机械振动习题集与答案

《机械振动噪声学》习题集1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。

(a) 振动；(b) 周期振动和周期；(c) 简谐振动。

振幅、频率和相位角。

1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。

1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。

1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。

1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。

即：A cos ωn t +B cos (ωn t + φ) =C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。

1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。

其中ε << ω。

如发生拍的现象，求其振幅和拍频。

1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。

已知周期的变化∆τ＝0.1 s。

求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。

2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。

2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。

图2－1 图2－2 图2－32－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。

2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。

图2－4 图2－52－6 图2－6所示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。

2－7 求图2－7所示系统的振动微分方程。

2－8 试用能量法确定图2－8所示系统的振动微分方程。

(假定m 2 > m 1，图示位置是系统的静平衡位置。

)图2－6 图2－7 图2－82－9 试确定图2－9所示弹簧系统的等效刚度。

2－10 求跨度为L 的均匀简支梁在离支承点L 3 处的等效刚度系数。

2－11 求图2－11所示系统对于广义坐标x 的等效刚度。

2－12 一质量为m、长度为L 的均匀刚性杆，在距左端O为n L 处设一支承点，如图2－12所示。

求杆对O点的等效质量。

图2－9 图2－11 图2－122－13 如图2－13所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI，质量不计。

求系统的等效刚度和等效质量。

2－14 图2－14是固定滑车力学模型。

起吊物品质量为m，滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。

2－15 用视察法建立图2－15所示链式系统的振动微分方程。

2－16 如图2－16所示，绳索上有两个质量m1和m2 ( m1 = 2 m2 )，各段绳索中的张力均为T，用柔度法建立系统作微振动的微分方程。

图2－13 图2－14 图2－15 图2－162－17 如图2－17所示，系统中k1=k2=k3=k，m1=m2=m，r1=r2=r，J1=J2=J。

求系统的振动微分方程。

2－18 图2－18为行车载重小车运动的力学模型，小车质量m1，受到两根刚度为k弹簧的约束，悬挂物品质量为m2，悬挂长度为L，摆角θ很小，求系统的振动微分方程。

图2－17 图2－18 图3－13－1 如图3－1所示，杆a与弹簧k1和k2相连，弹簧k3置于杆a 的中央，杆b 与弹簧k3和k4相连，质量m置于杆b的中央。

设杆 a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。

求质量m 上、下振动的固有频率。

3－2 如图3－2所示，一薄长板条被弯成半圆形，在水平面上摇摆。

用能量法求它摇摆的周期。

3－3 如图3－3所示，一长度为L、质量为m 的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。

求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 系统的无阻尼固有频率；(c) 系统的临界阻尼。

3－4 系统参数和几何尺寸如图3－4所示，刚性杆质量可忽略。

求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 临界阻尼系数；(c) 有阻尼固有频率。

3－5 如图3－5所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为m2的重物从高度为h 处自由降落到m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。

图3－2 图3－3 图3－4 图3－5 3－6 弹簧－质量－粘性阻尼器系统中，质量m = 10 kg·s2/m，弹簧刚度k= 1000kg/m，初始条件为x0 = 0.01 m, &x0= 0。

求：系统的阻尼比分别为ζ＝0、0.2和1.0三种情况下系统对初始条件的响应，并给出概略简图。

3－7 图3－7所示带有库仑阻尼的系统中，质量m= 9 kg，弹簧刚度k= 7 kN/m，摩擦系数μ= 0.15，初始条件是x x00250==mm,&。

求：(a) 位移振幅每周衰减；(b) 最大速度；(c) 速度振幅每周衰减；(d)物体m 停止的位置。

3－8 对只有库仑阻尼的弹簧－质量系统，用能量观点证明：对于自由振动，每周期振幅图3－7衰减为4F /k 。

( F 是摩擦力 )3－9 求图3－9所示系统的固有频率和主振型。

( 杆为刚性，不计质量。

)3－10 选图3－10所示均质杆的质心C 点向下移动的位移 x 及杆顺时针方向转角θ 为广义坐标，求系统的固有圆频率和主振型。

图3－9 图3－10 3－11 图3-11所示扭转振动系统中， k 1 = k 2 = k ，J 1 = 2 J 2 = 2 J 。

(a) 求系统的固有频率和主振型；(b) 设：)0(1θ = 1 rad ，)0(2θ = 2 rad ，0)0()0(21==θθ&&，求系统对初始条件的响应。

3－12 求图3-10所示系统的振型矩阵 [u ]、正则化振型矩阵[]u 和主坐标。

3－13 求图3－13所示系统的振型矩阵 [u ]、正则化振型矩阵[]u 和主坐标。

3－14 设图3-14所示系统中， 轴的抗弯刚度为 EI ，它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量 J= mR 2/4，R = L /4，静平衡时轴在水平位置。

求系统的固有频率。

图3－11 图3－13 图3－143－15 用 Rayleigh 法和 Dunkerley 公式估算图2－16所示系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。

4－1 如图4－1所示，一质量为 m 的油缸与刚度为 k 的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的粘性阻尼器以运动规律 y = A sin ω t 的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。

4－2 试导出图4－2所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。

4－3 求图4－3所示弹簧－质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F 0 sin ω t 作用下的振幅。

在什么条件下运动能继续？图4－1 图4－2 图4－34－4 一重物悬挂在刚度 k = 3 kN/m 的弹簧下，测得系统振动的准周期为 1 s ，系统阻尼比为0.2，当外力F = 20 cos 3t(N) 作用于系统上时，求系统稳态振动的振幅和相位。

4－5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式k= k0e i 2 β表示。

求系统在简谐激励下的响应。

4－6 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。

求加速度幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－7 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。

求速度幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－8 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。

求位移幅值达到最大值时的频率比、放大因子和Q因子。

4－9 如图4－9所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。

试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系，并确定最不利的运行速度。

4－10 图4－10所示系统中，集中质量m = 20 kg，弹簧刚度k = 3.5 kN/m，阻尼器的粘性阻尼系数为c = 0.2 kN ⋅ s /m，凸轮的转速为60 rpm，行程为0.01 m。

试求系统的稳态响应x (t)。

4－11 如图4－11所示，一个弹簧－质量系统从倾斜角为30︒的光滑斜面下滑。

求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。

图4－9 图4－10 图4－114－12 一弹簧－质量系统，从t= 0时，突加一个F 0力，以后该力保持不变。

试用Duhamel 积分求系统的响应，并概略图示之。

（图4－12）4－13 一弹簧－质量系统，从t= 0开始作用一不变的F 0力，作用时间为t0(图4－13)。

求系统在t<t0和t>t0两种情况下的响应，并找出t>t0时最大位移与t0 / τ的关系。

如果t0与系统自振周期τ相比很小，最大位移为多少? 请与脉冲响应函数比较。

4－14 一单自由度无阻尼弹簧－质量系统，受到图4－14所示力的激励，请用Duhamel积分求系统在t < t1和t > t1两种情况下的响应，并概略图示之。

4－15 求弹簧－质量系统在图4－15所示激励下的响应。

图4－12 图4－13 图4－14 图4－154－16 对弹簧－质量系统，从t = 0开始施加按直线变化的力，即f (t) = a t ( a = const )。

请用Duhamel积分求系统的响应，并概略图示之。

4－17 试用拉普拉斯变换方法解题4－12。

4－18 试用拉普拉斯变换方法解题4－13。

4－19 求图4－19所示系统的稳态响应。

4－20 转动惯量为J的飞轮通过四个刚度为k的弹簧与转动惯量为J d并能在轴上自由转动的扭转减振器相联，见图4－20。

试建立系统作扭转振动的微分方程。

若在飞轮上作用一简谐变化的扭矩T sin ωt，求：(a)系统的稳态响应；(b)飞轮不动时J d的固有频率；(c)J d / J 的比值，使联接减振器后系统的固有频率为激振频率ω的 1.2 倍。

4－21 求图4－21所示系统的稳态响应。

图4－19 图4－20 图4－215－1 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。