10.2-2排列数及公式

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高中数学新高考复习试卷讲义第10章 §10.2 排列与组合

§10.2 排列与组合考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有的个数，用符号表示．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有的个数，用符号表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式 (1)A m n ＝＝ (n ，m ∈N *，且m ≤n )． (2)C m n ＝A m n A m m＝ (n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1 性质(1)0！＝；A n n ＝ .(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝常用结论 1．排列数、组合数常用公式(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －1n. (2)A m n ＝n A m －1n －1. (3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.(4)k C k n ＝n C k －1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋1n ＋1. 2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()教材改编题1．A24＋C37等于()A．35 B．47 C．45 D．572．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是() A．18 B．24 C．30 D．363．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576 B．288 C．144 D．48(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有() A．80种B．180种C．260种D．420种听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12 B．24 C．34 D．60(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A．60 B．90 C．120 D．150(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．20种B．36种C．72种D．84种听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法跟踪训练3(1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有() A．若A，B不相邻，共有72种排法B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法C．若A在B右边有60种排法D．若A，B两人站在一起有48种排法(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)。

排列2

排列数的定义：排列数的定义：从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数排列数，元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同：注意区别排列和排列数的不同：一个排列”是指：个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ）排列数”是指从n个不同元素中，任取m（个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？送法？种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1）练习2 求证：（1 ：（（2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下某信号兵用红、挂在竖直的旗杆上表示信号，挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号；第一类用1面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第三类用3面旗表示的信号，第三类用3面旗表示的信号，由分类计数原理，所求的信号种数是：由分类计数原理，所求的信号种数是：

人教a版高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合

��!
�� 写出C�� .
��!(��-��)!
3. 常用的几个恒等式
�� +1 (1) C�� + C�� +1+ C�� +2+„+ C�� +��= C�� +��+1; ��-1
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=, 3, 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
5. 2012年上海春季高考有 8 所高校招生, 如果某 3 位同学恰好被其中 2所高校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168
0!=1 , 所以
0 C�� =1. �� -�� (4) 组合数的性质: ①C�� = C�� -1 �� ; ②C�� +1=C�� + C��
.
(1 ) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即由
�� 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C�� 表示 .
�� A ��! �� (��-1)(�� -2)„(��-��+1) (3) 组合数公式: C�� = ��= = , 由于 A�� ! ��!(��-��)!

排列(第一课时)

第m位
······
n n-1 n-2 n-m+1
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
3. 排列数公式 m A =n(n-1 )(n-2 )… (n-m 十 1) n
( n, m ∈N·, 并且 m ≤n).
4. 全排列
个不同元素全部取出的一个排列 , 叫做 n 个不同元素的一个全排列 . 阶乘：正整数1到 n 的连乘积 , 叫做n的阶乘 ,用 n! 表示 .
n
5. 全排列数公式 n ( n-2)…·3·2 ·1 An =n ·(n-1 )· = n! (n∈N·,).
[ 例 1] 计算: ⑴
A
解 :
3 16
⑵ A =6!=7205
4 6
6 6
A ；(3) A 3 ⑴ A16 =16 × 15 × 14=3360 5
；⑵
6 6
4 6
⑶ A =6 × 5 × 4 × 3=360.
分析：
解决上述问题
, 可以应用分步计数原理进行 , 共分两步：第一步：确定正式主持人 , 从 3 人中任选 1 人 , 有 3 种不同选法 ; 第二步 , 确定候补主持人 , 从余下的2 人中选取 , 有 2 种不同的方法 .
根据分步计数原理
, 在 3 名同学中选 2 名 , 按照参加正式主持人在前 , 候补主持人在后的不同顺序 , 排列方法有 3 × 2=6 种 .
下面大家通过自学来认识排列的特点 , 体会对于排列的认识 , 关键就是抓住顺序 .
好
, 下面大家接着通过自学来熟悉排列数公式的推导 , 并注意以下两点：一是掌握从特殊到一般的研究方法 ; 二是体会基本原理在推导中的应用 .

初中数学排列组合教案设计参考

初中数学排列组合教案设计参考第一章：排列组合基本概念1.1 排列教学目标：让学生理解排列的定义和排列数公式。

培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：排列的定义：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列。

排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受排列的意义。

引导学生通过列举法得出排列数公式。

练习运用排列数公式解决实际问题。

1.2 组合教学目标：让学生理解组合的定义和组合数公式。

培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

教学内容：组合的定义：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。

组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受组合的意义。

引导学生通过列举法得出组合数公式。

练习运用组合数公式解决实际问题。

第二章：排列组合的应用2.1 排列组合的综合应用教学目标：让学生掌握排列组合的综合应用方法。

培养学生运用排列组合知识解决复杂问题的能力。

教学内容：排列组合的综合应用方法：根据问题的实际情况，选择合适的排列组合公式进行计算。

教学活动：练习运用排列组合的综合应用方法解决实际问题。

2.2 排列组合在实际问题中的应用教学目标：让学生学会运用排列组合知识解决实际问题。

培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：实际问题中的排列组合应用：如人员安排、活动组织等。

教学活动：引入实际问题，让学生感受排列组合在实际中的应用。

第三章：排列组合的扩展3.1 多重排列教学目标：让学生理解多重排列的定义和多重排列数公式。

培养学生运用多重排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：多重排列的定义：多重排列是指在排列中允许元素重复的情况。

多重排列数公式：对于k个相同的元素，其排列数为k^m，其中m为元素个数。

教学活动：引入实例，让学生感受多重排列的意义。

引导学生通过列举法得出多重排列数公式。

高考理科第一轮复习课件(10.2排列与组合)

(B)48种
【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3 个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有 A 3 3 种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3× A 3 ＝ 3 36(种)不同的播放方式.
3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座位不变，则不同的调整方式有( (A)12种 (B)70种 ) (D)105种
【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于
是否与顺序有关.
【变式训练】(2012·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点
A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2,
B3为顶点的三角形个数为(
)
(A)30
(B)42
(C)54
(D)56
2 2 入到9个空中，有 A 9 种排法，因此共有 A8 A9 种排法． 8
(2)选C．分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全
排列，共有 A 3 ＝3!(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排 3 列，则有 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)3(种)坐法； 3 3 3 据分步乘法计数原理，共有 A 3 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)4(种)坐法. 3 3 3 3 (3)选D.左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能
3 4 4 C6 A5 种；若含有两个字母A，则有 C3 A5 种；若含有三个字母 6 2 2 4 4 3 2 2 A，则有 C6 A5 种.综上所述，共有 A5 C6 A5 C3 A5 C6 A5 6 6

学案2：§10.2 排列与组合

§10.2 排列与组合基本知识1．排列与排列数1．判断题(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()(5)A m n＝n A m－1.()n－1(6)C k n＝n C k－1n－1.()2．填空题(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有________种．(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条．(3)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．(4)方程3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为________．(5)已知1C m5－1C m6＝710C m7，则m＝________.全析考法考点一排列问题例1(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．方法技巧求解排列问题的六种主要方法组合问题的常见题型及解题思路人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A ．85 B ．86 C ．91D ．90(2)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．130 B ．120 C ．90D ．60(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)．方法技巧有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．考点三分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．例3 (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)某室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．方法技巧分组分配问题的三种类型及求解策略1.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．402.世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．63.某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( ) A ．1 800 B ．900 C ．300D ．1 4404.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．集中演练1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．36种2．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．93．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意 ≤2m ，a1，a2，…，a中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种参考答案基本知识1.按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数3. n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！C n－mn基本能力1．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．填空题(1)【答案】120 (2)【答案】1 560【解析】由题意，得毕业留言共A 240＝1 560(条)． (3)【答案】24【解析】依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24(种)．(4) 【答案】5【解析】由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.(5) 【答案】2【解析】由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ，原等式可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.全析考法考点一排列问题例1 【答案】 (1)B (2)36【解析】 (1)第一类：甲在最左端，有A 55＝120种排法；第二类：乙在最左端，有4A 44＝96种排法，所以共有120＋96＝216种排法．(2)记其余两种产品为D ，E ，由于A ，B 相邻，则视为一个元素，先与D ，E 排列，有A 22A 33种方法．再将C 插入，仅有3个空位可选，共有A 22A 33C 13＝2×6×3＝36种不同的摆法．考点二组合问题例2 【答案】 (1)B (2)A (3)660【解析】 (1)法一(直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C 13C 24＋C 23C 14＋C 33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C 14C 23＋C 24C 13＋C 34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C 23＋C 14C 13＋C 24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法二(间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C 49－C 45－C 44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C 47－C 44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 25C 13＋C 15C 24＝80种情况．所以满足条件的元素个数为10＋40＋80＝130.(3)从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C 48－C 46＝55.从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A 24＝12种．故总共有55×12＝660种选法．考点三分组分配问题例3 【答案】 (1)90 (2)36 (3)360【解析】 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种不同的分派方法．(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．(3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．全练题点 1. 【答案】B【解析】因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法种数为A 55A 33＝5×4＝20.2. 【答案】D【解析】∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A 33种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为A 33＝6. 3. 【答案】B【解析】选B 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A 33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A 33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33A 33＝900(种)，故选B. 4. 【答案】1 080【解析】(1)有一个数字是偶数的四位数有C 14C 35A 44＝960个． (2)没有偶数的四位数有A 45＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1 080个． 5. 【答案】472【解析】第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C 14C 212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C 312－3C 34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理，不同的取法种数为264＋208＝472. 集中演练 1．【答案】D【解析】第一步：将4项工作分成3组，共有C 24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A 33种分配方法，故共有C 24·A 33＝36种安排方法． 2．【答案】B【解析】分两步：第一步，从E →F ，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G ，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B. 3．【答案】C【解析】当m ＝4时，数列{a n }共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意 ≤8，a 1，a 2，…，a 中0的个数不少于1的个数，则必有a 1＝0，a 8＝1，a 2可为0，也可为1.(1)当a 2＝0时，分以下3种情况：①若a 3＝0，则a 4，a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，则有C 14＝4种情况；②若a 3＝1，a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，有C 13＝3种情况；③若a 3＝1，a 4＝1，则a 5必为0，a 6，a 7中任意一个为0均可，有C 12＝2种情况；(2)当a 2＝1时，必有a 3＝0，分以下2种情况：①若a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任一个为0均可，有C 13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.4．【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75(种)．故选C.。

人教版高中数学必修系列：10.2排列(第三课时)

10.2.3 排列〔三〕●教学目标〔一〕教学知识点排列、排列数公式、相邻问题、不相邻问题、捆绑法、插空法.〔二〕能力训练要求1.进一步熟悉排列数公式及全排列数公式的应用.2.明确相邻问题与不相邻问题的特征.3.掌握捆绑法与插空法的简单应用.4.注重逆向思维与转化思想的应用.5.提高分析、解决问题的能力.〔三〕德育渗透目标要求学生能够运用联系的观点看问题，抓住事物之间的本质联系，从而掌握根本的解题方法.●教学重点相邻问题与不相邻问题.●教学难点捆绑法与插空法的应用.●教学方法启发引导式启发学生在分析问题时抓住相邻与不相邻的本质，与解决相邻问题的捆绑法、解决不相邻问题的插空法产生联系.引导学生在正面考虑问题产生困难时尝试考虑问题的反面，即运用逆向思维解题，并且注重转化思想的应用，积累总结常见的转化途径.●教具准备投影片.第一张：本节例题〔记作10.2.3 A〕第二张：补充练习题〔记作10.2.3 B〕●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节，我们一起探讨了排列知识在实际中的应用，初步明确了相邻问题及不相邻问题的本质特征，现在，请一位同学简单谈一下自己的认识.［生］对于相邻问题，我们通常用捆绑法解决，而对于不相邻问题，我们通常用插空法解决.［师］好，这位同学回答得非常简明正确.这一节，我们将继续熟悉捆绑法与插空法的应用，并进一步了解逆向思考方法与转化思想的应用.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们通过练习加以巩固.Ⅲ.课堂练习1.7名班委中有A 、B 、C ，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工. 〔1〕假设正副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？〔2〕假设正副班长两职至少要选这三人中的1人担任，有多少种分工方案？分析：第〔1〕小题可分两步进行，优先安排受限制的正副班长，然后再排其余5名班委职务，问题〔2〕可采用逆向思考方法间接求解.解：〔1〕先安排正副班长有A 23种方法，再安排其余职务有A 55种方法，依分步计数原理，共有A 23·A 55=720〔种〕不同的分工方案.〔2〕7人的任意分工方案有A 77种，A 、B 、C 三人中无一人任正副班长的分工方案有A 24·A 55种，因此A 、B 、C 三人中至少有1人任正副班长的方案有A 77-A 24·A 55=3600种. 2.一条铁路原有n 个车站，为适应客运需要，新增加了m 个车站〔m ＞1),客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？解：∵原有n 个车站，∴原有客运车票A 2n 种.又现有〔n +m 〕个车站，现有客运车票A 2m n +种，∴A 2m n +-A 2n =62.∴(n +m )(n +m -1)-n (n -1)=62,即2mn +m 2-m =62.整理得m (2n +m -1)=31×2.可得方程组：(1)⎩⎨⎧=-+=212,31m n m 或(2)⎩⎨⎧=-+=.3112,2m n m 方程组(1)不符题意.解方程组(2)得m =2,n =15.所以原有15个车站，现有17个车站.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家逐渐掌握处理相邻问题与不相邻问题的常见方法，即捆绑法与插空法的应用，并了解逆向思考方法与转化思想的应用.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 92 7、9、10.〔二〕1.预习课本P 92～P 94.2.预习提纲〔1〕组合概念的关键是什么？〔2〕组合与排列有何区别与联系？〔3〕组合数公式的推导与排列数公式有何联系？●板书设计。

高三数学大一轮复习 10.2排列与组合教案理新人教A版

§10.2排列与组合2014高考会这样考 1.考查排列、组合的概念及其公式的推导；2.考查排列、组合的应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握排列、组合公式，理解二者的差异；2.掌握一些排列、组合常见问题的解法．1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！n－m！，这里规定0！＝1.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！n－m！＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __.[难点正本疑点清源]1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案 14解析 ①有1名女生：C 12C 34＝8.②有2名女生：C 22C 24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．2． 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)答案 72解析依题意得满足题意的排法共有A 55－A 22A 44＝72.3． (2012·大纲全国)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．4．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48D．120答案C解析分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48种排法．5．(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种答案D解析满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．方法二(位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．方法三(等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．方法四(间接法)A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10 080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法．探究提高本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A13＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．题型二组合问题例2从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．(1)A ，B 必须当选；(2)A ，B 不全当选.思维启迪：可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．解 (1)由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C 310＝120(种)．(2)全部选法有C 512种，A ，B 全当选有C 310种，故A ，B 不全当选有C 512－C 310＝672(种)．探究提高组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？解根据图形结构的对称性，对每一条边，与其异面的边有4个，共有12×42＝24对异面直线；每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线．综上，共有24＋12＝36对异面直线．题型三排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22·A22种方法．故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22·A22)＝84(种)．探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．(1)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有( )A．72种B．96种C．108种D．120种(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( )A．18 B．24 C．30 D．36答案(1)B (2)C解析(1)若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C13A22＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．(2)排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C24A33－A33＝30种分法．排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不同取法，共有C116×C219＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35答案C解析从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.2．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种答案B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．3．(2012·课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A．12种B．10种C．9种D．8种答案A解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．4．(2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12D．6答案B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．二、填空题(每小题5分，共15分)5．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．答案60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种)．6．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个．答案324解析分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，这时，另两位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C23A33C14＋C23A33C14＝144(个)．(2)四位数中如果没有0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶，此时共有A33C13＋C23C13A33C13＝180(个)．故符合题意的四位数共有：144＋180＝324(个)．7． 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．答案48解析①只有1名老队员的排法有C12C23A33＝36(种)．②有2名老队员的排法有C22C13C12A22＝12(种)．所以共有48种．三、解答题(共22分)8． (10分)有2个a,3个b,4个c共9个字母排成一排，共有多少种排法？解因为a与a，b与b，c与c无区别，所以排法取决于9个位置中哪几个排a，哪几个排b，剩下的再排c，故共有C29C37C44＝1 260种不同的排法．9． (12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．2．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )A．10种B．15种C．20种D．30种答案C解析由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C24＝12(种)情况．由上综合知，共有20种情况．3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( )A．1 260种B．2 025种C．2 520种D．5 040种答案C解析第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C210·C18·C17＝2 520.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．答案288解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab 甲丙c乙共有4A23A12A13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab乙甲c丙共有2A23A24种排法．根据分类加法计数原理共有4A23A12A13＋2A23A24＝288(种)不同排法．5．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．6．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．答案180解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．三、解答题7． (13分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法，第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36·C24＝120种选法．(2)方法一(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．方法二(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．。

10.2排列组合

,其分子的组成与
排列数A�� 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式计
�� 数;组合数公式还可以表示成C�� =
��! ��!(��-��)!
,它有两个作用:一是当 m,n 较
大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论证.
第十章
10.2
排列与组合
3 【解】( 1) 第一步: 选 3 名男运动员, 有C6 种选法.
2 第二步: 选 2名女运动员, 有C4 种选法.
3 2 共有C6 ·C4 =120 种选法.
第十章
10.2
排列与组合
(2)方法一: 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1女 4男 , 2女 3 男 , 3 女 2男 , 4女 1男 . 由分类加法计数原理可得总选法数为
第十章
10.2
排列与组合
(3 ) 方法一: 可分类求解:
4 4 “ 只有男队长” 的选法数为C8 ; “ 只有女队长” 的选法数为C8 ; “ 男、女队长 3 4 3 都入选” 的选法数为C8 , 所以共有 2C8 + C8 =196 种选法.
方法二: 间接法 :
5 5 从 10 人中任选 5 人有C10 种选法, 其中不选队长的方法有C8 种, 所以“ 至
【例 1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数:
解 :(1) ①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情 (1) 甲不在排头、乙不在排尾 ; 况. (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位; 3 若甲排在排尾共有A1 1 A3 =6 种排法. (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)1 . 2 若甲既不在排头也不在排尾共有A1 A 2 2 A2 =8 种排法,由分类计数原理知满 3 1 1 2 足条件的排法共有A1 1 A3 + A2 A2 A2 =14(种). 3 2 ②也可间接计算:A4 4 -2A3 + A2 =14(种). (2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有 3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A2 4 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足

初中数学排列组合习题课教案指导

初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。

通过举例让学生区分排列和组合的概念。

1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。

第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。

让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。

2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。

通过举例让学生理解组合数的性质。

第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。

引导学生运用排列组合知识解决实际问题。

3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。

通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。

4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。

对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。

第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。

排列第一课时教案

10．2排列 (第一课时)教学目的：1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；3．掌握排列数的计算公式，能用排列数公式进行计算教学重点：排列、排列数的概念及排列数的计算教学难点：排列数公式的推导教学过程：一、复习引入： 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法n m m m N +++= 21种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课： 1）问题：问题1．2007年3月，我国15支中超俱乐部参加的2007年中超联赛将重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，同学们能否计算出有多少场比赛？（比赛分主客场循环赛制）问题2．从,,,a b c d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？不同排法如下图所示：（方法指导-----枚举法）abc bac cab dababd bad cad dacacb bca cba dbaacd bcd cbd dbcadb bda cda dcaadc bdc cdb dcb2）归纳：这两个问题有什么共性？（共性：从若干个不同元素中，任取一些元素按一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？）2．1）排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．2）辩析：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？上述问题是不是排列问题？注意：我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．例1: 下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（不是排列）（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（是排列）（3）有10个车站，共需要准备多少种车票？（是排列）（4）有10个车站，共有多少种不同的票价？（不是排列）（5）从1到20十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（是排列）说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；“一定的顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。

数学：10.2《排列》课件(就人教二册下)

A488= ×7×6×5
1、公式右边第一个因数是n； 2、后面每个因数都比前面一个因数少1； 3、总共有m个因数相乘； 4、最后一个因数是n-m+1.
A510= 10 ×9 ×8 ×7 ×6
Amn=17×16×15×…×5×4，那么n等于什么呢？m等于什么呢？
∵A1417=17×16×15×…×5×4， ∴n=17，m=14
1) Ann
(3) Anm nAnm11
(4) ANM
(n
m
1)
Am1 n
(5) Anm
mAnm11
Am n1
1、选择题
（1）100×99×98×…×89等于
（ C）
A、A10100 B、A11100 C、A12100 D、A13100
（2）已知A2n=132，则等于
（B）
A、11 B、12 C、13
根据分步计数原理，所求的不同的排法数是
3 2 6种
问题1 温州、北京、上海、三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
起点站终点站
温州北京
北京
上海上海
温州
上海
北京温州
飞机票温州北京温州上海
北京上海
北京上海
温州北京
上海温州
问题2 从a,b,c,d 这4个字母中,每次取出3
3
3-1
探究2:如果有排列好顺序的2个空位,从不同的n个
元素中任取2个去填空,那么有多少种不同的
填法呢?
第1位第2位
A2 n (n 1) n
n
n-1
问题3:如果有排列好顺序的m个空位,从不同的n个元素中任取m个去填空,那么有多少种不同的填法呢?

10.2 排列与组合课件理新人教A版课件

7 6 解法三 (间接法)A7 －3A6 6＝4A6＝2 880(种)排法．
(2)先排甲、乙，再排其余 5 人，共有 A2 A5 2· 5＝240(种)排法． (3)(插空法)先排 3 名男生共有 A3 3种方法，再将 4 名女生插空，有
4 4 A4 种方法，故共有 A3 A4 ＝144(种)排法． 3·
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第二节
[最新考纲展示]
排列与组合
2.能利用计数原理推导排列数公式、山东组合数公式． 3.能利用排列与组合解决简单的实际问题．金太阳书业有限公司
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1．理解排列、组合的概念．
____________________[通关方略]____________________ 排列与组合有何异同点？排列与组合问题的共同点：都是“从 n 个不同元素中取出 m 个元素”；不同点：前者与元素的顺序有关，为“将取出的元素按照一定
顺序排成一列”，后者与元素的顺序无关，为“将取出的元素合成一
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研考向要点探究悟典题能力提升提素能高效训练
排列与排列数
1．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
山所有不同排列的个数，东从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的金 m 太叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 An . 阳书 ____________________[通关方略]____________________ 业排列与排列数是不同概念，易混淆，排列数是问题中所有不同排有限公列的个数．司

优化方案数学(人教A理)一轮课件：10.2排列、组合

由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为 6＋
18＝24，故选 B.
4．若 C22x0－7＝Cx20，则 x＝________. 解析：由2x－7＝x或2x－7＋x＝20，得x＝7或x＝9. 答案：7或9 5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有________种. 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选
3．“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字
0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18
B．24
C．27
D．36
解析：选 B.依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行
分类计数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题
意的四位数的个数为 C23A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意的四位数的个数为 C12·C13·C13＝18.
第2课时排列、组合
2014高考导航
考纲展示
备考指南
1.理解排列、组合的概念． 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3.能解决简单的实际问题.
从高考内容上来看，排列、组合的应用问题是命题的热点内容，多为选择题和填空题，也常与概率、分布列的求法相结合进行考查，题型多为解答题，难度中等，着重考查学生分析问题、解决问题的能力.
目录
课前热身
1．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、
保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种
B．360种
C．15种
D．30种
答案：B
2．(2013·金华十校联考)用数字1、2、3、4、5组成的无重

2019版高考数学(理)高分计划一轮：10.2 排列与组合

10.2 排列与组合[知识梳理]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质4．常用结论(1)①A m n＝(n－m＋1)A m－1n；②A mn ＝n n －mA mn －1； ③A mn ＝nA m －1n －1. (2)①nA nn ＝A n ＋1n ＋1－A nn ； ②A mn ＋1＝A mn ＋mA m －1n .(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n ＋1)！－1. (4)①C mn ＝n －m ＋1m C m －1n ；②C m n ＝n n －mC mn －1； ③C mn ＝n m C m －1n －1.(5)①kC kn ＝nC k －1n －1；②C rr ＋C rr ＋1＋C rr ＋2＋…＋C rn ＝C r ＋1n ＋1. [诊断自测] 1．概念思辨(1)从1,2,3，…，9任取两个不同的数，分别填入和式□＋□中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题．( )(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log □□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．( )(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(选修A2－3P 18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种答案 C解析先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A 55种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A 22种排法，因此所求不同排法总数为A 55A 22＝240.故选C.(2)(选修A2－3P 28A 组T 17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A ．18B ．24C ．30D ．36 答案 C解析解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.故选C.3．小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为( )A．840 B．720 C．600 D．30答案 B解析由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C12·C35·A44＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C25·A44＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．答案300解析符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排．按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有A11·(C14C24)A33＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A12·A11(C14C13)·A22＝48个；③不含0，但5必须排在个位有A11· (C13C24)A33＝108个．由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．题型1 排列问题典例7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A66＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有A 22A 55＝240种． (3)7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法；甲排头，共有A 66种不同的排法；乙排尾，共有A 66种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A 55种不同的排法；故共有A 77－2A 66＋A 55＝3720种不同的排法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A 66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 66A 22＝1440种．(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A 25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A 44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 25A 44A 22＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．若丙站在排头或排尾有2A 55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A 66－2A 55)·A 22＝960种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A 14种方法．再将其余的5个元素进行全排列共有A 55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A 14A 55A 22＝960种方法．(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)A 77－A 66·A 22＝3600种．解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A 55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A 26种方法，所以一共有：A 26·A 55＝3600种．(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有A 77A 22＝2520种．[结论探究1] 若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？解先将其余四个同学排好，有A 44种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有A 44A 35＝1440种方法．[结论探究2] 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解 7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A 55A 33＝720种．故共有A 77－A 55A 33＝4320种不同的排法．[结论探究3] (1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A77＝5040种不同的排法．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．方法技巧1．求解有限制条件排列问题的主要方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．提醒：(1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．冲关针对训练(2018·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．题型2 组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334＝5984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100种．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法技巧1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见本例(4)．2．两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．见本例(2)，(5)．冲关针对训练(2018·武汉模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种)．故选D.题型3 排列组合的综合应用角度1 排列组合的简单应用典例有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 14种选法；0可在后两位，有C 12种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C 13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 1322个．②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C 24·22·A 33个． ③0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个．综上所述，共有不同的三位数：C 14C 12C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432个．解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22＝432个．角度2 分组分配问题典例国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案 90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．方法技巧1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数，见角度1典例． 2．分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．见角度2典例．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．冲关针对训练将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析 2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C 24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A 22种方案，故不同的安排方案共有C 24A 22＝12种，故选A.1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案 D解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.2．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A．72种 B．36种 C．24种 D．18种答案 B解析A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．故选B.3．(2017·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法有( )A．10种 B．16种 C．20种 D．24种答案 C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20(种)坐法．故选C.4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案660解析只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．72种答案 C解析分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有C23A33种．当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有C13A33，所以共有C23A33＋C13A33＝36种，故选C.2．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )A．600 B．288 C．480 D．504答案 D解析对六节课进行全排列有A66种方法，体育课排在第一节课有A55种方法，数学课排在第四节课也有A55种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A44种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A66－2A55＋A44＝504.故选D.3．某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A．90 B．60 C．48 D．36答案 B解析先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有A24A33＝72种排法．若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有A23A22＝12种排法，所以满足条件的排法种数为72－12＝60.故选B.4．(2018·山西质量监测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A．60种 B．48种 C．30种 D．24种答案 B解析由题意知，不同的座次有A22A44＝48(种)，故选B.5．(2018·福建福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A．12种 B．24种 C．48种 D．120种答案 B解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．故选B.6．(2017·黔江模拟)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．故选B.7．(2018·河北衡水模拟)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ) A．24种 B．18种 C．48种 D．36种答案 A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C23C12C12＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有C13C12C12＝12种，所以共有24种乘坐方式，故选A.8．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种答案 C解析由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2种结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.9．(2018·福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480 C．360 D．200答案 D解析由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．故选D.10．(2018·赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有( ) A．36种 B．39种 C．42种 D．45种答案 B解析当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有C13C13＝9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有C13C13＋C13C13＝18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A24＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.二、填空题11．(2017·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 答案20解析从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种，故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案．12．(2018·江西宜春模拟)将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．答案150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25种分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150种放法．13．(2017·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有________种．答案 720解析由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A 45种方法，故一共有6·A 45＝720种．14．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题15．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，求甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数？解由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有C 22C 17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C 12C 27种选法． ∴由分类加法计数原理，共有C 22C 17＋C 12C 27＝49种选法．解法二：(间接法)从9人中选3人有C 39种选法，其中甲、乙均不入选有C 37种选法．∴满足条件的选派方法有C 39－C 37＝84－35＝49种．16．(2018·保定调研)已知集合M ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ，B ，C 为M 的非空子集，若∀x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，x<y<z 恒成立，则称“A —B —C ”为集合M 的一个“子集串”，求集合M 的“子集串”共有多少个．解由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C 66种取法，第二步，分成三组，共C 25种分法，所以共有C 66C 25个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C56种取法，然后将这5个元素分成三组共C24种分法，所以共有C56C24个子集串；同理含4个元素的子集串数为C46C23；含3个元素的子集串数为C36C22.所以集合M的子集串共C66C25＋C56C24＋C46C23＋C36C22＝111个．。