问渠那得清如许_为有源头活水来_一个常见不等式的十种证法_黄光鑫
关于不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。
求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。
例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。
例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。
利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法淮安市吴承恩中学 严永飞 223200摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特.关键词：不等式，公式法，构建模型法前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题.例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥23 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂.令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC .欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+BA C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ),而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-.（*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1).令λ=21时,C B A +2+AC B +2+ B A C +2≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.)例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n ny y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n zz +1≤n n 12-证明 令P x n =+11, Q y n =+11, R z n=+11 由于n n x x +1+n ny y +1+n n z z +1=n n x x +-+111+n n yy +-+111+n n z z +-+111 =R Q P -+-+-111 =1所以2=++R Q P由于()1-++n R Q P =()1-++n R Q P ()n n n Rz Qy Px ++≥()n Rz Qy Px ++ 故 Rz Qy Px ++≤()nn R Q P /1-++即 n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 这里用到定理：(∑=m i i a 1)n-1 ∑=m i ni i x a 1 ≥ (∑=m i i i x a 1)n注 利用倒数变换不等式，可以使要证的不等式变得相对简单，使我们能够更好的去观察不等式，与我们熟悉的不等式相联系，从而达到解题的目的. 2 建立概率模型证明不等式从表面上看概率与证明不等式没有太大关系，但在做题过程中可以发现题目中的细枝末节，运用发散思维，可以使两者建立联系.例 3 证明：1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-⋅- <aA （+∈Z a A ,且 a A >）分析：仔细观察不等式，发现其中有阶乘的形式，因而我们可以试着去建立概率模型去证明不等式.证明：建立A 个球其中a 个黑球的模型，不放回的摸球，直到摸到黑球为止.第一次摸到黑球的概率是Aa ，第二次摸到黑球的概率是A a A -·1-A a ，…，第1+-a A 次摸到黑球的概率是A a A -·11---A a A ·…a a ，而最多到第1+-a A 次一定会摸到黑球，设i E =｛第i 次摸到黑球｝，则｛黑球在第1次到第1+-a A 次中取到｝为一必然事件，其概率为1.即 P(1E )＋P(E 12E )+…+P(E 12E …a A E -1+-a A E )=1所以有A a +A a A -·1-A a +…+A a A -·11---A a A ·…a a =1 两边同乘a A ，得1+1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-⋅- =a A 即 1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-⋅- <aA 注：建立概率模型证明不等式，新颖独特，但只要我们在学好各类知识点的基础上，开动脑筋，广泛联系，一定能够触碰出思维的火花.3 灵活运用重要不等式解题重要不等式是中学数学证明不等式的重要方法，但不能拘泥与我们所记忆的内容，对它们的变形也要熟悉，达到灵活应用.例 4 设n S = ∑=n k k11 ，求证：n (1+n )n 1-n < n S < n -(1-n )n －11+n (2>n )证明 由均值不等式得，当2>n 时n 1(n S +n )= n 1[(1+1)+ (1+21)+ (1+31)+…+ (1+n1)] > (2·23·34…n n 1+)n 1 =(1+n )n 1 即 n (1+n )n1-n < n S另一方面， 11-n ( n -n S )= 11-n [(1-1)+ (1-21)+ (1-31)+…+ (1-n1)] >(21·32·…·nn 1-)11-n = n －11+n 即 n S < n -(1-n )n －11+n 所以 n (1+n )n 1-n < n S < n -(1-n )n －11+n (2>n )例 5 求证：(1+1)(1+31)(1+51)…(1+121-n ) >12+n 分析：仔细观察不等式发现有12，34，56，… , 122-n n 联想到高中数学竞赛中有一个重要不等式---“糖水不等式”：b a <mb m a ++ (0,0><<m b a ). 针对此题可以逆用为 a b >ma mb ++ (0,0><<m b a )，进一步逼近目标. 证明：由于a b >ma mb ++ (0,0><<m b a )则 (1+1)(1+31)(1+51)…(1+121-n ) =12×34×56×78… ×122-n n >1112++×1314++×1516++×1718++… ×11212+-+n n =23×45×67×89×…×nn 212+ =21×43×65×87×…×nn 212-×(2n+1) 所以 (12×34×56×78… ×122-n n )2 >2n+1 即 (1+1)(1+31)(1+51)…(1+121-n ) >12+n 注 掌握重要不等式是解题的关键.实践证明，复杂的不等式大多数都是由重要不等式整和、加工而成.因而一方面要掌握重要不等式，另一方面对它们的一些简单变形也要熟悉.4 构造向量证明不等式向量的乘法公式是向量的重要公式之一，通过对三角函数性质的熟悉，可以把公式中的等式形式变化成不等式形式，构造向量模型证明不等式.例 6 设c b a ,,∈R + ,试证2b a +2c b +2a c ≥a 1+b 1+c 1 证明：构造向量:→P =(b a , c b , a c ) , →Q =(a 1,b 1,c1) 由→P 2·→Q 2≥(→P ·→Q )2得(2b a +2c b +2a c )(a 1+b 1+c 1)≥(b a ×a 1+c b ×b 1+a c ×c 1)2 即 2b a +2cb +2ac ≥a 1+b 1+c 1 (当且仅当c b a ==时,等号成立) 例 7 已知d c b a ,,,∈R + ,且1=+++d c b a求证:14+a + 14+b +14+c +14+d ≤42证明：构造向量: →P =(14+a ,14+b ,14+c ,14+d ) , →Q =(1,1,1,1) ,由→P ·→Q ≤ →P ·→Q 得 14+a +14+b +14+c +14+d ≤14141414+++++++d c b a ·1111+++ =)(44d c b a ++++·4=42当且仅当→P =→Q 即4/1====d c b a 时,等号成立.推广：若 +∈R x x x n ,,,21 ,且121=+++n x x x ,则 11+nx +12+nx +…+1+n nx ≤n2 (+∈N n ) 分析：构造向量: →P =(11+nx ,12+nx ,...,1+n nx ) →Q =(1,1, (1)证明方法类似上题.注 以上两例可以看出构造向量证明不等式问题方便、快捷,能否构造出合适的向量是解题的关键.这不仅要求我们熟练掌握向量的性质及公式,还要求我们广泛联系,学以致用.5 运用数学归纳法证明不等式很多题目表面上看特殊，但我们可以对题目进行归纳总结，使题目转化成另一个等价的命题，变成一类题目，便于我们证明和掌握.例 8 设数列{n x }满足1x =21，1+n x = n x +22nx n 证明：2007x ＜1004 分析 1004=212007+即命题可变为： 设数列{n x }满足n x =21 1+n x = n x +22nx n 证明：n x ＜21+n 证明 因为n =1时，显然 n x ＜21+n 成立， n =2时，2x =43＜23显然也成立 所以仅对n ≥3时，用数学归纳法证明(1)当n =3时，3x =6457＜213+成立 (2)假设k n =时，k x ＜21+k ， 当 1+=k n 时，1+k x =k x +22k x k =22⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k x k —42k因为 0＜k x ＜21+k 所以 1+k x ＜（221k k k ++）2—42k =43+241k +k 21+2k =22+k —41+2421k k +=22+k —2242)1(kk --≤22+k 即 1+=k n 时成立由(1)(2)可知命题为真即当 n =2007时 2007x ＜1004例9．设0＜a ＜1，定义1a =1+a ，1+n a =na 1+a ，求证:对一切自然数n 有n a ＞1 分析：若n a ＞1即1+n a ＞1，na 1+a ＞1，n a ＜a -11， 命题可变为:设0＜a ＜1，定义1a =1+a ，1+n a = na 1+a 求证：对一切自然数n 有1＜n a ＜a-11 证明 （1）1=n 显然成立 （2）假设k n =时成立，即1＜k a ＜a -11，1—a ＜n a 1＜1 当1+=k n 时，1+k a =a a k +1 即1+k a —a =ka 1 所以 a -1＜1+k a —a ＜1 即1＜1+k a ＜1+a因为 0＜a ＜1 所以 0＜1—2a ＜1所以 1＜1+k a ＜1+a ＜a-11 即1+=k n 时成立， 由(1)(2)可知命题为真，即对一切自然数 n 有n a ＞1注 数学归纳法通常用于证明数列不等式,在使用数学归纳法之前要透过题目的表象,仔细理解其本质,归纳出论点,与相类似的题目联系,最终得到证明.6 逆用等比数列求和公式等比数列求和公式是中学数学的重要内容之一，把它与极限的思想紧密的联系在一起可以起到意想不到的效果，这种方法经历了一个从有限到无限再从无限到有限的过程.等比数列的求和公式为 1111-+++n q a q a a =qq a n --1)1(1(0<q <1) 无穷等比数列的求和公式为1111-+++n q a q a a +…=qa -11(0<q <1) 例 10 设任意实数y x ,满足x <1,y <1,求证:211x -+ 211y -≥xy -12 分析:从式子的结构联想到无穷递缩等比数列的求和公式，使211x -+ 211y-转化为无穷等比数列的各项和.211x -+ 211y -=( ++++8421x x x )+( ++++8421y y y ) =2+(22y x +)+(44y x +)+(88y x +)+…≥2+xy 2+222y x +442y x + (x)-12 总结 从以上问题的的探究过程中不难发现:遇到不等式证明的问题,我首先要做的就是反复观察题目,或者透过现象认识题目的本质,从而找到题目的突破口,或者观察不等式字母、数字的形态特征,与已知的重要不等式相联系、整合,达到解题的目的.这里所举的几种证明不等式的非常规方法看似巧妙,但如果你认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题迎刃而解.。
分析法217
P
P1
P1
P2 …
Pn-1 Qm-1
Pn Qm
… Q1
Q2 Q
Q1
例6.已知 , k
2 sin cos 2 sin , sin cos sin 2
(k z ), 且
1 tan 2 1 tan 2 求证： ＝ 2 1 tan 2(1 tan 2 )
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
分析法
结论
结论
已知条件
求证 : 3 7 2 5
证明: 因为 3 7和2 5都是正数
优缺点？
证明: 21 25 21 5
2 21 10
10 2 21 20
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
只需证(a 1)(a 2) a(a 1),
只需证-2<0,显然成立，则原不等式成立.
【思维总结】 含有根号的式子，应想到用平方 法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要 有利于再次平方，因此需移项．另外，此题还可 用分子有理化来解决，请同学们动手尝试一下！
法二（分子有理化）：
要证 a 1 a a 1 a 2,
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索因法）
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为 止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即
分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？ 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切。
高中不等式的常用证明方法归纳总结
不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意ab b a 222≥+的变式应用。
常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。
不等式的证明方法
不等式的证明方法引言不等式是变量之间很重要的一种联系，证明不等式的方法，人们作了不少探索，不少文章和专著作了这方面的汇聚和总结工作。
本文的编写目的是归纳、总结《高等数学》中证明不等式的常用方法，帮助初学者掌握有关的证明方法和技巧。
证明不等式常用的方法有：比较法(差值比较与正数的商值比较)；分析法；综合法；变量替换法；判别式法；反正法；微积法；数学归纳法。
本文着重讲解数学归纳法和微积法，在证明过程中也穿插着用变量替换法（或引入参数法），判别式法。
证明中常用到的不等式如下： 1°a 2+b 2≥2ab ，a,b ∈R2°1/a+1/b ≥4/(a+b), a 、b>0、a ≠b 3°a 3+ b 3+ c 3≥3abc, a 、b 、c ∈R + 4°b/a+a/b ≥2、a 、b 同号5°(a 1+a 2+…a n )/na 1,a 2,…,a n ∈R +6°(a 1+a 2+…+a n ) (1/ a 1+1/a 2+…+1/a n ) ≥n 2 a 1,a 2,…,a n ∈R + 7° 贝努力不等式：(1+x 1)(1+x 2)……(1+x n )≥1+ x 1+ x 2+…… + x n 其中x 1 x 2…… x n 为同号且大于-1的数。
8°当 n>1时 n!<1()2n n +9°柯西不等式:设a k 和b k 均为任意实数(k=1,2……n),则 (1nk kk a b=∑)2≤(21nkk a=∑)(21nk k b =∑)10°琴生不等式:设P 1,P 2…P n 是一组正实数,而且P 1+…+P n =1,则对于区间(a,b)上任意一个满足条件函数()0f x ''≥的函数f(x),恒有不等式11()()nnk k k k k k f p x p f x ==≤∑∑其中x 1,x 2…x n ∈(a,b),特别地,P 1=P 2=…=P n =1/n 时,则有不等式f((x 1+x 2+…+x n )/n) ≤1n[f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n )]一.利用数学归纳法该发适用于证明对任何自然数n 都成立的不等式。
四川师大附中黄光鑫教学、科研成果简介
四川师大附中黄光鑫教学、科研成果简介一、个人简介黄光鑫，四川师大附中数学高级教师，中国数学学会会员，中国数学奥林匹克二级教练员，《数理化解题研究》杂志编委。
从事高中数学的教学和研究工作31年。
省招办表彰的高考阅卷骨干教师，先后获得过市、县两级政府的表彰。
在全国13种省级专业报刊杂志上发表了34篇数学教研论文（论文被中国知网收录20篇），另有7篇数学教研论文分别获得过全国、省、市级一、二、三等奖。
所辅导的学生参加全国高中数学联赛获得过全国一等奖。
1998年在眉山市首届高中数学教研会上作题为《数学高考复习的几点随想》的中心发言。
1997——1999年度两次独立命制眉山市高二的全市期末统考数学试题。
1998年被彭山县政府评为县优秀教师。
1999年被眉山地区行署（现眉山市人民政府）评为市“教坛新秀”。
2003年被评为师大附中校优秀教育工作者。
2004年被省招办评为高考优秀评卷教师。
2007年获锦江区教育局普通高中教学成绩优异表彰。
2015年9月被师大附中评为校优秀教师。
2017年9月被师大附中评为校“教学能手”。
二、发表文章在全国13种数学专业报刊杂志一共发表34篇数学论文，其中被中国知网收录20篇。
篇目如下：1.《例析以形助数的几种题型》发表于《招生考试报》1994年3月10日。
2.《解题琐谈》发表于《招生考试报》1995年4月19日。
3.《一题四解，孰对孰错》发表于《中学数学教与学》1996年第7期。
4. 《考前复习三要点》发表于《华西都市报》1997年6月29日。
5.《基础与能力并重课内与课外结合——从高一学生数学学习分析谈改进教学的建议》发表于《四川教育学院学报》1998年第14卷。
6.《解复数题的思想方法例析》发表于《数学爱好者》1998年第4期。
7.《数学高考复习的几点随想》发表于《眉山教育》1999年增刊。
为《理科爱好者》2000年第6～7期撰写《反三角函数教与学》同步辅导资料。
[不计入]8.《一类不等式恒成立问题的解法》发表于《数学学习指导》2000年12月1日。
问渠那得清如许,为有源头活水来——一个常见不等式的十种证法
问渠那得清如许,为有源头活水来——一个常见不等式的十种
证法
黄光鑫
【期刊名称】《中学生数理化（尝试创新版）》
【年(卷),期】2007(000)005
【摘要】由于不等式的证明方法比较灵活，技巧性强，因此成为同学们学习中的
一大障碍．与此同时，这一部分内容也是训练同学们思维能力的极好素材．只要同学们仔细领悟各种基本方法的实质，善于思考，勤于钻研，从不同的角度仔细观察，广泛联想，各种丰富多彩的证法就会跃然纸上，正如南宋诗人朱熹所描写的那样——“问渠那得清如许，为有源头活水来”．
【总页数】3页(P34-36)
【作者】黄光鑫
【作者单位】四川
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.对一个经典不等式的证法探究 [J], 黄为公;于先金
2.一个积分不等式的十种证明方法 [J], 倪华;田立新;殷久利
3.问渠那得清如许,为有源头活水来\r——2018年中考\"方程与不等式\"专题解题
分析 [J], 郭福生;刘金英
4.一道条件不等式的一个优美证法 [J], 李居之;孙文雪
5.一个函数不等式的证法研究 [J], 吉耀武;
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不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。
通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。
关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题引言证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。
下面介绍几种证明不等式的方法。
一、构造法构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。
当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。
构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。
（一） 、构造方程证明不等式某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。
例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，222212x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤，23o y a ≤≤， 203z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得22221()2a y z y z a --++= ⇒ 22222()2202a y a z y z az --+-+= 因为 y R ∈， 所以 224()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤所以 203z a ≤≤同理可证： 203x a ≤≤， 203y a ≤≤.（二） 、构造函数证明不等式根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。
例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c<<+++. 证明： 从结论形式看，各项均具有1MM+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x=+， 易证 ()f x 在R +上为增函数 因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即111111a b c b c b c a b c b c b c b c+<=+<++++++++++. 又如： 求证111a b a b a bab+≤+++++ 可用类似方法证明。
问渠哪得清如许,为有源头活水来的理解
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”这句话的意思是：要问池塘里的水为何这样清澈，是因为有永不枯竭的源头源源不断地为它输送活水。
这里用“源头活水”比喻知
识，并以此鼓励人们要不断汲取新知识，才能保持思想的活跃和进步。
这句话也启示人们，要时刻保持清醒的头脑和敏锐的洞察力，不断学习新知识，拓展自己的视野。
在《观书有感》这首诗中，朱熹通过描绘池塘清澈见底的景象，表达了自己对读书有悟、有得的境界的向往。
他认为，读书是一种不断汲取新知识、不断净化心灵的过程，只有不断地汲取新知识，才能保持心灵的澄明和清新。
总之，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”这句话表达了一种积极向上的人生态
度，鼓励人们不断学习新知识，保持思想的活跃和进步，以更好地面对生活中的挑战和机遇。
证明不等式的常用技巧
证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。
综合法由因导果。
证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法执果索因。
证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
中学数学不等式证明的常用方法5篇
中学数学不等式证明的常用方法5篇第一篇：中学数学不等式证明的常用方法中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等[4].在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A＞B，B＞C则A＞C告诉我们要证明A＞C 时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A＞C；同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A＜C．例１求证：１＋12+13+Λ+1n<2n(n∈N+)．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母1n＝22n<2n+n-1=2(n-n-1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明:Θ1n＝22n<2n+n-1=2(n-n-1)，∴1312＜2（2－１），<2(3-2)，……1n-11n<2(n-1-n-2)，＜2（n-n-1）．121n以上各式相加，得１＋所以原不等式成立．＋…＜2n－１＜2n．【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{an},an=1⋅2+2⋅3+3⋅4+L+n(n+1)n(n+1)(n+1)2<an＜.求证：22n(n+1)是前ｎ个自然数的和，与an 比较只须缩小为１2﹑2﹑3……n即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放n(n+1)弃，于是转而联想到关系式n(n+1)<，右边的不等式证明，由此可证2得．证明由于分析: 注意到左边的式子an=1⋅2+2⋅3+3⋅4+Λ+n(n+1)>12+22+33+Λ+n2 =1+2+3+…+n =n(n+1)22n+1n(n+1)＜22又由n(n+1)<3572n+1有an＝1⋅2+2⋅3+3⋅4+Λ+n(n+1)＜+++Λ+ 22221(n+1)2＜[1+3+5+7+Λ+(2n+1)]=22n(n+1)(n+1)2<an＜综上所述． 22【评注】放缩法的基本思路: a>b,b>c,⇒a>c.[3]技巧与方法:(1)适当添上131或舍去某些项,例:(a+)2+>(a+)2;(2)如果是分式则需放大或缩小分子242或分母,如:11111 <2<=-放大缩小切记适度.k(k+1)kk(k-1)k-1k(2)判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．2⎧⎪x-yz-8x+7=0例已知x,y,z是实数，且满足条件⎨22⎪⎩y+z+yz-6x+6=0求证：１≤x≤9.证明由已知等式得：yz=x2-8x+7(y+z)2=yz+6x-6= x2-8x+7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2±(x-1)t+(x2-8x+7)=0的两个实根△＝(x-1)2－４（x2-8x+7）＞０解得１≤x≤9.【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和y+z的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3)换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．1125例1 设a,b∈R+且a+b=1.求证：(a+)2+(b+)2≥.ab2 证明：Θ a+b=1可设：a=sin2θ,b=cos2θx2+y2⎛x+y⎫又≥⎪则2⎝2⎭11(a+)2+(b+)2ab111≥(a+b++)2 2ab1112)＝(sin2θ＋cos2θ＋2+2sinθcos2θ142125)≥(1+4)2=＝(1+．2sin2θ222例2 设a,b>0，求证：3a+3b＋3a-3b<23a．证明：设3a+3b＝m,3a-3b=n,则m3+n3=2a 于是要证的不等式等价于(m+n)3＜4（m3+n3）只要证：4（m3+n3）－m3-3m2n-3mn2-n3>0 而3m3+3n3-3m2n-3mn2 =3m2(m-n)+3n2(n-m)=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(m-n)3<4(m2-n2)成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示.换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若a2+b2=1,可设a=cosθ,b=sinθ(θ为参数）;(2)若a2+b2≤1,可设a=rcosθ,b=rsinθ(θ为参数）；(3)对于1-x2,Θx≤1,由cosθ≤1或sinθ≤1知，可设x=cosθ或x=sinθ;(4)若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtanbtanC 知,x=tanA,y=tanB,z=tanC.(A+B+C=π)(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:|x1+x2+Λ+xn||xn||x1||x2| ++Λ+≤1+|x1+x2+Λxn|1+|x1|1+|x2|1+|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1+x1+x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)= x 1+xf(x1)-f(x2)=x1xx1-x2 -2=1+x11+x2(1+x1)(1+x2)当x1≥x2>0时,显然f(x1)<f(x2)所以函数f(x)当x≥0时是增函数Q|x1+x2+L+xn|≤|x1|+|x2|+L+|xn|∴x1+x2+Λ+xn|xn|1+Λ+≤1+|x1+x2+Λ+xn|1+|x1+|x2|+Λ+|xn|1+|x1|+|x2|+Λ+|xn|≤|xn||x1||x2|++Λ+1+|x1|1+|x2|1+|xn|【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
证明不等式的基本方法—综合法与分析法
证明不等式的基本方法—综合法与分析法第一篇：证明不等式的基本方法—综合法与分析法§4.2.2证明不等式的基本方法—综合法与分析法【学习目标】能熟练运用综合法与分析法来证明不等式。
【新知探究】1．用综合法证明不等式：从已知条件出发，利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，又称为顺推证法或由因导果法。
2．用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件或充要条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立的方法叫分析法，又称为逆推证法或执果索因法。
3．不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法。
我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达【自我检测】1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件 B.必要条件C.充要条件2．若a＞b＞c，则D.既不充分又不必要条件113+_______.（填“＞”“=”“＜”）a-bb-ca-c222222【典型例题】例1．已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc．变式训练：课本P25页习题2.2第2题例2．已知x1⋅x2⋅x3Λxn=1且x1,x2,Λ,xn都是正数，求证：(1+x1)(1+x2)Λ(1+xn)≥2.例3．求证2+7<3+6变式训练：课本P26页习题2.2第3题–“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” na2b2+b2c2+c2a2≥abc.例4．若a,b,c>0，求证：a+b+c变式训练：已知：a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.例5．设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.变式训练：课本P26页习题2.2第6题yyxx例6．是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+对任意正数x、y恒成2x+yx+2yx+2y2x+y立?试证明你的结论.【课堂练习】课本P26页习题2.2第4，5，7，8，9题–“天下事，必作于细”第二篇：2.4：不等式证明综合法与分析法2.4不等式的证明（2）综合法与分析法。
证明不等式的八种方法
利用导数证明不等式的八种方法构造函数法---1研究其单调性2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.181、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
第十二节不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
一．比较法一般而言，比较法有两种形式：（1）差值比较法：欲证B A ≥，只需证0≥-B A 即可； （2）商值比较法：若0>B ，欲证B A ≥，只需证1≥BA即可。
注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。
一．差值比较法要证明b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。
这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。
差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。
例1．已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+。
分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。
证明：)()()()()()(b a b b a a b ab b a a ab b a b a ---=---=+-+2232232233 ＝222))(())((b a b a b a b a -+=-- 因为b a ,都是正数，所以0>+b a ，又因为b a ≠，所以0)(2>-b a从而0))((2>-+b a b a ， 即0)()(2233>+-+ab b a b a 所以2233ab b a b a +>+。
评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。
构造函数法证明不等式的八种方法.doc
构造函数法证明不等式的八种方法.doc构造函数法是一种证明不等式的有效方法。
构造函数法是通过构造函数来证明不等式的真实性。
构造函数是函数的一种特殊形式，它是根据不等式中的条件和限制而构造出来的函数。
构造函数法的基本思路是，通过构造函数将原不等式转化为更容易证明的形式，进而通过对构造函数的研究来证明原不等式的真实性。
本文将介绍构造函数法证明不等式的八种方法。
一、线性函数法线性函数法是基于线性函数的构造函数法，它是构造函数法中最简单的方法之一。
线性函数法的思路是，构造一个线性函数，使得该函数在不等式限制下达到最大值或最小值。
例如，证明如下不等式：$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq\frac{3}{2}$$将不等式两边都乘以$2(b+1)(c+1)(a+1)$得：$$2a(c+1)(b+1)+2b(a+1)(c+1)+2c(b+1)(a+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)$$此时，可以构造如下的线性函数$f(x,y,z)$:容易发现，$f(x,y,z)$在限制条件$x,y,z\geq 0$，$xy+yz+zx=3$下，达到最大值$\frac{3}{2}$。
因此，原不等式成立。
二、对数函数法对数函数法是基于对数函数的构造函数法，它常用于证明形如$a^x+b^y+c^z\geq k$的不等式，其中$a,b,c,x,y,z,k$均为正实数。
对数函数法的思路是，构造一个对数函数，使得该函数满足$g(x,y,z)\leq\ln(a^x+b^y+c^z)$，进而证明$g(x,y,z)\leq\ln k$，从而得到原不等式的证明。
例如，证明如下不等式：考虑构造如下的对数函数：$$g(x)=\ln\left(\frac{4a^3x+6}{5a^2x+2ax+5}\right)-\frac{3}{4}\ln x$$不难证明，$g(x)$在$x\geq 1$时单调递减且$g(1)=0$，因此$g(x)\leq 0$。
证明不等式的十种构造方法
四川师范大学附属中学（高中部） 黄光鑫（邮编：610066）
摘要：本文主要介绍了证明不等式的十种构造方法。 关键词：不等式证明；构造方法； 不等式的证明是中学数学中的一大难点。证明不等式时，若能仔细观察不等式的结构特 征，精心巧妙地进行构造，常能收到出其不意的效果。本文给大家介绍不等式证明时十种常 用的构造方法，以期抛砖引玉。 一.构造切线 例 1. 已知 ABC 的三内角分别是 A, B, C 。求证： sin A sin B sin C 证明：记 f ( x) sin x, x (0, ) ，则 f ( x) cos x, f ( )
ln(1 m)n ln(1 n)m n ln(1 m) m ln(1 n)
ln(1 m) ln(1 n) m n
x ln(1 x) ln(1 x) 1 x , ( x 2) ,则 f ’ 记： f ( x) ( x) , x x2 x 1, ln(1 x) ln 3 1 ，故 f ’ 当 x 2 时， 0 ( x) 0, f ( x) 在 [2, ) 上为减函数, 1 x ln(1 m) ln(1 n) 2 m n, f (m) f (n) ,即： ，故原不等式成立。 m n 3 例 4. 已知锐角三角形 ABC 的三内角分别是 A, B, C ，求证： cos A cos B cos C 。 2 证明：考察函数 f ( x) cos x, x (0, ) ，根据 Jensen (1859 1925 年)不等式有： 2 A B C f ( A) f ( B) f (C ) f( ) ，即： 3 3 A B C cos A cos B cos C 3 cos , cos A cos B cos C 。 3 3 2
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不等式的证明一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种：1．作差比较法（1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。
（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。
（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
2．作商比较法（1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。
（2）方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1A B >；若B=0，只需证明A>0；若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小”例1 已知a ，b ∈R ，且a+b=1. 求证：()()2252222≥+++b a . 解析：用作差比较法a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++-2222911(1)4222(0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）例2：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b a > 0∴0)()(>+-m b b a b m即：bam b m a >++例3：已知a>b>0,求证：()2a b a ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba aabb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>练习：已知a ，b∈R +，求证a a b b ≥a b b a ．例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。