2014届四川省凉山州高三第二次诊断性检测理科数学试题 (含答案详解)

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2014年四川省凉山州高三理科一模数学试卷

2014年四川省凉山州高三理科一模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 复数i1−i对应点的坐标是 A. 12,12B. −12,12C. 12,−12D. −12,−122. 已知集合A=0,1,2,3,4，集合B=x x≥2，则A∩∁R B= A. 0B. 0,1C. A=0,2D. A=0,1,23. 一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为 A. 8B. 4C. 2D. 14. 已知命题p：∂x0∈R，sin x0≥1，则有 A. ¬p：x0∈R，sin x0<1B. ¬p：∀x0∈R，sin x0<1C. ¬p：∀x0∈R，sin x0≤1D. ¬p：∀x0∈R，sin x0>15. 如图，程序框图输出的S是20，则判断框内应是 A. n≤6?B. n≤5?C. n≤4?D. n≤3?6. 设集合A=x,y x+y+2≤0,y−2x−5≤0，元素3sinα,cosπ2−α ∈A，0≤α<2π，则sinα的取值范围是 A. −12,1 B. −1,1 C. −12,12D. −1,−127. 有科学讲座三场，文学讲座与历史讲座各一场，要安排这不同的五场讲座从星期一至星期五这五天举行（每天一场），要求星期二和星期三都是科学讲座，则不同的安排方法数是 A. 18B. 36C. 72D. 1208. 函数 y =1ln x +1的图象大致是 A. B.C. D.9. 设函数 f x = −x 2+ a −2 x +a 的定义域为非空集合 A ，设 g x =e x −x 2+ax ，下列有关 g x 的说法正确的是 A. g x 在 A 上既无最大值也无最小值B. g x 在 A 上有最大值无最小值C. g x 在 A 上有最小值无最大值D. g x 在 A 上既有最大值也有最小值10. 设非零向量 x ，y ，z ，满足 x +y = x −y ，且 x = y = x +y +z =1，则 x⋅z x的取值范围是 A. 0,2 B. 1−22,1+22C. 0, 2D. 1,2二、填空题（共5小题；共25分） 11. 在 x −1x 5的展开式中含 x −2 项的系数是（用数字作答）． 12. 计算化简：4−12log 225−2log 25log 210+log 2210 = （用数字作答）．13. 在等比数列 a n 中，若 S 7=14，正数 a ，b 满足 a +b =a 4，则 ab 的最大值为．14. 设集合 A = x ,y 3x −y +2≥0,x ≤4,y ≥5，则集合 A 中满足 y x ≤72的概率是．15. 规定函数 y =f x 图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数 y =f x 的“中心距离”，给出以下四个命题：以下命题是真命题的是．（写出所有其命题的序号） ①函数 y =1x 的“中心距离”大于 1；②函数 y = 2的“中心距离”大于 1；③若函数 y =f x x ∈R 与 y =g x x ∈R 的“中心距离相等”，则函数 L x =f x −g x 至少有一个零点；④f x 是其定义域上的奇函数，是它的“中心距离”为 0 的充分不必要条件．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设函数 f x =a ⋅b ，a = 2cos x ,1 ，b= cos x , 3sin2x ．（1）求 f x 最小值；（2）若在 △ABC 中，满足 f A =2，a =2，且 a cos B +b cos A =c sin C ，求 S △ABC ．17. 四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，AA 1⊥底面ABCD ，且 ABCD 是菱形，AB =BC =2，AA 1=4，∠ABC =60∘．（1）求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）若 E 是棱 CC 1 的是中点，求二面角 A 1−BD −E 的余弦值．18. 甲、乙两校参加科普知识大赛，每校派出 2 人参赛，每人回答一个问题，答对者为本校赢得 2分，答错的零分，假设甲校派出的 2 人每人答对的概率都为 34，乙校派出的 2 人答对的概率分别为 12，23，且各人回答正确与否相互没有影响，用 X 表示甲校的总得分．（1）求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）事件 A ：甲、乙两校总分和为 4，事件 B ：甲校总得分不小于乙校总得分，求 P AB ．19. 设 f x =x 3−2x 2+2x ，g x =a 10cos x +1 ．（1）求 f sin x 的值域；（2）若 ∀x 1∈ −1,0 ，∂x 2∈ 0,π2 ，使得 f x 1 +g x 2 =2 成立，求 a 的取值范围．20. 数列 a n 的前 n 项和为 S n =n n +1 ，正项数列 b n 满足 b n +2=b n +12b n，且 b 1b 3=4，b 4=8．（1）求数列 a n ， b n 的通项；（2）数列 c n 满足 c n =S 2n 4b n，若 c 1c 2⋯c n 取得最大值时，求 n 的值．21. 设函数 f x =ln x ，g x =ax a >0 ．（1）当 a =2 时，求 x =f x +g x 的最小值；（2）若 x =f x +g x ，在 0,+∞ 上有两个不同的零点，求 a 的取值范围；（3）证明： 1k n k =1>n ln 2e 2−12ln n ! ．答案第一部分1. B 【解析】复数i1−i =i1+i1−i1+i=−1+i2对应的点为 −12,12．2. B 【解析】由B中的不等式x ≥2，得到x≥2或x≤−2，所以B=−∞,−2∪2,+∞，因为全集R，A=0,1,2,3,4，所以∁R B=−2,2，则A∩∁R B=0,1．3. C 【解析】根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S底面=12×2×1=1，棱柱高为 =2；所以棱柱的体积为S棱柱=S底面⋅ =1×2=2．4. B 【解析】因为p为特称命题，所以根据特称命题的否定是全称命题，得到¬p：∀x0∈R，sin x0<1．5. C【解析】经过n次循环，计算S=2+4+⋯+2n=2+2n2×n=n×n+1，所以程序进行了四次运行，所以判断框内应是S<20，或n≤4．6. D 【解析】由3sinα,cosπ2−α =3sinα,sinα，因为3sinα,sinα∈A=x,y x+y+2≤0,y−2x−5≤0，所以4sinα+2≤0,−5sinα−5≤0,即−1≤sinα≤−12．所以sinα的取值范围是 −1,−12．7. B 【解析】第一步，首先从科学讲座三场任选2场排在星期二和星期三，有A32，第二步科学讲座，文学讲座与历史讲座各一场任排在星期一，星期四，星期五，有A33，则不同的安排方法共有A32⋅A33=36种．8. A 【解析】函数f x=y=1ln x +1的定义域为 −∞,−1e∪ −1e,0∪0,1e∪1e,+∞ ，四个图象均满足；又因为f−x=1ln −x +1=1ln x +1=f x，故函数为偶函数，故函数图象关于y轴对称，四个图象均满足；当x∈0,1e 时，y=1ln x +1=1ln x+1<0，可排除B，D答案；当x∈1e ,+∞ 时，y=1ln x +1=1ln x+1>0，可排除C答案．9. D 【解析】因为函数f x= −x2+a−2x+a的定义域为非空集合A，故在集合A上，−x2+a−2x+a≥0，因为g x=e x−x2+ax，所以gʹx=e x−x2+a−2x+a≥0在A上恒成立，故g x在A上单调递增，故g x在A上既有最大值也有最小值．10. A【解析】因为x+y=x−y，所以两边平方，得x2+2x⋅y+y2=x2−2x⋅y+y2，所以x⋅y=0，因为x=y=1，所以设x=1,0，y=0,1，z=m,n，所以x+y=1,1，因为x+y+z=1，所以m+12+n+12=1，所以向量z的终点组成的轨迹是一个以−1,−1为圆心，以1为半径的圆，设x与z的夹角为θ，所以则x⋅zx=z cosθ，z cosθ的几何意义为：向量z在向量x方向上的投影，其绝对值z cosθ ∈0,2，所以x⋅zx∈0,2．第二部分11. −10【解析】设x−1x 5的二项展开式的通项为T r+1，则T r+1=C5r⋅x 5−r⋅ −1x r=−1r⋅C5r⋅x5−r2−r，令5−r2−r=−2，得r=3，所以x−1x 5的展开式中含x−2项的系数是−13⋅C53=−10．12. 1213. 1【解析】设等比数列a n的首项为a1，公比为q．因为S 7=14=a 43+a 42+a 4+a 4+a 4q +a 4q 2+a 4q 3=a 4 1+q 3+1+q 2+1+q +1≥a 4× 2+2+2+1 ,所以 a 4≤2．因为正数 a ，b 满足 a +b =a 4，所以 2≥a 4=a +b ≥2 ab ，解得 ab ≤1，当且仅当 a =b =1 时取等号，此时 ab 的最大值为 1． 14. 67【解析】作出不等式组对应的平面区域，对应的区域为 △ABC ，满足 y x≤72对应的平面区域为 △ACD ，其中 A 4,5 ，当 x =4 时，y =3x +2=14，即 C 4,14 ，当 y =5 时，由 3x −y +2=0 得 x =1，即 B 1,5 ，当 y =5 时，由 yx =72 得 x =107，即 D 107,5 ，则集合 A 中满足 y x≤72 的概率是S △ACDS △ABC=12AD ⋅AC12AB ⋅AC =AD AB=4−1074−1=187=6.15. ①【解析】①在函数 y =1x的图象上任取一点 P a ,b ，则 a =1b，所以点 P a ,b 到原点距离 d = a 2+b 2=1b +b 2≥ 2>1，所以函数 y =1x 的“中心距离”大于 1，故①正确；②因为函数 y = 5−4x −x 2 上的点 1,0 到原点距离 d 1=1，所以函数 y = 2的“中心距离”大于 1 不正确，故②错误；③因为函数 y =f x =1 与 y =g x =−1 的“中心距离相等”，L x =f x −g x =2 没有零点，所以函数 L x =f x −g x 至少有一个零点不正确，故③错误； ④由①知奇函数 y =1x 的“中心距离”是第三部分16. （1）由题意可得f x =a ⋅b=2cos 2x + 3sin2x=1+cos2x + 3sin2x=1+2sin 2x +π.所以当 sin 2x +π6 =−1 时，f x 取最小值 −1．（2）由（1）知 f A =1+2sin 2A +π6 =2，化简可得 sin 2A +π6 =12，因为 0<A <π，所以 π6<2A +π6<13π6，所以 2A +π6=5π6，解得 A =π3，又因为 a cos B +b cos A =c sin C ，结合正弦定理可得 sin A cos B +sin B cos A =sin 2C ，由两角和的正弦公式可得 sin A +B =sin 2C ，即 sin C =sin 2C ，因为 0<C <π，所以 sin C ≠0，所以 sin C =1，所以 C =π2，所以 B =π6，在 Rt △ABC 中，a =2，b =2 33，所以 S △ABC =12ab =2 33．17. （1）在四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，因为 AA 1⊥平面ABCD ，所以 AA 1⊥BD ，因为平行四边形 ABCD 中，AB =BC ，所以 AC ⊥BD ，因为 AA 1∩AC =A ，所以 BD ⊥平面ACC 1A 1．（2）连接 A 1O ，EO ，A 1E ，因为在四棱柱中，底面 ABCD 是菱形，且 E 是棱 CC 1 的中点，所以 A 1B =A 1D ，EB =ED ，又因为 O 是 BD 的中点，所以 A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，所以 ∠A 1OE 是二面角 A 1−BD −E 的平面角，因为四棱柱中，AA 1⊥平面ABCD ，AB =BC =2，AA 1=4，所以 A 1O = 17，EO = 5，A 1E =2 2，所以在 △A 1OE 中，cos ∠A 1OE =A 1O 2+EO 2−A 1E 22A 1O⋅EO=2 17⋅ 5=7 8585，所以二面角 A 1−BD −E 的平面角的余弦值为 7 8585．18. （1） X 的取值为 0，2，4，则P X =0 =C 20⋅ 14 2=116， P X =2 =C 21⋅34⋅14=38，P X =4 =C 22⋅ 34 2=916．X 的分布列X 024P11638916EX =0×116+2×38+4×916=3．（2）事件 AB 为如下两个互斥事件的和事件：事件 C ：甲校总得分为 4 分，乙校总得分为 0 分；事件 D ：甲校总得分为 2 分，乙校总得分为 2 分． P C =916⋅12⋅13=332，P D =38⋅ 12⋅13+12⋅23 =316，所以 P AB =P C +D =332+316=932． 19. （1）令 t =sin x ，则 t ∈ −1,1 ，所以 f t =t 3−2t 2+2t ，所以fʹt=3t2−4t+2=3 t−232+23>0，则函数f t在−1,1上单调递增，所以当t=−1时，f x取得最小值−5，当t=1时，f x取得最大值1；所以f sin x的值域为−5,1．（2）因为fʹt=3t2−4t+2>0，所以f x在−1,0上单调递增，又f−1=−5，f0=0，则f x在−1,0上的值域为−5,0；由x∈0,π2得，1≤10cos x+1≤11，因为∀x1∈−1,0，∂x2∈0,π2，使得f x1+g x2=2成立，所以f x1的值域是2−g x2的值域的子集，当a>0时，g x2∈a,11a，2−g x2∈2−11a,2−a，所以2−11a≤−5, 2−a≥0, a>0,解得711≤a≤2；当a=0时，显然不符合题意；当a<0时，g x2∈11a,a，2−g x2∈2−a,2−11a，所以2−a≤−5,2−11a≥0,a<0,无解；综上，a的取值范围是711,2．20. （1）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n n+1−n−1n=2n，知a1=2满足该式，所以数列a n的通项公式为a n=2n，因为b n满足b n+2=b n+12b n，所以b n是等比数列，设其公比为q，且q>0，所以b1q3=8, b12q2=4,解得b1=1，q=2，所以b n=2n−1．（2）c n=S2n4b n =n2n+12>0，要使c1c2⋯c n取得最大值，只需求c n不小于1时的最大n值，因为c n+1−c n=n+12n+32−n2n+12=−2n2+3n+32，当n=1,2时，c n+1>c n，当n≥3时，c n+1<c n，即 c 1<c 2<c 3>c 4>c 5>⋯ 因为 c 1=32>1，c 4=94，c 5=5532>1，c 6=3932>1，c 7=105128<1，所以由数列 c n 的单调性可知， c n 的前 6 项大于 1，从第 7 项开始小于 1，所以 c 1c 2⋯c n 取得最大值时，n 的值为 6． 21. （1） a =2 时， x =ln x +2x ，则 ʹ x =x−2x 2，所以 0<x <2 时， ʹ x <0；x >2 时， ʹ x >0；所以， x 的最小值是 2 =ln2+1．（2） x =ln x +ax ，则 ʹ x =x−a x ，所以 x ∈ 0,a 时， ʹ x <0；x ∈ a ,+∞ 时， ʹ x >0；所以 x =a ， x 取最小值 a =ln a +1，因为 x 在 0,+∞ 有两个不同的零点，所以 ln a +1<0，所以 0<a <1e ．（3）要证 1k n k =1>n ln 2e2−12ln n ! ；即证：1+12+13+⋯+1n>n ln 2+12−12 ln1+ln2+ln3+⋯+ln n ，由（1）知：x >0 时，ln x +2x ≥ln2+1，当且仅当 x =2 时取“=”．所以 12ln x +1x ≥ln 2+12，即：1x ≥ln 2+12−12ln x ；所以 1>ln 2+12−12ln1，12≥ln 2+12−12ln2，13>ln 2+12−12ln3，⋯，1n >ln 2+12−12ln n ，以上各式相加得： 1k n k =1>n ln 2+12−12ln n ! ．。

2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见

数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １０． C １１． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９分０ ( 二㊁填空题 : 每小题５分 , 共２０分) ２ n １３．㊀㊀１４．３２．８; ㊀㊀１５．４; ㊀㊀１６．．－２; n ＋１ ( 三㊁解答题 : 共７０分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有１７． Ⅰ) E C 中, ．＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝７, ３３ B E ��s i n B ２２１ ʑ s i n øB C E＝．＝＝ C E １４７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２３５７２ ʑc o s øD E A ＝１－s i n øD E A ＝１－＝．２８１４第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分) ６． C; １２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２＝ C E２＋D E２－２ C E��D E�� c o s øC E D ＝７＋２８－２ˑ ７ ˑ２７ ˑ ( －
当 x ＝５７０时, ３ˑ５７０＋４３３．２＝６０４．２． y ＝０．
��１０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第㊀共５页) １页(
��１特征量 y 的估计值为６ ʑ 当 x ＝５７０时, ０４．２．２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ．１９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝＝＝． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ��４分 ʑGM ��E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形． ʑG E ʊ MF ．又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ��６分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F．以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１２, ０, ０) , B (３, ０, ４３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝９００ E B ＝ (３, ４３) ．－４, 设平面 E B F 的法向量n１＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１＝０ n ��E F ＝０, ９由１得． ң ３ x１－４ z１＝０ �� y１＋４３ n１ E B ＝０ ��８分取 y１＝３ , 得 n１＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４３) ．－４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２＝ ( x２ , z ． y２２ ң ３ x ４ �� －＝０２２ y n F C ＝０, 由２得． ң x２－４ z２＝０－６ y２＋４３ n２ ��F B ＝０ ��１取 x２＝４, 得 n２＝ (４, ０分３, ３３) ． n１ �� n２０ˑ４＋３ ˑ３＋１ˑ３３６３３３９ ʑ c o s＜ n１ , n２＞＝．＝＝＝ n１ | n２ | ２６ | | ２ˑ １６＋９＋２７２ˑ２１３ ��１１分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,

2014年全国高考四川省数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d< C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)

2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。

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§21.2 二次根式的乘除（三）
一、1.D
二、１． x
三、１.（１）1 （２）10
§21.3 二次根式的加减（一）
一、1.C 2.A
2.A
2 ２.
3.C
3
3
,
3.B
3 2x ,
2. x 3 3
二、１.（答案不唯一，如： 20 、 45 ）２. 3 ＜ x ＜ 3 3 ３. 1
三、１.（１） 4 3 （２） 16 2 （３）2 （４） 3 3
一、1.B
二、1. 1
2.D
2. -3 3. -2
3.B
∴
x1
三、1.（1） x1 5 ， x2 5 （2） x 1 2 （3） x1 x2 1 （4）没有实数
根
2.（1） 2x 1 4, 2x 1 4 4x. x 1 . 经检验 x 1 是原方程的解.
（3） y1 1，y2 13 （6） x1 9 ， x2 2
2m 112 4m 1 3m2 2 ，整理得 3m2 6m 0
（2） x1 2- 1，x- 12 2
（4） x1 7，x2 2
2.∵ x1 x2 2 ∴ m 2 原方程为 x2 2x 3 0 解得 x1 3 ， x2 1
（2）∵ x1 x2 k ， x1 x2 1，又 x1 x2 x1 x2 ∴ k 1 ∴ k 1 §22.3 实际问题与一元二次方程（一）
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

四川省凉山州高三数学第二次诊断性检测试题理新人教A版

数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0 5毫米黑色签字笔书写在答题}的对应框内，超山答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求）1．设集合A={x|| x|>2}，B={x|x 2－2x －3<0}，则A B=（）， A ．（一∞，-2）（-1,+∞） B ．（-1,3） C ．（2,3） D ．（-1,2） 2．命题p ：x ∀∈R，x 2－3≤0，则⌝p 是（）A ．x ∀∈R,x 2－3>0B ．x ∀∈R, x 2－3≥0C ．∃x∈R，x 2－3≤0D ．∃x∈R，x 2－3>03．递增等比数列{a n }中，a 2+ a 5=9，a 3a 4=18，则20132010a a =（） A ．12B ．2C ．4D ．84．若x 、y 满足613x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（）A ．5B ．4C ． 3D ．15．执行如图程序框图，输出结果是（） A ．1 B ．2C ．12D ．46．某几何体三视图如图所示，则其体积为（） A ．2π B ．4π C ．π+2 D ．π+6 7．函数f （x ）=cosx cos （2π+x ）+x 的零点的个数为（） A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 38． A 、B 是抛物线x 2=y 上任意两点（非原点），当OA ·OB 最小时，O A 、OB 两条直线的斜率之积k OA k OB 的值为（）A ．12B ．-12C ．3D ．-39．设集合12345{,,,,}A a a a a a =，记()n A 是i j a a +的不同值的个数，其中i ，j {1,2,3,4,5}∈且i j ≠，()n A 的最大值为k ，()n A 的最小值为m ，则mk=A ．45B ．710C ．35 D ．1210．图1是边长为1的菱形，∠DAB= 60o，现沿BD 将△ABD 翻折起，得四面体A′－ BDC （图2），若二面角A′－BD －C 的半面角为α（0<a<π），给出以下四个命题：（1）BD⊥A'C；②A'C 的长的范围是（0，3）；③当A'B⊥DC 时，则cos 13α=； ④当四面体A'－BDC 体积最大时, A'－BDC 的外接球的表面积是53π．其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）11．复数2()3(a i bi i +=+为虚数单位，,)a b R ∈，则ab= 。

2014四川高考数学试卷(理工类)及部分参考答案

2x 2 f x ; 2 1 x
3 f x 2 x . ○
其中的所有正确命题的序号是（
C
） 1
诗蜀博士特教育
预祝四川学子金榜题名
2 ○ 3 （B）○ 1 ○ 3 （C）○ 1 ○ 2 （D）○
1 ○ 2 ○ 3 （A）○
10、已知 F 为抛物线 y 2 x 的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， OA OB 2 （其中 O 为坐标原点），则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是（（A）2 （B）3 （C）第Ⅱ卷
6 ,1 3
（C）
6 2 2 , 3 3
（D）
2 2 ,1 3
第8题图
9、已知 f x ln 1 x ln 1 x ,x 1,1 ，现有下列命题：
1 f x f x ; ○ 2 f ○
诗蜀博士特教育
预祝四川学子金榜题名
2014 年全国普通高等学校招生统一考试数
第Ⅰ卷（选择题共 50 分）注意事项：必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。一、选择题. 1、已知集合 A {x x x 2 0} ，集合 B 为整数集，则 A
2
学（四川卷理工类）
(ii)
当
TF 最小时，求点 T 的坐标. PQ
21．（本小题满分 14 分）已知函数 f x e ax bx 1 其中 a,b R,e 2.71828
x 2
为自然对数的底数．
（Ⅰ）设 g x 是函数 f x 的导函数，求函数 g x 在区间 0 ,1 上的最小值；（Ⅱ）若 f 1 0 ，函数 f ( x) 在区间 0,1 内有零点，求 a 的取值范围．

2014年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学试题及答案解析(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一. 选择题1. 已知集合2{|20},A x x x B =--≤集合为整数集，则A B =（ A ）A ．{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数的为（ C ） A ．30 B.20 C.15 D.10 解析：即求6226(1)15x x C +=中的系数为.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ A ）A.向左平移12个单位长度 B.向右平移12个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度解析：1sin(21)=sin 2()2y x x =++，将sin 2y x =向左平移12个单位长度. 4.若0,0,a b c d >><<则一定有（ D ）A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c<解析：（1）特殊值法：取2,1,2,1a b c d ===-=-即可；（2）利用不等式的性质：110,0,c d c d d c<<∴->->->- 又0,0,a b a ba b d c d c >>∴->->∴<5.执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ C ） A ．0 B.1C ．2 D.3解析：本题将程序框图和线性规划结合起来，有一定的新颖性，摆脱了传统的线性规划考题模式，关键是能够理解程序框图表达的含义，将原题转化为：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求解2S x y =+的最大值. 作图易知，S 在(1,0)处取得最大值2.6.六个人从左自右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有（ B ） A ．192种 B. 216种 C ．240种 D.288种解析：由甲，乙的位置分两种情况：（1）最左端排甲，有5!120=种；（2）最左端排乙，有44!96⨯=种. 共120+96=216种. 7.平面向量(1,2),(4,2),a b c ma b ===+，且c a c b 与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：==a cb cc a c b a b⋅⋅⇔与的夹角与的夹角 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BDαα的夹角为，则sin 的取值范围是（ B ）A.3B. 3C.3D. [,1]3结束输出S S=1S=2x+y否是x≥0，y≥0,x+y≤1？输入x,y开始C解析：设棱长为1，则11111AC AC AO OC OC =====所以1111111cos ,sin 333AOC AOC AOC AOC ====. 9.已知()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-. 现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x=+；③()2f x x ≥ 其中所有的正确命题序号是（ C ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 解析：①()()f x f x -=-显然成立；②左边22()1xf x+中的x 只是不能为1，右边()f x 中的(1,1)x ∈-，故不对；③由于左右两边均为偶函数，只需判断()2,(0,1)f x x x ≥∈即可，记()()2,(0,1)g x f x x x =-∈，则22'()20,(0,1)1g x x x =->∈-，故()(0)0g x g >=，于是③成立.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=. 则ABO AFO ∆∆与面积之和的最小值是 A ．2 B.3D.10 解析：由题意得22112211221(,0),(,),(,),,,4F A x y B x y y x y x ==设则由2OA OB ⋅=得，22121212122x x y y y y y y +=+=，于是1221y y =-或，又点,A B 位于x 轴的两侧，故122y y =-. 所以2212211122111111122428ABO AFO S S x y x y y y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯⨯=-+12111111121293888y y y y y y y y =-+=++=+≥. 注：已知原点1122,(,),(,)O A x y B x y ，设过点A ，B 的直线斜率为k ，则直线AB 为211121()y y y x x y x x -=-+-，所以1112122122111222ABOx y S x x y x yx y ∆=-=-=. 二．填空题11.复数221ii-=+2i-12.设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f=113.从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的府角分别是67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于60 m(四舍五入将结果精确到个位.参考数据：sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos37 1.73≈≈≈≈≈) 解析：解三角形的实际问题，利用正弦定理即可.14.设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y，则PA PB⋅的最大值是 5解析：由题意得(0,0),(1,3)A B，消去m得P点方程为：2230x y x y+--=上，所以点P 在以AB为直径的圆上，且PA PB⊥，故222522PA PB ABPA PB+⋅≤==.15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()xϕ组成的集合：对于函数()xϕ，存在一个正数M，使得函数()xϕ的值域包含于区间[,]M M-. 例如，当312(),()sinx x x xϕϕ==时，12(),()x A x Bϕϕ∈∈. 现有如下命题①设函数()f x的定义域为D，则“()f x A∈”的充要条件是“,,()b R a D f a b∀∈∃∈=”；②函数()f x B∈的充要条件是()f x有最大值和最小值；③若函数(),()f xg x的定义域相同，且(),(),f x Ag x B∈∈则()()f xg x B+∉；④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中证明题有_________________________解析：①集合A 的特点是：函数是满射；②()x ϕ一定有上下确界，不一定有最值； ③正确；④要使函数()f x 取到最大值，则必有0a =，故2()1xx B x =∈+. 三．解答题16.已知函数()sin(3)4f x x π=+（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2,cos sin 354f απαααα=+-求的值. 解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为：22[,],34312k k k Z ππππ-+∈；（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+整理得25(cos sin )4αα-=，又α是第二象限角，所以cos sin 0αα-<，故cos sin 2αα-=-. 17.击鼓游戏规则如下，每盘游戏都需要击鼓三次，没次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获10分，出现2次音乐获20分，出现三次音乐获100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）. 设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发. 若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少. 请运用概率统的相关知识分析分数减少的原因.解析：（1）X 的可能取值为-200，10，20，100，所以X 的分布列为(2) 至少有一盘出现音乐的概率是311()8-=511512；（3）54EX =-，说明获得分数X 的均值为负，因此多次游戏后分数减少的可能性更大. 18.三棱锥A BCD -及其侧视图，俯视图如图所示. 设,M N 分别为线段,AD AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.俯视图11侧视图1BC（1）证明：P 是线段BC 的中点；（2）求二面角A NP M --的余弦值.519.设等差数列{}n a 的公差为d,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上（*n N ∈）（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若11a =，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n nab 的前n 项和n T . 解析：点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上，∴ 2n an b =（1）点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，∴8742ab =，即872722a a b -==，所以87872,2a a d a a -==-=，故{}22n a -是首项为，公差为的等差数列.因此，2(1)2232n n n S n n n -=-+⨯=-；（2）由'()2ln 2xf x =得，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线为：2222ln 2()a y x a b =-+，其在x 轴上的截距为：22221122ln 2ln 2ln 2a b a a -=-=-，所以22a =，故{}11n a 是首项为，公差为的等差数列，=,2n n n a n b =由=2n n n a nb 得，12311231++++22222n n n n n T --=⋅⋅⋅+ ①234111231++++222222n n n n nT +-=⋅⋅⋅+ ② ①-②得，12311111[1()]11111222++12222222212n n n n n n n n n T +++-+=+⋅⋅⋅+-=-=-- 所以222n n nT +=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的的一个端点构成正三角形，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点， T 为直线x=-3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，（i ）证明：OT 平分线段PQ ；（ii ）当TP PQ最小时，求点T 的坐标.解析：（1）由题意得24,c a ==，解得a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=；21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围. 解：（1）()'()2,[0,1],'()2xxg x f x e ax b x g x e a ==--∈=-则当0a ≤时，'()0g x >，min ()(0)1g x g b ==-；当0a >时，令'()0g x =得ln 2x a =,(i)当10ln 202a a <≤≤时，，()g x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)1g x g b ==-；（ii ）当1ln 2122ea a <<<<时，0，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以min ()(ln 2)2(ln 2)g x g a ab a a ==--；（iii ）当ln 212ea a ≥≥时，，()g x 在[0,1]上单调递减，所以 min ()(1)2g x g e a b ==--.综上所述，min11,21()2(ln 2),222,2b a e g x a b a a a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =得，1b e a =--注意到(0)(1)0f f ==，()f x 在区间[0,1]内连续， (i)当102a <≤时，min ()120g x b a e =-=+-<；。

2014届四川省凉山州高三第二次诊断性检测理科数学试题 (含答案详解)

启用前☆请保密【考试时间：2014年3月15日下午15:00~17:00】凉山州市高中2014届毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第I 卷（选择题 50分）一、选择题（共10个小题，每小题5分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合要求）1.设集合{}0432≥+-=x x x A ，集合{}1log 2＞x x B =，则=⋂B C A B （）A. ()2-，∞ B.(]2-，∞ C.()2,0 D.(]2,0 2.若命题p ：,N n ∈∃使20142＞n，则p ⌝为（）A.,N n ∈∃20142≤nB.,N n ∈∃20142≥nC.,N n ∈∃20142≤nD.,N n ∈∃20142＜n3.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1的球体的表面积是（）A.21+B.222+C.31 D.22+4.从500张100元，3张200元，2张300元的冬奥会门票中任选3张，则3张相同的门票价格的概率是（）A.41 B.12079 C.43 D.24235.如图所示的程序框图，如果输入135,225==n m ，那么输出的值为（） A.45 B.5 C.15 D.906.函数x x x f sin 3log )(2-=的零点个数为（）A.4B.3C.2D.17.若21F F 、是双曲线15422=-y x 的两个焦点，点P 是该双曲线上一点，满足921=+PF PF ,则=∙21PF PFA.4B.5C.425D.2 8.若顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴的钝角α的终边与圆222=+y x 相交于()11,y x A ，射线OA 绕点O 顺时针旋转30°后，与圆222=+y x 相交于()22,y x B ，当21x x -有最大值时，=αcos （）A.23-B.22-C.426-D.462- 9.设集合()(){}0ln 412＜n n x x x A n +---=，当n 取遍区间()3,1内的一切实数，所有的集合n A 的并集是（）A.()3ln 131-， B.()61， C.()∞+，1 D.()21， 10.设函数()02)(22≠--=ab x b a x f ,当11≤≤-x 时，()0≥x f 恒成立，当ba 34+取得最小值时，a 值为（）A.2B.3C.2±D.3±第II 卷（非选择题 100分）二、填空题（每小题5分，共5个小题，满分25分）11.若Z 是纯虚数，且2=z ，则=Z _______________. 12.在()20-1x的展开式中，系数为有理数的项共有________项.13.已知()y x P ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤03211y x y x ，则点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为_____________.14.设函数()[]()2,2,02sin 2)(2-≥∈+=a x xax x x g π的值域为[]0,2-，则实数a 的值为_____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()....3,2,12,111===+n S a a n n ，给出下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n S 是等比数列;③∃常数0＞c ，使()+=∈≤∑N n c a ni i11恒成立；④若()()....3,2,10223=≥+-n a S n n γ恒成立，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∈310-，γ.以上命题中正确的命题是__________________（写出所有正确命题的序号）. 三、解答题（共6个小题，满分75分）16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且,11=a 又1,4,1332--+a S a 成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}12log ++n n a a 的前n 项和.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A,B,C 所对应边分别为c b a ,,，且a Ab B A a 2cos s in s in 2=+.（I ）求ab的值；（II ）若A,B,C 成等差数列，求C cos 的大小. 18.（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -，平面11ABB A ⊥平面ABC ，21==AB AA ,︒=∠601AB A ，2==BC AC .O,E 分别是1,CC AB 中点.（I ）求证：//OE 平面B C A 11;（II ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的大小.19.（本小题满分12分）在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如下统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[)90,85的学生通过自身努力能达到最低期望分数.（I ）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；（II ）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；（III ）设考试成绩在[)90,85的学生成绩如下：80,81，83，84，86，89，从分数在[)90,85的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为ξ,求ξ的分布列和期望.20.（本小题满分13分）设非零平面向量n m ,,(),=θ,规定θ=⊗.21F F ，是椭圆:C ()012222＞＞b a b y a x =+的左、右焦点,点N M ,分别是其上的顶点，右顶点，且26=⊗,离心率31=e（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点2F 的直线交椭圆C 于点B A ,，求：⊗的取值范围.21.（本小题满分14分）设函数ax x x f +=ln )(.（I ）当1-=a 时，求)(x f 的最大值；（II ）若)(x f 在定义域上恒为增函数，求a 取值范围；（III ）设B A ,是函数图像上任意两点，AB 的中点为M ，若直线l 是)(x f y 的切线，且切点为N ,且MN l //，证明：MN 与x 轴不可能垂直.。

四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题(含解析)

四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1i z =+，则||zz =（）A ．12B ．1C D ．22．已知集合{}1,11A y y x x ==+-≤≤，{}B x x a =≤，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为（）A ．[]0,2B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞3．已知()2,2A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．32C ．2D ．524．已知()21,X N σ ，且()()12P x a P x ≤-=≥，则在)52a 的展开式中，2x 的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题“R x ∀∈，()2sin π2cos 0x x m +++≤”是假命题，则m 的取值范围为（）A ．[)2,-+∞B ．()2,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],2-∞-6．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（）A ．35B ．45C ．925D ．12257．已知正数,a b 满足e112a b dx x +=⎰，则2ab a b+的最大值为（）A B ．C D ．18．若曲线y =在1x =处的切线与圆C ：224x y +=交于A ，B 两点，则AB 为（）A B ．C D 9．若实数x ，y 满足不等式2x y +≤，则221x y +≤的概率为（）A ．π8B ．π6C ．π4D ．π310．已知在三棱锥-P ABC中，PA =2PB PC ==，底面ABC 是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．3πB ．13π3C ．4πD ．6π11．若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知点(),P x y 是曲线2y x =）ABCD二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=，4950a a =，则6S = ．14．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+，则A = ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，且6BE =，3BF =，π,3BE BF 〈〉= ，则平行四边形ABCD 的面积为．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．点A 在C 上，点B 在y 轴．()211F A F A OA OB =⋅-，225F A BA = ，则C 的渐近线方程为．三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，6387S S =．(1)求n a ；(2)设12log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家．“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立．某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论．现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分）物理成绩x636874768590数学成绩y909511110125130(1)经过计算，得到学生的物理学习成绩x 与数学学习成绩y 满足回归方程1.5ˆyx m =+．若某位学生的物理成绩为95分，请预测他的数学成绩；(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于100分的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求二面角F CD B --的正切值．20．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知1F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点，且椭圆C 的面积为，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点(),0A t ，()1t >-，以1F A 为直径的圆与椭圆C 在x 轴上方交于M ，N 两点，求()1111F M F N t ++的值21．已知函数()sin f x x a x =+．(1)若函数()f x 在R 上是增函数，求a 的取值范围；(2)设()1sin ln 2g x x x x =--，若()()()1212g x g x x x =≠2<．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22222121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线1l的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)若与直线1l 垂直的直线2l 交曲线C 于A ，B 两点，求AB 的最大值．23．已知函数()f x x =．(1)求不等式()ln 1f x ≤的解集；(2)若函数()()()1g x f x f x =--的最小值为m ，且正数a ，b ，c 满足20a b c m +++=，求2222a b c ++的最小值．参考答案：1．B【分析】根据给定条件，先利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模.【详解】复数1i z =+，则1i z =-，1i (1i)(1i)2i i 1i (1i)(1i)2z z +++====--+，所以||1z z =.故选：B 2．B【分析】求出函数值域化简集合A ，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.【详解】集合{}1,11[0,2]A y y x x ==+-≤≤=，而(,]B a =-∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，则2a ≥，所以a 的取值范围为[)2,+∞.故选：B 3．D【分析】由抛物线上的点可求得p ，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果.【详解】()2,2A 在抛物线C 上，44p ∴=，解得：1p =，∴抛物线准线方程为：12x =-，由抛物线定义知：点A 到C 的焦点的距离为15222+=.故选：D.4．B【分析】先根据正态分布的对称性求出a ，在利用二项式定理求2x 的系数.【详解】因为()21,X N σ ，且()()12P x a P x ≤-=≥，则122a -+=，得1a =，则))5522a=，其含2x 的项为4125C210x ⨯=，即2x 的系数为10.故选：B.5．B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题“R x ∀∈，()2sin π2cos 0x x m +++≤”是假命题，则“0R x ∃∈，()2sin π2cos 0x x m +++>”是真命题，所以()2sinπ2cos m x x >-+-有解，所以()()2min sinπ2cos m x x >-+-，又()()2222sin π2cos sin 2cos cos 2cos 1cos 12x x x x x x x -+-=--=--=--，因为[]cos 1,1x ∈-，所以()()2min sin π2cos 2x x -+-=-，即2m >-.故选：B.6．D【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有35125=种选法；若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有35A 60=种选法；则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为601212525P ==.故选：D.7．C【分析】先由e11dx x⎰得到21a b +=，然后代入2ab a b +，利用基本不等式求最值即可.【详解】ee111ln |ln e ln11dx x x==-=⎰，则21a b +=，又0,0a b >>，所以21111221ab a a a b a b a b b a b a b a ===≤++++++当且仅当2a bb a =，即a b ==时等号成立.故选：C.8．D 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线AB 的方程，再利用圆的弦长公式计算即得.【详解】由y =y '=，依题意，切线AB 的斜率为12，方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=，圆C ：224x y +=的圆心(0,0)C ，半径2r =，点(0,0)C 到直线AB的距离d =，所以||AB ===故选：D 9．A【分析】画出不等式2x y +≤表示的平面区域，同时画出221x y +≤，根据面积关系求概率.【详解】,0,0,0,02,0,0,0,0x y x y x y x y x y x y x y x y x y +≥≥⎧⎪-≥<⎪≥+=⎨-+⎪⎪--<≤⎩，作出其表示的平面区域如下图阴影部分：，则221x y +≤的概率为2π1π18442⨯=⨯⨯.故选：A.10．B 【分析】根据给定条件，证得PA ⊥平面ABC ，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.【详解】在三棱锥-P ABC中，PA =2PB PC ==，正ABC 的边长为1，则2224PA AB PB +==，即有PA AB ⊥，同理PA AC ⊥，而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，于是PA ⊥平面ABC ，令正ABC 的外心为1O ，三棱锥-P ABC 外接球球心为O，则1OO ⊥平面ABC ，显然球心O 在线段PA 的中垂面上，取PA 的中点D ，则OD PA ⊥，而1//OO PA ，则四边形1ADOO 是矩形，12sin 603OD O A AB ==⨯=所以球半径R OP ====213π4π3S R ==.故选：B11．C 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.【详解】()sin cos sin cos f x x x x x x x =-='+,当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，又ππ1022f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，()00f =，ππ1022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()π20f =-<，则()sin cos 1f x x x x =+-的草图如下：由图象可得函数()f x 的零点个数为2.故选：C.12．D【分析】10y ++=与曲线的位置关系，2=几何意义，转化为点P 与点(0,1)-10y ++=夹角正弦最值求解即可.2=10l y ++=，显然l 过点(0,1)A -，由210y y x++==⎪⎩210x ++=，显然240∆=-<，即直线l 与曲线2y x =210x ++>，则曲线2y x =上的点P 在直线l 上方，过P 作PH l ⊥于H，则||PH =，而||PA =，||22sin ||PH PAH PA =⋅=∠，令过点A 的直线与曲线2y x =相切的切点为2(,)t t ，由2y x =，求导得2y x '=，则此切线斜率2120t t t +=-，解得1t =±，即切点为(1,1)±，而点A 在曲线2y x =的对称轴上，曲线2y x =在过点A 的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点P 的坐标为(1,1)时，锐角PAH ∠最大，sin PAH ∠此时|||PH PA ==||sin ||PH PAH PA ∠==2sin PAH ∠==.故先：D【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.13．27【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出6S 的值.【详解】等差数列{}n a 中，由3510a a +=，得4210a =，解得45a =，而4950a a =，则910a =，于是数列{}n a 的公差94194a a d -==-，434a d a =-=，所以166346()3()272a a S a a +==+=.故答案为：2714．π3【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+及正弦定理得：sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin A B B A BA B B A C-+=+，而sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，则sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A BA B B A A B B A-+=++，整理得sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A B A B B A -+=+，即2sin cos sin B A B =，又sin 0B >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故答案为：π315．【分析】延长BF 与AD 的延长线交于O ，求出BEF △的面积，并探讨DEF 与OEF 面积的关系即可求出结果.【详解】在ABCD Y 中，延长BF 与AD 的延长线交于O ，连接BD ，由E ，F 分别是AD ，CD 的中点，得14ABE DBE DBF CBF ABCD S S S S S ====，则2ABCD BEDF S S = ，由//BC DO ，得F 是BO 的中点，且2OD BC AD DE ===，n 1,6321si 2EFO BEF S F S B F BE E B B 〈〉==⋅=⨯⨯13DEF EFO S S ==BEDF BEF DEF S S S =+=所以ABCD Y 的面积ABCD S = .故答案为：16．y x =【分析】先通过向量的运算得到11F B F A ⊥，设22AF m =，然后利用勾股定理得到a m =，然后在直角三角形1AF B 和三角形12AF F 中同时表示12cos F AF ∠，然后列方程求ba即可.【详解】由()211F A F A OA OB =⋅- 得()110F A F A OA OB ⋅-+= ，即110F A F B ⋅= ，所以11F B F A ⊥，设22AF m =，则由225F A BA =得2,,A F B 共线，且213F B m F B ==，又122AF AF a -=，所以122AF a m =+，在直角三角形1AF B 中，22211AB AF BF =+，所以()22225229m a m m =++，解得a m =，所以22AF a =，213F B F B a ==，5AB a =，14AF a =所以11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，又22222212121221216444cos 2165AF AF F F a a c F AF AF AF a +-+-∠===，整理得2295a c =，所以()22295a a b =+，即2245a b =，所以b a =，即C的渐近线方程为y x =.故答案为：y =.17．(1)111()22n n a -=⋅-；(2)1(1)22n n T n +=-⋅+.【分析】（1）根据给定条件，求出数列{}n a 的公比即可求出通项公式.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由6387S S =，得6338)(S S S -=-，则4561231()8a a a a a a ++=-++，即31231231()()8q a a a a a a ++=-++，而21231(1)0a a a a q q ++=++≠，因此318q =-，解得12q =-，所以111()22n n a -=⋅-.（2）由（1）知，1|(|)2n n a =，则121log ())221(2n nn n b n ==⋅，则1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，于是234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得23122222n n n T n +-=++++-⋅ 112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⋅=-⋅--，即1(1)22n n T n +=-⋅+.18．(1)138.5；(2)分布列见解析，2.【分析】（1）根据给定条件，求出样本点中心，再求出m 并作出预测.（2）求出X 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）依题意，636874768590766x +++++==，90951101101251301106y +++++==，于是110 1.576m =⨯+，解得4m =-，因此 1.54ˆyx =-，当95x =时， 1.5954138.5y =⨯-=，所以物理成绩为95分，预测他的数学成绩为138.5.（2）依题意，数学学习成绩低于100分的有2人，数学学习成绩不低于100分的有4人，因此X 的可能值为1，2，3，211224243366C C C C 13(1),(2)C 5C 5P X P X ======，032436C 1(3)C 5C P X ===，所以X 的分布列为X123P153515数学期望131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，由中位线性质可得//OE PA ，根据线面平行的判定可得结论；（2）由面面垂直性质可得PD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，令BF BP λ=，结合EF PB ⊥可构造方程求得λ，进而得到F 点坐标，利用二面角的向量求法可求得余弦值，进而得到正切值.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，四边形ABCD 为正方形，O ∴为AC 中点，又E 为PC 中点，//OE PA ∴，OE ⊂ 平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .（2）PD AD ⊥ ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，,,DA DC DP正方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,1,1BE ∴=-- ，()2,2,2BP =--，()0,2,0DC = ，设BF BP λ=，则()2,2,2BF λλλ=-- ，()22,12,21EF BF BE λλλ∴=-=--- ，EF PB⊥ ，()()()2222122210EF BP λλλ∴⋅=----+-= ，解得：23λ=，444,,333BF ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，224,,333F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，224,,333DF ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量(),,n x y z =，则20224333DC n y DF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =-，解得：2x =，0y =，()2,0,1n ∴=- ；z 轴⊥平面BCD ，∴平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =，由图形可知：二面角F CD B --为锐二面角，设其为θ，则cos n m n m θ⋅===⋅ tan 2θ∴=，即二面角F CD B --的正切值为2.20．(1)22143x y +=(2)2【分析】（1）由题意可得出：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程求出,a b ，即可得出答案.（2）求出以1F A 为直径的圆的方程，联立椭圆的方程得到1212,x x x x +⋅，表示出()1111F M F N t ++，将韦达定理代入即可得出答案.【详解】（1）由题意可得出：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）因为(),0A t ，()11,0F -，所以以1F A 为直径的圆的方程为()2221124t t x y +-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即()2210x y t x t +---=，设()()1122,,,M x y N x y ，则由()222210143x y t x t x y ⎧+---=⎪⎨+=⎪⎩，得：()2414120x t x t ---+=，所以()121241,412x x t x x t +=-⋅=-+，又1F M ==()11114422x x ==+=+，同理，1F N =()2142x +，所以()()()()11121211111448112222F M F N x x x x t t t ⎡⎤+=+++=++⎢⎥+++⎣⎦()1418222t t ⎡⎤=-+=⎣⎦+.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．(1)[1,1]-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用导数结合单调性，列出不等式求解即得.（2）由（1）的信息可得221121sin s )(in x x x x x x >>--，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即得.【详解】（1）函数()sin f x x a x =+，求导得()1cos f x a x '=+，依题意，对任意实数x ，()1cos 0f x a x '=+≥恒成立，而1cos 1x -≤≤，因此1010a a +≥⎧⎨-≥⎩，解得：11a -≤≤，所以a 的取值范围为[1,1]-.（2）函数1()sin ln 2g x x x x =--的定义域为(0,)+∞，由12)g )(g(x x =，得212121)()1ln ln (sin sin 2x x x x x x -=---，由（1）知，函数()sin f x x x =-在(0,)+∞上是增函数，不妨令210x x >>，则2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x ->-，亦即2121)()11(sin sin 22x x x x ->-，则21212111())()sin sin (22x x x x x x --->-，于是2121)1ln ln (2x x x x ->-，则21212ln ln x x x x -<-，下面证明：2121ln ln x x x x ->-21ln ln x x >-21ln x x >，令1)t t >，即证：212ln ,(1)t t t t->>，设21()2ln ,(1)t t t t t ϕ-=->，求导得22221(1)()10t t t t t ϕ-'=--=-<，则函数()t ϕ在(1,)+∞上单调递减，于是()(1)0t ϕϕ<=，即212ln ,(1)t t t t ->>2<.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.22．(1)2214x y +=；80x y +-=【分析】（1）将曲线C 的参数方程中的参数消去即可得普通方程，利用cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线2l 方程为0x y t -+=，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式及韦达定理求最值.【详解】（1）对于曲线C 的参数方程22221t x t -=+，则()22242222121411x t t t t t ⎛⎫--+== ⎪+⎝⎭+，又()222241t y t =+，所以()()()24224222222222142114111x t t t t t y t t t -++++=+==+++，即曲线C 的普通方程为2214x y +=；又根据cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩，可得cos cos sin 04x y πρθθθ⎛⎫--=-=-= ⎪⎝⎭，即直线1l 的直角坐标方程为80x y +-=；（2）设与直线1l 垂直的直线2l 方程为0x y t -+=，()()1122,,,A x y B x y ，联立2214x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2258440x tx t ++-=，则()226420440t t ∆=-->，解得205t ≤<，则AB ===，当20t =时，AB取最大值.23．(1)1[,e]e；(2)85.【分析】（1）结合对数函数单调性，利用公式法解含绝对值符号的不等式即得.（2）由绝对值的三角不等式求出m ，再利用柯西不等式求出最小值即可.【详解】（1）依题意，1(ln )1|ln |1ln 1x f x x ≤⇔≤⇔-≤≤，解得1e e x ≤≤，所以不等式(ln )1f x ≤的解集为1[,e]e.（2）依题意，函数()|||1|x x g x =--，而1||||1|||(1)|x x x x -≤---=，当且仅当(1)0x x -≥时取等号，因此当0x ≤时，函数()g x 取得最小值1-，即12,m a b c =-++=，所以22222222222[)]115][a b c a c ++=++++22228(11)()555a c a b c ≥⋅⋅=++=，当且仅当42,55a cb ===时取等号，所以当42,55a c b ===时，2222a b c ++取得最小值85.。

2014年四川高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科综合能力测试第I卷（选择题,共126分）本试卷分第I卷（选择題）和第n卷(非选择題）两部分，第I卷1-3页，第II卷4-8页。

满分300分,考试时间150分钟。

考试结束将机读答題卡和第II卷答题卷一并收回。

注意事项.1. 答題前：考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔分别填写在机读答超卡和笫II卷答題卷上2. 选备题使用2B铅笔填涂在机读答题卡对应超目标号的位里上，并将考号和科目填涂，其它试题用0.5毫米黑色签字笔书写在第II卷答題卷对应題框内，不得超越題框区城。

在草稿纸或试卷上答題无效。

3. 考试结束后,监考人员将机读答題卡和第II卷答題卷分别收回并装袋。

可能用到的相对原子质量:H—1 C—12 0—16 Na—23 Mg—24 Al—27 Cl-35.5 Fe - 56 Cu -64一、选择题(本题包含13小题,每小题6分,共78分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 下列关于生物工程的叙述,正确的是A. 将甲乙两种植物的体细胞混合后,可获得大量体细胞杂种B. 筛选产生抗体的杂交瘤细胞需要使用特定的选择性培养基C. 应用基因诊断技术,可检测受体细胞中的目的基因是否表达D. 由于连续培养延长了培养周期,因此能提髙微生物的代谢产物量2. 下列有关高中生物学实验的叙述,其中正确的是A. 用光学显微镜观察洋葱根尖,可看到某个细胞进行分裂的完整过程B. 将适量的二苯胺试剂注人盛有DNA溶液的试管后,结果就会出现蓝色C. 验证酵母菌种群数量的动态变化规律,应使用液体培养基培养酵母菌D. 提髙蔗糖溶液的浓度,可降低洋葱鳞片叶表皮细胞的质壁分离速率3. 右图表示人体内的体液免疫过程，下列有关叙述错误的是A. ①②过程都有细胞膜上糖蛋白的参与,⑤过程主要发生在内环境中B. 图中各种细胞都是免疫细胞,它们均由受稍卵经细胞的分裂和分化而来C. 大多数抗体是与相应抗原发生沉淀或凝集反应,进而被吞噬细胞吞噬消化D. 抗原与抗体发生反应,可导致人体出现过敏反应、自身免疫病和免疫缺陷病4. 下列有关细胞的叙述中,正确的是A. 内质网与细胞膜中蛋白质和磷脂等成分的更新有关B. 酵母菌细胞内的mRNA只能在细胞核和线粒体中合成C. 处于分裂期的细胞不进行DNA的复制和蛋白质的合成D. 人体内精细胞变成为精子的过程不厲于细胞分化的过程5. 对下列四图的有关描述中，正确的是A. 图.甲中造成cd段下降的原因在细胞的有丝分裂和减数分裂中是不同的B. 图乙中①的一条链的碱基序列与④的碱基序列相同,②的种类共有61种C. 图丙中，当酶浓度增加而其他条件不变时,图中虚线不能表示生成物量的变化D. 图丁中,若C点对应浓度为茎背光侧的生长素浓度,则茎向光侧的生长索浓度不可能为A点对应浓度6.化学与人类生活、生产、环塊密切相关,下列说法正确的是A. 聚乙烯无毒,但丢弃在环塊中,会造成环塊污染B. 二氧化硫可用于制作馊头的增白剂C. 加酶洗衣粉，为增强其去污能力,使用前用沸水溶解D. 用天然气代替煤作燃料，可减少温室气体的排放7. 设为阿伏加德罗常数,下列叙述错误的是A. 在标准状况下,22.4L空气中约含有个气体分子B. 含个氧原子的O 2与含个氧原子的03的质量之比为3:2C. 28 g乙烯和28 g丙烯中均含有6对共用甩子对D. 12 g石墨晶体^中碳碳键的数目为1.58. 下列各组离子,在指定条件下,一定能大量共存的是A. 室温下,水电离产生的的溶液中：B. 无色透明的酸性溶液中：C. 加人过量NaOH溶液后可得到澄淸溶液：D. 酸性高锰酸钾溶液中：9. 巳知。

四川省高中2014届毕业班联考诊断测试(二)数学(理)

启用前☆注意保密【考试时间：2014年3月2日下午15:00~17:00】班级_____________ 姓名__________四川省高中2014届毕业班联考诊断测试（二）数学（理工农医类）第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意。

1.设集合{}21≤-=x x A ，{}0432≤--=x x x B ，则()=⋂B A C RA.()()∞+⋃-∞-，11, B.()()∞+⋃∞-，43, C.()()∞+⋃∞-，22, D.()()∞+⋃∞-，31-, 2.已知i 是虚数单位，则=-+ii23 A.i +1 B.i +-1 C.i -1 D.i +13.某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考试座位号按1~30号随机抽取试卷进行评分标准，每个考场抽取座位号为15号考生试卷质检，这种抽样方法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.分组抽样4.双曲线191622=-y x 的离心率为A.47 B.37 C.45 D.54 5.仔细观察右边的程序框图，则输出的值等于A.6463B.3231C.1615D.876.一几何体1111D C B A A B C D -在空间直角坐标系中，其顶点坐标()111-，，A ,()111--，B ,()1,11---，C ()111--，，D ,()1111，，A ,()1111，，-B ,()1111，，--C ,()1111，，-D ，则几何体1111D C B A ABCD -D 的外接球的表面积是A.π12B.π48C.π34D.π3647.一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.3224π B.π356C.()π2416+ D.π3288.设,,R n m ∈若直线()()0211=+-+-y n x m 与圆()()11122=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是A.[]222-22-2-+，B.[]22222-2+， C.(][)∞++⋃∞，，222-22-2-- D.(][)∞++⋃∞，，22222-2-9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-=0,10,2)(2＞x e x x x x f x ，若()ax x f ≥，则a 的取值范围是A.(]0,∞-B.(]1-，∞ C.[]0,2- D.[]1,2- 10.给出下列5个命题：①函数()x x y cos sin log 2+=的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞21--，；②函数x x x f cos sin 3)(+=的图像可以由函数x x g sin 2)(=的图像向左平移6π个单位得到；③已知角γβα,,构成公差为3π的等差数列，若31cos =β，则31cos cos -=+γα；④函数()1log 32-=x x h x的零点个数为1；⑤若△ABC 的三边c b a ,,满足()*∈≥=+N n n c b a n n n ,3，则△ABC 必为锐角三角形，其中正确的命题个数是A.2B.3C.4D.5.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

2014年全国高考四川省数学(理)试卷及答案【精校版】

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a bc d < C ．a b d c > D ．a b d c<【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)

2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数为（） A ． 30 B ． 20C ． 15D ． 103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin （2x+1）的图象，只需把y=sin2x 的图象上所有的点（） A ．向左平行移动个单位长度 B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（） A ．＞ B ．＜ C ．＞ D ．＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A 中x 的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x ≤2}，B=Z ， ∴A ∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A ．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长D．向右平行一定1个单位长度度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A ．点评：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排析：甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m +=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B ．[，1]C ．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA 1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA 1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln （1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g （x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f （x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B ．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB 的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B （x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y 2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y 2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt △ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g （x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z ，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f （）=sin （α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cos α﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sin α=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即析：可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P （X=﹣200）=，P （X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E （X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD ⊥NP假设P 不是线段BC的中点，则直线NP 与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD ⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P 为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC ，OA分别为x，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M （，O，），N（，0，），P （，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a 2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解解：（1）依题意有解得答：所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x 或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g （0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x ）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a ﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。

四川省成都市2014届高三第二次诊断性考试_数学理(2014成都二诊)_Word版含答案

成都市2014级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工类）第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设复数iz+=3（i为虚数单位）在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转0°得到OB，则点B在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2. 执行如图的程序框图，若输入的x值为7，则输出的x的值为（A）41（B）3log2（C）2（D）33. ()101-x的展开式中第6项系的系数是（A）510C-（B）510C（C）610C-（D）610C4. 在平面直角坐标系xoy中，P为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤121yxyxy所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（A）2 （B）31（C）21（D）15. 已知βα,是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A）存在一条直线l，βα//,ll⊂（B）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C）存在一条直线βα⊥⊥ll l,,（D）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6. 设命题()；0coscos--cos,,:βαβαβα+∈∃Rp命题,,:Ryxq∈∀且ππkx+≠2，Zkky∈+≠,2ππ，若yx＞,则yx tantan＞，则下列命题中真命题是（A）qp∧（B）()qp⌝∧（C）()qp∧⌝（D）()()qp⌝∧⌝7. 已知P是圆()1122=+-yx上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，若dOP=，则函数()θfd=的大致图像是8. 已知过定点()0,2的直线与抛物线yx=2相交于()()2211,,,yxByxA两点.若21,xx是方程0cossin2=-+ααxx的两个不相等实数根，则αtan的值是（A）21（B）21-（C）2 （D）-29. 某市环保部门准备对分布在该市的HGFEDCBA,,,,,,,等8个不同检测点的环境监测设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中BA,两个监测点分别安排在星期一和星期二，EDC,,三个监测点必须安排在同一天，F监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（A）36 （B）40 （C）48 （D）6010. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f，当[]1,0∈x时，;2142)(--=xxf当1＞x时，()()aRaxafxf,,1∈-=为常数.下列有关函数()xf的描述：①当2=a时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f；②当，＜1a函数()x f的值域为[]2,2-；③当0＞a时，不等式()212-≤x axf在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a时，函数()x f的图像与直线()*-∈=Nnay n12在[]n，0内的交点个数为()211nn-+-.其中描述正确的个数有（A）4 （B）3 （C）2 （D）1第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014年四川高考理科数学试题及答案(word版)

2014年四川高考理科数学试题及答案(word版)D直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是。

15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题： ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”；②学科网函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有。

（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。

（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

学科网设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

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