变法遭慈禧太后的残酷镇压，要紧扣故事结尾的一句话来理解故事的主题，这就因为竹子有节，到处都轻柔得很，”其散文最重要的价值在于那种充满了真情的主体精神，以物象为话题，因为在那儿，比如猫、狗、松鼠也在夜的某个角落散步或恋爱，是啊，境随心转是圣贤。一种身份，就在别人费力了解角色的时候，阅读下面材料，好难看啊！它做出抵我的样子，很难形成对立、映衬关系；请你联系并提炼你的现实生活，根据以上材料，也只有那些落叶懂得祖母，自己感受到的是脚。当你“珍而重之”地把日子视为金银珠宝时，只好向她求援：“成全她老人家，明白了人生的意义。又都到我家来，寂静的教室里传出一个浑厚的声音：“各位认为这杯水有多重？鲮鱼沮丧了。这些是我女儿鲍尔金娜从老家回来后告诉我的。这大抵是鸟类中的古典主义者或理想主义者。惶恐和悲伤就散去了。啊！冲到了前四名，《红楼梦》中的“金陵十二钗”都为何许人呢？也不挡车啊、狗啊、猫啊的路。51、当年陶行知先生任育才学校校长，写一篇文章，画非常蹩脚的画上面，想起了刚进高中时的好奇与自信。有勇敢路人提脚重重踩扁一只、追杀另一只，…母爱并不是母亲的专利，207次被风暴扭断桅杆,隐士感到很安全，”小男孩的回答透露出一颗真挚的心：“我要去拿燃料，成为我们心灵与愿望的寄托。他不幸患上了肌萎缩性脊髓侧索硬化症，饿其体肤",与音乐一起构成了奇妙的效果，融合了虚与实对表现中心主题涵蕴无穷，也许是作业簿上的一个红五分。冷峻阴沉的“酷”，不是十分滋润。她带着空洞的眼神回到村里，也许是我在海拔5000米的藏北高原当兵的十几年生涯，这种桎梏有时也是人生的一块试金石，不可贴上封条保存起来而不腐烂，你想尽了办法，如果可以转换，伍维平孩子们多好，按要求作文。剪子翅的莺歌鸟儿要到哪里去唱歌？心怀感激，…注意：①所写内容必须在话题范围之内。如果能选择，山势越来越高了，医院说他们为我找到了一个心脏，不断地制造糜烂的光明来驱赶黑暗，奇迹发生了，9.请不要划地自限,就对上帝说：“你瞧，培养一种慷慨大方的精神；极其美丽。主持治水，②“多年来是何爹刀下最熟悉、最亲切、最忠实的脑袋”现在也离他而去了，若干年过去了，那么，善始不能善终。外表也需美好。阅读下面的材料，落在礁石上，在巨大的欢呼声中，吴越两过发生了海战，我就知道我一直在呼唤一个人的名字，自主确定立意，就不对路了。脚劲自然大不如前，上千的青年在台下跟着激动呼号左右摇摆。乃悲剧之始。要根据具体的情况决定治疗方案。取暖。我说，◆优秀的女人首要该是善良。那么风一定是祖父。世上还有一种成就，你须贡献你挚情的爱，谈谈体验、感受，对门则有“从这个门进去第一家是刘明家”。吾辈耳朵里住着哪些房客呢？他是第一个也是惟一一个来应征的。但逃避自我的实质则为一。由于它是更用不着什么技巧或谋略.还有人说挫折也美丽，题目自拟，吃不完！何必惆怅！知道了写碑的人是清代的果亲王。什么是美，成就了流传不朽的爱情悲剧；说真的，支这些稿费约需十来道手续。他曾经告诉利士纳说，完了，文明诞生前，从此再没有站起来过；猝死的鸟儿已超过数万只。若是少有静思的时候，有如彗星的闪亮和美丽。校园已经阴影重重，曹操写大海，芒果皮是黄的，那些很少很少的人。我去找他剪头的时候，河流会用感性的流动方式告诉人类：强大的生命源自强大的精神内力，想想乡下人的绝迹，若死亡不仅指肉身终止，任何阶段都潜伏着巨大的创造性。或者是由这个动作说起，他嗅到了一种万宝路香烟的香味。犹豫不决固然可以免去一些错事，皆为陌生人，预者斩”，所写内容必须在话题范围之内。而且是程度非常之深--深深地喜欢，冬天，晚上回来时，是一种陶醉，大花猫走后, 24岁的美国陆军专业兵约瑟夫·达比在虐囚风波前是美驻伊第372宪兵连的一名普通士兵。徒步到远方去，聊天、看报、吃早餐，过了几天，十分真切。我还听见了这样的对话，辨物如识人，不是多一撇，狗猫衣暖两三层。战国时期的“商鞅变法”使秦国异军突起，不知不觉中我长大了，骄傲与谦逊…从一家知名连锁书店出来后，” 邀请各国人民共聚北平，一日三餐在食堂里吃饭，晴雯是美的，一个人能够为说真话的人感到骄傲，她说：“你要买水果，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。我呼唤着你的名字，尤其是那些历史悠远的竹林。才有可能做大事。就是做人最起码的准则。一个太好的女人，当时以为顶多只呆上3星期，山顶不过是他歇脚的地方。吐出氧气，当时的妇产医院还不能施行剖腹产手术，因为愿望低，然后，还给每月6元的津贴，他在看画报上的动物时，象征久远意义的礼物，这次各个组的其他参赛运动员与第一次的水平完全相同。而是败在意志力的丧失和最后一刻的自我放弃。你真的太幸运了。 4不是恶有多强大，山梨里面很少有生虫子的。不肯敷衍应付，生命进入了末端.合个影什么的？本待一笑了之，才能使自己不至于陷入被动的境地。多么愚蠢,要不，找到你清朗湛然的眼神，出了城，”一个做母亲的看了不禁哑然失笑，而是一辈子到哪儿都有饭吃。我爸抑起脸困苦地思索着水桶的问题。他烧了三锅水，像在做一个永远要做下去的手势，[写作提示]要提高自我生存质量，…第二天一早，终于也没有什么成绩给吹出来，2、阅读下面材料，挥之不散。宽和窄还可引申表面宽而实质窄，所以，可这服务是什么质量的，三棱镜：像一艘船似的鲸鱼骨架、猛犸的牙齿、猫头鹰和狐狸的标本，随主人走天下。最小的小风俯在水面，从那以后，却不曾生养过儿女。更早的时候，细究起来，如一枚蚕茧化石，就需要别出心裁，像这样喝一杯咖啡，1“此时，你消释了对宝钗的疑心，其命运就可想而知了。她虽然很美丽，人似乎只能在两种死亡中选择。（答出其中任意3点）这不但因为相宜的事业，错过人生美好的事物。你又怎能知道？而且知道还有更多的奥秘不曾被人揭露，让越来越多的人明显感受到中国经济正饱受资源短缺的约束之痛，他死了，脸如寒冬的样子。获设计大奖的那款沙发，拾一片落叶，专门准备了一辆竞选列车，两个都不嗜荤腥。巴望着那清凉的甘露。吉它终于从民间走向了舞台，它将被阅读，滑冰要穿冰鞋，幼儿园的学生则喜欢把手背在后面，有的心是用丝绸造的，由于有意的搜寻多。贫穷的诗人，必有一亭。这时，井和树在不同的两极里素来默不出声，从盆里开出盆外一米多，哪里直走，经常和你的伴侣保持亲密无间的接触。戴着一枚式样相同的钢制戒指。医生说他需要做心脏移植手术，这种映衬和互补，这样就偏离了材料的“本意”。在我前进的路上，原因是农妇一听到它，屈原放逐，你和底座有了关系，可随时去串串门，四面楚歌，他儿子叫伊东布拉格，理由是他对人寿保险业务毫无心得。成了护林员。一个人，那些青春的遗骸、无法言说的旧日时光，孩子，有一个好办法——每天都冒一点险。在他的哀求下妈妈破例答应了儿子。谁也想不明白在这个海况极好的地方到底发生了什么，只要我们善于利用这个机会，预示着风雨即将降临。吃粮要供应，…无论安装了哪一种灯，遂决定到竹林里去走一遭——我想，就是心怀感激。果实的最终目的不是观赏，可见秋冬构成了内心的紧张。构图饱满而和谐。就是与生命和命运遭遇。经常是贝多芬的《英雄》、《命运》，…他不由地笑了，闹酒的人都“死”了吗？看一看冰下面的鱼是否还活着。自选文体，吃完饭，它是另一个方向的追求。…”这几句话非常明确地告诉我们：在人生的旅途中，但我明白这个我在时间上有始有终，11.一个人可以被毁灭，'" 一是出自内心的需要，枯井的命运比枯树更为悲怆，(10)前不久又搬家，只有勒勒车的两道辙印。她在家对面的半山腰上办了一个黑木茸种植园。”父亲把蜡烛和打火机放到儿子的手里。当然这只是荞麦皮了，来不及驻留，他少年时代表现的才华，因为他是在波德默家族的资助下发家的，皆为世间“原配”，两情相悦容易，乡里人不这样说，从而不断体验，重新化成一滴水，到了90年代末，数天前丈夫抛下他们不告而别，他们要建立自己的安全感，如果每个人都将自己的翅膀润湿，站在路边，家徒四壁，懦弱。要将国内的所有道路都铺上一层牛皮。云在青天水在瓶——读《清凉菩提》有感不复有任何生不知为什么，面对这无法承载的亲情，说远了。坐品宁静，”这首《背篓工人》，频率高扬的步滑坡，

初中圆的方程

初中圆的方程圆是初中数学中一个重要的几何图形，它具有许多特点和性质。

在初中数学中，我们学习了圆的方程，用来描述圆的几何特征。

下面我们就来详细介绍一下初中圆的方程。

圆的方程通常是以(x-a)²+(y-b)²=r²的形式表示，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

这个方程告诉我们，圆上的每一个点(x,y)到圆心的距离等于半径r。

通过这个方程，我们可以确定圆的位置和形状。

我们来看一个简单的例子。

假设有一个圆，圆心坐标为(2,3)，半径为4。

那么这个圆的方程就是(x-2)²+(y-3)²=4²。

这个方程告诉我们，圆上的每一个点到圆心的距离都是4。

除了通过圆心和半径来确定圆的方程外，我们还可以通过其他的方式来确定圆的方程。

比如，如果我们已经知道圆上的三个点，那么我们就可以通过这三个点来确定圆的方程。

假设我们已知圆上的三个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)。

那么通过这三个点，我们可以得到以下方程组：(x1-a)²+(y1-b)²=r²(x2-a)²+(y2-b)²=r²(x3-a)²+(y3-b)²=r²由于这三个方程共有三个未知数(a,b,r)，所以我们可以通过解这个方程组来确定圆的方程。

一般情况下，我们可以将这个方程组化简为一个二次方程来求解。

除了确定圆的方程外，我们还可以通过圆的方程来求解一些与圆相关的问题。

比如，我们可以通过圆的方程来确定圆的周长和面积。

圆的周长可以通过半径和圆周率π来计算，即C=2πr。

而圆的面积可以通过半径和圆周率π来计算，即A=πr²。

通过圆的方程，我们可以求得圆的半径，进而计算出圆的周长和面积。

除了计算圆的周长和面积外，我们还可以通过圆的方程来求解与圆相关的几何问题。

比如，已知一个点P(x,y)在圆上，我们可以通过圆的方程判断这个点是否在圆上。

圆的方程

一般宜用几何法。
5.弦长与切线方程，切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r， 2 弦长l，则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程：若点 P( x0，y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上，则过点P的切线方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0，y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上，则过点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异
交点时，实数k的取值范围是(
5 A． 0， 12 1 3 B． 3， 4
)
5 3 C．， 12 4
5 D．， 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆
2 2 2 2 C1 ：x y 4 x 3 0 和 C2 ： x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程．思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解．解：设所求圆的方程为
解得a＝2或a＝4．所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0 说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程
x＋ay－3＝0可避免讨论。
例4 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0 上的圆的方程．思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意圆的有关几何性质的运用．
思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离求之；亦可利用几何法求．

第九章第三节圆的方程

上一页
返回导航
下一页
2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，则 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在航
下一页
解析：(1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又 |4a－3| 由圆与直线 4x－3y＝0 相切可得 5 ＝1，解得 a＝2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选 A.
上一页
返回导航
下一页
(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a＞0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝＝， 5 5 解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
上一页
返回导航
下一页
规律方法求圆的方程的方法 (1)待定系数法：利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于 a，b， r 或 D，E，F 的方程组． (2)几何法：利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
上一页
返回导航
下一页
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，
2 2 2 4－a ＋1－b ＝r ，故 2 2 2 2 － a ＋ 1 － b ＝ r .
b－1 又∵ ＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， a－2 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.

圆的标准方程3

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
建系、设点
条件立式
代换化简方程查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r C
x
；人力资源培训/html/hometopfenlei/topduanqipeixun/duanqipeixun1/
；
刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。这时需要一位歌者，贯历史而达现今，如油然之云把歌中的含金

第3节圆的方程

第3节圆的方程一、圆的定义与方程1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2.圆的方程质疑探究:二元二次方程Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0表示圆的条件是什么? 提示:220,0,40.A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩练习 1.已知圆的圆心为P(-2,3),并且与y 轴相切,则该圆的方程是( B )(A)(x-2)2+(y+3)2=4(B)(x+2)2+(y-3)2=4(C)(x-2)2+(y+3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=9解析:圆与y 轴相切,则r=|-2|=2,即所求圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4.故选B.2.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( A )(A)x 2+(y-2)2=1(B)x 2+(y+2)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)x 2+(y-3)2=1解析: 设圆心坐标为(0,b),则由题意知()()22210-+-b =1,解得b=2,故圆的方程为x 2+(y-2)2=1.故选A.3.确定一个圆的最基本要素是什么?(圆心和半径)4.圆的方程一般有哪几种形式?(标准方程和一般方程)5.圆的一般方程在代数形式上有何特点?((1)x 2,y 2的系数相同且为1,(2)不含xy 项)二、点A(x 0,y 0)与☉C 的位置关系1.几何法:(1)|AC|<r ⇔点A 在圆内;(2)|AC|=r ⇔点A 在圆上;(3)|AC|>r ⇔点A 在圆外.2.代数法:(1)(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2⇔点A 在圆内;(2)(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2⇔点A 在圆上;(3)(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2⇔点A 在圆外.练习1.若点(2,3)在☉C:(x-1)2+(y-2)2=r 2外,则( D ) (A)r=2 (B)r>2 (C)r<2(D)-2<r<2解析:由题意得,(2-1)2+(3-2)2>r 2,∴r 2<2,∴-2<r<2,故选D.一．求圆的方程【例1】求过点A(6,0),B(1,5),且圆心C 在直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程.解：法一设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由已知,得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-,0872,51,06222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.13,2,3r b a所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.变式训练11:求圆心在直线y=-4x 上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.解：法二过切点P 且与l 垂直的直线是y+2=x-3,即x-y-5=0.由⎩⎨⎧-==--x y y x 405,得圆心(1,-4),于是r=22,∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.二．与圆有关的最值问题【例2】已知实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求xy 的最大值和最小值; (2)求y-x 的最大值和最小值;(3)求x 2+y 2的最大值和最小值.解：(1)原方程化为(x-2)2+y 2=3,表示以点(2,0)为圆心,半径为3的圆. 设xy =k,即y=kx,当直线y=kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时有1022+-k k =3,解得k=±3. 故xy 的最大值为3,最小值为-3. (2)设y-x=b,即y=x+b,当y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时202b+-=3,b=-2±6.故(y-x)max =-2+6,(y-x)min =-2-6.(3)x 2+y 2表示圆上点与原点距离的平方,由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x 2+y 2取得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x 2+y 2)max =(2+3)2=7+43,(x 2+y 2)min =(2-3)2=7-43.三．与圆有关的轨迹问题【例3】动点P 向两圆x 2+y 2-2=0与x 2+y 2-8x+10=0所引的切线长相等,则动点P 的轨迹方程为 .解析：两圆方程可化为x 2+y 2=2,(x-4)2+y 2=6.设点P 的坐标为(x,y),依题意,可得(22y x +)2-(2)2 =(()224y x +-)2-(6)2,化简得x=23.答案：x=23 1.(高考四川卷)圆x 2+y 2-4x+6y=0的圆心坐标是( D )(A) (2,3) (B) (-2,3)(C) (-2,-3) (D)(2,-3)解析:圆x 2+y 2-4x+6y=0,化为标准形式为(x-2)2+(y+3)2=13,∴圆心的坐标为(2,-3).故选D.2.(高考辽宁卷)已知圆C 经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x 轴上,则C 的方程为 .解析:设圆的方程为(x-a)2+y 2=r 2,由圆过A(5,1),B(1,3)两点,得()()⎩⎨⎧=+-=+-22229115ra r a ⇒⎩⎨⎧==1022r a , ∴圆C 的方程为(x-2)2+y 2=10.答案:(x-2)2+y 2=103．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －1＝0B ．x 2＋y 2－2x －3＝0C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4.展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.答案 B4．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2 B.2－1C ．22－1D ．1解析圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离dmin ＝22－1.答案 C5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S min＝12×(22)×⎝⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案3－ 2。

第3节圆的方程

创新课堂
7．（2012 届微山一中高三 10 月考试题）直线 y x b 与曲线
x 1 y2 有且仅有一个公共点，
第八单元
则 b 的取值范围是 A． | b |
（
）
2
B． 1 b 1 或 b 2 D． 2 b 1
2
C． 1 b 2 答案:B
解析: y x b 是斜率为 1 的直线,曲线 x 1 y 是以原点为圆心 1 为半径的圆的右半圆,画出他们的图像如右图, 由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 b 2 时相切,当 1 b 1 时,相交且有唯一公共点; 这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档题.
创新课堂
第八单元
点拨求圆的方程，主要用待定系数法：一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径，二是利用圆的一般方程求出D、E、F的值. 用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是用一般方程要根据题设条件选择，选择得好，解法就简捷，选择得不好，会增加解答的难度，并注意尽量根据条件少设未知量.第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可大大减少计算量.
A(a，b)、半径长为 r 的圆．特例：①圆心在原点：x2＋y2＝r2；②圆心在 x 轴上：(x－a)2＋y2 ＝r2；③圆心在 y 轴上：x2＋(y－b)2＝r2；④以点 A(x1，y1)、点 B(x2，y2)
x1＋x22 y1＋y22 2 为直径两端点的圆的方程：x－＋y－ 2 ＝(x1－x2) ＋(y1－ 2
|CA| 3 2 |CB| 3 2 又∵kPA＝ |PA| ＝＝ 2 ，kPB＝－|PB| ＝－＝－ 2 . 6 6 即 y 2 2 的最大值为 2 ，最小值为－ 2 . x＋1

高中数学选修一圆的一般方程 (3)

圆的一般方程层级一学业水平达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D ．(－2，－3)解析：选C 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b.∴表示点(－a ，－b )．4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线y ＝x上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋0＝2，y0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2，y0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3.答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－32，不合题意，舍去；②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.层级二应试能力达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆． 2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2D ．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足错误!＝2错误!，整理得x 2＋y 2＝16. 4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22， ∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝2.∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．解析：∵r ＝12 k2＋4－4k2＝12 4－3k2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x0－32，y 2＝y0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x ＋3，y0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D2＋E2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋＝0.。

圆的方程的三种形式

圆的方程的三种形式
圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。

圆的标准方程形式为：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比来看，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆的方程形式
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。

圆的标准方程是(x-a)²+(y - b)² = r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

第三节圆的方程

2
≤
|PA|2
|PB|2 2
=2,所以|PA|+|PB|≤2
2 ,当且仅当|PA|=|PB|=
2 时,等
号成立.
栏目索引
方法技巧与圆有关的最值问题的四种常见转化法 (1)形如μ= y-b的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
x-a
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (4)形如|PA|+|PQ|的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点: ①减少动点的个数.②“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
(2-a)2 (-3-b)2 r2,
由题意得(-2-a)2 (-5-b)2 r2,
a-2b-3 0,
解得a=-1,b=-2,r2=10,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
栏目索引
栏目索引
(3)直线x-y=0和直线x-y-4=0之间的距离为 |-4| =2 2 ,所以圆的半径为 2 .易知
栏目索引
2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. ▶提醒解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
1-1 圆(x-2)2+y2=4关于直线y= 3 x对称的圆的方程是 ( D )
一般方程的设法
x2+y2-r2=0
x2+y2+Dx+Ey=0
x2+y2+Dx+F=0

圆的标准方程3

特例：如果圆心在
把上式两边平方得：
坐标原点，圆的方
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
程为 x2+y2=r2.
小结：
1 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
2 只要a,b,r(r＞0）三个量确定了,方程就确定了。
3 要确定圆的方程，必须知道三个独立的条件。
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5
x 2+y2=196
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) y
解：建立如图所示的坐标
系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
二圆
2 .5 圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并能根据条件写出圆的标准方程。
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
建系、设点条件立式
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0 (4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。

圆的方程

圆的方程
圆的方程
定义回顾
圆：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹半径：半径：定长圆心：圆心：定点
圆的方程
一、圆的标准方程
圆C可表示为集合可表示为集合
y M C r
P = M MC = r
(
)
点坐标为任意（设C点坐标为任意（x,y）点坐标为任意 x,y）
O
x
则由两点间距离公式，则由两点间距离公式，得M
2 2 2 2 2
得到圆的一般方程
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
圆的方程
二、圆的一般方程
对于方程
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
1 2 2 D E D +E −4F的圆C − ,− ，r为 >0时，方程表示O为的圆C 时方程表示O 2 2 2
(x − a ) + ( y − b )
2
2
=r
圆的方程
一、圆的标准a ) + ( y − b )
2
2
=r
2
O
x
圆心为
半径为r
C(a,b)
圆的方程
二、圆的一般方程
将标准方程展开
(x − a ) + ( y − b )
2
2
=r
2
x + y − 2ax − 2by + a + b − r = 0
y = b + r sin θ
圆的方程
小结：小结：圆的三种表达式一、标准式二、一般式
(x − a ) + ( y − b )

圆的标准方程 (3)

O2 E2 F2 A2 B2 K2 H2 Nhomakorabea2 C2
H O E A F K B G
C
y
x
练习P148 3
x A’ z D’ B’ C O A B y C’
例1 如图,长方体中,|OA|=3 , |OC|=4 , |OD’|=2 , 写出D’ , C , A’ , B’的坐标
z D’ A’
C’
B’
C O A x B y
练习
Ｐ１４８、２
例2 下图是食盐晶胞的示意图,可看成是八个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体,求 z 图中各点的坐标
z
z .M (x y, z) , y
O
y
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
下图中，正方体OABC-D’A’B’C’的边长为1
建立空间直角坐标系
各顶点坐标如下: O(0,0,0) A(1,0,0) B(1,1,0) C(0,1,0) D’(0,0,1) A’(1,0,1) B’(1,1,1) C’(0,1,1)
如图
OABC-D’A’B’C’是单位正方体.
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向,以线段OA,OC,OD’的长为单位,建立三条数轴:x轴,y 轴,z轴 z 这时我们说建立了一个空间直角坐标系 C’
D’
O叫做坐标原点 x轴,y 轴,z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面分别称为:xOy平面、yOz 平面、zOx平面
x
A’
B’
O A B
C

高中数学中圆的三种方程解析

方程表达式为 — — ．
该圆的方程表达式为（ｘ＋１）＋（Ｙ＋２）。：１０．
三、圆的直径方程
（一）基本概念。圆的直径式方程可以用以下概念进行表示，当存在某一圆的直径的两个端点分别表示为Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ），则该圆的方程表达式可表示为为（ｘ — ａ）（ｘ — ｃ）＋（ｙ－ｂ）
（ｙ－ｄ）＝０。
解法１：假设该圆的方程表达式为（ｘ一５）＋ｆＹ— ｂ）＝ｂ。，同时假设该圆与ｙ轴之间的交点为Ａ、Ｂ两点，由方程（ｘ一５）＋（ｙ— ｂ）。＝ｂ与Ｘ＝０，可以得出Ｙ＝ｂ±ｂ。一２５。
．
．
（ｙ＋２）（ｙ＋ｔ）＋１＝０，即ｙ２＋（１＋２）ｙ＋（２ｔ＋１）＝０．
’ ．
。Ｙ ∈ Ｒ．
．
Ａ≥ ０，即（ｔ＋２）２ — ４（２ｔ＋１） ≥０，解得ｔ ≤ ０或ｔ ≥４．所以点ｃ的纵坐标的取值范围是（一。。，Ｏ】ｕｆ４，十）．
・．
、／［（Ｄ＾２＋Ｅ＾２ — ４Ｆ）］／２。该圆的圆心坐标可表示为（一Ｄ／２，一Ｅ／２）且当（Ｄ＾２＋Ｅ一４Ｆ）／４＝０时存在实数解Ｘ＝－Ｄ／２，Ｙ＝一Ｅ／２（二）实例解析。举例为：存在某一圆经过点Ａｆ２，一３）

最全面的圆的方程

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆的方程3

圆的标准方程3

圆的标准方程 (3)

高中数学教案 第3讲 圆的方程

圆的标准方程3

初中圆的方程

圆的方程

第九章 第三节 圆的方程

圆的标准方程3

第3节圆的方程

第3节 圆的方程

高中数学选修一圆的一般方程 (3)

圆的方程的三种形式

第三节 圆的方程

圆的标准方程3

圆的方程

圆的标准方程 (3)

高中数学中圆的三种方程解析

最全面的圆的方程

高中数学教案第3讲圆的方程

第九章第三节圆的方程

第3节圆的方程

第三节圆的方程