九年级数学：二次函数y=ax2+k的图象和性质 练习题
九年级数学下第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质习题
命题2.点(1,2)是双曲线 y 2 与抛物线y=2x2的一个交点．
x
命题3.点(1,3)是双曲线 y 3 与抛物线y=3x2的一个交点．
x
…
请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数)：
_________________________________________．
【解析】从已知得出点的横坐标都是1,纵坐标与反比例函数的
x
y 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
…
-3
-2
-1 0
…
4.5
_2_
_0_._5_ 0
…
_-_4_._5_ -2
-0.5 0
…
_1_8_
_8_
20
…
-18-8-2源自0xy 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
1 0.5 _-_0_._5_ 2 _-_2_
【想一想错在哪？】若点A(m,-2),B(n,-4)是二次函数y=-3x2
图象上的两点,则m,n的大小关系为( )
A.m>n
B.m<n
C.m≥n
D.不能确定
提示:忽视点A,B的位置,它们可能在对称轴的两侧,也可能在同 侧,给出的数值是点的纵坐标,因而需要分类讨论.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
九年级数学下册《二次函数y=ax2+k的图象与性质》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学下册《二次函数y=ax2+k 的图象与性质》测试卷-北师大版（含答案）1．抛物线y ＝2x²－1在y 轴右侧的部分是_____ ___(填“上升”或“下降”)．2．二次函数y ＝3x2－3的图象开口向______，顶点坐标为________，对称轴为 ______，当x>0时，y 随x 的增大而______；当x<0时，y 随x 的增大而______．因为a ＝3>0，所以y 有最______值，当x ＝______时，y 的最______值是______．3．当m=_________时，抛物线2y (1)+9xm m m +=+开口向下，对称轴是_________．在对称轴左侧，y 的值随x 值的增大而_________；在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而_________．4.已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x²－1上，下列说法中正确的是( )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 25．对于二次函数y ＝3x²＋2，下列说法错误的是( )A ．最小值为2B ．图象与y 轴没有公共点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴6．下列各图象中有可能是函数y ＝ax 2＋a(a≠0)的图象的是( )7．在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )8．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是( )A ．a>0B ．a<0C ．a≥0D ．a≤09．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A ．y ＝－54x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋1 10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．11．函数y=ax2+1与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋14与y轴相交于点A，点B在y轴上，且在点A的上方，AB＝OA.(1)填空：点B的坐标是_______；(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由．13．已知抛物线y＝（m-1）x2+m2+2m-2开口向下，且经过点（0，1）．（1）求m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？14．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21 3.55y x =-+运行，然后准确落入篮筐内．已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m ．（1）求球在空中运行的最大高度是多少米；（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25 m ，那么他离篮筐中心的水平距离AB 是多少？参考答案1.上升2.上 (0，－3) y 轴 增大 减小 小 0 小 －33．-2 y 轴 增大 减小4.D5.B6.B7.D8.A9.B10．C11．B12.解：(1) (0，½)(2)∵B 点坐标为(0，12)， ∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12. 令y ＝0，得kx ＋12＝0， 解得x ＝－12k. ∴OC ＝－12k. ∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12， ∴PD ＝PC －CD ＝m －12. 在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k)2， 解得m ＝14＋14k 2. ∴PB ＝14＋14k 2. ∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k 2)． 当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2， ∴点P 在抛物线上．13．解：（1）把（0，1）代入y=（m-1）x2+m2+2m-2得，1=m2+2m-2，解得m=1或m=-3．因为开口向下，所以m=-3．（2）此抛物线的表达式为y=-4x2+1，顶点为（0，1），对称轴为y轴（直线x=0）．（3）当x≤0时，y的值随x值的增大而增大．14．解：（1）3.5 m．（2）他离篮筐中心的水平距离AB是4 m．。
二次函数的图像和性质基础知识测试题
二次函数的图像和性质基础知识测试题九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验班级：_________姓名：___________得分：__________一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个2.y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（）A．x=－1B．x=1C．y=－1D．y=13.抛物线y x221的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，-1）D．（-2，-1）4.函数y=-x-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2，1）5．已知二次函数y mx2x m(m2)的图象经过原点，则m的值为（）A．或2.B．0.C．2.D．无法确定6．函数y=2x-3x+4经过的象限是（）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限7．已知二次函数y ax2bx c（a）的图象如图5所示，有下列结论：①abc；②a+b+c>0③a-b+c<0.其中正确的结论有（）A．1个D．4个8、已知二次函数y13x2、y2x2、y3x2，它们的图像开口由小到大的顺序是A、y1y2y3B、y3y2y1C、y1y3y2D、y2y3y19、与抛物线y=－1x2+3x－5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A。
y = x2+3x－5 B。
y=－x2+2x C。
y =x2+3x－5 D。
y=x210．正比例函数y＝kx的图象经过二、四象限，则抛物线y＝kx2－2x＋k2的大致图象是（）删除了明显有问题的段落。
改写后的文章：九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验班级：_________姓名：___________得分：__________一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个2.抛物线y=(x-1)²+2的对称轴是直线（）A．x=-1 B．x=1 C．y=-1 D．y=13.抛物线y=(x+2)²+1的顶点坐标是（）A．（-2，1）B．（-2，-1）C．（2，1）D．（2，-1）4.函数y=-x²-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2，1）5．已知二次函数y=mx²+x+m(m-2)的图象经过原点，则m的值为（）A．2或-2 B．0 C．2 D．无法确定6．函数y=2x-3x²+4经过的象限是（）A.一、二、四象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、三、四象限7．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图5所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0③a-b+c＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8、已知二次函数y1=-3x²、y2=-x²、y3=x²，它们的图像开口由小到大的顺序是A、y1<y2<y3B、y3<y2<y1C、y1<y3<y2D、y2<y3<y19、与抛物线y=-x²+3x-5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A。
人教版九年级上册数学二次函数y=ax2 +k的图象和性质同步练习
人教版九年级上册数学22.1.2 二次函数y=ax 2 +k 的图象和性质同步练习一、单选题1．已知点A （1，1y ），B （2，2y ），C （−3，3y ）都在二次函数224y x =-+的图象上，则（ ）A ．231y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．132y y y >> 2．抛物线y ＝﹣x 2＋2的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣2B ．直线x ＝﹣1C ．y 轴D ．直线x ＝2 3．已知二次函数y =2x 2－3，当－1≤x ≤2时，y 的取値范围是（ ）A ．－5≤y ≤5B ．－3≤y ≤5C ．－2≤y ≤5D ．－1≤y ≤5 4．已知a <－1，点(a －1，1y )，(a ，2y )，(a +1，3y )都在函数21y x =+的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ．321y y y << D ．213y y y << 5．已知点(-2,1y )，(-3,2y )均在抛物线21y x =-上，则1y ，2y 的大小关系为（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＞2y C ．1y ≤2y D ．1y ≥2y 6．抛物线234=+y x 的顶点坐标为（ ）A ．()0,4-B ．()0,4C ．()1,4-D ．()3,4 7．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12x x =-，则12y y =-B ．若12y y =，则12x x =C ．若120x x <<，则12y y <D ．若120x x <<，则12y y <8．二次函数y ＝﹣x 2﹣4的图象经过的象限为（ ）A ．第一象限、第四象限B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限二、填空题9．抛物线y ＝﹣x 2＋3的对称轴是_________，顶点坐标是_________．10．二次函数y ＝（m 2+1）x 2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）． 11．若点A （-1，m ）和B （-2，n ）在二次函数y =-x 2+20图象上，则m ______n （填大小关系）12．若点()11,A y -，()22,B y 在抛物线22y x m =+上，则1y ，2y 的大小关系为：1y _________2y （填“>”，“=”或“<”）．13．已知二次函数22y ax =-的图象经过点(1,3)-，那么a 的值为_____．14．如果抛物线()222y a x =-+开口向下，那么a 的取值范围是______．15．已知点()11,A y 点()22,B y 在二次函数()220y ax a =-≠的图象上，且12y y <，那么a 的取值范围是__________．16．二次函数y ＝﹣2x 2+1的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1＝y 2，当x ＝x 1+x 2时，对应的函数值y ＝___．三、解答题17．画出抛物线y ＝2x 2＋2的图象．18．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标． 19．已知：二次函数y ＝x 2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．20．已知抛物线2y ax b =+过点()2,3--和点()1,6．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当x 为何值时，函数y 随x 的增大而增大．答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．C3．B4．C5．A6．B7．D8．C9． 直线x ＝0（或y 轴）； （0，3）10．向上11．＞12．＜13．1-14．a ＞215．0a >16．117．见解析18．（1）抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．19．(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见解析．20．（1）239y x ；（2）当0x <时，函数y 随x 的增大而增大。
22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C )A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B )3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋34．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？ 解：如图所示：(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 28．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D )A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为(－1，2)C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由． 解：设平移后的函数解析式为y ＝13x 2＋k ，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k ，解得k ＝－6.∴把y ＝13x 2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．02 中档题11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A (－3，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤013．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c14．(泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是(C )A ．3B ．4C ．5D ．615．已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．16．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝－2，c ＝2．17．若抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4．18．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．解：(1)新图象的函数解析式为y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.03 综合题19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝O A. (1)填空：点B 的坐标是(0，12)；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．解：∵B 点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12.令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－12k .∴OC ＝－12k.∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12，∴PD ＝PC －CD ＝m －12.在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k )2，解得m ＝14＋14k 2.∴PB ＝14＋14k2.∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k2)．当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2，∴点P 在抛物线上．第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图象可能是(D )2．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，－36)． 3．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝－1．4．(教材P 35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的性质5．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是(D )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y ＝(x －2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x ＝2时，y 有最小值0；③y 随x 的增大而增大；④该函数图象关于直线x ＝2对称．其中正确的是(B )A．①②B．①②④C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 8．完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h 的加减关系11．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 易错点2 二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y ＝2(x －h )2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足h ≤3． 02 中档题13．(玉林中考)对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是(D )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝a ＋ax 的图象可能是(D )15．已知A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．17．已知某抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求抛物线与y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线解析式的二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.18．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C (h ，0)， y ＝12(x －h )2. ∵OA ＝OC ，∴A (0，h )．将点A (0，h )代入抛物线的解析式，得12h 2＝h .∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．已知点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q .若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．解：(1)∵点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点， ∴a ＝a (m －1)2，解得m ＝2或m ＝0. 又∵点P 在第一象限内，∴m ＝2. (2)∵a 的值为3，∴抛物线的解析式为y ＝3(x －1)2. ∵m ＝2，a ＝3，∴点P 的坐标为(2，3)． ∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q ，∴Q 点纵坐标也为3.令y ＝3，即3＝3(x －1)2，解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2. ∴S △OPQ ＝12·PQ ·y P ＝12×2×3＝3.第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(大同市期中)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是(D )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)2．(呼伦贝尔中考)二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为(D )3．将抛物线y ＝12x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D )A ．y ＝12(x －2)2＋4B ．y ＝12(x －2)2－2C ．y ＝12(x ＋2)2＋4D ．y ＝12(x ＋2)2－24．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是(1，0)．5．(教材P 37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：6.画出函数y ＝(x －1)2－1的图象． 解：列表：描点并连线：知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质7．(台州中考)设二次函数y ＝(x －3)2－4图象的对称轴为直线l .若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是(B )A ．(1，0)B ．(3，0)C ．(－3，0)D ．(0，－4)8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．49．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是－5．10．(河南中考)已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3． 易错点1 对抛物线的顶点理解不清11．抛物线y ＝(2x ＋1)2＋1的顶点坐标是(－12，1)．易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题13．与抛物线y ＝4(x －1)2－7的形状相同的抛物线是(B )A ．y ＝(4x －1)2－7B ．y ＝(2x －3)2C ．y ＝14x 2＋7D ．y ＝14(x －1)2＋914．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－116．如果二次函数y ＝(x －h )2＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为1． 17．将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2＋1的图象． (1)确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．解：(1)∵将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y＝－2(x－h＋2)2＋k＋3，∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k＝－2(x＋1)2－2，∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小．且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.18．(教材P36例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度；(2)求喷嘴离地面的高度；(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25.∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.(3)令y＝0，即0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．03综合题19．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4.令y＝0，即(x－1)2－4＝0.解得x1＝3，x2＝－1.∴A(－1，0)，B(3，0)．(2)∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝54S△MAB，∴|y P|＝54|y M|＝54×4＝5，即y P＝±5.又∵点P在二次函数y＝(x－1)2－4的图象上，∴y P≥－4.∴y P＝5.∴(x－1)2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
人教版九年级数学上册 22.1.3.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 同步练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第22章22.1.3.1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 同步练习题一、选择题1．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B)2．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D) A ．开口向上 B ．顶点坐标为(－1，2)C ．对称轴是直线x ＝1D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大3．与抛物线y ＝－45x 2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(B)A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋14．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C)A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状5．一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，b ≠0)的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是(C)6．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A)A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤07．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)A．a＋c B．a－c C．－c D．c二、填空题8.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)的．9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．因为a＝3>0，所以y有最小值，当x＝0时，y的最小值是－3．10．抛物线y＝ax2－1(a＞0)上有两点A(1，y1)，B(3，y2)，则y1＜y2.(填“＞”“＜”或“＝”)11．如果将抛物线y＝－3x2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为y＝－3x2＋2．12．对于二次函数y＝－2x2＋4，当－2＜x≤1时，y的取值范围是－4＜y≤4．13．已知函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，k＝2．三、解答题14．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向上平移3个单位长度得到．解：如图所示．抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．15．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能．把函数y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移6个单位长度，得到新的函数y ＝13x 2－6的图象过点(3，－3)．16．如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A ，B ，C ，D 分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为y ＝32x 2－32，求CD 的长．解：令y ＝32x 2－32＝0，解得x ＝1或－1.∴AB ＝2. ∴CO ＝12AB ＝1.令x ＝0，解得y ＝－32.即OD ＝32.∴CD ＝CO ＋OD ＝1＋32＝52.17.已知抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2. (1)试求a ，k 的值；(2)分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点．解：(1)因为抛物线y ＝ax 2＋k 向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y ＝ax 2＋k －2.所以根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k －2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝4.(2)抛物线y ＝－3x 2＋2的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)； 抛物线y ＝－3x 2＋4的开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，4)．18．已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等．如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，求△PMF 周长的最小值．解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y ＝14x 2＋1于点P ，此时△PMF 的周长最小．∵F(0，2)，M(3，3)，∴ME ＝3，FM ＝（3－0）2＋（3－2）2＝2. 又由题意可知PF ＝PE ，∴当ME ⊥x 轴于点P 时，PF ＋PM 最短为PE ＋PM ＝ME. ∴△PMF 周长的最小值为ME ＋FM ＝3＋2＝5.。
人教版数学九年级上学期课时练习- 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质(知识讲解)(人教版)
专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于函数y=（500﹣10x ）（40+x ），下列说法不正确的是（ ） A ．y 是x 的二次函数 B ．二次项系数是﹣10 C ．一次项是100D ．常数项是200003．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系 4．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．y=a 2x +bx+c B ．x 2+y -2=0C ．y 2-ax=-2D ．2x -y 2+1=0知识点二、二次函数的参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（ ） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-7．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对8．下列结论正确的是（ ） A ．y=ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数知识点三、二次函数的解析式9．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（ ）A ．230(030)y x x x =-<<B ．230(030)y x x x =-+<C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-++C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）模型的是（ ） A ．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B ．正方形周长与边长之间的关系 C ．正方形面积和正方形边长之间的关系 D ．圆的周长与半径之间的关系12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．y ＝-10 x 2-560x+7350B ．y ＝-10 x 2+560x -7350C ．y ＝-10 x 2+350xD ．y ＝-10 x 2+350x -7350二、填空题知识点一、二次函数的判断13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列函数中：①y=－x 2；①y=2x ；①y=22+x 2－x 3；①m=3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).15．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、二次函数的参数17．定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．18．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．19．当m____________________________时，函数22(23)(2)y m m x m x m =--+-+是二次函数．20．点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________知识点三、二次函数的解析式21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 与n 的解析式是______．22．如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <≤的函数关系是______．23．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________． 24．二次函数()()y 412x x 3=-+-的一般形式2y ax bx c =++是________． 三、解答题25．已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m . (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？26．已知函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，求不等式141123k k -+≥-的解集．27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+．（1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？参考答案1．C解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．2．C【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.解：①y=（500﹣10x）（40+x）=-10x2+100x+20000，①y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，①A、B、D正确，C错误.故选C.【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可.3．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t=sv，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S=13πR2，是二次函数，正确．故选D．【点拨】本题考查二次函数的定义．4．B解：利用二次函数的定义，可知：A.y=a2x+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；B.x2+y-2=0可变为y=2x+2，是二次函数，故此选项正确；C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；故选B．5．A 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1， 故选：A ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 解：①函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数，①a -1≠0，2a 1+=2， ①a≠1，21a =， ①1a =-， 故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．7．B 【分析】令x 的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可． 解：由题意得：m 2-6m -5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1， ①m=7， 故选：B ．【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 8．B 【分析】根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题． 解：A 、应强调a 是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．9．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．10．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．解：每件的利润为（x-21），①y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．11．C【分析】利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；B 、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c模型；C 、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c 模型；D 、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c 模型．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析．12．B解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x -21）（350－10x ）=－10x 2＋560x －7350，故选B.13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．①① 【分析】一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．解：①y ＝－x 2，二次项系数为－1，是二次函数；①y ＝2x ，是一次函数；①y ＝22＋x 2－x 3，含自变量的三次方，不是二次函数；①m ＝3－t －t 2，是二次函数. 故填①①．【点拨】本题考查二次函数的定义．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a 是否为0．15．①①① 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 解：y 是x 的二次函数的有①，①，①． 故答案是：①，①，①．【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）．16． 3 0 【分析】根据二次函数的定义解答即可．解：二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0．【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．17．2-1y x =﹣【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数231y ax x a =-++的本源函数．解：由题意得3=++1=a b a b ⎧⎨⎩﹣解得=2=1a b ⎧⎨⎩﹣﹣①函数231y ax x a =-++的本源函数是2-1y x =﹣． 故答案为：2-1y x =﹣． 【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．18．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．解：①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．19．不等于1-和3【分析】我们一般把形如2y ax bx c =++(a b c 、、为常数)的函数称之为二次函数，其中二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.解：根据二次函数的定义可得：2230m m --≠，即：()()130m m +-≠，①1m ≠-，且3m ≠，即当m 不等于1-和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于1-和3.【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．6【分析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：①点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，①2121m m =--则222m m -=．①()223632326m m m m -=-=⨯=故答案为：6．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．21．m =2n 2−n【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n 层正方形的个数，即可推出当有n 层时总的正方形个数．解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），第二层的正方形个数为（4×1＋1），第三层的正方形个数为（4×2＋1），……第n 层的个数为：[4×（n −1）＋1]，第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 为：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n −2）＋1]＋[4×（n −1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n −2）＋1＋4×（n −1）＋1＝n ＋4（1＋2＋3＋…＋n −2＋n −1）＝n ＋4()()1112n n +--⨯ ＝n ＋2n （n −1）＝2n 2−n ．即：m =2n 2−n ．故答案为：m =2n 2−n【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n 层时小正方形共增加了4（n −1）＋1个，将n 层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．22．2100y x =-+##2100y x =-【分析】由已知图形可以分析得到矩形AEGF 的长AF 为(10)x +cm ，宽AE 为(10)x -cm ，由面积公式即可计算得到正确答案．解：①正方形ABCD 的边长是10cm ，且BE DF =①矩形AEGF 的长AF 的长为(10)x +cm ，宽AE 的长为(10)x -cm①矩形AEGF 的面积为：()()21010=100y AF AE x x x ==+--+故答案为：2100y x =-+【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．23．22()1y x =-+【分析】利用配方法整理即可得解．解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．24．2y 8x 20x 12=-++【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．解：y ＝−4（1＋2x ）（x−3）＝−8x 2＋20x ＋12，故答案为y ＝−8x 2＋20x ＋12．【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．25．(1). m ≠0且m ≠1.(2). m ＝0.(3). 不可能试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 解：(1)①这个函数是二次函数，①m 2－m ≠0，①m (m －1)≠0，①m ≠0且m ≠1.(2)①这个函数是一次函数，①①m ＝0.(3)不可能．①当m ＝0时，y ＝－x ＋2，①不可能是正比例函数．26．15k ≤且13k ≠-． 【分析】首先利用二次函数的定义得出k 不能取的值，进而解不等式得出答案.解：∵函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，∴2910k -≠， 解得：13k ≠±， 141123k k -+≥- ()()312416k k -≥+-， 解得：15k ≤， 故不等式141123k k -+≥-的解集为：15k ≤且13k ≠-． 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键. 27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．解：（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．①要抢占市场份额①8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．①要继续保持扩大销售量的战略①10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．。
九年级数学二次函数y=ax2k(a≠0)的图像与性质(基础篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ） A ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝02．下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3B ．()1,3--C ．()1,5-D ．()1,5--3．抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4）D ．向上，（0，-4）4．关于二次函数224y x =+，下列说法错误．．的是（ ） A ．它的图象开口方向向上 B ．它的图象顶点坐标为（0，4） C ．它的图象对称轴是y 轴D ．当0x =时，y 有最大值45．若在同一直角坐标系中，作23y x =，22y x =-，221y x =-+的图像，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称 B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2x ．点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，则n 的取值范围是（ ） A ．n ＞3或n ＜﹣1B ．n ＞3C ．n ＜1D ．n ＞3或n ＜17．已知函数y=x 2﹣2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞﹣2D ．x ＜08．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) A ．y x 1=-+ B ．2y x 1=-C ．1y x=D ．2y x 1=-+9．点11(0.5,)P y -，22(2.5,)Py ，33(5,)P y -均在二次函数22y x x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>10．已知点()()()25,,521A m B m C m n --++,,,在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．2y x =+B ．25y x =--C ．25y x =+D ．2y x=-知识点三、二次函数()20y ax k a =+≠的图象11．2y ax k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数21(1)2(1)x x y x x⎧+≥-⎪=⎨<-⎪⎩则下列图像正确的是（ ）A ．B ．C．D．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）A．B．C．D．15．二次函数22=--的图象大致是（）y xA．B．C．D．知识点四、二次函数()20y ax k a =+≠的性质综合16．下列关于抛物线y ＝2x 2﹣3的说法，正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．抛物线与x 轴有两个交点D ．抛物线y ＝2x 2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣317．二次函数22y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．当0x =时，函数的最大值是2-C ．抛物线的对称轴是直线2x =D ．抛物线与x 轴有两个交点18．关于二次函数y ＝﹣2x 2+1，以下说法正确的是（ ） A ．开口方向向上B ．顶点坐标是（﹣2，1）C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝0时，y 有最大值﹣1219．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点1,1C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点20．关于二次函数221y x =-+，则下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．顶点坐标是（-2，1）D ．当x =0时，y 有最小值1知识点五、二次函数()20y ax k a =+≠图形与其他函数图象的判定21．直线y=ax+c 与抛物线y=ax 2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数ay x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．24．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．25．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．26．在同一直角坐标系中2y ax b =+与()y ax b a 0,b 0=+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．27．点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >二、填空题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值28．抛物线223y x =--的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______． 29．通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．31．抛物线2y ax k =+的图象相当于把抛物线2y ax =的图象______（k ＞0）或______（k ＜0）平移______个单位．32．一抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性33．已知点P （﹣2，y 1）和点Q （﹣1，y 2）都在二次函数2y x c =-+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是_____．34．已知二次函数y ＝－x 2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________. 35．当m=______时抛物线22(1)9m m y m x +=++开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．36．已知二次函数y ＝2x 2+bx ，当x ＞1时，y 随x 增大而增大，则b 的取值范围为______． 37．设点（﹣1，y 1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x 2+a 上的三点，则y 1、y2、y3的从小到大排列为__________. 三、解答题38．在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 39．如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到；（4）当0y >时，求x 的取值范围． 40．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标；()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．参考答案：1．B【分析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣3，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．B【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∵当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∵点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式． 3．B【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】抛物线y ＝-3x 2＋4 ∵30-<∵抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∵顶点坐标为()0,4 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 4．D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断． 【详解】∵224y x =+，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝0，顶点为（0，4），当x ＝0时，有最小值4， 故A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）． 5．A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为23y x =，22y x =-，221y x =-+这三个二次函数的图像对称轴为0x =，所以都关于y 轴对称，故选项A 正确，符合题意；B.抛物线23y x =，22y x =-的图象开口向上，抛物线221y x =-+的图象开口向下，故选项B 错误，不符合题意；C.抛物线22y x =-，221y x =-+的图象不经过原点，故选项C 错误，不符合题意；D.因为抛物线23y x =，22y x =-，221y x =-+的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D 选项错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．A【分析】由抛物线的对称轴找到E 点的对称点，抛物线开口向下，y 1＜y 2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+2x 的对称轴为x ＝1， E （3，y 2）关于对称轴对称的点（﹣1，y 2）， ∵抛物线开口向下，∵y 1＜y 2时，n ＞3或n ＜﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E 点关于对称轴的对称点是解题的关键． 7．D【详解】解：∵y =x 2-2，∵抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y =ax 2+c 的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．8．B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k =1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-+=--+，∵抛物线对称轴为直线1x =，∵10a =-<，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∵()222.5,P y 的对称点为()20.5,y -，且50.51-<-<，∵123y y y =>．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．10．B【分析】由点A （-5，m ），B （5，m ）的坐标特点，于是排除选项A 、B ；再根据A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，可得结果．【详解】解：∵A （-5，m ），B （5，m ），∵点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x +2不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、D 错误； ∵n 2＞0，∵m +n 2+1＞m ；由A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， 对于二次函数只有a ＜0时，满足条件，∵B 选项正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．11．D【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．【详解】二次函数2y ax k =+的对称轴为0x =观察四个选项可知，只有选项D 的图象符合故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性），掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12．C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A 选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B 选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C 选项正确；D 选项错误，当=1x -时，图象不应该是一条直线．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．13．C【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A 、B 、D ，故选C ．【详解】解：A选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，A=48b ac错误；B选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；=48b acC选项，由函数解析式，2=48-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；b acD选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．=48b ac【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．14．C【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，故选项C符合题意．【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．15．D【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.16．C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∵抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∵对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∵抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.17．D【分析】根据二次函数22y x =-的图象和性质，逐一判断选项，即可.【详解】∵a=1>0，∵抛物线开口向上，故A 错误，∵当0x =时，函数的最小值是2-，∵B 错误，∵抛物线的对称轴是y 轴，∵C 错误，∵∆=224041(2)80b ac -=-⨯⨯-=>，∵抛物线与x 轴有两个交点，∵D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.18．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2+1，∵该函数图象开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项B 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确；当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a =2,则抛物线y =2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x =1时,y =2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x =0，所以C 选项错误；D. 当y =0时,2x 2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.20．B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】因为20a =-<，所以二次函数图像开口向下，故A 选项错误；因为抛物线开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故B 选项正确；二次函数221y x =-+的顶点为（0,1），故C 选项错误；因为二次函数开口向下，对称轴为y 轴，所以当x =0时，y 有最大值1，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.21．A【详解】两图象与y 轴的交点相同,故排除了B 、D,若a>0,选A,C 中两个函数中的a 符号相反.22．B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合；当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.23．C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．24．C【详解】解：二次函数y =x 2+1中，a =1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，符合条件的图象是C.故选C.25．B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y ＝x 2＋1中，a ＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B ．故选B ．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．26．A【分析】本题由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =+的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a 0<，b 0<，由直线可知，a 0<，b 0<，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a 0<，b 0>，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a 0>，b 0<，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a 0>，b 0>，由直线可知，a 0<，b 0>，故本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．27．D【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A ．若12y y =，则12x x =±，原说法错误；B ．若12x x =-，则12y y =，原说法错误；C ．若120x x <<，则12y y <，原说法错误；D ．若120x x <<，则12y y >，原说法正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．28． 下 y 轴 （0，－3）【解析】略29． 描点 向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．30．23y x =-【分析】根据开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同可得1a =，再利用顶点坐标即可写出解析式．【详解】∵抛物线与2y x =-的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）∵设抛物线解析式为：2y x k =+，代入顶点坐标（0，-3）得：3k =-∵解析式为23y x =-故答案为23y x =-．【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．31． 向上 向下 |k |【解析】略32．23(2)32y x =++ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)-∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++ 又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同 32a ∴= 则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++ 故答案为：23(2)32y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 33．12y y <．【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】∵二次函数2y x c =-+的开口向下，对称轴为y 轴，∵当0x <时，y 随x 的增大而增大，∵21-<-，∵12y y <，故答案为：12y y <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．34．4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在24y x =-+中：23x -≤≤，∵其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∵其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象的顶点坐标为(0)k ，”是解答本题的关键.35． 1- y 轴 上升【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出m 的值，再根据抛物线开口方向向下可得10+<m ，然后求解即可．【详解】解：由题意得，222m m +=且10+<m ， 解得113m ，213m 且1m <-，∵1m =-对称轴是y 轴， ∵113130m∵在对称轴左侧部分是上升；故答案是：1-y 轴，上升．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．36．b ≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y ＝2x 2+bx 对称轴为直线x ＝﹣22⨯b ＝﹣4b ， ∵a ＝2＞0，x ＞1时，y 随x 增大而增大，∵﹣4b ≤1， 解得b ≥﹣4．故答案为：b ≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．37．y1>y2>y3【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则（-1，y 1）关于y 轴的对称点为（1，y 1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【详解】∵抛物线y=-x 2+a ，∵对称轴为y 轴，∵（-1，y 1）关于对称轴y 轴对称点为（1，y 1），∵a=-1＜0，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3，∵y 1＞y 2＞y 3，故答案为y 1＞y 2＞y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.38．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=--y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴， 2113=+y x 与2113=--y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=--y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=--y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.39．解：（1）(0,4)；（2）见解析；（3）上，4；（4）22x -<<．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：x =-2b a=0 令x =0，y =4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y =0，x =±2，则抛物线与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y =-x 2向上平移4个单位可得出y =-x 2+4；（4）根据图像得，当y >0时，x 的取值范围为：-2<x <2．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∵图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．。
人教版九年级上数学《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
22.1.3 二次函数y = a （x — h ）2 3+ k 的图象和性质 第1课时 二次函数y = ax 2+ k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y = ax 2+ k 的图象1 11.（教材P33练习变式）函数y = §x 2+ 1与y = §x 2的图象的不同之处是（C ）A .对称轴B .开口方向2C . y = x + 13.y = x 2+ 2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式C .顶点D •形状2.X（上海中考）如果将抛物线是(C)2A . y= (x —1) + 2B. y = (x + 1)2+ 22 D. y= x + 34.抛物线y= 2x2—1在y轴右侧的部分是上 _（填"上升”或"下降”）.5.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值y = 2x2+ 2向上y轴(0, 2)最小值2y = —5x2—3向下y轴(0, —3)最大值一3 y= 5x+ 1向上y轴(0, 1)最小值112 4y = —2x —4向下y轴(0, —4)最大值一46.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y = —2x2, y = —2x2+ 3的图象.（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；⑵抛物线y = —2x2+ 3与抛物线y= —2x2有什么关系?解：如图所示：（1）抛物线y = —2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0, 0）• 抛物线y=—2x2+ 3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0, 3）• ⑵抛物线y = —2x2+ 3可由抛物线y=—2x2向上平移3个单位长度得到.知识点2 二次函数y= ax2+ k的性质7.（河池中考）已知点（x i, y i）,（X2, y2）均在抛物线y= x2—1上，下列说法中正确的是（D）A .若y i= y2,贝V X i = X2B .若x i = —x2,则y i = —y2C.若O v x i<X2,则y i>y2D .若x i v X2< 0，则y i > y28.下列关于抛物线y=—x2+ 2的说法正确的是（D）A .抛物线开口向上B .顶点坐标为（一i, 2）C.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D .在对称轴的左侧，y随x的增大而增大9.二次函数y= 3x2—3的图象开口向上，顶点坐标为（0，—3），对称轴为y轴，当x>0时, y随x 的增大而增大：当x<0时，y随x的增大而减小.因为a= 3>0，所以y有最小值，当x= 0时，y的最小值是_3.i10.能否通过适当地上下平移二次函数y= 3x2的图象，使得到的新的函数图象经过点（3,3—3），若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由.解：设平移后的函数解析式为y= 3x2+ k,3把（3 , —3）代入，得—3 = i X 32+ k,3解得k=— 6.•••把y= 3X3的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3,—3).02 中档题11.(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y = ax+ 1与二次函数y= x2+ a的图象可能是(C)=2 .的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3, 3), P是抛物线y=*+i上12. 已知 y = ax 2 + k 的图象上有三点 A( — 3, y i ), B(1 , y 2), C(2 , y 3),且 y 2<y 3<y i ，贝V a 的取值范围是(A)A . a>0B . a<0C . a > 0D . a < 013. (山西农业大学附中月考)已知二次函数y = ax 2 + c ,当x 取x i , X 2(x i *XQ 时，函数值相 等.当x 取X i + X 2时，函数值为(D)A . a + ci 214.(泸州中考)已知抛物线y = 4x 2+ i 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)15. 已知y = (m + 2)xm 2+ m — 4 — 3是二次函数，且当 x >0时，y 随x 的增大而减小，则 m =—3.16 .将抛物线y = ax 2 + c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y =— 2x 2— i ，贝V a=—N , c17 .若抛物线 y = ax 2 + k(a ^0)与 y =— 2x 2 + 4 关于 x 轴对称，则 a = 2, k =—4.D . 6B . a — c一个动点，则△18•把y= —2x4 5的图象向上平移2个单位长度.(1) 求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴；(2) 画出平移后的函数图象；⑶求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.解：⑴新图象的函数解析式为y= —*x2+ 2，顶点坐标是(0, 2)，对称轴是y轴.⑵略.⑶当x = 0时，y有最大值，为2.03 综合题2 1佃.(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2+才与丫轴相交于点A ,点B在y轴上，且在点A的上方，AB = 0A.1(1)填空：点B的坐标是(0, 2)：⑵过点B的直线y = kx + b(其中k v 0)与x轴相交于点C,过点C作直线I平行于y轴，P 是直线I上一点，且PB= PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上，说明理由.4令y= 0，得kx + = 0,1解：T B 点坐标为(0, ~),1•••设直线的解析式为 y = kx + -. ••• PB = PC ,「.点P 只能在x 轴上方.1 1 过 B 作 BD 丄 I 于点 D ，设 PB =PC = m ,贝U BD = OC =—衣,CD = OB =寸,解得x =—丄2k .• OC =— 丄2k .1••• PD = PC — CD = m —二2在Rt △ PBD 中，由勾股定理，得PB 2= PD 2+ BD 2, 即卩 m 2= (m — 2)2 + (—才, 1 1解得 m =4+ 4i?.1当x =— 土时，代入抛物线的解析式可得y2K •••点P 在抛物线上.• P 点坐标为/ 1 1 1(—2k ，4+和-1 1 4+ 4?，第2课时二次函数y= a(x—h)2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y= a(x —h)2的图象1 21.在平面直角坐标系中，二次函数y= 2(x —2)2的图象可能是(D)2.抛物线y=—4(x + 3)2与x轴的交点坐标是(—3, 0)，与y轴的交点坐标是(0，—36).3.将抛物线y= ax2向左平移2个单位长度后，经过点(—4，—4)，则a=二］.4.傲材P35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2, y = (x + 2)2, y= (x —2)2 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.解：图象如图：抛物线y = x2的对称轴是直线x= 0,顶点坐标为(0, 0).抛物线y = (x + 2)2的对称轴是直线x=—2,顶点坐标为(一2, 0).抛物线y = (x —2)2的对称轴是直线x= 2,顶点坐标为(2 , 0).知识点2 二次函数y= a(x —h)2的性质5.下列对二次函数y= 2(x + 4)2的增减性描述正确的是(D)A .当x > 0时，y随x的增大而减小B .当x v 0时，y随x的增大而增大C.当x>—4时，y随x的增大而减小D .当x v —4时，y随x的增大而减小6.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法.对于函数y = (x —2)2,下列说法：①图象经过点A .①②B .①②④(1, 1);②当x= 2时，y有最小值0 :③y随x的增大而增大；④该函数图象关于直线x= 2对称.其中正确的是(B)C.①②③④ D .②③④7.如果二次函数y= a(x+ 3)6有最大值，那么a<0,当x=- 3时，函数的最大值是0.8•完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y=—(x - 1)2图象上两点A(2 , y) B(a, y2)，其中a> 2，则y i与W的大小关系是y i>y2(填“v”“>”或“=”).10.已知抛物线y= a(x-h)2,当x = 2时，有最大值，此抛物线过点(13)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.解：当x = 2时，有最大值，h= 2.又•••此抛物线过点(1,—3),•••—3= a(1 - 2)2.解得a=- 3..此抛物线的解析式为y = - 3(x —2)2.当x>2时，y随x的增大而减小.6 2C. y = (x —1) D . y= (x + 1)易错点1混淆二次函数图象的平移方向与h的加减关系11.(上海中考)如果将抛物线y = x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C)2 2A . y= x —1 B. y = x + 1易错点2二次函数增减性相关的易错12. 已知二次函数y = 2(x — h)2的图象上，当x > 3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足 h w 3.02 中档题13.(玉林中考)对于函数y =— 2(x — m)2的图象，下列说法不正确的是 (D)A .开口向下B .对称轴是x = mC .最大值为0 15.已知A( — 4, y i ), B( — 3, y 2), C(3 , y 3)三点都在二次函数 y =— 2(x + 2)2的图象上，则 y i , y 2, y 3的大小关系为 y 3<y i <y 2.|x 2 + 3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(一5, 0).根据以上特点，试写出该抛物线的解析式.解：•• •所求抛物线与 y =— 2x 2+ 3形状相同，开口方向相反,1•••所求抛物线解析式的二次项系数是 *又•••顶点坐标是(—5, 0),216.已知二次函数 y = 2(x — 1) 17.已知某抛 D .与y轴不相14.在同 (D) 1.•••所求抛物线的解析式为y=如+ 5)2.i。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质练习(含答案)
二次函数y ＝a(x －h)²＋k 的图象和性质一、选择题（每题3分）1.函数y=-x 2-3的图象顶点是（）A 、B 、C 、D 、2．已知抛物线2)1(2++=x m y 的顶点是此抛物线的最高点，那么m 的取值范围是（）A.0≠m B.1-≠m C.1->m D.1-<m 3．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是()A.直线x ＝12B.y 轴C.直线x ＝2D.直线x ＝－124．将抛物线2y x =-向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（）A ．22y x =-+B ．2(2)y x =-+C ．2(2)y x =--D ．22y x =--5．已知点（1，2）在抛物线y=ax 2+1上，则下列各点也在此抛物线上的是（）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（1，﹣2）D ．（﹣1，2）6．抛物线42-=x y 的顶点坐标是（）A （2，0）B （－2，0）C （1，－3）D （0，－4）7．在同一坐标系中，作222y x =+、221y x =--、212y x =的图象，则它们（）A ．都是关于y 轴对称B ．顶点都在原点C ．都是抛物线开口向上D ．以上都不对8..在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题3分）9.函数y=9－4x 2，的顶点坐标是________．10．将二次函数y=2x 2﹣1的图象沿y 轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为_________．11．抛物线y=－x 2的顶点坐标为________；若点A （3，m ）是此抛物线上一点，则m=____；把此抛物线向下平移4个单位得到的抛物线的函数关系式是．12．抛物线215y x =-+有最______点，其坐标是__________13．若二次函数y=（m ＋1）x 2＋m 2－9有最大值，且图象经过原点，则m=．14已知A （3，1y ）、B （4，2y ）都在抛物线12+=x y 上，试比较1y 与2y 的大小：_________三、计算题（每题10分）13.写出出二次函数y=2x 2+2与二次函数y=﹣3x 2﹣1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．一、选择题（每题3分）1．在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2（x-2）2D ．y=2（x+2）22．抛物线223y x =-的顶点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、x 轴上D 、y 轴上3．函数是二次函数m x m y m +-=-22)2(，则它的图象（）A ．开口向上，对称轴为y 轴B ．开口向下，顶点x 在轴上方C ．开口向上，与x 轴无交点D ．开口向下，与x 轴无交点4．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．21y x =+D ．23y x =+．5．抛物线221y x =-+的对称轴是：（）A ．直线14x =B ．直线14x =-C ．y 轴D ．x 轴6．在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是二、填空题（每题3分）7.抛物线y=x 2+的开口向，对称轴是．8．将抛物线y=22x 向上平移3个单位长度得到的抛物线表达式是．9．抛物线21y x =+的最小值是．10．将抛物线21y x =+的图象绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的函数关系式______________11．若二次函数y ＝()21m x +＋m 2－9的图象经过原点且有最大值，则m ＝_________．12．已知点（m ，n ）在抛物线122+=x y 的图象上，则1242+-n m =．三、计算题（每题10分）13.在同一直角坐标系中画出二次函数y =x 2+1与二次函数y =﹣x 2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．1．形状、开口方向与抛物线212y x =相同，但是顶点为（﹣2，0）的抛物线解析式为（）A ．21(2)2y x =-B ．21(2)2y x =+C ．21(2)2y x =--D ．21(2)2y x =-+2．抛物线y=－212x 的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（）A ．（0，－2）B ．（0，2）C ．（－2,0）D ．（2，0）3．将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位4．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2-=x 的是（）A ．2)2(+=x y B ．222-=x y C ．222--=x y D ．2)2(2-=x y 5．抛物线22(3)y x =-的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．x 轴上D ．y 轴上二、填空题（每题3分）6.若二次函数22y x =的图象向左平移2个单位长度后，得到函数22()y x h =+的图象，则h=．7．将二次函数的图象沿x 轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为．8．抛物线y=－（x-3）2的顶点坐标为________．9．抛物线y=-3（x+3）2有最______点，其坐标是__________三、计算题（每题10分）10.写出出二次函数y=2（x-2）2与二次函数y=﹣（x+3）2的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．1．抛物线2)2(-=x y 的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（－2，0）C ．（0，2）D ．（0，－2）2．将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A.2(1)y x =+；B.2(3)y x =-；C.2(1)2y x =-+；D.2(1)2y x =--；3．抛物线y=-2（x+2）2的顶点坐标是（）A ．（0，－2）B ．（－2，0）C ．（0，2）D ．（2，0）4．将抛物线213y x =的顶点向左平移13个单位长度，所得到的点的坐标是（）A ．（13，0）B ．（0，13-）C ．（0，13）D ．（13-，0）5．将抛物线y=x 2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位二、填空题（每题3分）6.抛物线y=2（x+1）2的对称轴是直线.7.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=-1的二次函数解析式.8.抛物线y ＝3x 2沿x 轴向左平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的关系式是．9．二次函数y=2（x-2）2的图象在对称轴左侧部分是．“上升或下降”10.抛物线y=-2（x+5）2的最大值是．三、计算题（每题10分）11.确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，增减性．（1）y=5（x+2）2（2）y=-4（x-3）21．关于二次函数y=-12(x-3)2+2的图象与性质，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口方向向下B ．当x=3时，函数有最大值-2C ．当x ＞3时，y 随x 的增大而减小D ．抛物线可由y=-12x 2经过平移得到2．将抛物线y=5x 2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A ．25(2)3y x =+-B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =++3．把抛物线2112y x =-先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A ．21(1)32y x =+-B ．21(1)32y x =--C ．21(1)12y x =++D ．21(1)12y x =-+4．抛物线y =（x +2）2−1的顶点坐标是（）A ．（2，1）B ．（−2，−1）C ．（−2，1）D ．（2，−1）5．二次函数y=2（x+3）2-1的图象的顶点所在象限是（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）A ．h=mB ．k ＞nC ．k=nD ．h ＞0，k ＞0二、填空题（每题3分）7.抛物线y ＝2（x －1）2－1的顶点是．8．写出一个开口向下，顶点坐标是（1，-2）的二次函数解析式．9．把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．10．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是。
九年级数学上册(人教版)复习知识点讲解与练习--二次函数y=ax2+k的图象和性质
九年级数学上册(人教版)复习知识点讲解与练习二次函数y＝ax2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( C )A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴 D．直线x＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B )①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝12x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.A．①④ B．②⑤C．②③⑤ D．①②⑤【解析】a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a相同，选B.3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋34．[2013·德州]下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( B )A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1C．y＝1xD．y＝－x2＋15．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可．6．抛物线y＝13x2－4可由抛物线y＝13x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__值为__－4__，当__x>0__时，y随x的增大而增大，当__x<0__时，y随x的增大而减小．【解析】抛物线y＝13x2－4与y＝13x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝13x2－4的图象可由抛物线y＝13x2的图象沿y轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．7．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__．8．(1)填表：x…－2－1012…y＝－2x2y＝－2x2＋1y＝－2x2－1(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象；(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？(4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1? 解：(1)略 (2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．9．二次函数y ＝－12x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧．(1)求c 的值；(2)求A ，B 两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎪⎫－3，92， ∴－12×(－3)2＋c ＝92，∴c ＝6.(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－12x 2＋6.令y ＝0，则－12x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，B (23，0)．10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－12x2＋1、y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )图22－1－12A．8B．6C．10D．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y＝－8x2－6____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k值，从而可判断平移方向．∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8.又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6，∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y ＝0时x 的值．解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点， ∴⎩⎨⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩⎨⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. (2)列表：x －2 －112－1 －12 0 12 1 112 2y ＝－3x 2＋5 －7 －1342 4145 4142 －134－7描点、连线：(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0，解得x 1＝153，x 2＝－153， 故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫153，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0.13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O 点到AB 的距离)为4 m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？(2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝ax2，把A点或B点坐标代入可得a＝－125，所以y＝－125x2；(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4.又y＝ax2＋4的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A点或B点坐标代入可得0＝100a＋4，解得a＝－1 25，所以y＝－125x2＋4.因为两抛物线解析式的a相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC 为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】 (1)抛物线关于y轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a的值；(2)将x＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y值与4.2比较大小，y值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－1 4，∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋6.(2)当x＝2.4时，y＝－14x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0，解得：a＝1 4；(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a＝1 4，∴y＝14x2－4，令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154，∴C(－1，－154 )，∵C关于原点对称点为D，∴D 的坐标为(1，154)，则CE ＝DF ＝154S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD 的面积为15平方米．第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质[见A本P16]1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是( D )A．y＝1＋12x2B．y＝(2x＋1)2C．y＝(x－2)2 D．y＝2x22．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是( D ) A．是中心对称图形B．开口向上C．对称轴是x＝－2D．最高点是(2，0)3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是( A )A．(1，0) B．(－1，0)C．(－2，1) D．(2，－1)4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是( B ) A．开口向下B．对称轴为x＝1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标为(－1，0)5．二次函数y＝2(x－32)2图象的对称轴是直线__x＝32__.6．函数：①y＝12x－3，②y＝－2x(x<0)，③y＝(1－x)2(x>1)，其中y随x的增大而增大的有__①②③__(填序号)．解：∵y＝12x－3中，k＝12>0，∴y随x的增大而增大；∵函数y＝－2x中k＝－2，∴当x<0时，y随x的增大而增大；∵y＝(1－x)2(x>1)中，开口向上，对称轴为x＝1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，故答案为①②③.7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小．8．抛物线y＝－23(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__．9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S △AOB ＝__8__．【解析】 画草图帮助理解题意． 当x ＝2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝8， S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×8＝8.10．已知：抛物线y ＝－14(x ＋1)2.(1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表；x … －7 －31 3… y … －9－1…(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．图22－1－16解：(1)抛物线的对称轴为x ＝－1. (2)填表如下：x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 …(3)描点作图如下：11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．(1)y＝2(x＋1)2(2)y＝－4(x－5)2.解：(1)由y＝2(x＋1)2可知，二次项系数为2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，顶点坐标为(5，0)．12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小；∵－3＜0，∴二次函数的开口向下，当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)．(1)求a和h的值；(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x＝－2，∴h＝－2，∵与y轴交于点(0，2)，∴a·22＝2，∴a＝1 2；(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝12(x－2)2.14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式．(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2；(2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∵关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变，∴关于y轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2；∵关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变，∴关于x轴对称的抛物线解析式为y＝－a(x－h)2；∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向改变，∴关于原点对称的抛物线解析式为y＝－a(x＋h)2.15．在直角坐标平面内，已知抛物线y ＝a (x －1)2(a ＞0)顶点为A ，与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC 为直角三角形时，求a 的值．图22－1－17解：∵y ＝a (x －1)2(a ＞0)的顶点为A ，所以点A 的坐标为(1，0)． 由x ＝0，得y ＝a ，所以点C 的坐标为(0，a )， 由x ＝3，得y ＝4a ，所以点B 的坐标为(3，4a )，所以有⎩⎨⎧AC 2＝1＋a 2AB 2＝4＋16a 2BC 2＝9＋9a2(1)若BC 2＝AC 2＋AB 2得 9＋9a 2＝1＋a 2＋4＋16a 2即a 2＝12，a ＝±22，因为a >0，∴a ＝22；(2)若AB 2＝AC 2＋BC 2 得4＋16a 2＝1＋a 2＋9＋9a 2即a2＝1，a＝±1.∴a>0，∴a＝1；(3)若AC2＝AB2＋BC2得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2即a2＝－12，无解．综上所述，当△ABC为直角三角形时，a的值为1或2 2 .第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质[见B本P16]1．抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( A )A．(3，1) B．(3，－1)C．(－3，1) D．(－3，－1)2．对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2C．3 D．4【解析】①∵a＝－12<0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④∵x>－1时，y随x的增大而减小∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C.3．下列二次函数中，图象以x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( C )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3【解析】设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k，把点(0，1)代入检验．4．如图22－1－18，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是( D )图22－1－18A．顶点坐标是(1，－2)B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－36．[2013·雅安]将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D )A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x2【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为：y＝x2＋3－3，即y＝x2.故选D.7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A )图22－1－19A．m＝n，k>h B．m＝n，k<hC．m>n，k＝h D．m<n，k＝h8．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2，y＝－12x2－1，y＝－12(x＋1)2－1的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．解：列表如下：xy＝－12x2y＝－12x2－1y＝－12(x＋1)2－1－4－5.5－3－4.5－5.5－3－2－2－3－1.5－1－0.5－1.5－100－1－1.51－0.5－1.5－32－2－3－5.53－4.5－5.5描点、连线如图：抛物线对称轴顶点坐标y＝－12x2，即y＝－12(x－0)2＋0x＝0(0，0)y＝－12x2－1，即y＝－12(x－0)2＋(－1)x＝0(0，－1)y＝－12(x＋1)2－1，即y＝－12[x－(－1)]2＋(－1)x＝－1(－1，－1) 9．已知：抛物线y＝(x－1)2－3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当x____________时，y随x的增大而减小，当x____________时，y随x的增大而增大．解：(1)抛物线y＝(x－1)2－3，∵a＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－3)；(2)∵对称轴是x＝1∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，∴可设为y＝a(x－1)2－1，当x＝0时，y＝0，∴0＝a(0－1)2－1，a＝1，所求函数解析式为y＝(x－1)2－1.11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0?图22－1－20解：(1)画图略．依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1，∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1；(2)当y＝0时，即x2－2x－1＝0，∴(x－1)2＝2，∴x－1＝±2，∴x1＝1－2，x2＝1＋2，∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝x2－2x－1的函数值大于0.12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x －h)2＋k，则下列结论正确的是( A )图22－1－21A．h>0，k>0 B．h<0，k>0C．h<0，k<0 D．h>0，k<0【解析】∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图22－1－22所示，则一次函数y＝ax ＋c的大致图象可能是( A )【解析】根据二次函数开口向上知a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过一、二、三象限，故选A.14．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y ＝－(x＋1)2－2__．【解析】二次函数y＝(x－1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2.15．二次函数y ＝－(x －2)2＋94的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)．图22－1－23【解析】 令－(x －2)2＋94＝0，解得x 1＝12，x 2＝72，抛物线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94，画出图象，图象与x 轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个．16．已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2) ∴a (1－3)2＋2＝－2 ∴a ＝－1.(2)解法一：由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下 在对称轴x ＝ 3的左侧，y 随x 的增大而增大∵m<n<3∴y1<y2解法二：由(1)得y＝－(x－3)2＋2∴当x＝m时，y1＝－(m－3)2＋2当x＝n时，y2＝－(n－3)2＋2y－y2＝(n－3)2－(m－3)21＝(n－m)(m＋n－6)∵m<n<3∴n－m>0，m＋n<6，即m＋n－6<0∴(n－m)(m＋n－6)<0∴y1<y217．如图22－1－24，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．图22－1－24解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0. 解得m ＝－1，∴二次函数的解析式是y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)，∵点B 与C 关于x ＝2对称， ∴B (4，3)，于是有⎩⎨⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的解析式是y ＝x －1. (2)x 的取值范围是1≤x ≤4.。
22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质课时练习含答案 2021-2022学年人教版九上(答案)
人教版2021年九年级上册：22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质课时练习一．选择题1．抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（）A．y＝﹣2x2B．y＝4x2C．同样大D．无法确定2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝﹣3x2，y＝﹣x2图象的共同点是（）A．都关于x轴对称，抛物线开口向上B．都关于y轴对称，抛物线开口向下C．都关于y轴对称，顶点都是原点D．都关于原点对称，顶点都是原点3．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．5．两个二次函数的图象如图所示，其中一个是y＝x2，另一个是y＝ax2，则a可能的取值为（）A．1B．C．D．﹣6．已知函数y1＝x2与函数y2＝的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．＜x＜2B．x＞2或x＜C．﹣2＜x＜D．x＜﹣2或x＞二．填空题7．二次函数y＝x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）．8．抛物线的对称轴为．9．已知抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，则抛物线的顶点坐标为．10．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）11．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．12．若函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，则自变量x的取值范围是．13．若函数y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），则k＝，b＝．14．二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A10在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B10在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都为等边三角形，则△A9B10A10的边长为．三．解答题15．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）y＝2x2；（2）y＝x2．16．不画图象，说出抛物线y＝﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．17．已知二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），试确定它的开口方向和a的值．18．已知函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数．（1）求满足条件的m的值；（2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，∵4＞2，∴抛物线y＝4x2的开口小于y＝﹣2x2的开口，故选：A．2．解：A、都关于y轴对称，但开口方向有的向下，故错误；B、都关于y轴对称，但开口方向有的向上，故错误；C、都关于y轴对称，顶点都是原点，故正确；D、都关于y轴对称，故错误，故选：C．3．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．4．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．5．解：由图象知，二次函数y＝ax2图象的开口向上，且小于二次函数y＝x2的图象的开口，∴a＞，故选：A．6．解：由y1＝y2，即x2＝，解得：x1＝﹣2，x2＝．由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是﹣2＜x＜．故选：C．二．填空题7．解：由y＝x2得：a＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．8．解：∵a＝，b＝0，∴x＝﹣＝0，故答案为直线x＝0或y轴．9．解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．10．解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．11．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，故答案为：＞．12．解：如图，∵函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，∴﹣x2+9＞0，解得﹣3＜x＜3，故答案为﹣3＜x＜3．13．解：根据题意，把（2，b）代入y＝3x2中，得b＝12；再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得k＝4.5．14．解：∵△A0B1A1是等边三角形，∴∠A1A0B1＝60°，∴A0B1的解析式为y＝x，联立，解得，（为原点，舍去），∴点B1（，），∴等边△A0B1A1的边长为×2＝1，同理，A1B2的解析式为y ＝x+1，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴B2（，2），∴等边△A1B2A2的边长A1A2＝2×（2﹣1）＝2，同理可求出B3（，），所以，等边△A2B3A3的边长A2A3＝2×（﹣1﹣2）＝3，…，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，△A9B10A10的边长A9A10＝10．故答案为：10．三．解答题15．解：列表得：﹣2﹣101282028 y＝2x2y ＝x2202描点、连线可得图象为：16．解：抛物线y＝﹣x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向下，最高点坐标（0，0）；17．解：∵二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），∴4a＝5，解得a＝，∴开口方向向上．18．解：（1）根据题意得m﹣3≠0且m2﹣2m﹣6＝2，解得m1＝﹣2，m2＝4．所以满足条件的m的值为﹣2或4；（2）∵当m﹣3＞0时，图象有最低点，∴m＝4，此时二次函数的解析式为y＝x2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；（3））∵当m﹣3＜0时，图象有最高点，∴m＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝﹣5x2，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．。
二次函数的图像与性质经典练习题附带详细答案
二次函数的图像与性质经典练习题附带详细答案练习一1．二次函数y ax 2的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x＿＿＿时，y 随 x的增大而减小。
2．关于y 1x2，y x2，y3x2的图像，下列说法中不正确的是（）3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同3．两条抛物线y x2与y x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值4．在抛物线y x2上，当y＜ 0 时， x 的取值范围应为（）A． x＞0B． x＜ 0C．x≠ 0D．x≥ 05．对于抛物线y x2与y x2下列命题中错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y 轴对称D．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b x2＋ 3 的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－1(x2) 2－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿2＿＿时，y 随x 的增大而增大，x＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线y2(x1)23的顶点坐标是（）A．（ 1， 3）B．（1， 3） C ．（1，3）D．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（ 1，10），则这条抛物线的表达式为（）A． y=3( x1)2－2B． y=3(x1)2＋2 C． y=3( x1)2－2D． y=－ 3( x1)2－210．二次函数y ax2的图像向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得新函数表达式为（）A． y=a C． y=a ( x 2)2＋3B．y=a( x 2) 2＋3D．y=a( x2)2－3( x2)2－311．抛物线y x24x 4 的顶点坐标是（）A．（ 2， 0） B ．（ 2，-2 ） C ．（2，-8 ）D．（-2，-8）12．对抛物线 y= 2(x2) 2－3与y=－ 2( x2)2＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反13．函数 y=a x2＋ c 与 y=ax ＋c(a ≠ 0) 在同一坐标系内的图像是图中的（）14．化y x24x3为 y= x24x 3为y a ( x h)2k 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.2 二次函数y=ax2,y=
课时作业(十)[第二章 2 第2课时二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质]一、选择题1．2017·余杭区期中已知二次函数y＝ax2的图象经过点(－2，6)，则下列点中不在该函数图象上的是( )A．(2，6) B．(1，1.5)C．(－1，1.5) D．(2，8)2．2018·虹口区一模抛物线y＝2x2－4的顶点在( )A．x轴上 B．y轴上C．第三象限 D．第四象限3．若在同一直角坐标系中，作函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝－2x2＋1的图象，则它们( ) A．都关于y轴对称B．开口方向相同C．都经过原点D．互相可以通过平移得到4．2017·北京房山区期末已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝－2x2＋m(m是常数)的图象上的两个点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是链接听课例2归纳总结( ) A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1，y2的大小关系不能确定5．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是( ) 链接听课例4归纳总结A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋36．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分(如图K－10－1所示为示意图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )图K－10－1A．3.5 m B．4 mC．4.5 m D．4.6 m7．2017·东莞一模在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是( )图K －10－2二、填空题8．抛物线y ＝－12x 2＋3的对称轴是________，顶点坐标是________，它与抛物线y ＝－12x 2的形状________．9．若点A (2，m )在抛物线y ＝－12x 2上，则点A 关于y 轴对称的点的坐标是________．10．如图K －10－3所示，四个函数图象对应的关系式分别是：①y ＝ax 2，②y ＝bx 2，③y ＝cx 2，④y ＝dx 2.则a ，b ，c ，d 的大小关系是____________．(用“＞”连接)链接听课例1归纳总结图K －10－311．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图K －10－4所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y ＝－125x 2.当水面离桥拱顶的高度OD 为2 m 时，水面的宽度AB 为________m.图K －10－412．如图K －10－5，过x 轴上一点A 作平行于y 轴的直线与抛物线y ＝14x 2及y ＝x 2分别交于B ，C 两点，若正方形BCDE 的一边DE 与y 轴重合，则正方形BCDE 的面积为________．图K －10－5三、解答题13．已知点P (1，－2a )在二次函数y ＝ax 2＋6的图象上，并且点P 关于x 轴的对称点在反比例函数y ＝k x的图象上．(1)求此二次函数和反比例函数的表达式；(2)点(－1，4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上？14．已知抛物线y ＝ax 2＋n (an >0)与抛物线y ＝－2x 2的形状相同，且其图象上与x 轴最近的点到x 轴的距离为3.(1)求a ，n 的值；(2)在(1)的情况下，指出抛物线y ＝ax 2＋n 的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．如图K －10－6，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道(从正中通过)，抛物线满足表达式y ＝－14x 2＋4.为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少．图K －10－616．如图K －10－7，直线AB 经过点B (0，6)，且与抛物线y ＝ax 2＋2在第一象限内相交于点P ，又知tan ∠ABO ＝23，△AOP 的面积为6.(1)求a 的值；(2)能否将抛物线y ＝ax 2＋2上下平移，使得平移后的抛物线经过点A ？链接听课例4归纳总结图K －10－7数形结合思想如图K －10－8，抛物线y ＝－12x 2＋2与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C 的坐标．(2)在抛物线上是否存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图K －10－8详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] D 把(－2，6)代入y ＝ax 2中，得4a ＝6，则a ＝32，所以这个二次函数的表达式为y＝32x 2.A.当x ＝2时，y ＝32×22＝6，所以点(2，6)在该函数的图象上；B.当x ＝1时，y ＝32×12＝1.5，所以点(1，1.5)在该函数的图象上；C.当x ＝－1时，y ＝32×(－1)2＝1.5，所以点(－1，1.5)在该函数的图象上；D.当x ＝2时，y ＝32×22＝6，所以点(2，8)不在该函数的图象上．故选D.2．[解析] B 根据题意知，抛物线y ＝2x 2－4的对称轴为直线x ＝0，故它的顶点在y 轴上．故选B.3．[答案] A4．[解析] C ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数y ＝－2x 2＋m (m 是常数)的图象上的两个点，∴y 1＝－2x 12＋m ，y 2＝－2x 22＋m .∵x 1＜x 2＜0，∴x 12＞x 22，∴y 1＜y 2.故选C.(也可以利用二次函数的增减性得出y 1＜y 2)5．[答案] C6．[解析] B 将y ＝3.05代入y ＝－15x 2＋3.5，得3.05＝－15x 2＋3.5，解得x ＝－1.5(舍去)或x ＝1.5，∴若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是2.5＋1.5＝4(m)，故选B.7．[解析] C A 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴a ＜0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a ＞0，故此选项不符合题意；B 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于正半轴，∴a ＞0，开口向下，∴b <0，由直线可知，图象过第一、二、三象限，∴a ＞0，b ＞0，故此选项不符合题意；C 项，由抛物线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴a ＜0，开口向上，∴b >0，由直线可知，图象过第一、二、四象限，∴a ＜0，b >0，故此选项符合题意；D 项，由直线可知，图象与y 轴交于负半轴，∴b ＜0，由抛物线可知，开口向上，∴b ＞0，故此选项不符合题意．故选C.8．[答案] y 轴 (0，3) 相同[解析] 抛物线y ＝ax 2＋c 的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c )，它与抛物线y ＝ax 2的形状相同，可由抛物线y ＝ax 2经过平移得到．9．[答案] (－2，－2)[解析] ∵点A (2，m )在抛物线y ＝－12x 2上，∴m ＝－12×22＝－2，∴点A 的坐标是(2，－2)，它关于y 轴对称的点的坐标是(－2，－2)．10．[答案] a ＞b ＞c ＞d[解析] 因为直线x ＝1与四条抛物线的交点坐标从上到下依次为(1，a )，(1，b )，(1，c )，(1，d )，所以a ＞b ＞c ＞d .11．[答案] 10 2[解析] 根据题意，当y ＝－2时，有－2＝－125x 2，解得x ＝±5 2，∴A (－5 2，－2)，B (5 2，－2)，∴此时水面的宽度AB ＝2×5 2＝10 2(m)．12．[答案] 169[解析] 设点A 的坐标为(a ，0)，由题意可得，点B 的坐标为(a ，14a 2)，点C 的坐标为(a ，a 2)，∴a ＝a 2－14a 2，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝43，∴正方形BCDE 的面积是43×43＝169，故答案为169.13．[解析] (1)将点P (1，－2a )的坐标代入二次函数y ＝ax 2＋6，组成方程即可求出a 的值，从而求出点P 关于x 轴的对称点的坐标，代入反比例函数表达式即可求出k 的值，从而得到函数表达式；(2)将(－1，4)分别代入两个函数的表达式，若同时成立，则表示该点同时在(1)中的两个函数的图象上．解：(1)∵点P (1，－2a )在二次函数y ＝ax 2＋6的图象上，∴－2a ＝a ＋6，解得a ＝－2，∴点P的坐标为(1，4)，所求二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋6.点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－4)，∴k ＝－4，∴所求反比例函数的表达式为y ＝－4x.(2)点(－1，4)既在二次函数y ＝－2x 2＋6的图象上，也在反比例函数y ＝－4x的图象上．14．[解析] 抛物线y ＝ax 2＋n 与y ＝－2x 2的形状相同，则a ＝±2.因为图象上与x 轴最近的点到x 轴的距离为3，即|n |＝3，所以n ＝±3.解：(1)由题意，得a ＝±2，n ＝±3.∵an >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，n ＝－3.(2)当a ＝2，n ＝3时，抛物线y ＝2x 2＋3开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)；当a＝－2，n ＝－3时，抛物线y ＝－2x 2－3开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，－3)．15．解：当x ＝1时，y ＝－14×12＋4＝154.又因为车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离， 所以限高为154－0.5＝3.25(米)．即货车的限高应是3.25米．16．解：(1)∵直线AB 经过点B (0，6)， 且tan ∠ABO ＝23，∴OB ＝6，OA OB ＝23，∴OA ＝4，∴A (4，0)．设点P 的坐标为(m ，n )， ∵△AOP 的面积为6， ∴12×4×n ＝6，∴n ＝3.过点P 作PC ⊥OA 于点C ，∴PC ∥OB ，∴PC OB ＝AC OA ，即36＝AC 4， ∴AC ＝2，∴点P 的横坐标为m ＝4－2＝2， ∴点P 的坐标为(2，3)．∵点P 在抛物线y ＝ax 2＋2上， ∴3＝4a ＋2，解得a ＝14.(2)设平移后的抛物线的表达式为y ＝14x 2＋2＋k ，把A (4，0)代入y ＝14x 2＋2＋k ，得4＋2＋k ＝0，解得k ＝－6，∴将抛物线y ＝ax 2＋2向下平移6个单位长度，可使平移后的抛物线经过点A . [素养提升]解：(1)抛物线y ＝－12x 2＋2的对称轴为直线x ＝0，顶点C 的坐标为(0，2)．(2)对于抛物线y ＝－12x 2＋2，当y ＝0时，x ＝±2，∴A (2，0)，B (－2，0)，则△OAC 是等腰直角三角形．假设抛物线上存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ， ∵AC 为公共边，OA ＝OC ，∴点M 与点O 关于直线AC 对称， 则四边形OAMC 是正方形， ∴点M 的坐标为(2，2)．当x ＝2时，y ＝－12×22＋2＝0≠2，∴点M (2，2)不在抛物线上，即抛物线上不存在点M ，使△MAC ≌△OAC .。
初三数学,二次函数的图象和性质练习题及答案
二次函数图像及性质1．二次函数的定义（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做__________．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．（2）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．（3）二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．2．二次函数y=ax2的图象和性质函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向__________ 向下顶点坐标（0，0）__________对称轴__________ y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．3．二次函数y=ax2+k的图象和性质函数y=ax2+k（a>0）y=ax2+k（a<0）开口方向向上__________顶点坐标__________ （0，k）对称轴y轴__________增减性x>0时，y随x的增大而增大；x>0时，y随x的增大而________；4．二次函数y=a（x-h）2的图象和性质5．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质6．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质7．二次函数的平移问题解析式 y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0） 分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位一、二次函数的定义函数y =ax 2+bx +c 为二次函数的前提条件是a ≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 【例1】如果函数232(3)1k k y k x kx -+=-++是二次函数，那么k 的值一定是A ．0B ．3C ．0或3D ．1或2二、二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等．【例2】二次函数y =2x 2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是 A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点（2，3）C ．当x >0时，y 随x 的增大而减小D ．抛物线与x 轴有两个交点【例3】二次函数y =（x +2）2-1的图象大致为A ．B ．C ．D ．【例4】抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是 A ．直线x =1 B ．直线x =-1 C ．直线x =2 D ．直线x =-2【例5】已知二次函数y =a （x -1）2+3，当x <1时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是 A ．a ≥0 B ．a ≤0 C ．a >0 D ．a <0【例6】若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是A ．123y y y >>B ．213>>y y yC ．231y y y >>D ．312y y y >>三、二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ，将已知条件代入解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组求出a ，b ，c 的值，解析式便可得出．（2）设顶点式：y =a （x -h ）2+k ，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y =a （x -h ）2+k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． （3）设交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）（a ≠0），若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0)，设所求二次函数为y =a （x -x 1）（x -x 2），将第三个点的坐标（m ，n )（其中m ，n 为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．【例7】若抛物线经过点（3，0）和（2，-3），且以直线x =1为对称轴，则该抛物线的解析式为 A ．y =-x 2-2x -3 B ．y =x 2-2x +3 C ．y =x 2-2x -3D ．y =-x 2+2x -3【例8】已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0．求这个二次函数的解析式．四、二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．【例9】把抛物线y=-x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．y=-（x-1）2-3 B．y=-（x+1）2-3C．y=-（x-1）2+3 D．y=-（x+1）2+3基础练习题1．下列函数中是二次函数的为A．y=3x-1 B．y=3x2-1 C．y=（x+1）2-x2 D．y=x3+2x-32．抛物线y=2x2+1的的对称轴是A．直线x=14B．直线x=14C．x轴D．y轴3．抛物线y=-（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上D．（-4，-5），开口向下4．抛物线y=-x2不具有的性质是A．对称轴是y轴B．开口向下C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．顶点坐标是（0，0）5．已知点（-1，2）在二次函数y =ax 2的图象上，那么a 的值是 A ．1B ．2C ．12D ．-126．已知抛物线y =ax 2（a >0）过A （-2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是 A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>07．当函数y =（x -1）2-2的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 A ．x >0B ．x <1C ．x >1D ．x 为任意实数8．对于二次函数2(3)4y x =--的图象，给出下列结论：①开口向上；②对称轴是直线3x =-；③顶点坐标是34--（，）；④与x 轴有两个交点．其中正确的结论是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④9．一种函数21(1)53m y m x x +=-+-是二次函数，则m =__________．10．把二次函数y =x 2-4x +3化成y =a （x -h ）2+k 的形式是__________．11．将抛物线y =2（x -1）2+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________． 12．如图，抛物线y =ax 2-5ax +4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C （5，4）． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．13．已知：抛物线2y x bx c =-++经过(30)B ，、(03)C ，两点，顶点为A ． 求：（1）抛物线的表达式；（2）顶点A 的坐标．14．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．能力提高15．在平面直角坐标系中，将抛物线y =-12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 A ．y =-12x 2-x -32B ．y =-12x 2+x -12C ．y =-12x 2+x -32D ．y =-12x 2-x -1216．二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y =bx +a 的图象大致是A ．B ．C ．D ．17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()(0)a b m am b m +>+≠，其中正确的结论有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．二次函数y =x 2-2x -3，当m -2≤x ≤m 时函数有最大值5，则m 的值可能为__________． 19．若直线y =ax -6与抛物线y =x 2-4x +3只有一个交点，则a 的值是__________．20．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +8（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标； （2）求△BCD 的面积；（3）若直线CD 交x 轴与点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 与点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．真题实战21．（2018·四川成都）关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是A ．图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-322．（2018·湖北黄冈）当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2-2x +1的最小值为1，则a 的值为A ．-1B ．2C ．0或2D ．-1或223．（2018·江苏连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h =-t 2+24t +1．则下列说法中正确的是 A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同 B ．点火后24 s 火箭落于地面 C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m24．（2018·山东德州）如图，函数221y ax x =-+和y ax a =-（a 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系的图象可能是A ．B ．C ．D ．25．（2018·湖北恩施州）抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc >0；②b 2-4ac >0；③9a -3b +c =0；④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则y 1>y 2；⑤5a -2b +c <0． 其中正确的个数有A ．2B ．3C ．4D ．526．（2018·江苏淮安）将二次函数y =x 2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是__________．27．（2018·山东淄博）已知抛物线y =x 2+2x -3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移m （m >0）个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为__________．参考答案1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．B ；6．C ；7．B ；8．D 9．-110．y =（x -2）2-1 11．y =2（x +2）2+212．（1）（5/2，-9/4）；（2）答案不唯一，如y=x 2+x+2 13．（1）223y x x =-++．（2）（1，4）． 14．（1）y =12x 2-12x -1．（2）（-1，0）．（3）图象略，x 的取值范围是-1<x <4． 15．A ；16．C ；17．B 18．0或4 19．2或-1020．（1）y=-x 2+2x+8=-(x-1)2+9；顶点坐标（1,9）；（2）6；（3）72 21．D ；22．D ；23．D ；24．B ；25．B 26．y =x 2+2 27．2。
九年级数学上册尖子生同步培优专题21.2(1)二次函数y=ax2的图象和性质
沪科版2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优专题21.2（1）二次函数y=ax2的图象和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线y ＝3（x +1）2+1的顶点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表，那么下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．abc ＜0 3．已知二次函数223y x x =-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（） A ．该函数图象有最高点(0,3)-B ．该函数图象有最低点(0,3)-C ．该函数图象在x 轴的下方；D ．该函数图象在对称轴左侧是下降的. 4．已知a 是方程x 2﹣2x ＝1x的实数根，则直线y ＝ax+1﹣a 的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题7．如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____． 8．如果抛物线经过点(1,0)A -和点()5,0B ，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．9．已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，a ≠0），当自变量x 分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1__ y 2（填“>”、“<”或“=”）． 10．已知二次函数22(2)y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而__________． 11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 对称轴为直线x ＝3，如果点A （0，4）为此抛物线上的一点，那么当x ＝6时，y ＝__．12．如图，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为（4，0），那么点Q 的坐标为_____．13．如果二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是__________.14．已知点P （x 0，m ），Q （1，n ）在二次函数y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1）（a ≠0）的图象上，且m ＜n 下列结论：①该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a +1，0）；②该二次函数的对称轴是x ＝12； ③该二次函数的最小值是（a +2）2； ④0＜x 0＜1．其中正确的是_____．（填写序号）三、解答题15．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()1,5,1,9,0,8A B C -．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．16．已知函数1)3)y x x =---((. （1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.17．已知二次函数241y x x =--.（1）将函数241y x x =--的解析式化为()2y a x m k =++的形式，并指出该函数图像顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积.18．在平面直角坐标系xOy 中，将点1(,)P a b a -定义为点(,)P a b 的“关联点”. 已知点(,)A x y 在函数2y x 的图像上，将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在如图基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点2(,)P a b na -称为点(,)P a b 的“待定关联点”（其中0n ≠），如果点(,)A x y 的“待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标. 19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）自变量x 的值和它对应的函数值y 如表所示：（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）设该二次函数图象与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图象上点C 的横坐标为4，求△ABC 的面积．20．我们知道：抛物线y ＝a （x+m ）2+n （其中a ，m 、n 是常数，且a≠0）可以由抛物线y ＝ax 2平移得到；类似的：y ＝k x m ++n （其中k ，m ，n 是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y ＝k x的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0），（0，3），点D 是OA 的中点．连接OB ，CD 交于点E ，函数y ＝6k x -+n 的图象经过B ，E 两点． （1）求此函数的解析式；（2）过线段BE 中点M 的一条直线与此函数的图象交于P ，Q 两点（P 在线段BC 上方），若四边形BPEQ 面积为16，求点P 的坐标．参考答案1．B【分析】根据抛物线y ＝3（x +1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．【详解】解：∵抛物线y ＝3（x +1）2+1，∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.2．D【分析】根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，进而求得开口方向，从而确定a 的符号，进一步求得b 的符号，根据图象经过（0，6）求得c 的符号，即可判断abc ＜0正确．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝012 ＝12， ∵在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，∴抛物线的开口向下，则a ＜0， ∵﹣2b a ＝12， ∴b ＞0，∵x ＝0时，y ＝6，∴与y 轴的交点为（0，6），∴c ＝6＞0，∴abc ＜0，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点是解题关键，也是本题的突破口．3．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该函数图象有最高点（1，-2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．A【分析】方程x2﹣2x＝1x的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x交点的横坐标，通过画两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据a的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择．【详解】解：设y1＝x2﹣2x，y2＝1x，抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x的图象如图所示：方程x2﹣2x＝1x的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝1x交点的横坐标，抛物线y1＝x2﹣2x，与x轴的交点为O（0，0），A（2，0），由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于2，即：a＞2，当a＞2时，1﹣a＜0，直线y＝ax+1﹣a的图象过一、三、四象限，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，于是函数中常用的方法．5．D【解析】试题分析：根据二次函数的图象得到a ＞0，b ＞0，c ＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：∵抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x=02b a-<，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0.∵c ＜0，02b a >，∴一次函数2b y cx a=+的图象过第一、二、四象限. ∵ab ＞0，∴反比例函数ab y x=分布在第一、三象限． ∴一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x =在同一坐标系内的大致图象是选项D. 故选D ．考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质. 6．D【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．x=-12． 【分析】因为A （2，5），B （﹣3，5）的纵坐标相同，A 、B 关于x ＝232-＝﹣12对称，即可求抛物线的对称轴．【详解】解：因为A （2，5），B （﹣3，5）的纵坐标相同，∴A 、B 关于x ＝232-＝﹣12对称， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣12， 故答案为：x ＝﹣12． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 8．2x =【分析】观察点(1,0)A -和点()5,0B 两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线，求AB 中点坐标即可得.【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0），∴这两点关于对称轴对称，∴x=1522即x=2．故答案是：x=2．【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.9．>【分析】先求出抛物线的对称轴为4x =-，由20a >，则当4x <-，y 随x 的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.【详解】解：∵二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，a ≠0）， ∴抛物线的对称轴为：22842a x a=-=-， ∵20a >，∴当4x <-，y 随x 的增大而减小，∵64-<-，∴12y y >；故答案为：>.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.10．增大【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，∴当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大，故答案为：增大．【解答】解：【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．11．4【分析】首先根据对称轴方程确定点A 和点（6，a ）关于对称轴对称，然后求得其纵坐标的值即可．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 对称轴为直线x ＝3，如果点A （0，4）为此抛物线上的一点， ∴点A （0，4）和点（6，a ）关于对称轴对称，∴a ＝4，∴当x ＝6时，y ＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定两点关于对称轴对称，难度不大． 12．（﹣2，0）．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P 的横坐标，即可求出点Q 的横坐即可；【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q 的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键.13．0a >【分析】由题意得：二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上，进而，可得到答案.【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，∴二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上，∴0a >.故答案是：0a >【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.14．①②④．【分析】（1）根据二次函数的解析式，求出与x 轴的交点坐标，即可判断①；（2）用与x 轴交点的横坐标相加除以2，即可求证结论②；（3）将二次函数交点式转化为顶点式，得到顶点坐标，即可求证③；（4）讨论P 点分别在对称轴的左侧和右侧两种情况，根据函数的增减性，计算x 0的范围即可.【详解】①∵二次函数y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1），∴当y ＝0时，x 1＝﹣a ，x 2＝a +1，即该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a +1，0）． 故①结论正确； ②对称轴为：12122x x x +==． 故②结论正确；③由y ＝（x +a ）（x ﹣a ﹣1）得到：y ＝（x ﹣12）2﹣（a +12）2，则其最小值是﹣（a +12）2，故③结论错误；④当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得0＜x 0≤12； 当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得12＜x 0＜1， 综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1．故④结论正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数不同形式解析式之间的相互转化，正确理解掌握二次函数的性质.15．228y x x =--+；开口向下；对称轴：直线1x =-；顶点坐标()1,9-【分析】将三个点坐标代入二次函数解析式，可求出a ，b ，c 的值，得到解析式，再根据二次函数的性质判断开口方向，对称轴和顶点坐标.【详解】解：将()()()1,5,1,9,0,8A B C -代入二次函数解析式得，598a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴函数解析式为228y x x =--+∵0a <∴抛物线开口向下 对称轴为12b x a=-=-， 将x=-1代入解析式得y=9，所以顶点坐标为（-1,9）.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，熟练掌握基本概念是解题的关键.16．（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）见解析【分析】(1)根据二次函数的系数的意义和二次函数的性质，即可得到答案；(2)根据描点法，画出图象，即可.【详解】（1）∵a=-1<0，∴函数图像的开口向下，∵221)3)=43(2)1y x x x x x =----+-=--+((， ∴顶点坐标是：(2,1)，∵抛物线的对称轴是：直线x=2，∴当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）当x=-1，0，1，2，3，4时，y=-8，-3，0，1，0，-3；如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质和描点法画图象，是解题的关键. 17．（1）()225y x =--，B （2，－5）；（2）6.【分析】（1）利用配方法把将二次函数y=x 2-4x-1的解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；（2）求出C 点，A 点坐标，则四边形OABC 的面积可求出．【详解】解：（1）()224125y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为（2，-5）；（2）如图，令y=0，x=-1，∴C （0，-1），∵B （2，-5），∴A （2，0），∴四边形OABC 的面积()6126122AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯= ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．18．（1）见解析，将图中的抛物线2y x 向下平移2个单位长，可得抛物线22y x =-；（2）（2,2）；（3）(1,1)n -【分析】（1）利用图像的平移规律，将2y x 向下平移2个单位长度即可得到22y x =-（2）先根据题意求出1(,)A x y x -，再代入到22y x =-中，联合A 代入到2y x 即可求出答案.（3）将2A 代入2y x n =-中解出x 的值，可点2A 的坐标即可用含n 的代数式表示.如图将图9中的抛物线2y x 向下平移2个单位长，可得抛物线22y x =-画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点.（2）由题意，得点(,)A x y 的“关联点”为1(,)A x y x -由点(,)A x y 在抛物线2y x 上，可得2(,)A x x ，21(,)A x x x -又∵1(,)A x y x -在抛物线22y x =-上，∴222x x x -=-解得2x =.将2x =代入21(,)A x x x -，得1(2,2)A（3）点(,)A x y 的“待定关联点”为22(,)A x x nx -，∵22(,)A x x nx -在抛物线2y x n =-的图像上，∴22x nx x n -=-.∴0n nx -=,(1)0n x -=.又∵0n ≠，∴1x =.当1x =时，21x nx n -=-，故可得2(1,1)A n -.【点睛】本题主要考查二次函数，读懂题意，理解关联点的意义是解题的关键.19．（1）该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m 的值是3；（2）△ABC 的面积是3.【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B 、点A 和点C 的坐标，再求出直线AC 和x 轴的交点，即可得到△ABC 的面积．解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x ＝2时，y ＝﹣1，当x ＝4和x ＝0时的函数值相等，则m ＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m 的值是3；（2）由题意可得，点B 的坐标为（1，0），点A 的坐标为（2，﹣1），点C 的坐标为（4，3），设直线AC 的函数解析式为y ＝kx+b ，2143k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得25k b =⎧⎨=-⎩， 所以直线AC 的函数解析式为y ＝2x ﹣5，当y ＝0时，0＝2x ﹣5，得x ＝2.5，则直线AC 与x 轴的交点为（2.5，0），故△ABC 的面积是：(2.51)3(2.51)|1|22-⨯-⨯-+＝3． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（1）函数的关系式为：y ＝36x -+2；（2）点P 的坐标为（7，5） 【分析】（1）求出直线OB 的关系式和直线CD 的关系式，进而求出交点E 的坐标，再把点E 、B 的坐标代入，求出k 、n 的值，即可确定函数关系式，（2）求出点M 的坐标，根据函数图象的平移规律和反比例函数的图象的对称性，可以得到三角形PMB 的面积为四边形BPEQ 面积的四分之一，再根据三角形PMB 的面积与点P 的坐标之间的关系列方程求解即可，【详解】解：（1）由题意得，B （9，3），D （4.5，0），设直线OB 的函数关系式为y ＝kx ，将B （9，3）代入得，9k ＝3，解得，k ＝13，∴y ＝13x ， 设直线CD 的关系式为y ＝kx+b ，把C （0，3）、D （4.5，0）代入得，34.50b k b =⎧⎨+=⎩，解得，k ＝﹣23，b ＝3， ∴y ＝﹣23x+3， 由题意的，13233y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得，x ＝3，y ＝1， ∴E （3，1），把B （9，3）、E （3，1）代入函数y ＝6k x -+n 得， 3313k n k n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，解得，k ＝3，n ＝2， ∴函数的关系式为：y ＝36x -+2． （2）∵E （3，1），B （9，3），M 是BE 的中点，∴M （6，2）根据反比例函数图象的对称性可知，MB ＝ME ，MP ＝MQ ，∴四边形PEQB 是平行四边形，∴S △PMB ＝14S 四边形PEQB ＝4， 设点P 的坐标为（x ，36x -+2）， 由题意得，12（36x -+1）（9﹣x ）＝4， 整理得，x 2﹣4x ﹣21＝0，解得：x ＝7，或x ＝﹣3（舍去），当x ＝7时，36x -+2＝5， 因此点P 的坐标为（7，5）【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，图形的平移以及一元二次方程的应用，将点的坐标转化为线段的长，用坐标表示面积，列出方程求解是常用的方法。
人教版数学九年级上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》同步练习
二次函数y=ax2+k的图象和性质知识点 1 二次函数y=ax2+k的图象和性质1.如图8,二次函数y=x2+1的图象大致是()图82.关于二次函数y=-2x2+3,下列说法中正确的是()A.图象的开口向上B.当x<0时,y随x的增大而增大C.图象的顶点坐标是(-2,3)D.图象的对称轴是直线x=33.与抛物线y=-x2-1顶点相同,形状相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是()A.y=-x2-1B.y=x2-1C.y=-x2+1D.y=x2+14.抛物线y=2x2+5的开口向,对称轴是,顶点坐标是.5.已知抛物线y=2x2-1,当x>0时,抛物线从左到右.(填“上升”或“下降”)6.二次函数y=x2+1的最(填“大”或“小”)值是.7.抛物线y=ax2-1(a>0)上有两点A(1,y1),B(3,y2),则y1y2.(填“>”“<”或“=”)8.已知抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2),且经过点(1,3),则此抛物线的解析式为 .9. (1)在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=x2+3,y=x2-3的图象.图9(2)观察(1)中所画的图象,回答下面的问题:①抛物线y=x2的开口向,对称轴是,顶点坐标是;②抛物线y=x2+3的开口向,对称轴是,顶点坐标是;③抛物线y=x2-3的开口向,对称轴是,顶点坐标是.知识点 2 二次函数y=ax2+k的图象与y=ax2的图象的关系10.函数y=x2+1与y=x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状11.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位长度,则平移后所得图象的函数解析式为()A.y=x2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)212.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列哪种变换得到的()A.向上平移5个单位长度B.向下平移5个单位长度C.向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度【能力提升】13.在同一直角坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()图1014.任给一些不同的实数k,得到不同的抛物线y=x2+k.当k取0,±1时,关于这些抛物线有以下判断:①开口方向相同;②对称轴相同;③形状相同;④都有最低点.其中判断正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个15.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2+1的图象上,则()A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y316.已知二次函数y=-2x2+4的图象如图11所示,那么当-2<x≤1时,y的取值范围是.图1117.若二次函数y=-x2+5中,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为.18.若抛物线y=ax2+k与y=-2x2+4关于x轴对称,则a= ,k= .19.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为.20.二次函数y=ax2+k的图象的顶点坐标是(0,2),且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同.(1)确定a,k的值;(2)在图12中,画出二次函数y=ax2+k的图象.图1221.能否通过适当地上下平移二次函数y=x2的图象,使得到的新的函数图象过点(3,-3)?若能,请说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.22.如图13,直线y=-x+6分别与x轴,y轴交于A,B两点,抛物线y=-x2+c与y轴交于点D(0,8),点P是抛物线在第一象限部分上的一动点.(1)求点A的坐标及抛物线的解析式;(2)若PC⊥x轴于点C,求PB+PC的值.图13。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 重难点专项练习(五大题型)(解析版)
22.1.3《二次函数y=a (x-h )2+k 的图象和性质》分层练习考查题型一 二次函数y=a (x-h )2的顶点坐标1．（2021秋·福建宁德·九年级校考期中）()21y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,0B ．()0,0C ．()0,1D ．()1,1【答案】A 【分析】直接根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：()21y x =-的顶点坐标是()1,0．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-(a ，h 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数2()y a x h =-的性质是解答本题的关键．2()y a x h =-是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，0)，对称轴是直线x =h ．2．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）抛物线()21y x =-+的顶点坐标为（ ）A ．（-1，0）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（-1，-1）【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案．【详解】解：∵抛物线y =-（x +1）2，∴该抛物线的顶点坐标为（-1，0），故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2022秋·新疆省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）抛物线2(3)y x =+的顶点是（ ）．A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(3,0)D ．(3,0)-【答案】D【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）即可解答．【详解】解：抛物线2(3)y x =+的顶点是（﹣3，0），1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为（ ）A ．()1,6-B ．()1,6-C ．()1,6D ．()1,6--【答案】D【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可.【详解】解：抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为()1,6--；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线()()20=-+¹y a x h k a 的顶点坐标是(),h k 是解题的关键.2．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,1D ．()1,3【答案】D 【分析】利用顶点式直接求解即可．【详解】解：抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是()1,3．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）抛物线2(9)10y x =---的顶点坐标是（ ）A ．(9,10)B ．(9,10)-C ．(9,10)-D ．(9,10)--【答案】B【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【详解】∵二次函数的解析式为2(9)10y x =---，其顶点坐标为：(9,10)-．故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是（ ）A ．()5,1B ．()5,1--C ．()5,1-D ．()5,1-【答案】C 【分析】根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k ，即可求解．【详解】解：抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是()5,1-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 是解题的关键．考查题型三 二次函数y=a (x-h )2+k 的对称轴1．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）抛物线()232y x =-+的对称轴是（ ）A ．3x =-B ．3x =C ．2x =-D ．2x =【答案】B 【分析】根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴．【详解】∵抛物线()232y x =-+∴对称轴是直线3x =，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）抛物线()212y x =++的对称轴为（ ）A ．直线=1x -B ．直线5x =C ．直线3x =D ．直线4x =考查题型四二次函数y=a(x-h)1．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）在函数()213y x =-+，y 随x 增大而减小，则x 的取值范围为( )A ．1x >B ．0x >C ．3x <D ．1x <【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．【详解】解：在()213y x =-+中，∵10a =>，∴函数图像开口向上，当1x <时，y 随x 的增大而减小．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹），当0a >时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小．2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若二次函数2y x m h ++＝（），当1x <时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．1m =B ．1m >C ．1m ³-D ．1m £-【答案】D 【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为x m =-，根据二次函数图像的性质即可求出结论.【详解】由2y x m h ++＝（）得二次函数的对称轴为x m =-，∵该函数图像的开口向上，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小,∴1m -³解得1m £-故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.3．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知二次函数()231y x =-+，当y 的值随x 的增大而增大时，x 的取值满足（ ）A ．1x ³B ．1x £C ．3x ³D ．3x £【答案】C 【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：2=(3)+1y x -，10a =>Q ，对称轴3x =，当3x ³时，y 随x 的增大而增大，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性．4．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）已知二次函数()2y x k h =--+，当3x >时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（ ）A ．3k ³B ．3k £C ．3k =D ．3k £-【答案】B【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x k =，则当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，由于3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，于是得到3k £．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x k =，因为10a =-<，所以抛物线开口向下，所以当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，而3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，所以3k £．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．考查题型五 二次函数y=a (x-h )2+k 的最值1．（2023·浙江·一模）关于二次函数22)3(5y x =--+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【答案】C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵二次函数22)3(5y x =--+，∴抛物线开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为（2，5），∴当x =2时，y 有最大值为5；∴选项A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线()2345y x =---的最大值为（ ）A ．4B ．4-C ．5D ．5-【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．【详解】解：∵()2345y x =---，∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值5-．故选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数()()20y a x b k a =++¹的对称轴为x b =-，顶点坐标为(),b k -，当a<0，函数有最大值k ．3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）关于二次函数()223y x =-+，下列叙述正确的是（ ）A ．当2x =时，y 有最大值3B ．当2x =-时，y 有最大值3C ．当2x =时，y 有最小值3D ．当2x =-时，y 有最小值3【答案】C 【分析】()2y a x h k =-+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(),h k ，对称轴是x h =．【详解】∵二次函数()223y x =-+，∵10>，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∴当2x =时，y 有最小值3．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数()2y a x h k =-+（a ，b ，c 为常数，0a ¹）的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解答本题的关键．4．（2021秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）二次函数()225y x =--的最小值是（ ）A ．2-B ．2C ．5-D ．5【答案】C 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质，即可求解．【详解】解∶ ∵10>，∴二次函数图象开口向上，∴当2x =时，二次函数有最小值，最小值为5-，即二次函数()225y x =--的最小值是5-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解题的关键．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出2．（2021秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．-<【答案】（1）m的取值范围是1m【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（行求解即可；【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题。
二次函数y=ax2=k的图像和性质练习题
二次函数y=ax2=k的图像和性质练习题1．下列二次函数的开口方向向上的是A．y??3x2?1 B．y?ax2?C．y?1x2? D．y??a?1?x2?5 2．若二次函数y??3m?6?x2?1的开口方向向下，则m 的取值范围为A．m?2B．m?C．m?2D．m??23．若二次函数y1?a1x2?1与二次函数y2?a2x2?3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为A．a1=a2B．a1=?a2C．a1=?a2D．无法判断4．将二次函数y??2x2的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为A．y?2x2? B．y??2x2?C．y??2x2?5D．y?2x2?55．若二次函数y??m2?6?x2?2由二次函数y??5x2平移得到的，则m的值为A．1 B．?1 C．1 或?1 D．0或?16．二次函数y??1x2?3图象的顶点坐标为A． B． C．D．37．将二次函数y??2x2?1图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为A． B． C．D．8．将二次函数y??x2?1图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为A．直线x?0 B．直线x?C．直线x?? D．直线x?3 ?2x?1, 当a?_______时, 它是一次函数; 当a?_______时,.函数y?x它是二次函数. a2?4a?59.若二次函数y?2x2?1，当X取X1和X2时函数值相等,则当X=X1+X2时，函数值为_______10.在平面直角坐标系中，将二次函数y?2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为_________11.已知二次函数y=2+2，当x＝_________时，函数达到最小值。
12.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:通过点与y=1x2的开口大小相同,方向相反;12、按下列要求求出二次函数的解析式：已知抛物线y=ax2+k经过点求该抛物线线的解析式。
形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式。
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九年级数学：二次函数y =ax 2+k 的图象和性质 练习题
一、基础巩固
1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最
_____点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.
6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____,对称轴是_____.
7.抛物线y=2
1(x+3)2的顶点坐标是______. 8.将抛物线y=3x 2向上平移3个单位后,所得抛物线的顶点坐标是______.
9.在同一坐标系中,二次函数y=－
2
1x 2,y=x 2,y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 10.抛物线y=－41x 2+1,y=－41(x+1)2与抛物线y=－41(x 2+1)的_____相同,_____不同. 11.已知抛物线y=－2(x+1)2－3,如果y 随x 的增大
而减小,那么
x 的取值范围是______.
12.函数y=
34x －2－3x 2有最_____值为_____.
二、能力提升
22.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式:
(1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反;
(3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.
23.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求y与
x的函数关系式.
24.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n 的值.
25.试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2；(2)y=(x－1)2；(3)y=x2+1；(4)y=x2－1的图象通过怎
样的平移得到y=x2的图象.
26.已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1,－1),二次函数的对
称轴直线是x=－1,请求出一次函数和二次函数的表达式.。