2019-2020版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章导数及其应用1.5.3 Word版含答案.docx

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2019-2020版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版实用课件：第一章导数及其应用1.3.3(二)

第一章§1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数(二)学习目标1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.题型探究类型一由极值与最值关系求参数范围例1若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是A.(－1，)B.(－1,4)11√C.(－1,2]D.(－1,2)解析答案反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内.跟踪训练1若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 解析答案√解析由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点，且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0，∴0<b <12，故选D.类型二与最值有关的恒成立问题例2已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x ＝－2与x＝1处都取得极值.3(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；解答(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求实数c的取值范围.解由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值.要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).解由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－32为极小值，又f(－1)＝12＋c>c－32，所以f(1)＝c－32为最小值.引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立”改为“若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立”，结果如何？因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立，所以只需c2>f(1)＝c－32，即2c2－2c＋3>0，解得c∈R.故实数c的取值范围为R.反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是__________.解析由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，(－∞，4]得a ≤2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0).则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增.∴h (x )＝h (1)＝4.∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线.①求L 的方程；解设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx 2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方.证明设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0.g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增；所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0.达标检测A.0B.1eC.4e 4D.2e 2 1.函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是√解析f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.A.e 2B.－eC.－e －1D.－1032.函数f (x )＝x ln x 的最小值为√解析∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e ，故选C.3.已知函数f(x)＝e x－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是√A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.[－1，＋∞)D.(－∞，－1]解析f′(x)＝e x－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝f(0)＝1＋a，min若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.4.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是___.4解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x≤1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)的最小值为－2，对[－1,1]上任意x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.5.已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数.(1)试确定a，b的值；解由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·1＋4bx3＝x3(4a ln x＋a＋4b)，x由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.(2)讨论函数f(x)的单调区间；解由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0).令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数.因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围.解由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞.规律与方法1.若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内.2.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.3 1.3.1

1.3.1　函数的单调性与导数1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导□01(1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是单调递增的．□02(2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤□03(1)确定函数f(x)的定义域．□04(2)计算f′(x)，令f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．□05□06□07(4)判断f′(x)在每个区间的符号，确定函数f(x)的增区间和减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y ＝f (x )的图象在(0，a )内“陡峭”，在(a ，＋∞)内“平缓”．说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)函数y ＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．(3)函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．答案　(1)上升　(2)a >0，且b 2≤3ac (3)，(1，＋∞)(－∞，－53)探究函数与导函数图象之间的关系1例1　f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．[答案]　C拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．【跟踪训练1】　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )答案　D解析　应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象．探究求函数的单调区间2例2　求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝；e xx －2(3)f (x )＝－x 3＋3x 2；(4)f (x )＝－ax 3＋x 2＋1(a ≤0)．13[解]　(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －＝.1x (2x －1)(2x ＋1)x因为x >0，所以x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >，所以函数f (x )的单调递222增区间为；(22，＋∞)由f ′(x )<0，解得x <，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为22.(0，22)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝＝.e x (x －2)－e x(x －2)2e x (x －3)(x －2)2因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)f (x )＝－x 3＋3x 2的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．(4)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x .①当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )>0，所以(－ax ＋2)x >0，即x >0，得x >0或(x －2a )x <，由f ′(x )<0，得<x <0.2a 2a 故f (x )的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.(－∞，2a )(2a ，0)拓展提升(1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．(3)要特别注意函数的定义域．【跟踪训练2】　求下列函数的单调区间．(1)y ＝(1－x )e x ；(2)y ＝x 3－2x 2＋x ；(3)y ＝x ＋sin x ，x ∈(0，π)；(4)y ＝a x －a －x (a >0且a ≠1)．12解　(1)∵y ＝(1－x )e x ，∴y ′＝－x e x ，∴y ′>0时x <0，y ′<0时x >0，所以递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．(2)∵y ＝x 3－2x 2＋x ，∴y ′＝3x 2－4x ＋1，x ∈R ，①令3x 2－4x ＋1>0，得x >1或x <.13②令3x 2－4x ＋1<0，得<x <1.13∴函数y ＝x 3－2x 2＋x 的增区间为和(1，＋∞)，减区间为.(－∞，13)(13，1)(3)∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝＋cos x ，1212①令y ′>0，得cos x >－，又∵x ∈(0，π)，12∴0<x <.2π3②令y ′<0，得cos x <－，12又∵x ∈(0，π)，∴<x <π.2π3∴函数y ＝x ＋sin x 的增区间为，减区间为.12(0，2π3)(2π3，π)(4)y ′＝a x ln a －a －x ln a ·(－x )′＝(a x ＋a －x )ln A ．当a >1时，ln a >0，a x ＋a －x >0，所以y ′>0在R 上恒成立．所以函数y ＝a x －a －x 在R 上是增函数．当0<a <1时，ln a <0，a x ＋a －x >0，所以y ′<0在R 上恒成立．所以函数y ＝a x －a －x 在R 上是减函数．综上可知，当a >1时，函数y ＝a x －a －x 在R 上是增函数；当0<a <1时，函数y ＝a x －a －x 在R 上是减函数．探究应用函数单调性求参数范围3例3　若函数f (x )＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间1312[6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．[解]　f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7.综上，实数a 的取值范围为[5,7]．拓展提升已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立；(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．【跟踪训练3】　已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解　因为f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1，所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.当x ∈R 时，f (x )为减函数，得f ′(x )≤0，即3ax 2＋6x －1≤0(x ∈R )．①当a ＝0时，f ′(x )＝6x －1≤0(x ∈R )不成立(舍去)，②当a >0时，f ′(x )≤0(x ∈R )不成立(舍去)，③当a <0时，f ′(x )≤0(x ∈R )，则有Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.所以，当a ≤－3时，函数f (x )在R 上为减函数．所以a 的取值范围为(－∞，－3]．探究利用导数证明不等式4例4　求证：当n ∈N *，且n ≥3时，2n ＞2n ＋1.[证明]　设f (x )＝2x －2x －1(x ≥3)，则f ′(x )＝2x ln 2－2(x ≥3)．因为x ≥3，所以f ′(x )≥23·ln 2－2＞0.所以f (x )在[3，＋∞)内是增函数．所以f (x )的最小值为f (3)＝23－2×3－1＝1＞0.所以当n ∈N *，且n ≥3时，f (n )≥f (3)＞0，即2n －2n －1＞0恒成立．故当n ∈N *，且n ≥3时，2n ＞2n ＋1成立．拓展提升利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f (x )．因此，要证不等式成立，只需证f (x )＞0在其定义域内恒成立即可．【跟踪训练4】　已知函数f (x )＝ln x －.(x －1)22(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.解　(1)由题意得f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－x ＋1＝，x ∈(0，＋∞)．1x －x 2＋x ＋1x由f ′(x )>0得－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <.1＋52故f (x )的单调递增区间是.(0，152)(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝.1－x 2x 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内符号；③得出结论.1．下列命题中正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )上是增函数，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．若在(a ，b )上对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )上是单调函数，则f ′(x )也是单调函数D ．若可导函数f (x )在(a ，b )上有f ′(x )＜0，则在(a ，b )上有f (x )＜0答案　B解析　根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B 正确；对于A ，可能存在x 0∈(a ，b )，使得f ′(x 0)＝0；因为f ′(x )的单调性与f (x )的单调性的关系不确定，所以C 不正确；因为f ′(x )与f (x )的符号关系不确定，所以D 不正确．2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤13答案　A解析　由题意可知f ′(x )≤0恒成立，即3ax 2－1≤0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2－1≤0恒成立，故选A ．3．函数f (x )＝x ln x 的单调递减区间为________．答案　(0，1e )解析　函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0得x <，又1e x >0，所以f (x )的单调递减区间为.(0，1e )4．设函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案　[－3，＋∞)解析　f ′(x )＝3x 2＋a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以3x 2＋a ≥0对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≥－3x 2对x ∈(1，＋∞)恒成立，又－3x 2<－3，所以a ≥－3.5．判断函数y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性．解　y ′＝3ax 2，x 2≥0.当a >0时，y ′≥0，函数在R 上单调递增；当a <0时，y ′≤0，函数在R 上单调递减；当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性．。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用章末复习

知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f ′(x )≥0不能得到f (x )是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f (x )在点x 0取得极值的充分必要条件是f ′(x )＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f (x )＝|x |在极小值点x 0＝0处不可导. (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f ′(x 0)＝0的点x 0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y ＝f (x )，然后利用导数求出函数f (x )的最值，求函数f (x )的最值时，若f (x )在区间(a ，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎨⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y ′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为 y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a ，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a ，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1.(2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13上. 故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72. 又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b >b a . [证明] 因为b >a >e ，所以要证a b >b a ，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －ax .因为x >a >e ，所以ln a >1，且ax <1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0，所以b ln a >a ln b ，故a b >b a . 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为： y ＝kx 2＋k ·8(20－x )2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得y ′＝－2k x 3＋16k(20－x )3＝2k (9x 3－60x 2＋1200x －8000)x 3(20－x )3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0；又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0， ∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低. 拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为 y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)，由⎩⎨⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.3 1.3.3

【跟踪训练 3】设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a>0.
(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当 x∈[0,1]时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值．
解 (1)f(x)的定义域为 R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
－1－ 4＋3a
－1＋ 4＋3a
令 f′(x)＝0，得 x1＝
当 3 ≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0.
[ ] [ ] 2a
2a
2a
0，
，2
当 0< 3 <2，即 0<a<3 时，f(x)在 3 上单调递减，在 3 上单调递增，
从而 f(x)max＝Error! 综上所述，f(x)max＝Error!
[条件探究] 将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？
【跟踪训练 2】已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A． (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．解 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)<0，解得 x<－1，或 x>3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( ) (3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做 (1)设函数 f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则 f(x)________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数 y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为 1，则 m＝________. 答案 (1)无 (2)15 (3)1

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.7 1.7.1 Word版缺答案

1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a b f (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ；(2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a bf (x )d x | ＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛c b f (x )d x□06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上，当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)由曲线y＝e x，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________．(2)曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为________．(3)抛物线y＝x2－1与x轴围成图形的面积是________．答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎨⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)．设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为1 12，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解]如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20，令y＝0，得x＝x02，即C⎝⎛⎭⎪⎫x02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】已知抛物线y＝－x2a＋2x(a>0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x ，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( ) A ．ln 2 B ．ln 2－1 C ．1＋ln 2 D ．2ln 2 答案 A解析画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712 答案 A解析作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛1(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________．答案 18解析图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案 1－3425．如图，求由曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积S.。

数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版实用课件：第一章导数及其应用1.2 第3课时

反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝(x2－4)2；解 y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x ＝4x3－16x. (2)y＝ln(6x＋4)；解 y′＝6x＋1 4·(6x＋4)′＝3x＋3 2.
＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
＝
1＋x2＋
x2 1＋x2
1＋2x2 1＋x2
＝
1＋x2
.
解答
(3)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2. 解 ∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12xsin 4x，
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
12345
解析答案
2.函数 y＝x2cos2x－π3的导数为 A.y′＝2xcos2x－π3－x2sin2x－π3
√B.y′＝2xcos2x－π3－2x2sin2x－π3
C.y′＝x2cos2x－π3－2xsin2x－π3 D.y′＝2xcos2x－π3＋2x2sin2x－π3
跟踪训练 3 曲线 y＝esin x 在点(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程.

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.3

1．1.3　导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是＝.ΔyΔx □01f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线□02 AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝ □03 limΔx →0.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是□04f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．□05 □063．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝□07 □08 .□09 limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx“函数f (x )在点x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都可导，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，这时对于区间(a ，b )内每一个确定的值x 0，都对应着一个导数f ′(x 0)，这样就在开区间(a ，b )内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f (x )在开区间(a ，b )内的导函数，记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝＝limΔx →0Δy Δx .lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx (3)导函数也简称导数．(4)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( )(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(3)函数f (x )＝0没有导函数．( )答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f (x )在点A (1,2)处的导数是－1，那么过点A 的切线方程是________．(3)函数f (x )＝x 2＋1的导数f ′(x )＝________.答案　(1)45°　(2)x ＋y －3＝0　(3)2x探究求切线方程1例1　求曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1,2)处的切线方程．[解]　易证得点P (1,2)在曲线上，由y ＝x 3＋2x －1得Δy ＝(x ＋Δx )3＋2(x ＋Δx )－1－x 3－2x ＋1＝(3x 2＋2)Δx ＋3x ·(Δx )2＋(Δx )3.＝3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2.ΔyΔx 当Δx 无限趋近于0时，3x 2＋2＋3x ·Δx ＋(Δx )2无限趋近于3x 2＋2，即f ′(x )＝3x 2＋2，所以f ′(1)＝5.故点P 处的切线斜率为k ＝5.所以点P 处的切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.[条件探究]　将本例中的在点P (1,2)改为过点Q (0,1)，结果会怎样？[解]　∵点Q 不在曲线上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．由本例知k ＝f ′(x 0)＝3x ＋2，切线方程为y －y 0＝(3x ＋2)(x －x 0)．2020又∵切线过点Q (0,1)，∴1－y 0＝(3x ＋2)(0－x 0)．20又∵y 0＝x ＋2x 0－1得x ＝－1，即x 0＝－1，3030∴切线方程为5x －y ＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】　已知曲线C ：f (x )＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f (x )＝x 3相切的直线．解　(1)∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝ lim Δx →0(Δx )3＋3x 2·Δx ＋3x ·(Δx )2Δx ＝ [(Δx )2＋3x 2＋3x ·Δx ]＝3x 2，limΔx →0∴f ′(1)＝3×12＝3，又f (1)＝13＝1，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点为P (x 0，x )，3由(1)知切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x ，20故切线方程为y －x ＝3x (x －x 0)．3020又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x ＝3x (1－x 0)，即2x －3x ＋1＝0，30203020解得x 0＝1或x 0＝－.∴k ＝3或k ＝.1234故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝(x －1)，34即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.探究利用导数求切点坐标2例2　过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线．(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0.[解]　因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝＝2x .lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx 设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·＝－1，得x 0＝－，y 0＝，133294即P是满足条件的点．(－32，94)[结论探究]　在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°.[解]　由例题解析过程知f ′(x )＝2x ，因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－，y 0＝，1214即P是满足条件的点．(－12，14)拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)；(2)求导函数f ′(x )；(3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】　已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解　设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x －1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，20∴＝4x 0＋2Δx .ΔyΔx 当Δx 无限趋近于零时，无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.ΔyΔx (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝，该点为.14(14，98)(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．探究导数几何意义的综合应用3例3　设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解]　因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x ＋ax －9x 0－1)3020＝(3x ＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，20所以＝3x ＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.ΔyΔx 2所以f ′(x 0)＝li ＝3x ＋2ax 0－9，mΔx →0Δy Δx 20所以f ′(x 0)＝32－9－.(x 0＋a 3)a 23因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－＝－12，a 23解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3.拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x 0处的导数f ′(x 0)并求出其最小值，建立等量关系求出a 的值，再根据a <0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】　已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．13(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程．解　(1)因为y ′＝ lim Δx →0Δy Δx ＝＝x 2－4，13(x ＋Δx )3－4(x ＋Δx )＋4－13x 3＋4x －4Δx所以y ′|x ＝2＝0，所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线，所以设抛物线方程为x 2＝2py ，则＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .p21.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线l 的倾斜角为，此时切线平行于y 轴，导数π2不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x 而言的，就是函数f (x )的导数f ′(x )．函数y ＝f (x )在x 0处的导数，就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0 D ．f ′(x 0)不确定答案　C解析　因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开(10－110t)始到结束的平均融化速度为(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于(m 3/h)的v － v－时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4答案　C解析　如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于(m 3/h)的时刻是t 3.v－ 3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________．答案　y ＝0解析　f ′(x )＝＝lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx 4．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________．答案　3解析　∵f ′(1)＝limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝＝a ，∴f ′(1)＝a ＝3.lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx 5．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．解　y ′＝＝ lim Δx →0Δy Δx lim Δx →02(x ＋Δx )2－7－(2x 2－7)Δx ＝ (4x ＋2Δx )＝4x .limΔx →0因为2×32－7＝11≠9，所以点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0,2x －7)，20则切线的斜率k ＝4x 0.又因为点P (3,9)，A (x 0,2x －7)都是切线上的点，20所以k ＝＝4x 0，解得x 0＝2或x 0＝4.2x 20－7－9x 0－3当x 0＝2时，k ＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.4

【跟踪训练 3】某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量 x(t)与每吨产品
1
的价格 p(元/t)之间的关系式为 p＝24200－5x2，且生产 x
t 产品的成本为
R＝50000＋200x.问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是
多少？(利润＝收入－成本)
解每月生产 x t 的利润为
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通
□ □ 01
02
常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的
□ □ 03
04
有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题．
□05
2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系
□ □ 06
1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时
1
时，原油温度(单位：℃)为 f(x)＝3x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化
率的最小值是( )
20
A．8 B． 3 C．－1 D．－8
答案 C
解析瞬时变化率即为 f′(x)＝x2－2x 为二次函数，且 f′(x)＝(x－1)2－1，
费用最省？
[解] 设 C 点距 D 点 x km，则 BD＝40，AC＝50－x， ∴BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402. 又设总的水管费用为 y 元，依题意，得 y＝3a(50－x) ＋5a x2＋402(0≤x≤50)．
5ax 则 y′＝－3a＋ x2＋402，令 y′＝0，解得 x1＝30，x2＝－30(舍去)．在[0,50]上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x＝30 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在 A，D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省．拓展提升 (1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值． (2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.3.2(一)

(0 ，e) ＋ ↗
e 0 极大值
(e，＋ ∞ ) － ↘
因此， x＝ e 是函数的极大值点，极大值为
f(e) ＝1，没有极小值． e
反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程 f′ (x)＝ 0 的根． (3)用方程 f′ (x)＝ 0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由 f′ (x) 在方程 f′ (x)＝ 0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况．特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．跟踪训练 1 求下列函数的极值点和极值．
1． 3.2 函数的极值与导数 (一 )
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系函数极值的判定及求法 .3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
.2. 掌握
知识点一函数的极值点和极值思考观察函数 y＝ f( x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案极大值点为 e， g， i，极大值为 f (e)， f( g)， f(i )；极小值点为 d， f，
(－ 1,3)
3
(3 ，＋ ∞ )
f′ (x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出，当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值
极小值，且极小值 f(3) ＝－ 6.
(2)函数 f(x) 的定义域为 R.
f′
(
x)
＝
－
2xe
x－
x2e－
x＝
x(2
－
x)e－
x

2019-2020学年人教A版数学选修2-2讲义：第1章章末复习课 Word版含答案

姓名，年级：时间：导数的几何意义【例1】已知函数()＝3＋－16.(1）求曲线y＝f(x）在点（2，－6）处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；（3)如果曲线y＝f（x)的某一切线与直线y＝－错误!x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．［解］(1）∵f′（x）＝（x3＋x－16）′＝3x2＋1，∴f（x)在点(2，－6）处的切线的斜率为k＝f′(2）＝13。

∴切线的方程为y＝13（x－2)＋(－6),即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0,y0）,则直线l的斜率为f′(x0)＝3x错误!＋1，∴直线l的方程为y＝(3x错误!＋1）（x－x0)＋x错误!＋x0－16。

又∵直线l过点（0，0),∴0＝(3x2，0＋1）(－x0）＋x错误!＋x0－16。

整理得，x3，0＝－8，∴x0＝－2。

∴y0＝(－2）3＋(－2）－16＝－26。

k＝3×（－2）2＋1＝13。

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26）．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为（x0，y0），则k＝错误!＝错误!，又∵k＝f′（x0)＝3x错误!＋1，∴错误!＝3x错误!＋1。

解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋（－2）－16＝－26。

k＝3×（－2）2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为（－2,－26）．(3)∵切线与直线y＝－错误!＋3垂直，∴切线的斜率k＝4。

设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x错误!＋1＝4，∴x0＝±1.∴错误!或错误!即切点为(1,－14)或(－1,－18）．切线方程为y＝4(x－1）－14或y＝4（x＋1）－18。

即y＝4x－18或y＝4x－14。

1．导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0）(x－x0)，明确“过点P(x0,y0)的曲线y＝f（x)的切线方程”与“在点P（x0,y0）处的曲线y＝f(x）的切线方程”的异同点．2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0,y0)，则k＝f′(x0），y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点（2,3），则b＝________。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.3 1.3.2

3
[解] (1)函数 f(x)＝x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， 3 3 3x－1
f′(x)＝－x2＋x＝ x2 ，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值 3

因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋1 必有 2 个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行或重合．( )
1 (3)函数 f(x)＝x有极值．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做 (1)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．
1
答案 y＝－e
解析由题知 y′＝ex＋xex，令 y′＝0，解得 x＝－1，代入函数解析式可得
( )1
求函数极值的方法
一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝0，设解为 x0， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．注意：如果在 x0 附近的两侧 f′(x)符号相同，则 x0 不是函数 f(x)的极值点．例如，对于函数 f(x)＝x3，我们有 f′(x)＝3x2.虽然 f′(0)＝0，但由于无论是 x>0，还是 x<0，恒有 f′(x)>0，即函数 f(x)＝x3 是单调递增的，所以 x＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点．一般地，函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0 是函数 y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.2 1.2.2(二) Word

姓名，年级：时间：1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g(x），如果通过变量u，y可以表示成错误! x的函数,那么称这个函数为y＝f(u）和u＝g(x)的复合函数，记作错误!y＝f［g(x）］．在复合函数中,内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f（u）的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数,即y x′＝错误!y u′·u x′,并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量,也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项（1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如（sin2x）′＝2cos2x,不能得出（sin2x)′＝cos2x。

(3）根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin错误!的导数，设y＝sin u,u＝2x＋错误!，则y x′＝y u′·u x′＝cos u·2＝2cos错误!。

(4）熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．1．判一判（正确的打“√"，错误的打“×”)(1)f′(x）＝2x，则f(x)＝x2。

（）(2）函数f（x)＝x e x的导数是f′（x)＝e x（x＋1）．（）(3）函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′（x）＝cos x。

( ）答案（1）×（2）√(3）×2．做一做（1）若f(x)＝2x＋3，则f′（x）＝________.(2）函数f（x)＝2sin x－cos x，则f′(x)＝________.(3)函数f(x）＝－错误!，则f′（x)＝________.答案(1)2 (2)2cos x＋sin x（3）2x＋12探究错误!简单复合函数求导问题例1 求下列函数的导数．（1)y＝(3x－2）2;（2）y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin（2x＋1）；(4)y＝3x＋5。

数学新导学笔记选修22人教A全国通用版讲义：第一章导数及其应用1.5.3

1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一定积分的概念思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1nf (ξi )Δx ＝i ＝1n b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n→∞i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？答案相等．梳理从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )吗？答案直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．1．ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )2．ʃb a f (x )d x 的值一定是一个正数．( × ) 3．ʃb a ⎣⎡⎦⎤x 3＋⎝⎛⎭⎫12x d x ＝ʃb a x 3d x ＋ʃb a ⎝⎛⎭⎫12x d x .( √ )类型一利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n ·Δx＝i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3(n ＋i －1)n ＋2·1n＝i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3(i －1)n 2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点定积分的概念题点定积分的概念解令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n ，[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n ＝∑n i ＝1⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2 ＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x .考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e－x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三利用定积分的几何意义求定积分例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( ) ①ʃ10x 3d x ＝i ＝1n i 3n 3·1n；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞i ＝1n i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点定积分的概念题点定积分的概念答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16.4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d x B ．ʃ10|－x |d x C ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x .考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x 是一个和式i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1nB ．lim n →∞i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1nC.i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n考点定积分的概念题点定积分的概念答案 D解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n. 2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 C解析当x ∈[0，π]时，sin x ≥0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 A解析由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa －a |x |d x ≤2 016，得ʃa －a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4，所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________．考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 A解析根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1.15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x .精心整理提升自我考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2　变化率问题　导数的概念1．平均变化率函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率＝.ΔyΔx □01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是＝.ΔyΔx □02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．□03 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L ，则常数L 称为函ΔyΔx 数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作＝L .□04 limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是＝limΔx →0ΔyΔx □05 limΔx →0，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxy ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝ .□06 □07 limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化□08 率．导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若f ′(x 0)＝存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导并且导数即为极限值．lim Δx →0Δy Δx (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim x →x 0 与概念中的f ′(x 0)＝f (x )－f (x 0)x －x 0limΔx →0意义相同．f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( )答案　(1)√　(2)×　(3)×2．做一做(1)自变量x 从1变到2时，函数f (x )＝2x ＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．(2)函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________．(3)函数y ＝f (x )＝在x ＝－1处的导数可表示为________．1x 答案　(1)2　(2)2　(3)f ′(－1)或y ′|x ＝－1探究求函数的平均变化率1例1　求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．[解]　函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝＝6x 0＋3Δx .6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[结论探究]　在本例中，分别求函数在x 0＝1,2,3附近Δx 取时的平均变化率12k 1，k 2，k 3，并比较其大小．[解]　由例题可知，函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx .当x 0＝1，Δx ＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为12k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为12k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5.12所以k 1<k 2<k 3.拓展提升求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)；(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)得平均变化率＝.ΔyΔx f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0【跟踪训练1】　(1)若函数f (x )＝x 2－1，图象上点P (2,3)及其邻近一点Q (2＋Δx,3＋Δy )，则＝( )ΔyΔx A ．4 B ．4Δx C ．4＋Δx D ．Δx(2)求y ＝在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率________．x 答案　(1)C (2)1x 0＋Δx ＋x 0解析　(1)∵Δy ＝(2＋Δx )2－1－(22－1)＝4Δx ＋(Δx )2，∴＝＝4＋Δx .ΔyΔx 4Δx ＋(Δx )2Δx(2)∵Δy ＝－，∴y ＝在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为＝x 0＋Δx x 0x ΔyΔx ＝.x 0＋Δx －x 0Δx1x 0＋Δx ＋x 0探究求平均速度与瞬时速度2例2　若一物体运动的位移s 与时间t 关系如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝Error!求：(1)物体在t ∈[3,5]上的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解]　(1)因为物体在t ∈[3,5]上的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]上的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．ΔsΔt 482(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．因为物体在t ＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt －18，ΔsΔt 29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为＝ (3Δt －18)＝－18，即物lim Δt →0Δs Δt limΔt →0体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．因为物体在t ＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt －12，ΔsΔt 29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt所以物体在t ＝1处瞬时变化率为＝ (3Δt －12)＝－12，即物体lim Δt →0Δs Δt limΔt →0在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.【跟踪训练2】　已知质点M 做直线运动，且位移随时间变化的函数为s ＝2t 2＋3(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求；ΔsΔt(2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，求；ΔsΔt (3)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．解　＝＝＝4t ＋2Δt .Δs Δt s (t ＋Δt )－s (t )Δt2(t ＋Δt )2＋3－(2t 2＋3)Δt(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．ΔsΔt (2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．ΔsΔt (3)v ＝＝ (4t ＋2Δt )＝4t ＝4×2＝8(cm/s)．lim Δt →0Δs Δt limΔt →0探究求函数f (x )在某点处的导数3例3　已知函数y ＝f (x )＝Error!求此函数在x ＝1和x ＝4处的导数．[解]　当x ＝1时，f (x )＝3x 2＋2，所以Δy ＝3(1＋Δx )2＋2－(3×12＋2)＝6Δx ＋3(Δx )2.所以＝＝6＋3Δx .Δy Δx 6Δx ＋3(Δx )2Δx所以f ′(1)＝＝ (6＋3Δx )＝6.lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0当x ＝4时，f (x )＝29＋3(x －3)2，所以Δy ＝29＋3(4＋Δx －3)2－[29＋3×(4－3)2]＝6Δx ＋3(Δx )2.所以＝＝6＋3Δx .Δy Δx 6Δx ＋3(Δx )2Δx所以f ′(4)＝＝ (6＋3Δx )＝6.lim Δx →0Δy Δx limΔx →0拓展提升(1)求函数在某点处的导数可以分为以下三步：①计算Δy ；②计算；③计ΔyΔx 算 .lim Δx →0Δy Δx注意：对于分段函数求导数问题，一定要先判断这一点在函数的哪一段上，再确定此点所满足的函数解析式．(2)求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x ＝x 0处的导数表达式，再代入变量求导数值．【跟踪训练3】　函数y ＝x ＋在x ＝1处的导数是( )1x A ．2 B ． C ．1 D ．052答案　D解析　因为y ′＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝limΔx →0x ＋Δx ＋1x ＋Δx －(x ＋1x )Δx＝＝1－，limΔx →0[1－1x (x ＋Δx )]1x 2所以y ′|x ＝1＝1－1＝0.故选D．1.函数在一点处的导数就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量.2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx 满足( )A ．Δx >0 B ．Δx <0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0答案　C解析　由平均变化率的定义可以得出结论．2．若函数f (x )＝2x 2的图象上有点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则的ΔyΔx 值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2(Δx )2D ．4＋2Δx答案　D解析　＝＝4＋2Δx ，故选D ．Δy Δx 2(1＋Δx )2－2×12Δx3．已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝________.答案　2解析　因为Δy ＝f (5＋Δx )－f (5)＝[2(5＋Δx )－3]－(2×5－3)＝2Δx ，所以＝2，所以f ′(5)＝＝2.ΔyΔx limΔx →0Δy Δx 4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2，其中路程s 的单位：m ，时间的单位：s ，则t ＝2 s 时，汽车的瞬时速度是________．答案　4 m/s解析　s ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝ (4＋7Δt ＋2Δt 2)＝4.limΔx →05．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．解　(1)质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为＝＝－6－3Δt .ΔsΔt 8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt(2)由(1)知＝－6－3Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt ＝－6，所以质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.limΔt →0Δs Δt。

2019-2020版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版实用课件：第一章导数及其应用习题课导数的应用 .pdf

解答
(2)若函数f(x)恰有两个零点，求实数c的取值范围.
解答
达标检测
1.已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx 的图象如图所示，则 x21＋x22等于
4 A.3
√C.83
7 B.3
16 D. 3
1234
解析答案
2.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中_最__大__ 的一个是最大值，最小的一个是最小值.
题型探究
类型一构造法的应用
命题角度1 比较函数值的大小例 1 已知定义在0，π2上的函数 f(x)，f′(x)是它的导函数，且 sin x·
f(x)的单调性单调递_增__ 单调递_减__
2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是极小值. 3.函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
解答
反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.
跟踪训练 4 设函数 f(x)＝cln x＋12x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且 x＝1 为 f(x) 的极值点. (1)若 x＝1 为 f(x)的极大值点，求 f(x)的单调区间(用 c 表示)；

数学新导学笔记选修22人教A全国通用版讲义：第一章导数及其应用1.3.1(一)

§1.3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(×)2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(×)类型一函数图象与导数图象的应用例1已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是()A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图象确定原函数图象答案 C解析当0<x <1时，xf ′(x )<0， ∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故选C.类型二利用导数求函数的单调区间命题角度1 不含参数的函数求单调区间例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x2，令f ′(x )>0，则1x 2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)．令f ′(x )<0，则1x 2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )．反思与感悟求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案 (－2－2，－2＋2) 解析由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0，即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x 的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)．命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋a ＋1a (x －1)x ，∵a >0，∴a ＋1a>0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．跟踪训练3 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 A2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 C解析由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(e ，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫1e ，e考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0，即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案－32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2.由⎩⎨⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0，解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k.∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1k ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1k ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 C解析由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析 ∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x >0时，f ′(x )<0，当x <0时，f ′(x )<0，故选D.3．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象只可能是所给选项中的( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案 C解析 ∵导数的正负确定了函数的单调性， ∴从函数f ′(x )的图象可知，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a >0)，∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，故选C. 4．函数f (x )＝x e －x 的一个单调递增区间是( )A ．[－1,0]B ．[2,8]C ．[1,2]D ．[0,2]考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间答案 A解析因为f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝(1－x )·e －x >0，又因为e －x >0，所以x <1.5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 B解析 B 项中，y ＝x e x ，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )，当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x 在(0，＋∞)内为增函数．6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案 D解析根据图象知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－B <sin A ，∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)，则f (0)＋f (2)<2f (1)．二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间答案 (0,2)解析由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ，令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2，所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点函数的单调性与导数的关系题点利用单调性确定导数值的正负号答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析由xf ′(x )<0可得，⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)．10．已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数的函数的单调区间答案(0，＋∞)解析f′(x)＝k e x－1－1＋x，∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝e x＋x－1.令f′(x)>0，解得x>0，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为________．考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案－6解析由题意得f′(x)＝6x2＋2ax＝0的两根为0和2，可得a＝－6.12．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________．考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(－∞，1)解析令g(x)＝f(x)－2x＋1，则g′(x)＝f′(x)－2<0，又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，当g(x)>g(1)＝0时，x<1，∴f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．三、解答题13．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数的函数的单调区间解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导数确定函数的图象答案 A解析设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在R 上单调递增，故选A.15．已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点利用导函数求函数的单调区间题点利用导数求含参数的函数的单调区间解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数； (2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减.。

2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.5 1.5.1 1.5.2

1.5.1　曲边梯形的面积1.5.2　汽车行驶的路程1．连续函数□01如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法□02把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯□03□04□05形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲□06□07边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，□08就得到曲边梯形面积的近似值(如图②)．□09□10□11□12(3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；取极限．3．求变速直线运动的路程(位移)如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，□13 近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .□14 □15 □16“分割”的目的“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”．教材中的例题中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n 越大时，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )(2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间上的值，只能用2近似代[i －1n ，i n ](in )替．( )(3)m i ＝i 2，i ＝30.( )4∑i ＝1m答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________．(2)做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________．(3)函数f (x )＝________连续函数(填是或不是)．1x 2答案　(1)9　[1.4,1.6]　(2)9 m (3)不是探究求曲边梯形的面积1例1　求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)]．16[解]　令f (x )＝x 2＋1.(1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝，x 2＝，…，x n －1＝，x n ＝2.2n 4n 2(n －1)n 第i 个区间为(i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝－＝.[2i －2n，2i n ]2i n 2i －2n 2n (2)近似代替、求和取ξi ＝(i ＝1,2，…，n )，2in S n ＝f ·Δx ＝ ·＝i 2＋2∑n i ＝1(2i n )∑n i ＝1[(2i n )2＋1]2n 8n 3∑n i ＝1＝(12＋22＋…＋n 2)＋28n 3＝·＋28n 3n (n ＋1)(2n ＋1)6＝＋2.43(2＋3n ＋1n 2)(3)取极限S ＝li S n ＝li ＝，即所求曲边梯形的面积为.m n →∞mn →∞[43(2＋3n ＋1n 2)＋2]143143拓展提升规则四边形和曲边梯形面积的求解方法(1)规则四边形：利用四边形的面积公式．(2)曲边梯形：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．【跟踪训练1】　求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝围成的图形的面1x 2积S .解　(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它分成n 个小区间，[1，n ＋1n ]，…，，则第i 个区间为(i ＝1,2，…，n )，[n ＋1n ，n ＋2n ][n ＋n －1n ，2][n ＋i －1n ，n ＋in ]其长度为Δx ＝.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小1n 曲边梯形，它们的面积记作：ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替在区间上，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，我们用小矩形[n ＋i －1n ，n ＋in ]面积近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈·＝.n 2(n ＋i －1)(n ＋i )1n n (n ＋i －1)(n ＋i )(3)求和小曲边梯形的面积和S n ＝ΔS i ＝ ∑n i ＝1∑ni ＝1n (n ＋i －1)(n ＋i )＝n(1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n )＝n ＝.(1n －12n )12(4)取极限当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝S n ＝limn →∞，所以由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝围成的图形的面积约为.121x 212探究求汽车行驶的路程2例2　有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？[解]　(1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它等分成n 个小区间．记第i 个小区间为(i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝－＝.每个时间[2(i －1)n ，2i n ]2i n 2(i －1)n 2n段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝Δs i .∑n i ＝1(2)近似代替取ξi ＝(i ＝1,2，…，n )，于是2in Δs i ≈Δs i ′＝v ·Δt ＝·＝＋(i ＝1,2，…，n )．(2i n )[3(2i n )2＋2]2n 24i 2n 34n (3)求和s n ＝Δs i ′＝＝(12＋22＋…＋n 2)∑n i ＝1∑ni ＝1(24i 2n 3＋4n )24n 3＋4＝·＋4＝8＋4.24n 3n (n ＋1)(2n ＋1)6(1＋1n )(1＋12n )从而得到s 的近似值s n＝8＋4.(1＋1n )(1＋12n )(4)取极限s ＝s n ＝＝8＋4＝12.lim n →∞limn →∞[8(1＋1n )(1＋12n )＋4]所以这段时间内汽车行驶的路程为12 km.拓展提升将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各时间区间上路程和的近似值，取极限，即为变速直线运动的路程．实质上与求曲边梯形面积类似．【跟踪训练2】　一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程．6t 2解　(1)分割把区间[1,2]等分成n 个小区间(i ＝1,2，…，n )，每个区间的长[n ＋i －1n ，n ＋in ]度Δt ＝，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝s i .1n n∑i ＝1Δ(2)近似代替ξi ＝(i ＝1,2，…，n )．n ＋i －1nΔs i ≈v·Δt ＝62·(n ＋i －1n )(n n ＋i －1)1n＝·＝6n 2(n ＋i －1)21n 6n(n ＋i －1)2≈(i ＝1,2,3，…，n )．6n(n ＋i －1)(n ＋i )(3)求和s n ＝ ∑ni ＝16n (n ＋i －1)·(n ＋i )＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n )＝6n .(1n －12n )(4)取极限s ＝s n ＝6n ＝3.lim n →∞limn →∞(1n －12n)1.曲边梯形和直边图形的主要区别是前者一边是曲线段，而后者的所有边都是直线段，曲边梯形面积的求法主要用了“以直代曲”的思想，即用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积，求曲边梯形的面积可分为四步：分割—近似代替—求和—取极限.2.把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限.1．和式 (y i ＋1)可表示为( )∑5 i ＝1A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)答案　C解析　由和号“∑”的意义，知 (y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)∑5 i ＝1＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5.故选C ．2．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形面积时把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A ．B ．[i －1n ，in ][i n ，i ＋1n]C ．D ．[2(i －1)n ，2in ][2i n ，2(i ＋1)n ]答案　C 解析　将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为，第i 个小区2n 间为.[2(i －1)n ，2i n ]3．已知自由落体的物体速率为v ＝gt (g 为常数)，则物体从t ＝0到t ＝4所走的路程为________．答案　8g解析　物体从t ＝0到t ＝4所走的路程就是速率－时间曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t ＝0时，v ＝0；t ＝4时，v ＝4g ，所以所走路程s ＝×4×4g ＝8g .124．求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为________．答案　0.33解析　S ＝×Error!Error!Error!2＋Error!Error!2＋Error!Error!2＋Error!15110310510710Error!2＋Error!Error!2Error!＝0.33.9105．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动，求汽车在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．解　将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝，取1n ξi ＝1＋，i －1n v (ξi )＝v＝3＋2＝(i －1)＋5.(1＋i －1n )(1＋i －1n )3n ∴s n ＝ ·∑n i ＝1[3n (i －1)＋5]1n ＝·{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }1n＝·＋5＝＋5，3n 2n (n －1)232(1－1n )∴s ＝li s n ＝＋5＝6.5(m)．mn →∞32。