1.9 最小二乘估计 教案2 (北师大必修3)

§1.8最小二乘法
一、教学目标：
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

二、教学重难点：重点：
了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：
对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 教学实施过程中的难点：
根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

三、教学方法：
动手操作，合作交流。

四、教学过程：
(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。

回顾上节课：师：我们现在来求距离和。

怎么求？ 生：利用点到直线的距离公式
师生共同：只要求出使距离和最小的a 、b 即可。

但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。

怎么办呢？以样本数据点A 为例， 可以看出：
在RT △ABC 中，（教师动画演示）
按照一对一的关系，直角边AC 越小，斜边AB
当AC 无限小时，AB 跟AC 可近似看作相等。

求AC 麻烦，不妨求AB 生：B A AB y y =-
师：它表示自变量x 取值一定时，纵坐标的偏差。

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y 22(,)x y ……(,)n n x y 。

当自变量x 取i x （i =1，
2，……，n ）时，可以得到ˆi y bx a =+（i =1，2，……，n ），它与实际收集到的i y 之间的偏差是
ˆ()i i i i y y
y bx a -=-+（i =1，2，……，n ） 这样用n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。

总的偏差为
1
ˆ()n
i
i
i y y
=-∑，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值1
ˆn
i
i
i y y =-∑，由于带绝对值
计算不方便所以换成平方，
2
22221122331
ˆ()()()()()n
i i n n i Q y y
y bx a y bx a y bx a y bx a ==-=--+--+--+⋅⋅⋅+--∑现在的问题就归结为：当a ，b 取什么值时Q 最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q 取最小值时
1
12
2
21
1
()()
()n
n
i
i i
i i i n
n i
i
i i x
x y y x
y nx y
b x
x x
nx
a y bx
====---=
=
--=-∑∑∑∑
（其中1
1n
i i x x n ==∑，
1
1n
i i y y n ==∑）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差
的和”最小的方法叫“最小二乘法”。

设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点
（二）、直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
2
2
2
12212211
11()()()()()()()()()n n
i i i i n n i i i i n n i i i i i i x x y y x x y y Q n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤
----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑∑
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x ）代入回归方程对预报量（即因变量Y ）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标。

如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度。

应用直线回归的注意事项：
（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。

（四）、实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（i X ）与公司所获得利润（i Y ）的统计资料如下表：
科研费用支出（i X ）与利润（i Y ）统计表 单位：万元
要求估计利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型。

解：设线性回归模型直线方程为：i i X Y 10ˆˆˆ
ββ+=因为：
5630==
=
∑n
X
X i
306180
==
=
∑n
Y
Y i
根据资料列表计算如下表：
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数10ββ、的估计值：
23006009001200540060003020061803010006)(ˆ222
1==--=
-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑i i i i i i X X n Y X Y X n β 20
5
230ˆˆ10=⨯-=-=X Y ββ
∑∑--=-=2
21
10)
(ˆˆˆX n X Y
X n Y X X Y i
i i βββ 20
5
230ˆˆ10=⨯-=-=X Y ββ
2501005620030
5610002==⨯-⨯⨯-=
∑∑---=-=2
1
10)())((ˆˆˆX X Y Y X X X Y i
i i
βββ 20
5
230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
250100
==
所以：利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型直线方程为：
i i X Y 220ˆ+=
求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL 可以方便地做到。

仍以上题的数据
为例。

于EXCEL表中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中XY散点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改。

适当修饰图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数。

图中的每一个部份如坐标、标题、图例等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程。

图1散点图
鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选" 添加趋势线" ，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示R 平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数。

（五）、课堂练习：略
(六)、小结：
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

（七）、课后作业：略
五、教后反思：。