2015年度合肥学院第七届大学生数学竞赛(非数学专业)试卷 - 答案
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
f ( y) x2[1 f ( y)]3
1 x2 (1 f ( y))
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
解法 2 方程 xe f (y) ey ln 29 取对数，得 f ( y) ln x y ln ln 29
（1）
方程（1）的两边对 x 求导，得 f ( y) y 1 y x
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，
则
d2 y dx 2
________________.
解法 1 方程 xe f ( y) ey ln 29 的两边对 x 求导，得
e f ( y) xf ( y) ye f ( y) e y y ln 29
即
[ 1 f ( y) y]xe f ( y) ye y ln 29 x
因 e y ln 29 xe f ( y) 0 ，故 1 f ( y) y y，即 y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
d2 y dx 2
y
1 x2 (1 f
( y))
f ( y) y x[1 f ( y)]2
点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次
合成-第一至十届全国初赛《非数学专业》竞赛试题
2009 年第一届全国大学生数学竞赛初赛
（非数学类）试卷
一、填空题(本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分)：
2012 年第四届全国大学生数学竞赛初赛 （非数学类）试卷
一、简答下列各题(本题共 5 个小题，每题 6 分，共 30 分)
1
1．求极限 lim n !n2 . n
2．求通过直线 L
:
2x 5x
y 3z 2 0, 5y 4z 3 0
的两个相互垂直的平面 1,
(x
y)
ln
1
y x
(1) 计算 D
d x d y =____________，其中区域 D 由直线x y 1 与两坐标 1x y
轴所围三角形区域.
2
(2) 设 f (x) 是连续函数，满足 f (x) 3x2 f (x)dx 2 ，则 f (x) =_______. 0
1 抛物线与 x 轴及直线 x 1 所围图形的面积为 . 试确定a,b,c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成
3
的旋转体的体积V 最小.
第七题：(15 分)已知
un (x)
满足
u (x)
n
u (x)
n
x n 1ex
（
n
为正整数），且
u
n
(1)
e n
，
求函数项级数 un (x) 之和.
第三题：(15 分)设y
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类） （2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷而0n ∞=将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分） 又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
…………………………（3分）4.过曲线)0y x=≥上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。
解设切点A的坐标为(t，曲线过A点的切线方程为y=令0y=，由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为2x t=-。
从而作图可知，所求平面图形的面积3321tS t t t=---==⇒=⎤，解====1n⎛⎫⎪⎝⎭收ff'()()()()()200011lim lim lim02202x x xf x f x f x ffx x x→→→'''-''===-…………………（3分）所以()211lim021nfnfn→∞⎛⎫⎪⎝⎭''=⎛⎫⎪⎝⎭……………………………（2分）由于级数211n n ∞=∑收敛，从而由比较判别法的极限形式11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑四、（满分12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()sin baf x ⎰解因为()()0f x a x b π'≥>≤≤，所以()f x 在[],a b 上严格单调增，从而有反函设A =又(f x(0πϕ'≤⎰五、（面积分(I ∑=⎰⎰值。
大学生数学知识竞赛题库
大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。
竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。
二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。
示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。
假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。
设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。
示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。
第七届全国大学生数学竞赛(安徽赛区)获奖名单
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
许志鹏 高善露 方程成 胡黄宝 古小茜 薄永辉 刘子丽 段云雨 徐明丽 邹恒松 谢启翠 赵雅倩 梁灿勇 曹利英 程家鹏 张小凤 赖彭超 丁云龙 陈丽娟 王贺 张舒晴 郑李云 段波虎 高春芳 汪茹 何蒙蒙 毛天玉 葛瑞瑞 刘向远 周坤
安徽师范大学 安徽师范大学 安徽工业大学 安徽理工大学
CMS(皖)S20150071 CMS(皖)S20150072 CMS(皖)S20150073 CMS(皖)S20150074
三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 奖项 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 一等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖
中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 安徽工业大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 安徽师范大学 合肥工业大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 中国科学技术大学 合肥工业大学 安徽大学 安徽大学 安徽大学 安徽工业大学 安徽师范大学 安徽师范大学 安徽工业大学 安徽财经大学 安徽建筑大学 安徽师范大学 安徽师范大学 安徽理工大学 安徽师范大学 安徽财经大学 安徽师范大学
大学生数学竞赛非数试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
2015高数竞赛解答
2 z 2 z ze2 x ， x 2 y 2
2分
2 2 z x x f (e sin y ) e sin y f (e x sin y ) e x sin y ， 2 x
f ( x t , y t ) f ( x, y) sin t
f x ( x, y) f y ( x, y)
.
2015 年高等数学竞赛试卷
第 2页
共 4页
二、解答题：11～16 题，共 60 分．
11. 求极限（本题共两小题，每小题 5 分，共 10 分）
（1） lim
2015 年高等数学竞赛试卷
第 1页
共 4页
2015 年高等数学竞赛试卷
考试时间：2015 年 5 月
一、填空题：1～10 题，每题 4 分，共 40 分．
10 1. 求极限 lim x x 0 x
10
．
1 (n 1)d = n2
1 1 d 2. 设 d 0 为常数，求极限 lim 2 2 n n n
解： xn
3分 2分
12. （本题 10 分） 设函数 f ( x) 连续， g ( x) f ( xt )dt ，且 lim
0
x 0
1
f ( x) k ，k 为常数，求（1） g ( x) ； x
（2） lim g ( x) .
x 0
解： （1）令 u xt , t
d/2
．
1 3. 设 f 具有二阶导数， f ( x) x 2 ，则 f ( f ( x)) 256 x 2 2
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
1
1 2 4 2 3 1 5 16
2 (12t t )dt 2 t t t
令t 1u ，则u 1t2 ，du 2tdt ，u2 12t2 t4 ，u(1u) t2 (1t)(1t) ，
0
(*) 2 (12t2 t4 )dt
1
2
d y
则 2 ________________.
dx
f (y ) y
x
解方程xe e ln 29 的两边对 求导，得
y
(x y ) ln(1 ) u ln u u ln v
1x y
坐标轴所围成三角形区域.
0 1
解令 ，则 ， ，
x y u,x v x v,y u v dxdy det dudv dudv
1 1
2 ．设f (x) 是连续函数，且满足f (x) 3x 2 f (x)dx 2 , 则f (x) ____________.
0
处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ，即曲面z y 2 平行平面
2
2x 2y z 0 的切平面方程是2x 2y z 1 0 。
4 ．设函数y y (x) 由方程 f (y ) y 确定，其中 具有二阶导数，且 ，
xe e ln 29 f f 1
处的法向量为(z (x , y ), z (x , y ),1) ，故(z (x , y ), z (x , y ),1) 与(2,2,1) 平行，
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0
D x dxdy D dudv
1x y 1u
1 u ln u u u u
4 2 10
解得A 。因此f (x) 3x 。
2019全国大学生数学竞赛(非数类)模拟赛第一轮成绩
余志伟 罗思庞 张家瑞 韩玉龙 安耔源 靳一鸣 李晓宁 廖毅炼 周丹玥 冉德志 刘坤 张忠辉 陈津志 江亦晗 马玉寅 江淏淼 李海峰 路镇铭 刘中琦 查雯浩 李晓阳 黄荣樟 张琮熙 李世政 李欣茹 王亚蒙 黄杏 王雪丽 杜祥波 徐照港 逯心悦
徐* 储*琦 汪*林
中国石油大学（华东） 韩山师范学院
长春工业大学人文信息学院 河北工业大学 山东大学 燕山大学 合肥学院
合肥学院 兰州理工大学
河南大学 吉林师范大学
非数学类 32 成功参赛奖 非数学类 31 成功参赛奖 非数学类 29 成功参赛奖 非数学类 28 成功参赛奖 非数学类 28 成功参赛奖 非数学类 27 成功参赛奖 非数学类 26 成功参赛奖 非数学类 25 成功参赛奖 非数学类 24 成功参赛奖 非数学类 23 成功参赛奖 非数学类 21 成功参赛奖 非数学类 21 成功参赛奖 非数学类 21 成功参赛奖 非数学类 20 成功参赛奖 非数学类 19 成功参赛奖 非数学类 18 成功参赛奖 非数学类 17 成功参赛奖 非数学类 17 成功参赛奖 非数学类 16 成功参赛奖 非数学类 16 成功参赛奖 非数学类 16 成功参赛奖 非数学类 15 成功参赛奖 非数学类 14 成功参赛奖 非数学类 13 成功参赛奖 非数学类 11 成功参赛奖 非数学类 6 成功参赛奖 非数学类 6 成功参赛奖 非数学类 6 成功参赛奖 非数学类 5 成功参赛奖 非数学类 5 成功参赛奖 非数学类 1 成功参赛奖 非数学类 0 非数学类 0 非数学类 0
报名类别
非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类 非数学类
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n ππ==……（2分）；原式lim 1sin exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义.docx
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
2015第七届全国大学生数学竞赛年试卷和答案
一、每小题 6 分，共计 30 分。 π 2 ⎛ ⎞ ⎜ sin n sin n π sin π ⎟ + 2 +L+ 2 (1) 极限 lim n ⎜ 2 ⎟= n →∞ n +n⎟ ⎜ n +1 n + 2 ⎝ ⎠
2
π
。
i π n sin i 1 n 1 n i n π ≤ sin 解：由于 ≤ ∑ sin π , 而 ∑ ∑ i n + 1 i =1 n n i =1 n i =1 n+ n
同样，方程对 y 求导，得到 y
于是 x
∂z ∂z z ( xFu + yFv ) − xy ( xFu + yFv ) +y = = z − xy ∂x ∂y xFu + yFv
（3）曲面 z = x + y + 1 在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x + y 所围区域的体积为
2 2 2 2
2
1 (e x−1 − 1)，x ≠ 1 x −1 x =1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
五、 （16 分）设函数 f 在[0,1]上连续，且 （1） ∃x0 ∈ [0,1] 使 f ( x0 ) > 4 （2） ∃x1 ∈ [0,1] 使 f ( x1 ) = 4
∫
1
0
f ( x)dx = 0,∫ xf ( x)dx = 1 。试证：
∞
S 2 ( x) = e x −1
( x − 1) S 3 ( x) = ∑
得到，当 x ≠ 1 时 S 3 ( x ) =
∞ 1 1 ( x − 1) n +1 = ∑ ( x − 1) n = e x −1 − 1 n = 0 ( n + 1)! n =1 n!
07-第七届全国初赛-非数学类试题参考解答
f x 4 或 f x 4 恒成立，与 0 f x dx 0 矛盾。
再由 f x 的连续性及(1)的结果，利用介值定理，可得 x1 0,1 使得 f x1 4.
第六题：(16 分)设 f x, y 在x2 y2 1 上有连续的二阶导数，fx2x 2fx2y fy2y M .
.
i
1
【参考解答】：由于
n
i sin
n
sin
n
1
n
i sin ,
n 1 i1
n
i i1 n
n i1
n
n
1 n i
n n i 1
2
lim
sin lim
sin sin xdx ,
n n 1 i1 n n n 1 n i1 n 0
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更多参考资料参见微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)
n3 2
n
第四题：(14 分)求级数
x 1 的收敛域与和函数.
n0 n 1!
【参考解答】：因 lim an1 lim n 13 2 0. 所以收敛半径为 R ，即收敛域为
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf x d x 1. 试证：
(1) x0 0, 1 使得 f x0 4 ;
(2) x1 0, 1 使得 f x1 4.
用 S1(x), S2 (x), S3 (x) 分别表示上式右端三个幂级数的和，依据 ex 的幂级数展开式可得到
全国大学生数学竞赛初赛2015年第七届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
n 1! n 1! n 1! n 1! n 2! n! n 1!
n
x 1
n
x 1
n
x 1
及幂级数
,
,
的收敛域都为 , ，得
n2 n 2 ! n0 n! n0 n 1!
n3 2
x 1n
n
x 1
n
x 1
n
x 1
n0 n 1!
n2 n 2! n0 n! n0 n 1!
. 又由于 S3 1 1.
x 1
综合以上讨论，最终幂级数的和函数为
S
x
x2 2x 2
ex1
1 x 1
ex1 1
, x 1,
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf xd x 1. 试证：
1
y
x
Fu
x
x
x2
Fv
0
x
x
xFu yFv
,
z x zFu y 2 Fv
类似可得 y
, 于是有
y
xFu yFv
x z y z xy xFu yFv z xFu yFv z xy.
x y
xFu yFv
(3) 曲面 z x2 y2 1 在点 M 1, 1, 3 的切平面与曲面 z x2 y2 所围区域的体积
2015 年第七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）
试卷及参考答案
一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
(1)
极限
lim
n
n
nsi2nn1
sin 2
n
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1
0
ln t t n dt ln t t n dt
0 1 1 1 n 1 1 t 0 t n dt 0 n 1 n 1
ln t 1
n 1
1
2
lim ln t t n dt 0
n 0
Mn 0
，
由夹逼定理得 n
lim ln t ln(1 t ) dt 0
2
1
0
e arctan n arctan n e x dx 2 e arctan n arctan n e x
2
1
2
0
1 0
e arctan n (e 1) arctan n
ne x lim dx = lim[e arctan n (e 1) arctan n ] 其中 [0,1] n 0 1 n 2 x 2 n
0
dz
x 2 y 2 2 z 2 2 z 1
7 . (2 z 2 z 1)dz 5
4
6、证明: xf ( y)dy
L
y dx 2 ，其中 L 为圆周曲线 ( x a ) 2 ( y a ) 2 1(a 0) 正向， f ( x)
f ( x) 连续取正值.（答案见下面第九题）
1 n 0
2
y xy xe x 3、(1)求解微分方程 y (0) 1
2
(2)如 y f ( x) 为上述方程的解，证明 lim
n
n f ( x)dx （本题 15 分） 2 2 0 1 n x 2
1
（1） y e x2 Nhomakorabealim (2 )
第六届合肥学院大学生数学竞赛试题
（非数学专业）
姓名 性别 身份证号码 所学专业 年级 联系电话
说明：考试时间为 150 分钟，满分 100 分. 一、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 1、设 z ( x, y ) 得分
y f ( 3 x 1), z ( x,1) x ，则 f ( x) = x 3 3 x 2 3 x 2 ；
z 0, z 2 所围成的立体为 ，(I)求曲面 的方程，(II)求 的球心方程（本题 10 分）
【解析】 (I) AB ( 1,1,1)
x 1
所以直线 L 方程 1 ，
y z 1 1
设 上任一点 y 由直线 L 上的点 F ( y ) 绕 z 轴旋转一周得到，则
2 2 2 2 x y x0 y0 z z0
x0 1 y0 z0 ，所以 方程为 x 2 y 2 (1 z ) 2 z 2 2 z 2 2 z 1 1 1 1 1 2 1 2 2 (II) x y 2( z ) 2 2
当 0 t 1 时 0 ln 1 t t 1 ，从而 ln 1 t 得
n
t n (n 1, 2,) 又由 ln t 0
1
0
ln t ln(1 t ) dt t n ln t dt (n 1, 2,)
n 1 0
1
（2）
4 1
求证：在开区间（0，1）内至少存在一点 ，使得 f ' ( ) 0 .（本题 10 分）
证明：由积分中值定理知，存在
3 ,1 ，使得 4
f ( )
又函数 使得
1 1 3 4
1
3 4
f ( x) d x 4 3 f ( x) d x f (0)
又 设形心坐标 ( x, y, z ) ，几何体关于 xoz , yoz 对称， x y 0
z
zdv dv
2
0
zdz
2 2
x y 2 z 2 z 1 2
dxdy dxdy
2
(2 z 3 z 2 z )dz
0 2 0 2
2
21 ； 6
6、设 L 是柱面 x 2 y 2 1 与平面 y z 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针 方向，则曲面积分 zdx ydz = ；
L
得分
1
二、计算题（共 70 分） 1、 1]上连续， 1） 设函数 f ( x) 在闭区间[0， 在开区间 （0， 内可导， 且 4 3 f ( x)dx f (0) ，
4
1
f ( x) 在区间 0, 0,1 上连续，0, 内可导， 由罗尔定理知， 至少存在一点 0, 0,1 ，
f ' ( ) 0 。
2、 （1）比较 ln t [ln(1 t )]n dt 与 ln t t n dt , n 1, 2, 的大小，说明理由
5
1
2
=e
2
(e 1)
2
2
4、求一函数 f ( x) ，使其在 x 0 的某领域内有界，且满足方程
f ( x)
1 x f ( ) x 2 （本题 15 分） 2 2
得分
（答案见书本）
3
5 、 设直线 L 过 A(1, 0, 0) ， B (0,1,1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 ， 与平面
0 0
1
1
（2）设 M n ln t [ln(1 t )]n dt (n 1, 2,) ，求极限 lim M n （本题 10 分）
0
n
1
解 （1）令 f t ln 1 t t 当 0 t 1 时， f t
1 1 0 ，故当 0 t 1 时 f t f 0 0 1 t
1 1 2、 lim ( 3 x 3 2 x 2 1 xe x ) = ； x 3
3、设函数 x et , y ln(1 u 2 )du, 则
0
t
d2y 2t e 2t ( ln(1 t 2 )) ； 2 d x 1 t2
4、设 f ( x) 满足方程 f ( x) f ( x) 2 f ( x) 0 及 f ( x) f ( x) 2e x ，则 f ( x) = e x ； 5、椭球面 x 2 2 y 2 4 z 2 1 与平面 x y z 7 0 之间的最短距离为
n
1
2
ne dx 0 1 n2 x2
1
x2
1 2 1 ne x x x2 1 x2 dx e d arctan nx e arctan nx 2 xe arctan nxdx 0 0 1 n2 x 2 0 0
e arctan n arctan n 2 xe x dx 其中 [0,1]