复变函数课件(山东大学第二版)第四章(2)
合集下载
复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
【精品】复变函数总复习PPT课件
其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
《复数与复变函数》PPT课件
例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2) arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2, Re(z2 ) 1 x2 y2 1, 无界的单连通域(如图).
y z
z
o
x
有界！
17
1.2.2 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它
为一个区域.
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条
D
z2
z1
•
•
折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
18
说明
不包含边界！
第一章 复数与复变函数
• 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点
1
第一节 复数
• 1 复数域
形如 z x iy y x 的数，称为复数。其中实数 和
分别称为复数的实部和虚部，常记为
x Re z, y Im z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
32
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
33
(5) 0 arg z i , zi 4
当 z x iy 时,
zi zi
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数 第四章
4. 收敛半径的求法
关于幂级数∑ cn z n
n =0 ∞
(3)的收敛半径求法，有
1/ λ cn+1 定理2 若lim = λ，则R = + ∞ (比值法) n→∞ cn 0
0 < λ < +∞ λ =0 λ = +∞
c n + 1 z n +1 c n +1 证明 (i ) λ ≠ 0,∵ lim = lim z =λ z n n→∞ n→∞ c cn z n
定义 设复数列： {α n } = {an + ibn }(n = 1, 2,⋯, n),
∑α
n=1
∞
n
= α1 +α2 +⋯+αn +⋯ ---无穷级数
级数的前面n项的和n
sn = α1 +α2 +⋯+αn = ∑αi ---级数的部分和
i =1
∞
收敛 －级数 ∑ α n 称为收敛 n =1 lim sn = s称为级数的和 n→∞ 若部分和数列{ s n } ∞ 不收敛 －级数 α 称为发散 ∑1 n n=
定义 若 ∑ α n 收敛，则称 ∑ α n为绝对收敛；
n =1 ∞ n =1
∞
若 ∑ α n 发散，而 ∑ α n收敛，则称 ∑ α n为n =1 n =来自 n =1∞∞
条件收敛.
例2 下列级数是否收敛？是 下列级数是否收敛？ 否绝对收敛？ 否绝对收敛？
∞ 1 i (8i ) n (1) ∑ (1 + ) (2) ∑ n n =1 n n=0 n ! ∞
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理 阿贝尔(Able)定理） 定理1 (阿贝尔(Able)定理）
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明:
0 如果
R R0
(与比值法相同)
16
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 0 n
g( z ) bn z n , R r2 .
n n 0 n
f ( z ) g( z ) an z bn z (an bn ) z ,
24
cn 1 n lim (2) lim 1 , 即 R 1. n c n n 1 n
当z 0时,
1 原级数成为 ( 1) , 交错级数, 收敛. n n 1
n
1 当z 2时, 原级数成为 , 调和级数，发散. n 1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
n n
z
z
n 1 z ( n 1) z dz
n
n 0
z . 1 z
z 1 ) . 所以 ( n 1) z ( 2 1 z (1 z ) n 0
z 1
28
n n 1 ( 2 1 ) z 例6 求级数 的收敛半径与和函数. n 0
21
z 1
z 1
1 lim sn n 1 z
n z 级数 收敛, n0
lim z 0
n n
n z 级数 发散. n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1, 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 1 z z2 zn . 1 z
级数逐项求导得到, 即 f ( z ) nc n ( z a )n1 .
n 1
19
(3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
c
f ( z )dz cn ( z a )n dz , c z a R.
n 0 c
z
或
a
cn f ( )d ( z a )n1 . n0 n 1
z
2 1 2z
故 ( 2 1) z
n n1
1 2 1 . 1 2 z 1 z (1 2 z )(1 z )
29
1 例7 计算 c( z ) dz , 其中c为 z . 2 n 1
n
解
1 在 z 内, 2
n 1
n z 收敛,
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
20
四、典型例题
n 2 n z 1 z z z 例1 求幂级数 n0
的收敛范围与和函数.
解
级数的部分和为
sn 1 z z z
2
n1
1 zn , ( z 1) 1 z
称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
2
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为这级数的部分和. 和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 那末称级数 f n ( z ) 在 z0 收敛, s( z0 )称为
n1
它的和.
3
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 s( z ) :
s ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
4
2. 幂级数 当 f n ( z ) cn1 ( z a )n1 或 f n ( z ) cn1 z n1 时,
函数项级数的特殊情形
n c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n
25
n (cos in ) z 例3 求幂级数 的收敛半径: n 0
1 n 解 因为 cn cos in cosh n (e e n ), 2
c n 1 e n1 e n1 e, 所以 lim lim n n n c n e e n
1 故收敛半径 R . e
22
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n ( z 1) (2) (并讨论 z 0 , 2 时的情形) n n 1
n
cn 1 n 3 lim (1) 因为 解 lim( ) 1, n c n n 1 n
1 1 或 lim cn lim 3 lim n 3 1. n n n n n
n n
23
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
zn 1 在圆周 z 1 上, 级数 3 3 n 1 n n 1 n
收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
当 z 0 时, 通项不趋于零, 故级数发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散. 如图:
9
y
收敛圆
收敛半径
o
R.
.
x
10
问题1: 幂级数
cn ( z a ) 的收敛范围是何区域? n 0
7
z2 zn 例如, 级数 1 z 2 n 2 n
对任意固定的z,
n n
z 1 从某个n开始, 总有 , n 2
z 1 于是有 n , n 2
故该级数对任意的z均收敛.
8
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
18
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四
设幂级数
n 的收敛半径为 R, c ( z z ) n 0 n 0
那末幂级数在其收敛圆内绝对收敛，且 (1) 它的和函数 f ( z ) cn ( z a )n 是收敛圆
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f ( z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果 在 z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z , 级数必发散.
6
2. 收敛圆与收敛半径
n c z 幂级数 n 的收敛范围是以原点为中心的圆域. n 0
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:
(1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级
数的运算性质.
31
作业
习题4：2(1,2,3,4), 3(1,2,3,4).
32
所以
1 2 R . 2 2
27
n ( n 1 ) z 例5 求级数 的收敛半径与和函数. n 0
c n 1 n2 1, 解 因为 lim lim n c n n 1 n
利用逐项积分,得:
所以 R 1.
( n 1) z dz 0 0 n 0 n 0
第二节
幂级数
一、幂级数的概念
二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 五、小结与思考
一、幂级数的概念
1.复变函数项级数 定义
设 { f n ( z )} ( n 1,2域 D内有定义.表达式
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
n 2 n 0
n 2 n c z c c z c z c z . 或 n 0 1 2 n n 0
这种级数称为幂级数.
5
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
n c z 如果级数 n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那末对 n 0
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
在收敛圆周上处处收敛.
12
3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
c n 1 1 如果 lim 0, 那末收敛半径 R . n c n
13
cn 1 存在且不为零 . 注意: 定理中极限 lim n c n 如果:
答案
1 因为 cn p ， n
1 c n 1 n p lim lim( ) lim 1. n 1 p n c n n 1 n (1 ) n 1 所以 R 1.
15
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim n cn 0, 那末收敛半径 R 1 . n
n 1 c n 1 2 1 1 2, 所以 R . lim n 解 因为 lim n c n 2 1 2 n
1 当 z 时, 2 z 1, 2
z n 1
n 1
1 , 1 z
2 n 1
n
z
n 1
2 2
n 1
n1
n 1 n 1
n f ( z ) a z z r 如果当 时, n , 又设在 n 0