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湖南省常德市第二中学2021届高三数学临考冲刺试题 文

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2021中考数学三轮临考冲刺：三角形和相似三角形含答案

2021中考数学三轮临考冲刺：三角形和相似三角形含答案

2021中考数学三轮临考冲刺：三角形一、选择题1. 下列命题是假命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分2. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是()A．95°，20° B．45°，80°C．55°，60° D．90°，20°3. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°4. 如图，直线l1△l2，若△1＝140°，△2＝70°，则△3的度数是()A．70° B．80° C．65° D．60°5. 在△ABC中，△A＝2△B＝70°，则△C的度数为()A．35° B．40° C．75° D．105°6. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A. 三条高线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点7. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF 的周长是()A. 5B. 7C. 8D. 108. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为()A.118°B.119°C.120°D.121°二、填空题9. 如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2=度.10. 已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x为偶数，则x＝____________．11. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE=°.12. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．13. 在△ABC中，△A＝72°，△B＝△C，则△C＝________°.14. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．15. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm.16. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.三、解答题17. 如图，AD是△ABC的角平分线，△B＝35°，△BAD＝30°，求△C的度数．18. 如图，A处在B处的北偏西45°方向，C处在B处的北偏东15°方向，C处在A处的南偏东80°方向，求△ACB的度数．19. 如图，CE是△ABC的外角△ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，△B＝25°，△E＝30°，求△BAC的度数．20. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求△C的度数．21. 观察与转化思想如图是五角星形，求△A ＋△B ＋△C ＋△D ＋△E的度数．22. 已知:如图1-Z -20，在四边形ABCD 中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD ，点E 在直线BC上，点F 在直线CD 上，且∠AEB=∠CEF . (1)如图①，若AE 平分∠BAD ，求证:EF ⊥AE ;(2)如图②，若AE 平分四边形ABCD 的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.23. 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形24. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．A BCDEFGOO GFE DCBA OE FLHNMDCB A答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B[解析] △在一个三角形中，有一个角是55°，△另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.3. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】D【解析】依题意知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，∴它是三条边的垂直平分线的交点，故选D.7. 【答案】D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝12AB，DF＝12BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.8. 【答案】C[解析] ∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠ABC,∠ACB的平分线分别为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.故选C.二、填空题9. 【答案】52[解析]设OA与CD相交于点E，∵OA⊥OB，∴∠O=90°.∵∠1=142°，∴∠OED=∠1-∠O=142°-90°=52°.∵AB∥CD，∴∠2=∠OED=52°.故填52.10. 【答案】6或8或10 [解析] 由三角形三边关系可知5<x<11.因为x 为偶数，所以x的值为6或8或10.11. 【答案】20[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°，∴∠ADC=∠BAD +∠ABC=40°+40°=80°.∵将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED ，∴∠ADE=∠ADB=180°-∠ADC=180°-80°=100°. ∴∠CDE=∠ADE -∠ADC=100°-80°=20°.12. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.13. 【答案】54 14. 【答案】4【解析】∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE ＝12BC ＝4.15. 【答案】19[解析] ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD.∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=(AB+BD+AD )-(AC+CD+AD )=AB -AC. ∵△ABD 的周长为25 cm ，AB 比AC 长6 cm ， ∴△ACD 的周长为25-6=19(cm).16. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8，则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)． 三、解答题17. 【答案】解：△AD 是△ABC 的角平分线， △△BAC ＝2△BAD ＝2×30°＝60°.△△C ＝180°－△B －△BAC ＝180°－35°－60°＝85°.18. 【答案】解： 由题意知△ABN ＝45°，△CBN ＝15°，△MAC ＝80°， 所以△ABC ＝60°.因为AM△BN ，所以△MAB ＝△ABN ＝45°， 所以△BAC ＝80°－45°＝35°. 所以△ACB ＝180°－60°－35°＝85°.19. 【答案】解：△△B＝25°，△E＝30°，△△ECD＝△B＋△E＝55°.△CE是△ACD的平分线，△△ACE＝△ECD＝55°.△△BAC＝△ACE＋△E＝85°.20. 【答案】解：△△NBC＝60°，△NBA＝△BAS＝45°，△△ABC＝△NBC－△NBA＝60°－45°＝15°.又△△BAC＝△BAS＋△SAC＝45°＋30°＝75°，△在△ABC中，△C＝180°－(75°＋15°)＝90°.21. 【答案】解：如图，△△1是△CEG的外角，△△1＝△C＋△E.同理可得△AFB＝△B＋△D.△在△AFG中，△A＋△1＋△AFG＝180°，△△A＋△B＋△C＋△D＋△E＝180°.22. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°. ∴EF ⊥AE.(2)EF ⊥AE 仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC -∠AEB ，∠F=∠BCD -∠CEF ，且∠ABC=∠BCD ，∠AEB=∠CEF ，∴∠1=∠F .∵AE 平分四边形ABCD 的外角， ∴∠1=∠2. ∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°， ∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD )=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°. ∴EF ⊥AE.23. 【答案】连结DE ，由等腰梯形对角线相等，且60AOD ∠=︒，可证AOD ∆是等边三角形，因为E 是OA 中点，所以DE AC ⊥，在Rt DCE ∆中，G 是DC 中点，所以12EG DC =，同理可证12FG DC =，因为E F ，分别是OA OB ，的中点，所以12EF AB =，因为AB DC =，所以EG FG EF ==，即EFG ∆是等边三角形24. 【答案】方法一：设N H M L F E ，，，，，分别为AB BC CD DA AC BD ，，，，，的中点，要证明EF LH ，，及MN 三线共点．因为LF DC ∥且12LF DC =，所以EF DC ∥且12EF DC =，LF EH ∥且LF EH =，从而四边形EHFL 为平行四边形，故LH 与EF 互相平分．A BC DEFG O C设LH 与EF 的交点为O ，则LH 经过EF 中点O （当然也是LH 中点）．同理，MN 也过EF 中点O ．所以，EF ，LH ，MN 三线共点于O ．说明：本题证明的关键是平行四边形EHFL 的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法 可设()11A x y ，，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，， 那么AC 线段的中点坐标为131322x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，，BD 线段的中点坐标为242422x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 那么EF 线段的中点坐标为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 同理可得：MN LH ，的中点坐标也为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 所以可知：EF ，LH ，MN 三线共点于O2021中考数学三轮冲刺：相似三角形及其应用一、选择题1. 下列命题是真命题的是 ( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶92. 如图，在△ABC中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则 ( )A .=B .=C .=D .=3. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( )4. (2019•雅安)若，且，则的值是A ．4B ．2C ．20D ．145. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4D ．1:534ab =∶∶14a b +=2a b -6. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)7. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（）A．5B．2C．4D．25 8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ．12. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______． 15. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．16. （2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DACABCDEF FDBE A C＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABDS △CBD＝________．三、解答题 17. （2020·通辽）如图，⊙O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ， 求证：AB ⊥CD ．18.如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，AC=BC.P 为△ABC 内部一点，且△APB=△BPC=135°. (1)求证:△P AB △△PBC ; (2)求证:P A=2PC ;(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证:=h 2·h 3.19. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ，垂足为F .ODCBA（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF△AB.21. 如图，△ABC中，∠ACB ＝90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的△O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交△O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝△ADF. (1)判断AB 与△O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF△PC ＝1△2，AF ＝5，求CP 的长．22. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点.. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ； （2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图① 图 ② 图③23. 如图，AB为半圆的直径，O 为圆心，OC △AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F . (1)求证：△CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ；(3)求AOOF 的值．24. （2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ﹦∠CDE ﹦90°，连接BD ，AB ﹦BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．A CBGPABC DEF EDCBA图（1） 图（2） 备用图答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C[解析]根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴=，∴=.故选C .3. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A 1B 1C 1各边长分别为1，，选项A 中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .4. 【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知，所以． 所以由得到：， 解得．所以．所以．故选A ．5. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，34b a =43ab =14a b +=4143aa +=6a =8b =22684a b -=⨯-=E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．7. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH ＝2，所以BH ＝BD 2－DH 2＝1，又可得△DHB ∽△ADB ，所以有BD 2＝BH·BA ，(3)2＝1×BA ，AB ＝3.二、填空题 9. 【答案】 [解析]∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴=，即=， ∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为所以周长比为故答案为：2．12. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3，∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18， ∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．15. 【答案】25－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．16. 【答案】332【解析】法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，∴AO OE ＝OD OB ＝34，由tan ∠ACB ＝12，可得CE ＝2BE ＝4AE ， ∴S △ABDS △CBD＝AO OC ＝34＋(3＋4)×4＝332． 法2：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ，得到△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，进而得出对应边成比例，AB BC ＝ANNM ＝tan ∠ACB ＝12，BC DM ＝OB OD ＝43；又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠NAD ＝90°，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，得出对应边之间关系，AB BC ＝DNNA ＝12，设AB ＝a ，DN ＝b ，则BC ＝2a ，NA ＝2b ，MN ＝4b ，得DM ＝32a ，∴4b ＋b ＝32a ，即ODCBAEb ＝310a ，进而表示三角形的面积，得到S △ABDS △CBD＝12AB ⋅DN 12BC ⋅NB ＝ab 2a ⋅(a ＋2b )＝310a 22a ⋅1610a ＝332．三、解答题17. 【答案】解：如图，连结AC ，BD ．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△ACP ∽△DBP ，∴AP DP =CPBP，∴PC •PD ＝PB •P A ，∵PC 2＝PB •P A ，∴PC =PD ，即AB 平分CD ，∵CD 是弦（不是直径），AB 是直径，∴AB ⊥CD ．18. 【答案】证明:(1)在△ABP 中，∠APB=135°， ∴∠ABP +∠BAP=45°，又△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP +∠CBP=45°， ∴∠BAP=∠CBP ，又∠APB=∠BPC=135°，∴△P AB ∽△PBC. (2)由(1)知△P AB ∽△PBC ， ∴===，∴=·=2，即P A=2PC.(3)方法一:如图①，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，则PQ=h 1，PR=h 2，PS=h 3， 在Rt△CPR 中，=tan ∠PCR==，BA∴=，即h 3=2h 2.又由△P AB ∽△PBC ，且=，得:=，即h 1=h 2，∴=h 2·h 3.方法二:如图②，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，连接SQ ，SR ，RQ ，易知四边形ASPQ ，四边形BRPQ 都有外接圆， ∴∠PSQ=∠P AQ ，∠PQR=∠PBR ，由(1)可知∠P AB=∠PBC ，∴∠PSQ=∠PQR.又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，∴△PSQ ∽△PQR ，∴=，即PQ 2=SP ·PR ，∴=h 2·h 3.19. 【答案】 解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =. ∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，AE ==.又∵4AD BC ==，∴6DF=，∴DF =.20. 【答案】(1)证明：△AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝△EFA ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝△EFA －△B ＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC ＝△FDB ，∴FB ＝FD ，∴△BDF 是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF ＝a ，则AD ＝7a ，解图如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由(1)得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝AC －AE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1，在Rt △DCE 中，tan 30°＝CE DC ＝1－a 7a 2－1＝33， 解得a ＝－2(舍去)或a ＝12，(5分)∴AF ＝12，在△CAF 和△BAC 中，CA AF ＝BAAC ＝2，且△CAF ＝△BAC ＝60°，∴△CAF ∽△BAC ，∴∠CFA ＝△ACB ＝90°，即CF△AB.(6分)21. 【答案】解：(1)AB 与△O 相切．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋△AEC ＝90°，又△△AEC ＝△CDF ，∠CAE ＝△ADF ，∴∠CDF ＋△ADF ＝90°，∴∠ADC ＝90°，又△CD 为△O 的直径，∴AB 与△O 相切．(3分)(2)如解图，连接CF ，解图∵CD 为△O 的直径，∴∠CDF ＋△DCF ＝90°，又△△CDF ＋△ADF ＝90°，∴∠DCF ＝△ADF ，又△△CAE ＝△ADF ，∴∠CAE ＝△DCF ，又△△CPA ＝△FPC ，∴△PCF ∽△PAC ，∴PC PA ＝PF PC ，(6分)又△PF△PC ＝1△2，AF ＝5，故设PF ＝a ，则PC ＝2a ，∴2a a ＋5＝a 2a ， 解得a ＝53，∴PC ＝2a ＝2×53＝103.(8分)22. 【答案】解： （1）10.解：∵AB AC =，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：∴EJ=∴AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE= a. ∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴BF=AE= a.∴AF BF BF AB==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.23. 【答案】(1)证明：△△CDA ＝12△COA ＝12×90°＝45°， 又△CE △DC ，△△DCE ＝90°，△△CED ＝180°－90°－45°＝45°；J(2)解：如解图，连接AC ，△D 为BC ︵的中点，△△BAD ＝△CAD ＝12×45°＝22.5°，而△CED ＝△CAE ＋△ACE ＝45°，△△CAE ＝△ACE ＝22.5°，△AE ＝CE ，△△ECD ＝90°，△CED ＝45°，△CE ＝CD ，又△CD ︵＝BD ︵，△CD ＝BD ，△AE ＝CE ＝CD ＝BD ，△AE ＝BD ；解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，△AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又△AB 是直径，则△ADB ＝90°，△△AOF △△ADB ，△AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x ＝1＋ 2.24. 【答案】（1）是；（2）结论成立．理由如下：∵BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴∠BDC ＋∠CDF ﹦90°，∠EDF ＋∠CDF ﹦90°． ∴∠BDC ﹦∠EDF ．∵AB ﹦BD ，∴∠A ﹦∠BDC ．∴∠A ﹦∠EDF ．又∵∠A ﹦∠E ，∴∠E ﹦∠EDF ．∴EF ﹦FD ．又∠E ＋∠ECD ﹦90°，∴∠ECD ﹦∠CDF ．∴CF ﹦DF ．∴CF ﹦EF ．∴F 为CE 的中点．（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ．∴GD ﹦12 EC ﹦92 ．又BD ＝AB ＝6，在Rt △GDB 中，GB ＝62＋(92)2 ＝152 ．∴CB ＝152 —92 ＝3．在Rt △ABC 中，AC ＝62＋32 ＝3 5 ．由条件得：△ABC ∽△EDC ．∴3 5 9 ＝3CD ．∴CD ＝9 5 5． ∴AD ＝AC ＋CD ＝3 5 ＋9 5 5 ﹦24 5 5 ．FE D CB A A BC D EG。

湖南省湘潭市2024高三冲刺(高考数学)部编版质量检测(拓展卷)完整试卷

湖南省湘潭市2024高三冲刺(高考数学)部编版质量检测(拓展卷)完整试卷

湖南省湘潭市2024高三冲刺（高考数学）部编版质量检测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，若为奇函数，则实数（）A．0B．C．1D．2第(2)题的展开式中的系数为（）A．40B．C．80D．第(3)题如图是的大致图象，则的解析式可能为（）A．B．C．D．第(4)题若P是一个质数，则像这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（）A．B．C．D．第(5)题已知、、，，，，则（）A．B．C．D．第(6)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（）A．当，时，过点可作曲线的三条切线B．当，时，过点可作曲线的三条切线C．若过点不能作曲线的切线，则，D．若过点可作曲线的两条切线，则，第(8)题小明同学决定在暑假期间花两个月的时间学习5本书，且每个月最多学习3本，至少学习2本，每次学完1本完整的书籍后，再学习下一本，则小明同学恰好在同一个月学习《三国演义》和《水浒传》的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，点是直线上的动点，点在直线外，点在直线上，则（）A．有最小值B．有最大值C．D．直线上有且只有一点(不同于点)，使得第(2)题已知为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A．B．复数的虚部为C．若，互为共轭复数，则D．若复数为纯虚数，则第(3)题如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则曲线在处的切线方程为______________.第(2)题设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为______．第(3)题已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，为的直径，为的中点，为的中点.（1）求证：；（2）求证：第(2)题如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.(1)证明：平面；(2)设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.第(3)题如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.第(4)题猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：(1)甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；(3)甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.第(5)题猜灯迷是我国一种民俗娱乐活动，某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了5道灯谜题目，答题人从中随机选取2道灯迷题目作答，若2道灯谜题目全答对，答题人便可获得奖品.(1)若甲只能答对工作人员所提供的5道题中的2道，求甲能获得类品的概率；(2)若甲不能获得奖品的概率为，求甲能答对所提供灯谜题目的数量.。

函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

函数小题大做一、单选题1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()3f x x 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()3f x x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D 【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74 D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．4．（2021年天津高考数学试题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】 设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.5．（2021年全国新高考II 卷数学试题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.6．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【详解】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 11．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y x m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(0,1][23,)⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ． 2]3,)⋃+∞ D ． 2][3,)⋃+∞【答案】B 【详解】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =单调递增，且[,1]y x m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．（2021年天津高考数学试题）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A 【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根， 由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈， 由1024k a a <++<可得11222a k --<<-， （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤； （2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-， 当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足 7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.二、填空题13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：114．（2019年江苏省高考数学试卷）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．15．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.16．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)+∞ 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11试卷第12页，共1页。

2021年高三下学期语文附加题冲刺练习卷2含答案

2021年高三下学期语文附加题冲刺练习卷2含答案

一、阅读材料，完成1～3题。

(10分)柳屯田虽协音律，而词语尘下。

苏子瞻学际天人，然皆句读不葺之诗尔。

乃知别是一家，知之者少。

后晏叔原、贺方回、秦少游、黄鲁直出，始能知之。

又晏苦无铺叙，贺苦少典重，秦即专主情致，而少故实，譬如贫家美女虽极妍丽丰逸而终乏富贵态黄即尚故实而多疵病譬如良玉有瑕价自减半矣。

(选自李清照《词论》)（1）．用斜线(/)给上面的文言文画线部分断句。

(限6处)(6分)譬如贫家美女虽极妍丽丰逸而终乏富贵态黄即尚故实而多疵病譬如良玉有瑕价自减半矣。

（2）．柳屯田、苏子瞻分别指________、________。

(2分)（3）．李清照在上文中提出了哪一个著名的词学观点？(2分)二、下列对有关名著的说明，不正确的两项是 ( )( )A. 《飞鸟集》内容丰富，包括了爱情、亲情、友情等多方面，诗人将自己比喻成寻找理想境界的永恒旅客，像飞鸟一样经历内心的漂泊历程。

短小的语句道出了深刻的人生哲理，引领世人探寻真理和智慧的源泉。

B. “您等等！我这儿千真万确还没开张，这您知道！开张以后，还得麻烦您呢！得啦，您买包茶叶喝吧！(递钞票)您多给美言几句，我感恩不尽！”——知道巡警要敲诈自己，王利发既表明难处，又无可奈何，同时希望免掉交大饼的摊派。

C. 探春有眼光，有魄力，但庶出的地位，暂摄家政的身份，决定了她不可能有什么大的作为。

而拿赵姨娘开刀，是她不认母女关系，投王夫人所好的最好例证。

D. 《呐喊·端午节》里的方玄绰是个披着新衣的旧式文人。

表面上是新式文人，但骨子里浅薄、市侩；知识分子加官僚的身份，使他说话做事充满矛盾——“索薪”事件，更是使他不尴不尬，左支右绌，颜面尽失。

E. 《欧也妮·葛朗台》中，老葛朗台的弟弟因破产自杀而死，葛朗台太太提议为其戴孝，葛朗台批评太太“光知道出新鲜主意花钱”，并说“戴孝在乎心而不在乎衣服”，但还是照办并戴上了一块黑纱。

三、简答题。

(1) “缚虎望宽今太懦，养鹰休饱昔无疑。

备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练14 圆锥曲线中的探索性问题(原卷版)

备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练14 圆锥曲线中的探索性问题(原卷版)

专题14 圆锥曲线中的探索性问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等.1.探究性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．2.解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.【压轴典例】例1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程;(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ |为定值.例2．（2021·江苏无锡市·高三）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，离心率为32，抛物线216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ． （1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．7(4)y x =±-. 例3．（2021·上海高三）如图，已知圆2221:(0)2r x y r r ⎛⎫Γ+-=> ⎪⎝⎭和双曲线2222:1(0)y x b bΓ-=>，记1Γ与y 轴正半轴、x 轴负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程； （2）若2r，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得 2.019PA PC -=.例4．（2020湖北武汉高三）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆E :22142x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设1,0A ，在x 轴上是否存在一定点B ，使2BP AP =总成立？若存在，求出B 点坐标；若不存在，说明理由.例5．（2020·河北邯郸高三）设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F 是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．例6.（广东省华南师范大学附属中学高三）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程； （2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．例7．（2020·上海市南洋模范中学高三）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为F (1，0)，且点3(1,)2P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：22113m n +为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b+=上不同的两点，12PP x ⊥轴，圆E 过12,P P 且椭圆2C上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由.例8.（江西省新余市第四中学）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴.（1）求的方程； （2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.例9.（2020·云南师大附中高三）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为6，短袖长为4.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.例10.（2020湖南衡阳市八中高三）已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．【压轴训练】1．（2020·海南高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且1242F F =，设A 是C 上一点，且1173b AF =，23bAF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若不与y 轴垂直的直线l 过点()10B ,，交椭圆C 于E ，F 两点，试判断在x 轴的负半轴上是否存在一点T ，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2020·全国高三专题练习）如图，O 为坐标原点，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，A 为椭圆2C 的右顶点，椭圆2C 的长轴8AB =，离心率12e =．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的方程；（2）过A 点作直线l 交1C 于,C D 两点，射线OC ，OD 分别交2C 于,E F 两点，记OEF 和OCD 的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得12:3:13S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．（2020·江苏徐州市·高三）在①3(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．4．（2020·湖南省汨罗市第二中学高三）已知点F 是椭圆2221(0)1x y a a+=>+的右焦点，点(,0)M m ，(0,)N n 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=.若点P 满足2OM ON PO =+（O 为坐标原点）． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．5．（2020·江苏省如皋中学高三）已知椭圆C ：2212x y +=.（1）曲线D ：3y x =与C 相交于A ，B 两点，H 为C 上异于A ，B 的点，若直线HA 的斜率为1，求直线HB 的斜率；（2）若C 的左焦点为F ，右顶点为E ，直线l ：4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ，Q （P 在第一象限）两点，与l 相交于M ，是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和.若存在，求直线l '的方程；若不存在，请说明理由.6.（2020江西省苏州高三）已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7．（2020·陕西咸阳市·高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.8．（2020·辽宁朝阳市·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎭，.过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点F 的直线1l 与直线l 垂直，且交椭圆C 于,P Q 两点.是否存在直线l ，使得四边形MPNQ 的面积最小？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.9．（2020·天津高三专题练习）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．10．（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.11. (2018届山东省威海市二模)已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.12．（2019·云南师大附中高三）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为6，短轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知不经过点P （0，2）的直线l ：()0,x my n m n R =+≠∈交椭圆C 于A ，B 两点，M 在AB 上满足()12PM PA PB =+且2AB PM =，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由.13.(2020河北省衡水中学高三)已知椭圆C ：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x 轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.14．(2020陕西省汉中市汉中中学)已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．（1）证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由．15．（2019·黑龙江高三）已知圆C 经过(2,0),3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为232l 的方程； （3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QN QM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由．。

(新高考)2021届高三第三次模拟考试卷 数学(四)解析

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（新高考）2021届高三第三次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22740A xx x =--≤∣，{}3B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭答案：D解：由22740x x --≤，即(21)(4)0x x +-≤，得142x -≤≤，集合1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 由3x <，得29x <，即33x -<<，集合()3,3B =-， 由数轴表示可得1,32AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，故选D ．2．设复数z 满足()()23i 1i z-=+，则z =（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．1答案：D解：()()223i 1i 12i i 2i z-=+=++=，(()()()2i3ii3i 13i 223i3i3iz ++∴====-+--+， 因此，2213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 3．关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 答案：C解：A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错， 故选C ．4．已知函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈ B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭答案：C解：由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，可得0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，故选C ．5．函数()2sin 1f x x =-的奇偶性为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数答案：D解：由2sin 10x -≥，即sin 12x ≥，得函数定义域为52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称． 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ．6．已知点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PC ++=0，则（ ）A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-答案：D解：由题意，PA BA PB -=，PA AC PC +=，而PA PB PC ++=0， ∴3PA BA AC -+=0，又AC BC BA =-，即32PA BA BC -+=0，∴2133PA BA BC =-，故选D ． 7．已知实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，其中1m <-，若目标函数y y x m =-的最大值为2，则m =（ ） A ．2- B ．2-或32-C ．2-或12 D ．32-答案：A解：因为实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11m A m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，11,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0P m ，因为目标函数yz x m=-的几何意义是可行域内的点(),x y 与(),0P m 所连直线的斜率， 所以目标函数yz x m=-的最大值为2，即1211PAmm k m m +==-+，整理得22320m m +-=，解得2m =-或12（舍去）， 故选A ．8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）A ．630种B ．600种C ．540种D ．480种答案：C解：把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种； 把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333C C C A A 90=种； 把6名工作人员分成1，2，3三组， 再安排到三个村有12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种， 所以共有9090360540++=种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ， 则下列说法中正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，则变量y 和x 之间具有线性相关关系答案：ABD解：A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x y ，故正确； B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确， 故选ABD ．10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A ．该截角四面体的表面积为273aB ．该截角四面体的体积为323212a C ．该截角四面体的外接球表面积为211π2a D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为13答案：ABC 解：如图所示：由正四面体S NPQ -中，题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成， 故2223344673S a =⨯+⨯⨯=，A 正确； ∵棱长为a 的正四面体的高63h =， ∴223136136232)(3)434334312V a a a a =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，B 正确； 设外接球的球心为O ，ABC △的中心为O '，NPQ △的中心为O ''，626633a -=， 222226R O C R O H '''--=2222263a R R a --=，22222633a R a R a -=--222222284633a R a R a R a -=+--⋅- ∴22118R a =，∴22114ππ2S R a ==，C 正确；易知二面角S BC A --为锐角，所以二面角A BC D --的余弦值为负值，D 错误， 故选ABC ．11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >， 则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ⋅< B ．910a a > C ．100b >D ．910b b >答案：AD解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列；{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴21791012()30a a a ⋅=<-，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由1010a b >，不能求得b 10的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d >-+，912()1293a d >-+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <，即有910b b >，故D 正确， 故选AD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则（ ）A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y 相切 C ．OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上 答案：ABD解：抛物线的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2210x kx --=，所以122x x k +=，121x x =-，()21212121y y k x x k +=++=+，()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；以AB 为直径的圆的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 半径为2121122AB y y k ++==+，所以圆心到直线12y的距离为2211122k k ++=+，等于半径，所以以AB 为直径的圆与直线12y相切，即B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，OA OB ==OA OB =+ 所以OA OB +的最小值不是C 错误； 直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y 上， 故D 正确， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_________．答案：60解：二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166C 12C 2rrr r r r rr x T x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r ，则常数项为()222612C 60-⋅⋅=，故答案为60．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222b c a +=，则cos A 的最小值为________． 答案：12解：22222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+，当且仅当b c a ==时等号成立，故答案为12． 15．过圆()222:0O x y rr +=>外一点()2,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB △的面积取最大值时，直线l的斜率等于3±r 的值为_________．解：211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△，当90AOB ∠=︒时，AOB △的面积最大，此时圆心O 到直线AB的距离d =， 设直线AB 方程为()2y k x =-，213k =，则2d r ==， 所以2224112k r k =+，再将213k =代入，求得r =．16．设函数21()x f x x +=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________． 答案：1e ，121k e ≥- 解：()()0x x g x x e =>，()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==， 由()0g x '>，可得01x <<，此时函数()g x 为增函数； 由()0g x '<，可得1x >，此时函数()g x 为减函数，()g x ∴的最大值为1(1)g e=；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立， 则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=， 则12()()g x f x 的最大值为1122e e=， 则由112k k e ≥+，得()211k e -≥，即121k e ≥-， 故答案为1e ，121k e ≥-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =+． （1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围． 答案：（1）π3B =；（2）[)1,2b ∈．解：（1()sin A Ab =sin sin cos C B A B A=+，()sin sin cos A B B A B A +=，cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+， cos sin sin A BA B =，∴tan B = ∵()0,πB ∈，∴π3B =． （2）∵2a c +=，π3B =， ∴222222cos a c b c c c a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅a c =时取等号）， 又2b a c <+=，∴[)1,2b ∈．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记b，求数列{}n b 的前n 项和S n ．答案：（1）21n a n =-；（2）211n n S +-=．解：（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-． （2）由（1）知121212121n n n n n b a a n n ++--===+-++，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦211n +-=． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 [0.4,0.2)--[0.2,0)-[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望． 答案：（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235． 解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120+⨯=． （2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）依题意可得[0.4,0.2)y ∈-的概率为3011204=， [0.2,0)y ∈-的概率为2411205=， [0,0.6)y ∈的概率为4016101112020++=．X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416P X ==⨯=；111(3)24510P X ==⨯⨯=；1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=；11111(5)252050P X ==⨯⨯=； 1111121(6)2020400P X ==⨯=， 则X 的分布列为X 234 5 6P11611063200 1150 121400故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为梯形，平面SCD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒，112AB AD CD ===．（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ； （2）若二面角A SB C --的余弦值为320，求SC 的长度． 答案：（1）证明见解析；（2）3．解：（1）由题意，在底面梯形ABCD 中，因为90BAD ADC ∠=∠=︒且1AB AD ==，2CD =，可得2BD BC ==，又由2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥， 又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD =， 且SC CD ⊥，SC ⊂平面SCD ，所以SC ⊥上平面ABCD ， 又由BD ⊂平面ABCD ，所以BD SC ⊥， 因为SCBC C =且,SC BC ∈平面SBC ，所以BD ⊥平面SBC ，又因为BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SBC ． （2）由（1）知SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)D ，设(0)SC h h =>，所以(0,0,)S h ，可得(1,0,0)BA =，(1,1,)BS h =--，(1,1,0)BD =-， 由（1）得BD ⊥平面SBC ，所以平面SBC 的一个法向量为(1,1,0)BD =-， 设平面ABS 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得00x x y hz =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得(0,,1)h =n ，则2320cos ,21BD h〈〉==-⋅+n ，解得3SC =，即3SC =．21．（12分）已知圆()2122:1F x y r ++=与圆()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤的公共点的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）设点A 为圆2212:7O x y +=上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP AQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）是，127-． 解：（1）设公共点为P ，则1PF r =，24PF r =-，12124PF PF F F +=>， 即公共点P 的轨迹为椭圆，且24a =，∴2a =，又1c =，∴23b =，故曲线22:143x y E +=．（2）方法一：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x = 代入E 得127y =127AP AQ ⋅-=，易知OP OQ ⊥；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，PQ 与圆O ()22212171m r m k k =⇒=++， 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343k m m k k m m k k k +--+=-+=+++， 将()221217m k =+代入，得0OP OQ ⋅=，即OP OQ ⊥， 综上，恒有OP OQ ⊥，2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 法二：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x =E 得127y =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-； 当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，∵PQ 与圆Or =，即()221217m k =+． 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，AP ===1==+，同理可得2AQ =， 故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣， 将122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，及()221217m k =+代入，可得127AP AQ ⋅=． 综上2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 22．（12分）已知函数ln ()xf x x=．（1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合．答案：（1）1k =；（2）{1}． 解：（1）因为ln ()(0)x f x x x =>，所以21ln ()xf x x-'=， 设切点为000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x --=-， 又直线1y kx =-过(0,1)-，所以()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln 10x x +-=， 令()2ln 1h x x x =+-，则(1)0h =，且()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，所以1k =．（2）不等式ln ()1af x ax x≤--恒成立，即不等式2ln ln 0ax x x a ---≥恒成立． 方法1：令2()ln ln F x ax x x a =---，则221()ax x F x x--'=，令2()210G x ax x =--=，因为0a >，所以180Δa =+>， 所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<， 所以()F x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增， 所以()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--．由()2222210G x ax x =--=，得22212x ax x +=，所以()222211ln 22x x F x x -+=-， 所以22211ln 022x x x -+-≥， 令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，则(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0H x H ≤=，又()20F x ≥，所以()20F x =，所以21x =，所以1a =， 所以，实数a 的取值集合为{1}．方法2：令2()ln ln F x ax x x a =---，则10()F F x a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭， 所以1x a =是函数()F x 的极值点，所以10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即1a =，此时，2()ln F x x x x =--，221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==， 所以()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增． 所以min ()(1)0F x F ==，符合题意， 所以，实数a 的取值集合为{1}．。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题理科模拟试卷二1

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高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题理科模拟试卷二1高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题理科模拟试卷（二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ卷(非选择题共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn(k)=Cknpk(1－p)n －k球的表面积公式S=4πR2，其中R 表示球的半径球的体积公式V=34πR3，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集I={1，3，5，7，9}，集合A={1，9，|a －5|}，IA={5，7}，则a 的值为 A.2B.8C.－2或8D.2或82.已知函数f(x)=3x －1，则它的反函数y=f －1(x)的图象是3.若点P(x,y)在曲线??+-=+=θθsin 54cos 53y x (θ为参数)上，则使x2+y2取得最大值的点P的坐标是A.(6，－8)B.(－6，8)C.(3，－4)D.(－3，4)4.复数i 215+的共轭复数为 A.－31035-iB.－i 31035+ C.1－2iD.1+2i5.下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是A.M ：a ＞bN:ac2＞bc2B.M:a ＞b,c ＞dN:a －d ＞b －cC.M:a ＞b ＞0,c ＞d ＞0 N:ac ＞bdD.M:|a －b|=|a|+|b| N:ab ≤06.已知a2=2a ·b ，b2=2a ·b ，则a 与b 的夹角为A.0°B.30°C.60°D.180°7.生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率)，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若使H6获得10 kJ 的能量，则需要H1最多提供的能量是A.104 kJB.105 kJC.106 kJD.107 kJ8.一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为A.5400°B.6480° C.7200°D.7920°9.2路公共汽车始发站，停放着两辆公共汽车，有3名司机和4名售票员，准备上车执行运营任务，每部汽车需要1名司机和2名售票员，其中1名售票员为组长，那么不同分工方法总数是A.36B.72C.144D.28810.已知F1、F2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是A.33100 B.93100 C.100(3－22)D.21a2 11.△ABC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，且a ＜b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B —AD —C.若cos θ= ba，则三棱锥A —BDC 的侧面△ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.形状与a 、b 的值有关的三角形12.数列{an}中，a1=1,Sn 是其前n 项和.当n ≥2时，an=3Sn ，则31lim1-++∞→n n n S S 的值是A.－31B.－2C.1D.－54第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.把一个函数的图象按向量a=(3,－2)平移，得到的图象的解析式为y=log2(x+3)+2，则原来的函数的解析式为___________.14.在(x2+24x －4)5的展开式中含x4项的系数是___________. 15.以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为___________.16.有下列四个命题：①若平面α的两条斜线段PA 、QB 在平面α内的射影相等，则PA 、QB 的长度相等②已知PO 是平面α的斜线，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则必有α∥β其中不正确命题的序号为___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 讨论函数f(x)= 21cos(2x －2α)+cos2α－2cos(x －α)cosxcos α的值域、周期性、奇偶性及单调性.18.(本小题满分12分)在正方体AC1中，E 、F 分别为BB1、CD 的中点. (1)求证：AD ⊥D1F ；(2)求AE 与D1F 所成角的大小；(3)求证：平面AED ⊥平面A1FD1. 19.(本小题满分12分)甲乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次抽一题.(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1.当x=－1，x=1时，取极值，且极大值比极小值大4. (1)求a,b 的值；(2)求f(x)的极大值和极小值. 21.(本小题满分12分)已知：a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a+b 与a －b 互相垂直；(2)若ka+b 与a －kb 大小相等,求β－α (其中k 为非零实数).22.(本小题满分14分)已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，数列{bn}对任意自然数n ，均有(bn+1－bn+2)log2a1+(bn+2－bn)log2a3+(bn －bn+1)log2a5=0成立，又b1=t,b7=13t(t ∈R,且t ≠0).(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设cn=11+n n b b ，若Sn 表示数列{bn}的前n 项和，Tn 表示数列{cn}的前n 项和，求nnn n b n T S ??∞→lim.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.D2.解析：根据f －1(x)的定义域及值域观察可得. 答案：D3.解析：化参数方程为普通方程后得. 答案：A4.D5.D6.解析：利用cos θ=||||b a ba ?.答案：C 7.C8.解析：运用欧拉公式及多边形的内角和公式可得. 答案：B9.C 10.B 11.C12.解析：由题意得Sn －Sn －1=3Sn, ∴211-=-n n S S ,S1=a1=1. ∴Sn=S1(－21)n －1=(－21)n －1，n n S ∞→lim =0.答案：A二、填空题(每小题4分，共16分) 13.y=log2(x+6)+4 14.－96015.(x －5)2+y2=16 16.①②③④三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：利用三角函数公式可化得 f(x)=－21cos2x.4分∴f(x)的值域为：［－21，21］;周期T=π；f(x)为偶函数.9分当x ∈［k π,k π+2π］(k ∈Z)时 ,f(x)为增函数，当x ∈［k π－2π,k π］(k ∈Z)时，f(x)为减函数.12分 18.解：(1)略4分(2)2π8分 (3)通过证明FD1⊥平面AED 得到平面AED ⊥平面A1FD1.12分19.解：(1)它是等可能性事件，基本事件总数为C 110C 19种，所述事件包含的基本事件数为C 16C 14，故所求概率为191101416C C C C =154.6分(2)可直接算也可用求其对立事件的概率来算，结果为1513.12分20.解：(1)f ′(x)=5x4+3ax2+b,因x=1时有极值，则5+3a+b=0,反代入得：f ′(x)=(x+1)(x －1)(5x2+3a+5).由题意有5x2+3a+5≠0恒成立，故3a+5＞0,a ＞－35. 故当x=－1时取极大值，x=1时取得极小值,且f(－1)－f(1)=4，再由b=－3a －5可解得a=－1,b=－2. 7分(2)f(－1)=3为极大值，f(1)=－1为极小值. 12分21.解：(1)只要证明(a+b)·(a －b)=0，而(a+b)·(a －b)=a2－b2；6分(2)由|ka+b|=|a －kb|知2kc os(β－α) =－2kcos(β－α).又k ≠0,故cos(β－α)=0，又0＜α＜β＜π，所以β－α=2π.12分22.解：(1)设{an}的公比为q(0＜q 且q ≠1). 则a3=a1q2,a5=a1q4,代入已知等式并化简得：(bn+2+bn －2bn+1)log2q=0,因为log2q ≠0，所以bn+2+bn=2bn+1，所以{bn}为等差数列. 由b1=t,b7=13t 得bn=(2n －1)t.6分 (2)由于)121121(21121+--=+n n t b b n n ，8分所以Tn=,)12()1211215131311(2122+=+--++-+-n t n n n t而Sn=21nb b +·n=n2t.10分所以232341)4(lim lim t n n t n b n T S n nn n n =-=??∞→∞→.14分高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C 3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3 5，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m mx y x y x y 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题一

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题一

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x≠1）的递增区间是（A ）x≥2 （B ）x≤0或x≥2 （C ）x≤0（D ）x≤21-或x≥23、过定点P(2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x2＋x]＝19x ＋99的实数解x 是． 2、设a1＝1，an+1＝2an ＋n2，则通项公式an ＝． 3、数799被2550除所得的余数是．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sinB ＝135，则cosC ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x2＋(a ＋)x ＋a ＝0的两根皆为整数． （2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x －2a2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且x2＋(y －7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分） 设a 、b 、c ∈R ，b≠ac ，a≠－c ，z 是复数，且z2－(a －c)z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证： （1） AK ⊥BC ；（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a1,a2,…,an 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124． 确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）． 参考答案第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 CCDABD二、填空题： ACBD QK PA BCDMNA 1D 1B 1C 1图11、38181-或381587；2、7×2n1－n2－2n －3；3、343；4、261235-；5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z} ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）． 三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A1B1C1D1，点M 、N 分别在AB1、BC1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA1⊥MN ；②A1C1∥MN ；③MN ∥平面A1B1C1D1； ④MN 与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）43、用Sn 与an 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim的值为 （A ）43（B ）45 （C ）47（D ）49 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个（B ）252个（C ）324个（D ）432个5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3（D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C依次成等差数列，且2icos2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是． 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l 的斜率为．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三OBCAD N M 图2元有序集合组(A,B,C)的个数是．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，Cp ：y2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交Cp 于原点和点Ap ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MAp 交Cp 于点Ap 和Bp ．求证：所有的点Bp 在同一条直线上． 四、（20分）对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md ． 五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z+）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-nn（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 DBDDAB二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、aab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ；4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ． 第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9． 三、1种（每空填1）．全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n|n 是整数，且22n ＋2整除n ＋}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、若多项式x2－x ＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a＋b 等于 （A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x2＋(a －3)x ＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a 的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12V V 为 （A ）21（B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）1013 6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线xcos ＋ysin ＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x2＋20x)－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、f(x)＝82x ＋xcosx ＋cos(2x)(x ∈R)的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k 整除则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a,b] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）． 四、（20分）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出an 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）． 五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x 的方程x4＋(2b －a2)x2－2ax ＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab ＋b2的取值范围． 三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a1,a2,…,ak （允许相等），必定存在相应的k 的整数x1,x2,…,xk （也允许相等），且|xi|≤2(i ＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak ．参考答案 第一试二、填空题：11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a2n ＝2n+2－2n －3；a2n+1＝3×2n+1－2n －4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(∀l ∈Z)第二试 一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)． 三、kmin ＝7．全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）第一试一、 选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aa x x a x f -+-=22是奇函数的充要条件是（A ）－1≤a ＜0或0＜a≤1 （B ）a≤－1或a≥1 （C ）a ＞0 （D ）a ＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l ：y ＝kx ．当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是 （A ）点A 在直线l 上 （B ）点B 在直线l 上 （C ）点C 在直线l 上 （C ）点A 、B 、C 均不在直线l 上 3、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l ，使l 与直线AC 和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l 可以做（A ）4条 （B ）3条（C ）2条 （D ）1条4、整数的100200C=n 两位质因数的最大值是（A ）61（B ）67（C ）83（D ）975、若正整数a 使得函数()ax x x f y 213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于 （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第个数是 （A ）3844 （B ）3943 （C ）3945 （D ）4006二、 填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt △ABC 的顶点A 、B 、C 分别对应于复数z ＋1、2z ＋1、(z ＋1)2，A 为直角顶点，且|z|＝2．设集合M ＝{m|zm ∈R ，m ∈N+}，P ＝{x|x ＝m 21，m ∈M}．则集合P 所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sinx|＋sin42x ＋|cosx|的最大值与最小值之差等于．3、关于x 的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a 的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a,b)在曲线arcsinx ＝arccosy 上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、 （20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a≤b≤c ）同时满足下列三个条件 （i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列； （iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．四、 （20分）在三棱锥DABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、 （20分）设正系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a,b,c}≥94(a ＋b ＋c)；（2） min{a,b,c}≤41(a ＋b ＋c)．第二试一、（50分）已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于D ，以CD 为直径的圆分别交BC 、CA 于点P 、Q ．求证：线段PQ 平分△ABC 的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn －xn1（n ∈N+）． 求证：数列{xn}中无完全平方数．三、（50分）有名运动员，号码依次为1，2，3，…，．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、71；2、2；3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-． 三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)． 四、222arccosac b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b≥t 94和b ＜t 94讨论）； （2）证略（提示：分a≤t 41和a ＞t 41讨论）； 第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得xn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设yn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x4－2y2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n2个平面相交． 其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f （C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A ）a+b ＞1 （B ）a+b=1 （C ）a+b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b= （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、S={1,2,…,}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A ）V4＜V1+V2+V3 （B ）V4=V1+V2+V3（C ）V4＞V1+V2+V3 （D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k 使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有个．3、在四面体PABC 中，PA=PB=a ，PC=AB=BC=CA=b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、 （20分）已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、 （20分）单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN 、B1M ． （1）求证：AN 、B1M 为异面直线； （2）求出AN 与B1M 的夹角．五、 （20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9． 第二试一、 （50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA·PB 取最小值时， （1）证明：AB≥2BC ； （2）求AQ·BQ 的值．二、 （50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++nn n a a a a a 12212,1（n≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k1,a2k)，…均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn1anxan1，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．三、 （50分）我们称A1,A2,…,An 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai 中有两个元素a 、b 满足b ＜a≤89b ． 参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l pl ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．全国高中数学联赛模拟试题（六） （命题人：秦永 苟春鹏）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，argz1=6π，则z2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+-（D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y≠0）或x=1（y≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x≠0）或x=1（y≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y≠0）或y=1（x≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x≠0）或y=1（x≠0）4、已知正实数a 、b 满足a+b=1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A ）9米 （B ）10米 （C ）12米 （D ）15米 6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、 填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x ，g(x)=52+x ，则f(x)*g(x)的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a5a3+a=2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、 （20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20分）直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P 、Q 两点，O为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=． 五、 （20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c （万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表1 各部每1万元营业额所需人数表部门 人数 百货部 5 服装部 4家电部2部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部0.2万元第二试一、 （50分）矩形ABCD 的边AD=·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．二、 （50分）若ai ∈R+（i=1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211． 三、 （50分）无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T=2,3,…）？参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 ACABCC二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④． 三、证略． 四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ； 二、证略．三、 （1）证略． （2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题（七）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条8、 已知f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若f(x)g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=（A ）x2+2x3 （B ）x2+2x3 （C ）x22x+3 （D ）x22x+39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=32π，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、 设x=0.820.5，y=sin1，z=log37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）20 12、 设(a,b)表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)=．2、设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是． 3、给定数列{xn}，x1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x1999x601=．4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB1中点，则四面体AD1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A(1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a≠b ，b≠c ，c≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2． 五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx ，满足 （i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{2,1,0,1,2}，f(x)为整数； （iii ）f(1)=1,f(5)=70．试说明，对于每个整数x ，f(x)是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C1、B1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C1K 交于点B2，直线AB 于B1K 交于点C2．若△AB2C2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9)．求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案 第一试二、填空题：1、4；2、x2+y2=4；3、0；4、245；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1． 四、证略．五、是．第二试一、60°； 二、证略． 三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②logab+logba=0； ③0＜a ＜b ＜1；④ab1=0． 其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）35、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6 （B ）2 （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++=． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M(2,1)作抛物线y2=x 的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-． 五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C(I)是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C(I)的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子． A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-． 四、证略． 五、证略．第二试一、证略； 二、证略． 三、 n=1．全国高中数学联赛模拟试题（九）（命题人：葛军）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k+1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k+3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984（D ）170093、非常数数列{ai}满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i=0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a1=an+1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2 （C ）0（D ）3i5、已知a+b+c=abc ，()()()()()()abb a ac c a bc c b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）3（C ）4（D ）46、对xi ∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x1x2…xn=n ！，使x1,x2,…,xn ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A1A2…An 内一点，点P 到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An1An 的距离为hn1，到直线AnA1的距离为hn ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a≠0．那么，对于任意的a 、，F(a,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n 个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{an}定义如下：a1=3，an=13-n a （n≥2）．试求an （n≥2）的末位数．五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1．证明：2713≤a2+b2+c2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC=NA=s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ．二、（50分）M 是平面上所有点(x,y)的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c 满足b ＜0，ab=9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m ∈N+）． 三、332． 四、7． 五、证略．第二试一、证略；二、证略． 三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）（命题人：杨建忠 审题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f ：M→N 使对任意的x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①a b-1； ②b a-1；③ab+1； ④ba+1； ⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139（D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ=PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f()=．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数2的辐角主值的取值范围是．5、设a1,a2,…,a 均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a1a2…a 的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为Sn ．（1） 用Sn 表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i ）对于任意a 、b ∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii ）当x ＞1时，f(x)＜0； （iii ）f(3)=1．现有两个集合A 、B ，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p 、q ∈R+}，集合B={(p,q)|f(q p )+21=0，p 、q ∈R+}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ=60°．二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an （n≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p·,7p·)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan；5、4002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ． 五、不存在．第二试PQ。

2021年全国高考数学临考仿真冲刺试卷(文科)(五)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)

2021年全国高考数学临考仿真冲刺试卷(文科)(五)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)

2021年全国高考数学临考仿真冲刺试卷（文科）（五）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)设集合A={y|y=2x}，B={x|y=lg(4−x)}，则A∩(∁R B)=()A. (0,4]B. (0,4)C. [4,+∞)D. (4,+∞)=i+2，则z在复平面内对应的点位2.(2021·湖北省武汉市·模拟题)若复数z满足i+zz于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.(2021·四川省泸州市·模拟题)已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为()A. ∃x<0，e x<1且sinx>1B. ∃x<0，e x≥1或sinx≤1C. ∃x≥0，e x<1或sinx>1D. ∃x≥0，e x<1且sinx>14.(2021·全国·模拟题)某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y和时间x(单位：天)在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y和时间x的回归方程的是()A. y=a+bxB. y=a+be xC. y=a+blnxD. y=a+b√x−5.(2021·陕西省西安市·模拟题)等差数列{a n}中，a1=2020，前n项和为S n，若S1212S10=−2，则S2020=()10A. 1010B. 2020C. 1011D. 20216.(2021·安徽省·模拟题)已知直线l与曲线y=x2+lnx相切，则下列直线不可能与l平行的是()A. y=3x−1B. y=7x+1C. y=√2x−1D. y=2√2x+17. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，AB =3，AC =2√2，∠BAC =45°，P 为AC 的中点，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −√33B. 0C. √36D. √338. (2021·江苏省苏州市·单元测试)已知A(−1,0)，B(0,2)，直线l ：2x −2ay +3+a =0上存在点P ，满足|PA|+|PB|=√5，则l 的倾斜角的取值范围是( )A. [π3,2π3]B. [0,π3]∪[2π3,π)C. [π4,3π4]D. (0,π4]∪[3π4,π)9. (2021·天津市市辖区·模拟题)已知f(x)=sin(ωx +φ+π3)同时满足下列三个条件：①|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值为π2； ②y =f(x −π3)是奇函数；③f(0)>f(π6).若f(x)在[0,t)上没有最大值，则实数t 的范围是( )A. (0,π6]B. (0,116π]C. (π6,1112π]D. (5π6,1112π]10. (2021·安徽省·模拟题)若函数f(x)=lnx −x 2+ax 在x ∈[1e ,e]上有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A. (1,e −1e )B. (1,e +1e )C. (1,e −1e ]D. (1,e +1e ]11. (2021·天津市市辖区·模拟题)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于( )A.81π8B.81π2C.121π8D.121π212. (2020·安徽省阜阳市·月考试卷)科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线．若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)A. 16B. 17C. 24D. 25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·河南省洛阳市·模拟题)某校高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 ． 14. (2021·安徽省淮南市·模拟题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知acosB +bcosA =2ccosC ，sinA =4sinB ，c =√13.则△ABC 的面积为______ ． 15. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=lg(9x 2+1)+x 2−1，则不等式f(log 3x)+f(log 31x )≤2的解集为______ ． 16. (2021·全国·模拟题)设F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，若E 上存在点A ，使得∠F 1AF 2=120°，且|OA|=b ，则此双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)已知数列{a n }满足：a 1=12，数列{1a n}的前n 项和S n =3n 2+n2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n =a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. (2021·全国·模拟题)为进一步提倡餐饮节约、制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约、反对铺张浪费、倡导光盘行动.某酒店推出半份菜、“N −1”点菜法、光盘就赠礼、免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费，该酒店记录了采取措施前40天的日浪费食品量和采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表，如表所示：采取措施前40天的日浪费食品量的频数分布表采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表(1)将下面的2×2列联表补充完整．并回答：在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关？(2)估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4kg的概率；(3)估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省多少食品？(一年按365天计算，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. (2021·全国·模拟题)如图，已知四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，O ，M 分别是CD ，PC 的中点，PO ⊥底面ABCD ，且PO =OD =DA =AB =BC ． (1)证明：PA//平面OBM ；(2)若PO =2，求三棱锥M −PAB 的体积．20. (2021·陕西省西安市·模拟题)已知抛物线y 2=4x ，焦点为F ．(1)若圆心在抛物线y 2=4x 上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x +1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2)若过F 点的直线与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线MN 的斜率．21. (2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=−43x 3+(a +1)x 2−ax ．(Ⅰ)若f(x)在(2,+∞)上有极值，求a 的取值范围；(Ⅱ)求证：当−1<a <2时，过点P(0,−1)只有一条直线与f(x)的图象相切．22.(2021·黑龙江省齐齐哈尔市·模拟题)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ+2cosθ−3ρ=0，曲线C2的极坐标方程为)=√2．ρsin(θ+π4(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设过点M(−2,1)且与曲线C2平行的直线交曲线C1于A，B两点，求|MA||MB|的值．23.(2021·内蒙古自治区包头市·模拟题)已知x，y，z∈R，且x+y+z=3．(1)求x2+y2+z2的最小值；(2)证明：(x−1)(y−1)+(y−1)(z−1)+(x−1)(z−1)≤0．答案和解析1.【答案】C【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】解：∵集合A={y|y=2x}=(0,+∞)，B={x|y=lg(4−x)}=(−∞,4)，∴∁R B=[4,+∞)，∴A∩(∁R B)={x|x≥4}=[4,+∞)．故选：C．求出集合A，B，得到∁R B，进而求出A∩(∁R B)．本题考查交集、补集的计算和不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【知识点】复数的代数表示及其几何意义【解析】解：因为i+zz=i+2，则z+i=zi+2z所以z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i+12，对应的点在第一象限．故选：A．先进行复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义即可求解．本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义，属于中档题．3.【答案】D【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解：命题为全称命题，则命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为：∃x≥0，e x<1且sinx>1，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】B【知识点】回归直线方程【解析】解：由图可知，图象随着x的增大而增高，且增长速度越来越快，结合选项，可判断y=a+be x最适宜作为感染人数y和时间x的回归方程．故选：B．由图象结合四个选项中函数的单调性即可得结论．本题考查回归方程的求法，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】B【知识点】等差数列的性质【解析】解：等差数列{a n}中，a1=2020，前n项和为S n，所以{S nn}也是等差数列，可设公差为d，则首项为S11=a1=2020，由S1212−S1010=2d=−2，解得d=−1，所以S20202020=2020+2019×(−1)=1，所以S2020=2020．故选：B．根据等差数列的性质得出{S nn }也是等差数列，求出公差d和首项S11，写出通项公式，计算S20202020和S2020的值．本题考查了等差数列的定义与前n项和性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【知识点】导数的几何意义【解析】解：曲线y=x2+lnx，可知函数的定义域{x|x>0}，y′=2x+1x ≥2√2，当且仅当x=√22时，取等号，即直线l的斜率k≥2√2，故直线y=√2x−1不可能与l平行，故选：C．求出函数的定义域，求解函数的导数，利用基本不等式判断导函数的值域，即可判断切线的斜率的范围，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，基本不等式的应用，是基础题．7.【答案】B【知识点】向量的数量积【解析】解：由题易知BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=76AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=76×3×2√2×√22−3−4=0， 故选：B ．画出图形，利用已知条件，表示所求数量积的向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】D【知识点】直线的倾斜角与斜率【解析】解：将点A ，B 代入直线l 的方程，可知点A ，B 均不在直线l 上， 设P(x,y)，则x =ay −3+a 2，又|AB|=√12+22=√5，且|PA|+|PB|=√5，所以点P 的轨迹为线段AB ，因为线段AB 的方程为y −2=2−00−(−1)⋅(x −0)，即y =2x +2，x ∈[−1,0]， 联立方程组{y =2x +22x −2ay +3+a =0−1≤x ≤0，解得a =2x+32y−1=2x+34x+3，直线l 的斜率为k =1a =4x+32x+3，设l 的倾斜角为α，则tanα=4x+32x+3=2−32x+3，因为−1≤x ≤0，所以−1≤2−32x+3≤1，即−1≤tanα≤1，α∈(0,π)， 解得α∈(0,π4]∪[3π4,π)． 故选：D ．先判断A ，B 均不在直线l 上，设P(x,y)，利用|AB|=√12+22=√5，且|PA|+|PB|=√5，得到点P 的轨迹为线段AB ，求出线段AB 的方程，联立方程组，求出a 的表达式，然后利用x 的取值范围求出直线l 斜率的范围，结合倾斜角与正切函数的关系，求解即可． 本题考查了直线倾斜角的求解，主要考查了直线斜率与倾斜角之间关系的应用，考查了动点轨迹方程的求解，综合性较强，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．9.【答案】A【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：已知f(x)=sin(ωx +φ+π3)同时满足下列三个条件：①|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值为π2；所以函数的最小正周期为π，所以T =π=2πω，解得ω=2．②y =f(x −π3)是奇函数；所以f(x)=sin(2x −2π3+φ+π3)满足−π3+φ=kπ，整理得φ=kπ+π3(k ∈Z)，所以当k =0时φ=π3.所以f(x)=sin(2x +2π3).③f(0)>f(π6).即sin 2π3>sinπ，对于选项B 、C 、D 都有最大值的出现，故A 正确．故选：A ．首先利用题中的条件求出函数的关系式，进一步利用函数在某一区间上存在的最大值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】解：由题意得，lnx −x 2+ax =0在x ∈[1e ,e]上有两解， 即a =x −lnx xx ∈[1e ,e]上有两解，令ℎ(x)=x −lnx x，所以ℎ′(x)=1−1x⋅x−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，令φ(x)=x 2+lnx −1， 所以φ′(x)=2x +1x=2x 2+1x>0，所以φ(x)在x ∈[1e ,e]上单调递增，且φ(1)=0， 所以当x ∈[1e ,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 当x ∈(1,e]时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(1)=1，又ℎ(1e )=1e −ln1e1e =1e +e ，ℎ(e)=e −lne e=e −1e ，所以ℎ(1e )>ℎ(e)，∴a ∈(1,e −1e],故选：C ．问题可转化为a =x −lnx xx ∈[1e ,e]上有两解，令ℎ(x)=x −lnx x，求导，分析单调性，求出ℎ(x)在x ∈[1e ,e]上的值域，进而可得答案．本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．11.【答案】A【知识点】球的表面积和体积【解析】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的面积为3π，母线长为3，设圆锥底面半径为r ， 则πr ×3=3π，得r =1，∴圆锥的高为：ℎ=√32−12=2√2，再设圆锥外接球的半径为R ，可得R 2=(2√2−R)2+12， 解得R =94√2，∴球O 的表面积为4π×(94√2)2=818π．故选：A ．利用已知条件求出圆锥的底面半径，进一步求得圆锥的高，利用勾股定理求解球的半径，即可求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查学生逻辑思维能力以及直观想象的数学素养，是中档题．12.【答案】B【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：记初始的线段长度为a ，“一次构造”后折线的长度为43a ，“二次构造”后折线的长度为(43)2a ，…“n 次构造”后折线的长度为(43)n a ，要使在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的1000倍，应满足(43)n a >100a ， 即(43)n >100，两边取对数可得n(lg4−lg3)>lg100=2，∴n>22lg2−lg3=22×0.3010−0.4771≈16.01，∴至少需要构造的次数是17，故选：B．根据题意，要使在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的1000倍，应满足(43)n a>100a，解得即可．本题考查了对数的运算和估算，属于基础题．13.【答案】78【知识点】分层随机抽样【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键，属于中档题．根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480=1290，解得x=390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为96480×390=78．故答案为：78．14.【答案】√3【知识点】正弦定理【解析】解：∵bcosA+acosB=2ccosC，①由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，化简，得sin(A+B)=2sinCcosC．又sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，∴sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=12，∴C=π3，∴sinC=√32，将②代入sinA=4sinB得：a=4b，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，把a=4b代入得：c2=16b2+b2−4b2=13b2，∴c=√13b，即b=1，a=4，∴S△ABC=12absinC=12×4×√32=√3，故答案为：√3．利用正弦定理化简acosB+bcosA=2ccosC，并根据三角形的内角和定理及诱导公式变形，根据sin C不为0，得到cos C的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值可得C的度数，再利用正弦定理化简sinA=4sinB，得到a=4b，利用余弦定理得c2= a2+b2−2abcosC，把a=4b及cos C的值代入，求得a，b，利用三角形的面积公式S=12absinC，求得三角形面积．此题考查了正弦、余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．15.【答案】[13,3]【知识点】函数的奇偶性【解析】解：函数f(x)的定义域为R，f(−x)=lg[9(−x)2+1]+(−x)2−1=lg(9x2+1)+x2−1=f(x)，该函数为偶函数，由于函数u=9x2+1，y=x2−1，在x≥0时单调递增，而y=lgu在u≥1时单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)在x≥0时单调递增，∵log31x=l−og3x，f(1)=1，则由f(log3x)+f(log31x)≤2得2f(log3x)≤2f(1)，即f(|log3x|)≤f(1)，所以|log3x|≤1，得−1≤|log3x≤1，解得13≤x≤3．因此，不等式的解集为[13,3]， 故答案为：[13,3]．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】√102【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如下图所示：不妨设A 为第一象限内的点，因为在△F 1AF 2中，由余弦定理可知|AF 1|2+|AF 2|2+2|AF 1||AF 2|=|F 1F 2|2=4c 2， 又因为AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 所以|AF 1|2+|AF 2|2−|AF 1||AF 2|=|F 1F 2|2=4b 2， 所以2|AF 1||AF 2|=4c 2−4b 2=4a 2， 又因为|AF 1|−|AF 2|=2a ，所以|AF 1|2+|AF 2|2+|AF 1||AF 2|=(|AF 1|−|AF 2|)2+3|AF 1||AF 2|=10a 2， 所以10a 2=4c 2，所以c 2a 2=52，所以e =√102， 故答案为：√102．画出图形，利用余弦定理，结合AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合双曲线定义，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)当n ≥2时，S n−1=3(n−1)2+(n−1)2=3n2−5n+22，则1a n=S n −S n−1=3n 2+n 2−3n 2−5n+22=3n −1．又当n =1时，1a 1=2满足上式，所以1a n=3n −1，则a n =13n−1．(2)又(1)可知b n=a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=13(12−15+15−18+18−111+⋯+13n−4−13n−1+1 3n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n6n+4．所以数列{b n}的前n项和T n=n6n+4．【知识点】数列求和方法【解析】(1)根据题意，可得当n≥2时，有1a n =S n−S n−1，再验证1a1的值是否满足即可得出{1an}的通项，进一步可得出数列{a n}的通项公式．(2)根据(1)可知b n=a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，故用裂项求和法即可求出数列{b n}的前n项和T n．本题主要考查数列通项与其前n项和的关系、考查裂项求和法，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于基础题．18.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下：因为K2=80×(23×3−37×17)260×20×40×40=19615≈13.067>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关．(2)由题可知，采取措施后40天的日浪费食品量小于4kg的频率12+15+6+240=78，所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4kg的概率78．(3)该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为：140×(0.5×1+1.5×2+ 2.5×2+3.5×4+4.5×14+5.5×14+6.5×2+7.5×1)=4.575(kg)，该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为：140×(0.5×12+1.5×15+ 2.5×6+3.5×2+4.5×2+5.5×1+6.5×1+7.5×1)=1.975(kg)，因为(4.575−1.975)×365=949(kg)，所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节949kg食品．【知识点】独立性检验【解析】(1)根据题中信息，完善2×2的列联表，并计算出K2的值，结合临界值表，可以得出结论；(2)利用频率估计概率即可；(3)计算采取措施前的40天和采取措施后的40天日浪费食品量的平均数的差，再乘以365即可．本题主要考查独立性检验的步骤以及根据频率分布表来求平均值，属于基础题．19.【答案】(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，O是CD的中点，M是PC的中点，所以OM是△CPD的中位线，即OM//PD，又PD⊂平面PAD，OM⊄平面PAD，所以OM//平面PAD，因为AB//CD且AB=12CD=DO，所以四边形ABCD是平行四边形，有OB//AD，因为AD⊂平面PAD，OB⊄平面PAD，所以OB//平面PAD，而OM∩OB=O，所以平面OBM//平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以PA//平面OBM．(2)解：连接MA，AC，如图所示：由AB=BC=CO=OB=2，所以△ABC的面积为S△ABC=12×2×2×sin60°=√3，又PO=2，所以三棱锥P−ABC的体积为V P−ABC=13×S△ABC×2=13×√3×2=2√33，三棱锥M−ABC的体积为V M−ABC=13×S△ABC×1=√33，所以三棱锥M−PAB的体积为V M−PAB=V P−ABC−V M−ABC=2√33−√33=√33．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、线面平行的判定【解析】(1)利用中位线定理证明OM//PD ，得出OM//平面PAD ，再证明四边形ABCD 是平行四边形，得出OB//AD ，证明OB//平面PAD ，得出平面OBM//平面PAD ，即可证明PA//平面OBM ．(2)连接MA ，AC ，求出△ABC 的面积和三棱锥P −ABC 的体积和三棱锥M −ABC 的体积，从而求出三棱锥M −PAB 的体积．本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了三棱锥体积计算问题，考查了推理与运算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1，由于动圆的圆心在抛物线y 2=4x 上，大小随位置而变化，总是与准线x +1=0相切， 由抛物线的定义可得，所有的圆都经过定点(1,0)，即焦点F ； (2)设M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，(y 1>0,y 2<0)，直线MN 的方程为y =k(x −1)，与抛物线y 2=4x 联立，消去x ，可得ky 2−4y −4k =0， 可得y 1+y 2=4，y 1y 2=−4k ，① 又FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−4y 2，② 由①②可得y 1=163，y 2=−43，k =±43．【知识点】直线与抛物线的位置关系【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和直线与圆相切的条件，可得定点坐标；(2)设直线MN 的方程为y =k(x −1)，与抛物线y 2=4x 联立，消去x ，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得所求直线的斜率．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)由题意得，f′(x)=−4x 2+2(a +1)x −a =−(2x −1)(2x −a)，由f′(x)=0，得x 1=12，x 2=a2， 因为f(x)在(2,+∞)上有极值， 所以a2>2，解得a >4， 即a 的取值范围是(4,+∞)．(II)证明：设过点P(0,−1)的直线与f(x)的图象切于点(t,−43t 3+(a +1)t 2−at)，则切线斜率 k =f′(t)=−4t 2+2(a +1)t −a =−43t 3+(a+1)t 2−at+1t−0，即83t 3−(a +1)t 2+1=0，因为过点P(0,−1)只有一条直线与f(x)的图象相切， 所以关于t 的方程83t 3−(a +1)t 2+1=0只有1个实根， 设g(t)=83t 3−(a +1)t 2+1，则g′(t)=8t 2−2(a +1)t 由g′(t)=0得，t 1=0,t 2=a+14>0，所以g(t)在(−∞,0)，(a+14,+∞)上单调递增，在(0,a+14)上单调递减， 因为g(0)=1>0，g(a+14)=83(a+14)3−(a +1)(a+14)2+1=−148(a +1)3+1，因为−1<a <2，所以−148(a +1)3+1>0，即g(a+14)>0，所以t >0时，g(t)>0，g(−1)=−83−(a +1)+1=−83−q <−53<0， 且g(t)在(−∞,0)上单调递增所以方程g(t)=0在(−∞,0)上有唯一的实数根t 0∈(−1,0)即当−1<a <2时，过点P(0,−1)只有一条直线与f(x)的图象相切．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求导，令f′(x)=0，解得x 1，x 2，由f(x)在(2,+∞)上有极值，则a2>2，解得a ，即可得出答案．(Ⅱ)设过点P(0,−1)的直线与f(x)的图象切于点(t,−43t 3+(a +1)t 2−at)，由导数的几何意义可得k =f′(t)，推出83t 3−(a +1)t 2+1=0 只有1个实根，设g(t)=83t 3−(a +1)t 2+1，求导分析g(t)的单调性，g(t)的零点，即可得出答案．本题考查导数综合应用，参数的取值范围，解题中需要理清思路，属于中档题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ+2cosθ−3ρ=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x −3=0．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转化为直角坐标方程为x +y −2=0．(2)设过点M(−2,1)且与曲线C 2平行的直线的参数方程为{x =−2−√22ty =1+√22t(t 为参数)，代入x 2+y 2+2x −3=0， 得到t 2+2√2t −2=0， 所以|MA||MB|=|t 1t 2|=2．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)∵2(x 2+y 2+z 2)=x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+x 2≥2xy +2yz +2zx ， ∴x 2+y 2+z 2≥xy +yz +zx ，(x +y +z)2=x 2+y 2+z 2+2xy +2yz +2zx ≤3(x 2+y 2+z 2)， ∴x 2+y 2+z 2≥(x+y+z)23=3，当且仅当“x =y =z =1”时取等号，∴x 2+y 2+z 2的最小值为3；(2)证明：记x −1=a ，y −1=b ，z −1=c ，则a +b +c =0， ∵(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3ab +2bc +3ca ， ∴ab +bc +ca ≤(a+b+c)23=0，当且仅当a =b =c =0，即x =y =z =1时取等号，即得证．【知识点】证明不等式的基本方法【解析】(1)利用基本不等式可得x 2+y 2+z 2≥(x+y+z)23=3，由此求得答案；(2)令x −1=a ，y −1=b ，z −1=c ，则a +b +c =0，利用基本不等式可得ab +bc +ca ≤(a+b+c)23=0，即可得证．本题考查不等式的证明，主要涉及了基本不等式的运用，考查化简运算求解能力，属于中档题．。

高三数学模拟试卷(文科)

高三数学模拟试卷(文科)

知识改变命运高三数学模拟试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a的取值范围是（ ）（A ）}43|{≤<a a （B ）}43|{≤≤a a （C ）}43|{<<a a （D ）Φ 2.使不等式|x +1|＜2x 成立的充分不必要条件是 A.－31＜x ＜1 B.x ＞－31 C.x ＞1D.x ＞33.函数y =(cos x －3sin x )(sin x －3cos x )的最小正周期为 A.4πB.2πC.πD.2π 4. 与双曲线92x －162y ＝１有相同离心率的曲线方程可以是A. 92x +162y ＝１B. 92x －162y ＝１C. 162y －92x ＝１D. 162y +92x ＝１5.已知f(x )=xx++11,a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是A.f (2b a +)＞f (ab )＞f (b a ab+2) B.f (2b a +)＞f (ba ab+2)＞f (ab ) C.f (b a ab +2)＞f (ab )＞f (2b a +)D.f (ab )＞f (b a ab +2)＞f (2ba +)6.下列四个函数：y =tg2x ,y =cos2x ,y =sin4x ,y =ctg(x +4π)，其中以点(4π，0)为中心对称点的三角函数有A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图，在正方体ABCD —A １Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF 是异面直线AC 与A １Ｄ的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与知识改变命运EF 平行的直线 A.有且仅有一条 B.有二条 C.有四条 D.不存在 8.在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个侧面积最大的内接圆柱，则内接圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值是 A.1∶2B.1∶22C.1∶2D.1∶429.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 10.若函数f (x )=a x－1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x )=log a11x 的图象是11.三角形中，三边a 、b 、c 所对应的三个内角分别是A 、B 、C ，若lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线x sin ２A +y sin A =a 与直线x sin ２B +y sinC ＝c 的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 12.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是 A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 D.无法确定二、填空题（共16分）13.若(x ２－x1)n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x +2x ２)n ＝a ０+a １x +a ２x ２+…+a 2n x 2n ，则a １+a ２＋a ３+…+a 2n ＝______.14.已知奇函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，且f (2)=0，则不等式(x －1)·f (x )＜0的解集是______.15.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：(1)不是常数列；(2) a n ＝a 1，则此数列的知识改变命运一个通项公式可以是______.16. 若过点（)2,m 总可以作两条直线和圆（4)2()122=-++y x 相切，则实数m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分） 设复数z 满足|2z +5|=|z +10|.(Ⅰ）求|z |的值；（Ⅱ）若z i )21(-在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .18. （12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，各棱长都等于a, E 是BB 1的中点 . （Ⅰ）求直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值；（Ⅱ）求证：平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1.19.（12分）已知椭圆12+m x +my 2＝１(1≤m ≤4)，过其左焦点F １且倾斜角 为3π的直线与椭圆及其准线分别交于A 、B 、C 、D (如图)，记f (m )=||AB |－|CD ||(Ⅰ)求f (m )的解析式；(Ⅱ)求f (m )的最大值和最小值.20.（12分）某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且C 1B知识改变命运f (n )=f (m )(1+20mn -)(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?21.（12分）设函数f (x )=222+x x ，数列｛a n｝满足：a １＝3f (1),a n +1＝)(1n a f (Ⅰ)求证：对一切自然数n ，都有2＜a n ＜2+1成立； (Ⅱ)问数列｛a n ｝中是否存在最大项或最小项?并说明理由.22.（14分）已知函数f (x )=a x -－x (Ⅰ)当a =－1时，求f (x )的最值;(Ⅱ)求不等式f (x )＞0的解.文科模拟考参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.D 11.D 12.A 二、13.255 14.(－2,0)∪(1,2) 15.21nn - 16.），（），（∞+-∞-13 三、17.解：设z=x+yi (x ,y ∈R)，则……1分 （Ⅰ）(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y 2 (4分)得到x 2+y 2=25 .∴|z|=5 . ( 6分)（Ⅱ）(1－2i)z=(1－2i)(x+yi)=(x+2y)+(y －2x)I 依题意，得x+2y=y －2x∴y=－3x . ① (9分) 由（Ⅰ）知x 2+y 2=25 . ②由①②得.210321021032102103210;2103,210i z i z y x y x +-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==或或 (12分)知识改变命运18.解：（Ⅰ）取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，BM . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴C 1M ⊥A 1B 1 C 1M ⊥BB 1 . ∴C 1M ⊥A 1ABB 1 . ∴∠C 1BM 为直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成的角 （ 4分）在Rt △BMC 1中，C 1M=23a , BC 1= 2a ,∴sin ∠C 1BM=.4611=BC M C （ 6分） （Ⅱ）取A 1C 1的中点D 1，AC 1的中点F ，连结B 1D 1，EF ，D 1F . 则有D 1F ∥21AA 1 ，B 1E ∥21AA 1. ∴D 1F ∥B 1E . 则四边形D 1FEB 1是平行四边形， ∴EF ∥B 1D 1 （ 8分） 由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴B 1D 1⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1于A 1C 1，且B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1，∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1 （ 10分）∴EF ⊥平面ACC 1A 1 . ∵EF ⊂平面AEC 1，则平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1. （12分） 19.解：(Ⅰ)设A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为x １,x ２，x ３,x ４，则|AB |＝２（x ２－x 1） |CD |＝2(x ４－x ３)∴f (m )=2|x ２＋x ３| (2分)将直线y =3 (x +1)代入12+m x +my 2＝１中(3+4m )x ２+6(m +1)x +(m －1)(3－m )=0 (6分) ∴f (m )＝2|x １＋x ２|＝mm 43)1(12++ (1≤m ≤4) (8分)(Ⅱ)∵f (m )=3+m433+在［1,4］上是减函数C 1B知识改变命运∴f (m )max ＝f (1)＝724；f (m )min =f (4)=1960 (12分) 20.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x 1280(2分)由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) (6分) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立 (10分)故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (12分)21.( Ⅰ)证明：a １＝3f (1)=2，a n +1＝)(1n a f ＝nn a a 222+ (2分)①当n =1时，a １∈(2，2+1)，不等式成立 (3分) ②假设n =k 时，不等式成立，即2＜a k ＜2+1，则0＜a k －2＜1a k +1－2＝k k a a 222+－2＝kk a a 2)2(2-∵0＜(a k －2)２＜1，2a k ＞22＞0∴0＜a k +1－2＜221＜1，∴当n ＝k +1时，不等式也成立由①②可知，2＜a n ＜2+1 对一切自然数n 都成立 (8分)(Ⅱ)解：∵a n ＞2，∴a n +1－a n ＝nna a 222-＞0∴｛a n ｝是递增数列，即｛a n ｝中a １最小，没有最大项 (12分) 22.解：(Ⅰ)f (x )＝1+x －x ＝－(1+x －21)２＋43(x ≥－1)∴f (x )最大值为43(4分) x －a ≥0x -a ≥0 x ＜0知识改变命运当a ≥0时，②无解，当a ＜0时，②的解为a ≤x ＜0(8分)x ≥0２－x +a ＜0， 当Δ＝1－4a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时，x ２－x +a ＜0解为2411a--＜x ＜2411a-+ 故a ≥0时①的解为2411a --＜x ＜2411a-+； 当a ＜0时①的解为0≤x ＜2411a-+ (12分) 综上所述，a ≥41时，原不等式无解；当0≤a ＜41时，原不等式解为2411a --＜x ＜2411a -+，当a ＜0时，a ≤x ＜2411a -+ (14分)。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合A =（）A ．{}1,3,5,8-B ．{}3,0,2,6-C ．{}4,8,10,13D ．{}7,10,12,16【正确答案】B【分析】不妨设1234a a a a <<<，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，即可得解.【详解】不妨设1234a a a a <<<，则A 的所有三元子集为{}{}{}{}123124134234,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得12343026a a a a =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，因此集合{}3,0,2,6A =-.故选：B.2．已知ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量的模化简不等式，得出AD 和AC 的关系，即可得出ABC 的形状.【详解】由题意，在ABC 中，令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D.∵对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，∴22222BA tBA BC t BC AC -⋅+≥ ，令2BA BC t BC⋅= ，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥ ，即222sin BA AC α≥ ，也即sin BA AC α≥ .从而有AD AC ≥ .∴π2ACB ∠=.∴ABC 为直角三角形，故选：D.3．过双曲线2212y x -=的左焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，则λ=（）A ．2B ．3C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称，即可得到答案.【详解】左支内最短的焦点弦224b a==，又22a =，所以与左、右两支相交的焦点弦长22a ≥=，因为实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称.如图所示：所以当4λ=时，有3条直线满足题意.故选：C4．设a ，b 为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则log a b =（）A B ．12C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】首先由()()234a b ab -=得出()()2344a b ab ab +=+，由11a b+≤22()8()a b ab +≤，代入得出12ab ab +≤，而12ab ab +≥，即12ab ab+=，由基本不等式等号成立条件得出1ab =，即可得出答案．【详解】因为()()234a b ab -=，所以()()()223444a b ab a b ab ab+=+-=+，又因为11a b +≤所以a bab+≤，所以22()8()a b ab +≤，所以()328(4)4a a b b b a +≤，即12ab ab+≤，又12ab ab ≥=+，当且仅当1ab =时，等号成立，所以12ab ab+=，此时1ab =，所以1log log 1a a b a==-，故选：D ．5．已知()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θ∈π，则θ的取值范围是（）A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π5π,44⎛⎫ ⎝⎭C ．3π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-转化为353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，利用增函数性质可得()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，故而sin cos θθ>，进而得出答案即可.【详解】不等式()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，又()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，所以sin cos θθ>，故()5π2π2πZ 44πk k k θ+<<+∈.因为[)0,2θ∈π，所以θ的取值范围是π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 6．已知200200Cnnn n a -=⋅⋅（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】C【分析】整理n a 得200400536200C 32n nn n a --=⋅⋅，当80n ≤时，只要2003n -，40056n-均为整数即可，但当80n >，400562n -会出现小数，应考虑200C n中因子2的个数问题.【详解】因为20020020020033322200200200C C 62C32nnn n nn nnn n n a ------=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅200400536200C32n n n--=⋅⋅，要使()195n a n ≤≤为整数，必有2003n -，40056n-均为整数，当2n =，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，2003n -和40056n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个.当86n =时，8638586200C 32a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=中，200!中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为197821105--=，故86a 是整数.当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197881054--=，故92a 不是整数.因此，整数项的个数为14115+=.故选：C.7．在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为A ．⎡⎣B ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎭D ．【正确答案】C【详解】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0E ，1，1)2，1(2G ，0，1)，(F x ，0，0)，(0D ，y ，0)由于GD EF ⊥，所以210x y +-=，(0,1)x ∈，11(0,)22x y -+=∈，DF =当25y =时，线段DF 当0y =时，线段DF 长度的最大值是1而不包括端点，故1y =不能取；故选C ．8．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()()339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B二、多选题9．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据()1,2,,i x i m = 的平均数为x ，方差为2x s ；第二部分样本数据()1,2,,i y i n = 的平均数为y ，方差为2y s ，设22,x y x y s s ≤≤，则以下命题正确的是（）A ．设总样本的平均数为z ，则x z y ≤≤B ．设总样本的平均数为z ，则2z x y≥⋅C ．设总样本的方差为2s ，则222x ys s s ≤≤D ．若,m n x y ==，则2222x ys s s +=【正确答案】AD【分析】对于A 选项，因为x y ≤，由x y m nz m n m n=+++放缩可得x z y ≤≤；对于B 选项，举例说明B 不正确；对于C 选项，举例说明C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，代入总体方差计算公式，可得2222x ys s s +=.【详解】对于A 选项，因为x y ≤，所以y m n m nz nx m n m y y y m n n m =+≤+=++++x m n m nz nx m n m y x x m n n m =+≥+=++++，即x z y ≤≤，A 正确；对于B 选项，取第一部分数据为1,1,1,1,1，则1x =，20x s =，取第二部分数据为3,9-，则3y =，236y s =，则2252121(13)37749x y z =⨯+⨯<=⋅=，B 不正确；对于C 选项，取第一部分数据为2,1,0,1,2--，则0x =，22x s =，取第二部分数据为1,2,3,4,5，则3y =，22y s =，则5530310102m z y m n n m n x ==⨯+⨯+=++，222222595917(2(2)21041()()044y x y m n s x z y z s s s m n m n ⎡⎤⎡⎤=+=+++=>=⎣-⎦⎣⎦++-++，C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，则z x y ==22222222(()x y x y s s m n s y s s z m n m n x z +⎡⎤⎡⎤=+++-+-=⎣⎦⎣⎦+，D 正确.故选：AD.10．如图，ABCD A B C D -''''为正方体.任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值【正确答案】BC【分析】作出辅助线，得到平面α，从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定值.【详解】将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '-''后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，在A B ''上取一点E '，作//B D E T '''，//A E S B ''，再作//TM A D '，//MR CD '，//QS B C '，则六边形E TMRQS '即为平面α，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11E E A A =''，故l 为定值.当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 22，故S 不为定值.故选：BC11．已知函数()()lg 1f x x =+，实数a ，()b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则（）A ．12+=+a bB ．()()121a b ++=C ．25a =-D ．1b =-【正确答案】BC【分析】根据题目给出的等式()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，代入函数解析式得到a 、b 的关系，从而判断出()10621f a b ++的符号，再把()106214lg2f a b ++=，转化为含有一个字母的式子即可求解．【详解】∵()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴()()11lg 1lg 1lg lg 222b a b b b +⎛⎫⎛⎫+=-+==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴12+=+a b 或()()121a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴()()121a b ++=，故A 不正确，B 正确；又由()()lg 1f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+.所以()()()()10106211101626212a b a b b b +++=+++=++>+.从而()()()101010621lg 62lg 6222f a b b b b b ⎡⎤⎡⎤++=++=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.又()106214lg2f a b ++=，所以()10lg 624lg22b b ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，故()1062162b b ++=+.解得13b =-或1b =-（舍去）.把13b =-代入()()121a b ++=解得25a =-.所以25a =-，13b =-，故C 正确，D 不正确.故选：BC.12．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是（）A ．数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+B ．若数列42n y n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则222(1)n n nT n +=+C ．当*n ∈N时，2462n x x x x ⋅⋅⋅⋅< D ．当*n ∈N 时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y -->+【正确答案】ABC【分析】设直线:(1)n n l y k x =+，方程联立由Δ0=，可得1n n x n =+，1n n n y n =+，从而可判断A ，B ；由2244441n n n n +<++，得221nn <+C ；举例即可判断D ，如4n =.【详解】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由Δ0=，即()()222222410n n n k n k k ∆=--+=，得n k =所以可得211n n n n k n x k n -==++，()11n n n y k x n =+=+，故A 正确；()()()()22244222221111111nn n nn y n n n n n n +===-++++，所以()()2222222221111111112(1)22311n n nT n n n n =-+-++-=-++=++ ，故B 正确；对于C ，由1n nx n =+，得2221n n x n =+，因为2244441n n n n +<++，所以()()222221n n n +<+，所以()2212221nn n <++，所以()()222222121n n n n n n <=+++，所以221nn <+则24622423521n x x x x n n ⋅=⨯⨯⨯<⋅⋅⋅=+= 故C 正确；对于D，1n n nx n y =，因为*n ∈N ，所以213n +≥≥，所以03<≤，令()2ln ln n n n n n n x y x y x y ---+，即21ln 1n n n n nnx y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+，令()()214ln ln 2,113x g x x x x x x ⎛-=-=+-∈ ++⎝⎦，则()()()()2221140,0,311x g x x x x x x ⎛-'=-=>∈ ++⎝⎦，所以函数()g x在⎛ ⎝⎦上单调递增，由114ln 21013313g ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭+，得44444421ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以当4n =时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y --<+，故D 错误.故选：ABC.关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由Δ0=，得出1n n x n =+，211n n n y n =+，证明得到212n n -<比较2452n x x x x ⋅⋅⋅⋅.三、填空题13．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒.则点C 的坐标为______.【正确答案】()1,2-或()9,6-【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()2,2C t t 由2210,4,x y y x --=⎧⎨=⎩得2840y y --=.则12128,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩①又1121x y =+，2221x y =+，则121218,1.x x x x +=⎧⎨=⎩②因为90ACB ∠=︒，所以，0CA CB ⋅= .故()()()()221212220t x t x t y t y --+--=.将方程组①、②代入上式并整理得42141630t t t ---=()()()213410t t t t ⇒++--=.显然，2410t t --≠.否则，22210t t -⨯-=.于是，点C 在直线210x y --=上，即点C 与A 或B 重合.所以，11t =-，23t =-.故所求点()1,2C -或()9,6C -.故答案为()1,2-或()9,6-14．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________【正确答案】200822007+由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅，+4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632xf x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅，故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+L 2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+L 1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为.200822007+本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题.15．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【正确答案】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(26))4a a =--3263a =-又46a =124363183PAB P EFS S ∆∆-=-=由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．16．如图，在78⨯的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出______个棋子才可能满足要求.【正确答案】11【分析】通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然后构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠，最后得到答案.【详解】如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(),i j .第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在()1,4、()1,5、()2,4、()2,5这些方格.同理()6,4、()6,5、()7,4、()75,这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()5,1、()5,2、()5,3所在区域，同理()3,6、()3,7、()3,8、()4,6、()4,7、()4,8、()5,6、()5,7、()5,8所在区域内至少取出3个棋子.这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.关键点睛：本题的关键是通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然偶利用图形分析出取出固定标号的棋子，则无法五子连珠.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列.(1)若3cos 5B =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长；(2)求sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围.【正确答案】(2)1122⎫-+⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得b =再利用余弦定理与完全平方公式求得a c +，从而得解；（2）结合题意，先化简所求得求公式q 的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q 的不等式组，从而得解.【详解】（1）因为a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，又3cos 5B =，0πB <<，所以4sin 5B ==，所以ABC 的面积为2114sin 2225ABC S ac B b ⨯===△，故b =25ac b ==，由余弦定理2222222632cos 255b ac ac B a c a c =+-=+⨯⨯=+--，即22265611a c b +=+=+=，则()2222112521a c a ac c +=++=+⨯=，所以a c +=，故ABC的周长为a b c ++（2）设a ，b ，c 的公比为q ，则b aq =，2c aq =，而sin cos tan sin cos cos sin sin cos tan sin cos cos sin A A C A C A C B B C B C B C ++=++()()()()sin sin πsin sin sin πsin A C B B bq B C A A a+-=====+-，因此，只需求q 的取值范围即可.因a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>.故有不等式组22a aq aq aq aq a ⎧+>⎨+>⎩，即221010q q q q ⎧--<⎨+->⎩，解得q q q <<⎨⎪><-⎪⎩，从而1122q <<，因此所求范围为⎫⎪⎪⎝⎭.18．已知数列{}n a 满足：()123R,1a t t t =-∈≠±，()()()1123211N 21n n n n nn t a t t a n a t +++-+--=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小.【正确答案】（1）()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±；（2）1n n a a +>．【分析】（1）由已知可得()1121111121n n n n n n a a t a t t ++++-=+-+-，令11n nn a b t +=-求数列{}n b 的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）通过（1）作差()()1121(1)()...()1nn n n n n t a a t t t t t n n -+-⎡⎤-=-+-++-⎣⎦+，讨论01t <<、1t >判断1(1)()...()n n n n t t t t t --+-++-、1t -的符号，即可得结论．【详解】（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n n na b t +=-，则122n n nb b b +=+，整理得1221n n b b +-=，又122(1)122t b t -==-，所以2{}n b 是首项、公比均为1的等差数列，则2n n b =，故2n b n=.所以()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±．（2）由（1），作差可得：()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，又()2111(1)()...()n n n n n n nt t t tt t t t t ---++++=-+-++- ，当01t <<时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++-<且10t -<；当1t >时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++->且10t ->综上，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，即1n n a a +>．19．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①4；②当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C .【分析】（1）过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN ，可得MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论；（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，由线面平行的判定定理证明//BP 平面11DA C ．【详解】（1）证明：如图，过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN则MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，得2222cos MN MP NP MP NP γ=+-⋅⋅，2222cos MN MH NH MH NH θ=+-⋅⋅，两式相减得22222cos 2cos 0MP MH NP NH MP NP MH NH γθ-+--⋅⋅+⋅⋅=，∴22cos 22cos MP NP PH MH NH γθ⋅⋅=+⋅⋅，两边同除以2MP NP ⋅，得cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（2）①由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，知90θ=︒，∴由（1）得11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠，∵1cos 60A AC ∠=︒，cos 45BAC ∠=︒，∴1122cos 224A AB ∠=⨯=．②在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ．连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，在棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B AB ，//AB CD ，∴11//A B ，∴四边形11A B CD 为平行四边形，∴11//A D B C ．在四边形1B BPC 中，1//B B CP ，∴四边形1B BPC 为平行四边形，∴1//B C BP ，∴1//A D BP ，又1A D ⊂平面11DA C ，BP ⊄平面11DA C ，∴//BP 平面11DA C ．∴当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C ．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(.)B Pascal 提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(.)C Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁便赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌钱相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌钱意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌钱意外终止的情况，甲、乙便按照赌钱再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌钱意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌钱继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌钱继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【正确答案】（1）216元；（2）3()1(13)(1)f p p p =-+-，是，理由见解析.【分析】(1)设赌钱再进行X 局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；(2)设赌钱再进行Y 局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得()f p ，再利用导数求出()f p 的最小值作答.【详解】（1）设赌钱再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X =时，甲以4:1赢，所以224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当3X =时，甲以4:2赢，所以122228(3)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，当4X =时，甲以4:3赢，所以2132224(4)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，于是得甲赢得全部赌注的概率为48424892727279++==，所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌钱继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-，当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-，从而得乙赢得全部赌注的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率3()1()1(13)(1)f p P A p p =-=-+-，对()f p 求导得322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-，因415p ≤<，即()0f p '>，从而有()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是得min 4608()5625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，乙赢的概率()P A 最大值为6081710.02720.05625625-==<，所以事件A 是小概率事件.21．作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点（如图），且(P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求PAB ∆的面积.【正确答案】（1）见解析；（2）49【详解】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，直线1:3l y x m =+.①将式①代入椭圆C 的方程，并化简整理得22269360x mx m ++-=.则123x x m +=-，2129362m x x -=，PA k =PB k =故12213PAPByx y x k k-+--+=上式分子((12211133x m x x m x ⎛⎛=+--++- ⎝⎝(()121223x x m x x m =+-+-(()22936332m m m m -=⋅+----22312312m m =--+-+0=.从而，0PA PB k k +=.又点P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线.所以，PAB ∆的内切圆的圆心在直线x =.（2）若60APB ∠=︒，结合1的结论知PA k =PB k =将直线:PA l y x =-，代入椭圆C 的方程并消去y得(2141181330x x +-+-=.因为上式两根分别是1x、11314x -=.则)117PA x=-=.同理，)17PB =.故1sin602PABSPA PB ∆=︒=22．已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，函数()221x tf x x -=+的定义域为[],αβ.(1)求()()()max min g t f x f x =-；(2)证明：对于()π0,1,2,32i u i ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，若123sin sin sin 1u u u ++=，则()()()123111tan tan tan g u gu g u ++<.【正确答案】(1))22251625++t t (2)证明见解析【分析】（1）由韦达定理得t αβ+=，14αβ=-，利用导数确定函数在区间[],αβ上的单调性．从而求得函数()f x 的最大值与最小值，最后写出()g t ；（2）先证：()2tan ,1,2,3169cos i ig u i u ≥=+，从而利用不等式证明结论即可．【详解】（1）已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，∴t αβ+=，14αβ=-.故0α<，0β>.当1x ，[]2,x αβ∈时，∴()()()()()()()()()()22222222222211444441212221221111x xt x xt x x x t x xt f x x x x x ------+-----===<+'+++而当[],x αβ∈时，24410x tx --≤，于是()0f x ¢>，即()f x 在[],αβ上单调增.∴()()()()()()()()()()()22222222222121222211111t t t t t g t f f βααββααβαββαβαβααβαβαβ-+--+⎡⎤-+-+--⎣⎦=-==+++++++)2222525225162516t t t t ⎫+⎪+⎝⎭==++（2）()2228216324cos cos cos cos tan 1,2,316169cos 9cos iii ii i i i iu u u u g u u u ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≥=++当且仅当1624cos cos i i u u =，即cos 3i u =时，等号成立；∴()()()()22212312311111639cos cos cos tan tan tan 166u u u g u g u g u ⎡⎤++≤⨯+++⎣⎦()222123759sin sin sin u u u ⎤=-++⎦而()22221231231sin sin sin sin sin sin 33u u u u u u ++⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()2221239sin sin sin 3u u u ++≥，当且仅当1231sin sin sin 3u u u ===时等号成立，∴()()())123111753tan tan tan g u g u g u ++-由于等号不能同时成立，故得证，所以()()()1231113tan tan tan 4g u g u g u ++.易错点睛：本题主要考查函数与不等式的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)求导确定函数单调性时，注意结合一元二次方程的根与不等式关系；(2)多次利用基本不等式时，注意去等条件是否均成立.。

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷(文科数学)1(含答案解析)

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷(文科数学)1(含答案解析)

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（文科数学）（一）一、单选题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|，x∈R}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．命题∃x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（）A．∀x∈R，1＜f（x）≤2B．∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2C．∃x∈R，1＜f（x）≤2D．∃x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞23．已知f（x）＝﹣x，x∈（0，+∞），且∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（﹣∞，e2]D．（e，+∞）4．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．（625，+∞）B．（4，64）C．（9，625）D．（9，64）5．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若，且满足关系式，则a+c的取值范围是（）A．B．C．D．6．面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是（）A．B．2C．D．27．设函数f（x）＝（x2﹣3）e x，则（）A．f（x）有极大值，且有最大值B．f（x）有极小值，但无最小值C．若方程f（x）＝a恰有一个实根，则D．若方程f（x）＝a恰有三个实根，则8．函数f（x）＝x2+x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知，，且，则＝（）A．﹣1B．1C．D．10．设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R 上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]12．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y+ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为．14．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则向量，的夹角的余弦值为．15．已知，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17．已知正项数列{a n}的首项a1＝1，前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB两个试验区，部分数据如列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由．A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝2，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．21．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N 两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求的值．23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（文科数学）（一）参考答案一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|，x∈R}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}解：A＝{x|，x∈R}＝{x|x≥1或x＜﹣2}，则∁R A＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：B．2．命题∃x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（）A．∀x∈R，1＜f（x）≤2B．∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2C．∃x∈R，1＜f（x）≤2D．∃x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，1＜f（x0）≤2”的否定形式是∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2．故选：B．3．已知f（x）＝﹣x，x∈（0，+∞），且∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（﹣∞，e2]D．（e，+∞）解：∵∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，＝＜0恒成立，∴x1f（x1）＜x2f（x2）对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2恒成立，令g（x）＝xf（x）＝＝ae x﹣x2，则g'（x）＝ae x﹣2x≥0，对∀x∈（0，+∞）恒成立，即，对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴只需，令，则，∴当0＜x＜1时，t'（x）＞0；当x＞1时，t'（x）＜0，∴t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴，∴，∴a的取值范围为．故选：B．4．已知函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），且当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；当x＞0时，f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A．（625，+∞）B．（4，64）C．（9，625）D．（9，64）解：函数f（x）满足当x≤0时，2f（x﹣2）＝f（x），此时函数的可知周期为2，但是函数的最大值是依次减半，当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝|x+1|﹣1；函数f（x）图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数f（x）在（﹣∞，0]的图象，画出关于原点对称的图象，则函数f（x）＝log a x的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得a∈（9，625）．故选：C．5．在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若，且满足关系式，则a+c的取值范围是（）A．B．C．D．解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．cos B+sin B＝2，∴2sin（B+30°）＝2，∴B＝60°，∵，∴+＝＝，解得b＝，∴由＝2，∴a+c＝2sin A+2sin C＝2sin A+2sin（120°﹣A）＝3sin A+cos A＝2sin（A+30°），∵锐角三角形中A∈（30°，90°），A+30°∈（60°，120°），sin（A+30°）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+30°）∈（3，2]．故选：D．6．面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是（）A．B．2C．D．2解：如图，取BC的中点D，连接PD，则•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝||2﹣||2，不妨设△ABC在BC边上的高为h，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以||≥，当且仅当PD⊥BC时取等号，故•≥﹣||2，所以≥+||2≥2＝（h•||）＝S△ABC＝2，当且仅当＝||2，即h＝||且PD⊥BC时取等号．故选：D．7．设函数f（x）＝（x2﹣3）e x，则（）A．f（x）有极大值，且有最大值B．f（x）有极小值，但无最小值C．若方程f（x）＝a恰有一个实根，则D．若方程f（x）＝a恰有三个实根，则解：∵f（x）＝（x2﹣3）e x，∴f′（x）＝（x2+2x﹣3）e x，令f′（x）＝0，解得x＝﹣3或x＝1，当x∈（﹣∞，﹣3），（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x→﹣∞时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴当x＝1时，函数取得极小值，且为最小值﹣2e，当x＝﹣3时，函数取得极大值，无最大值，故AB错误，若方程f（x）＝a恰有一个是根，可得a＝﹣2e或a＞，故C错误，若方程f（x）＝a恰有三个实根，可得0＜a＜，故D正确，故选：D．8．函数f（x）＝x2+x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x2+x sin x是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）＝x+sin x，∴g′（x）＝1+cos x≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增，∵g（0）＝0，∴f（x）＝xg（x）≥0，故排除D，当x＞0时，f（x）＝xg（x）单调递增，故当x＜0时，f（x）＝xg（x）单调递减，故排除C．故选：A．9．已知，，且，则＝（）A．﹣1B．1C．D．解：设α∈（0，），β∈（0，），由，可得：＝＝，可得：sinβ+sinαsinβ＝cosαcosβ，即cos（α+β）＝sinβ，可得：α+β＝﹣β，可得：α+2β＝，则tan（α+2β+）＝tan（+）＝﹣1，故选：A．10．设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．11．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R 上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．12．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y+ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．解：不等式的可行域，如图所示令z＝ax+y，则可得y＝﹣ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y＝﹣ax将a 变化，结合图象得到当﹣a＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大∴a＜﹣1故答案为（﹣∞，﹣1）14．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则向量，的夹角的余弦值为．解：，且，∴，解得λ＝﹣3，∴，∴．故答案为：．15．已知，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是．解：函数，可得y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x ＝2e对称，因为方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，即y＝f（x）与y＝mx的图象有2个不同的交点，函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切于点P（a，b），又，所以切线方程为y＝lna＝，又切线过点（0，0），解得a＝e，故切线方程为，由图可知，当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围为．故答案为：．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17．已知正项数列{a n}的首项a1＝1，前n项和S n满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当n≥2时，，∴，即，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，故，＝（n≥2），因此．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当n≥2时，，∴，又∵，∴12≤a2﹣a，解得a≤﹣3或a≥4．即所求实数a的范围是a≤﹣3或a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于AB两个试验区，部分数据如列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由．A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由频率分布直方图知，（a+2a+0.1+0.2+0.1+a）×2＝1，解得a＝0.025，估计这批树苗高度的中位数为t，则2×（0.025+0.050+0.10）+（t﹣25）×0.20＝0.5，解得t＝25.75．计算＝20×0.05+22×0.1+24×0.2+26×0.4+28×0.2+30×0.05＝25.5，估计这批树苗的中位数为25.75，平均数为25.5；（2）优质树苗有120×0.25＝30，根据题意填写列2×2联表：A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120计算观测值K2＝＝≈10.29＜10.828，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝2，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：AC∩BD＝O，连结MO，∵A1M＝MA，AO＝OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD…（Ⅱ）解：设C1H为C1到平面BDD1B1的距离，∵BD⊥A1A，BD⊥AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1O，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴AO＝AC＝，∵AA1＝2，∠A1AC＝60°，∴A1O⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴A1O⊥平面ABCD，…∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O＝3 …∵A1O••2＝•C1H••2•2，∴C1H＝…20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且f′（x）＝（ax+a﹣1）e x．当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，此时f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣，由f′（x）＜0，得x＜﹣．此时f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），单调增区间为（，+∞）；当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣．此时f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（﹣∞，﹣）．（Ⅱ）证明：要证me n+n＜ne m+m，即证me n﹣m＜ne m﹣n，也就是证m（e n﹣1）＜n（e m﹣1）．也就是证＜，令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，再令h（x）＝xe x﹣e x+1，h′（x）＝e x+xe x﹣e x＝xe x＞0，可得h（x）在x＞0递增，即有h（x）＞h（0）＝0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，由m＞n＞0，可得＜，故原不等式成立．21．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，设椭圆的焦距为2c，所以2b＝2c，即b＝c，由a2＝b2+c2，解得b2＝2，所以椭圆M的方程为；（2）为定值2，理由如下：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设l：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，得y＝2k，即C（0，2k），又易知A（﹣2，0），所以，由，得，即，所以．因为BC∥RQ，所以直线RQ的方程为y＝kx，由得，所以．由|RQ|＝2|OR|，得，所以．故为定值2．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N 两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求的值．解：（1）∵曲线C：ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4，∵直线l的参数方程为：（t为参数），∴直线l的普通方程为：x﹣2y﹣5＝0（2）∵直线l的参数方程为：（t为参数），∴，代入x2+y2＝4x，得t2+＝﹣2，∴．23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝，∵f（x）≤5，∴或或，∴或x∈[0.2）或x∈∅，∴，∴不等式的解集为．（2）∵，∴当x＝2时，f（x）取得最小值3．∴函数y＝f（x）的图象的最低点为（2，3），即m＝2，n＝3．∵ma+nb＝6，∴2a+3b＝6，∴，∴，当且仅当，即a＝1，时取等号，∴．。

2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)

2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)

2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。

湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷(一)

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一、单选题二、多选题1. 已知点在抛物线的准线上，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若，则（ ）A ．1B．C．D ．32. 已知则等于（ ）A．B．C．D．3. 双曲线的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，其中表示不超过x 的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（ ）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M 中至少含有8个元素.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.已知函数，且，则A．B．C．D．6.已知，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 下列关于函数的单调性及奇偶性表述正确的是A ．该函数是减函数，并且是奇函数B ．该函数是增函数，并且是偶函数C ．该函数是减函数，并且是偶函数D ．该函数的单调性及奇偶性均无法确定.9. 已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（ ）A ．线段的长为B ．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为C ．三棱锥的体积为D ．设为球上任意一点，则与所成角的范围是湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷(一)湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷(一)三、填空题四、解答题10. 已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）A ．1是的极大值，也是的极大值B ．1是的极大值，也是的极小值C ．1是的极小值，也是的极小值D ．1是的极小值，也是的极大值11. 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，，若G 是线段上的动点，则( )A ．与所成角的正切值最大为B．在上存在点G，使得C ．当G为上的中点时，三棱锥的外接球半径最小D．的最小值为12. 若、、，则下列命题正确的是（ ）A ．若且，则B．若，则C ．若且，则D．13. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的中点到y 轴的距离等于______．14. 已知为坐标原点，双曲线：（，）的右焦点为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴上方），若点与点分别满足、，且，，，四点共圆，则双曲线的离心率为______．15. 已知双曲线的两个焦点分别为，点是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．16. 已知函数.(1)讨论的单调区间；(2)若，证明：恰有三个零点.17. 2023 年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：年份代码x ，综合产值y （单位：亿元）年份20192020202120222023年份代码x 12345综合产值y1.523.5815(1)请通过样本相关系数，推断y与x之间的相关程度；（若，则线性相关性程度很强;若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测 2024 年该省刺梨产业的综合产值.参考公式：样本相关系数经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.参考数据：18. 已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，且a2=3，a1，a2，a5成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n+2}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n.19. 已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.20. 求下列函数的导数：（1）（2）21. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ACC1是边长为4的正方形，，点D为BB1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：AB⊥平面A1ACC1；(2)求直线BB1与平面A1CD所成角的正弦值；(3)求点B到平面A1CD的距离．条件①：；条件②：；条件③：平面ABC⊥平面A1ACC1．。

(全国I)2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学(一) Word版含答案【KS5U 高考】

(全国I)2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学(一) Word版含答案【KS5U 高考】

2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，(){}20,B x x x x =-≥∈Z ，则A B =（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}0,2C ．{}3,4D ．{}0,1,22．复数4i1+3i的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．已知函数()π2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为()3,0，为了得到函数()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知函数()22cos sin x xx xf x e e--=+，则函数()f x 的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π3=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ） A ．55B ．50C ．45D ．409．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1810．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，则（ ） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．()()+⊥-a e a e11．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -，则该四棱锥的表面积为（ ） A．B．C．D．12．已知函数()()221ln 202x aa xf x e ex a x a --=++-->，若()f x 有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．(B ．()20,eC．)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =________． 14．已知圆222)1)5:((C x y -+-=及点(0,2)A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，则||||PA PQ +的最小值为___________．15．设函数()212221xx f x x--=++，若对x ∀∈R ，不等式()()24f mx f x ≥+成立，则实数m 的取值范围是_________．16．在ABC △中，a ，b ，c ，分别为角A ，B ，C 的对边，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭．若ABC △的内切圆面积为4π，则ABC △面积S 的最小值_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n kn =-+(*k ∈N )，且n S 的最大值为25．（1）求k 的值及通项公式n a ； （2）求数列{}112n a n -⋅的前n 项和nT ．18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628i ii x yxy =-=∑)．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点． （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若12AA AB =，求点1B 到平面1BC D 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △3 （2）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数()1xf x e ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|31|2|3|f x x x =-+-．（1）若关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的实数根，求a 的取值范围； （2）如果不等式()f x bx ≤的解集非空，求b 的取值范围．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由集合()(){}150,A x x x x =+-<∈Z ，得{}0,1,2,3,4A =，(){}20,{|0B x x x x x x =-≥∈=≤Z 或2,}x x ≥∈Z ，所以{}0,2,3,4AB =，故选A ．2．【答案】A()4i 1i 4==，所以虚部为1，故选A ． 3．【答案】B【解析】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，因为478<<，所以2222log 4log 7log 83=<<=，所以23a <<， 因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，389<<， 所以3331log 3log 8log 92=<<=，所以12b <<， 因为0.3xy =在R 上单调递减，0.20>， 所以0.2000.30.31<<=，即01c <<， 所以c b a <<，故选B ． 4．【答案】C 【解析】命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立， 设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0，所以3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，所以3ππ4k ϕ=-，k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()πππππ2cos2sin 2sin 144244g x x x x ⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以为了得到()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度，故选A ． 6．【答案】B【解析】函数()22cos sin x xx xf x e e--=+的定义域为R ，且()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 排除选项A ，D ； 因为()1012f =<，所以排除选项C ， 故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ， 其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸， 则1351512d =+，解得10d =（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ，首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A 正确； 春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=，秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，故春分和秋分两个节气的晷长相同， 所以B 正确；小雪的晷长为11a ，1111015100115a a d ∴=+=+=，115寸即一丈一尺五寸， 故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D 正确， 故选C ． 8．【答案】C【解析】17=，设三角形内切圆的半径为r ，面积为S ， 利用等面积法可知()118158151722S r =⨯⨯=⨯++，解得3r =， 向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x ，则利用几何概型可知2π311008152x ⨯=⨯⨯，解得2π31004518152x ⨯⨯==⨯⨯颗， 所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C ． 9．【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为60°，故直线AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得240x --=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=124x x =-，则16AB ==，故选C ．10．【答案】C【解析】对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，22t ∴-≥-a e a e ，即2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，即()22210t t -⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立，则()()()222421410Δ=⋅-⋅-=⋅-≤a e a e a e ，1∴⋅=a e ，故a 和e 不垂直，故A 错误；≠a e ，1=e ，22()10∴⋅-=-⋅=-≠a a e a a e a ，故B 错误；2()110⋅-=⋅-=-=e a e a e e ，()∴⊥-e a e ，故C 正确； 222()()10+⋅-=-=-≠a e a e a e a ，故D 错误，故选C ． 11．【答案】B【解析】设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，过O 作底面ABCD 的垂线，垂足为M ， 因为四边形ABCD 是长方形，所以M 为底面中心，即对角线AC BD 、的交点， 过O 作三角形APD 的垂线，垂足为N ，所以N 是正三角形APD 外心，设外接球半径为r ，外接球的体积为34π33r=，所以r =OA = 过N 作NE AD ⊥，则E 是AD 的中点，连接EM ，所以112EM AB ==，EM AD ⊥， 因为平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，所以NE ⊥平面ABCD ，所以//NE OM ，所以EM ⊥平面APD ，所以//EM ON ， 所以四边形MENO 是平行四边形，即OM NE =，设2AD x =，则AM ==，113323NE PE AD x ==⨯=，所以OM NE x ==，由勾股定理得222OA OM AM =+，即221213x x =++，解得x =所以AD =21sin 602PAD S AD =︒=△，因为////CD AB OM ，所以AB ⊥平面APD ，CD ⊥平面APD ， 所以PA AB ⊥，PD CD ⊥，132PAB PCD S S AB AP ==⨯⨯=△△， 因为227PB PC PA AB ==+=，3BC =，作PH BC ⊥于H ，所以H 为BC 的中点，所以221357242PH PB BC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以1532PBC S PH BC =⨯⨯=△，23ABCD S =矩形， 所以63PAD PAB PCD ABCD S S S S S =+++=△△△表矩形，故选B ．12．【答案】C【解析】()0f x =可转化为2212ln 2x a a xe x a x e --+-=-+． 设()2x aa x g x ee --=+-，由基本不等式得2220x a a x x a a x e e e e ----+-≥⋅=， 当且仅当x a =时，()g x 取到最小值0．设()()221ln 02h x x a x a =-+>，则()222a a x h x x x x-'=-+=， 当0x a <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当x a >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x a =时，()h x 取到最大值221ln 2a a a -+．若()f x 有2个零点，则()g x 与()h x 有两个交点，此时221ln 02a a a -+>，解得a e >，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】13【解析】0x >，0y >，21x y +=，()2121222225525249y x y x x y x y x y x y x y∴+=++=++≥+⋅=+⎛⎫ ⎝⎭=⎪， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立． 故答案为13． 14．【答案】25 【解析】如图所示：设点A 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),A x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2A '--， 因为PA PA '=，所以PA PQ+的最小值为()()22422155A C r '-=--+--=故答案为 15．【答案】[]4,4- 【解析】函数()212221xx f x x--=++的定义域为R ， ()()()()221122222211xxx x f x f x xx -------=+=+=++-，所以，函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时，()()2122312321121x x x f x x x--+=+=+-++， 由于函数122x y =为减函数，2231y x =+在[)0,+∞上为减函数， 所以，函数()212221xx f x x--=++在[)0,+∞上单调递减， 由()()24f mx f x ≥+可得()()24fmx f x≥+，可得24mx x ≤+，所以，240x m x -⋅+≥对任意的x ∈R 恒成立， 设0t x =≥，则240t m t -+≥对任意的0t ≥恒成立， 由于二次函数24y t m t =-+的对称轴为直线02mt =≥， 2160Δm ∴=-≤，解得44m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,4-，故答案为[]4,4-．16．【答案】【解析】cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，即()sin B C A +=sin A A =，即tan A =π3A ∴=， 由题意知ABC △内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则4AI =，AM AN ==从而43a b c =+-(22243b c b c bc +-=+-，整理得)34883163bc b c bc +=+≥，解得48≥bc 或163≤bc （舍去）， 从而113sin 4812322S bc A =≥⨯=， 即ABC △面积S 的最小值为123123三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）10k =，211n a n =-+(*n ∈N )；（2）434993n n n T +=-⋅． 【解析】（1）由题可得2224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭，*k ∈Z ， 所以当k 为偶数时，()2max2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 21254n k k S S +-===，此时k 无整数解，综上可得：10k =，210n S n n =-+．①1n =时，119a S ==．②当2n ≥时，()()()()221101101211n n n n n n n n a S S -=-+---+-=-+=-，当1n =时也成立． 综上可得211n a n =-+，所以10k =，211n a n =-+(*n ∈N )． （2）112224n a n n n n n --⋅=⋅=，1212444n n n T =++⋅⋅⋅+① 231112144444n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++② 两式相减得21311144444n n n nT +=++⋅⋅⋅+-，1111131144144334414n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅-， 则14199434n n n n T -=--⋅⋅，则434993n n n T +=-⋅． 18．【答案】（1） 1.664.4y x =+；（2）75． 【解析】（1）由题意，123456 3.56x +++++==，666770717274706y +++++==，()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，()171277281.617.5i i i iix x x y x yb ==--∴===∑∑，70 1.6 3.564.4a y bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 1.664.4y x =+．（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x =，此时 1.6764.475.6y =⨯+=， 保留整数为75人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人． 19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）设11B CBC E =，连接DE ，由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，因为1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ． （2）连接1AC ，由（1）知1//AB 平面1BC D ，所以点1B 到平面1BC D 的距离等于点A 到平面1BC D 的距离， 因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为2AB =，所以1AD =，则3BD =， 从而ABD △的面积为13132⨯⨯=， 故三棱锥1C ABD -的体积为132343⨯⨯=， 由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ， 因为1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥， 又221117C D CC CD =+=，所以1BC D △的面积为1513172⨯⨯=， 设点A 到平面1BC D 的距离为h ，则151233h ⨯=，解得417h =， 故点1B 到平面1BC D 的距离为41717．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时，12PF F △的面积最大，此时1232b ⨯⨯=3b = 由222a bc =+，得2314a =+=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430Δm k km=-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+．()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()22222234431640343434m k m mkk k k--∴+++=+++， 整理可得2271640m km k ++=， 解得12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）(,2]e -∞-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e x =--，所以()1x f x e =-'．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值．（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立． 当0x =时，00≥恒成立，此时a ∈R ；当0x >时，1()x e a x x x≤-+在(0,)+∞上恒成立．令1()()x e g x x x x =-+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x ----+'=-=． 由（1）知0x >时，()0f x >，即(1)0xe x -+>．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，min ()2g x e =-，所以2a e ≤-， 综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e -∞-．22．【答案】（1）2112:y x C =-，()230,0C y x +=≥；（2）25324y x =-+． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以2sin 12sin x y αα=⎧⎨=-⎩，消去α，得212y x =-． 因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos ρθθρθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即3y x =-()30,0y x +=≥． （2）设切线方程为33yx b，由212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得2210x x b +-=，所以()238103Δb ⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2524b =， 所以切线方程是325324y x =-+． 23．【答案】（1）16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{5b b <-∣或83b ⎫≥⎬⎭． 【解析】（1）57,31()31235,33157,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩， 当3x ≥时，函数()f x 单调递增，并且()8f x ≥； 当133x ≤<时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x ≥； 当13x <时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x >， 综上：当13x >时，函数()f x 单调递增，当13x <时，函数()f x 单调递减，且16()3f x ≥．作出()f x 的图象如图所示：要使关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的根， 则a 的取值范围16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）因为(3)8f =，记点(3,8)M ，坐标原点为(0,0)O ，则直线OM 的斜率为83k =． 当直线y bx =与57y x =-+平行时，无交点， 所以当5b <-或83b ≥时，该直线与函数()|31|2|3|f x x x =-+-的图象相交． 因为不等式()f x bx ≤的解集非空， 所以b 的取值范围是{5b b <-或83b ⎫≥⎬⎭．。

2021年中考三轮 临考冲刺数学训练：二次函数的实际应用(含答案)

2021年中考三轮 临考冲刺数学训练：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学临考冲刺训练：二次函数的实际应用一、选择题1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18 m2B.18m2C.24m2D.m23. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 32m25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是()A．①④B．①②C．②③④D．②③7. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()A.当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 mB.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶28. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同二、填空题9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.10. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形ABCD的面积最大．11. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．12. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.13. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．14. 在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=-x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米.15. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.16. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．三、解答题17. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25 m，喷出水流的运动路线是抛物线的一部分．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m ，且到地面的距离为3 m ．求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离．18. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？19. 已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件．(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？ (2)每星期能否获利7000元？试说明理由．(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？20. 某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y (间)与每间标准房的价格x (元)的数据如下表:x (元) … 190 200 210 220 … y (间) … 65 60 55 50 …(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象. (2)求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.(3)设客房的日营业额为w (元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大?最大为多少元?21. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？(2)写出该文具店一次销售x (x ＞10)只时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？22. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎨⎧7.5x （0≤x ≤4），5x ＋10（4＜x ≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 之间的函数图象如图.工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是多少.23. 2018·荆州为响应荆州市“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2(如图)．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．则丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.24. 有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B ＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．2021中考数学临考冲刺训练：二次函数的实际应用-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．2. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18=-(x-4)2+24，=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S最大最大面积为24m2，故选C.3. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．4. 【答案】C[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°.设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确; ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确; ④设函数解析式为:h=a (t -3)2+40，把O (0，0)代入得0=a (0-3)2+40，解得a=-， ∴函数解析式为h=-(t -3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t -3)2+40，解得t=4.5或t=1.5， ∴小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s 或4.5 s ，故④错误，故选D .6. 【答案】D [解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确；④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40， 把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40.解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.7. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m 时，二次函数y=4x -x 2的函数值为7.5，即4x -x 2=7.5，解得x 1=3，x 2=5，故当抛出的高度为7.5 m 时，小球距离O 点的水平距离为3 m 或5 m ，A 结论错误;由y=4x -x 2，得y=-(x -4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确;联立方程y=4x -x 2与y=x ，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .8. 【答案】A [解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.二、填空题9. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.10. 【答案】150 [解析] 设AB ＝x m ，则AB ＝EF ＝CD ＝x m ，所以AD ＝BC ＝12(900－3x)m.设矩形ABCD 的面积为y m 2，则y ＝x·12(900－3x)＝－32x 2＋450x(0＜x ＜300)．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，且当x ＝－b2a ＝－4502×（－32）＝150时，函数y 取得最大值．故当AB ＝150 m 矩形ABCD 的面积最大．11. 【答案】25[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.12. 【答案】1.6[解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ，则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0)， 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h ， 解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.13. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋414. 【答案】10[解析]当y=0时，-x2+x+=0，解得，x=-2(舍去)或x=10.故答案为10.15. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.16. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．三、解答题17. 【答案】解：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．根据题意，得抛物线的顶点P的坐标为(1，3)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.把A(0，2.25)代入，得2.25＝a(0－1)2＋3，解得a＝－0.75，∴y＝－0.75(x－1)2＋3.令y＝0，得－0.75(x－1)2＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)，∴BC＝3 m.答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3 m.18. 【答案】解：(1)由题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)经过点B(12，34)，C(32，34)， 则⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝3494a ＋32b ＝34，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x.(3分) 根据对称性知，抛物线的对称轴是x ＝－b2a ＝1， 当x ＝1时，y ＝1， ∴顶点坐标是(1，1)．答：图案最高点到地面的距离是1 m ．(5分) (2)∵抛物线的对称轴是x ＝1，∴一个图案与地面两交点间的距离是2 m ，10÷2＝5. 答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．(8分)19. 【答案】解：设该商品每件涨价x 元时，每星期获得的总利润为y 元． (1)由题意，得(60＋x －40)(300－10x)＝6090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9.60＋1＝61(元)，60＋9＝69(元)．答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元． (2)不能．理由：列方程，得(60＋x －40)(300－10x)＝7000， 整理得x 2－10x ＋100＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×1×100＜0， ∴此方程无实数解，∴销售该商品每星期不能获利7000元．(3)y ＝(60＋x －40)(300－10x)＝－10x 2＋100x ＋6000＝－10(x －5)2＋6250， ∴当x ＝5时，y 最大＝6250，60＋x ＝65.答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元．20. 【答案】解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0)，把(200，60)和(220，50)代入， 得解得∴y=-x +160(170≤x ≤240). (3)w=x ·y=x ·-x +160=-x 2+160x.∴函数w=-x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-=160，∵-<0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小. 故当x=170时，w 有最大值，最大值为12750元.21. 【答案】解：(1)设一次至少买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x －10)元，由题意得， 20－0.1(x －10)＝16， 解得x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分) 【一题多解】设一次购买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x －10)元，由题意得，20－0.1(x －10)≤16，解得x ≤50， ∴最大整数x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买． (2)由题意得，当10＜x ≤50时，y ＝[20－12－0.1(x －10)]x ， 即y ＝－0.1x 2＋9x(3分)当x ＞50时，则每只计算器都按16元销售． ∴y ＝16x －12x ＝4x ，综上可得y ＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋9x （10＜x ≤50）4x （x ＞50）.(5分)(3)由y ＝－0.1x 2＋9x 得，其图象的对称轴为x ＝－b2a ＝－92×（－0.1）＝45，∵a ＝－0.1＜0，当x ＞45时，y 随x 的增大而减小，(6分)又∵50＞46＞45，∴当x ＝46时的函数值大于x ＝50时的函数值， 即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)由二次函数的性质知，当x ＝45时，y 最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5， 这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)22. 【答案】解：(1)令7.5x ＝70，则x ＝283＞4，不符合题意， ∴5x ＋10＝70，解得x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件． (2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P ＝40； 当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b.将(4，40)，(14，50)代入，得⎩⎨⎧4k ＋b ＝40，14k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝36.∴P ＝x ＋36.①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)·7.5x ＝150x ， ∵W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝4时，W 最大＝600；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845，∴当x ＝11时，W 最大＝845. ∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值，最大值为845. 综上，W 与x 之间的函数解析式为 W ＝⎩⎨⎧150x （0≤x≤4），－5x 2＋110x ＋240（4＜x≤14）；第11天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是845元．23. 【答案】解：(1)y ＝－2x 2＋36x (9≤x ＜18)． (2)由题意得－2x 2＋36x ＝160，解得x1＝10，x2＝8(不符合题意，舍去)．∴x的值为10.(3)∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴x＝9时，y有最大值162.设购买乙种绿色植物a棵，购买丙种绿色植物b棵，由题意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500，∴b的最大值为214，即丙种植物最多可以购买214棵，此时a＝2，需要种植的面积＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)＜162 m2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．24. 【答案】解：(1)①若所截矩形材料的一条边是BC，如图①所示：过点C作CF⊥AE于点F，则S1＝AB·BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图②所示：过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG 于点H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH，∠BCH＝90°.∵∠BCD＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，∴S2＝AE·AG＝6×5＝30.(2)能．如图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C 作CG⊥FM于点G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，∠BCG＝90°.∵∠BCD＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴FG＝CG.设AM＝x，矩形AMFN的面积为S，则BM＝6－x，∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，∴S＝AM·FM＝x(11－x)＝－x2＋11x＝－(x－5.5)2＋30.25，∴当x＝5.5时，S取得最大值，最大值为30.25.故这些矩形材料面积的最大值为30.25.。

湖南省湘潭市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷

湖南省湘潭市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷

湖南省湘潭市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（）A．4B．8C．12D．16第(2)题已知为虚数单位，复数满足，（）A．B．C．-1D．1第(3)题在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（）A．B．C．D．第(4)题当时,执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．7B．42C．210D．840第(5)题设数列的前项和为，若，则（）A．65B．127C．129D．255第(6)题新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（）A．B．C．D．或第(7)题北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（）A．B．C．D．第(8)题已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节，已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：年份20162017201820192020时间代号12345成交额(万元)50607080100若关于的回片方程为，则（）A．B．预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元C．D．预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是120万元第(2)题我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A．B．C．，其中D．函数的最小值为第(3)题在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（）A．若点P在正方体的表面上，且，则点P的轨迹长度为B．若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为C．过点的平面截正方体所得截面多边形的周长为D．若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，，则_________．第(2)题设，直线与直线交于点，则的取值范围是_______.第(3)题在曲线上及其内部随机取一点，则该点取自圆上及其内部的概率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某校即将举办春季运动会，组委会对一项新增的运动项目进行了调查，以了解学生对该项目是否有兴趣．组委会随机抽取人进行问卷调查，经统计知男女生人数之比为，对该项目没有兴趣的学生有人，其中女生占．(1)完成列联表，并判断能否有的把握认为对该项目有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣总计男女总计(2)若从对该运动项目没有兴趣的学生中按性别用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选出人进一步了解没有兴趣的原因，求选出的人均为男生的概率．附：，其中．第(2)题牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．第(3)题已知向量，设函数.（1）求的表达式并完成下面的表格和画出在范围内的大致图象；（2）若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．第(4)题已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．第(5)题已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.。

高考数学专题冲刺：集合与函数课时提升训练(13)(含标准答案)

高考数学专题冲刺：集合与函数课时提升训练(13)(含标准答案)

集合与函数课时提升训练（13）1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.则称集合是“好集” . （Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；3、若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.则称集合组具有性质. 如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组 1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行 3 列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值 . （其中表示集合所含元素的个数）4、已知函数在区间上为增函数，且。

（ 1）当时，求的值；（ 2）当最小时，①求的值；②若是图象上的两点，且存在实数使得，证明：。

5、（本小题满分 14 分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线 . 已知函数为自然对数的底，为常数） .( Ⅰ) 讨论函数的单调性； ( Ⅱ) 设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.6、设 a， b， c 为实数， f （ x） =（ x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是A．=1且=0B．C．=2且=2D．=2且 =37、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2 ︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（）A． 2 B ． C ． 1 D ． 0 8、已知函数，在定义域[-2 ，2] 上表示的曲线过原点，且在x＝± 1 处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为 2．其中正确命题的个数为A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个11、设函数的最大值为，最小值为，那么.12、（本小题满分 14 分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：. 直角坐标平面内，若满足，则的取值范围1、解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底. 理由是；②是的一个二元基底.理由是，.（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底 .故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设为的一个 4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或. 如果，则由，与结论 *矛盾 . 如果，则或. 易知和都不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，这时，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，这时，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有，，，易知不是的 4 元基底，矛盾 . 当时，有当时，有，，，易知不是的4 元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或 {3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为 5.2 、解：（Ⅰ）集合不是“好集” .理由是：假设集合是“好集” .因为，，所以.这与矛盾.有理数集是“好集” .因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集” .（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即.（Ⅲ）命题均为真命题 .理由如下：对任意一个“好集”，任取，若中有 0 或 1 时，显然. 下设均不为0，1.由定义可知：.所以，即. 所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，则显然.若且，则.所以. 所以由（Ⅱ）可得：.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题 .3、（Ⅰ）解：集合组 1 具有性质.所对应的数表为：集合组 2 不具有性质.因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.（Ⅱ注：表格中的7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件①和②，由条件①：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为 0，所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个 1 一个 0，即第行与第行的第列的两个数一定不同 .所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.所以，要使取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为.4、解：。

2021届高三临考冲刺卷 文综(一)解析

2021届高三临考冲刺卷 文综(一)解析

绝密★启用前文综（一）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）本卷共35个小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

中国人口流向的总体趋势，就过去一段时间而言，整体是由中、西部地区往东南地区流动我们称之为“孔雀东南飞”。

中国人口从2018平开始出现逆向流动，农民工从长三角和珠三角这两个中国经济最热、体量最大的区域流向西部地区和南部地区，现在称之为“孔雀西南飞”。

同时，根据相关部门统计，2017年后中国人口“东迁”规模仍持续走高。

左图为2018、2019年农民工净增量统计图，右图为2011~2019年中国四个地区人口流动统计图。

读图，完成下面小题。

1．2018年起，珠三角地区和长三角地区先后出现了明显的农民工逆流现象，其原因是（）A．东部地区房价居高不下B．西部地区基础设施完善C．人口流动宏观政策调整D．低端制造业大规模内迁2．农民工逆流的同时，“东迁”仍然持续走高。

该阶段“东迁”的人口主体最可能是（）A．农民工B．中高端人才C．普通大学生D．一技之长劳动者答案：1．D2．B解：该题以人口迁移的变化为切口，结合产业转移和产业结构升级大背景对所学知识进行灵活考查。

1．近年来，珠三角地区和长三角地区不断进行产业结构优化升级，大量劳动密集型的低端制造业向区域外迁移，农民工跟随就业机会也就出现逆流现象，D对。

现阶段导致人口迁移的主要影响因素是经济因素，即就业机会、经济收入、生活水平，东部地区房价居高不下、西部地区基础设施完善、人口流动宏观政策调整不是导致农民工逆流的主要原因，ABC错。

故选D。

2．由上题分析可知，东部地区正在进行产业结构优化升级，即产业部门由低级形态向高级形态转变，在此过程中需要大量中高端人才，B对。

农民工和一技之长的劳动制多从事劳动密集型产业或低端制造业，不符合东部地区的人才需求，AD错。

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湖南省常德市第二中学2021届高三数学临考冲刺试题 文本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，复数z =1i +2对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合P ={－1,2a +1,a 2－1}，若0∈P ，则实数a 的取值集合为A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!3. 为庆祝建国70周年，某校举办“唱红歌，庆十一”活动，现有A 班3名学生，B 班2名学生，从这5名学生中选2人参加该活动，则选取的2人来自不同班级的概率为A.35B.25C.710D.3104. 已知双曲线x 2a －y 2b=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若F 2到双曲线的渐近线的距离为3，离心率e ∈(2,+∞)，则焦距|F 1F 2|的取值范围是 A.(2,4)B.(3,4)C.(0,4)D.(23,4)5. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.25B.56C.119D.2466. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P －ABCD 中最长的棱，AB =1，AD =2，PC =3，若在阳马P －ABCD 的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为A.127πB.427πC.827πD.49π7. 设a =sin(－810°)，b =tan(－33π8)，c =lg 15 ，则它们的大小关系为A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为A.3πB.2πC.πD.π29. 函数f (x )＝e x －e －x－1x的部分图象大致为10. 定义：min{a ,b }表示a ,b 两数中较小的数，例如：min{2,4}=2.已知f (x )=min{－x 2，－x －2}，g (x )=2x+x +m (m ∈R )，若对任意x 1∈[－2，0]，存在x 2∈[1，2]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则m 的取值范围为A.[－4，+∞)B.[－6，+∞)C.[－7，+∞)D.[－10，+∞)11. 已知函数f (x )=sin(wx +φ)－cos(wx +φ)(w>0，|φ|<π2)的图像向右平移π3个单位长度得到函数g (x )的图像，若函数g (x )的最小正周期为π，x =π3为函数g (x )的一条对称轴，则函数g (x )的一个增区间为A.(0，π6)B.(π2，π)C.(π3，5π6)D.(π6，π3) 12. 数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n.设b n ＝4n a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，若S n ＜λ(λ为常数，n ∈N *)，则λ的最小值是( )A ．32B ．94C ．3112D ．3118二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sinα＝13，cos(α－β)＝________.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________.16.已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________.三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1·4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量(单位：克)分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1)现按分层抽样的方法从质量为[250,300)，[300,350)内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；(2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A方案：所有芒果以10元/千克收购；B方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF＝90°，∠BDE＝θ(0°<θ<90°).(1)当tan∠DEF＝32时，求θ的大小；(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的方程；(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|＝|PN|.求直线AB的斜率.21.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x 轴交于点M . (1)求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，若|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值.23.[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )＋b <0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若g (x )＝2f (x )＋2f (x ＋1)，求g (x )的最小值.常德市第二中学2021届高三临考冲刺卷文科数学答案1. D 2－i (i +2)(2－i )=25－15i ，对应点的坐标为(25,－15)位于第四象限.2. C 当2a +1=0时，a =－15满足；当a 2－1=0时，a =±1，经检验a =1满足，即a ∈错误!.3. A 将A 班学生编号为a,b,c,B 班学生编号为d,e.则选取两人有(a ,b )，(a ,c )， (a ,d )，(a ,e )，(b ,c )，(b ,d )，(b ,e )，(c ,d )，(c ,e )，(d , e )共10 种选法，满足条件的有6种，所以概率为35.4. D 因为F 2到双曲线的渐近线y =±b ax 的距离为|bc |a 2+b 2=b ，b =3，又c a >2，∴a <c2，又∵c 2=a 2+3，∴3<c 2<(c2)2+3，∴3<c <2，所以|F 1F 2|∈(23,4)5. C 运行程序：k =3，S =3，3>60不成立；k =7，S =10，7>60不成立；k =15，S =25，15>60不成立；k =31，S =56，31>60不成立；k =63，S =119成立，63>60，输出S =119，结束程序.6. C 根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为PC =PA 2+AB 2+AD 2，∴3=PA 2+1+4，∴PA =2，又PA ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD =13×1×2×2=43，V 球=43π×(32)3，P =4343π×(32)3=827π.7. B ∵a =sin(－810°)=－1，c =lg 15=－lg5<－lg 10=－12，－1=a<c<－12，b =tan(－33π8)=tan－π8，因为tan π4=2tanπ81－tan2π8=1，∴tan π8=2－1，因为2－1<12，所以c <b . 8. A 根据三视图，圆锥内部被挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则3－h 3=r 2，∴h =3－3r2.故S侧=2πrh=2πr (3－3r2)=3πr (2－r )=3π[－(r －1)2+1]≤3r ，当r =1时S 侧的最大值为3π.9. A 首先函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x －e x＋1x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C 项和D 项，当x ＝1时，f (1)＝e －1e－1>0，故A 项正确．故选A 项．10. C 如图，当x 1∈[－2，0]时，f (x 1)max =f (－1)=－1；当x 2∈[1，2]时，g (x 2)为增函数，则g (x 2)max =g (2)=6+m .由题意知f (x 1)max ≤g (x 2)max ，即－1≤6+m ，即m ≥－7.11. C f (x )=2sin(wx +φ－π4)，g (x )=2sin(wx －w π3+φ－π4)，因为g (x )的最小正周期为π，所以2πw =π，所以w =2.由x=π3为g (x )的一条对称轴，则φ－π4=π2+k π(k ∈Z )，即φ=－π4，故g (x )=2sin(2x －7π6).令－π2+2k π≤2x －7π6≤π2+2k π(k ∈Z )，即π3+k π≤x ≤5π6+k π.12. C a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(2n －1)·3n，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －2)a n －2＋(n －1)a n －1＝(2n －3)·3n －1，②①－②得，na n ＝4n ·3n －1，即a n ＝4·3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝3≠4，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，4·3n －1，n ≥2，b n＝⎩⎪⎨⎪⎧43，n ＝1，n3n －1，n ≥2.所以S n ＝43＋23＋332＋…＋n 3n －1＝13＋130＋231＋332＋…＋n3n －1，③ 13S n ＝19＋13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n3n ，④ ③－④得，23S n ＝29＋130＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝29＋1－13n1－13－n 3n ，所以S n ＝3112－6n ＋94×3n ＜3112，所以λ的最小值是3112.故选C 项．13. －79 ∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴sin α＝sin β＝13，cos α＝－cos β，∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝29－1＝－79.14. 5.25 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5,3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上，即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.15.55设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点，∴2c2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2＝1，解得e ＝55. 16.27π32a 2 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则a sinπ3＝2r ，所以r ＝33a .所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a .因为64∶63＝3∶4，所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2. 17. (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由题意可知b n ＝(－1)n －1·4n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝2n 2n ＋1；当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋19＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.18.解 (1)设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A ，B ，C ，D ，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a ，b .从这6个芒果中选出3个的情况共有(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，D )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(A ，a ，b )，(B ，C ，D )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(B ，a ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，(C ，a ，b )，(D ，a ，b )，共计20种.其中恰有1个在[300,350)内的情况有(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，共计12种，因此概率P ＝1220＝35.(2)方案A ：(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003 ＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001) ×50×10 000×10×0.001＝25 750(元). 方案B ：由题意得低于250克：(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000(元)； 高于或等于250克：(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500(元)， 所以共获利7 000＋19 500＝26 500(元). 由于25 750<26 500，故B 方案获利更多，应选B 方案. 19.解 (1)在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60°sin 120°－θ＝32sin 60°＋θ，在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60°sin 30°＋θ＝32sin 30°＋θ.由tan∠DEF ＝32，得sin 60°＋θsin 30°＋θ＝32， 整理得tan θ＝3，所以θ＝60°.(2)S ＝12DE ·DF ＝38sin 60°＋θsin 30°＋θ＝32r(3cos θ＋sin θcos θ＋3sin θ)＝32[3cos 2θ＋sin 2θ＋4sin θcos θ]＝32r(3＋2sin 2θ).当θ＝45°时，S 取最小值32r(3＋2)＝6－332.20. (1)依题意，设抛物线C 的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 由抛物线C 经过点P (1,2)，得a ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)因为|PM |＝|PN |，所以∠PMN ＝∠PNM ，所以∠1＝∠2，所以直线PA 与PB 的倾斜角互补，所以k PA ＋k PB ＝0.依题意，直线AP 的斜率存在， 设直线AP 的方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，将其代入抛物线C 的方程，整理得k 2x 2－2(k 2－2k ＋2)x ＋k 2－4k ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，则1×x 1＝k 2－4k ＋4k 2，y 1＝k (x 1－1)＋2＝4k －2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22k 2，4k －2，以－k 替换点A 坐标中的k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22k 2，－4k －2.所以k AB ＝4k －－4kk －22k 2－k ＋22k 2＝－1.所以直线AB 的斜率为－1.21.(1)证明 方法一 设BC ∩OD ＝E ，∵D 是弧BC 的中点，∴E 是BC 的中点.又∵O 是AB 的中点，∴AC ∥OE .又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径，∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ，∴OD ⊥BC .又AC ，OD 共面，∴AC ∥OD .又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD .(2)解 设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3， ∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.22.解 (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，得ρsin θ－3ρcos θ＝3，y ＝3x ＋3， ∴l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋3，令y ＝0得点M 的直角坐标为(－1，0)，∴点M 的极坐标为(1，π).(2)由(1)知l 的倾斜角为π3，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)代入y 2＝2px 得3t 2－4pt ＋8p ＝0，∴t 1＋t 2＝4p 3，t 1t 2＝8p 3， ∵|AB |2＝|MB |·|MA |，∴(t 1－t 2)2＝t 1t 2，∴(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 32＝5×8p 3，∴p ＝152. 23.解 (1)由f (x )＋b <0得，|x －a |<－b ，当b ≥0时，不合题意；当b <0时，a ＋b <x <a －b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1，a －b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2， 综上，a ＝1，b ＝－2.(2)g (x )＝2|x －a |＋2|x ＋1－a |≥22|x －a |×2|x ＋1－a | ＝22|x －a |＋|x ＋1－a |≥22|（x －a ）－（x ＋1－a ）|＝22，∴当⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＝|x ＋1－a |，（x －a ）（x ＋1－a ）≤0，即x ＝a －12时，g (x )有最小值2 2.。

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