机械振动习题集与答案
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
解：（1）
利用 ，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
故（2）为：
考虑到 的影响，则叠加后的 为：
2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知， ，m= 1 kg，k= 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
图T 2-1答案图T 2-1
解：
， cm
rad/s
cm
2.2如图T 2-2所示，重物 悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 从高度为h处自由下落到 上而无弹跳。求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
，
，
2.1图E2.2所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)
解：
等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：
（1）
， ，
（1）的解可参照释义（2.56），为：
（2）
其中：
，
和 为串联（因为总变形为求和），故：
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动
4.1基本要求
1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系
2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析
3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义
4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点
4.2基本概念
1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+
2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1
T ν
=
5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为
22T
π
ωπν=
=
6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ
7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能22
2p 11cos ()22E kx kA t ωϕ=
=+ 动能[]2
2222k 111sin()sin ()222
E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v
弹簧振子系统的机械能为222k p 11
22
E E E m A kA ω=+==
8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
《振动力学》习题集(含问题详解)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动， 如图E1.1所示。求系统的固有频率。
l
x
m 1 m 图E1.1
解：
系统的动能为： T 1 2 m x l 2 1 2
I x
2 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： I l 0 m 1 l dx 2 x l 0 m 1 l
x 2 dx 1 3 ml 1 2 则有： T 1 2 ml 11 22223 xmlx
1 66
m m 1 l 2 2 x 系统的势能为： Umgl1cosx mg 1 l 2
1 cos x
1 2
mglx 2 1 4 mglx 1 2
1 4
2m m 1 glx
2 n 和TU 可得： 利用xx 32m m 1 g
n
23m
m 1
l
1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
k
A
a
C
R
图E1.2
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T 1
2
I B
21
2
mR
21
2
mR
223
4
mR
22
U
1
2
2kRakRa
2
22
利用n和TU可得：
2
4kRaRa4k
n
2
3mRR3m
1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k ，k 和 12
k 的轴约束，如图E1.3所示。 3 求系统的固有频率。
J
k1k2k
3
图E1.3
解：
系统的动能为：
1 2
TJ
2
k 和k 3相当于串联，则有： 2
2,kk
322
33 以上两式联立可得：
k 3 2,
kk 23
3
k 2 k 2 k 3
振动习题86610
机械振动习题集
同济大学机械设计研究所
2004．9
1_简谐运动及其运算
1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2π
ω+
=t x （2）)4
10cos(4π
π+
=t x （3）)452cos(3︒+=t x π
1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）)3
sin(21π
ω+
=t x )3
2sin(32πω+
=t x （2）t x π10sin 51=
)4
10cos(42π
π+
=t x
（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π
)452cos(33︒+=t x π
)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π
答案：
（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π
1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。 1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x
a =++ 。试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1 +====πt x c
b a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3 +====πt f
c b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。
1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。
机械振动基础经典习题
k i f1 jωt e u = k f2
-1
u = ue jωt
2k u(t ) = k
真实
k 0 i f1 iωt 2 m e ω 0 m k f2
-1 k m 0 i f1 iωt ω2 e k 0 m f2
2k * 响应: u (t ) = Re k
f1 sin ωt (ω) = k2 3kω2m+ω4m2 k 1 k ω 2m * u (t ) = 2 (ω ) k 2k ω m f 2 cos ωt
P89,2-10: 建立图示双单摆的微振动微分方程,并求固有频率和固有振型.
P90,2-19: 求图示系统在零初始条件下的脉冲响应.
m 0
0 u1 2k u + k m 2
k u1 0 u = f δ (t ) 2k 2 0
1 1 k 3k φ1 = , φ2 = ω1 = , ω2 = m m 1 1
作业情况
P88,2-3: 求图示系统的固有频率和固有振型.
m 0 u1 4k 0 2m u + 3k 2
3k u1 0 u = 0 5k 2
( K ω 2 M )φ = 0
ω = k / m, ω2 = 11k /2m 1
1 1 φ1 = , φ2 = 1 0.5
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
-
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
210212
0131l m dx x l m x dx l m I l l
⎰⎰==⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： [
()()l
m m g m m n 113223++=
ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
:
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 343422
+=
+=ω
：
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统
的固有频率。
，
图
解： 系统的动能为：
2
2
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
高中物理机械波习题集
第十章机械波
第一节波的形成和传播
例1：在机械波中有（）
A．各质点都在各自的平衡位置附近振动
B．相邻质点间必有相互作用力
C．前一质点的振动带动相邻的后一质点振动，后一质点的振动必定落后于前一质点D．各质点也随波的传播而迁移
选题目的：理解机械波的特点．
解析：本例要熟知机械波的物理模型．振源的振动使其周围质点依次投入振动，之所以能依次振动下去，就是依靠了相邻质点间的相互作用力；沿波的传播方向，后一质点的振动必滞后于前一质点的振动；质点只在平衡位里附近振动，并不随波迁移．
正确答案为A．B．C．
例2：区分横波和纵波是根据（）
A．沿水平方向传播的叫做横波
B．质点振动的方向和波传播的远近
C．质点振动的方向和波传播的方向
D．质点振动的快慢
选题目的：理解横波和纵波的区别．
解析：区分横波和纵波的依据是看波的传播方向与质点的振动方向的关系．
正确的答案为C．
例3：下列说法不妥的有（）
A．声波在空气中传播时是纵波，在水中传播时是横波
B．波不但传送能量，还能传递信息
C．发生地震时，由振源传出的既有横波又有纵波
D．一切波的传播均需要介质
选题目的：了解纵波和横波的有关知识．
解析：按介质中质点的振动方向和波的传播方向的关系将波区分为横波和纵波．介质不同不改变波的属性．波不仅将振动的形式（即振源的信息）向外传播，还能将振动的能量向外传递．地震波既有横波又有纵波，机械波的形成必须要有振源和介质，但对电磁波它也可以在真空中传播．
正确的答案为B．C．不妥的答案为A．D．例4：关于机械波的概念，下列说法中正确的是：
A．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
大学物理 第五章机械振动习题集答案
一、选择题
B C D A B B B B B A 二、填空题
2
2121221. cos() , cos() ;
23
2 2. 100; 3. A -A , (A -A )cos()
2
x A t x A t T T t T ππππ
πππ=-=++ 三、计算题 1、解：
322322
0.09(-)0.0100,, 0.01cos()
33
gl gl b b m gl b x gl gl x A m t x A v k gl x t ρρρρρϕπ
ρωπ'=⇒=''-=-⇒===-=⇒='=⇒==⇒=+设物体在平衡位置时被浸没深度为b ，则物体受合外力F=物体作简谐振动当物体全被浸没时可知时，令简谐振动方程2、解：
2
22
2
22221d sin sin 2d 1sin 3
d 1d 300d 2d 22π
M Mgl kl J t
J Ml l Mg kl Mg kl t J t Ml T θθθθθθθθθθθθ=--=≈=⎡⎤
+=⇒+=⎢⎥⎣⎦
⇒=当杆向右摆动角时,重力矩与弹力矩均与相反，有
很小，，，
（+2）（+）
3、解：
设物体平衡时两弹簧分别伸长X 1， X 2由物体受力平衡得：
11221212222111221112121
2
1212sin (1)
x sin sin (2)(1)(2) (3), mg k x k x x x x x x x F mg k x x mg k x x F k x k x F
F
x x x x x k k k k F x kx k k θθθω==''''
=+''=-+=-+''=-=-''''
振动力学习题集
2
振动力学》习题集（含答案）
质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如 图所
示。求系统的固有频率。
解： 系统的动能为：
1 2 1 2 T m xl I x
22 其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：
利用x
n
x 和T U 可得：
3 2m m 1 g
2 3m m 1 l
m
l 1dx
x 2
l m 1
x 2dx
l
m 1l
31
则有：
系统的势能为：
1 2 2 1 2 2
ml x m 1l x 2 6
1
1 2 2 3m m 1 l x
6
U mgl 1 cosx
m 1g cosx 1 2
mglx
1
4
m 1glx
1 2m
4
m 1 glx 2
图
质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在
两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
CA=a的A 点系有
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用
1212 1 2 23
T I B mR2mR2 2mR
2B
224
1222
U2k Ra2 k R a
2
4k R a 2
3mR2R 3m
图
U 可
得：
n J k 2 k 3
转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。求系
统的固有频率。
k 2
解：
系统的动能为：
12
J 2
k 2和 k 3相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
k 2k 3 k 1 k 2 k 3
k 1 3
,
k 2
k 2
k 3
k 3
k 2
k 2 k 3
利用
U 12
k 1
k 2 22
12
k 3 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2
振动力学习题集
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn = 和U T =可得：
()m
k
R a R mR a R k n 343422
+=
+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，
2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
22
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
332232 , θθθθθk k =+=
(精品)同济大学机械振动期末复习习题集
机械振动习题集
同济大学机械设计研究所
2010.12
第一章 概论
1-1概念
1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？
2. 机械振动研究哪三类基本问题？
3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？
4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？
5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？
6. 什么叫离散元件或集中参数元件？
7. 什么叫连续体或分布参数元件？
8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？
9. 建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模
型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。
10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？
11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？ 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？
1-2简谐运动及其运算
1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3
sin(2π
ω+
=t x （2）)4
10cos(4π
π+
=t x （3）)452cos(3︒+=t x π
答案：（1
）11
1,,2222
S B B X j X j X j +-==
-=+ （2
）,,S B B X X X +-===
（3
）,,224444
S B B X j X j X j +-=
+=+=- //?
2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核
（1）)3
sin(21π
高中物理机械波习题集打印版
机械振动
1．若物体做简谐运动，则下列说法中正确的是 ( ) A ．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值 B ．物体通过平衡位置时，所受合力为零，回复力为零，处于平衡状态 C ．物体每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同 D ．物体的位移增大时，动能增加，势能减少
2．(2010·兰州模拟)一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T ，振幅为A ，设振子第一次 从平衡位置运动到x ＝A 2处所经最短时间为t 1，第一次从最大正位移处运动到x ＝A 2所
经最短时间为t 2，关于t 1与t 2，以下说法正确的是
( )
A ．t 1＝t 2
B ．t 1<t 2
C ．t 1>t 2
D ．无法判断
3．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取t ＝0)，当振动至t ＝
3π
2
l
g 时，
摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图2中的 ( )
图2
4．(2010·十堰检测)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图 3所示，以下说法正确的是 ( ) A ．t 1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 B ．t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 C ．t 3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 D ．t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
5．如图4所示的装置中，在曲轴AB 上悬挂一个弹簧振子， 若不转动把手C ，让其上下振动，周期为T 1，若使把手 以周期T 2(T 2>T 1)匀速转动，当运动都稳定后，则 ( ) A ．弹簧振子的振动周期为T 1 B ．弹簧振子的振动周期为T 2
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
机械振动习题集与答案
《机械振动噪声学》习题集
1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。
(a) 振动；(b) 周期振动和周期；
(c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。
1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。
1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即：
A cos ωn t +
B cos (ωn t + φ) =
C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？
1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。其中ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。
1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：
(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2
(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]
2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知周期的变化∆τ＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。
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《机械振动噪声学》习题集
1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。
(a) 振动；(b) 周期振动和周期；
(c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。
1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。
1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即：
A cos ωn t +
B cos (ωn t + φ) =
C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？
1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。其中ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。
1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：
(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2
(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]
2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知周期的变化∆τ＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。
2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。
2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
图2－1 图2－2 图2－3
2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。
2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
图2－4 图2－5
2－6 图2－6所示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微
分方程。
2－7 求图2－7所示系统的振动微分方程。
2－8 试用能量法确定图2－8所示系统的振动微分方程。(假定m 2 > m 1，图示位置是系统的静平衡位置。)
图2－6 图2－7 图2－8
2－9 试确定图2－9所示弹簧系统的等效刚度。
2－10 求跨度为L 的均匀简支梁在离支承点L 3 处的等效刚度系数。
2－11 求图2－11所示系统对于广义坐标x 的等效刚度。
2－12 一质量为m、长度为L 的均匀刚性杆，在距左端O为n L 处设一支承点，如图2－12所示。求杆对O点的等效质量。
图2－9 图2－11 图2－12
2－13 如图2－13所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。
2－14 图2－14是固定滑车力学模型。起吊物品质量为m，滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。
2－15 用视察法建立图2－15所示链式系统的振动微分方程。
2－16 如图2－16所示，绳索上有两个质量m1和m2 ( m1 = 2 m2 )，各段绳索中的张力均为T，用柔度法建立系统作微振动的微分方程。
图2－13 图2－14 图2－15 图2－16
2－17 如图2－17所示，系统中k1=k2=k3=k，m1=m2=m，r1=r2=r，J1=J2=J。求
系统的振动微分方程。
2－18 图2－18为行车载重小车运动的力学模型，小车质量m1，受到两根刚度为k弹簧的约束，悬挂物品质量为m2，悬挂长度为L，摆角θ很小，求系统的振动微分方程。
图2－17 图2－18 图3－1
3－1 如图3－1所示，杆a与弹簧k1和k2相连，弹簧k3置于杆a 的中央，杆b 与弹簧k3和k4相连，质量m置于杆b的中央。设杆 a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m 上、下振动的固有频率。
3－2 如图3－2所示，一薄长板条被弯成半圆形，在水平面上摇摆。用能量法求它摇摆的周期。
3－3 如图3－3所示，一长度为L、质量为m 的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 系统的无阻尼固有频率；(c) 系统的临界阻尼。
3－4 系统参数和几何尺寸如图3－4所示，刚性杆质量可忽略。求：(a) 系统作微振动的微分方程；(b) 临界阻尼系数；(c) 有阻尼固有频率。
3－5 如图3－5所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为m2的重物从高度为h 处自由降落到m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。
图3－2 图3－3 图3－4 图3－5 3－6 弹簧－质量－粘性阻尼器系统中，质量m = 10 kg·s2/m，弹簧刚度k= 1000
kg/m，初始条件为x0 = 0.01 m, &x0= 0。求：系统的阻尼比分别为ζ＝0、0.2和1.0三
种情况下系统对初始条件的响应，并给出概略简图。
3－7 图3－7所示带有库仑阻尼的系统中，质量m= 9 kg，弹簧
刚度k= 7 kN/m，摩擦系数μ= 0.15，初始条件是
x x
00
250
==
mm,&。求：(a) 位移振幅每周衰
减；(b) 最大速度；(c) 速度振幅每周衰减；(d)
物体m 停止的位置。
3－8 对只有库仑阻尼的弹簧－质量系统，用能量观点证明：对于自由振动，每周期振幅
图3－7