13下-8- 通信自动控制原理

E (s ) 100 100 s s
KH H t
C (s )
B (s )
2. t s 0.1
即
1.
2.
0.03 0.1 Kt
Kt 0.3
3－2 一、二阶系统的分析与计算 二、二阶系统的数学模型
R(s )
二阶系统微分方程：
n2 s( s + 2 n )
C (s )
d 2c(t ) dc(t ) 2 2 + 2n + n c(t ) n r (t ) (n 0) dt 2 dt
n t
( sin d t +

1 2
cosd t )]
整理得：
h(t )
n
1
2
e
n t
sin d t 0
h(t )
n
1
2
e
n t
sin d t 0
≠0
≠0
sin d t p 0， d t p n (n 0,1,2,)
+
1 e T1 / T2 1

1 t T2
, (t 0)
1 h(t ) 1 + e c(t) T2 / T1 1
1 + e 一阶系统响应 , (t 0) T1 / T2 1 1 1 T1 1 T2 2 n ( 1) n ( + 2 1)
3.准确性 ess： ess 1 c() 0
举例说明（一阶系统）
•
R(s ) 一阶系统如图所 E (s ) 100 100 s 示，试求： s B (s ) 1. 计算单位阶跃响 KH H t 应和调节时间 2. 如果要求ts≤0.1s， 看懂例题3-1！ 试问系统的反馈 系数Kt应调整为何 值？
拉氏反变换得： c(t ) 1 e
1
[cos d t +

1
2
(sin d t )]
1 1
2
e
nt
sin(d t + )
其中： arctg
1 2

或 arccos
*欠阻尼二阶系统的性能分析
• 平稳性（％） • 准确性
暂态分量的振幅为：A e nt 1 2
C (s )
R(s ) B (s )
• 一阶系统如 图所示，试 求： 计算单位阶 跃响应和调 节时间 如果要求 ts≤0.1s，试 问系统的反 馈系数Kt应 调整为何值？
E (s ) 100 100 s s
KH H t
1 Kt 1 s +1 100K t
t T
C (s )
1.
1.
G ( s) 1 + GH
大学本科课程
--自动控制原理
第三章
时域分析法
主要内容
3－1 时域分析基础 3－2 一、二阶系统分析与计算 3－3 系统稳定性分析
3－4 稳态误差分析计算
3－1 时域分析基础
一、时域分析法的特点
求解 线性微分方程 拉氏变换 传递函数 观察
时间响应
性能指标
拉氏反变换 估算
3－1 时域分析基础
二、典型初始状态、典型外作用
d tr + n (n 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达 稳态值所需时间，所以应取n = 1。
所以：
tr d
②峰值时间 t p：
h(t ) 1 e
nt
[cosd t +

1 2
sin d t ] (3-24)
对其求关于时间的导数，并令其=0，得：
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
闭环传递函数：
2 n C ( s) 2 2 R(s) s + 2n s + n
开环传递函数： 2 n G( s) s( s + 2n )
二阶系统的特征方程为 s + 2n s + 0
2 2 n
s1,2 n n 2 1 解方程求得特征根：
1 t T1

1 t T2
• 衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离 二阶过阻尼系统 虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度 慢； • 离虚轴近的极点对响应的影响大，离虚轴远的极点对响 t 0 应的影响小，有时甚至可以忽略不计;
二阶过阻尼系统阶跃响应性能分析
1.误差ess lim[r (t ) c(t )] 0
1. 比例—微分控制
(1) 方法的思路
R(s)
E(s) (-)
U(s)
ω s(s + 2ωn )
2 n
C(s)
Go(s)
2 C ( s) n (1 + Td s) 系统开环传函为：G(s) E (s) s(s + 2n )
4.三种响应之间的关系
1 1 H ( s) ( s) K ( s) s s 1 1 1 Ct ( s ) ( s) 2 K ( s) 2 H ( s) s s s
相应的时域表达式为
h(t ) k ( )d
0
t
ct (t ) h( )d
1
当ξ ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为ωn的不衰减 （等幅）振荡。
• 快速性：常用包络线代替实际曲线来估算。
欠阻尼二阶系统的一对包络线
c(t)
1+ e- n t 1
2
包络线
T
1
如右图：
1
n
1
e- n t 1 2
0
t
• 阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时 间ts长； •ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速 性差；
•ζ=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量 %<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。
以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
nt
h(t ) 1 振荡角频率为： d n 2 2 sin(d t + ) 1e 1
结论：ξ越大，振幅就越小，响应的振荡倾向越弱，超调 从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳 越小，平稳性越好。反之，ξ越小，振幅 越大，振荡越 态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响 严重，平稳性越差。 应稳态误差为零。
t c() 1
dc(t ) dt
t 0
1 e T

t T
t 0
1 T
时间常数
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡，
＝0
2. 快速性ts：
t 3T时，c(t ) 0.95 [对应5%误差带 ] t 4T时，c(t ) 0.98 [对应2%误差带 ]
h(t ) 1 e
T
t 0
c(0) 1 e 0 0
c(T ) 1 e 1 0.632
t T
t 2T c(2T ) 1 e 2 0.865
c(3T ) 1 e 3 0.95 t 3T
c(4T ) 1 e 4 0.982 t 4T
h(t ) ne
n t
(cosd t +

1 2
sin d t )
e
n t
( sin d t +

1
2
cosd t ) d
h(t ) n e
n t
(cosd t +

1 2
sin d t ) +
[d e
1
2
3
4
5
6 nt
7
8
9
10 11 12
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标 ①上升时间
1

t r ：令
1 1 2
e ntr 1 1
2
h(tr ) 1 ，则
ent sin(d t + ) 1
sin(d t r + ) 0

1 2
0, e n tr 0,
系统性 能
2.单位斜坡响应
定义：系统在单位斜坡输入 [r(t)=t·1(t)]作用下的响应， 可用 ct (t ) 表示。
考察系统在什么情况下存在稳态误差，以及怎样 减小或者消除它。
3.单位脉冲响应 定义：系统在单位脉冲输入 δ(t)作用下的响应，可用k(t)表 示。 考察系统输出脱离原始位置的大小及复位所 需的时间。
注意增益
2.
1 (1 e ) h(t ) 增益 (1 e ) Kt 100 Kt t 1 (1 e ) 0.03 Kt t s 3T
Kt
1 T 100Kt

t T
R(s )
• 一阶系统如 图所示，试 求： 计算单位阶 跃响应和调 节时间 如果要求 ts≤0.1s，试 问系统的反 馈系数Kt应 调整为何值？
n为根的实部的模值；
d n 1 2 为阻尼振荡角频率
3.欠阻尼 (0 1)二阶系统的单位阶跃响应
2 n C ( s) 2 2 R(s) s + 2n s + n
2 n 1 c( s ) 2 2 s + 2n s + n s
nt
s1,s2完全取决于ξ，n两个参数。 当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：