不等式之最值定理1

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基本不等式应用---利用基本不等式求最值的技巧

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式求最值(解析)

高一秋季第2讲：基本不等式求最值题型概览一．基本不等式1.1 应用最值定理求最值; 1.2 幂指式内隐和积互化; 1.3 最值定理对“定值”的要求.二．十种变形技巧2.1 整体处理求最值;2.2 凑系数(乘、除变量系数); 2.3 凑项(加、减常数项); 2.4 连续使用基本不等式求最值;2.5 分离 (分子)常数法求最值问题; 2.6 1y aa b=+ 型函数的最值; 2.7 变用公式;2.8 常数代换（逆用条件).三.不能使用基本不等式的情况3.1 应用函数单调性求最值;一．基本不等式1.1应用最值定理求最值【典例】设函数1()21(0)f x x x x=+-<,则()f x （） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【答案】A【解析】由0x <,得20x ->,10x ->，所以()2f x x =+111(2)1221x x x ⎡⎤⎛⎫-=--+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2x =时等号成立,所以()f x 有最大值,故选A . 【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理. 变式题组【变式1】下列不等式一定成立的是() A.21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭B.12x x+C.212||()x x x +∈RD.211()1x x >∈+R 1.【答案】 C【解析】选项 A 中,当 12x =时,214x x +=; 选项 B 中,0x >时 ,12x x + ，0x <时, 12x x +-; 选项C中, 222||1(||1)0()x x x x -+=-∈R ; 选项 D 中,211x ∈+(0,1]()x ∈. 故选 C .【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大" 已知,x y +∈R ,且满足134x y+=,则xy 的最大值为_________________. 2.【答案】3 【解析】,x y +∈R,123434x y x y∴+=⨯=即3xy , 当且仅当 34x y = 即 32x =，2y =时取等号,∴xy 的最大值为 3.【变式3】若两个正数的积为定值时,则可求其和的最小值,即“积定和最小" 已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =___________.3.【答案】 36 【解析】∵()424a a f x x x x x =+⋅=当且仅当 4x =ax, 即 24a x = 时取等号,由 3x =, 得 36a =.【变式4】已知12x y a a +=+,12xy b b =,则()21212a ab b +的取值范围是______.4. 【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】由题可知 12x y a a +=+,12xy b b =所以 ()22221212()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++, 当 ,x y 同号时,24x yy x++, 当 ,x y 异号时,2220x y y x ++-+=,故所求的取值范围是 (,0][4,)-∞+∞.【变式5】已知三个数a ，b ，c 成等比数列,若1a b c ++=,则b 的取值范围为_______. 5.【答案】1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】设等比数列的公比为q ，则有111b q q =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由 12q q +或 12q q+-, 可得 b 的取值范围为1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【变式6】已知,a b 均为正实数,且1a b +=,求1y a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.6.【答案】254【解析】22111b a a b y ab ab ab a bab ab ab ab +=+++=++=++2()222a b ab ab ab ab +-=+-令 t ab =, 则 10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2()f t t t =+在 10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ∴ 当 14t =时,min min 25()24y f t =-=.1.2 幂指式内隐和积互化【典例】若221x y +=,则x y +的取值范围是()A.[0,2]B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-【答案】D【解析】由22222x y x y +⋅=y12(2x y ⇒+-当且仅当1x y ==-时取等号).故选D . 【评注】:利用最值定理求最值,首先要在条件中找到定值.同底幂的和为定值,隐藏着其积即指数和存在最大值. 变式题组【变式1】若实数,a b 满足2a b +=,则633a +的最小值是_____________. 1.【答案】 6【解析】332336a b a b +⋅=, 当且仅当 1a b == 时取等号,故 33a b + 的最小值是 6.【变式2】若241x y +=,则2x y +的取值范围是______________. 2.【答案】 6【解析】由222x y +==，得22x y +- (当且仅当 222x y = 时取等号) .【变式3】若实数,,a b c 满足222a b a b ++=,222a b c ++=2a b c ++,求c 的是大值. 3.【答案】22log 3-【解析】由 222222a b a b a b +=-⋅=得 12a ba b+++, 即2a b +, 所以 (*22222222a b c a b a b c a b a b c ++++++=--=-=-1) 22(21)424r c -=⋅-, 所以 324c ⋅, 解得 22log 3c - （当且.仅当 1a b == 时取等号). 故所求 c 的最大值为 22log 3-.1.3最值定理对“定值”的要求【典例】已知1x >,则21y x x =+-的最小值为_______________.【答案】1【解析】221122111y x x x x =+=-+++--,当且仅当211x x -=-即1x =时等号成立,∴21y x x =+-的最小值为1+. 变式题组【变式1】函数212(0)y x x x=+>的最小值是______________.1. 【答案】2【解析】222311112232222y x x x x x x =+=++⋅==, 当且仅当 2122x x=, 即 x = 时等号成立,所以函数的最小值是 2.【变式2】已知0x >,0y >,且191x y+=,则x y +的最小值是____________. 【答案】16 【解析】由191x y +=, 得 19()10x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+ ⎪⎝⎭910216y x y x y x ++=, 当且仅当 9y x x y =, 即当 4x =,12y = 时取等号,故 x y + 的最小值为 16.【变式3】已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（）A. B. C.3D.2解析：借助换元，“1”的代换令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，且111m n+=，则()()212123a b m n m n +=-+-=+-，又()112221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+⎪⎝⎭所以22333a b m n +=+-≥+-=当且仅当2n m m n =，即1m =，12n =+时，取到最小值B.【变式4】已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22221a b a b ++-+的最小值为 . 解析1：22222112121221211111a b b a a b a b a b a b a b +-++-=++-=++-+-=+-++++ 2(1)2(1)121111(1)()1(21)1()3131313b b a a a b a b a b a b ++=+++-=+++-=+≥⋅+++当且仅当2(1)1b a a b +=+，即1)a b =+，即64a b =-=时等号成立.【变式5】若正数,a b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是_____ 解析：(分母换元+常数替换):令1,1x a y b =+=+，则3x y +=（1,1x y >>）1111211a b x y a b x y x y ⎛⎫--∴+=+=-+ ⎪++⎝⎭,而()11111142333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1122113a b a b x y ⎛⎫∴+=-+≤ ⎪++⎝⎭,则11a b a b +++的最大值是23.二．十种变形技巧2.1整体处理求最值【典例】若实数,a b 满足12a b+=则ab 的最小值等于（）A B.2C. D.4【答案】C【解析】12a b =+≥，当且仅当2b a =时取等号,整理得22ab .故选C . 【评注】:遇到求a b +，ab 的最值,一般可以对题设条件直接使用基本不等式,获得关于,a b ab +的不等式,进而化简变形,即可顺利获解.变式题组【变式1】利用基本不等式将条件式转化为关于目标式的不等式若正实数,x y 满足++=26x y xy ，则xy 的最小值是，则+x y 的最小值是【答案】18【解析】26226xy x y xy =+++, 则 2--60, 解得2xy - （舍去）或32xy , 从而18xy (当且仅当 3x = ，6y =时取等号).【变式2】已知>>++=0,0,228x y x y xy 则+2x y 的最小值是【答案】4【解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭, 得 2(2)x y ++4(2)320x y +-, 即 24x y +( 当且仅当 2x y = 时取等号).【变式3】已知实数,x y 满足3xy x y -=+，且1x >则(8)y x +的最小值是()A.33B.26C.25D.21 解析1：转化为单变量问题3xy x y-=+31x y x +∴=- 336(8)(8)1132511x y x x x x x +∴+=⋅+=-++≥-- 解析2：因式分解3(1)(1)4xy x y x y -=+∴--=，令41,1x t y t -=-=4(1)(9)25t t∴++≥【变式4】由+=±222()2x y x y xy 的关系结合基本不等式转化若实数,x y 满足++=221x y xy ，则+x y 的最大值是【答案】【解析】由 2()1x y xy +=+ 得 22()12x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 则233x y +（当且仅当 x y == 时取等号).2.2 凑系数（乘、除变量系数）【典例】设<<302x ，则函数=-4(32)y x x 的最大值是【答案】92【解析】2232922(32)222x x y x x +-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭, 当且仅当232x x =-, 即 34x = 时等号成立. 所以函数的最大值是92. 变式题组【变式1】已已知<<103x ，则-(13)x x 取得最大值时x 的值是【答案】16【解析】 211313(13)3(13)332x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭112, 当且仅当 313x x =- 即 16x = 时取等号. 故 (13)x x - 取得最大值时 x 的值是16.【变式2】配凑系数，活用不等式+222a b ab设+=220,0,12y x y x ，则的最大值为【答案】4【解析】2221222y x ++=⋅=2212224y x ++=, 当且仅当 x =，y = 取等号, 故的最大值为【变式3】设>0x ，则3(1)x x -的最大值为【解析】【变式4】设>,,0x y z ，则+++222xy yzx y z 的最大值为【答案】2【解析】因为2222x y y +⋅2222z y y +⋅所以222y y x y z ⋅+⋅≤++，所以222xy yz x y z +=++.22222212xy z x y z++⋅=++，当且仅y ==时等号成立,故222xy yz x y z +++的最大值为2.2.3 凑项（加、减常数项）【典例】已知<54x ，求函数=-+-1()4245f x x x 的最大值.解：由->540x ，得⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦1()(54)354f x x x -+=231，当且仅当=1x 时等号成立，故函数()f x 的最大值为5.评注：求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形，由<54x 得到->540x ;二是对目标函数解析式的适当变形，以便活用结论“若<0x，则⎡⎤⎛⎫+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11()x x x x -=-2”.变式题组【变式1】若函数=+>-1()(2)2f x x x x 在=x n 处取得最小值，则=n 【解析】因为 11()(2)2422f x x x x x =+=-++--, 当且仅当1202x x -=>-, 即 3x = 时等号成立, 即函数在 3x = 处取得最小值, 故 3n =.【变式2】函数⎛⎫-+=> ⎪-⎝⎭2211212x x y x x 的最小值是12【解析】221(21)11212121x x x x y x x x x -+-+===+=---111(21)2212x x -++-, 又因为 111(21)22212x x -+=- 当且仅当x 取等号 ), 所以函数的最小值是12.2.4连续使用基本不等式求最值【典例】若>>0a b ，求+-216()a b a b 的最小值为【解析】++=+-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦2222216166416()()2a a a b a b a b a b （当且仅当=-b a b 且=8a a，即==2a b 时等号成立)，故+-216()a b a b 的最小值为16.评注：此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程.连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错。

基本不等式与利用均值不等式求最值

基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。

应用基本不等式,破解三角形最值

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建一正㊁二定㊁三相等的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。

巧用均值不等式及其条件求最值

巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。

本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。

一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。

推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。

2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。

对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。

注：这里有“最值定理”：若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。

3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。

二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。

本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。

1．连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。

解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。

利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题

问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考．二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解． (5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围．三、知识拓展 1．(1)若R b a ∈,,则；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则（当且仅当b a =时取“=”）；(3)若00a ,b >>,则（当且仅当b a =时取“=”）．3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x +≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或12x x+≤-（当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ,则2≥+a bb a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a+≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）．6．若R b a ∈,,则（当且仅当b a =时取“=”）．7．一个重要的不等式链：．8.9．函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．四、题型分析(一) 利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式．【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2，所以，，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．【小试牛刀】设,x y 是正实数,且1x y +=,则的最小值是__________．【答案】14．【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数．【解析二】设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,【例2】已知,x y 为正实数,则433x yx y x++的最小值为 A ．53 B ．103 C ．32D ．3 【答案】3 【解析】,当且仅当时取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【小试牛刀】已知函数在R 上是单调递增函数,则23cb a-的最小值是【答案】1 【解析】由题意的,因为函数()f x 在R 上单调递增,所以满足,可得23b c a≥,且0a >所以,当且仅当3b a =时等号成立,所以.技巧一：凑项【例3】设0a b >>,则的最小值是【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】4=(当且仅当和1ab ab =,即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a 时取等号). 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型. 【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】设为正实数，且，则的最小值为________. 【答案】27 【解析】因为，所以因此当且仅当时取等号，即的最小值为27.技巧二：凑系数【例4】当04x <<时,求的最大值．【分析】由04x <<知820x ->,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值．注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可．【解析】,当282x x =-,即2x =时取等号,∴当2x =时,的最大值为8．【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值．【小试牛刀】设230<<x ,求函数的最大值．【解析】∵230<<x ,∴023>-x ,∴,当且仅当232x x ,即时等号成立．【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式．技巧三：分离【例5】求的值域．【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有1x 的项,再将其分离．【解析一】,当,即时,（当且仅当1x 时取“＝”号）．【小试牛刀】已知a,b 都是负实数,则的最小值是【答案】2（﹣1）【解析】222≥-．技巧四：换元【例6】已知a ,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求y ＝1ab 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行．【解法一】由已知得a ＝30－2b b ＋1 ,ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 ．∵a ＞0,∴0＜b ＜15．令t ＝b +1,则 1＜t ＜16,∴ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34．∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8,∴ab ≤18,∴y ≥118 ,当且仅当t ＝4,即a ＝6,b ＝3时,等号成立．【解法二】由已知得：30－ab ＝a ＋2b ．∵a ＋2b ≥22 ab ,∴30－ab ≥2 2 ab ．令u ＝ab ,则 u 2＋2 2 u －30≤0,－5 2 ≤u ≤3 2 ,∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥118 ．【点评】①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围．【小试牛刀】设正实数y x ,满足1=+y x ,则的取值范围为【答案】]89,1[ 【解析】因为,所以410≤<xy设,所以当41=t 时,上式取得最大值当21=t 时,上式取得最小值所以的取值范围为]89,1[【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解．技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错．【例7】已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值．【错解】0,0x y >>,且191x y+=,∴,故．【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是x y =,在1992xyxy+≥等号成立条件是19x y=,即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误．因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】,,当且仅当9y x x y=时,上式等号成立,又191x y+=,可得时,．【小试牛刀】【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知正实数满足，则的最小值为____．【答案】【解析】正实数x ，y 满足1，则：x +y ＝xy ，则：4x +3y ，则： 437+4，故的最小值为．故答案为：.技巧六：取平方【例8】已知x ,y 为正实数,3x ＋2y ＝10,求函数W ＝3x ＋2y 的最值．【解析】W ＞0,W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20,∴W ≤20 ＝2 5 ．【小试牛刀】求函数的最大值．【解析】注意到21x -与52x -的和为定值．,又0y >,,当且仅当21x -=52x -,即32x =时取等号,故max 22y =．【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件．技巧七：构造要求一个目标函数),(y x f 的最值,我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得),(y x f 的最值．【例9】设,x y 为实数,若,则2x y +的最大值是．【分析】利用基本不等式将已知定值式中224x y ,xy +的均转化成含2x y +的不等式,再求2x y +的最大值．【答案】2105．【解析】,可解得2x y +的最大值为2105．【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式．【小试牛刀】若正实数x ,y ,满足,则x y +的最大值为【分析】构成关于x y +的不等式,通过解不等式求最值【解析】由,得.即,.计算得出:.y x +∴的最大值是4.技巧八：添加参数【例10】若已知0,,>c b a ,则的最小值为．【解析】时可取得函数的最小值,此时,此时51=λ,最小值为552．【小试牛刀】设w z y x ,,,是不全为零的实数,求的最大值．【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数,αβ满足：故依据取等号的条件得,,参数t 就是我们要求的最大值．消去,αβ我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到212t +=．【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值．【小试牛刀】设,,x y z 是正实数,求的最小值．【解析】引进参数k ,使之满足,依据取等号的条件,有：,故的最小值4．综上所述,应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值． (二) 基本不等式与恒成立问题【例11】已知x >0,y >0,且21+=1x y,若恒成立,则实数m 的取值范围是．【分析】先求左边式子的最小值【解析】∵0>x ,0>y ,且21+=1x y,∴,当且仅当4y x =x y ,即y x 2=时取等号,又21+=1x y,∴4=x ,2=y ,∴,要使恒成立,只需,即28>m +2m ,解得24<<-m ,故答案为24<<-m .【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等）,此时,函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数恒大于0,就必须对a 进行限制--令0≥a ,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单. 【小试牛刀】若对任意的正实数,x y 恒成立,求a 的最小值．【解析】对任意的正实数,x y 恒成立,∴对任意的正实数,x y 恒成立．设,由取等号条件：,消去k ,可以得到：210t t --=,解得：512t +=,因此a 的最小值为512+．题型二基本不等式的实际应用【例12】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x )．∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －2500<x <80，1 200－x ＋10 000xx ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)；当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x ) ≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【牛刀小试】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．【答案】80【解析】设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．(2)年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－(x ＋25x )＋18， ∵x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，∴y x ＝18－(x ＋25x )≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号．五、迁移运用1.【江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c ，直角边分别为a ，b ，由题意知，则，则三角形的面积，，，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．2．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.3．【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知正数满足，则的最小值为________. 【答案】4【解析】由基本不等式可得，所以，当且仅当，即当y＝x2时，等号成立，因此，的最小值为4，故答案为：4．4．【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为_______．【答案】【解析】由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，由基本不等式可得，当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，所以，x+y的最小值为9．因此，m≤9．故答案为：m≤9．5．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测】已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。

基本不等式的最值求法

基本不等式的最值求法基本不等式的最值求法1. 介绍基本不等式的概念和重要性基本不等式是数学中一种常见且重要的理论工具，它能够帮助我们求解不等式中的最值。

不等式在数学领域中具有广泛的应用，例如在优化问题、经济学、物理学等领域中都有其身影。

掌握基本不等式的最值求法，对于我们的数学学习和实际应用都具有深远的影响。

2. 基本不等式的最值求法的基本思路在求解基本不等式的最值时，我们可以采用以下的基本思路：第一步，根据不等式的形式，我们需要对不等式进行一些变形和整理，以便更好地理解和处理不等式。

第二步，我们需要注意观察不等式中的各个项，找出其中的极大值和极小值，这些值将有助于我们进行进一步的推导和求解。

第三步，我们可以通过一些常见的不等式定理和方法来简化不等式，例如使用柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

第四步，根据不等式的说明和要求，我们可以使用方法如二分法、递归法、均分法等来逐步缩小不等式的范围，以便更精确地求得最值。

第五步，最后我们需要对求解过程进行总结和回顾，确保我们找到了最值，并且可以解释和应用这个结果。

3. 利用基本不等式的最值求法解决实际问题基本不等式的最值求法不仅在数学领域有重要的应用，同样在实际问题中也具有广泛的运用。

例如在优化问题中，我们可以利用基本不等式的最值求法找到一组变量的最优取值，使得问题的目标函数达到最大或最小值。

在经济学中，基本不等式的最值求法可以帮助我们确定投资策略，寻找最佳的资源分配方案。

在物理学中，我们可以利用基本不等式的最值求法分析物体的稳定性或者求解问题的最优解。

4. 个人观点和对基本不等式的理解作为一种基础的数学概念，我认为基本不等式的最值求法对于我们的数学学习和思维能力的培养都具有重要意义。

不等式作为一种较为复杂的描述方式，可以帮助我们更全面和深入地理解数学中的不等关系。

通过运用基本不等式的最值求法来解决实际问题，我们可以培养自己的逻辑思考能力和数学建模能力。

总结回顾：基本不等式的最值求法是数学中一种重要的理论工具，能够帮助我们解决不等式中的最值问题。

最全经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c ＞b+c③、a ＞b ，，那么ac ＞bc ；a ＞b ，，那么ac ＜bc④、a ＞b ＞0，那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件）⑥、 a ＞b ＞0 那么（条件）2、基本不等式定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。

定理2（基本不等式）如果a ，b>0，那么当且仅当a=b 时，等号成立。

即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

结论：已知x, y 都是正数。

（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：a b b a <⇔>c a c b b a >⇒>>,R c b a ∈>,0>c 0<c 0>>d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2a b+≥214s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当时，等号成立。

即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：当且仅当a 时，等号成立。

任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间的距离。

利用基本不等式求最值高一

利用基本不等式求最值的技巧注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例２. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三：分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。

变式已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 例：求函数2y =练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

高中数学《不等式》常用公式

高中数学《不等式》常用公式1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或3.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.4.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.5.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.6.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩。

不等式最值问题的方法大全

不等式最值问题的方法大全
不等式最值问题的解决方法有多种，以下是常见的几种方法：
1. 利用符号法：
- 对于一元不等式，可以将其化简成标准形，然后通过判断符号变化或符号使用规则确定最值。

- 对于二元不等式，可以通过图像法或代数法来解决。

图像法是将不等式转化为平面上的几何问题，通过图像的位置来判断最值；代数法是将不等式化简成标准形，然后通过解方程组或代入法来确定最值。

2. 利用性质和定理：
- 对于一元不等式，可以利用数轴上的数的大小关系，以及数的正负性质来判断最值。

- 对于二元不等式，可以利用平方差公式、零点定理、韦达定理等数学定理来确定最值。

3. 利用特殊技巧：
- 对于一些特殊的不等式，如平方不等式、绝对值不等式、倒数不等式等，可以利用特殊技巧解决，如引入新变量、利用整除性质等。

4. 利用数学软件：
- 对于复杂的不等式或多元不等式，可以借助数学软件，如计算器、数学软件，来求解最值。

值得注意的是，解决不等式最值问题需要结合具体的题目要求和不等式的性质，选择合适的方法进行求解。

利用基本不等式求最值的技巧

基本不等式应用一：直接应用求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）二：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式 12,33yx x x =+>- 三：凑系数例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

713基本不等式最值定理

高中数学专题教学研习∇专题：基本不等式（最值定理）基本知识点（L e v e l A ）【1】常用不等式和重要的不等式（1）R a ∈，02≥a ，0≥a （当且仅当a b =时取“=”）．（2）R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当a b =时取“=”）．（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）．【2】均值定理（基本不等式）的概念均值定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”）．即：2a bab +≥，()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”）． 2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．注意：①17字方针：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”；②变形：22222b a b a ab +≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤),(R b a ∈（当且仅当a b =时取“=”）． ♉ 经典案例有疑问随时mail例：（1）下列命题中正确的是：．① 1y x x =+的最小值是2； ② 423(0)y x x x=-->的最大值是243-； ③ 2232x y x +=+的最小值是2； ④ 423(0)y x x x =-->的最小值是243-．答案：②．（2）若21x y +=，则24xy+的最小值是．答案：22．（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为．答案：322+．【3】最值定理（基本不等式的应用）最值定理：设,0x y >，由2x y xy +≥得：∇本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正．说明：Level A 为基本（要求熟悉掌握），Level B 为高考（常考规律总结），Level C 为竞赛（拓展的课外知识）．注：本资源仅提供pdf 版本．交流：博客：/ansontop 邮箱：anson_top@（1）如积xy P =（定值），则当且仅当x y =时x y +有最小值2P ；（2）如和x y S +=（定值），则当且仅当x y =时x y ⋅有最大值22S ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即：积定和最小，和定积最大．注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等．拓展知识点（L e v e l B ）【1】应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”（1）凑系数（乘、除变量系数）．（2）凑项（加、减常数项）．（3）调整分子．（4）变用公式．基本不等式ab ba ≥+2有几个常用变形： ab b a ≥+222， ab b a ≥⎪⎭⎫⎝⎛+22，2222b a b a +≥+，22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a ．前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视．（5）连用公式．（6）对数变换．（7）三角变换．（8）常数代换（逆用条件）． ① 已知+∈R y b x a ,,,，若1=+by ax ，则有：()by ax y x y x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+1111ab b a y ax x by b a 2++≥+++=()2b a +=． ② +∈R y b x a ,,,，若1=+yb x a 则有：()y bxx ay b a y b x a y x y x +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+()22b a ab b a +=++≥．♉ 经典案例有疑问随时mail例：（1）（凑系数）当 40<<x 时，求函的数()x x y 28-=最大值．答案：暂无．（2）（凑项）已知45<x ，求函数()54124-+-=x x x f 的最大值．答案：暂无．（3）（调整分子）求函数()()111072-≠+++=x x x x x f 的值域．答案：暂无．（4）（变用公式）求函数⎪⎭⎫⎝⎛<<-+-=25212512x x x y 的最大值．答案：暂无．（5）（连用公式）已知0>>b a ，求()b a b a y -+=162的最小值．答案：暂无．（6）（对数变换）已知21>x ，1>y ，且e xy =，求()yx t ln 2=的最大值．答案：暂无．（7）（三角变换）已知20π<≤<x y ，且y x tan 3tan =，求y x t -=的最大值．答案：暂无．（8）（常数代换）已知0>a ，0>b ，且12=+b a ，求ba t 11+=的最小值．答案：暂无．（9）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是．答案：[)9,+∞．【2】最值定理推广已知x ，R y ∈，则有()()xy y x y x 222+-=+．（1）若积xy 是定值，则当y x -最大时，y x +最大；当y x -最小时，y x +最小．（2）若和y x +是定值，则当y x -最大时，xy 最小；当y x -最小时，xy 最大．【3】“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：（1）平方和为定值若a y x =+22（a 为定值，0≠a ），可设αcos a x =，αsin a y =，其中πα20<≤．①()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin ,παααa a a y x f ．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,45上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ上是减函数． ②()α2sin 2,axy y x g ==．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,43ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,47上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,45ππ上是减函数． ③()ααααcos sin cos sin 11,a xy y x y x y x m +=+=+=．令⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin παααa t ，其中[)()(]2,11,11,2Y Y ---∈t ．由ααcos sin 212+=t ，得1cos sin 22-=t αα，从而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t a t a ty x m 1212,2在[)()(]2,11,11,2Y Y ---∈t 上是减函数．（2）和为定值若b y x =+（b 为定值，0≠b ），则x b y -=． ①()bx x xy y x g +-==2,．在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,b 上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2b 上是减函数．②()bxx b xy y x y x y x m +-=+=+=211,．当0>b 时，在(]0,∞-，⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡b b ,2，()+∞,b 上是增函数；当0<b 时，在()b ,∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,b b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡0,2b ，()+∞,0上是增函数．③()222222,b bx x y x y x n ++=+=．在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,b 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2b 上是增函数．（3）积为定值若c xy =（c 为定值，0≠c ），则xcy =． ①()xc x y x y x f +=+=,．当0>c 时，在[)0,c -，(]c ,0上是减函数，在(]c -∞-,，[)+∞,c 上是增函数；当0<c 时，在()0,∞-，()+∞,0上是增函数．②()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=x c x c xy y x y x y x m 111,．当0>c 时，在[)0,c -，(]c ,0上是减函数，在(]c -∞-,，[)+∞,c 上是增函数；当0<c 时，在()0,∞-，()+∞,0上是减函数．③()c x c x x c x y x y x n 2,222222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=．在(]c -∞-,，(]c ,0上是减函数，在[)0,c -，[)+∞,c 上是增函数．（4）倒数和为定值若d y x 211=+（d 为定值，x 1，d 1，y 1），则xc y =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中d z 1±=，则z d x -=11，z d y +=11得dz d x -=1，dz dy +=1．①()2212,z d dy x y x f -=+=．当0>d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,1d 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡d 1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1d 上是增函数；当0<d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛0,1d 上是增函数，在，⎪⎭⎫⎢⎣⎡-d 1,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1d 上减函数．②()2221,z d d xy y x g -==．当0>d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,1d 上上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡d 1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1d 上是增函数；当0<d 时，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-d 1,，⎥⎦⎤ ⎝⎛0,1d 上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-d 1,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1d 上是增函数．③()()()22222222112,-+=+=z d z d d y x y x n ．令122+=z d t ，其中1≥t 且2≠t ，从而()()44222,222-+=-=tt d t t d y x n ．在[)2,1上是增函数，在()+∞,2上是减函数．【4】比较大小常用方法（不等式的证明方法）（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． Step 1: 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．Step 2: 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． Step 3: 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．技巧：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）：要证b a >，且0>b ，只要证1>ba．（3）综合分析法：由因导果，执果索因；要证……，只需证……，只需证……．（4）图像法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．（5）平方法．（6）分子（或分母）有理化．（7）利用函数的单调性：（本质仍然是放缩法，与换元法、最值法紧密联系）．常用的放缩技巧（数列单元有专讲）有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--． 11111121k k k k k k k k k+-=<<=-+++-+．（8）利用基本不等式（其余的如柯西不等式）．利用基本不等式法即利用最值法：如：()max x f a >，则()x f a >恒成立．()min x f a <，则()x f a <恒成立．（9）反证法：对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”．（10）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；具体运用：是构造斜率、点到直线距离、两点间距离、直线与圆的位置关系、辅助圆等．（11）数学归纳法．（12）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法．（13）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知()()222r b y a x =-+-，可设θcos r a x +=，θsin r b y +=；已知122≤+y x ，可设θcos r x =，θsin r y = ()10≤≤r ；已知12222=+b y a x ，可设θcos a x =，θsin b y =；已知12222=-by a x ，可设θsec a x =，θtan b y =．♉ 经典案例有疑问随时mail例：（1）（放缩法）证明：2131211222<++++n…．答案：证明：()n n n 113212111*********-++⨯+⨯+<++++…………n n 11131212111--++-+-+= (21)2<-=n．（2）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t aa 和的大小．答案：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22a a t t +≥（1t =时取等号）．（3）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小．答案：p q >．（4）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小．答案：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ．（5）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ．答案：暂无．（6）已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++．答案：暂无．（7）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．答案：暂无．（8）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++．答案：暂无．（9）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++．答案：暂无．（10）若*n N ∈，求证：2(1)1(1)n n ++-+<21n n +-．答案：暂无．（11）已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+．答案：暂无．【6】重要不等式（1）（1）和积不等式R b a ∈,⇒ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取到“=”）．变形：①22222b a b a ab +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤（当b a =时，22222b a b a ab +=⎪⎭⎫⎝⎛+=）．注意：()+∈+≤R b a b a ab ,2，()R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,22． ②()()()ca bc ab c b a c b a ++≥++≥++332222（当且仅当c b a ==时取“=”号）．（2）均值不等式补充两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均”．22211222b a b a ab b a ab b a +≤+≤≤+=+（当且仅当b a =时取“=”）．（根据目标不等式左右的运算结构选用）a 、b 、R ∈c ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）（双倍延拓）记忆技巧：“调几算幂”．（3）常见三角不等式①若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tan x x x <<． ②若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin cos 2x x <+≤． ③|sin ||cos |1x x +≥．深化知识点（L e v e l C ）【1】常用的近似计算公式（当x 充分小时）（1）x x 2111+≈+；x nx n 111+≈+．（2）()()R x x ∈+≈+ααα11；x x-≈+111．（3）x e x-≈1；()x x ≈+1ln ．（4）x x ≈sin （x 为弧度）；x x ≈tan （x 为弧度）；x x ≈arctan （x 为弧度）．【2】重要不等式（2）续重要不等式（1）（4）均值不等式拓展：①幂平均不等式：()2212121211n a a a na a a +⋯++≥+⋯++．（R a a a n ∈⋯,,,21，当且仅当n a a a =⋯==21时取“=”）．②“几何平均≤算术平均（n a a a ,,,21⋯为正数）”：nn n a a a na a a ⋅⋯⋅⋅≥+⋯++2121．（R a a a n ∈⋯,,,21，当且仅当n a a a =⋯==21时取“=”）．（5）含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：①2233ab b a b a +≥+．推证：2233ab b a b a --+2323ab b b a a -+-=()()b a b b a a ---=22()()22b a b a --=()()02≥+-=b a b a ．②()()bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333．⇒abc c b a 3333≥++（0>++c b a 等式即可成立，0=++c b a 或c b a ==时取“=”）． 33c b a abc ++≤⇒333333c b a c b a abc ++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤．（6）放缩不等式：①0>>b a ，0>>m a ，则ma mb a b m a m b ++<<--．记忆技巧：ma mb a b ++<（0>>b a ，0>m ，糖水的浓度问题）．拓展：0>>b a ，0>m ，0>n ，则：①ba nb n a m a m b a b <++<<++<1． ②+∈R c b a ,,，若c d a b <，则cd c a d b a b <++<．③+∈N n ，1211--<<-+n n nn n ．④+∈N n ，1>n ，nn n n n 11111112--<<+-． ⑤()01ln >-≤x x x ，()R x x e x∈+≥1．【3】放缩法（1）定义：指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，而达到证明不等式成立的一种方法．即证明B A <，可构造出函数式C ，使C A <，且B C <，其中数学式C ，常通过将A 放大，或将B 缩小而构成．（2）放缩法证明不等式的依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子异分母（或同分母异分子）的两个分式大小的比较等．（3）放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩．即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式．（4）放缩法的一些操作技巧：① 添加或舍去一些项，如：a a >+12；()n n n >+1；② 将分子或分母放大（或缩小），1213121112+≤+⋯++++++≤n nn n n n n n ； ③ 基本不等式，如：4lg 16lg 15lg 25lg 3lg 5lg 3lg 2=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅；()()211++<+n n n n ； ④ 利用常用结论：i ．121111--<<++=-+k k kk k k kii ．()()k k k k k k k k k 111111111112--=-<<+-=+（程度大）；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<11112111111122k k k k k k （程度小）； iii ．0>>b a ，0>m ，0>n ，则nb na b a n b n a m a m b a b m a m b --<<++<<++<<--1．特例：⋯<<<<54433221，1222212++<+n n n n 等．可推知：()k k k k k 1111223-<=()()221114-++-<k k k()2221111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---+=k k k k k ．（5）放缩法的常见题型：① 一边为无限项的和或积，另一边为定值；② 在证明涉及求和的不等式时，通过逐项放缩的手段，一方面放缩，另一方面使放缩之后便于求和，以达到求和目的；③ 恰当引入辅助函数，通过函数单调性达到放缩目的；④ 对涉及正整数n 的不等式，可以先考虑用数学归纳法进行整体放缩； ⑤ 运用公式性质，函数单调性； ⑥ 运用绝对值不等式；⑦ 运用二项式定理，利用三角有界性放缩，利用三角形的三边关系进行放缩； ⑧ 舍弃或添加一些项进行放缩．将部分项放缩，或每项放缩； ⑨ 裂项利用一些熟悉的关系式放缩；（6）放缩尺度：放缩法证明不等式，需要根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败，也就是运用放缩法证明不等式要把握放缩的尺度；放缩法是一种证题技巧，要想用好证题，必须有明确的目标．目标可以从要证明的结论中考查，即要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩尺度：放缩到可裂项，放缩到可用公式，……【4】重要不等式（3）续重要不等式（2）（7）绝对值不等式b a b a b a +≤-≤-，321321a a a a a a ++≤++（0≥ab 时，取“=”）．拓展：双向不等式：b a b a b a +≤±≤-．（左边当()00≥≤ab 时取得等号，右边当()00≤≥ab 时取得等号．）（8）含绝对值不等式① 复数集内的三角形不等式：212121z z z z z z +≤±≤-其中左边在复数1z 、2z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数1z 、2z 对应的向量共线且同向（反向）时取等号．② 向量不等式：b a b a b a +≤±≤-注意：a 、b 同向或有0⇔b a b a b a b a -=-≥+=+a 、b 反向或有0⇔b a b a b a b a +=-≥+=-；a 、b 不共线⇔b a b a b a +<±<-．(这些和实数集中类似)③ 代数不等式：a 、b 同号或有0⇔b a b a b a b a -=-≥+=+；a 、b 异号或有0⇔b a b a b a b a +=-≥+=-．（9）柯西不等式 ①（代数形式）设a 、b 、c 、d 均为实数，则：()()()22222bd ac d c b a+≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立．②（向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．③（三角形式）设1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y 为任意实数，则：()()()()()()213213232232221221y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？④（推广形式）设i a ，()n i R b i ,,2,1⋯=∈，则：()()()22122122211n n n n b b b a a a b a b a b a +⋯++⋅+⋯++≤+⋯++等号成立当且仅当nn b a b a b a =⋯==2211时成立．（约定0=i a 时，0=i b ）推广形式变式1：若R a i ∈，R b i ∈，n i ,,3,2,1⋯=，则212112⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n i i ni i ni ii b a b a ，等号成立条件为i i b a λ=()n i ,,3,2,1⋯=．推广形式变式2：设i a ，i a 同号且不为0()n i ,,3,2,1⋯=，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni ii n i i ni ii b a a b a1211，等号成立当且仅当n b b b b =⋯===321．（10）琴生不等式若函数()x f 的是[]b a ,上的凸函数，则对[]b a ,内的任意数n x x x ,,,21⋯，都有：()()()n x f x f x f n x x x f n n +⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++2121 当且仅当n x x x =⋯==21时等号成立．拓展：琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()x f ，对于定义域中任意两点()2121,x x x x ≠有：()222121x x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+或()222121x x f x x f +≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则称()x f 为凸（或凹）函数．（11）排序不定式一般地设有两组实数n a a a ，，，⋅⋅⋅21 （1） n b b b ，，，⋅⋅⋅21 （2）满足 n a a a ≤⋅⋅⋅≤≤21（3） n b b b ≤⋅⋅⋅≤≤21 （4）另设n c c c ,21⋅⋅⋅，，（5）是实数组（2）的一个排列，记逆序积和1121b a b a b a S n n n +++=-，乱序积和n n c a c a c a S +++=2211'，似序积和n n b a b a b a S +⋅⋅⋅++=2211''，那么 '''S S S ≤≤，且等式成立当且仅当n a a a =⋅⋅⋅==21，或者n b b b =⋅⋅⋅==21．（12）切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤Λ21，n b b b ≤≤≤Λ21，则nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ΛΛΛ21212211．证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++Λ2211n n b a b a b a +++=Λ2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ΛΛ， ……11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a ΛΛ．将上述n 个不等式叠加后，两边同除2n ，即得欲证的不等式．高阶阅读【高阶阅读1】排序不定式的证明①预备知识：引理1：（Abel 变换）设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令∑===k i i k b B B 100，，那么： k n k n k k k n n k k B a a B a ba ∑∑=-=---=1111)(，事实上： =-=∑∑==-nk n k k k k k k B B a b a 111)(112111)()(B a B B a B B a n n n n n n +⋅⋅⋅+-+------⋅⋅⋅-----=-------)()(2221111n n n n n n n n n n B a B a B a B a B a 112)(B a a -∑-=---=111)(n k k k k n n B a a B a ．引理2：设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有∑∑∑=+-==≤≤k i i n k i ik i i b c b 1111．引理3：设实数组（2）满足（4），那么∑∑=+-=≤k i i n k i ib b 111．若存在n m k ≤=≤1使等号成立当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21．②证明：首先：)()()('121211n n n n c b a c b a c b a S S -+⋅⋅⋅+-+-=--，不妨设∑=+--==k i i i n k c bB B 110)(,0，那么由引理2，有0,0=≥n k B B ，则由Abel 变换以及1+≤i i a a ，得到0)(1≥-+k k k B a a ，所以0)()('111111≤--=--=-∑∑-=+-=-k n k k k k n k k k n n B a a B a a B a S S 即 'S S ≤．同理，设∑=-==k i i i k b cB B 10)(',0'，则可证)()()('''222111n n n b c a b c a b c a S S -+⋅⋅⋅+-+-=-0)('111≤--=∑-=-k n k k k B a a ．要使得等号成立，即 '''S S S ==，则对,1,,2,1-⋅⋅⋅=n k 有0)(1=--k k k B a a0)('1=--k k k B a a那么有下列两种情形：)(i n a a a =⋅⋅⋅==21； )(ii 存在11-≤≤n m ，使得121,+<=⋅⋅⋅==m m m a a a a a ．这时必有0',0==m m B B ．从而0)(11111=-=-=∑∑∑==+-=+-m i m i i i n m i i i n m c b c b B ， 0)(111'=-=-=∑∑∑===m i i m i i m i i i m b c b c B ．所以∑∑==+-=mi i m i i n b b111．由引理3得n b b b =⋅⋅⋅==21．说明：排序不等式又称排序原理，是一个很强的不等式，许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明．其关键是找出两组有序数组．利用排序不等式可以证明平均不等式，还可证明切比雪夫不等式．<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<暂未收录任何资源>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>交流、素材提供博客：/ansontop 邮箱：anson_top@。

第二十二讲绝对值不等式恒成立能成立问题

第二十二讲绝对值不等式问题例1：解不等式|23||3|4x x ++->；秒杀秘籍:绝对值不等式之最值确定之前谈到绝对值不等式，主要谈及不等式的数轴解法，但对于一些不等式如2236x x x +++>-之类的，就需要另外的解法。

定理1：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =-+-=-+-+-≥-+-，当x b =时取得最小值a b -；这个定理可以演绎为：当n m ≥>时；()f x m x a n x b =-+-()()m x a x b n m x b =-+-+--()m a b n m x b ≥-+--；故两个一次绝对值不等式之和能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。

定理2：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =---=-----≤---，当x b =时取得最大值a b -；这个定理可以演绎为：当n m ≥>时；()f x m x a n x b =---()()m x a x b n m x b =------()m a b n m x b ≤----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最大值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最大。

定理3：()2f x x a x b x a x b x a x a a b =---=---+-≥---，当x a =时取得最小值a b --；这个定理可以演绎为：当n m ≥>时；()f x n x a m x b =---()()m x a x b n m x a =---+--()n m x a m a b ≥----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。

综合结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。

绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；绝对值之差，有着大系数绝对值为正时的零点取到最小，大系数绝对值为负时的零点取到最大值。

高中数学不等式知识点

不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性）（2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则）推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加）（4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。

不等式最值定理

不等式最值定理
不等式最值定理（Extreme Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它用于描述连续函数在闭区间上的最大最小值的存在性。

该定理的形式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么
f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值。

也就是说，存在c、d
（其中a ≤ c ≤ b，a ≤ d ≤ b），使得f(c)是f(x)在[a, b]上的最大值，f(d)是f(x)在[a, b]上的最小值。

这个定理的意义在于，它保证了连续函数在闭区间上的最大最小值的存在性，使得我们可以在一定范围内确定函数的极值点。

在实际问题中，可以通过使用不等式最值定理来优化问题，寻找最优解。

需要注意的是，不等式最值定理只适用于连续函数，并且要求函数在闭区间上连续。

对于非连续函数或不在闭区间上的函数，不一定存在最大最小值。

此外，该定理只能保证存在最大最小值，不能直接给出最大最小值的具体数值。

具体的最值需要通过分析函数的性质，如导数等，来确定。

§3 3.基本不等式与最大(小)值

基本不等式与最大（小）值教学目标：使学生能够使用基本不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点、难点：基本不等式定理的应用。

教学过程：1．复习回顾2．例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，所以，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“＝”号，所以，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存有。

师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用例2：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴y ∈[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例3：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1的最小值解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？总结：一正二定三相等。

介绍：函数y ＝x ＋1x的图象及单调区间例4：求下列函数的值域（1）y = x 2＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1 x 2＋3x ＋5解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3x ＋1＋ 1 当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ；当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2＋3x ＋5x ＋1则问题变为：y = 1t，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞） ∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1 2 3 ＋1] 又x ＋1 = 0时，y = 0即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111] 说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。