有限元课件-第2讲__矩阵分析及弹性力学基础-PPT精选文档
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有限元课件第2章-单元分析精选全文完整版
a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
有限元ppt课件
15
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
第2讲 矩阵分析及弹性力学基础PPT课件
主子式皆大于0
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
北京航空航天大学
19
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
北京航空航天大学
21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
北京航空航天大学
19
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
北京航空航天大学
21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
弹性力学及有限元基础全套PPT课件 431页
正负 面面 正负 向向
21
z
z
zx zy
o
y
yyzxxxzxzyyxyz xzxz xyxyz
y
y
x
22
位移
zC
，
P
w
u,v ,w
uP v
oA z
x yx
P 移动到P’，发 B 生位移 u,v,w 。
y
应变 x , y , z , xy , yz , zx
x
dx
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
由 Mc 0
xy
dy
1
dx 2
(
xy
xy
x
dx)
dy
1
dx 2
yxdx
1
dy 2
(
yx
yx
y
dy)
dx
1
dy 2
0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
14
工科弹性力学教学
面向工程师的能力培养
知微观、重宏观， 知数学、重力学， 知计算、重概念。
教材：《弹性力学简明教程》（第四/三版）徐芝纶
参考书：
《Theory of Elasticity》
中文译本
S.Timoshenko
16
课堂要求：
认真听课，积极思考，踊跃讨论； 独立完成作业，认真思考思考题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）
第二次课-2 杆的有限元分析演示幻灯片
图c是一典型单元图两节点分别为i和j节点场变量值分别记为u单元的位移场为ux由两个端点的位移来进行线形插值确定设ux1b将节点条件1b带入1a可以求得a其中nx叫做形状函数矩阵shapefunctionmatrix为叫做节点位移列阵nodaldisplacementvector即形函数矩阵的分量数目应与单元自由度数目相等3
(1) (x)
B(1) (x) q(1)
1 l (1)
1 l (1)
u1 u2
2.5
103
(1) (x)
S (1) (x) q(1)
E (1) l (1)
对于单元2
E (1) l (1)
u1
u2
0.05
MPa
(2) (x)
B(2) (x) q(2)
1 l (2)
l
1
(2)
刚阵:
[k ]e
kii k ji
kij
k
jj
P e={Pi Pj}T 称为单元节点力列阵(nodal force vector)。
式(5)称为单元方程。
16
到目前为止，单元方程(4)或(5)尚不能求解，因为 节点力列阵Pe尚属未知。 Pe的分量Pi和Pj为相邻单 元作用于单元e的节点i和j的力，即属于单元之间 的作用力。只有将具有公共节点的单元“组 集” 在一起才能确定上述节点力和节点外载荷之间的 关系。
2）节点力与节点载荷的差别
4
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
分离但节点重叠的单元A和 B之间没有信息传递（需进 行节点合并处理）
具有公共节点的单元之间 存在信息传递
5
非法结构离散
节点不合法
不同材料
6
单元类型
(1) (x)
B(1) (x) q(1)
1 l (1)
1 l (1)
u1 u2
2.5
103
(1) (x)
S (1) (x) q(1)
E (1) l (1)
对于单元2
E (1) l (1)
u1
u2
0.05
MPa
(2) (x)
B(2) (x) q(2)
1 l (2)
l
1
(2)
刚阵:
[k ]e
kii k ji
kij
k
jj
P e={Pi Pj}T 称为单元节点力列阵(nodal force vector)。
式(5)称为单元方程。
16
到目前为止，单元方程(4)或(5)尚不能求解，因为 节点力列阵Pe尚属未知。 Pe的分量Pi和Pj为相邻单 元作用于单元e的节点i和j的力，即属于单元之间 的作用力。只有将具有公共节点的单元“组 集” 在一起才能确定上述节点力和节点外载荷之间的 关系。
2）节点力与节点载荷的差别
4
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
分离但节点重叠的单元A和 B之间没有信息传递（需进 行节点合并处理）
具有公共节点的单元之间 存在信息传递
5
非法结构离散
节点不合法
不同材料
6
单元类型
第2讲 矩阵分析及弹性力学基础
σ 11 σ 1 σ 11 σ σ σ σ 13 22 2 22 → σ 33 = σ 3 → σ 33 σ 23 σ 23 σ 4 σ 12 σ 33 σ σ σ 5 23 13 σ 12 σ 6 σ 31
0阶张量(标量)：无自由指标的量 1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui 2阶张量：有2个自由指标的量，如σij , εij n阶张量：有n个自由指标的量
北京航空航天大学
一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义， 指标记法为σij 和εij，是二阶张量
σ 11 σ σ = 21 σ 31
ε11 ε = ε 21 ε 31
ε12 ε 22 ε 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。 北京航空航天大学
弹性系数矩阵的Voigt标记
北京航空航天大学
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
若取
a ji = aij
2 + ann xn
则
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12
+ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + L + a1n x1 xn + a23 x2 x3 + L + a2 n x2 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2
+ LLLLLLLLLLLLLLL
北京航空航天大学
Voigt标记
0阶张量(标量)：无自由指标的量 1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui 2阶张量：有2个自由指标的量，如σij , εij n阶张量：有n个自由指标的量
北京航空航天大学
一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义， 指标记法为σij 和εij，是二阶张量
σ 11 σ σ = 21 σ 31
ε11 ε = ε 21 ε 31
ε12 ε 22 ε 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。 北京航空航天大学
弹性系数矩阵的Voigt标记
北京航空航天大学
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
若取
a ji = aij
2 + ann xn
则
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12
+ a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + L + a1n x1 xn + a23 x2 x3 + L + a2 n x2 xn
2 + a21 x2 x1 + a22 x2
+ LLLLLLLLLLLLLLL
北京航空航天大学
Voigt标记
有限元课件-第2讲__矩阵分析及弹性力学基础
11 ε 21 31
12 22 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。
弹性系数矩阵的Voigt标记
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
三大类基本方程
在弹性力学中针对微小的单元体建立基本 方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分 析问题归结为偏微分方程组的边值问题。 弹性力学的基本方程包括
平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系
平衡方程
ab=dx ad=dy
F 0 F 0 M 0
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,
, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
第2讲
矩阵算法及弹性力学基础
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性Biblioteka 程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
du dL
《有限元法基础讲义》课件
常见材料本构关系及其有限元 表示
讨论了不同材料的本构关系和应力-应变关系，以及如何将它们表示为有限元 模型中的材料属性。
有限元网格划分与质量控制
讲解了有效的有限元网格划分算法、质量控制策略和改善网格质量的技巧， 以提高计算结果的精确性和稳定性。
有限元求解算法
探索了常用的有限元求解算法，包括直接法和迭代法，以及并行计算和加速 技术。
《有限元法基础讲义》 PPT课件
通过《有限元法基础讲义》PPT课件，我们深入探讨了有限元法的各个方面， 包括基础概述、一维到三维有限元法、材料本构关系、网格划分与质量控制、 求解算法、静态与动态分析，以及在结构、流体力学、热传导和电磁场中的 应用。
有限元法基础概述
介绍了有限元法的定义、原理和应用领域，以及有限元分析的基本步骤和注意事项。
一维有限元法
详细讲解了一维有限元法的原理、单元类型、边界条件的处理方法，并演示 了一维结构的有限元分析过程。
二维有限元法
探讨了二维有限元法的理论基础、常见单元类型、网格生成算法，以及处理复杂边界条件和材料非线性性的技 巧。
三维有限元法
介绍了三பைடு நூலகம்有限元法的基本原理、常用稳定性判据、网格生成策略，以及处理大规模问题和高性能计算的方法。
静态分析与动态分析
介绍了有限元法在静态和动态分析中的应用，如结构强度分析、模态分析和 响应谱分析等。
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x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、12、 23、 31
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
剪应力互等
, ,
xy yxyz zyzx
xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。 面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
x
对向量x各元素的偏导数
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
2 f( x , x , , x ) ax 2 a xx 2 axx 2 a xx 1 2 n 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 n 1n 2 a x 2 a xx 2 a xx 2 2 2 2 3 2 3 2 n 2 n
二次型的微商
f( x ,x , ,x ) xA x a 1 2 n i jx ix j
T i ,j 1 n
f n 2 a x x 1i i 1 i1 a11 a12 a1n x1 n f a a x 2 a x a f 2i i 21 22 2n 2 x 2 i1 2Ax 2 x an1 an2 ann xn n f x 2ani xi n i1
力学学科各分支的关系
力学学科 中学力学 研究对象 质点 特征 无变形
理论力学
材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
质点系及刚体
简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体 任意变形体 任意变形体
无变形
小变形 小变形 小变形 任意变形
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相 同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去 除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基 本方程时可以忽略高阶小量。
第2讲
矩阵算法及弹性力学基础
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
2 a xx a x x a xx a x n 1n1 n 2 n 2 n 3n3 n n n
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
f (x ,x [x 1, x 2, n) 1 x 2
a x a 1 1 a 1 2 1 n 1 a a x a 2 1 2 2 2n 2 x n] x a n n 1 a n2 n n a
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。 应力分量的方向定义 ：
A: 对称矩阵
T x A x
正定二次型：设
T f ( xx , , , x ) x A x为实二次型，如果对于 1 2 n
T f x A x 0
任意的非零实向量X，都有
A: 正定矩阵
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序 主子式皆大于0
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1 F2
Q lim S A 0 A
N A
Nsin sin A Nsin cos A
若取
a ji a ij
则
2 a , x ) ax 1 2 n 1 11
axx axx a xx 1 212 1 3 1 3 1 n 1n
2 a xx a x a xx a xx 2 121 2 2 2 2 3 2 3 2 n 2 n