第一章实数的基本理论上海市进才中学王明友

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上海中考数学知识点总结新 (1)

中考数学复习资料第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

”。

正数a的平方根记做“a2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

第1讲实数-2021年新八年级数学暑假精品课程(沪科版)(解析版)

第1讲实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【基础知识】一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3(). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.2a 0≥0a ≥【考点剖析】考点一：实数与数轴例1．1．如图，线段AB将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长度为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（）A．12-D．1+B．2C．21【答案】A【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【详解】解：C点表示的数是：，故答案选：A．考点二：平方根例2．2．7的平方根是（）A．7B．7±D．3.5-C．7【答案】C【分析】根据平方根的定义结合性质找到7平方之前的数，即可确定结果；【详解】解：∵（±7）2=7，∵7的平方根是±7．考点三：算术平方根例3.3．16的算术平方根是（）A．4±B．4C．2±D．2【答案】D【分析】首先求出16的值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．【详解】解：∵16=4，∵16的算术平方根是：4=2，故选：D．【真题演练】1．x是3的整数部分，则3x的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】首先估算3出的范围，得到整数部分x，代入计算即可．【详解】<<，解：∵134∵132<<，∵3的整数部分是1，∵31x=，故选B．2．81的算术平方根是（）A．3±B．3C．3-D．9【答案】B【分析】先求出81=9，再根据算术平方根的定义求出即可．【详解】解：∵81=9，∵81的算术平方根是9=3，故选：B．3．64的立方根是（）A．8B．C．4±D．4【答案】D【分析】直接根据立方根的定义可得答案．【详解】解：∵43=64，∵64的立方根为：4．故选：D．4．下列各数中，3.14 1.23233是无理数的是（）A．3.14B C D．1.23233【答案】C【分析】根据无理数的定义求解即可．【详解】解：A、3.14是有理数，不符合题意；B，是有理数，不符合题意；CD、1.23233是有理数，不符合题意；故选C．5．在222,1,,,0.2,0, 3.14374π----中，负分数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据负分数的意义，可得答案．【详解】解：在222,1,,,0.2,0, 3.14374π----中，负分数有22, 3.147--共2个，故选B ．6．在实数中，，3π，0.1010010001 ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】利用无理数的定义判断即可．【详解】3π为无理数，0.10100100012=为有理数．综上可知，无理数有2个．故选B ．7 1.020020002，，中，无理数是（）A B ．1.020020002C ．D ．【答案】C 【分析】根据无理数的三种形式：∵开方开不尽的数，∵无限不循环小数，∵含有π的数，找出无理数即可．【详解】5=-，，1.020020002都是有理数，是无理数，故选C ．8．在17-，2π，0，3.14，0.326，，133-中，无理数的个数有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：497-=-， ∵无理数有2π，2-共2个，故选：B ．【过关检测】 1．在中，无理数的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据无理数的定义求解即可．【详解】解：2,,0.001π---是无理数，故选：C ．2．大于，而小于π的整数共有（） A ．7个 B ．6个C ．5个D ．4个【答案】A 【分析】找出大于-4而小于π的整数，即可得出答案．【详解】解：大于-4而小于π的整数有-3，-2，-1，0，1，2，3，共7个，故选：A ．3．在实数，0.3030030003…（每两个3之间多添一个0）中，无理数有（） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据无理数的概念即可判断．【详解】-2，3π，0.3030030003…（每两个3之间多添一个0）共3个，故选：B ．4 ） A ．4 B ．4±C ．2±D ．2【答案】C 【分析】原式利用算术平方根，平方根定义计算即可得到结果．【详解】，4的平方根是±2，故选：C ．5．已知一个数的平方根是3±，这个数是（）A ．B ．9C ．81D ．【答案】B 【分析】直接利用平方根的定义求解即可．【详解】解：∵3或-3的平方等于9， ∵这个数是9．故选B ．6．在0,2,-这四个数中，最小的数是（）A ．0B ．C ．D ．2【答案】B 【分析】根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．【详解】解：-2＜0＜2，∵最小的数是-2，故选：B．7．下列实数是无理数的是（）A B．13C．3.1415D．﹣5【答案】A【分析】根据无理数的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A.B. 13是有理数，不符合题意，C. 3.1415是有理数，不符合题意，D. ﹣5是有理数，不符合题意，故选A．8．在实数210,1.51,7π中，无理数的个数有（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】根据无理数的概念即可判断．【详解】解：∵2=-，则无理数为π2个，故选：C．9．在311-，0.223，2π，0.243456中，无理数有（）个．A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据无理数是无限不循环小数即可选出答案．【详解】2π两个，故选A．10．已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2（）A．2B．±2C．4D．±4【答案】C【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得：32m=-，53n=4故选：C。

《实数》讲义

《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。

简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。

有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。

实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。

也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

二、有理数有理数是实数的重要组成部分。

整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。

分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。

有理数具有一些很重要的性质。

比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。

而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。

我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。

比如购物时的价格、物品的数量等等。

三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。

像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。

圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。

无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。

虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。

四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。

加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。

乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。

除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。

乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。

在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

《实数》课件

实数大小的比较方法
近似数与误差的处理
教学难点
处理无理数的运算时的思维转换
通过图形辅助进行近似数的估算
运用实数的性质解决实际问题
02
教学方法与过程
教学方法
1 2
归纳式教学
通过具体的实例，引导学生了解实数的概念和性质，归纳出实数的定义和特征。
互动式教学
利用课堂上的师生互动，引导学生积极参与，形成良好的课堂氛围。
《实数》课件
xx年xx月xx日
目录
• 教学内容与目标 • 教学方法与过程 • 教学要求与目标 • 教学回顾与反思
01
教学内容与目标
教学内容
平方根与算术平方根
实数大小的比较
实数的分类与性质
无理数的概念与表示方法
近似数与误差
教学重点
实数的分类与性质
平方根与算术平方根的概念与运算
无理数的概念与表示方法
实数具有完备性和连续性。完备性是指任何两个实数之间必定存在一个中间数；连续性是指任何两个实数之间的差值可以无限小。
实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，运算的结果同样也是实数。此外，实数还有运算律和运算性质等。
实数在生活和生产中有着广泛的应用，如测量、计算、物理现象描述等等。
通过师生互动，引导学生积极参与，形成良好的课堂氛围。
通过问题情境的创设，引导学生自主探究，培养学生的创新精神和解决问题的能力。
教学内容的概括
实数的定义
实数的分类
实数的性质
实数的运算
实数的应用
实数是有理数和无理数的统称，即所有实数统称为实数。
实数可以分为有理数和无理数两大类，其中有理数包括整数和分数，无理数则是无限不循环小数。

(完整版)实数讲义

当时，，例如；
当时，，例如
5、立方根的概念及性质（例8）
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，也叫做的三次方根.如，2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（3）立方根的表示：数的立方根用符号“ ”来表示，读作“三次根号 ”。其中，称为被开方数，3称为根指数。
12、近似数（例15）
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数.
注意：近似数产生的原因主要有两种：（1）有些需要度量的数，由于受到测量工具精度的限制，得到完全准确的数值几乎是不可能的，这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示；（2）有时没有必要完全准确，用近似数表示就可以了.
6、开立方（例9）
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（1）开立方是一种运算，是与加、减、乘、除、乘方一样的运算，是求立方根的过程，立方和开立方互为逆运算.
（2）由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数（例10）
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）无理数的常见类型主要有以下3种：
（3）对于带有“文字单位”的近似数，在确定其精确到哪一位时，分为两种情况：文字单位前面是整数，如18亿，则它精确到文字单位这一位（亿位）；文字单位前面是小数，如2.61万，则先将它还原为普通数26100，此时1所在的数位（百位）就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中，没有平方根的是（）
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数；
圆周率及一些含有的数；
无理数与有理数的和、差，无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.

《实数》实数课件

微积分
实数在微积分中有着重要的地位，如函数的极限、导数、积分等概念都涉及到实数的运算，实数在微积分中的应用推动了人类对自然界的认识。
04
总结与回顾
本章重点回顾
实数的概念与分类
实数的运算和性质
平方根和立方根
绝对值和比较大小
进一步学习建议
加强练习
拓展知识
多做习题，加深对实数概念和性质的理解。
学习其他数学知识和技能，如三角函数、不等式等。
实数a的算术平方根记作sqrt(a)，定义有sqrt(a)≥0，且[sqrt(a)]^2=a。
乘方
对于任何实数a和正整数n，an叫做a的n次方，记作a^n，定义有a^0=1，且 a^n=a*a*...*a(n个a相乘)。
实数与数轴
定义
在数学中，可以用一条直线上的点来表示实数，这条直线叫做数轴。
数轴上的表示
03
金融计算
利率、汇率等金融数据可以用实数来表示，实数在金融领域的应用为
投资理财和经济分析提供了计算基础。
实数在数学领域中的拓展
代数基础
实数在代数中有着广泛的应用，如解方程、因式分解、求函数最值等，实数的引入为代数领域提供了更多的运算工具和研究对象。
三角函数
三角函数是实数在三角学中的应用，如正弦、余弦、正切等，实数与三角函数的结合为数学和物理等学科提供了重要的分析工具。
无理数
无限不循环小数叫做无理数，例如π、根号2等。
复数
在数系中加入虚数后，数学上将数集分为实数和复数两类。其中实数又分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数。复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数，非纯虚数包括实数和虚数。
02
实数的运算与几何意义

第一章实数

第一章实数与函数第一节实数数学分析是讲述函数理论的最基本的课程,是几乎所有后继数学课程的奠基石,而数学分析关于函数的研究都是定义在实数集上的,因此,我们将先叙述实数的有关概念.一、实数及其性质在中学数学课程中,我们已经知道实数由有理数和无理数两大部分构成.每一个有理数即可以用分数q p q qp ,,0(≠为整数）来表示,也可以用无限十进循环小数或有限十进小数(可看成是从某位开始全为零的无限循环小数)来表示,而不能表示成分数q p 的实数称为无理数.实数主要有以下一些性质:1．封闭性:任意两个实数在经过加、减、乘、除(除数不为0)运算后,所得的和、差、积、商仍然是实数.2．有序性:任意两个实数b a ,必定满足下列三个关系之一:.,,b a b a b a =<>3．稠密性:任意两个不相等的实数之间必会存在一个实数,并且既有有理数,也有无理数.4．阿基米德(Archimedes)性:对任何两个实数b a ,，如果0>>b a ，则存在正整数n ，使得.a nb >5．传递性:对任意三个实数,,a b c ,若,a b b c <<,则a c <.为方便起见.我们通常用R 来表示.即{}R x x =为实数.数轴是表示实数的一种几何方法,任一实数都与数轴上唯一一点形成对应,同样地,数轴上的每一点也唯一地对应着一个实数.正是由于所有实数与整个数轴上的点有着这样的一一对应关系,故在以后的描述中，对“实数a ”与“数轴上的点a ”不加以区别，视为具有相同的含义.二、绝对值与不等式从数轴上看，实数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离.数学中对实数a 的绝对值是这样定义的： ⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a . 绝对值有以下性质：1．,0≥-=a a 当且仅当0=a 时等号成立；2．对任何实数a ，总有a a a ≤≤-；3．对于两实数a 和b ，有ab a b =，a a b b =，()0b ≠； 4．当0≥h 时，h a h a ≥⇔≥或h a -≤； h a h h a ≤≤-⇔≤；5．对于任何实数b a ,有 b a b a b a +≤±≤-我们称该不等式为三角形不等式.下面只给出性质5的证明,其它性质的证明由读者自行完成.证明由性质可知 a a a ≤≤- b b b ≤≤-由同向不等式的相加法则得到 ()b a b a b a +≤+≤+-再由性质4,上式等价于 b a b a +≤+ ①若将①式中b 改为b -，不等式仍然成立，即证明了右边的不等式. 又因为b b a a +-=,根据①式有 b b a a +-≤所以 b a b a -≤- ②将②中b 改为b -，即证明了②左边的不等式.除了三角形不等式，我们经常还会用到以下两个不等式：1. 平均值不等式设12,,n x x x 为n 个正实数，则()121n x x x n ≤+++其中和()121n x x x n+++ 分别称为n 个实数的几何平均数与算术平均数.2. 伯努利不等式设n h ,1->为自然数，则有 ()11n h nh +≥+此不等式可用中学数学中的数学归纳法加以证明.第二节数集及其确界本节将为大家介绍实数集R 上的两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有界集，并给出作为极限的理论基础的确界定理.一、区间与邻域设R b a ∈,且b a <，我们规定：（1）满足{}R x b x a x ∈<<,的数集为开区间，记作()b a ,；（2）满足{}R x b x a x ∈≤≤,的数集为闭区间，记作[],a b ；（3）满足{}R x b x a x ∈<≤,的数集为左闭右开区间，记作[),a b ；（4）满足{}R x b x a x ∈≤<,的数集为左开右闭区间，记作(],a b ；其中[),a b 和(],a b 统称半开半闭区间.另外，我们用区间()+∞∞-,表示实数集R ，其中“∞”读作 “无穷大”.这样一来，我们可以用“∞+”和“∞-”表示以下的一些数集.如{}[),x x a a ≥=+∞ {}(],x x a a ≤=-∞ {}(),x x a a >=+∞{}(),x x a a <=-∞注意 “∞”所在端点均为开区间.若0,>∈δR a ，我们把满足δ<-a x 的所有实数称为点a 的δ邻域，记作(){}(),,U a x x a a a δδδδ=-<=-+当不需要证明邻域半径δ时，通常是对某个确定的邻域半径δ，常将它写作()U a ,简称a 的邻域.当数集中不包含点a 时，我们将满足δ<-<a x 0的全体实数称为点a 的δ去心邻域，记作(){}(){},0,a x x a a a a U δδδδ=<-<=-+- 同样地，当不需要注明邻域半径δ时，常将它写作()a U，简称a 的去心邻域. 另外，还有下面几种邻域的概念及符号表示，供大家参考：（1）点a 的δ右邻域(){}[),0,a x x a a a U δδδ+=≤-<=+，简记为()a U +；（2）点a 的δ左邻域(){}(],0,a x x a a a U δδδ-=-<-≤=-，简记为()a U -；（3）点a 的δ去心右邻域()(),,a a a U δδ+=+，简记为()a U + ；（4）点a 的δ去心左邻域()(),,a a a U δδ-=- ，简记为()a U -. 当M 为充分大的正数时，数集 (){}U x x M ∞=>, (){}U x x M +∞=>，(){}U x x M -∞=<-，分别称为∞邻域、∞+邻域、∞-邻域. 二、有界集及其确界在讲述概念之前，首先为大家介绍几个量词符号：（1）符号 “∀”表示“任意” 或“任意一个”，它被认为是将英文字母A 倒过来.（2）符号“∃”表示“存在”或“能找到”，它被认为是将英文字母E 反过来.应用这两个符号表述定义和定理既简练又明确.定义1-1 设E 是一个非空数集，若R M ∈，使得对E x ∈∀，有M x ≤,则称M 为E 的一个上界；若R L ∈，使得对E x ∈∀，有L x ≥，则称L 为E 的一个下界.显然，任何大（小）于M (L )的数，也都是E 的上（下）界.当数集E 既有上界又有下界时，称E 为有界集，即E 为有界集⇔0X ∃> ，使得对E x ∈∀有X x ≤,反之，若E 不是有界集，则称它为无界集.例1 证明R +无上界,]1,0[有界.证明因为对任意的]1,0[∈x ,有10≤≤x . 故]1,0[是有界的.而对任意M 0>，存在1,1M M M R ++∈+>，故任意M 0>都不是R 的上界，所以R +无上界.由定义不难看出，若一个数集有上界，则它必定有无穷多个上界，而在这无穷多个上界中，最受人们关注的是这些上界中最小的上界，我们称之为数集的上确界.类似的,我们把有下界的数集的最大下界，称之为该数集的下确界.下面给出它们的精确定义:定义1-2 设E 是非空数集，若R ∈∃α,且满足（1）,E x ∈∀有α≤x（2）,,00E x ∈∃>∀ε有x 0<-εα则称a 是数集E 的上确界，记作E sup =α①不难看出：（1）表明a 是数集E 的上界;(2)表明任何小于α的数εα-都不是数集E 的上界，即数集E 的上确界α是数集E 的最小的上界.类似地有：定义1-3 设E 是非空数集，若R ∈∃β,且满足，（1）,E x ∈∀有β≥x（2）,,00E x ∈∃>∀ε有εβ+<x 0则称β是数集E 的下确界，记作① “sup ”是remum sup （上确界）的缩写.E inf =β②同样地：（1）表明β是数集E 的下界；（2）表明任何大于β的数εβ+都不是E 的下界，即数集E 的下确界β是数集E 的最大的下界.例2 证明,11sup =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++N n n n 211inf =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++N n n n . 事实上，（1）,N n +∈∀有11<+n n ；（2）,1,00=∃>∀n ε有n n 0011+<-ε，（只须110->εn 即可），即 sup 11n n N n +⎧⎫∈=⎨⎬+⎩⎭又因为（1）,N n +∈∀有121+≤n n ；（2）,1,00=∃>∀n ε有0011122n n ε=<++，即 211inf =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++N n n n 例3 {},66,5,4,3,2,1sup = {}.16,5,4,3,2,1inf = 事实上，（1）{},6,5,4,3,2,1∈∀m 有;6≤m （2）{},6,5,4,3,2,16,0∈∃>∀ε有66<-ε，即 {}66,5,4,3,2,1sup = 又因为（1）{},6,5,4,3,2,1∈∀n 有;1n ≤ （2）{},6,5,4,3,2,11,0∈∃>∀ε有ε+<11，即 {}.16,5,4,3,2,1inf = 例4 证明((.),inf ,],sup b b a a =+∞=∞-② “inf ”是imum inf （下确界）的缩写.事实上，（1）(],,a x ∞-∈∀有;a x ≤（2）(],,00a x ∞-∈∃>∀ε，有x a 0<-ε，即 (.],sup a a =∞-又因为（1）(),,+∞∈∀b x 有;x b <(2) (),,,00+∞∈∃>∀b x ε有,0ε+<b x即 (.),inf b b =+∞由上面一些例子，我们容易看出：（1）有限数集必定存在上下确界，它的上下确界分别为该有限数集的最大数和最小数.(2)若数集E 有上下确界，则它的上下确界可能属于E （如(b b =∞-],sup ，也可能不属于E （如11sup =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++N n n n ）. 显然，无上（下）界的数集一定不存在上（下）确界，那么有上（下）界的数集是否一定存在上(下)确界呢？关于数集确界的存在性问题，本书给出如下定理：确界定理若非空数集E 有上（下）界，则数集E 必存在上（下）确界.这个定理虽然只是一个存在性的论断，但却是本书的理论基础.因此，我们要对其加以高度的重视.例5 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=, 证明：（1）{};sup ,sup max sup B A S = (2) {}.inf ,inf min inf B A S = 证明因为B A ,非空有界，所以S 非空有界.根据确界定理，S 的上下确界都存在.一方面，S x ∈∀，有A x ∈或B x ∈，于是A x s u p≤或B x sup ≤,从而{}B A x s u p ,s u p m a x ≤，即{};sup ,sup max sup B A S ≤另一方面，A x ∈∀，有S x ∈,于是S x s u p≤，从而S A sup sup ≤.同理S B s u p s u p ≤.所以有 {};sup ,sup max sup B A S ≥综上所述有 {}sup max sup ,sup S A B =.（2）同法可证. 注意若把∞+和∞-补充到实数集中，并规定任一实数a 与∞+，∞-的关系如下： +∞<-∞-∞>+∞<,,a a那么我们可以将确界定义加以推广：若数集S 无上界，则定义∞+为S 的非正常上确界，记作+∞=S sup若数集S 无下界，则定义∞-为S 的非正常下确界，记作-∞=S inf在这样的定义下，我们同样可以将确定定理加以扩充：任一非空数集必有上(下)确界（正常的或非正常的）.如：自然数集N 仅有下确界,但没有上确界，可以表示为,1inf =N +∞=N sup第三节函数的概念关于函数的概念，在中学数学中我们已有了初步的了解，本节将对此再作进一步的讨论.一、函数的定义定义1-4 设A 是非空数集.若存在对应关系f ，对A 中任意数()x x A ∀∈，按照对应关系f ，对应唯一一个y R ∈，则称f 是定义在A 上的函数，表示为:f A R →其中数x 对应的数y 称为x 的函数值，表示为()y f x =，x 称为自变量，y 称为因变量.数集A 称为函数f 的定义域，函数值的集合()(){}f A f x x A =∈称为函数f 的值域.关于函数的定义，我们需要做以下几点说明：1.函数的定义域和对应法则是确定函数的两个主要因素，所以我们常用()y f x =，x A ∈表示一个函数.并且我们说两个函数相同，是指它们具有相同的定义域和对应法则.如函数()()1,,f x x =∈-∞+∞和()()(),,00,x g x x x =∈-∞+∞ 由于定义域不同，所以是两个不同的函数.2.根据函数的定义，虽然函数都存在定义域，但是常常并不明确指出函数的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定义域是使得函数()y f x =有意义的实数x 的集合(){}A x f x R =∈.对于具有实际意义的函数，它的定义域则要受实际意义的约束.如球的体积V 是半径r 的函数343V r π=，其中[0,)r ∈+∞. 3.在函数定义中，对每一个x ，只能有唯一的y 值与它对应，这种函数称为单值函数.若允许同一个x 值可以和多于一个的y 值相对应，则称为多值函数.但在本书范围内，我们只讨论单值函数.二、函数的表示法在中学数学里，我们已经知道函数可以用三种方法来表示：解析法、列表法、图象法. 此外，有些函数在其定义域的不同部分用不同的解析式来表达，这样的函数我们将其称为分段函数.例如，函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的含义如下：当x 在()0,+∞内取值，对应的函数值等于1；当0x =时，则()00f =；当(),0x ∈-∞时，则()1f x =-.我们将这样的函数称为符号函数，记作sgn x .在以后的学习中，我们陆续还会碰到一些函数，它们无法用解析法、列表法或图象法表示，只能用言语来描述.如定义在R 上的狄利克雷函数()10,x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数为无理数.和定义在[]0,1上的黎曼函数 ()1,(,)0,0,1p p x p q q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩为正整数，为既约分数和无理数三、函数的四则运算我们知道函数有三要素：定义域、对应关系、值域.实质上当一个函数的定义域和对应关系确定时，它的值域也被唯一确定，因此定义两个函数的相等和四则运算，只须同时考虑定义域和对应关系这两个要素即可.给定两个函数()f x ，x A ∈和()g x ,x B ∈,记D A B = 且D ≠∅.现对()f x 与()g x 的相等及()f x 与()g x 在D 上的和、差、积的运算作如下定义：1.若B A =,且,A x ∈∀有()()x g x f =，则称函数()x f 与()x g 相等，表示为.g f =如()R x x x f ∈=,与()()22,.sin cos g x x x x x R =+∈虽然函数的解析式不同，但它们具有相同的定义域，并且对,R x ∈∀有()22sin cos x x x x =+于是，函数()R x x x f ∈=,与()()22,sin cos g x x x x x R =+∈相等. 相反的，对于函数()1+=x x f 与(){}21,1.1x g x x R x -=∈--虽然，对{}1-∈∀R x ，有112--=x x x 但是这两个函数的定义域不相等，于是()().x g x f ≠2.()()(),x g x f x F += D x ∈()()(),x g x f x G -= D x ∈()()(),x g x f x H = D x ∈若在D 中剔除使()0=x g 的x 值，即当(){}*0D x g x D =-=≠∅时，还可以对f 与g 在D *的商运算作出如下定义:()()(),x g x f x L = D x *∈如()()()()[]ln 1,,11,1f x x x g x x =-∈-∞=∈-与记 ()[])1,1[1,11,-=-∞-= D(){}{})1,1(1,1)1,1[0*-=---==-=x g x D D 则当D x ∈时，函数()x f 与()x g 的和、差、积分别为()()()()ln 1F x f x g x x =+=- ()()()()ln 1G x f x g x x =-=-- ()()()()1H x f x g x x ==- 而当D x *∈时，函数()x f 与()x g 的商为 ()()()ln 1f x x L x g x -==今后为叙述方便，我们将f 与g 的和、差、积、商常分别写作,g f + ,g f - ,fg.gf 四、复合函数在有些实际问题中，自变量与因变量的函数关系是通过其它变量才建立起来的.例如，函数y t ln = 与1-=x y经过中间变量y 的传递生成新函数()1ln -=x t ，于是t 又是x 的函数.仅对1-=x y 来说，x 可取任意实数，但是对生成的新函数而言，此处必须要求10y x =->，即1x >.此时我们将()1ln -=x t 称为函数y t ln =与1-=x y 的复合函数.下面给出复合函数的具体定义：定义1-5 设有两个函数()D u u f y ∈=,与()E x x g u ∈=, 若G 是E 中使()D x g u ∈=的x 的非空子集，即 (){},G x g x D x E =∈∈≠∅则对每一个G x ∈，按照对应关系g 对应唯一一个D u ∈，再按照对应关系f 对应唯一一个y .这样就确定了一个定义在G 上，以x 为自变量，y 为因变量的函数.记作()[],x g f y = G x ∈ 或 ()(),x g f y = G x ∈称为函数()D u u f y ∈=,与()E x x g u ∈=,的复合函数.其中()u f 称为外函数，()x g 称为内函数，u 为中间变量.如由函数yt =与()()x x y --=21生成的复合函数是()()()()x x t x g f --==21 ，而此时复合函数的定义域由0≥y 决定，即()(){}021≥--x x x .于是，此复合函数的定义域为{}21≤≤x x .当然复合函数也可以由多个函数复合而成.例如，由以下三个函数 ,log a y u = ()+∞∈,0uz u =, ),0[+∞∈z21,z x =- )1,1(-∈x形成的复合函数为logy = )1,1(-∈x .此外，我们不仅能将若干个简单函数生成为复合函数，而且还要善于将复合函数“分解”为若干个简单函数.例如，函数tan y =是由五个简单函数5,y u =,tan v u =,3w v =x t t w arcsin ,lg ==所生成的复合函数.注 f 与g 只是函数f 与g 的一种复合运算.一般来说，f g g f ≠. 例如，设(),sin x x f = ()2g x x =，则()()()()()22sin sin ,0.f g x x g f x x x =≠=∀≠这说明函数的复合运算与实数的加、乘运算不同，它不满足交换律，但容易证明它满足结合律：()()h g f h g f =.五、反函数定义1-6 设函数 ().,A x x f y ∈=若对于值域()A f 中每一个值0y ，A 中有且只有一个值x 0和它对应，即()y x f 00=，则按此对应法则能得到一个定义在 ()A f 上的函数，称这个函数为()x f 的反函数，记作f1-： ()A A f →或 ()1x y f -=，()A f y ∈关于定义的理解，需注意：（1）f 1-是f 的反函数，反之，f 也是函数f1-的反函数.此时称f 与f1-互为反函数.并且有()[]x x f f ≡-1，A x ∈ 和()1f y y f -⎡⎤≡⎣⎦，()A f y ∈(2)反函数()1x y f -=的定义域和值域恰好是原函数的值域和定义域.例如，函数12+=x y 的定义域为R ，值域也是R .R y ∈∀(值域)对应R （定义域）中唯一一个x ，即()121-=y x .则12+=x y 的反函数是()121-=y x ，.R y ∈ 又如()0,1x y a a a =>≠的定义域是R ，值域是()+∞,0.()+∞∈∀,0y 对应R 中唯一一个log a x y =，则()0,1x y a a a =>≠的反函数是log ax y =，()+∞∈,0y .实质上，并不是每一个函数都有反函数.那么什么样的函数才有反函数呢？我们有下面的定理：定理1-1 若函数()y f x =在数集A 严格增加（严格减少），则函数()y f x =存在反函数，且反函数()1x y f -=在()f A 也严格增加（严格减少）.注函数的严格单调仅是函数存在反函数的充分条件，而不是必要条件. 例如，如图1-1：函数1,10,01x x y x x -+-≤<⎧=⎨≤≤⎩刘玉莲26页显然函数在[]()[]1,10,2f-=上存在反函数()1,011,12y y x y fy y -≤≤⎧==⎨-<≤⎩,但在[]1,1-上该函数不是单调函数.另外，函数在其定义域上不一定有反函数，但是若将函数限定在定义域的某个子集上，它就可能存在反函数.如：1.2y x =在定义域R 上不存在反函数.因为0y ∀>，在定义域R上对应两个不同的x =，但若将2y x =限定在(]0,+∞,它是严格增加的，由定理可知，2y x =，[0,)x ∈+∞存在反函数[0,).x y =∈+∞2.三角函数sin ,cos y x y x ==在各自的定义域R 上都不存在反函数，但若将sin y x =定义在,22R ππ⎡⎤-⊂⎢⎥⎣⎦上，它是严格增加的，由定理1-1可知，它存在反函数[]arcsin ,1,1x y y =∈-.同样地，将cos y x =定义在[]0,R π⊂上，它是严格减少的，则存在反函数[]arccos ,1,1x y y =∈-.在数学中，人们习惯用x 表示函数的自变量，y 表示因变量.所以()y f x =的反函数()()1,x y y f A f -=∈常写作()()1,.y x x f A f-=∈而当函数()y f x =与其反函数()1x y f-=在一起讨论时，为避免混淆，常又将其反函数表示为()1x y f-=.由中学数学对一些常见函数的研究，我们不难看出函数()y f x =与它的反函数()1y x f-=的图象关于直线y x =对称.六、初等函数数学中，我们将常数函数,y c c =为常数、幂函数(y x αα=为实数）、指数函数()0,1x y a a a =>≠、对数函数()0,1log a y x a a =>≠、三角函数sin ,cos y x y x ==与反三角函数arcsin ,arccos y x y x ==等六类函数统称为基本初等函数.而凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合运算所得到的函数，统称为初等函数.例如log x y y ==以及多项式函数()()2012,,n n n x x x p a a a x a x =++++∈-∞+∞ 等都是初等函数.凡不是初等函数的函数，被称为非初等函数.如狄利克雷函数()1,0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数与符号函数 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩等.第四节函数的性质一、函数的有界性定义1-7 设f 为定义在A 上的函数，若存在数M ，对每一个x A ∈都有()()()f x M f x M ≤ ≥则称f 为A 上有上（下）界函数，M 称为f 的一个上（下）界.根据定义，若M 为f 的上（下）界，则任何大（小）于M 的数也是f 在A 上的上（下）界.类似的,设f 为定义在A 上的函数，若对每一个数M （无论M 多大），都存在数0x A ∈，使得()0f x M >，则称f 为A 上无上界函数.定义1-8 设f 为定义在A 上的函数，若存在正数M ，对每一个x A ∈都有()f x ≤M则称f 为A 上有界函数.根据定义，f 为A 上有界函数，意味着f 在A 上既有上界又有下界，它的图象完全落在以直线y M =与y M =-为边界的带形区域内（y M =与y M =-不一定与曲线()y f x =相切）.如正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =对每一个x R ∈，都有 sin 1x ≤和cos 1x ≤所以它们都是有界函数.作为练习，请自行写出无下界函数与无界函数的定义.二、函数的单调性定义1-9 设函数()f x 在数集A 有定义。

《实数》课件精品公开课

《实数》课件精品公开课一、教学内容1. 实数的定义及性质2. 有理数的概念及表示3. 无理数的概念及表示4. 实数与数轴的关系二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的性质和分类。

2. 能够正确区分有理数和无理数，并在数轴上表示出来。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：无理数的概念及其在数轴上的表示。

教学重点：实数的定义及分类，有理数与无理数的区别与联系。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、数轴图。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入实数的概念，例如测量一块不规则图形的面积，引出无理数的概念。

2. 新课导入：讲解实数的定义、性质及分类，重点讲解有理数和无理数的概念。

3. 例题讲解：讲解有理数与无理数在数轴上的表示方法，并举例说明。

4. 随堂练习：让学生在数轴上表示给定的有理数和无理数，并检查答案。

5. 知识拓展：介绍实数在生活中的应用，如建筑、科学计算等。

六、板书设计1. 实数的定义、性质及分类2. 有理数与无理数的概念及表示方法3. 实数与数轴的关系七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）0.333…、3/2 有理数；π、√2 无理数（2）见附图八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念及分类掌握情况较好，但在无理数的理解上存在一定难度，需要在课后加强辅导。

2. 拓展延伸：引导学生研究实数的运算规律，为下一节课的内容做好准备。

重点和难点解析：1. 教学难点：无理数的概念及其在数轴上的表示。

2. 例题讲解：讲解有理数与无理数在数轴上的表示方法，并举例说明。

3. 作业设计：作业题目的设置需针对学生难以理解的无理数部分进行强化。

4. 课后反思及拓展延伸：针对学生在无理数理解上的困难，进行反思和拓展延伸。

一、教学难点解析：无理数的概念及其在数轴上的表示1. 无理数的定义：无法表示为两个整数比的数，其小数部分是无限不循环的。

沪教版高中数学实数的运算法则与性质教案2023

沪教版高中数学实数的运算法则与性质教案2023一、引言实数是数学中重要的基本概念之一，它在现实生活和各个领域的应用中起着重要的作用。

了解实数的运算法则和性质对于我们理解和应用实数具有重要意义。

本教案将围绕实数的运算法则和性质展开，提供一种系统的教学方法。

二、实数的基本性质1. 实数的定义：实数集是由有理数集和无理数集构成的，且实数集中的数可以进行加、减、乘和除的运算。

实数具有良定义性、可比较性和稠密性的特点。

2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能以此形式表示。

例如，根号2、圆周率π都属于无理数。

3. 实数的有序性：实数集中的数可以按照大小进行排列，两个实数之间可以进行比较。

实数的大小关系具有传递性、反对称性和完备性等性质。

三、实数的运算法则1. 实数的加法法则：- 交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a；- 结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)；- 对于任意实数a，a + 0 = a，其中0表示零元素；- 对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0，其中-b表示a的相反数。

2. 实数的减法法则：- 减法的定义：对于任意实数a和b，a - b等价于a + (-b)；- 减法与加法的关系：a - b = a + (-b)。

3. 实数的乘法法则：- 交换律：对于任意实数a和b，a × b = b × a；- 结合律：对于任意实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)；- 对于任意实数a，a × 1 = a，其中1表示单位元素；- 对于任意实数a，若a ≠ 0，则存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1，其中1/a表示a的倒数；- 零乘法则：对于任意实数a，a × 0 = 0 = 0 × a。

《实数》课件精品公开课

《实数》课件精品公开课一、教学内容本节课选自教材《数学》七年级下册第十章“实数”一节。

详细内容包括：实数的定义、分类及其在数轴上的表示；无理数的概念及其与有理数的区别；实数的运算规则，特别是无理数与有理数的混合运算。

二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类，能够正确地在数轴上表示实数。

2. 了解无理数的性质，能够区分有理数和无理数，并掌握基本的运算规则。

3. 提高学生的数学思维能力，培养他们解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：无理数的概念及其运算规则。

教学重点：实数的定义和分类，实数在数轴上的表示。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、实数教学挂图、数轴模型。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引出实数的概念。

2. 知识讲解：(1) 介绍实数的定义、分类及数轴上的表示方法。

(2) 详细讲解无理数的概念，通过例题讲解无理数与有理数的区别。

(3) 讲解实数的运算规则，特别是无理数与有理数的混合运算。

3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，进行详细的解题步骤分析。

4. 随堂练习：布置一定数量的练习题，让学生及时巩固所学知识。

六、板书设计1. 实数的定义、分类及数轴上的表示。

2. 无理数的概念及性质。

3. 实数的运算规则。

4. 例题及解题步骤。

七、作业设计1. 作业题目：(1) 判断下列数中，哪些是有理数，哪些是无理数？(2) 计算下列各题的结果：a. √2 + 3b. √9 2/3c. (3√2) × (2√3)(3) 在数轴上表示下列实数：2, 3/4, √5, 1/2√2。

2. 答案：见课后附页。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对实数的概念和分类有了清晰的认识，但无理数的运算仍是难点，需要在今后的教学中加强练习。

2. 拓展延伸：引导学生探索实数与数轴上的点之间的关系，了解实数在实际生活中的应用，如几何图形的面积、体积计算等。

《实数》讲义

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。

简单来说，实数包括了有理数和无理数。

有理数，就是可以表示为两个整数之比的数，例如整数、有限小数和无限循环小数。

像 2、－3、05（即 1/2）、0333（即 1/3）等都是有理数。

而无理数，则是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式。

比如圆周率π（约为 314159）、根号 2（约为 1414）等。

实数可以直观地看作数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。

二、实数的分类实数的分类方式有多种，常见的分类方法如下：1、按符号分类（1）正实数：大于 0 的实数，如 2、35 等。

（2）负实数：小于 0 的实数，如－2、－35 等。

（3）零：既不是正数也不是负数的实数。

2、按性质分类（1）有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）。

（2）无理数：无限不循环小数。

三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。

（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2 。

（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。

2、乘法和除法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如，3 × 5 ＝ 15，－3 ×（－5) ＝ 15，3 ×（－5) ＝－15 。

（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

例如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 。

3、乘方和开方（1）乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

例如，2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8 。

上海教育版数学七下12.1《实数的概念》word教案

12.1实数的概念教学目标1．通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.2. 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.3. 了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想. 教学重点及难点理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.教学过程设计一,复习引入教师设问：(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(≠q q p qp 都是整数，且的形式？ [说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.二,学习新知1．操作剪拼正方形，引出2.要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？师：如果设该正方形的边长为x ，那么22=x ，即x 是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示.追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示.2．尝试说明2是一个无限不循环小数. 要求学生尝试完成以下填空：假设2是一个有理数，设)0,(2≠=q q p qp 表示整数且互素，同时，等式两边分别平方，可以得到2= ，则2p = ，由此可知p 一定是一个（填“奇”或“偶”）数，再设p=2n(n 表示整数)，代入上式，那么2q = ，同理可知q 也是 .这时发现p 、q 有了共同的因数2，这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立，即2不是，而是无限不循环小数. 师生总结：从以上填空可以说明2是无限不循环小数. 3．请你再举出几个无限不循环小数的例子. 除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.三,形成概念1．无理数无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.(无理数的相反数还是无理数)2．实数有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：正有理数有理数零 ——有限小数或无限循环小数实数负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数有理数还可以分为整数和分数两类四,巩固练习1．将下列各数填入适当的括号内：0、-3、2、6、3.14159、32.0 、722、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；非负数：﹛ ﹜；整数：﹛ ﹜.2．判断下列说法是否正确，并说明理由：(1) 无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数； (4)实数可以分为正实数和负实数两类；(5)一个数不能化为分数，它一定是无限不循环小数； (6)一个实数不是有理数，就是无理数；(7)一个有理数，不是正，就是负； (8)一个无理数，不是正，就是负；(9)有的无理数可以用有限小数表示。

实数理论概说

实数理论概说实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。

实数包括所有的有理数和无理数。

比如0、 -4.8、、等。

但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全体。

根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。

以边长为1的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414）。

但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。

正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1，2，3 ...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击，这就是所谓的第一次数学危机。

从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。

在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

在目前的初等数学中，没有对实数进行严格的定义，而一般把实数看作小数（有限或无限的）。

实数的完整定义在几何上，直线上的点与实数一一对应。

实数可以分为有理数（如42、）和无理数（如π、√2）两类，也可以分为代数数和超越数（有理数都是代数数），或正数，负数和零三类。

实数集合通常用字母R或表示。

而R n表示n维实数空间。

实数是不可数的。

实数的有关概念课件

VS
详细描述
实数的乘法运算具有结合律和分配律，即 (ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。乘法运算在实数轴上表示为标量积，即结果向量的长度为两个向量长度乘积的绝对值。
除法运算
总结词
实数的除法运算是将一个实数除以另一个非零实数，得到商的操作。
详细描述
除法运算可以理解为乘上倒数，即 a/b=a*1/b。除法运算在实数轴上表示为向量缩放，即结果向量的长度为被除数向量长度除以除数向量的长度。
03
实数的运算
加法运算
要点一
总结词
实数的加法运算是指将两个实数相加，得到另一个实数的操作。
要点二
详细描述
实数的加法运算具有交换律和结合律，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。加法运算在实数轴上表示为向量相加，即求得两个向量终点坐标的和作为结果向量的终点坐标。
减法运算
总结词
整数与小数
整数
整数包括正整数、零和负整数，如1、0、-1、200等。整数是数学中基本的计数系统，具有封闭性，即任意两个整数的四则运算结果仍为整数。
小数
小数是一种特殊的实数，可以表示为有限小数或无限循环小数，如0.5、0.333... 等。小数可以用来表示精确度或比例，如测量时的精确数值或价格的比例关系。
02
数轴上的点与实数一一对应，可以用实数表示点的位置，也可以用点表示实数的值。
03
数轴上的点可以按照大小关系进行排列，从而将实数也按照大小关系进行排列。
02
实数的分类
有理数与无理数
有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。有理数在数轴上表示为两点之间的线段。

上海初中实数的教案

上海初中实数的教案教学目标：1. 理解实数的定义和性质；2. 掌握实数的运算方法；3. 能够运用实数解决实际问题。

教学内容：1. 实数的定义和性质；2. 实数的运算方法；3. 实数在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入实数的概念，让学生回顾已学的有理数和无理数；2. 提问学生：实数和有理数、无理数之间的关系是什么？二、实数的定义和性质（15分钟）1. 讲解实数的定义，强调实数包括有理数和无理数；2. 引导学生理解实数的性质，如对称性、周期性等；3. 通过示例让学生熟悉实数的表示方法，如小数、分数、根号等。

三、实数的运算方法（15分钟）1. 复习实数的运算规则，如加、减、乘、除等；2. 让学生通过示例掌握实数的运算方法，注意运算顺序和运算法则；3. 练习题让学生巩固实数的运算方法。

四、实数在实际问题中的应用（15分钟）1. 引入实际问题，如长度、面积、体积等；2. 引导学生运用实数解决实际问题，如计算物体的长度、面积等；3. 让学生通过实际问题理解实数的重要性。

五、总结和作业（5分钟）1. 总结实数的定义、性质和运算方法；2. 强调实数在实际问题中的应用；3. 布置作业，让学生巩固实数的相关知识。

教学评价：1. 课堂讲解清晰，学生能够理解实数的定义和性质；2. 学生能够掌握实数的运算方法，并能够运用实数解决实际问题；3. 作业批改及时，学生能够巩固实数的相关知识。

教学资源：1. 教材或教辅书；2. 实数的运算规则和示例；3. 实际问题相关的图片或案例。

《实数的有关概念》课件

除法
总结词
实数除法的定义与性质
详细描述
实数除法是通过乘法和减法来实现的，即a/b=a*(1/b)或a/b=a+(-b)。实数除法同样遵循结合律、交换律和分配律。在几何上，实数除法可以理解为面积的变换。
乘方与开方
总结词
实数乘方与开方的定义与性质
详细描述
实数乘方是指数的连乘，记作a^n(n为正整数)，其性质包括乘方的交换律、结合律和指数法则。开方则是乘方的逆运算，表示求一个数的平方根。实数的开方具有非负性，
实数与数轴上的点
实数是数轴上点的集合，数轴是实数的几何表示。
实数的有序性表现在数轴上就是点的有序性，即任意两个不同的实数在数轴上都有明确的左右关系。
实数的连续性表现在数轴上就是点的连续性，即任意两个不同的实数在数轴上都只被一个点所分隔。
实数的大小比较
在数轴上，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
即对于任意实数a，有√a^2=a。
03
实数与数轴
数轴的表示
实数在数轴上表示为一个个的点，每个实数对应数轴上的一个点，数轴上的每个点也对应一个实
数。
正数、负数和零在数轴上都有各自的位置，正数在零的右边，负数在零的左边，零既不是正数也
不是负数。
数轴上还包括无穷大和无穷小的概念，表示实数的极限情况。
物理定律的数学表达
许多物理定律可以用实数表示，如牛顿第二定律 F=ma，爱因斯坦的相对论等。
数据分析和预测
通过测量和实验得到的物理数据通常为实数，对这些数据进行统计分析可以帮助我们预测和解释物理现象。
在日常生活中的应用
金融和经济学
01
在金融和经济学中，实数被用来表示货币、资产价值、成本等

《实数的概念》课件

实数在生活中的应用
温度计上的实数
温度计上的数字表示实际温度
温度计在生活中的应用：测量体温、监测天气等
温度计的种类：水银温度计、电子温度计等
温度计的准确性和使用注意事项
身高体重指数（BMI）中的实数
身高体重指数（BMI）的定义 BMI中的实数计算 BMI指数在健康生活中的应用如何根据BMI指数调整生活方式
课堂互动环节设计
案例分析：通过分析具体案例，让学生更好地理解实数的概念和应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分组讨论：将学生分成小组，让他们讨论相关问题，提高合作能力
课堂测验：通过小测验或练习题，检验学生对实数概念的理解和掌握情况
练习题与答案解析
● 题目1：什么是实数？答案1：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数、分数、小数等，无理数包括无限不循环小数等。
添加标题添加标题添加标题添加标题
地图上的经纬度
经纬度定义：经度和纬度是地图上的两个基本坐标系统，用于确定地球上任何位置的坐标。
实数与经纬度的关系：经度和纬度都是实数，可以用小数或度数表示。
经纬度在地图上的应用：通过经纬度可以确定地球上任何位置的精确位置，从而进行导航、定位和地理信息系统的应用。
添加标题
添加标题
实数与其他数学概念的关系
总结与回顾
本节课的重点与难点总结
重点：实数的概念、分类和性质
难点：实数的运算规则和实际应用
解决方法：通过例题讲解和练习巩固，加深对实数概念的理解和掌握
总结：回顾本节课所学内容，强调容
数
无理数与有理数的区别：定义、性质、运算规则等方面
的差异

课题 10.3 实数

课题 10.3 实数课题 103 实数在我们的数学世界中，实数是一个非常重要的概念。

它就像是一座大厦的基石，支撑着整个数学体系的构建。

那么，什么是实数呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。

实数，简单来说，就是包括有理数和无理数的数的集合。

有理数，我们比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

比如 5、0、－3 这些整数，以及 1/2、－3/4 这样的分数，都是有理数的成员。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数。

最著名的无理数当属圆周率π和自然常数 e 了。

π的值约为31415926……，它的小数位无穷无尽且没有循环的规律。

同样，e 的值约为271828……，也是一个无限不循环小数。

实数的表示方法多种多样。

在数轴上，每一个实数都对应着一个唯一的点。

比如说，整数2 就对应着数轴上距离原点2 个单位长度的点。

而无理数π，则对应着一个无限接近但永远无法精确到达的点。

实数具有很多重要的性质。

首先是有序性，也就是说，对于任意两个不同的实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＞ b，不存在第三种情况。

其次是稠密性，这意味着在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。

比如在 1 和 2 之间，就有 11、12、13 等等无数个数。

实数的运算规则也十分丰富。

加法、减法、乘法、除法是最基本的运算。

对于加法和乘法，实数满足交换律、结合律和分配律。

比如 a＋ b ＝ b ＋ a，a × b ＝ b × a ，（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) 等等。

在实际生活中，实数的应用无处不在。

我们去购物时，商品的价格就是实数；测量物体的长度、重量、体积等，得到的结果也是实数；在科学研究中，各种实验数据、物理常量等也都是实数。

比如说，建筑工人在建造房屋时，需要精确测量各种尺寸，如长度、宽度、高度等，这些测量值都是实数。

工程师在设计桥梁时，要计算桥梁的承载能力、结构强度等，用到的各种参数也都是实数。

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