微分方程的一般概论与一阶微分方程
微分方程的基本概念 一阶微分方程(一)
故 s 0.2t 2 20t,
于是制动后列车的运动规律为
s 0.2t 2 20t. 2
二、微分方程的定义
1.微分方程定义：
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y 2 y 3 y e x , (t2 x)d t x d x 0,
y xy,
d y 2x, dx
d2 dt
. x
16
例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
解 原方程可变为：( y )2 d y y d y
x dx x dx
令u y，则 y ux, y xu u，
x
u2 (u xu) u(u xu)
即 xu u , (1 1 )d u d x ,
两边积分 d y d x ,
1 y2 1 x2
求积分得 arcsin y arcsin x C.
即为通解.
13
例4
求方程
2x sin
yd
x
(x2
3) cos
yd
y
0
满足
y
x 1
π 6
的特解.
解 原方程变形为
x
2x 2
3
d
x
cos sin
y y
d
y
0,
积分得
2x
cos y
x2 3 d x sin y d y 0d x,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
4
3.微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x)在区间I上有n阶导数，若 F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0.则y (x) 是它的解.
一阶微分方程
一阶微分方程1. 简介微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。
一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。
本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。
2. 基本概念在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。
2.1 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示一个无限小的增量。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的值越大，表示函数在该点的变化越快。
2.2 一阶微分方程一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
通常形式为：dy/dx = f(x, y)1其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。
3. 求解方法解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。
3.1 分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。
具体步骤如下：1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式；2.将方程两边关于x和y进行分离；3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解；4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确定常数C，得到一个特解。
3.2 常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。
1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解；2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)；23.最终的通解等于齐次方程的通解与特解之和。
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程总结
第七章 微分方程1.一阶微分方程（1）微分方程的基本概念：①、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。
未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。
②、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。
③、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。
④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。
确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。
（2）可分离变量方程：形如)()(dxdy x g x f =的方程称为可分离变量微分方程。
设g(y)≠0,则可将方程化为dx )()(dy x f y g ，其特点是方程的一端只含有y 的函数dy ，另一端只含有x 的函数dx ，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。
（3）齐次方程：形如)(y x y f =＇的方程称为齐次方程。
其解法是做变换x y u =，则y=ux,dxdu dx dy x u +=,代入方程化为可分离变量的微分方程。
（4）一阶线性微分方程：形如)()(dxdy x Q y x P =+的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。
如果0)(≡x Q ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰=⎰⎰-)()()((。
（5）伯努利方程：形如)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n 的方程称为伯努利方程。
次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方幂。
其解法是做变量替换n y z -=1，则：,dxdz 11dx dy ,dx dy )1(dx dz 11n y y n n n -=-=--即 代入原方程，得： ),()1()()1(dx dz x Q n z x P n -=-+ 这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以n y z -=1换回原变量，即为所求。
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中，微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型，帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是未知函数，y' 是 y 对 x 的导数，y^(n) 是 y 的 n 阶导数（n 为正整数）。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括：（1）可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
（2）齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简，得到一阶线性微分方程。
（3）一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为：a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数，f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类，并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程，还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时，称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似，但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为：dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中，a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件
- 10 -
第二节 一阶微分方程
例6 解微分方程 y ytany. xx
解: 令 u y , 则 yuxu ,代入原方程得 x
第
u xu u ta un
十
二 章
分离变量
cosududx sinu x
微 分 方
两边积分 c siou u nd sudxxln |C|
程
得
ln su i n ln x ln C ,即 siu n Cx
第 十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分 方
即
程
令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
-5-
第二节 一阶微分方程
xyd x(x21)d y0 例2. 解初值问题 y(0)1
第 十
解:
分离变量得
dy y
1xx2
代入原u'方 (x程 1)1 2
1
积分 u2(x1)2C
1
所求方程y的 (x 通 1)2[2解 (x1为 )2C]
第 解法二 公式法
十 二 章
方程为
dy
2
3
y(x1)2
dx (x1)
微 分 方
y ex 2 1 d[x(x 1 )2 3e x 2 1 dd x x c ]
程
(x1)2[
3
(x1)2(
方 程
y
xx0
y0
-2-
第二节 一阶微分方程
一 可变量分离方程 可分离变量方程 一般形式
微分方程的基本概念与分类
微分方程的基本概念与分类微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以描述许多自然现象和物理问题。
本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。
在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。
微分方程根据未知函数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。
一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。
二阶微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知函数。
二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系数二阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。
高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。
二、微分方程的分类根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程进行进一步的分类。
1. 阶数分类根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。
2. 标准形式分类根据微分方程的标准形式，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只涉及一元函数的微分方程，而偏微分方程是涉及多元函数和它们的偏导数的微分方程。
3. 特殊类型分类在微分方程中，有一些特殊类型的微分方程具有特定的特征和解法。
例如分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程、恰当微分方程等。
微分方程的基本概念 一阶微分方程
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0Байду номын сангаас
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt是微分
方程
d2 dt
x
2
k
2
x
0
的解.
并求满足初始条
dx 件 x t0 A, dt t0 0 的特解.
f
( x)dx
C
通解
如果有y0使得g(y0)=0, 则y=y0也是解，但它可能 不包含在上述通解中，必须补上。 故通解不一定包含了方程的所有解。
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx,
y
dy
两端积分 y 2xdx,
ln | y | x2 C1
解
dx dt kC1 sinkt kC2 cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2(C1 cos kt C2 sinkt) 0.
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
所求曲线方程为 y x2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
微分方程的基本概念
微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
首先，我们来看微分方程的定义。
微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。
它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。
通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
接下来，我们来看微分方程的解的定义。
微分方程的解是指满足该方程的函数。
一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。
例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。
解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。
然后，我们来看初值问题。
初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。
例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。
初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。
最后，我们来看一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。
一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。
其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。
总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。
微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
微分方程的基本概念一阶微分方程
两端积分 dy (2x 1)dx,
得： y x2 x C 为所求通解.
例2 求微分方程 xdx ydy 0 的通解
解 分离变量 xdx ydy
两端积分 xdx ydy,
1 2
x2
1 2
y2
C1
所求曲线方程为 y x2 1 .
二、微分方程的定义
3/18
1、微分方程:
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
方
程代微数分方方程程------未未知知的的是是一一个个数函, 求数,x求y?,
y? ?( x)
例 y 2x
y 2 y 3 y e x ,
一、可分离变量的微分方程 即f（x，y）是
可分离变量的
一般形式 y f ( x) g( y)
解法——分离变量，直接积分。
解法：1、分离变量。将变量x的函数和微分 13/18 与变量y的函数和微分分离在等式两边
2、然后积分。
例1 求解微分方程 (2x 1)dx dy 0 的通解.
(2)特解: 确定了通解中任意常数数值的解. 通解：通用的解，含有任意常数； 特解：特殊的解，不含有任意常数
7/18
例2 验证下列函数都是微分方程y-2y+y=0的解.
⑴ y=Cex; ⑵ y=xex ; ⑶ y=C1ex+C2xex .
既不为通解， 也不为特解， 称为个解
为特解
为通解
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
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微分方程基本概念与解法
微分方程基本概念与解法微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程领域以及经济学等各个领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)为已知函数。
这种形式的微分方程称为一阶常微分方程。
二、微分方程的分类根据微分方程中未知函数和自变量的阶次，微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等不同类型。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只与自变量x的一阶有关的微分方程。
一般形式可以写为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
常见的一阶微分方程有可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的二阶导数出现在方程中的微分方程。
一般形式可以写为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)其中f(x, y, dy/dx)为已知函数。
常见的二阶微分方程有常系数二阶齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
三、微分方程的解法解微分方程的方法有很多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的微分方程，可以通过分离变量的方式将方程化简为两个独立变量的微分方程，再进行求解。
2. 线性微分方程的求解对于线性微分方程，可以使用常数变易法或特征方程法来求解。
常数变易法将未知函数表示为一个待定函数与一个特解的和，特征方程法则通过寻找特征方程的根来求解。
3. 齐次微分方程的求解对于齐次微分方程，可以使用同类相除法或变量替换法等求解方法。
同类相除法通过将分子与分母同除以未知函数的幂次，得到一个关于新变量的一阶微分方程。
变量替换法则通过引入新的变量，将原微分方程转化为一个更简单的形式。
四、应用实例微分方程在各个领域都有广泛的应用，下面以物理学中的弹簧振动为例来说明。
考虑到弹簧的弹性特性和质点的运动方程，可以建立如下的二阶微分方程：m(d²x/dt²) + kx = 0其中m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示质点的位移。
大一高数微分方程知识点
大一高数微分方程知识点微分方程是数学中重要的分支，它是研究自然现象、工程问题以及物理学和生物学等领域中的变化规律的重要工具。
在大一的高数课程中，微分方程也是一个重要的内容。
下面我将介绍大一高数微分方程的一些基本知识点。
一、微分方程的基本概念微分方程是由未知函数及其导数构成的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)。
其中dy/dx表示函数y对自变量x的导数，f(x)表示已知函数。
二、常微分方程和偏微分方程在微分方程中，常微分方程和偏微分方程是两个重要的分类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。
三、一阶微分方程及其求解方法一阶微分方程是微分方程中最简单的一种形式，表示为dy/dx=f(x, y)。
常见的一阶微分方程求解方法包括：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
1. 分离变量法：将变量分离后进行积分求解。
例如，对于dy/dx=2x，可以将方程改写为dy=2xdx，再进行积分。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的方程，可以利用变量代换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 一阶线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，可以利用积分因子的方法进行求解。
四、二阶微分方程及其求解方法二阶微分方程是一阶微分方程的推广，表示为d²y/dx²=f(x, y, dy/dx)。
常见的二阶微分方程求解方法包括：特征方程法、常系数线性齐次微分方程法、常系数线性非齐次微分方程法等。
1. 特征方程法：对于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0的方程，通过求解其特征方程可以得到方程的通解。
2. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=0的齐次方程，通过特征方程法求解可以得到通解。
3. 常系数线性非齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=f(x)的非齐次方程，可以利用常数变易法求解。
微分方程概念和一阶微分方程
y C(x)e P(x)dx C(x)e P(x)dx[P(x) ]
C(x)e P(x)dx P(x) y
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y C（x）e P(x)dx
y
C(
x)e
P
(
x
) dx
C(x)e P(x)dx[P(x)
]
C(
x)e
P(
x
) dx
P( x) y
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例 dy 2x
dx
d 2s dt 2 0.4
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
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3. 线性微分方程
如果方程为 y及
y, , y(n) 的一次有理整式，
则称 F（x, y, y, y(n) )为n阶0 线性微分方程. 例如： d2 S 0.4 是二阶线性微分方程.
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定义
联系着自变量、未知函数以及它的导数
（或微分）的关系式，称为微分方程.
未知函数是一
元函数的微分方程，称为常微分方程.
未知函数是多
元函数的微分方程，称为偏微分方程.
例如 方程 dx ax t2 dt
是常微分方程，
方程
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
是偏微分方程.
注 本章只研究常微分方程，简称为微分方程，
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一阶微分方程
第5章 微分方程基础
5.1 微分方程的基本概念 5.2 一阶微分方程 5.3 可降阶的二阶微分方程 5.4 二阶常系数线性齐次微分方程 5.5 微分方程在医药学中的应用
9.1 微分方程的概念及一阶微分方程
ye
P ( x )dx
P ( x )dx [ Q( x ) e dx C ]
1 sin x 例8 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sinx ( e dx C ) 通解为 y e x sin x ln x ln x e ( e dx C ) x
积分 ln | y | x C , 或写为 y e e
2
C x2
,
记 C1 e , 则通解为 y C1e .
C
x2
dy 2 x dx , 可简写为： 分离变量 , y 2 积分 ln y x ln C ,
则通解为 y C e
x2
.
10
dy y 的通解. 练习 求方程 dx x
的某个原函数, 则 G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解。
8
例2 解
dy 2 xy2 的通解. 求方程 dx
dy 分离变量， 2 2 x dx ， y
1 2 积分 x C , y
1 所以通解为 y 2 . x C
9
dy 2 xy 的通解. 例3 求方程 dx dy 2 x dx , 解 分离变量, y
积分得： u ln u ln x ln C ,
或写成
u ln(xu) lnC , 或 e C x y ,
u
y x
y 再将 u 代入,得通解为 e C y ； x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C e ,
于是得所求特解为 y e
y 1 x
.
第二节微分方程的基本概念一阶微分方程共31页文档
解得 tanu()xc
24
从而 tan x(y1)xc.
24
1 1 sinu
du
1sinu cos2 u du
注
1 sinu
1
sinu
( c
o2suc
o2su)d
u
c o2u sd u
c o2u sd u
s e2u c duc1 o2u sdcoustanuco1us c
1
1 s inu
第九章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节
微分方程的基本概念 一阶微分方程 高阶微分方程 微分方程在经济学中的应用
第一节 微分方程的基本概念
一.微分方程的定义
1.微分方程 含有自变量、未知函数以及未
知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.
2.阶 未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.
y
yxyx2ysix n (xex y)dxxdy
四.一阶线性齐次微分方程
一般形式: yP(x)y0
解
分离变量 1 dy P(x)dx
y
两边积分 1ydyP(x)dx
整理得
lnyP(x)dxl nc
yceP(x)dx.
补充 微分方程 xyy0,y(1 )1 , 求方程的特解 y . (08年考研真题4分)
1 u
v
令 u z 则 uvz du z v dz
v
dv
dv
代入上式得 z v dz 1 z
dv 1 z
即
dz 1 12zz2
dv v 1z
亦
1z
1
12zz2
dz dv v
积分得 1ln1(2zz2) lnv 1 ln c
4一阶微分方程内容总结
常微分方程一阶微分方程内容小结1 微分方程的基本概念一主要内容1 一阶微分方程二1 一阶线性微分方程三1.微分方程的定义,0),,(='y y x F ),(y x f y =',0),,,,()(='n y y y x F ).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y通解：对n 阶微分方程，含有n 个独立的任意常数的解. 特解：不含任意常数的解.常微分方程 n 阶微分方程 微分方程的阶：方程中未知函数导数的最高阶数一阶微分方程 微分方程的解：满足微分方程的函数1.微分方程的定义定解条件（初值条件）：当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值的条件 )1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 2.微分方程的几何意义(,)dyf x y dx=线素场 通解：积分曲线族 特解：积分曲线,0),,,,()(='n y y y x F 初值问题（柯西问题）1）可分离变量的微分方程()().dyf xg y dx=称形如的方程为可分离变量方程()0,g y ≠若则()()dyf x dxg y =()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰两端分别积分得.C 为任意常数000()=0,=y g y y y 若存在使得则也是方程的解.微分方程的通解.2）齐次微分方程()dy yf dx x=称形如的微分方程为齐次方程.dy duu xdx dx =+()du f u udx x-=代入得可分离变量方程.yu x=解出通解后将代入即得原方程的通解,y u x =作变换则3）可化为齐次微分方程的方程111222y a x b d dyf dx a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭120d d ==当时，上式为齐次方程.11220,a b a b =（1）当11,u a x b y =+令则上方程化为12,d d 当至少有一个不为零时：111112()y a x b d dyf x d m a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭11121()u d dua f x db mu d ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭3）可化为齐次微分方程的方程111222y a x b d dyf x d a x b y d ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭11220,a b a b ≠（2）当则原方程化为1111122222a v b u a h b k d du f dv a v b u a h b k d ⎛⎫++++= ⎪++++⎝⎭11122200y a x b d x hy k a x b y d ++==⎧⎧⎨⎨=++=⎩⎩取为方程组的解，,x v h y u k =+⎧⎨=+⎩令1122a v b u duf dv a v b u ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭4）全微分方程(,)(,)0,(,)P QP x y dx Q x y dy x y Dy x ∂∂+==∈∂∂形如且满足的微分全微分方程恰方程称为（或当方程）.00(,)(,)x y x y 两边同时从到积分，得0(,)(,)x yx y P x y dx Q x y dy C+=⎰⎰00(,)C x y D 是任意常数，是区域内选定点的坐标.三、一阶线性微分方程1）一阶线性微分方程 ()()dyP x y Q x dx+=()0dyP x y dx+=齐次方程通解：(),P x dx y Ce-⎰=常数变异法()()P x dxy C x e -⎰=令()()().P x dx C x Q x e dx C ⎰⇒=+⎰通解为 ()P x dxy Ce -⎰=()()().P x dxP x dx e Q x e dx -⎰⎰+⎰()0Q x =：齐次方程.非齐次方程：()0Q x ≠：非齐次方程.三、一阶线性微分方程2）伯努利方程()(),(0,1)dy P x y Q x y dxαα+=≠,y α两边同除以1,u y α-=令)()1()()1('x Q u x P u αα-=-+'(1)',u y y αα-=-一阶线性方程 1.u y α-=得出通解后将代入,即得原方程的通解()()dy P x y Q x dx +=1()(),dy y P x y Q x dxαα--+=。
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常微分方程练习卷（一） 微分方程的一般概论与一阶微分方程选择题： 1.可分离变量的微分方程sinxcosxdy-dlnydx=0的通解是( )。
(A)tgx y e = (B) c ctgx y e ⋅= (C) c tgx y e ⋅= (D)1ctgx y e +=2.微分方程22()20x y dy xydx --=是( )。
(A)可分离变量的议程 (B)齐次微分方程 (C)线性非齐次方程 (D)贝努利方程3.微分方程221dy x y xy dx=-+-满足初始条件01x y==的特解为y=( )。
(A)2()24xtg x π-+(B)2()24xctg x π-+(C)2()24xtg x π-+(D)2()24xx tg π--4.微分方程22'xy y x y ⋅=+，满足2x eye ==的特解为( )。
(A)222(ln 1)y x x =+ (B)222(ln 1)y x x =+(C)y =(D)y =5.下列微分方程不是微性微分方程式的是( )。
(A) sin -sin -1)co (s 0y x x dx ydy +=(B)22(1)(21)0x x x x e dy e y e e dx +-++=(C)22ln dy y y x dxx+=(D)tg sin dy y dxy x=-6.若微分方程为tg sin dy y dxy x=-，则其通解为( )。
(A)211(sin )sin 2x C x +(B)211(sin )sin 2y C y + (C)21(sin )sin y C y+(D)22(sin )sin x C x+7. 一阶线性性分方程()()dy P x y Q x dx+=的通解为( )。
(A)()()[()]P x dx P x dxy e Q x e C -⎰⎰=+ (B) ()()[()]Q x dx Q x dxy e P x e C -⎰⎰=+ (C)()()[()]P x dx P x dx y e Q x e C -⎰⎰=+ (D) ()()[()]Q x dx Q x dxy e P x e C -⎰⎰=+ 8. 下列微分方程不是全微分方程的是（ ）(A)(2)0y y e dx xe y dy +-= (B)224(144)0xdx y y x y dy =++= (C)2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=(D)2222()()0y x x dx y dy x yx y-++=++9. 微分方程sin (1cos )cos dy yx y y dx=-满足初始条件00x y==的特解为（ ）(A)1arcsin 1y x =+(B)1arcsin1y x π=-+(C)1arccos 1y x π=-+(D)1arccos1y x =+10.微分方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=的通解为（ ）(A)32243x x y y C ++= (B)32243x x y y C --= (C)32243y x y x C ++= (D)32243y x y x C -+=11. 若微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=有积分因子(,)x y μ，则(,)x y 满足（ ） (A)()(,)P Q QP x y xy yxμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (B)()(,)P Q P Q x y x y y x μμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂(C) 0QP xyμμ∂∂-=∂∂(D)()(,)P Q Q P x y xyxyμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂12. 若有办可积函数满足关系式30()()333x tf x f dt x =+-⎰，则()f x =（ ） (A)331x e --+ (B)332x e --- (C)321xe --+(D)331xe--+13.若()y y x =是方程22'x y xy y +=的满足条件11x y==的解，则31()y x dx =⎰（ ）(A) ln6 (B)ln3(C) ln7 (D) ln514.满足方程2()2()xf x f x dx x +=⎰的解是()f x =（ ）(A) 212xcex -++ (B)21122xex -+-(C) 212xex --+-(D) 212xcex -+-15.设函数()y f x =由方程2'0y y x --=确定，且知有一点0x ，使0'()0f x =，则（ ）(A) ()f x 在0x 处取极大值 (B) ()f x 在0x 处取极小值(C) ()f x 在0x 处不取极值 (D) 不能确定()f x 在0x 处是否取极值16.()f x 满足22'(cos 2)sin f x x tg x +=+，那么()f x =（ ）(A) 31(2)23x C x ---+- (B) 31(2)23x C x --++-(C)31(2)23x C x --+-(D)31(2)23x C x -++-17.设可微函数()f x 满足00()()xxf t dx d tf x t dt =+-⎰⎰，那么()f x 等于是（ ）(A) x e (B) x e - (C) x e -- (D) x e -答案：1.Ｃ2. Ｂ3.Ａ4.Ｃ5.Ｃ6.Ｂ7. Ｃ8.Ｂ9. Ｄ 10. Ａ 11. Ａ 12. Ｃ 13.Ｄ 14. Ｂ 15.Ｂ 16.Ａ 17.Ａ 1. 通解为x y C e x =+的微分方程是_____________________。
2. 微分方程'cos y ytgx x +=的通解为_____________________。
3. 微分方程22'320x y xy y --=的通解为_____________________。
4. 微分方程2()0x y dy ydx ++=的通解为_____________________。
5. 以圆族22()x y C x +=为积分曲线族的一阶微分方程是_____________________。
6. 方程族11dyax bx c f dx a x b x c⎛⎫++= ⎪++⎝⎭可称为__________方程，其中若11aba b _________时，作变换x a ξ=+，y b η=+，，代入方程后，确定出α、β；变成含变量ξ，η齐次方程；若11a ba b _________时，作变换____________可化成___________的方程。
7. 若(,)P x y ，(,)Q x y 在单连能区域G 内具有连续的一阶偏导数，一阶微分方程为(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，则其为全微分方程的充要条件为______________。
8. 微分方程2(1)(21)0xxxxe dy e y ee dx +-++=满足初始条件(0)2y π=的特解为_____________。
9. 微分方程1'cos sin 2y x y y=+的通解为______________。
10. 微分方程2(2)0xdy xy y dx +-=的通解为______________。
11. 若已知1120()()1f ux dx f x =+⎰，则()f x =______________。
12. 微分方程2234230x y x dx dy yy-+=的通解为______________。
13. 微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件1x ey==的特解为______________。
14. 微分方程212()0xydx x y ++=满足初始条件(0)2y =的特解为______________。
15. 若函数()f x 可导，且对任何,x y 有'()()()y x f x y e f x e f y +=+，(0)f e =，则函数()f x =___________。
解答题： 1 求下列微分方程⑴221dy x y xy dx=-+-，(0)1f =⑵'sinsin22x y x y y +-+=2给定一阶微分方程3dy x dx=，试求：⑴方程的通解；⑵过点（2，5）的特解；⑶与直线21y x =-相切的曲线方程。
3 物体在空气中的冷却速度与物体的温差成正比，如果物体在20分钏内由100℃冷却至60℃，那么在多长时间内这处物体的温度达到30℃（假设空气温度为20℃）？ 4求下列可分离变量微分方程的通解：⑴2355'0x x y +-= ⑵22(1)(1)0x dy y dx +++= ⑶2'x y y e -=⑷2cos '3yx y y e=+5 已知曲线过点（1，1/3），且在曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线的斜率的两倍，求此曲线方程。
6求下列齐次微分方程的通解：⑴'yx y y e x=+⑵233()0x ydx x y dy -+=⑶'tg 0y xy x y x+-=⑷2222(2)(2)0x xy y dx x xy y dy +-++-=⑸(0y dx xdy +-=7求下列一阶线性方程的特解：⑴2(1)'1,(0)1x y xy y -+== ⑵'0,()xxy y e y a b +-==⑶212'1,(1)0x y y y x-+==8飞机从地面起飞后，以速度v 飞行，已知速度在垂直方向的230.212800y Hv =-公里/秒，其中H 表示收音机与地面的距离，求上升高度H 与时间的关系。
9 设有微分方程'()y sy x ϕ-=，其中{2,sup 1()0,sup 1x x x ϕ<=>，试求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使之在(,1)-∞内和(1,)+∞内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0。
10 求解下列微分方程：⑴(sin )(cos )0xy y y dx x y dy ++++= ⑵2()20x y dx xydy -+=⑶2222(2)'(21)0x xy y y x xy y --++-+=11 已知232sin 10y x t te t y ⎧=+⎨-+=⎩，求t dy dx =。
12 求46dy x y dxx y ++=--的通解。
13 求方程22(3)30y x dy xydx -+=满足01x y==的特解。
14 求曲线方程，使其切线长那切点和切线与x 轴交点之间的线段长度为常数a 。