第1章1.2知能演练轻松闯关

1．(2011·高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选A.由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分而不必要条件．
2．(2012·高考北京卷)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．心要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”⇒“a ＝0”，但“a ＝0” “复数a ＋b i 是纯虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．“a <b ”是“a b
<1”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D.由于a <b ，当b <0时，a b >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b
<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，a b <1时，可以推出a >b .因此a <b 是a b
<1的既不充分也不必要条件．
4．(2012·高考福建卷)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )
A ．x ＝－12
B ．x ＝－1
C ．x ＝5
D ．x ＝0
解析：选D.∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)且a ⊥b ，
∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)
＝2(x －1)＋2×1
＝2x ＝0，
即x ＝0.反之也成立．
5．下列命题：
①“a >b >0”是“a 2>b 2”的充要条件；
②“a >b >0”是“1a <1b
”的充要条件； ③“a >b >0”是“a 3>b 3”的充要条件．
则其中正确的命题有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选A.①“a >b >0”是“a 2>b 2”的充分不必要条件；
②“a >b >0”是“1a <1b
”的充分不必要条件； ③“a >b >0”是“a 3>b 3”的充分不必要条件，
故3个命题都不正确．
6．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．
解析：在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＝sin B ⇔a ＝b ，
∴“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的充要条件．
答案：充要
7．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以作为x 2<1的充分条件的序号为________．
解析：由x 2<1得－1<x <1.
因此，可作x 2<1的充分条件的是②③④而①不行．
答案：②③④
8．不等式x 2－3x ＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x 2－3x ＋2<0⇔(x －1)(x －2)<0⇔1<x <2.
答案：1<x <2
9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；
(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；
(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0；
(4)p ：△ABC 中，∠A ≠30°，q ：sin A ≠12
. 解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2，
∴p ⇒q ，q p ，故p 是q 的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．
(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ，若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．
(4)转化为△ABC 中sin A ＝12
是∠A ＝30°的什么条件． ∵∠A ＝30°⇒sin A ＝12
，
但是sin A ＝12
∠A ＝30°， ∴△ABC 中sin A ＝12
是∠A ＝30°的必要不充分条件， 即p 是q 的必要不充分条件．
10．试问0<m <13
是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的什么条件？ 解：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－12m >03m >0，
所以0<m <13. 反之，若0<m <13，则3m >0，－4<－12m <0,0<4－12m <4，即Δ>0，且3m
>0. 所以方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
因此“0<m <13”是“方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根”的充要条件．
1．(2012·高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由面面垂直的性质定理可得α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m⇒b⊥α.
又a⊂α，∴a⊥b，
∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．
而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直，
∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.
2．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__________条件．
解析：如果一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则有b－5<0且k－4>0，得b<5，k>4；反之，当b<5时，b－5<0，即图象交y轴于负半轴，k>4时，k－4>0，即图象交x轴于正半轴．
因此“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．
答案：充要
3．已知p：{x|－x2＋8x＋20≥0}，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，綈p是綈q的充分不必要条件，求m的取值范围．
解：因为p：{x|－2≤x≤10}，
所以綈p：A＝{x|x<－2或x>10}．
同理可求得綈q：B＝{x<1－m或x>1＋m，m>0}．
因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以綈p⇒綈q但綈q綈p.
所以A B.
用数轴表示如图所示，
则{m>0 1－m≥－2 1＋m≤10，(两个等号不同时取到)
解得0<m≤3.
所以m的取值范围是{m|0<m≤3}．
4．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式
Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，
设为x1，x2，则x1x2＝c
a<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝c
a<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.。