牛顿在制定微积分中对微分方程的研究

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牛顿在微积分发展中的作用

牛顿在微积分发展中的作用（王伟迪13124157 理科基础班）摘要：微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。

16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自创立微积分。

本文主要论述了微积分的产生，微积分的发展，以及牛顿对微积分所做出的贡献。

关键词：牛顿微积分产生发展贡献一：微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。

公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。

从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：第一类：变速运动求即时速度的问题。

第二类：求曲线的切线的问题。

第三类：求函数的最大值和最小值问题。

第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。

许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

这引起了广泛的社会关注。

微积分的发展简史为：（1）微积分的概念（2）微积分的萌芽（3）微积分的发展（4）微积分的建立（5）微积分创立的历史意义。

二：牛顿对微积分的贡献牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。

牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。

在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。

牛顿在微积分发展中的作用

16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自创立微积分。

本文主要论述了微积分的产生，微积分的发展，以及牛顿对微积分所做出的贡献。

关键词：牛顿微积分产生发展贡献一：微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。

从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：第一类：变速运动求即时速度的问题。

第二类：求曲线的切线的问题。

第三类：求函数的最大值和最小值问题。

第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。

这引起了广泛的社会关注。

微积分的发展简史为：（1）微积分的概念（2）微积分的萌芽（3）微积分的发展（4）微积分的建立（5）微积分创立的历史意义。

二：牛顿对微积分的贡献牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。

牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。

牛顿法微分方程

牛顿法微分方程
牛顿法一般是求解函数的极小值，它是通过求解一阶和二阶连续微分
方程组来求解函数的极小值的方法，并且在众多非线性最优化问题中
得到应用。

一、牛顿法求解的原理
牛顿法是一种基于梯度和海森堡矩阵来求解函数的极小值的迭代方法。

它的核心思想是：在原点处对函数求导，形成一个函数曲线，然后根
据函数曲线的梯度下降到函数的极小值处。

牛顿法有助于提高收敛速度，能够较快的发现最优点。

二、牛顿法在微分方程中的应用
（1）牛顿法可以用于求解微分方程，如多元求导法可以用于求解多元
微分方程，有限差分可以用来求解偏微分方程；
（2）牛顿法也可以用来求解反常微分方程，有时候只需要泰勒展开，
然后根据此将方程转化为常规微分方程；
（3）牛顿法还可以用于求解复杂的非线性微分方程，只要能够构造出
适当的函数，形成二阶导数矩阵，即可以应用。

三、牛顿法的优缺点
（1）优点
1）牛顿法可以快速收敛，只要很快就可以收敛到极小值；
2）牛顿法可以计算复杂的系统，适用性强，可以使用在一维函数上也可以用于多维函数；
3）可以求解几乎所有的非线性问题，比较灵活；
（2）缺点
1）牛顿法对函数可导性有较高要求，当函数曲线不够光滑时，会影响收敛效果；
2）由于计算二阶连续微分方程组求解时，需要较大的计算量，当数据量很大的时候就会影响收敛速度；
3）求解线性方程优于求解非线性方程，在解决复杂的非线性方程时，牛顿法的精度较低，甚至可能无法收敛到极小值。

牛顿和莱布尼茨对微积分

牛顿和莱布尼茨对微积分牛顿和莱布尼茨是微积分的两位伟大先驱。

他们在17世纪独立地发现了微积分中的基本概念和原理，并为数学和物理学的发展做出了巨大贡献。

本文将分析牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献，并对他们的差异进行比较。

首先，我们先来讨论牛顿对微积分的贡献。

牛顿是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，也是17世纪科学革命的重要人物之一。

他独立地发现了微积分的基本概念，并用他自己的方法进行了解释和应用。

牛顿的微积分主要以几何方式进行，他将微分和积分理解为曲线的斜率和曲线下的面积。

他用象限的无限小三角形和矩形来代表曲线，从而推导出了微分和积分的公式。

牛顿在微积分的发展中引入了一些重要的概念和原理，如牛顿法则、牛顿环、牛顿插值法等。

他还提出了著名的牛顿-莱布尼茨公式，该公式将微分和积分联系在一起，成为微积分的基石之一。

牛顿的微积分理论在物理学领域得到了广泛的应用，尤其是在描述和解释运动、力学和重力等方面。

接下来，我们来谈谈莱布尼茨对微积分的贡献。

莱布尼茨是德国的数学家、哲学家和物理学家，也是17世纪微积分的创始人之一。

与牛顿相比，莱布尼茨更加注重符号化和代数化的方法，他发明了微积分中的符号和记号，如微分形式dx和dy、积分形式∫。

莱布尼茨的符号系统使微积分的记法更加简洁和统一，方便了计算和应用。

莱布尼茨的积分法则和微分法则是微积分中的重要概念，它们使得微积分的运算更加灵活和简化。

莱布尼茨还发展了微分方程的理论，并将微分方程应用于物理学、工程学和经济学等多个领域，为这些学科的发展做出了重要贡献。

同时，牛顿和莱布尼茨在微积分的发展中存在一些差异。

首先，他们发现微积分的时间不同，牛顿是在17世纪60年代对微积分展开研究的，而莱布尼茨是在17世纪80年代才开始对微积分进行系统研究。

其次，他们的方法和概念上也存在差异，牛顿主要侧重于几何法，而莱布尼茨注重符号和代数化的方法。

最后，他们的贡献受到了争议，微积分的发现权问题成为了他们之间的争论点。

浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]

浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献本文档格式为WORD,感谢你的阅读。

摘要：如今微积分的应用无论是在科学研究，还是生产生活中都有着不可忽视的地位。

微积分也正是在解决一些科学问题的需要下而产生的，其创立与发展离不开两位时代巨匠牛顿和莱布尼茨的贡献。

莱布尼茨与牛顿在创立微积分过程中殊途同归，最终完成了创建微积分的盛业。

本文便详细论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们在创立微积分时的异同。

关键词：牛顿莱布尼兹微积分一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。

主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。

解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。

许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。

同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。

二、莱布尼茨对微积分的贡献莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。

常微分方程发展简史—经典阶段

常微分方程发展简史—经典阶段微分方程是数学的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。

常微分方程是其中的一类，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

常微分方程的研究历史可以追溯到古代，但其经典阶段始于17世纪，并且在18世纪达到了高峰。

下面将简要介绍常微分方程发展的经典阶段。

17世纪是微积分学的发展时期，许多数学家开始研究微分方程。

其中最重要的是牛顿和莱布尼茨的工作，他们独立地发现了微积分的基本原理，并将其应用于物理问题的求解。

牛顿发展了牛顿运动定律，并通过微分方程的形式来描述物体的运动。

他的工作使常微分方程成为了解决物理问题的重要工具。

18世纪是常微分方程研究的黄金时期。

数学家们开始系统地研究微分方程的性质和解法。

最著名的数学家之一是欧拉，他在微分方程领域做出了巨大贡献。

他研究了线性和非线性常微分方程，并提出了解这些方程的方法。

他的工作奠定了常微分方程的基础理论，并推动了后续的研究。

欧拉之后，许多数学家对常微分方程进行了进一步的研究。

拉普拉斯、拉格朗日和傅里叶等数学家都为微分方程的理论和解法作出了贡献。

拉普拉斯提出了一种新的解微分方程的方法，即变量分离法。

这种方法被广泛应用于解常微分方程的各种形式。

拉格朗日则研究了经典力学中的变分原理，并将其应用于解微分方程。

傅里叶的贡献是将常微分方程的解表示为正弦和余弦函数的形式，这被称为傅里叶级数展开。

此外，拉普拉斯和拉格朗日还提出了一种新的方法，即变换法。

这种方法将一个复杂的微分方程转化为一个更简单的形式，从而易于求解。

这为后来的研究提供了重要的思路。

到了19世纪，常微分方程的研究越来越深入。

高斯、庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家在微分方程的解法和理论方面取得了重要进展。

高斯研究了二阶常微分方程的解法，提出了高斯超几何函数的概念。

这个函数在物理学和工程学中有广泛的应用。

庞加莱提出了一种新的方法，即微分方程的数值解法。

他的工作为计算机模拟和数值计算奠定了基础。

常微分方程的发展史

常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。

17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。

但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。

1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。

雅可比·伯努利自己解决了前者。

翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。

有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。

常微分方程的发展史

常微分方程的发展史古希腊时期，数学家们已经开始研究变化率的概念。

柏拉图的学派研究了一些与变化有关的问题，但没有形成完整的理论体系。

欧几里得和阿基米德的工作也涉及到变化率的概念，但不是以微分方程的形式出现。

到了17世纪，微积分的出现为常微分方程的形成奠定了基础。

众所周知，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立发现了微积分学，为数学提供了解决变化问题的新方法。

牛顿在《自然哲学的数学原理》中系统地描述了微积分学，这其中就包括了常微分方程的基本概念和方法。

在牛顿和莱布尼茨之后，许多数学家对常微分方程进行了深入研究。

欧拉和拉格朗日都做出了重要贡献。

欧拉在常微分方程的解法中独创地引入了指数函数，并建立了常微分方程的一种通用解法。

拉格朗日则提出了常微分方程的拉格朗日变换方法，使其在特定问题的求解中更加简化。

到了18世纪，高斯和拉普拉斯等数学家对常微分方程的研究取得了突破性进展。

高斯提出了“用有限项解”的概念，选取了特定形式的函数作为常微分方程的解，从而解决了一些常微分方程的特解问题。

19世纪是常微分方程研究的繁荣时期。

该时期的数学家们在解析解法、级数解、特解以及数值解的研究方法上取得了长足进展。

拉普拉斯为生物、物理和天文学中的实际问题提供了常微分方程的解析解。

波利亚和卡尔内斯则为常微分方程的级数解提供了系统的研究方法。

20世纪是常微分方程研究的极其重要时期。

在此期间，常微分方程与控制论、动力系统等领域发生了深入的交叉。

著名数学家皮卡尔引入了皮卡尔定理，研究非线性常微分方程的局部解存在性和唯一性。

此外，20世纪还出现了新的数值方法，例如欧拉法和龙格-库塔法，用于求解常微分方程的数值解。

从西蒙，泰勒爵士到费曼，众多科学家和数学家在其研究中广泛使用常微分方程。

无论是经济学、物理学、工程学，还是生物学、化学等领域，常微分方程都有着重要的应用。

总结起来，常微分方程是以微积分学为基础的数学分支，其发展历史可以追溯到古希腊时期。

从牛顿和莱布尼茨的发现开始，数学家们对常微分方程进行了深入研究并取得了重要进展。

微积分中的牛顿法与迭代计算

微积分中的牛顿法与迭代计算在微积分中，牛顿法与迭代计算是两个重要的概念和工具。

它们在数学和科学领域中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种复杂的问题。

牛顿法，也被称为牛顿-拉弗森方法，是一种求解方程的数值方法。

它的基本思想是通过不断迭代逼近函数的零点。

具体来说，对于一个函数f(x)，我们可以通过选择一个初始近似值x0，然后使用以下迭代公式来逐步逼近方程f(x)=0的解：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)...xn = xn-1 - f(xn-1)/f'(xn-1)其中f'(x)表示函数f(x)的导数。

通过不断迭代，我们可以逐渐接近方程的解。

牛顿法的优势在于它的收敛速度很快，通常可以在几步内得到较为精确的结果。

迭代计算是一种通过重复应用一个算法来逼近问题解的方法。

它在数值计算中有着广泛的应用，尤其是在解决无法用解析方法求解的问题时。

迭代计算的基本思想是通过不断迭代一个函数或算法，使得结果逐渐接近问题的解。

迭代计算可以应用于各种问题，例如求解线性方程组、求解非线性方程、求解微分方程等。

牛顿法和迭代计算在微积分中的应用非常广泛。

它们可以用于求解函数的零点、极值点和拐点等问题。

例如，我们可以使用牛顿法来求解一个复杂的方程，或者使用迭代计算来求解一个无法用解析方法求解的微分方程。

除了在数学中的应用，牛顿法和迭代计算还在科学研究和工程领域中发挥着重要的作用。

例如，在物理学中，我们可以使用牛顿法来求解运动方程，从而得到物体的运动轨迹和速度等信息。

在工程中，我们可以使用迭代计算来优化设计方案，找到最优解。

牛顿法和迭代计算的应用不仅仅局限于数学和科学领域，它们也可以用于解决现实生活中的问题。

例如，在金融领域，我们可以使用牛顿法来计算股票的收益率，或者使用迭代计算来优化投资组合。

在计算机科学中，我们可以使用迭代计算来解决图像处理、模式识别和机器学习等问题。

浅谈微分方程的起源与发展史

浅谈微分方程的起源与发展史微分方程是数学中重要的研究对象之一，它是描述自然现象和工程问题的基本语言之一、微分方程的起源可以追溯到古代，发展至今已有几千年的历史。

古代的微分方程研究主要集中在几何和物理问题上。

在古希腊时期，欧几里得首次提出了求直线和圆的切线问题，这是微分方程的基本问题之一、古代数学家阿基米德在其《圆中插入圆》一书中，也解决了一些微分方程，如螺旋线和平面曲线的问题。

同时，古代数学家也研究了曲线的长度、曲率等与微分方程相关的几何问题。

随着科学和数学的不断发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。

16世纪，新科学运动的开始，使得微分方程的研究得到了更大的关注。

数学家如卡尔丹、布鲁诺和卡特曾先后研究了微分方程，为微分方程的发展打下了基础。

17世纪，微积分的发展极大地促进了微分方程的研究。

数学大师牛顿和莱布尼兹独立地发展了微积分学，为微分方程的理论奠定了坚实的基础。

牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼兹的《微积分学》对微分方程的研究起到了决定性的作用。

他们提出了微分方程的基本概念和解法，为微分方程的理论与方法奠定了基础。

18世纪，数学家欧拉和拉格朗日使微分方程的理论得到了深入发展。

欧拉在其著作《机械学》中首次引入了微分方程的概念，提出了解微分方程的方法。

拉格朗日则研究了一阶微分方程与变分法之间的关系，创立了变分法的基本原理，为微分方程的进一步研究提供了新的思路和方法。

19世纪，微分方程的研究得到了进一步的发展。

在这一时期，微分方程的研究主要包括：初等微分方程的解法、连续性理论、以及偏微分方程的研究等。

大量的重要研究成果相继问世。

瑞典人新科学的父亲拉普拉斯和法国的康德罗基于前人的研究工作，分别研究了稳定性理论和热传导方程，并成为后来偏微分方程理论的基础。

线性微分方程的部分理论也逐渐形成。

德国数学家尔朗-栗斯等在矩解法的基础上，发展了常微分方程的新解法。

20世纪，微分方程的研究迈入了一个新的阶段。

牛顿与微积分的故事

牛顿与微积分的故事摘要：一、牛顿与微积分的起源二、牛顿的微积分成就三、牛顿微积分的影响四、微积分在现代科学中的应用正文：自古以来，科学家们一直在探索自然界的奥秘。

在众多科学家中，有一位伟大的英国数学家和物理学家，他的名字叫艾萨克·牛顿。

他与微积分的故事堪称一段传奇。

牛顿与微积分的起源可以追溯到17世纪。

当时，欧洲的数学家和哲学家们一直在寻求一种能够描述和分析运动规律的数学工具。

正是在这种背景下，牛顿和德国数学家莱布尼茨几乎同时独立地发明了微积分。

牛顿的微积分成就主要包括两个方面：首先，他运用微积分解析了行星运动的规律，从而奠定了古典力学的基础。

通过对引力定律和运动定律的阐述，牛顿解释了天体运动的本质。

其次，牛顿的微积分成就还体现在他对数学领域的贡献。

他发明了牛顿-莱布尼茨公式，为微积分的发展奠定了基础。

牛顿的微积分成就不仅对当时的科学界产生了深远的影响，而且对现代科学也有着不可忽视的作用。

牛顿的微积分方法使得科学家们能够更好地研究各种自然现象，从而推动了科学技术的飞速发展。

如今，微积分已经成为了自然科学领域中不可或缺的数学工具。

在现代科学中，微积分应用广泛。

无论是理论物理、工程学、生物学还是经济学等领域，微积分都发挥着关键作用。

例如，爱因斯坦的相对论、量子力学和混沌理论等都离不开微积分。

此外，微积分在工程技术中也有着广泛的应用，如控制理论、信号处理和优化算法等。

总之，牛顿与微积分的故事展示了人类探索自然界的勇气和智慧。

牛顿的微积分成就为后世科学家提供了宝贵的启示，那就是勇于创新、不断突破。

牛顿迭代法在微积分中的应用

牛顿迭代法在微积分中的应用牛顿迭代法是一种求解实函数零点的迭代方法，其基本思想是：假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有一个零点，可以使用其斜率和函数值得到近似值并不断迭代，直到满足所需精度。

牛顿迭代法能够在多种数值分析和微积分应用中发挥重要作用，下面将介绍其在微积分中的应用。

一、解方程在微积分中，牛顿迭代法在求函数的零点时经常用到。

以求解函数 $f(x)$ 的零点为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中 $f'(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的导数。

牛顿迭代法得到的 $x_{n+1}$ 是 $f(x)$ 的一个根的近似值，并且随着迭代次数的增加，近似值的精度逐渐提高，最终的解可能非常接近实际的根。

二、求解极值在微积分中，牛顿迭代法在求解极值时也经常用到。

以求解函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} $$其中 $f''(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的二阶导数。

通过不断迭代，得到的 $x_n$ 就是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值。

三、求解微分方程初值问题在微积分中，牛顿迭代法在求解微分方程初值问题时也经常用到。

以一阶线性微分方程为例，其形式为：$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) $$其中 $f(x,y)$ 是已知的函数，$y(x_0)=y_0$ 是初始条件。

牛顿迭代法可以通过不断迭代得到 $y_1,y_2,...,y_n$，最终得到$y(x_0+h)$ 的近似值。

迭代公式如下：$$ y_{n+1}=y_n+h\:f(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}\:f'(x_n,y_n) $$其中 $h$ 是步长，$f'(x_n,y_n)=\frac{\partial f}{\partialx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$ 是 $f(x,y)$ 的一阶偏导数。

高中数学《微积分》常用公式-微积分的牛顿-莱布尼茨公式

高中数学《微积分》常用公式-微积分的
牛顿-莱布尼茨公式
微积分是数学中的一个重要分支，它通过研究函数的变化率来分析和研究问题。

在微积分中，牛顿-莱布尼茨公式是一个常用的公式，它是微积分的基础之一。

1. 牛顿-莱布尼茨公式的定义
牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理，它是将微分与积分联系起来的公式。

它的数学表达式如下所示：
$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
其中，$\int_a^b f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

2. 牛顿-莱布尼茨公式的意义
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于它建立了微积分中积分和微分的联系。

通过该公式，我们可以通过求函数的原函数来计算函数在某个区间上的积分，或者通过求函数的导数来计算函数在某个点的变化率。

3. 牛顿-莱布尼茨公式的应用
牛顿-莱布尼茨公式在微积分中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：
- 计算曲线下面的面积：通过积分，我们可以计算出曲线在某个区间上的面积；
- 求函数的平均值：通过对函数在某个区间上的积分除以区间的长度，我们可以求得函数在该区间上的平均值；
- 解决微分方程：通过对微分方程两边同时积分，我们可以求得微分方程的解。

结论
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将微分和积分联系在一起，帮助我们解决了许多数学和物理上的问题。

在学习微积分的过程中，掌握并理解牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用是非常重要的。

【文献综述】高阶线性常微分方程的解法和应用

接着简要说明了下这个方程的解式存在且唯一的, 为下文研究并且介绍它的各种解法问
题, 做好理论知识的预备与铺垫. 最后文章介绍了下有些高阶线性常微分方程在实际中的应
用.
所以, 总的来说, 文章主要讨论了高阶线性常微分方程的相关解法和应用. 本文主要从三
方面入手, 首先给出高阶线性常微分方程的有关概念及解的存在惟一性. 在此基础上, 探讨了
各种不同类型的高阶常微分方程的解法的问题. 讨论的主要类型有: 某些特殊类型的高阶线
性常微分方程、常系数高阶线性常微分方程、变系数高阶线性常微分方程. 在解决这些类型的高阶线性常微分方程时, 还没找到普遍的、通用的具体解法, 这样, 文章针对具体问题进行了具体的分析. 另外, 我还介绍了一些新的解法: 运用高阶线性微分方程与一阶微分方程组的关系求解、参数的方法、升阶的方法和计算机求解法. 文章的最后一部分介绍了高阶线性常微分方程的应用. 相信通过本文, 大家对高阶线性常微方程的解法以及它的应用有了更加深刻的认识和理解, 明白了高阶线性常微分方程在解有些实际问题中的巨大作用, 比如许多工程实践和科技领域存在的各种各样的实际问题. 不过问题在于, 我们目前还是没有找到普遍的统一的求解高阶常微分方程的一般方法, 还是只能具体问题具体解决. 正如拉普拉斯所说, “我们知道的, 是很微小的; 我们不知道的, 是无限的.” 总之, 这次从高阶线性常微分方程的基本理论到求解方法再到应用的研究, 使我对高阶线性常微分方程的认识有了很大的进步.
一般地, 我们将未知函数 x 及其各阶导数
dx , dtBiblioteka ,dnx 均为一次的 n 阶微分方程称为
dt n
n 阶线性微分方程. 它的一般形式是
dnx dt n

论文模版(一篇关于微分方程的论文)

本科生毕业设计 (论文)题目：论积分因子的存在条件及其求法教学单位 _计算机科学与技术学院姓名 ___ 彭倩___学号___ 200531105002年级 _____2005级_________专业 _ 数学与应用数学指导教师 ___ 宋荣荣职称 _____ 讲师___ _____2009 年 5 月 7 日摘要在常微分方程理论的形成过程中, 求解常微分方程曾出现过许多方法, 如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等. 其中尤以积分因子法出现的最晚, 而作用也最大.积分因子法的实质是把常微分方程转化为恰当方程, 由于恰当方程的通解很容易得出, 这样我们也就能很容易求得常微分方程的解.因此用积分因子法解常微分方程的关键是找到积分因子.本文首先介绍了二元微分方程的恰当方程的定义, 然后在二元非恰当方程的条件下引出积分因子的定义和存在条件. 通过探讨积分因子的存在条件,本文得到了几种求常微分方程积分因子的基本求法：观察法、公式法、分组法和几种特殊类型方程积分因子的求法. 并对各种积分因子求法作了详细论证.然后根据二元原函数存在条件及积分因子的求法来推导三元原函数存在条件及积分因子的求解方法.关键词：常微分方程；积分因子；恰当方程；三元原函数.AbstractTheory of ordinary differential equations in the formation process, the solution of ordinary differential equations there have been many methods, such as separation of variables, variable substitution method, constant variation, and so integral factor method. Especially integral factor method appears the latest, The biggest role. integral factor method is the essence of ordinary differential equations into appropriate, as the appropriate general solution of the equation is easy to draw, so we can easily obtain the solution of ordinary differential equations. therefore integral factor method the key to solution of ordinary differential equations is to find the integrating factor.In this paper, the dual differential equations first introduced the definition of the appropriate equation, and then in the dual non-appropriate conditions equation integrating factor leads to the definition and conditions for the existence of. By exploring the conditions for the existence of the integrating factor, this paper has been seeking several ordinary differential equations integral factor of the basic method: To observe the law, the formula law, sub-law and several special types of integral equation method factor. and a variety of integral factor a detailed appraisal method. and then the original function in accordance with the conditions for the existence of binary and integral factor of the law is derived for three conditions for the existence of the original function and the integral factor method.Key words: ordinary differential equations; integral factor; proper equation; Ternary primitive function.目录第一章绪论 (5)1.1课题背景及目的 (5)1.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果 (5)1.3研究方法、论文构成及研究内容 (6)1.3.1研究方法 (6)1.3.2 论文研究内容 (6)第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件 (7)2.1 积分因子的定义 (7)2.2积分因子存在条件 (8)2.3积分因子的几种解法 (9)2.3.1 观察法 (9)2.3.2 公式法 (9)2.3.3 分组法 (12)2.3.4 几种特殊类型方程积分因子的求法 (13)第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法 (14)3.1三元原函数存在条件 (14)3.2 三元微分方程积分因子存在的条件 (15)3.3 三元微分方程积分因子的解法 (16)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (21)第一章绪论1.1课题背景及目的微分方程差不多是和微积分同时产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解. 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支. 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.1.2 国内外研究状况和相关领域中已有的成果积分因子的概念是由瑞士大数学家欧拉提出来的，而且他还确定了可采用积分因子的微分方程类型，证明了凡是可用分离变量求解的微分方程都可以用积分因子求解，但反之不然.随着微分方程理论的不断深入研究，积分因子的应用越来越广. 经过许多人的研究证明：不仅仅是可用分离变量求解的微分方程可以用积分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用积分因子法求解. 只是有些方程求积分因子比求方程的解本身更为复杂.目前国内的伍军、刘许成、阎淑芳等人对积分因子的求法作了详细的研究，并取得了许多重大的成果. 尽管目前还没有找到求积分因子的普通解法，但已在相当大的范围内，给出了一些微分方程的存在某些特殊类型积分因子的求法。

牛顿与微积分的故事

牛顿与微积分的故事摘要：一、牛顿与微积分的背景知识二、牛顿与微积分的发展关系三、牛顿在微积分发展中的重要贡献四、微积分在现代科学中的应用五、总结与启示正文：自从牛顿和莱布尼茨时代以来，微积分已经成为现代科学的重要基础。

本文将探讨牛顿与微积分的故事，分析牛顿在微积分发展中的关键作用，以及微积分在现代科学中的应用。

一、牛顿与微积分的背景知识牛顿（1643-1727）是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，他对科学的贡献堪称伟大。

微积分则是一种数学工具，用于研究函数的极限、连续性、微分、积分等概念。

牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出了微积分理论。

二、牛顿与微积分的发展关系牛顿在微积分发展中的地位是不可替代的。

他对微积分的创立、发展和应用都作出了巨大贡献。

牛顿运用微积分研究物体运动规律，提出了著名的牛顿三大定律，为经典力学奠定了基础。

同时，他还利用微积分解决了许多光学问题，例如计算反射光线和折射光线的路径。

三、牛顿在微积分发展中的重要贡献1.牛顿-莱布尼茨公式：牛顿和莱布尼茨在微积分发展初期，共同发现了微积分的基本公式，即牛顿-莱布尼茨公式。

这一公式将积分和微分紧密联系在一起，为微积分的发展奠定了基础。

2.牛顿级数：牛顿在数学领域的研究也取得了丰硕成果。

他发现了著名的牛顿级数，即幂级数展开式。

这一级数在数学分析和数值计算等领域具有广泛应用。

3.牛顿在微积分中的应用：牛顿将微积分应用于物理和天文学研究，揭示了许多自然现象的规律。

例如，他利用微积分研究地球的引力，提出了万有引力定律。

这一定律成为了现代天文学和力学的基础。

四、微积分在现代科学中的应用随着科学技术的不断发展，微积分已经成为现代科学的重要基础。

它在各个领域都有着广泛应用，如物理、化学、生物学、经济学等。

微积分可以帮助科学家更好地理解复杂现象，为解决实际问题提供理论依据。

五、总结与启示牛顿与微积分的故事展示了科学发展的内在联系。

牛顿的杰出成就离不开微积分的支持，而微积分的发展也受益于牛顿等人的开创性工作。

牛顿的微积分

第二节牛顿的微积分一流数简论流数简论表明,牛顿微积分的来源是运动学．1666年,他在坐标系中通过速度分量来研究切线,既促使了流数法的产生,又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线fx,y＝0看作动点的轨迹,动点的坐标x,y是时间的函数,而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线,所以曲线fx,y＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数,实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的,我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系fx,y＝0,求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度流数之间的关系．若用子表示,则为它是牛顿用来计算流数之比即求导的基本法则．实际上,这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明1式的．他认为,作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同,“因此,如果到某一时刻,它们已描绘的线段为x和y,那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y ＋yo代替fx,y＝0中的x和y,于是有按二项式展开并略去o的二次以上含二次的项,得除以o后便得到1式．作为一个实例,可把y＝x n写成fx,y＝y－x n的形式,由1式推出的代数式．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现,即：其中A表示曲线y=fx下的面积．从流数简论可以看出,他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线fx下的面积abc图11．13,并把它看作垂平行移动,描绘出面积x和y,它们随时间而增加的速度是be和bc,”显然,be＝1而bc=fx．因此,牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于2式,就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程,即把y看作fx的积分不定积分．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后,牛顿又进一步提出变量代换法,它变量z＝1＋x n,其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式,它的现代形式为类似地,牛顿在积分中也采用了代换法,并在稍后的着作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．流数简论中,牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=ux·vx,则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分,牛顿认为是显然的,没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念,明确提出一般性的微积分算法,特别是提出微积分基本定理,所以说他“发明”了微积分．不过,他当时只是观察到这一重要定理,至于定理的证明则是在他的第二本微积分着作中才出现的．二、运用无穷多项方程的分析学下简称分析学在这本书中,牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m,其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬,用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示图11．14,其中oy是面积的瞬,于是有z+oy＝ax＋o m．根据二项式定理考虑到z＝ax m,并用o去除等式两边,得略去仍然含o的项,得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式,或者说是面积z在点的变化率线为y=max m-1；反之,若曲线是y＝max m-1,则它下面的面积是z=ax m．在这里,牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法,而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说,他实际上给出了两个基本的求导和积分公式用现代符号表出ax m′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值,并断言逆过程是正确的以后,牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和,则面积是由每一项得到的面积的和,用现在的话来说,就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：∫f1x+f2x＋…+f n xdx=∫f1xdx＋∫f2xdx+…+∫f n xdx．他对如下的积分性质也有明确认识：∫afxdx ＝a∫fxdx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积,解决了许多能表成和式的问题．在此基础上,牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分,得他说,只要b是x的倍数,取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说,当x很小时,应该用1式,若x较大就必须用2式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别,不过还没有提出收敛的概念．同流数简论相比,分析学的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和,这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分,牛顿提出如下方法：先求出原函数,再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是着名的牛顿—莱布尼茨公式,是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号,该公式可表述为：若Fx是fx在区间a,b中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题,所以它是十分重要的．分析学中还有其他一些出色的成果,例如,书中给出求高次方程近似根的方法即牛顿法,导出正弦级数及余弦级数,等等．到此为止,牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一,他的无穷小增量o是不是0牛顿认为不是．既然这样,运算中为什么可以略去含o的项呢牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二,牛顿虽然提出变化率的概念,但没有提出一个普遍适用的定义,只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为,他的工作主要是建立有效的计算方法,而不是澄清概念,他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．三、流数法和无穷级数下简称流数法这是一部内容广泛的微积分专着,是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上,牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出,牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量,即以时间为自变量的函数称为流量,以字母表的后几个字母v,x,y,z来表示；把流量的变化速度,即变化率称为流数,以表保留,并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据,说：“流数法赖以建立的主要原理,乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,这就是：数学量,特别是外延量,都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以至少在理论上说使之连续减小,直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的,他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比,即已知y＝fx或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0,求它们的流数之比．程中的x和y,得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o,得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小,它可以代表流动量的瞬,所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉,而剩下从表面看,这种方法与流数简论中的方法一致．所不同的是,数．简论中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．例如,假定y=x n,牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边,消去y＝x n,用o除两边,略去仍含o的项,结果得当然,在对具体函数微分时,不必采用无穷小而可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程,求流量,即积分．x,则数简论中,牛顿在具体积分中已经采用了这种方法,只是到这时才明确总结出公式．从简论及流数法两书来看,他推导此式的思路大致如下：由2,3得由微积分基本定理,得牛顿在书中还推出分部积分公式,即∫uv′dx=uv-∫vu′dx．其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时,就可利用分部积分公式求积分．牛顿总结了他的积分研究成果,列成两个积分表,一个是“与直线图形有关的曲线一览表”,另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．至此,牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法,他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义,说流数法即微积分是一种“普遍方法”,它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”流数法一书便充分体现了微积分的用途,下面略举几例．例1,在“问题3——极大值和极小值的确定”中,牛顿给出了通过解方程f′x＝0来求fx极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时,它的流数既不增加也不减少,因为如果增加,就说明它的流数还是较小的,并且即将变大；反之,如果减少,则情况恰好相反．所以求出它的流数,并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比,得即 3y2＝ax．把上式代入原方程后,就很容易求得相应的x值和y值了．例2,已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0,AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标,求作过D点的切线图11．15．牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD＝y,所以牛顿说：“给定D点后,便可得出DB和AB,即y和x,BT的长度也就给定,由此可确定切线TD．”例3,在“问题12——曲线长度的确定”中,牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线,RN⊥MN,牛顿分别记MN＝s．NR＝t,QR＝v图11．16,它们的流数分别为s,t,v,然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr,由R向nr引垂线RS,则MN,NR和QR分别增加RS,Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS,Sr和Rr 相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x,y和弧长s,则牛顿的结果为只要对t积分,就可求出弧长s了．综上所述,流数法不仅在基本思想上比分析学有了发展,而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小,因而同分析学一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分,于是有曲线求积术下简称求积术之作．四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专着中,曲线求积术是最后写成1693但最早出版1704的一部．在书中,导数概念已被引出,而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了,他算出许多复杂图形的面积．阿达玛J．Hadamard,1865—1963称赞说,该书“论述的有理函数积分法,几乎不亚于目前的水平．”值得注意的是,在求积术中,牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的,而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接,而是由点的连续运动画出的,因而是这样生成的；面是由线的运动,体是由面的运动,角是由边的旋转,时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下,他放弃了无穷小的概念,代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=x n的导数,牛顿让x“由流动”而成为x＋o,于是x n变为的最后比等于1比nx n-1．所以量x的流数与量x n的流数之比等于1比nx n-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比,可见最初比与最后比的实质是一样的,都表示y关于x的导数,或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nx n-1．牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17,假定bc移向BC,使得c和C重合,那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比,即把这些增量看作初生量的最初比．”他说,“只有点C与c 完全重合了,直线CK才会与切线CH重合,而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然,他是把切线CH当作割线CK的极限位置．实际上,早在自然哲学的数学原理下简称原理一书中,牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比,而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小,但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书当然不是最早写成的中,牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上,他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如,他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出,当这些平行四边形相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形的最大宽度无限减小时,就成为“消失的平行四边形”,而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在原理中阐发的极限思想,成为他撰写求积术的理论基础．当然,他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．。

微积分学数学家故事

微积分学数学家故事微积分学是微分学和积分学的总称。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

牛顿在制定微积分中对微分方程的研究

牛顿在微积分发展中的作用

牛顿在微积分发展中的作用

牛顿法 微分方程

牛顿和莱布尼茨对微积分

浅谈牛顿、莱布尼茨对微积分的贡献[权威资料]

常微分方程发展简史—经典阶段

常微分方程的发展史

常微分方程的发展史

微积分中的牛顿法与迭代计算

浅谈微分方程的起源与发展史

牛顿与微积分的故事

牛顿迭代法在微积分中的应用

高中数学《微积分》常用公式-微积分的牛顿-莱布尼茨公式

【文献综述】高阶线性常微分方程的解法和应用

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牛顿与微积分的故事

牛顿的微积分

微积分学数学家故事

牛顿法微分方程