2018年高考数学二轮复习练习(江苏) 限时集训3 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题含答案
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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3.(2016·天津改编)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是 边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的
1 值为____8____.
解析
答案
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4.(2016·浙江)已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e| 1
例1
(1)设 1
0<θ<π2，向量
a＝(sin
2θ，cos
θ)，b＝(cos
θ，1)，若
a∥b，则
tan θ＝___2_____.
解析 因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2θ，即2sin θcos θ＝cos2θ.
因为 0<θ<π2，所以 cos θ>0， 得 2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.
＝(13)2＋0－1＝－89.
押题依据
解析答案
Байду номын сангаас 23 4
3.在△ABC 中，A→B＝(cos 32°，cos 58°)，B→C＝(sin 60°sin 118°， 3
sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为_____8___.
押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出 条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点.
思维升华
解析
答案
跟踪演练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的位置如图 所示，则向量A→D在A→B方向上的投影为__－___55___.
解析
答案
(2)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝13，D→C＝2B→D，则A→D·B→C 的值为__－__2____.
江苏专版2018年高考数学二轮复习知识专题突破专题限时集训3导数
专题限时集训(三) 导数(对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.]2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________．(0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x －2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.] 5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.]7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中： ①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值． 正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数 f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值 ，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x(x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________. 相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x)与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )， ∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cosx ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f(x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0⇒m ＞e －1e .]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m ＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ， 由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点， 而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)， 所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0， 由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减； 当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增． 所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.] 14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比， 所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4，6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2， 设每日销售套题所获得的利润为F (x )， 则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0，∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)． 所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ， 所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0， 所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由． [解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； 当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x2，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分 由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.14分18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分所以g (x )＝cos x e x －sin x e x ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分 令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点， 由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0， 所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分 所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝0，即a ＝e －3π2，在x ＝3π2处同号，不成立；若F ′(2π)≤0，则F ′(x )＝0有3个零点，不成立，14分 所以只有F ′(2π)＞0. 所以满足的条件为：⎩⎪⎨⎪⎧F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ＜0Fπ＝g π－a ＝e －2π－a ＞0，解得－e －π2＜a ＜e －2π或a ＝e －3π2，16分(注：利用图象直接得出－e －π2＜a ＜e －2π或a ＝e －3π2扣4分．)19．(本小题满分16分)(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln xx，g (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －ax 2－1.(1)求y ＝f (x )的最大值；(2)当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e 时，函数y ＝g (x )(x ∈(0，e])有最小值．记g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f ′(x )＝1－ln xx2(x ＞0)， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以当x ＝e 时， f (x )取得最大值f (e)＝1e .4分(2)g ′(x )＝ln x －ax ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x x －a ，由(1)及x ∈(0，e]得：①当a ＝1e 时，ln xx －a ≤0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，当x ＝e 时，g (x )取得最小值g (e)＝h (a )＝－e2.8分②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， 1e ，f (1)＝0≤a ，f (e)＝1e ＞a ， 所以存在t ∈[1，e)，g ′(t )＝0且ln t ＝at ，当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ∈(t ，e]时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )的最小值为g (t )＝h (a ). 12分 令h (a )＝G (t )＝t ln t2－t ，因为G ′(t )＝ln t －12＜0，所以G (t )在[1，e)单调递减，此时G (t )∈(－e2，－1]．综上，h (a )∈[－e2，－1].16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x e x (为自然对数的底数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )，若存在请求出，否则说明理由；(3)若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0. 【导学号：56394020】[解] (1)函数y ＝f (x )的单调递减区间是(1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).(2)不存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )成立，事实上，由(1)知函数y ＝f (x )在(－∞，1)上递增，而当x ∈(0,1)，有y ∈(0,1)，在(1，＋∞)上递减，有0＜y ＜1，因此，若存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )，必有x ∈(0,1).6分 令F (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝x ＋1e x ＋(x －1)e x， 令F ′(x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，因为x ∈(0,1)，所以F ′(x )＞0，所以F (x )为(0,1)上的增函数，所以F (x )＞F (0)＝0，即f (1＋x )＞f (1－x )，故不存在正实数使得f (1－x )＝f (1＋x )成立. 8分(3)若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则x 1和x 2中，必有一个在(0,1)，另一个在(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞).10分 ①若x 2≥2，则x 1＋x 22∈(1，＋∞)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0； ②若x 2∈(1,2)，由(2)知：当x ∈(0,1)，则有f (1＋x )＞f (1－x )，而1－x 1∈(0,1)，所以f (2－x 1)＝f [1＋(1－x 1)]＞f [1－(1－x 1)]＝f (x 1)＝f (x 2)，即f (2－x 1)＞f (x 2)，而2－x 1，x 2∈(1,2)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，13分 ∴2－x 1＜x 2，即有x 1＋x 22∈(1，＋∞)，由(1)知：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0； 综合①②得：若存在不等实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则总有f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0.16分。
2018届江苏高考数学专题练习函数
2018届江苏高考数学专题练习——函数1. 已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，那么2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 ．2. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，那么知足2))((2))((a f a f f =的的取值范围为 ．3. 已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x R ∀∈恒成立，那么2m a b +-= ．*4. 已知函数f (x )＝e x -1－tx ，x 0∈R ，f (x 0)≤0，那么实数t 的取值范围 ．5. 已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6xx 2+4x ＋3，x ∈0,4］，那么f (x )最大值是 ．*6. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，假设()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，那么实数m 的取值范围是 .7. 已知函数2()12f x x x =-的概念域为[]0m ，，值域为20am ⎡⎤⎣⎦，，那么实数a 的取值范围是 . *8. 假设存在实数，使不等式2e 2e 10x x a +≥-成立，那么实数的取值范围为 ．9. 设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，假设关于的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，那么实数的取值范围是 ．*10. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．假设函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，那么实数k 的取值范围是 ．11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈12，1]）的图象为C ．若是任何斜率不小于1的直线与C 都最多有一个公共点，那么a 的取值范围是 ．12. 假设函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，那么知足条件的实数m 组成的集合为 .13.已知实数x，y知足约束条件-0-50-30x yx yy≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，假设不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立，那么实数m的最大值是.14.函数f (x )＝1lg x＋2－x 的概念域为________.15.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为________.16.设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，那么实数a 的最大值为________.17.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝3，那么a ＝________.18.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，假设方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是________.19.假设函数f (x )是概念在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数.若是实数t 知足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.20.已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，假设函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，那么实数k 的值是________.21.设函数f (x )={3x −1,x <12x ，x ≥1,那么知足f(f (a ))=2f (a )的a 的取值范围_______.(类2)（注：“*”为难题）2018届江苏高考数学专题练习——函数参考答案1. 【答案】（1,2）.【解析】1()4102x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，由2220234x x x x x ⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩得1<x<2. 2. 【答案】}2132|{=≥a a a 或 . 3.4. 【答案】(－∞，0)∪1，+∞)．5.6. 【答案】102m -≤<.【解析】法一：由题意得：当0m ≥时，函数2()222f x x mx =+-的对称轴02m-≤，且(0)1f =-， 因此，现在()f x 在[]0,1上最多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞没有零点.因此，0m ≥不符合 题意．当0m <时，函数2()221f x x mx =+-的对称轴02m->，且(0)1f =-，因此，现在()f x 在[]0,1 上最多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞最多有一个零点，假设()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点， 那么要求012221020m m m ⎧<-≤⎪⎪+-≥⎨⎪+>⎪⎩，解之可得102m -≤<.综上：12m -≤<7.8. 【答案】[1,)-+∞【解析】2e 2e 10x x a +≥-2221212,(0),21 1.xx xe a t t t t t a e e-⇒≥=-=>-≥-∴≥- 9. 【答案】()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.【解析】当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，现在24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，因此1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，现在24a >解得12a <， 又12a -<≤，因此112a -<< 当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，因此334a a a ->即370a a ->解得70,a -<<或7a >又因为2a >，因此7a >；综上所述，的取值范围是()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.10. 【答案】(1，2]．【解析】f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))22xx 33x11yxO－k 有3个不同的零点． 11. 【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．12. 【答案】{2}13. 【答案】2513【解析】作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部份所示，显然，A (2，3)，B (3，3)，令目标函数z=y x ，它表示通过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，也确实是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u=222()x y x y++，那么u=1+222xyx y +=1+2x y y x+=1+21z z +1≤z ≤32，当1≤z ≤32时，2≤1z +z ≤136，从而1213≤21z z+≤1，因此2513≤1+21z z+≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.14.(0，1)∪(1，2]15. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 16.解析 函数f (x )图象的对称轴x ＝－a －22，那么函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－a －22上单调递减，在区间⎣⎡⎭⎫－a －22，＋∞上单调递增，因此2≤－a －22，解得a ≤－2. 17. e 或1e18. 画出函数f (x )的图象如下图，观看图象可知，假设方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，那么函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，现在需知足0<a <1. 答案 (0，1)19. 依题意，不等式f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (|ln t |)≤2f (1)，即f (|ln t |)≤f (1)，又|ln t |≥0，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此有|ln t |≤1，－1≤ln t ≤1，1e ≤t ≤e ，即实数t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1e ，e . 20.解析 利用等价转化思想求解.函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，即方程f (x 2)＋f (k －x )＝0只有一解.又f (x )是R 上的奇函数，且是单调函数，因此f (x 2)＝－f (k －x )＝f (x －k )，即x 2－x ＋k ＝0只有一解，因此Δ＝1－4k ＝0，解得k ＝14.21.[23 ，+∞)。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
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高考真题体验
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1.(2016·四川改编)为了得到函数 y＝sin2x－π3的图象，只需把函数 y＝sin 2x π
的图象上所有的点向___右___平行移动____6____个单位长度.
由 2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π8(k∈Z)， 故 y＝f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋π8(k∈Z).
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高考押题精练
1 23
1.已知函数
f(x)＝sinωx＋
π5(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距
离为π2.为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象向
y＝tan x 的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z).
2.y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
解析 由题意可知，y＝sin2x－π3＝sin2x－π6， 则只需把 y＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位.
解析答案
1 234
2.(2016·课标全国甲改编)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长 度，则平移后图象的对称轴为_x_＝__k2_π_＋__π6_(k_∈__Z_)_. 解析 由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度后得到函 数的解析式为 y＝2sin2x＋π6， 由 2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得函数的对称轴为 x＝k2π＋π6(k∈Z).
2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(三) Word版含解析
3个附加题综合仿真练(三)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 为圆O 的切线,A 为切点,C 为线段AB 的中点,过C 作圆O的割线CED (E 在C ,D 之间)、求证：∠CBE ＝∠BDE 、 证明：因为CA 为圆O 的切线, 所以CA 2＝CE ·CD ,又CA ＝CB , 所以CB 2＝CE ·CD , 即CB CE ＝CD CB , 又∠BCD ＝∠BCD , 所以△BCE ∽△DCB , 所以∠CBE ＝∠BDE 、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]设a ,b ∈R 、若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下,得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0、求实数a ,b 的值、解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7),N (1,7－a ),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1,可知点M (0,7),N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b ),N ′(3,b (7－a )－1),由题意可知：M ′,N ′在直线9x ＋y －91＝0上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ,b 的值分别为2,13、法二：设直线l 上任意一点P (x ,y ),点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ， 由Q (x ′,y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上, ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0, 即26x ＋by －91＝0, ∵点P 在ax ＋y －7＝0上, ∴26a ＝b 1＝－91－7,解得a ＝2,b ＝13、∴实数a ,b 的值分别为2,13、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ、若直线l 与圆C 有且只有一个公共点,求a 的值、解：由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a ,得32ρcos θ－12ρsin θ＝a , 故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0, 由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ,得ρ2＝4ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4,若直线l 与圆C 只有一个公共点,则圆心C 到直线l 的距离等于半径,故d ＝|－2－2a |2＝2,解得a ＝1或a ＝－3、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ∈R,a >b >e(其中e 是自然对数的底数),求证：b a >a b 、 证明：∵b a >0,a b >0,∴要证b a >a b , 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a ,构造函数f (x )＝ln xx ,x ∈(e,＋∞)、则f ′(x )＝1－ln xx 2,x ∈(e,＋∞),f ′(x )<0在区间(e,＋∞)上恒成立,所以函数f (x )在x ∈(e,＋∞)上是单调递减的, 所以当a >b >e 时,有f (b )>f (a ), 即ln b b >ln aa ,故b a >a b 得证、2、从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记X 为所组成三位数的各位数字之和、(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望、 解：(1)记“X 是奇数”为事件A , 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48、X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28,所以P (A )＝2848＝712、故X 是奇数的概率为712、(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9、当X ＝3时,组成的三位数是由0,1,2三个数字组成, 所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时,组成的三位数是由0,1,3三个数字组成, 所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时,组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成, 所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时,组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成, 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时,组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成, 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时,组成的三位数是由1,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时,组成的三位数是由2,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝9)＝648＝18、所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254、 3、设P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C knm m ＋k,Q (n ,m )＝C n n ＋m ,其中m ,n ∈N *、 (1)当m ＝1时,求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *,证明：P (n ,m )·Q (n ,m )恒为定值、 解：(1)当m ＝1时,P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)kC k n11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1, 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1,显然P (n,1)·Q (n,1)＝1、 (2)证明：P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nmm ＋k ＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)kC k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1,m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1,m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k nmm ＋k＝P(n－1,m)－mn P(n,m)即P(n,m)＝nm＋nP(n－1,m),由累乘,易求得P(n,m)＝n！m！(n＋m)！P(0,m)＝1C n n＋m,又Q(n,m)＝C n n＋m,所以P(n,m)·Q(n,m)＝1、。
专题03 三角函数讲-2018年高考数学二轮复习讲练测江苏
2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数学】专题三 三角函数考向一 三角恒等变形 1.讲高考（1） 考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差 的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.（2）命题规律：1.预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围、方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；2.对三角恒等变换的考查力度与以往不会有变化，还是和向量、不等式等综合考察，复习时需加强这方面的训练.例1【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈.例2在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．2.讲基础1．巧记六组诱导公式 对于“απ±2k ，Z k ∈的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．2.“死记”两组三角公式（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαααβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=3.讲典例【例1】【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】17250【解析】sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ππ2ππsin 2sin2cos264266ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为α为锐角, 所以2ππ3πππ24sin 1cos sin22sin cos 66566625ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2ππ167cos22cos 121662525αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 22471722252550⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【趁热打铁】【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则cos 2x =______________.【答案】0或45-【名师点睛】观察次数上的差异和角的差异，故齐次化、弦切互化和用二倍角公司分别计算tan ,cos 2x x .【例2】【溧水高级中学2018届高三上期初模拟】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 7cos29β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求cos β的值； （2）求sin α的值.【答案】（1）1cos 3β=-（2）13【名师 点睛】据β的范围，确定cos 0β<，直接利用二倍角的余弦，求cos β的值；（2）根据（1）求 出sin β，再求出()42cos 9αβ+=-，通过 ()()()cos cos sin sin sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+-+⎣⎦，求sin α的值.【趁热打铁】已知()10,,cos 3απα∈=-. （1）求cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求223sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）426-；（2）427318-.【解析】（1）∵22sin cos 1αα+=， 1cos 3α=-∴28sin 9α=，又∵()0,απ∈ ∴22sin 3α=，又∵cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= cos cos sin sin 44ππαα+=212222323⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭ 426-． （2）∵22sin 3α=， 1cos 3α=- ，42sin22sin cos 9ααα=⋅=-227cos2cos sin 9ααα=-=-， 2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22sincos2cos sin233ππαα⋅+⋅= 371422929---⋅+⋅427318-=． 【名师点睛】复合角与特殊角有关，故可以利用两角和差的公式计算，注意需要计算2α的三角函数．4.讲方法三角恒等变形是指利用同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式等对三角式进行各种有目的的变形.变形中主要涉及角、函数名、结构、运算方式的变形，其技巧常有化异为同、辅助角、三角代换、和差配凑、幂指变换等.三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角不等式的证明等，熟练掌握同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式，降幂公式，辅助角公式等是解决问题的前提.几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握. ⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--. 5.讲易错若函数1cos 2()sin cos()224sin()2xx xf x a x ππ+=--+的最大值为2，试确定常数a 的值．【错因】上述表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x 的三角函数的表达式，用错公式是本题出错的原因.【正解】∵222cos 111()sin cos cos sin sin()4cos 222244x x x a f x a x a x x x ϕ=+=+=++，1tan a ϕ=，由已知得214154a a +=⇒=±. 考向二 三角函数的图象和性质 1.讲高考（1）考纲要求：1.能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数的性质；3.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义：能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.（2）命题规律：1.预计2016年高考仍将作为基础内容出现于综合题中，分值为5到12分；2.三角函数的周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换，以函数性质为主的结合图象的综合题，在复习时应予以关注.例1. 【2016江苏，9】定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7【考点】三角函数图象【名师点睛】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.例 2. 【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ω=_______，ϕ=________ 【答案】23ω=，12ϕπ=【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.讲基础函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤（1）确定sin()(0,0,||)y A x k A ωϕωϕπ=++>><中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则2M m A -=，2M mk +=，ω由周期T 确定，即由2T πω=求出，ϕ由特殊点确定．（2）由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．3.讲典例【例1】【福建省数学基地校2018届高三毕业班总复习 三角函数 单元过关测试卷（文科，B 卷）】数学试题将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象. （Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()()210f x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）0m ≥（3）见解析 【解析】（Ⅰ） ()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅲ）问题可转化为研究直线y a =与曲线()y f x =的交点情况.()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的草图为：当1a >或1a <-时，直线y a =与曲线()y f x =没有交点；当1a =或1a =-时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有1个交点，由函数()y f x =的周期性可知，此时2017n =； 当331,122a a <<-<<时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有2个交点，由函数()y f x =的周期性可知，直线直线y a =与曲线()y f x = []0,n π上总有偶数个交点； 当32a =时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有3个交点，由函数()y f x =的周期性及图象可知，此时1008n =.综上所述，当1a =， 2017n =或1a =-， 2017n =，或3,10082a n ==时， ()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.【趁热打铁】【2017届四川资阳市高三上学期第一次诊断数学（理）】已知函数()12sin cos 62f x x x πωω⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ (其中0ω>)的最小正周期为π.(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[]ππ-，上零点. 【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）6π-和56π. 【解析】 (Ⅰ) ()2112sin cos 3sin cos cos 622f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=-⋅+=⋅-+ ⎪⎝⎭ 31sin2cos2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由最小正周期22T ππω==，得1ω=.【名师点睛】(Ⅰ)首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期求得ω的值；(Ⅱ)首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得()g x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求得函数的零点、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性质.【例2】 【江西省K12联盟2018届高三教育质量检测（理）】函数()2sin 1cos 22wx wx f x -=+，且12w >， x R ∈，若()f x 的图像在()3,4x ππ∈内与x 轴无交点则w 的取值范围是__________．【答案】7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】()2sin 12cos sin 2224wx wx f x wx π-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然π2T >，故1ω12<<.由对称中心可知： k π4wx π+=，可得： 1x k π4πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， k Z ∈，假设在区间()3,4ππ内存在交点，可知：11416312k k ω-<<-，当k 2,3,4=时， 771111155ωωω16121612164<<<<<<，，，现不属于区间()3,4ππ，所以以上的并集在全集1ω12<<中做补集，得7111115ω,,12161216⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为： 7111115,,12161216⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦点睛：本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为有交点问题，利用补集思想得到最终的结果，对于否定性问题经常这样思考． 【趁热打铁】函数()2sin 1cos 22x x f x ωω-=+，且0w >， x R ∈，若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调函数，则ω的取值范围是__________． 【答案】点睛：一般地，如果()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调函数，我们通常利用对称轴去讨论，本题需求出对称轴，区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应该在相邻的两个对称轴之间，通过不等式组解出整数k 的值从而确定104ω<≤．讲方法1.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象的作法（1）五点法：用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． （2）图象变换法：由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．2.确定sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M m A -=，2M mb +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则可得2Tπω=. （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”)时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”)时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=．3.利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成x ωϕ+的范围，即把x ωϕ+看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．5.讲易错函数|sin |cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 .【错因】在求函数的最小正周期的时候，未结合函数图象考虑，得到函数的最小正周期为π.【正解】∵1sin 21,(22)21sin 21,(22)2x k x k y x k x k ππππππ⎧-≤<+⎪⎪=⎨⎪---≤<⎪⎩，作出其图象，知原函数的最小正周期为2π，最大值为12-，故最小正周期和最大值之和为122π-. 考向三 解三角形 1.讲高考（1）考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.掌握运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（2）命题规律：1.预计2018年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主，注意与基本不等式的综合；2.结合几何知识（平面几何或立体几何）构建综合性的应用题是可能的发展方向，复习时需加以关注.例1【2018 江苏】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线11,EG E G 的长分别为14cm 和62cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）CC上，求l没入水中部分的长度；（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1GC上，求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1【答案】（1）玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .（2）玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm .( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm )（2）如图，1,O O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGC ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥ .同理111O O E G ⊥，记玻璃棒的另一端落在1GC 上点N 处.过G 作1GK E G ⊥⊥，K 为垂足， 则132GK OO == . 因为1114,62EG E G == ，所以16214242KG -==， 从而222211243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ∠=∠=则114sin sin cos 25KGG KGG πα⎛⎫=+∠=∠= ⎪⎝⎭.因为2παπ<<，所以3cos 5α=-.在ENG 中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02πβ<<，所以24cos 25β=.于是()()424373sin sin sin sin cos cos sin 5255255NEG παβαβαβαβ⎛⎫∠=--=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.记EN与水面的交点为2P ，过2P 作22PQEG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而 22220sin P Q EP NEG==∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm .(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm )【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果．例2．【2017届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三理上联考】如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东142海里处。
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
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4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
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高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
(江苏专版)18年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(六)三角恒等变换与解三角形
14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ－2cos θ＝－25，且θ为第三象限角，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2425，cos θ＝－725，故sin θ＋cos θ＝－3125.答案：－3125题型二 三角恒等变换1．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.答案：－432．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－3103．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________． 解析：因为f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.答案：84．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是________． 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233， 得32cos α－32sin α＝233， 即－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23. 答案：235．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139题型三 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________． 解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________. 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc2的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ， 即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C，∴B ＋A sin A sin B ＝cos Csin C，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32B 组——高考提速练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 32．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－α－β1＋tan 2αα－β＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－254．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝23，所以sin αcos β＝13， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－135．若tan 2α＋1cos 2α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan 2α＋1cos 2α＝3，得2tan α1－tan 2α＋1＋tan 2α1－tan 2α＝3，解得tan α＝12.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－13.答案：－136．已知sin(α－45°)＝－210，且0°<α<90°，则cos 2α的值为________． 解析：∵sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝7210，∴cos 2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×7210＝725. 答案：7257.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22·AB ·AD ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：668．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高的长度为________． 解析：设AB ＝x ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，知7＝x 2＋4－2x ，即x 2－2x －3＝0，所以x ＝3(负值舍去)．所以BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 答案：3329．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则 sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝2＋31＋2×3＝57. 答案：5710.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝－－sin 20°sin 70°＝＋－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 311．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：15210412．已知sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan β，且α－β＝π3，则m ＝________.解析：由题意得sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan α－m1＋m tan α＝tan β，又α－β＝π3，所以tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α， 所以tan α－m 1＋m tan α＝tan α－31＋3tan α，所以m ＝ 3.答案： 313．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．解析：因为α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则cos(α＋β)sin β＝sin α＝sin[(α＋β)－β]，即cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 转化为tan(α＋β)＝2tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan β，则2tan αtan 2β－tan β＋tan α＝0， 所以Δ≥0，且两根x 1，x 2均大于0. 即x 1＋x 2＞0.x 1x 2＞0，即1－8tan 2α≥0，tan α＞0，解得0<tan α≤24. 则tan α的最大值为24. 答案：2414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B )－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B )，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B )＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝B －A sin A sin B＝1sin B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，233。
2018年江苏高考数学二轮复习练习：5_三角函数与解三角形有答案
专题限时集训(五) 三角函数与解三角形(对应学生用书第89页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 7 [∵tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝7.]2．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调增区间为________．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [由k π－π2＜x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6＜x ＜k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z .]3．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A (非坐标原点O )，直线l 上有一点P (cos 130°，sin 50°)，且∠APO ＝30°，则α等于________．100°或160° [因为P (cos 130°，sin 50°)＝P (cos 130°，sin 130°)，所以∠POx ＝130°，因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.]4．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是________．－15 [tan(α－π)＝tan α＝－34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－15.]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________.【导学号：56394033】6 [将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3，又因为所得的图象与原图象重合，所以ωπ3＝2k π，即ω＝6k (k ∈Z ) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．π6[∵2b cos A ＝2c －3a ， ∴cos A ＝2c －3a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，整理可得：c 2＋a 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π6.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．则y ＝g (x )图象一条对称轴是________．x ＝π3[函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，对称轴为2x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π3＋k π2(k ∈Z )．]图5－78．(四川省2016年普通高考适应性测试)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图5－7所示，则函数f (x )的解析式为________.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 [A ＝2，T 4＝5π12－π6⇒T ＝π，ω＝2πT ＝2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2⇒5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )⇒φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.]9．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则函数y 的最小值为________．2 [由题意：函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 化简：y ＝sin θcos θ＋2cos 2θ－1＋12sin θcos θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝2sin 2θ；∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，所以：0＜sin 2θ≤1.当sin 2θ＝1时，函数y 取得最小值，即y min ＝21＝2.]10．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 [函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0，∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (x )的增区间为：－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，整理，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.]11．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________．43－310 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， 那么cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.]12．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且a ＋c ＝2，则△ABC 周长的取值范围是________.[2＋3，4) [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且B 为三角形的内角，∴32B ＝π，∴B ＝2π3，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac ≥4－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝1时，取等号，所以b ≥3，所以a ＋c ＋b ≥2＋3；又a ＋c ＝2＞b ，所以a ＋c ＋b ＜4，所以△ABC 周长的取值范围是[2＋3，4)．]13．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△ABC 中，sin A ＋2sin B cos C ＝0，则tanA 的最大值是________．33[∵sin A ＋2sin B cos C ＝0，∴a ＋2b cos C ＝0. ∴a ＋2b a 2＋b 2－c 22ab＝0，∴2a 2＋b 2－c 2＝0；由于tan 2A ＝1cos 2A－1.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3b 2＋c 24bc ≥23bc 4bc ＝32，当且仅当3b ＝c 时，等号成立．即cos A 的最小值为32.故tan 2A 的最大值为13，故tan A 的最大值为33.]14．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1的最小正周期为π，当x ∈[m ，n ]时，f (x )至少有12个零点，则n －m 的最小值为________．16π3 [由题知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，f (x )＝0,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12.由周期性可知n －m ≥5π＋π3＝16π3，∴(n －m )min ＝16π3.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图5－8，在△ABC 中 ，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.① ②图5－8(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．[解] (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β. 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.4分又∠BAC ∈(0，π)， 所以∠BAC ＝π4.6分 (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3.由正弦定理得ADsinπ4＝BD sin α，解得sin α＝24.8分 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74. △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7).14分16．(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．[解] (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，2分 因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12，4分 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.6分(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45. 8分又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310. 14分17．(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图5－9，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.图5－9(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值.【导学号：56394034】[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010. 2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55. 4分(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋1010×255＝－210. 8分(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋31010×255＝22. 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α＋β＝3π4.14分18．(本小题满分16分)(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求函数f (x )的对称中心 ；(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间． [解] (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，4分令2x －π6＝k π，得x ＝k π2＋π12，故所求对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，－1，k ∈Z .8分 (2)令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z10分又由于x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故所求单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 16分19．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值及最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＋32＝sin x cos x －3sin 2x ＋32＝12sin 2x －32＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 3分由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . 即f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .6分 (2)由0≤x ≤π2得π3≤2x ＋π3≤4π3，8分 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.12分所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值－32；当x ＝π12时，f (x )取得最大值1.16分20．(本小题满分16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a －b ，sin A ＋sin C )与向量n ＝(a －c ，sin(A ＋C ))共线． (1)求角C 的值；(2)若AC →·CB →＝－27，求|AB →|的最小值． [解] (1)∵向量m 与向量n 共线，∴(a －b )·sin(A ＋C )＝(a －c )(sin A ＋sin C )， 2分由正弦定理可得：(a －b )b ＝(a －c )(a ＋c )， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.7分(2)∵AC →·CB →＝－27，∴CA →·CB →＝27，∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12|CA →|·|CB →|＝27，10分 ∴|CA →|·|CB →|＝54，∵|AB →|2＝|CB →－CA →|2＝|CB →|2＋|CA →|2－2CB →·CA →， ∴|AB →|2≥2|CB →|·|CA →|－2×27 ＝2×54－54＝54.∴|AB →|≥36，(当且仅当|CA →|＝|CB →|＝36时，取“＝”) ∴|AB →|的最小值为3 6. 16分。
2018年江苏高考数学二轮复习：专项限时集训1与三角变换、平面向量综合的三角形问题有答案
专项限时集训(一)与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第113页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60˚.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60˚7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 14分2．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.6分(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.10分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.14分3．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1)若CA →·CB →＝92，求△ABC 的面积；(2)设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，1－2sin 2B 2，且x ∥y ，求角B 的值.【导学号：56394091】[解] (1)根据题意，∵CB →·CA →＝92，∴ab cos C ＝92，∴ab ＝15，又∵cos C ＝310，C ∈(0，π)，sin C ＝9110.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3914.6分(2)根据题意，∵x ∥y ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2－(－3)·cos 2B ＝0，即2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos 2B ＝0，2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＋3cos 2B ＝0，显然cos 2B ≠0， 所以tan 2B ＝－3，10分 所以2B ＝2π3或5π3，即B ＝π3或5π6，因为cos C ＝310＜32，所以C ＞π6，所以B ＝5π6(舍去)，即B ＝π3.14分 4．(本小题满分16分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x 3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x 3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 5分因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－k2＝2－12， 则k ＝1.7分(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12， 所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0， 化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22.9分因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4. 因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ， 所以bc ≤402＋2＝20(2－2).14分则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).16分5．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 8分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 12分又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.16分6．(本小题满分16分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)如图2，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC ＝x 百米，EF ＝y 百米．图2(1)当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； (2)试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．[解] (1)∵S 平行四边形ABCD ＝2×12×1×2sin 120°＝3，当点F 与点D 重合时，由已知S △CDE ＝14S 平行四边形ABCD ＝34，又∵S △CDE ＝12CE ·CD ·sin 120°＝34x ＝34⇒x ＝1，E 是BC 的中点.6分(2)①当点F 在CD 上，即1≤x ≤2时，利用面积关系可得CF ＝1x，再由余弦定理可得y ＝x 2＋1x2＋1≥3；当且仅当x ＝1时取等号．②当点F 在DA 上时，即0≤x ＜1时，利用面积关系可得DF ＝1－x ，10分(ⅰ)当CE ＜DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝1－2x ，∠EGF ＝60°， 利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.(ⅱ)同理当CE ≥DF ，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝2x －1，∠EGF ＝120°， 利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.由(ⅰ)、(ⅱ)可得y ＝4x 2－2x ＋1，0≤x ＜1， ∴y ＝4x 2－2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋34， ∵0≤x ＜1，∴y min ＝32，当且仅当x ＝14时取等号， 由①②可知当x ＝14时，路EF 的长度最短为32.16分。
(江苏专版)2018年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练(三)解析几何
6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2x 04＋y 1－y 2y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)， 同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －x 1－12mx 2＋m m －x 1－x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12m －x 2＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋2k 2＋k 2＋.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 2t －t ＋＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－y 2my 1＋＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。
2018年高考数学二轮专项限时集训3 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题
专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由. [解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ， 所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分(2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2 22sin 3θ－cos 3θsin 2θcos 2θ， 6分 令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22. 8分且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0， 所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增， 所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值． 当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23， 所以f (θ)的最小值为36，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m 且AB AD ≥12，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S.图5(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ； 又OH ＝OFsin θ＝sin θ，FH ＝OFcos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×12 θ＝sin 2θ＋2θ；∵AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；6分(2)由S 矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ，则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ，设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ； 10分∵π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12， ∴12sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin ∠ABC 的大小；(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－17，所以sin ∠ABC ＝437.4分(2)在△ABD 中，由AD sin ∠ABD ＝AB sin θ＝BD sin ∠BAD 得：30sin θ＝AD437＝BD－17sin θ＋437cos θ.所以AD ＝12037sin θ，BD ＝12037cos θ－307sin θsin θ＝12037cos θsin θ－307.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元， 则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD)×2k＋8×k×AD＝2k[5(70－BD)＋3BD ＋4AD] ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1237cos θsin θ－37＋4×1237sin θ＝20k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋67＋2437·2－cos θsin θ. 令H(θ)＝2－cos θsin θ，则H′(θ)＝1－2cos θsin 2θ，令H′(θ)＝0，解得：cos θ＝12，θ＝π3. 10分当0＜θ＜π3时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；当π3＜θ＜π2时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增， ∴θ＝π3时，H(θ)取最小值，同时y 也取得最小值．此时BD ＝12037cos θsin θ－307＝907，满足0＜907＜70，所以点D 落在BC 之间．所以θ＝π3时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据计算cos θ的值．图7[解] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ， 4分由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，10分又25sin 45°＝252 3－1 sin 90°＋θ ，即25sin 45°＝252 3－1cos θ，得到cos θ＝3－1.16分5．(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F.图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离； (2)设∠CEF ＝θ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． [解] (1)依题意得BD ＝300，BE ＝100， 在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，2分在△BDE 中，由余弦定理得：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007.6分 即甲、乙两人之间的距离为1007 m ．7分 (2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ， 在直角三角形CEF 中，CE ＝EF·cos∠CEF ＝2ycos θ，9分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE ，即200－2ycos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，12分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.14分 故甲、乙之间的最小距离为50 3 m ．16分6．(本小题满分16分)(2017·江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示．ABCD 是等腰梯形，AB ＝20米，∠CBF ＝α(F 在AB 的延长线上，α为锐角)．圆E 与AD ，BC 都相切，且其半径长为100－80 sin α米．EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？图9[解] 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．因为B(10,0)，k BC ＝tan α，所以直线BC 的方程为：y ＝tan α(x －10)，即xtan α－y －10tan α＝0，4分设圆心E(0，t)(t ＞0)，由圆E 与直线BC 相切，得100－80sin α＝|－t －10tan α|1＋tan 2α＝t ＋10tan α1cos α， 所以EO ＝t ＝100－90sin αcos α，8分令f (α)＝100－90sin αcos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(α)＝100⎝⎛⎭⎪⎫sin α－910cos 2α， 设sin α0＝910，α0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.列表如下：所以当α＝α0，即sin α＝10时，f (α)取最小值.15分 所以当sin α＝910时，立柱EO 最矮.16分。
2018版高考数学(理)江苏版二轮专题复习配套文档：专题一三角函数与平面向量第3讲含答案
第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求。
主要考查:(1）平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；（2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3）向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现。
真题感悟1。
（2015·江苏卷）已知向量a＝（2，1），b＝（1,－2）,若m a＋n b＝(9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________.解析∵a＝（2，1），b＝（1，－2),∴m a＋n b＝(2m＋n，m－2n）＝(9，－8),即错误!解得错误!故m －n＝2－5＝－3。
答案－32。
(2017·江苏卷）如图,在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为1,1，错误!,错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为45°.若错误!＝m错误!＋n错误!(m,n∈R），则m＋n＝________。
解析如图，设错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝错误!,∠OCD＝45°，由tan α＝7，得cos α＝错误!，又由余弦定理知错误!即错误!①＋②得4－2n－错误!m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝错误!或n＝错误!，当n＝错误!时，m＝10－5×错误!＝－错误!〈0(不合题意，舍去），当n＝错误!时，m＝10－5×错误!＝错误!，故m＋n＝错误!＋错误!＝3.答案 33.（2016·江苏卷）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,错误!·错误!＝4，错误!·错误!＝－1，则错误!·错误!的值是________。
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练全套含解析
2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解 由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解 方法一 在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值． 解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解 圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)， 由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)， 又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾， 所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549， 解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)． 设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ， 不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)． 因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)， 所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)， 所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)． 设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)， 从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量， 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量． 因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63， 即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)． 又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)． 所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)， 所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明 当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解 因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明 方法一 设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12， 又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3， 猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立， 即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2， 当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练(三)
3个附加题专项强化练(三) 二项式定理、数学归纳法(理科)1．已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数， 所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )， 同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2.(*) 下面用数学归纳法证明上述等式． (ⅰ)当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立． (ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式(*)成立， 即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时， f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立． 2．设1,2,3，…，n 的一个排列是a 1，a 2，…，a n ，若a i ＝i 称i 为不动点(1≤i ≤n )． (1)求1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数；(2)记1,2,3，…，n 的排列中恰有k 个不动点的排列个数为P n (k )，①求∑k ＝0n P n (k )；②∑k ＝1nkP n (k )．解：(1)1,2,3,4,5的排列中恰有两个数不动，即为有两个a i ＝i ，另三个a i ≠i ，而三个数没有不动点的排列有2个， 故1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数为2C 25＝20.(2)①在1,2,3，…，n 的排列中分成这样n ＋1类，有0个不动点，1个不动点，2个不动点，…，n 个不动点，故∑k ＝0nP n (k )＝n ！.②由题设可知P n (k )＝C k n P n －k (0)及组合恒等式k C k n ＝n C k －1n －1得∑k ＝1nkP n (k )＝∑k ＝1nk C k n P n －k (0)＝∑k ＝1nn C k －1n －1P n －k (0)＝n ∑k ＝1n C k －1n －1P n －k (0)＝n ∑k ＝0n －1C k n －1P (n －1)－k (0)＝n ！.3．已知(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n (n ∈N *)，令T n ＝∑i ＝12nia i .(1)求a 0和T n 关于n 的表达式；(2)试比较2T nn 与(n －1)a 0＋2n 2的大小，并证明你的结论．解：(1)在(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n 中，令x ＝－1，可得a 0＝3n .对(x 2＋2x ＋4)n ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 2n (x ＋1)2n ，两边同时求导得，n (2x ＋2)(x 2＋2x ＋4)n －1＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋3a 3(x ＋1)2＋…＋2na 2n (x ＋1)2n －1，令x ＝0，则∑i ＝12nia i ＝2n ×4n －1，所以T n ＝2n ×4n －1.(2)要比较2T nn与(n －1)a 0＋2n 2的大小，即比较4n 与(n －1)3n ＋2n 2的大小． 当n ＝1时，4n ＝4>(n －1)3n ＋2n 2＝2； 当n ＝2或3或4时，4n <(n －1)3n ＋2n 2； 当n ＝5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2. 猜想：当n ≥5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2. 下面用数学归纳法证明．①由上述过程可知，当n ＝5时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时结论成立，即4k >(k －1)3k ＋2k 2，两边同乘以4，得4k ＋1>4[(k －1)3k ＋2k 2]＝k ·3k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －4)3k ＋6k 2－4k －2]，而(k －4)3k ＋6k 2－4k －2＝(k －4)3k ＋6(k 2－k －2)＋2k ＋10＝(k －4)3k ＋6(k －2)(k ＋1)＋2k ＋10>0，所以4k ＋1>[(k ＋1)－1]3k ＋1＋2(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，当n ≥5时，4n >(n －1)3n ＋2n 2成立．综上所述，当n ＝1时，2T n n >(n －1)a 0＋2n 2；当n ＝2或3或4时，2T nn <(n －1)a 0＋2n 2；当n ≥5时，2T nn >(n －1)a 0＋2n 2.4．在集合A ＝{1,2,3,4，…，2n }中，任取m (m ≤2n ，m ，n ∈N *)个元素构成集合A m .若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m 为A 的偶子集，其个数记为f (m )；若A m 的所有元素之和为奇数，则称A m 为A 的奇子集，其个数记为g (m )．令F (m )＝f (m )－g (m )．(1)当n ＝2时，求F (1)，F (2)，F (3)的值； (2)求F (m )．解：(1)当n ＝2时，集合A ＝{1,2,3,4}，当m ＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}， f (1)＝2，g (1)＝2，F (1)＝0；当m ＝2时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}， f (2)＝2，g (2)＝4，F (2)＝－2；当m ＝3时，偶子集有{1,2,3}，{1,3,4}，奇子集有{1,2,4}，{2,3,4}，f (3)＝2，g (3)＝2，F (3)＝0.(2)当m 为奇数时，偶子集的个数f (m )＝C 0n C m n ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m －1nC 1n ， 奇子集的个数g (m )＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m n C 0n ，所以f (m )＝g (m )，F (m )＝f (m )－g (m )＝0. 当m 为偶数时，偶子集的个数f (m )＝C 0n C m n ＋C 2n C m －2n ＋C 4n C m －4n ＋…＋C m n C 0n ，奇子集的个数g (m )＝C 1n C m －1n ＋C 3n C m －3n ＋…＋C m －1nC 1n ， 所以F (m )＝f (m )－g (m )＝C 0n C m n －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1n C 1n ＋C m n C 0n .一方面，(1＋x )n (1－x )n ＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·[C 0n －C 1n x ＋C 2n x 2－…＋(－1)n C n nx n ]，所以(1＋x )n (1－x )n 中x m 的系数为C 0n C m n －C 1n C m －1n ＋C 2n C m －2n －C 3n C m －3n ＋…－C m －1nC 1n ＋C m n C 0n ；另一方面，(1＋x )n (1－x )n ＝(1－x 2)n ，(1－x 2)n 中x m 的系数为(－1)m 2C m2n ，故F (m )＝(－1)m 2C m 2n .综上，F (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－1)m 2C m 2n ，m 为偶数，0，m 为奇数.5．设可导函数y ＝f (x )经过n (n ∈N)次求导后所得结果为y ＝f (n )(x )．如函数g (x )＝x 3经过1次求导后所得结果为g (1)(x )＝3x 2，经过2次求导后所得结果为g (2)(x )＝6x ，….(1)若f (x )＝ln(2x ＋1)，求f (2)(x )；(2)已知f (x )＝p (x )·q (x )，其中p (x )，q (x )为R 上的可导函数． 求证：f (n )(x )＝∑i ＝0nC i n p (n －i )(x )·q (i )(x )．解：(1)依题意，f (1)(x )＝12x ＋1×2＝2(2x ＋1)－1， f (2)(x )＝－2(2x ＋1)－2×2＝－4(2x ＋1)－2.(2)证明：①当n ＝1时，f (1)(x )＝p (1)(x )·q (x )＋p (x )·q (1)(x )＝∑i ＝01C i n p (n －i )(x )·q (i )(x )；②假设n ＝k 时，f (k )(x )＝∑i ＝0kC i k p (k －i )(x )·q (i )(x )成立， 则n ＝k ＋1时，f(k ＋1)(x )＝(f (k )(x ))′＝∑i ＝0kC i k [p (k－i ＋1)(x )·q (i )(x )＋p (k －i )(x )·q (i＋1)(x )]＝C 0k p (k ＋1)(x )·q (x )＋C 1k p (k )(x )·q (1)(x )＋C 2k p(k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k k p (1)(x )·q (k )(x )＋C 0kp (k )(x )·q (1)(x )＋C 1k p(k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k －1k p (1)(x )·q (k )(x )＋C k k p (x )·q (k ＋1)(x )＝C 0k p(k＋1)(x )·q (x )＋(C 0k ＋C 1k )p (k )(x )·q (1)(x )＋()C 1k ＋C 2k p (k －1)(x )·q (2)(x )＋…＋(C k －1k ＋C k k )·p (1)(x )·q (k )(x )＋C kk p (x )·q (k ＋1)(x )＝C 0k ＋1p (k＋1)(x )·q (x )＋C 1k ＋1p (k )(x )·q (1)(x )＋C 2k ＋1p (k－1)(x )·q (2)(x )＋…＋C k k ＋1p (1)(x )·q (k )(x )＋C k ＋1k ＋1p (x )·q (k ＋1)(x )＝∑i ＝0k ＋1C i k ＋1p (k＋1－i )(x )·q (i )(x )，所以，结论对n ＝k ＋1也成立． 由①②得，f (n )(x )＝∑i ＝0nC i n p (n －i )(x )·q (i )(x )．6．设整数n ≥9，在集合{1,2,3，…，n }中任取三个不同元素a ，b ，c (a >b >c )，记f (n )为满足a ＋b ＋c 能被3整除的取法种数．(1)直接写出f (9)的值； (2)求f (n )表达式．解：(1)f (9)＝12.(2)①当n ＝3k (k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n3，集合为{1,2,3，…，3k －1,3k }．将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2}，B ＝{2，5，…，3k －1}，C ＝{3,6，…，3k }． 要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从A 中取一个，从B 中取一个(此数与A 中取的那个数之和能被3整除)．故有3C 3k ＋C 1k C 1k C 1k＝k (k －1)(k －2)2＋k 3＝n 3－3n 2＋6n18种取法；②当n ＝3k ＋1(k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n －13，集合为{1,2,3…，3k,3k ＋1}． 将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2,3k ＋1}，B ＝{2,5，…，3k －1}，C ＝{3,6，…，3k }．要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从B 中取一个，从A 中取一个(此数与B 中取的那个数之和能被3整除)．故有2C 3k ＋C 3k ＋1＋C 1k C 1k C 1k ＋1＝k (k －1)(k －2)3＋(k ＋1)k (k －1)6＋k 2(k ＋1)＝k (k －1)22＋k 2(k ＋1)＝n 3－3n 2＋6n －418种取法；③当n ＝3k ＋2(k ≥3，k ∈N *)时，记k ＝n －23，集合为{1,2,3，…，3k ＋1,3k ＋2}． 将其分成三个集合：A ＝{1,4，…，3k －2,3k ＋1}，B ＝{2,5，…，3k －1,3k ＋2}，C ＝{3,6，…，3k }．要使得a ＋b ＋c 能被3整除，a ，b ，c 可以从A 中取三个或从B 中取三个或从C 中取三个或从C 中取一个，从B 中取一个，从A 中取一个(此数与B 中取的那个数之和能被3整除)．故有C 3k ＋2C 3k ＋1＋C 1k C 1k ＋1C 1k ＋1＝k (k －1)(k －2)6＋(k ＋1)k (k －1)3＋k (k ＋1)2＝k 2(k －1)2＋k (k ＋1)2＝n 3－3n 2＋6n －818种取法．综上所述，f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 3－3n 2＋6n18，n ＝3k (k ≥3，k ∈N *)，n 3－3n 2＋6n －418，n ＝3k ＋1(k ≥3，k ∈N *)，n 3－3n 2＋6n －818，n ＝3k ＋2(k ≥3，k ∈N *).。
(江苏专版)2018年高考数学二轮复习3个附加题综合仿真练(三)
3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)．求证：∠CBE ＝∠BDE . 证明：因为CA 为圆O 的切线， 所以CA 2＝CE ·CD ，又CA ＝CB ， 所以CB 2＝CE ·CD ， 即CB CE ＝CD CB， 又∠BCD ＝∠BCD ， 所以△BCE ∽△DCB ， 所以∠CBE ＝∠BDE .B ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R.若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 b 7－a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b 7－a －1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0， 即26x ＋by －91＝0，∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7， 解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值．解：由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a ，得32ρcos θ－12ρsin θ＝a ，故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0，由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，若直线l 与圆C 只有一个公共点，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，故d ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝－3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a>a b. 证明：∵b a>0，a b>0，∴要证b a>a b， 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln x x，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln x x2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的， 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )， 即ln b b >ln a a，故b a >a b得证．2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率； (2)求X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“X 是奇数”为事件A ， 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712.故X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成， 所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成， 所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成， 所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成， 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成， 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝9)＝648＝18.所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×12＋4×12＋5×6＋6×24＋7×24＋8×8＋9×8＝4.3．设P (n ，m )＝ k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ， 所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略训练：专题九 三角恒等变换与解三角形 含解析
专题九 三角恒等变换与解三角形题型一| 三角变换与求值(1)求值：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．(3)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．[解题指导] (1)利用10°＝30°－20°，然后利用三角恒等变换求解． (2)化2α＋π12为2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4是关键．(3)利用(2α－β)－(α－2β)＝α＋β，求出cos(α＋β)的值． (1)3 (2)17250 (3)π3 [(1)由题意得：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝(3cos 20°＋sin 20°)－sin 20°cos 20°＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－222cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(3)∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝5314. ∵sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，∴cos(α－2β)＝17.∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. ∵π4<α＋β<3π4，∴α＋β＝π3.]【名师点评】 三角恒等变换的基本思路1.“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等；“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”；2.角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等.1．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________. 2525 [依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.]2．(2016·苏锡、常镇调研二)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.【导学号：91632029】－17 [∵tan(α－β)＝－13，∴tan(β－α)＝13. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α ＝13－121＋13×12 ＝－17.]3．已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝________. －43 [∵3tan α2＋tan 2α2＝1， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝23， 由sin β＝3sin(2α＋β)得sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]．即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝－2tan α＝－43.]4．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.23 [cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋12＝sin 2α＋12＝23.] 题型二| 利用正、余弦定理解三角形(1)(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．(2)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC为________三角形．[解题指导] (1)利用正弦定理得a ＋2b ＝2c ，然后利用余弦定理及均值不等式求解．(2)2a cos B ＝c ――→边化角得角的关系――→代入sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12――→化简求sin A ―→判断三角形的形状 (1)6－24 (2)等腰直角 [(1)由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24， 所以6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24.(2)依题意得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，2sin A cos B －sin(A ＋B )＝sin(A －B )＝0，因此B ＝A ，C ＝π－2A ，于是有sin 2A (2＋cos 2A )＝cos 2A ＋12，即sin 2A (3－2sin 2A )＝1－sin 2A ＋12＝3－2sin 2A2，解得sin 2A ＝12，因此sin A ＝22，又B ＝A 必为锐角，因此B ＝A ＝π4，△ABC 是等腰直角三角形．] 【名师点评】 解三角形的四种类型及求解方法： (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解； (4)已知三边，利用余弦定理求解.1．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则c ＝________.3 [由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得7＝4＋c 2－2c ，解得c ＝3，或c ＝－1(舍去)．]2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. 又0<A <π，故A ＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.]3．设G 是△ABC 的重心，且7sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋37sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________．π3[因为G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0， 因此7sin A ＝3sin B ＝37sin C ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得 原式等价于7a ＝3b ＝37c ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3c 26c 2＝12，又因为B 为△ABC 的内角，故B ＝π3.]题型三| 解三角形的实际应用(1)(2014·全国卷Ⅰ)如图9-1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m .图9-1(2)如图9-2所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ＝________.图9-2(1)150 (2)217 [(1)根据题图，知AC ＝100 2 m . 在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m .在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m )．(2)连结BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝217.]【名师点评】 应用解三角形知识解决实际问题的步骤：(1)读题.分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解.根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证.检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.1．如图9-3所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1 km 的两个观察点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，3 min 后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________ km /min .【导学号：91632030】图9-366 [在△ACD 中，有ADsin (60°＋45°) ＝CDsin[180°－(60°＋45°)－30°]，得AD ＝3＋12.在△BCD 中，有BDsin 45°＝ CDsin[180°－(60°＋30°)－45°]，得BD ＝1.在△ABD 中，有AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 60°＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122＋12－2×3＋12×1×12＝32，所以AB ＝62，故船速为66 km /min .]2．如图9-4，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别是67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图9-460 [根据已知的图形可得AB ＝46sin 67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC ＝37°，由正弦定理，得AB sin 30°＝BC sin 37°，所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m )．]。
2018年江苏高考数学二轮复习练习：专题限时集训2 函数 Word版含答案
专题限时集训(二) 函 数(对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.] 3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1， 即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ，∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x1－ax ＝1＋ax1－x，所以a ＝±1.] 7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )⇒T ＝4，因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________．3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f (－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x f x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x)＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x 2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22x －2－x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f(x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点， 等价为函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点， 则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________． (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点．根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2， 综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x ＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x＋λ3x ≤6，令t ＝3x ∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0， 解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减， 所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1.12分 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)．(1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x －1＋28x (400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时， |x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2.6分(2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k.8分(ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一 根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k ＜－1.12分(ⅱ)当－1k∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1. 19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、 徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a 3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分 所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0， 所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0， 要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ， 即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解 ， 所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1， 所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立， 即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11，即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6， 所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减 ，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0， 解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意， 所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立， 6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x min ＝2， 所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分- 11 - (3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点．因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x －1＋1x ＝2x 2－2－x ＋x x ＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0，所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0， 14分m (e －2)＝－＋e ＋2e 3e 4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e 42－e 8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e －4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点， 所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分。
2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题综合仿真练(二) Word版含解析
3个附加题综合仿真练(二)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,四边形ABCD 是圆的内接四边形,BC ＝BD ,BA 的延长线交CD 的延长线于点E 、求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形, 所以∠DAE ＝∠BCD ,∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC 、 因为BC ＝BD ,所以∠BCD ＝∠BDC , 所以∠DAE ＝∠FAE ,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12,(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2,⎝⎛⎭⎫－32，4、设变换T 对应的矩阵为M 、(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值、解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44、 (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ),可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6,令f (λ)＝0,可得λ＝1或λ＝6、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系、直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)、 当圆心C 到直线l 的距离为2时,求m 的值、 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m , 得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ,即x －y ＋m ＝0,即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0, 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9, 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2,解得m ＝－1或m ＝－5、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知x ,y ,z 都是正数且xyz ＝8,求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64、 证明：因为x 为正数,所以2＋x ≥22x 、 同理2＋y ≥22y ,2＋z ≥22z 、所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz 、 因为xyz ＝8,所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64、2、在平面直角坐标系xOy 中,点F (1,0),直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ,线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P 、(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线,切点分别为A ,B ,求证：∠AMB 的大小为定值、解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直,所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离、 连结PF (图略),因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点,所以MP ＝PF 、 所以点P 的轨迹是抛物线、 焦点为F (1,0),准线为x ＝－1、所以曲线E 的方程为y 2＝4x 、(2)证明：由题意,过点M (－1,n )的切线斜率存在,设切线方程为y －n ＝k (x ＋1),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0,所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0,即k 2＋kn －1＝0 (*), 因为Δ2＝n 2＋4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k 1,k 2, 因为k 1·k 2＝－1,所以∠AMB ＝90°,为定值、3、对于给定的大于1的正整数n ,设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ,其中a i ∈{0,1,2,…,n －1},i ＝0,1,2,…,n －1,n ,且a n ≠0,记满足条件的所有x 的和为A n 、(1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2,求f (n )、解：(1)当n ＝2时,x ＝a 0＋2a 1＋4a 2,a 0∈{0,1},a 1∈{0,1},a 2＝1, 故满足条件的x 共有4个,分别为x ＝0＋0＋4,x ＝0＋2＋4,x ＝1＋0＋4,x ＝1＋2＋4,它们的和是22,所以A 2＝22、 (2)由题意得,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法,由分步计数原理可得a 0,a 1,a 2…,a n －1,a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n (n －1), 即满足条件的x 共有n n (n －1)个,当a 0分别取0,1,2,…,n －1时,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法,a n 有n －1种取法, 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)＝n n (n －1)22； 同理,A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)n n －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ； A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2； A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·n n －1； 当a n 分别取i ＝1,2,…,n －1时,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法, 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n、所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋n n －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n ＝n n (n －1)2(n n ＋1＋n n －1),故f (n )＝n n ＋1＋n n －1、。
江苏高考2018年数学二轮复习限时集训全册配套练习及预测试题有答案(共22份)
专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第77页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B ＝________.{x|－1＜x＜2} [集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．必要不充分[充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．]3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁R B) ＝________.{1,2,3,4} [集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，∴∁R B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{1,2,3,4}．故答案为：{1,2,3,4}．]4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋a n＋1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的________条件．充分不必要[若数列{a n}为等差数列，设其公差为d1，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n ＝2d1，所以数列{b n}是等差数列；若数列{b n}为等差数列，设其公差为d2，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝d2，不能推出数列{a n}为等差数列，所以“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的充分不必要条件．]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B ＝________.【导学号：56394004】{－1,1} [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的________条件 .充要[由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)(q 2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的充要条件．]7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，则使得B ⊆A 的a 的所有 取值构成的集合是________．{－1,0,1} [因为B ⊆A ，所以B ＝∅，{－1}，{1}，因此a ＝－1,0,1.]8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n＋b (a ≠0，q ≠0,1)，则“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的________条件．充要 [当a ＋b ＝0时，a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，当n ＝1时，也成立，于是a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∵q ≠0，q ≠1，∴a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝q ，aq 2－aq aq ＋b＝q ， 即aq －a ＝aq ＋b ，∴a ＋b ＝0，综上所述，“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的充要条件．]9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是________． ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 [命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0”．]10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：p 1：任意x ∈R,2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x＞x 2＋x ＋1.其中的真命题是________．p 1，p 4 [对于x ∈R,2x ＞0，p 1为真命题；x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，p 2为假命题；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞2－3π2，p 3为假命题；x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞34＝x 2＋x ＋1，p 4为真命题．] 11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[1,2] [“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题等价于∀x ∈R,2x －2＞a 2－3a ，即－2≥a 2－3a ，解之得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．]12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S ＝{0,1,2,3，…，n }，则集合S 中任意两个元素的差的绝对值的和为________．16n 3＋12n 2＋13n [设集合中第k 个元素，则其值为k －1. |(k －1)－k |＋|(k －1)－(k ＋1)|＋…＋|(k －1)－n | ＝1＋2＋…＋(n ＋1－k ) ＝n ＋1－kn ＋1－k ＋2，T n ＝12n 2·n ＋32n ·n ＋n －(1＋2＋…＋n )n －32(1＋2＋…＋n )＋12·(12＋22＋…＋n 2)＝n n ＋n ＋6＝16n 3＋12n 2＋13n .故答案是：16n 3＋12n 2＋13n .] 13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a ＞1，b ＞1，则“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)充要 [令f (x )＝ln x －x (x ＞1)，则f ′(x )＝1x－1＜0，因此a ＜b ⇔f (a )＞f (b )⇔ln a －a ＞ln b －b⇔ln a －ln b ＞a －b ，即“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的充要条件．] 14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0 ”． 其中正确结论的个数是________．4 [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，即x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0” 的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”正确；对于③，命题p ∧q 为真，则命题p ，q 均为真，命题p ∨q 为真，反过来，当命题p ∨q 为真时，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出命题p ∧q 为真，所以“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件， 故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0 ”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，所以④正确．] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)＜－1成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围.【导学号：56394005】[解] 若p 为真：对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立，设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，2分∴p 为真时：12≤m ≤32；若q 为真：∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1＞2成立，∴m ＜x 2－1x 成立.4分设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m ＜32，∴q 为真时，m ＜32，∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假，9分 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32，当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12或m ＞32，m ＜32 ，∴m ＜12，12分综上所述，m 的取值范围是m ＜12或m ＝32.14分16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2＜0}(m ＞0)． (1)若m ＝2，求A ∩B ；(2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m ＞0，所以B ＝(－3m ，m )，4分 (1)m ＝2时，B ＝{x |－6＜x ＜2}， 所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}.8分 (2)B ＝(－3m ，m )，要使B ⊆A ，10分只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2m ≤5⇒m ≤23，12分所以0＜m ≤23.综上，知m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.14分 17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |log 2x ＜log 23}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0，C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}． (1)求集合A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围． [解] (1)由log 2x ＜log 23，得0＜x ＜3. 2分由不等式x ＋2x －4＜0得(x －4)(x ＋2)＜0， 所以－2＜x ＜4.5分 所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}. 7分 (2)因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ， 9分 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤4，a ≥－2.11分解得－2≤a ≤3.所以，实数a 的取值范围是[－2,3].14分18．(本小题满分16分)设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求k 的取值范围． [解] ∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k ＞0，2分由∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0得方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，4分 ∴Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52.6分 ∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，10分①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，12＜k ＜52，∴12＜k ＜52； 12分②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0， 14分综上可得k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 16分19．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立，若“p 且﹁q ”为真命题，求实数a 的取值范围． [解] 因为命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增，所以a ＞1.4分∴又因为命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立；所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝a －2＋a －＜0，综上所述：－2＜a ≤2，10分因为p 且﹁q 为真命题，∴p 真q 假，12分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ＞2，∴a ∈(2，＋∞).14分 ∴实数a 的取值范围为(2，＋∞).16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数；命题q ：若函数g (x )＝e x －x ＋a 在区间[0，＋∞)上没有零点．(1)如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【导学号：56394006】[解] (1)如果命题p 为真命题，∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分 ∴Δ＝4a 2－12≤0⇒a ∈[－3，3].7分(2)g ′(x )＝e x－1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)上递增，9分 若命题q 为真命题，g (0)＝a ＋1＞0⇒a ＞－1，11分由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤a ≤3a ≤－1⇒a ∈[－3，－1]， 13分若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ＜－3或a ＞3a ＞－1⇒a ∈(3，＋∞)， 14分 综上所述，a ∈[－3，－1]∪(3，＋∞). 16分专题限时集训(二) 函 数 (对应学生用书第80页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝________.14 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14.] 2．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f (x )＝8x.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝________.－2 [函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝8x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－813＝－2.]3．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)函数f (x )＝－x2的定义域是________．[－2,2] [由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1， 即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．故答案为：[－2,2]．]4．(广西柳州市2017届高三10月模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．a ＜b ＜c [画图可得0＜a ＜b ＜1＜c .]5．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (37.5)等于________．0.5 [∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，0≤x ≤1时，f (x )＝x ， ∴f (37.5)＝f (1.5)＝－f ()－0.5＝f ()0.5＝0.5.]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))函数f (x )＝1x －log 21＋ax1－x 为奇函数，则实数a ＝________.±1 [因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝1－x －log 21－ax 1＋x ＝－1x ＋log 21＋ax 1－x ，即1＋x 1－ax ＝1＋ax1－x ，所以a ＝±1.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (2 015)＝________. 1 [因为f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )⇒T ＝4， 因此f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)；而f (x ＋2)·f (x )＝1⇒f (－1＋2)·f (－1)＝1⇒f 2(1)＝1，f (x )＞0⇒f (1)＝1，所以f (2 015)＝1.]8．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，则f (log 23)＝________. 12 [因为函数f (x )是R 上的单调函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋22x＋1＝13，所以可设f (x )＋22x ＋1＝t (t 为常数)，即f (x )＝t －22x ＋1，又因为f (t )＝13，所以t －22t ＋1＝13，令g (x )＝x －22x ＋1，显然g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝13，所以t ＝1，f (x )＝1－22x ＋1，f (log 23)＝1－22log 23＋1＝12.]9．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中最小值，设h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为________． 3 [作出函数f (x )和g (x )的图象(两个图象的下面部分图象)如图，由g (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，得x ＝－1或x ＝3，由f (x )＝|ln x |－1＝0，得x ＝e 或x ＝1e .∵g (e)＞0，∴当x ＞0时，函数h (x )的零点个数为3个．]10．(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394011】⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522 [由f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 得f(－x )＋g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，即－f (x )＋g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，所以f (x )＝12(2－x －2x )，g (x )＝12(2－x ＋2x )．存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，a ＝－g x 0f x 0，设h (x )＝－g x fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则h (x )＝－12－2x＋22x12－x －2x＝22x ＋2－2x2x －2－x ＝(2x －2－x )＋22－2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，设t ＝2x －2－x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32，而h (x )＝t ＋2t ，易知y ＝t ＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，32上递增，因此y min ＝2＋22＝22，y max ＝22＋222＝522，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522，即a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.] 11．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点， 等价为函数f (x)与y ＝m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 有三个不同的交点， 则－14＜m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0，故答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 12．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________．(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x ，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，就是h (x )＝|f (x )|－3x 与y ＝－b 有3个交点，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤4，x 2－7x ，x ＞4，－3x－3x ，x ＜0，画出两个函数的图象如图：当x ＜0时，－3x－3x ≥6，当且仅当x ＝－1时取等号，此时－b ＞6，可得b ＜－6；当0≤x ≤4时，x －x 2≤14，当x ＝12时取得最大值，满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 .综上，b ∈(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. 故答案为：(－∞，－6)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.] 13．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，其中m ＞0，若函数y ＝f(f (x ))－1有3个不同的零点，则m 的取值范围是________．(0,1) [①当x ＜0时，f (f (x ))＝(－x ＋m )2－1，图象为开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分，顶点为(0，m 2－1)；②当0≤x ＜1时，f (f (x ))＝－x 2＋1＋m ，图象为开口向下的抛物线在0≤x ＜1之间的部分，顶点为(0，m ＋1)．根据题意m ＞0，所以m ＋1＞1；③当x ≥1时，f (f (x ))＝(x 2－1)2－1，图象为开口向上的抛物线在x ＝1右侧的部分，顶点为(1，－1)．根据题意，函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，即f (f (x ))的图象与y ＝1有3个不同的交点． 根据以上三种分析的情况：第③种情况x ＝1时，f (f (x ))＝－1，右侧为增函数，所以与y ＝1有一个交点；第②种情况，当x →1时，f (f (x ))→m ，所以与y ＝1有交点，需m ＜1；第①种情况，当x →0时，f (f (x ))→m 2－1，只要m 2－1＜1即可，又m ＞0，∴0<m ＜2， 综上m 的取值范围为(0,1)．]14．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．4 [当x ≥1时，ln x x 2＝18，即ln x ＝18x 2，令g (x )＝ln x －18x 2，x ≥1时函数是连续函数，g (1)＝－18＜0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e＞0，g (4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g (x )＝ln x －18x 2有2个零点．(结合函数y ＝ln x x 2与y ＝18可知函数的图象有2个交点．)当x ＜1时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜0，1－12x，x ∈[0，，函数的图象与y ＝18的图象如图，考查两个函数有2个交点，综上函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4个．故答案为4.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数f (x )＝3x＋λ·3－x(λ∈R )．(1)若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )＞1的解集； (2)若不等式f (x )≤6对x ∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围.【导学号：56394012】[解] (1)函数f (x )＝3x ＋λ·3－x的定义域为R ，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0对∀x ∈R 恒成立，即3－x＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x ∈R 恒成立，∴λ＝－1. 3分此时f (x )＝3x－3－x＞1，即3x －3－x－1＞0， 解得3x ＞1＋52或3x＜1－52(舍去)，6分∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞log 31＋52. 7分(2)由f (x )≤6得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋λ3≤6，令t ＝3x∈[1,9]，原问题等价于t ＋λt≤6对t ∈[1,9]恒成立，亦即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1,9]恒成立，10分令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1,9]，∵g (t )在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减． ∴当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27， ∴λ≤－27.14分16．(本小题满分14分)(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)由－x 2＋4x －3＞0， 解得1＜x ＜3，所以A ＝(1,3)， 2分又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减， 所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，5分当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1,2).7分 (2)首先要求m ＞0，9分而“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1. 所以实数m 的取值范围为(0,1].14分17．(本小题满分14分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6 400万元，铺设距离为x 公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x 3＋20x 万元．设余下工程的总费用为f (x )万元．(停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度)． (1)试将f (x )表示成x 的函数；(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．[解] (1)设需要修建k 个停靠站，则k 个停靠站将28公里的轨道分成相等的k ＋1段， ∴(k ＋1)x ＝28⇒k ＝28x－1，3分∴f (x )＝6 400k ＋(k ＋1)(400x 3＋20x )＝6 400⎝ ⎛⎭⎪⎫28x－1＋28x(400x 3＋20x )，化简得f (x )＝28×400x 2＋28×6 400x－5 840，7分(2)f (x )＝28×400x 2＋28×3 200x ＋28×3 200x－5 840≥3328×400x 2·28×3 200x ·28×3 200x－5 840＝128 560(万元)，当且仅当28×400x 2＝28×3 200x ，即x ＝2，k ＝28x－1＝13时取“＝”.13分故需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128 560万元.14分18．(本小题满分16分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0,2)．(1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个的解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，f (x )＝kx ＋3，即|x 2－1|＋x 2＝3.当0＜x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1＜x ＜2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2.综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0,2)上的解为 2. (2)当0＜x ≤1时，kx ＝－1，① 当1＜x ＜2时，2x 2＋kx －1＝0，② 若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1,2)，故k ＝0不合题意．若k ≠0，则①的解为x ＝－1k. (ⅰ)当－1k∈(0,1]时，k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8＞0，故方程②中一 根在(1,2)内，一根不在(1,2)内．设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＞0，⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－1，k ＞－72，又k ≤－1，故－72＜k＜－1.12分(ⅱ)当－1k ∉(0,1]时，即－1＜k ＜0或k ＞0时，方程②在(1,2)需有两个不同解，而x 1x 2＝－12＜0，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故－72＜k ＜－1.16分19．(本小题满分16分)(江苏省南通市如东县、 徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b. (1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的值； (2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数．①存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围；②若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，若对任意x ∈R ，不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立，求实数m 的最大值 .[解] (1) 由题意，－3x＋13x ＋1＋1＝3x ，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍)或3x＝13，2分 所以x ＝－1.4分(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0， 所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得： (3a －b )(32x＋1)＋(2ab －6)·3x＝0， 要使上式对任意的x 成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3(舍去)，所以a ＝1，b ＝3, 所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3.6分①f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2有： f (x 1)－f (x 2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－3x 1x 1＋x 2＋，因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 因此f (x )在R 上递减.8分因为f (t 2－2t )＜f (2t 2－k )，所以t 2－2t ＞2t 2－k ， 即t 2＋2t －k ＜0在t ∈R 上有解 ， 所以Δ＝4＋4k ＞0，解得k ＞－1，所以k 的取值范围为(－1，＋∞). 10分②因为f (x )·[g (x )＋2]＝13(3－x －3x)，所以g (x )＝3－x－3x3f x －2，即g (x )＝3x ＋3－x. 12分所以g (2x )＝32x＋3－2x＝(3x＋3－x )2－2.不等式g (2x )≥m ·g (x )－11恒成立， 即(3x＋3－x )2－2≥m ·(3x ＋3－x)－11， 即m ≤3x ＋3－x＋93x ＋3－x 恒成立.14分令t ＝3x ＋3－x，t ≥2，则m ≤t ＋9t在t ≥2时恒成立，令h (t )＝t ＋9t ，h ′(t )＝1－9t2，t ∈(2,3)时，h ′(t )＜0，所以h (t )在(2,3)上单调递减， t ∈(3，＋∞)时，h ′(t )＞0，所以h (t )在(3，＋∞)上单调递增，所以h (t )min ＝h (3)＝6，所以m ≤6， 所以实数m 的最大值为6 .16分20．(本小题满分16 分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝x －a x . (1)若f (x )在x ＝1处取最值，求a 的值；(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x 2)在区间(0,1]上单调递减 ，求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，试确定函数m (x )＝f (x )－g (x )－6的零点个数，并说明理由.【导学号：56394013】[解] (1)f ′(x )＝2x －a x，由已知f ′(1)＝0，即2－a ＝0， 解得a ＝2，经检验a ＝2满足题意， 所以a ＝2.4分(2)h (x )＝f (x )＋g (x 2)＝x 2－a ln x ＋x 2－ax ＝2x 2－a (x ＋ln x )，h ′(x )＝4x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，要使得h (x )＝2x 2－a (x ＋ln x )在区间(0,1]上单调递减，则h ′(x )≤0，即4x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ≤0在区间(0,1]上恒成立，6分因为x ∈(0,1]，所以a ≥4x2x ＋1，设函数F (x )＝4x2x ＋1，则a ≥F (x )max ，8分F (x )＝4x 2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x，因为x ∈(0,1]，所以1x∈[1，＋∞)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x min ＝2，所以F (x )max ＝2，所以a ≥2.10分(3)函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点． 因为m (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －6，所以m ′(x )＝2x －2x－1＋1x＝2x 2－2－x ＋x x＝x －x x ＋2x ＋x ＋x.当x ∈(0,1)时，m ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时， m ′(x )＞0， 所以m (x )min ＝m (1)＝－4＜0，14分m (e －2)＝－＋e ＋2e3e4＜0，m (e －4)＝1＋2e 8＋e42－e8＞0，m (e 4)＝e 4(e 4－1)＋2(e 2－7)＞0，故由零点存在定理可知：函数m (x )在(e－4,1)上存在一个零点，函数m (x )在(1，e 4)上存在一个零点，所以函数m (x )＝f (x )－g (x )－6有两个零点. 16分专题限时集训(三) 导数 (对应学生用书第83页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ [因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以x 2＋1≤ax ⇒a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，当且仅当x ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝103，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.] 2．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋1)为偶函数，f (2)＝1，则不等式f (x )＜e x的解集为________． (0，＋∞) [令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，所以g (x )在定义域内为减函数，因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)⇒f (0)＝f (2)＝1⇒g (0)＝1，因此f (x )＜e x⇒g (x )＜1＝g (0)⇒x ＞0.]3．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,2)处切线的斜率为________.【导学号：56394017】1ln 2 [∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.] 4．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．5 [|b ＋a 2－4ln a |＋|2c －d ＋2|＝0⇒b ＋a 2－4ln a ＝0,2c －d ＋2＝0，所以(a －c )2＋(b －d )2表示直线2x －y ＋2＝0上点P 到曲线y ＝4ln x －x 2上点Q 距离的平方．由y ′＝4x－2x ＝2⇒x ＝1(负舍)得Q (1，－1)，所以所求最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋1＋2|52＝5.]5．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋14，g (x )＝－ln x ，min{a ，b }表示a ，b 中的最小值，若函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－34 [f ′(x )＝3x 2＋m ，因为g (1)＝0，所以要使h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)恰有三个零点，需满足f (1)＞0，f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3 ＜0，m ＜0，解得m ＞－54，－m 3＞12⇒－54＜m ＜－34.] 6．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知函数f (x )＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f (2x )＞f (x ＋3)成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，易知函数y ＝e x ＋e －x 在x ∈(0，＋∞)是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在x ∈(0，＋∞)也是增函数，所以不等式f (2x )＞f (x ＋3)等价于|2x |＞|x ＋3|，解得x ＜－1或x ＞3.] 7．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝3x 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是常数)，若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论中：①f (0)·f (1)≤0；②g (0)·g (1)≥0；③a 2－3b 有最小值． 正确结论的个数为________．2 [由题意，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，若函数f (x )在(0,1)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0，所以g (0)·g (1)＝b ·(3＋2a ＋b )≥0，故②正确；不妨设f (x )＝x 3－2x 2－3x ＋5，则f (0)·f (1)＝5·(1－2－3＋5)＞0，故①错；画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，3＋2a ＋b ≤0表示的平面区域，如图所示，令z ＝a 2－3b ，则b ＝13a 2－z 3，①当－z 3＞－3，即z ＜9时，抛物线b ＝13a 2－z 3与直线2a ＋b ＋3＝0有公共点，联立两个方程消去b 得a 2＋6a ＋9－z ＝0，z ＝(a ＋3)2≥0，所以0≤z ＜9；当－z3≤－3，即z ≥9时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，z ≥0，所以z ＝a 2－3b 有最小值 ，故③正确．]8．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )在点P (0,1－2a )处的切线l 与圆C ：x 2＋2x ＋y 2－12＝0的位置关系是________.相交 [由题意，得y ′＝e x (x 2＋ax ＋1－2a )＋e x(2x ＋a )，所以y ′|x ＝0＝1－a ，所以直线l 的方程为y －(1－2a )＝(1－a )x ，即(1－a )x －y ＋1－2a ＝0.化圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝13，其圆心(－1,0)到直线l 的距离为－a－－0＋1－2a |－a 2＋－2＝|a |a 2－2a ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋12≤2＜13，所以直线l 与圆相交．]9．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为________.【导学号：56394018】3 [因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg|x ＋1|的图象，如图所示，由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点有3个．]10．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意的实数x 都有f (x )＝4x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＋12＜4x .若f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2，则实数m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [∵f (x )－2x 2＋f (－x )－2x 2＝0，设g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，∴g (x )为奇函数，又g ′(x )＝f ′(x )－4x ＜－12，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，从而在R 上是减函数，又f (m ＋1)≤f (－m )＋4m ＋2等价于f (m ＋1)－2(m ＋1)2≤f (－m )－2(－m )2，即g (m ＋1)≤g (－m )，∴m ＋1≥－m ，解得m ≥－12.]11．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32，则实数a 的值为________．1 [由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0，当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递减，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；当a ＞0时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，又函数在图象上是连续不断的，故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2·a －32＝π－32，解得a ＝1.]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设函数f (x )＝ln x x，关于x 的方程[f (x )]2＋mf (x )－1＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1e ，＋∞ [f (x )＝ln x x ⇒f ′(x )＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0＜x ≤e 时，f (x )≤1e ；当x ＞e 时，0＜f (x )＜1e ，因此g (t )＝t 2＋mt －1＝0有两个根，其中t 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1e ，t 2∈(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，因为g (0)＝－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＞0⇒m ＞e －1e.]13．(山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋，x ＞0，12x ＋1，x ≤0，若m＜n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围是________.[3－2ln 2,2) [如图，作出函数y ＝f (x )的图象，不妨设f (m )＝f (n )＝t ， 由f (m )＝f (n )可知函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点， 而x ≤0时，函数y ＝f (x )单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)， 所以0＜t ≤1.又m ＜n ，所以m ≤0，n ＞0， 由0＜t ≤1，得0＜ln(n ＋1)≤1，解得0＜n ≤e－1. 由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2；由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t－1；记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0＜t ≤1)，g ′(t )＝e t－2. 所以当0＜t ＜ln 2时，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减； 当ln 2＜t ≤1时，g ′(t )＞0，函数g (t )单调递增． 所以函数g (t )的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋1＝3－2ln 2；而g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1＜2，所以3－2ln 2≤g (t )＜2.]14．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知定义域为R 的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意x ∈[0，＋∞)，均满足：xf ′(x )＞－2f (x )．若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (2x )＜g (1－x )的解集是________.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0，而g (x )＝x 2f (x )也为偶函数，所以g (2x )＜g (1－x )⇔g (|2x |)＜g (|1－x |)⇔|2x |＜|1－x |⇔3x 2＋2x －1＜0⇔－1＜x ＜13.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h (x )(单位：千套)与销售价格(单位：元/套)满足关系式h (x )＝f (x )＋g (x )(3＜x ＜7，m 为常数)，其中f (x )与(x －3)成反比，g (x )与(x －7)的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套． (1)求h (x )的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数) [解] (1)因为f (x )与x －3成反比，g (x )与x －7的平方成正比，所以可设：f (x )＝k 1x －3，g (x )＝k 2(x －7)2，k 1≠0，k 2≠0， 则h (x )＝f (x )＋g (x )＝k 1x －3＋k 2(x －7)2. 2分因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，所以，h (5)＝21，h (3.5)＝69，即⎩⎪⎨⎪⎧k 12＋4k 2＝21，2k 1＋494k 2＝69，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝10，k 2＝4， 6分所以，h (x )＝10x －3＋4(x －7)2(3＜x ＜7). 8分(2)由(1)可知，套题每日的销售量h (x )＝10x －3＋4(x －7)2， 设每日销售套题所获得的利润为F (x )， 则F (x )＝(x －3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －3＋x －2＝10＋4(x －7)2(x －3) ＝4x 3－68x 2＋364x －578，10分从而F ′(x )＝12x 2－136x ＋364＝4(3x －13)(x －7)，3＜x ＜7，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，133时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3，133上单调递增，12分x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7时，F ′(x )＜0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，7上单调递减，所以x ＝133≈4.3时，函数F (x )取得最大值，即当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知函数f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处与直线y ＝3x －2相切，求a 的值； (2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2有两个零点x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的符号，并证明.【导学号：56394019】[解] (1)f ′(x )＝1＋a x，又∵f ′(1)＝3. 2分所以a ＝2.3分(2)函数g (x )的定义域是(0，＋∞). 4分若a ＝0，则g (x )＝f (x )－kx 2＝x －kx 2. 令g (x )＝0，则x －kx 2＝0. 又据题设分析知k ≠0， ∴x 1＝0，x 2＝1k.又g (x )有两个零点，且都大于0， ∴a ＝0，不成立.5分据题设知⎩⎪⎨⎪⎧gx 1＝x 1＋a ln x 1－kx 21＝0，gx 2＝x 2＋a ln x 2－kx 22＝0，不妨设x 1＞x 2，x 1x 2＝t ，t ＞1.6分所以x 1－x 2＋a (ln x 1－ln x 2)＝k (x 1－x 2)(x 1＋x 2)． 所以1＋ax 1－ln x 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)，7分又g ′(x )＝1＋a x－2kx ， 所以g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1＋2a x 1＋x 2－k (x 1＋x 2)＝1＋2a x 1＋x 2－1－ax 1－ln x 2x 1－x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋1－ln t t －1＝a x 2·1t －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －t ＋1－ln t .9分引入h (t )＝t －t ＋1－ln t (t ＞1)，则h ′(t )＝4t ＋2－1t＝－t －2t t ＋2＜0.所以h (t )在(0，＋∞)上单调递减. 10分而h (1)＝0，所以当t ＞1时，h (t )＜0. 易知x 2＞0，1t －1＞0， 所以当a ＞0时，g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0；当a ＜0时，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞0.14分17．(本小题满分14分)(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1e ，由f ′(x )＞0得x ＞1e，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，1分当0＜t ≤1e 时，t ＋2＞1e ，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； 当t ＞1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，2分∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1e ，t ln t ，t ＞1e. 3分(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x， 4分设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0 )，h ′(x )＝x ＋x －x，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,1)上单调递减；5分当x ＞1时， h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增；6分 ∴h (x )min ＝h (1)＝4，故a 的取值范围为(－∞，4].7分 (3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x ＝0，即x ln x ＝x e x －2e (x ＞0)，8分 由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x ＞0)的最小值是－1e，9分设φ(x )＝x e x －2e (x ＞0)，则φ′(x )＝1－xex ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e，12分∴对x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x ，即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x ＞0恒成立，故函数F (x )无零点.18．(本小题满分16分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知函数f (x )＝sin xe x 的定义域为[0,2π]，g (x )为f (x )的导函数．(1)求方程g (x )＝0的解集； (2)求函数g (x )的最大值与最小值；(3)若函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围． [解] (1)因为f ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex ， 1分 所以g (x )＝cos x e －sin x e ＝0，解得x ＝π4或x ＝5π4；3分 (2)因为g ′(x )＝－cos x e x －sin x e x ＋sin x e x －cos x e x ＝－2cos xe x ，4分 令g ′(x )＝0，解得x ＝π2或x ＝3π2，5分所以g (x )的最大值为g (0)＝1，所以g (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－e π2. 7分(3)因为F ′(x )＝－sin x e x ＋cos xex －a ＝g (x )－a ，所以函数F (x )＝f (x )－ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g (x )－a ＝0在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即y ＝g (x )与y ＝a 的图象恰有两个交点，9分由(2)知F ′(0)＝g (0)－a ＝1－a ，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a ＝－e －π2－a ，F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－a ＝e －3π2－a ，F ′(2π)＝g (2π)－a ＝e －2π－a ，若F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，则F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＞F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0， 所以F ′(x )＝0至多只有1个零点，不成立，10分 所以只有F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0；11分若F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＜0，则F ′(2π)＜0，所以F ′(x )＝0只有1个零点，不成立，12分所以F ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2≥0，13分。
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专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题
(对应学生用书第117页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
图4
(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝
⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；
(2)若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.
【导学号：56394096】
[解] (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4
cos θ，
所以l ＝PA ＋QA ，即l ＝2sin θ＋4cos θ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 4分
(2)设f (θ)＝
2sin θ＋4cos θ，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2. 由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2 22sin 3
θ－cos 3
θ
sin 2θcos 2
θ， 6分
令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝
2
2
. 8分
且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f ′(θ)＞0， 所以，f (θ)在(0，θ0)上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增， 所以，当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值． 当tan θ0＝
22时，sin θ0＝13，cos θ0＝2
3
， 所以f (θ)的最小值为36，
12分
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.
因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分
2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已
知圆的半径为1 m 且AB AD ≥1
2
，设∠EOF ＝θ，透光区域的面积为S .
图5
(1)求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；
(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．
[解] (1)过点O 作OH ⊥FG 于H ，∴∠OFH ＝∠EOF ＝θ； 又OH ＝OF sin θ＝sin θ，
FH ＝OF cos θ＝cos θ，∴S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF ＝2sin θcos θ＋4×1
2
θ＝sin 2θ＋2θ；
∵
AB AD ≥12，∴sin θ≥12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π6，π2； ∴S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，θ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π6，π2；
6分
(2)由S 矩形＝AD ·AB ＝2×2sin θ＝4sin θ，
则透光区域与矩形窗面积比值为2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ
2sin θ，
设f (θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，
则f ′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ
2sin 2
θ
＝sin θ－θcos θ－sin 3
θ2sin 2
θ ＝sin θcos 2
θ－θcos θ2sin 2
θ
＝cos θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2
θ
； 10分
∵
π6≤θ＜π2，∴12sin 2θ≤12
， ∴1
2sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0，
∴f (θ)在θ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π6，π2上是单调减函数； ∴当θ＝π6时f (θ)取得最大值为π6＋3
4，
此时AB ＝2sin θ＝1(m)；
∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB 的长度为1 m ．
14分
3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30公里，AC ＝80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.
图6
(1)求sin ∠ABC 的大小；
(2)设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
[解] (1)在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝900＋4 900－ 64002×30×70＝－1
7
，
所以sin ∠ABC ＝43
7
.
4分。