一元二次不等式所表示的平面区域及求最值问题---精品资料
第04讲 一元二次不等式及其解法(解析版)
第04讲一元二次不等式及其解法(解析版)在数学中，一元二次不等式是一种包含一个未知数的二次不等式。
在解决一元二次不等式的问题时，常用的方法有图形法、试探法、代入法和区间判定法等。
本文将对一元二次不等式的解法进行解析，并详细介绍各个方法的应用。
一、图形法图形法是解决一元二次不等式问题的一种直观方法。
我们可以绘制一元二次不等式的函数图像，并观察函数图像与坐标轴的交点。
通过观察交点的位置，我们可以判断出一元二次不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x > 0，我们可以将其转化为方程x^2 - 4x = 0，并绘制出函数图像。
解方程得到两个根x = 0和x = 4，并在坐标轴上标记出这两个点。
由于不等式为大于0，即x^2 - 4x > 0，我们需要找到函数图像在x = 0和x = 4之间的部分。
从图形上观察得知，解集为x ∈ (0, 4)。
二、试探法试探法是解决一元二次不等式问题的一种简单有效的方法。
我们通过取特定的值来检验不等式的成立情况，从而确定解集的范围。
以不等式x^2 - 5x + 6 < 0为例，我们可以通过对不等式两边同时代入特定的值，如x = 0、x = 3、x = 4等，来观察不等式的成立情况。
经过试探可知，当x ∈ (2, 3)时，不等式成立。
因此，解集为x ∈ (2, 3)。
三、代入法代入法是一种将不等式转化为方程然后解方程的方法。
我们通过将不等式两边同时减去一个常数，使其转化为一个等式，然后通过解方程求解解集。
例如，在解决不等式x^2 - 3x > 2时，我们可以将不等式转化为方程x^2 - 3x = 2。
然后，我们将方程两边同时减去2，得到x^2 - 3x - 2 = 0。
通过解方程可以得出两个根x = -1和x = 2。
由于不等式为大于2，即x^2 - 3x > 2，我们需要找到函数图像在x = -1和x = 2之外的部分。
因此，解集为x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)。
一元二次方程如何求最大值最小值
一元二次方程的最大值和最小值求解方法在数学中，一元二次方程是一个常见且重要的数学概念。
求解一元二次方程的最大值和最小值，通常可以通过求解方程的顶点来实现。
以下将介绍一元二次方程如何求取最大值和最小值的具体方法。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个方程中，a控制抛物线的开口方向，b控制抛物线的位置，c控制抛物线的纵坐标。
二、求解一元二次方程的最大值和最小值步骤步骤1：将一元二次方程化为顶点形式首先，要将一元二次方程化为顶点形式，即完成平方的过程。
通过配方法可以将一元二次方程整理成标准的顶点形式：a(x−ℎ)2+k。
步骤2：确定最大值和最小值接下来，通过观察a的正负来确定顶点的位置。
若a>0，则抛物线开口朝上，此时方程的最小值为顶点值；若a<0，则抛物线开口朝下，此时方程的最大值为顶点值。
步骤3：计算顶点坐标通过$x=-\\frac{b}{2a}$计算出顶点的横坐标，再将其带入一元二次方程得出顶点的纵坐标。
步骤4：得出最大值和最小值根据步骤3计算出的顶点坐标，即可得出一元二次方程的最大值或最小值。
三、实例演示对于一元二次方程2x2−4x+1=0，首先将其化为顶点形式：2(x−1)2−1。
由a=2>0可知，此抛物线开口朝上，因此最小值为顶点值。
通过计算顶点坐标可知，顶点为(1,−1)，即此方程的最小值为−1。
四、总结通过以上步骤可以看出，求解一元二次方程的最大值和最小值并不复杂，只需转化为顶点形式并观察抛物线的开口方向即可轻松求解。
这对于数学问题的解决具有一定的实用性和重要性。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解一元二次方程的求最大值和最小值的方法，从而提升对数学理论的理解与运用能力。
一元二次不等式及其解法 PPT
当a=-1时，如图1-26，一元二次函数y =x2+（1-a）x-a的图象
与x轴只有一 个交点（-1，0）.所以原不等式的解集为
（3）当a>-1时，如图1 - 27，一元二次函数y=x2+（1-a）x-a 的图 象与x轴从左至右有两个交点（-1，0）与（a，0）.所以原不等式 的解集为（-1，a）.
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我 们可以 利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式 x2-2x-3<0为例
1.画出一元二次函数y=x2-2x-3 的图象
它与x轴交点的横坐标分别是-1和3.即当x1=1，x2=3时 x2-2x-3=0
2.当 -1<X<3时，一元二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴的下方， 满足y<0.也就是说，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|1<x<3}
交点（ -2，0）(和13 , 0) 观察图象可得原不等式的解集为 {x | x 2或x 13}
解法2：
将原不等式可以转化为：（x+2）（3x-1）>0
或 即： x20, 3x10,
x+2<0 3x10
所以不等式的解集：{x | x 2或x 13} 思考：根据不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0
已知一元二次函数
y
1 2
x
2
4
x
2
（1）指出它的图象可以由
y
1 2
x2
函数的图象经过怎样的
变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最
大值或最小值
一元二次不等式组与平面区域
(A , B , C 为常数)
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二:相关概念
1、二元一次不等式（组）
（1）含有 两个 未知数，并且未知数的次数是 一次 的 不等式称为二元一次不等式。 （2）由几个二元一次不等式 组成的不等式组称为二 元一次不等式组。
2、二元一次不等式（组）的解集
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对 （x , y）,所有这样的 有序数对构成的集合称为二元一次 不等式（组）的解集。
y
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x x+4y―4=0
课堂练习1:
(1)画出不等式
4x―3y≤12 表示的平面区域
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y 4x―3y-12=0 x
y
x x=1
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例2、用平面区域表示不等式组
y < -3x+12 x<2y
的解集。
y
0 x-2y=0
x 3x+y-12=0
解：设x , y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮 数，于是满足以下条件
4x+y≤10 18x+15y ≤66 x≥0，X∈N y ≥0,y∈N
y
10 4x+y=10 5
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0 1 2 34 x 18x+15y =66
知识点小结：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 判定方法： 直线定界，特殊点定域。
当B>0时，A x + B y + C>0 表示直线上方的区域
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
一元二次不等式（组）所表示的区域如何快速确定 -完整获奖版
一元二次不等式（组）所表示的区域如何快速确定当我们在解决简单线性规划的问题的时候，我们会遇到这样的问题“我们该在什么范围去解决线性规划问题?”“我们该如何找到这个范围？”围绕这样的问题，我们来看一下如何确定形如ax+by+c>0（或<0）（a，b不同时为0）的不等式（组）所表示的区域。
因为a，b，c的正负情况有多种组合，所以在解答ax+by+c>0的形式的不等式的时候也会遇到变形成ax+by+c<0的形式，所以在此我们只讨论ax+by+c>0的形式的不等式所表示的区域如何确定。
当ax+by+c>0（a，b不同时为0）时，我们会遇到三种情况：1）当a=0，b≠0时，原不等式可化为by+c>0;这时若b>0，则不等式化为y>-c/b,它表示的区域是垂直于y轴的直线y=-c/b的上方；反之,若b<0,则不等式化为y<-c/b,它表示的区域是垂直于y轴的直线y=-c/b的下方。
2）当a≠0，b=0时，原不等式可化为ax+c>0;这时若a>o,则不等式化为x>-c/a,它表示的区域是垂直于x轴的直线x=-c/a的右侧；反之,若a<0,则不等式化为x<-c/a,它表示的区域是垂直于x轴的直线x=-c/a的左侧。
3）当a≠0，b≠0时，若b>0,则原不等式可化为y>-a/bx-c/b,它表示的区域是直线y=-a/bx-c/b的上方；若b<0,则原不等式可化为y<-a/bx-c/b,它表示的区域是直线y=-a/bx-c/b的下方。
不同时为0）型不等式所表示的区域的时候，首先可将不等式变形为y 或x 系数为1且在不等号的一侧，其他所有的项均在不等式的另一侧的形式；其次我们只需要观察变形后的不等式的不等号即可确定该不等式所表示的区域。
如，例1,求不等式2x+5y —3>0所表示的区域。
解：原不等式可化为y>-2/5x+3/5=-0.4x+0.6,我们可以先画出不等式的对应直线y=-2/5x+3/5=-0.4x+0.6的图像，如右图。
一元二次不等式组与平面区域
平面区域的性质
连通性
平面区域是连通的，即任意两点都可 以用一条完全位于该区域内的路径连 接起来。
封闭性
凸性
如果平面区域内的任意两点所连的线 段都完全位于该区域内，则该区域是 凸的。凸区域具有良好的几何性质， 便于进行数学分析和计算。
如果平面区域是由一个或多个闭合曲 线围成，则该区域是封闭的。封闭区 域具有明确的边界和内部。
一元二次不等式组 与平面区域
contents
目录
• 引言 • 一元二次不等式组的解法 • 平面区域的表示方法 • 一元二次不等式组与平面区域的关系 • 一元二次不等式组与平面区域的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
目的和背景
研究目的
探讨一元二次不等式组与平面区域的关 系，以及如何利用不等式组表示平面区 域。
VS
研究背景
一元二次不等式组是数学中的重要概念， 与平面区域有着密切的联系。在实际问题 中，经常需要利用不等式组来表示某些平 面区域，例如经济学中的生产可能性边界 、物理学中的相图等。因此，研究一元二 次不等式组与平面区域的关系具有重要的 理论意义和应用价值。
一元二次不等式组的概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解的判别与性质
判别式
一元二次方程的判别式为Δ=b²-4ac，根据判别式的值可以 判断方程的根的情况。
解的性质
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有 两个相等的实根（即一个重根）；当Δ<0时，方程无实根 。
不等式组的解集性质
不等式组的解集可能是空集、一个区间或多个区间的并集 ，具体取决于不等式组中各个不等式的解集及其之间的关 系。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。
本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。
一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。
对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。
顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。
3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。
若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。
若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。
二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。
若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。
若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。
若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。
需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。
另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。
一元二次不等式所表示的平面区域及求最值问题
3.3.2（二）
x＋2y－5>0， 2．设实数 x，y 满足不等式组2x＋y－7>0，
x≥0，y≥0
且 x，y 为整
数．则 3x＋4y 的最小值是
(B )
A．14
B．16
C．17
D．19
本 讲
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，
栏
目
开
关
点 A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故 3x＋4y 的最小值是 3×4＋4×1＝16.
x∈Z，y∈Z
时，求 z＝5x＋
4y 的最大值及最优解．
本 讲 栏 目 开
解 若不考虑 x∈Z，y∈Z，则当直线经过点 A95，2130时， z＝1815，∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.
关
令 z＝18，则 5x＋4y＝18.
∵4y 为偶数，18 为偶数，∴5x 为偶数，∴x 为偶数． 结合可行域可知 x＝2，从而 y＝2. 经检验(2,2)在可行域内．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.2（二）
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近
的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每
辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙
本 讲
型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至
栏 目
故当 x＝20，y＝24 时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
答案 20 24
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.2（二）
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
一元二次不等式组与平面区域
一、创设情境:
一家银行的信贷部计划年初投入 2500 万元 用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可 带来 3 万元的收益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%。那么，信贷 部该如何分配资金呢？
问题：应该用什么不等式模型来刻画？
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二、新知探究：
（1）把实际问题转化为数学问题：
y
思考：当点A与点P有相同的横坐
标时，它们的纵坐标有什么关系？
x–y=6
●A (x,y2)
直线x – y = 6左侧坐标与不等式 O
x
x – y < 6有什么关系？
●P (x,y1)
直线x – y = 6右侧的坐标呢？
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结论：在平面直角坐标系中，以二元
y
一次不等式x – y < 6的解为坐标的点都
y Ax + By + C = 0
O
x
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例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解：画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） 所以，不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域在直线x + 4y – 4 = 0的
左侧如图所示。
y
x x+4y―4=0
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直线叫做这两个区域的边界。
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从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0(或<0)在平面直角坐标 系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧 所有点组成的平面区
域，（虚线表示区域不包括边界直线，实线包括边界直线）
一元二次不等式及其解法
多元线性不等式的概念
多元线性不等式的解法
多元线性不等式
分式不等式的概念
分式不等式是指形如$\frac{ax + b}{cx + d} > e$或$\frac{ax + b}{cx + d} < e$的不等式，其中a,b,c,d是常数，且$ad - bc \neq 0$。
分式不等式的解法
对于分式不等式的解法，一般需要通过因式分解或者使用穿根法来求解，同时需要注意处理分母为零的情况。
分式不等式
06
一元二次不等式练习题及解答
练习题
4. $- x^2 + 3x - 4 <= 0$
3. $3x^2 - 2x - 5 >= 0$
2. $x^2 - 4x + 4 > 0$
求解下列一元二次不等式
一般形式
当一元二次不等式的判别式b²-4ac≤0时，不等式的解为全体实数，此时不等式为非闭口形式
当一元二次不等式的判别式b²-4ac>0时，不等式的解为两个实数根之间，此时不等式为闭口形式
特殊形式
02
一元二次不等式的解法
1
代数法
2
3
将不等式化简为 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0 的形式。
分段函数
在数学中的应用
一元二次不等式可以用来解决一些运动问题，例如求解物体运动的最小速度和最大速度。
运动问题
一元二次不等式可以用来解决一些波动问题，例如求解波的传播速度和振动频率等。
波动问题
在物理中的应用
一元二次不等式平面区域
2x+y-6=0
练习1. 画下列不等式表示的区域：
⑴ x－ｙ＋１＜0 ⑵２ｘ＋３ｙ≥6 （３） 2x+y＞0
y
Y
1 -1 Y
左上方
X
右上方
2 O 3 X
o
o
x
右上方
注：若不等式不取＝，则边界应画成虚线， 否则应画成实线。
例题分析 例2 画出
x－ｙ＋５≥０ x＋ｙ≥０
表示的平面区域
x+y=0
x－y+5=0
表示什么图形？
实验一
请同学们画出直线x + y -1=0 的图像
a)在直线x+y-1 = 0上的点
y
右上方区域
x+y-1>0 x
b)在直线x + y -1=0右上方区域内
０
c)在直线x + y = 0左下方区域内 x+y-1＜0
左下方区域
x+y-1=0
实验二
分别作出下列点的坐标并观察它们在坐标系中的
(1) 3 x y 100 x 10 (2) 则有 y 20 (3) x, y N
二、新知探究：
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式； （2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组； （3）二元一次不等式（组）的解集： 满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；
二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域
如何判断二元一次不等式的平面区域
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0(A,B不全 为0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
一元二次不等式组与平面区域
使用图像法或代数法来解决一元二次不等式组，找到其中所有不等式的交集部分， 即为解集。
3
搜索图
使用图像法时，每个一元二次不等式都代表平面上的一个区域，交集部分即为解 集。
什么是平面区域？
定义
平面区域是平面上的一个 特定形状，由所有内部点 组成。
表示方法
可使用不等式或者标明各 边界线段的端点和含/不含 关系来表示。
实例3：确定平面上是否 存在一些点
将点的坐标用不等式表示后， 求解解集即可判断是否存在这 些点。
结论和要点
1 一元二次不等式组
2 平面区域
是由若干个一元二次不等式组成，可以使 用图像法或代数法求解。
是平面上的特定形状，可以用不等式或边 界线段来表示。
次不等式组与平面区域相关 联，可以更好地解决涉及区域的问题。
一元二次不等式组与平面区域的相关知识 可以应用到各种各样的问题中，如求解面 积、方程组的解集等。
一元二次不等式组与平面 区域
在这个演示文稿中，我们将了解一元二次不等式组的定义和求解方法以及平 面区域的定义和表示方法，并将探讨如何把它们联系起来解决相关问题。
什么是一元二次不等式组？
1
定义
一元二次不等式组是由两个或多个一元二次不等式组成，其中每个不等式都由未 知数的平方项和一次项组成。
2
求解方法
搜索图
平面区域可以有各种各样 的形状，包括三角形、正 方形、圆形等等。
将一元二次不等式组与平面区域相关联
1
将不等式转化为区域
将每个一元二次不等式表示为平面区域后，通过求解交集部分找到解集。
2
找到合适的区域
问题通常会要求找到满足一些条件的区域，这时需要对问题进行建模，用不等式组来表 示特定的区域.
一元二次不等式及其解法全
要点梳理
2.分式不等式与一元二次不等式的关系:
⑴
x a 0 ( x a)( x b) 0; xb
(2)
f (x) g( x)
≥
0
f (x)g(x)
g(
x)
0
≥
0
主页
题型一 解一元二次不等式
求下列不等式的解集.
(1) 4x2 4x 1 0
(2) x 2 2x 3 0
⑶ 3x 2 2x2
有两相等 实根x1=x2 {x|x≠x1}
Δ<0
y
O
x
无实根
R
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
用程序框图描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的求解的
算法过程
主页
上述不等式 ax2+bx+c>0(<0)中的 a 均大于 0，若 a<0，则可先进行转化，使 x2 的系数为正，但一 定注意在转化过程中不等号的变化.
主页
已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,
或 x 1 }, 求 ax2 -bx+c>0的解集.
2
解: 由已知得
2, 1 是方程ax2 bx c 0 2
的两个根，且a＜0，
144aa122bb
c c
0, 0.
解得
b
5 2
a
,c
a.
∴不等式 ax2 bx c 0 即为 2x2 5x 2 0
高三数学第一轮复习
主页
知识网络
不等式的基本性质
两个实数大小的比较
不
一元二次不等式及 其解法
不等式的实际应用
一元二次方程如何求最大最小值
一元二次方程如何求最大最小值在数学中，一元二次方程是形如x2+bx+c=0的方程，其中x是未知数，b和c是已知系数。
解一元二次方程的过程中，我们不仅可以求出方程的根，还可以利用一些方法来求解方程的最大值和最小值。
本文将介绍一元二次方程如何求最大最小值的基本原理及方法。
首先，让我们考虑一元二次方程y=ax2+bx+c，其中a为非零常数。
这个方程表示的是一个抛物线，对于抛物线而言，它可能开口向上，也可能开口向下。
求解这个方程的最大值和最小值，实质上就是求解抛物线的顶点坐标。
求解一元二次方程的最大最小值有两种常用方法：一种是通过配方法将一元二次方程化为标准形式求得顶点坐标，另一种则是直接利用顶点公式求解。
1. 配方法：首先，将一元二次方程y=ax2+bx+c通过“配方法”转化为标准的顶点形式。
这个过程可以通过将a提出因子，并配方完成：$y = a(x^2 + \\frac{b}{a}x) + c$$y = a[(x + \\frac{b}{2a})^2 - (\\frac{b}{2a})^2] + c$$y = a(x + \\frac{b}{2a})^2 - a(\\frac{b}{2a})^2 + c$$y = a(x + \\frac{b}{2a})^2 - \\frac{b^2}{4a} + c$通过上述操作，我们将一元二次方程转化为标准形式y=a(x−ℎ)2+k。
因此，该顶点坐标为(ℎ,k)，其中$h = -\\frac{b}{2a}$，$k = c - \\frac{b^2}{4a}$。
2. 直接利用顶点公式：根据一元二次函数的顶点公式，我们可以直接求解顶点坐标。
对于一元二次方程y=ax2+bx+c，它的顶点坐标为$(-\\frac{b}{2a}, c - \\frac{b^2}{4a})$。
其中，$h = -\\frac{b}{2a}$，$k = c - \\frac{b^2}{4a}$。
一元二次不等式的解法ppt课件
_______
x∈R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．
－c_≤
ax__
＋_b__≤
c
①|ax＋b|≤c⇔____
____
___；
≥_c__
或__ax
b≤－
c
②|ax＋b|≥c⇔__ax
__＋
__b
___
__＋
_____
___．
绝对值不等式的解法
不等式3≤|5－2x|＜9的解集为 ( D )
x－1≠0，
1
{x|x≥1或x<0}
不等式x ≤1 的解集为______________.
解析
xx－1≥0，
x－1
1
∴x≥1 或 x<0.
∵x ≤1，∴ x ≥0，∴x≠0，
分式不等式的解法
分式不等式的解法：
先通过移项、通分整理，再化成整式不等
式来解.
如果能判断出分母的正负，直接去分母即
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
下
课
啦
解二次不等式
① x 2x 3 0
判 别 式
△> 0
2
② 9x 6x 1 0 ③ x 4x 5 0
2
2
△= 0
△< 0
y
y
方程的根
图
像
开
口
y
O
含参问题
练. 设a∈R，解关于x的不等式 x2＋ax+2>0.
解含参数的一元二次不等式的步骤
一元二次不等式与平面区域
)3,5(A)1,1(B)522,1(Co xy一元二次不等式与简单线性规划问题知识点1.一元二次不等式含义例1. 已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，求m 的取值范围。
知识点2.画平面区域1、画出不等式260x y +-<表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x yx 表示的平面区域3、画出下列不等式表示的平面区域（1）1+>x y ； （2）．y x >； （3）．y x >（4）．3<+y x4、画出下列不等式表示的平面区域（1）(5)()0x y x y -++≥； （2）．220x y -≥；知识点3.写出平面区域表示的不等式例1、画出下列区域表示的不等式组(1) (2)知识点4.求可行域的面积例1.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为_______例2.由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少?例3.已知R y x ∈,，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥02|||1|x x y x y 表示的平面区域的面积是_______知识点5.简单线性规划问题例1.x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x 求y x z -=的最大值、最小值。
例2.设变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求目标函数y x z +=2取值范围。
例3.若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，求4x +2y 的取值范围．例4.已知x ，y 满足约束条件 50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z -=4的最小值为______________．例5.在△ABC 中，三顶点坐标为A （2 ，4），B （－1，2），C （1 ，0 ）， 点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则 z = x – y 的最大值和最小值分别是。
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此时 z＝80x＋120y 取得最大值．
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3.3.2（二）
x＋2y＝900， 由 2x＋y＝600
解得点 M 的坐标为(100,400)．
所以当 x＝100，y＝400 时， zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大．
9 23 A5，10时，z
求 z＝5x＋4y
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取到最大值，
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x＋4y≤11， 3x＋2y≤10， 问题 2 当变量 x，y 满足 x>0，y>0， x∈Z，y∈Z 4y 的最大值及最优解．
解 若不考虑 x∈Z， y∈Z， 则当直线经过点 1 z＝18 ，∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z. 5 令 z＝18，则 5x＋4y＝18.
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填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.2（二）
1．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 意义 由变量 x，y 组成的 不等式或方程 由 x，y 的 一次不等式(或方程)组成 的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x，y 的函数解析式 关于 x，y 的一次 解析式 满足 线性约束条件 的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合
3.3.2（二）
时，求 z＝5x＋
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9 23 A5，10时，
∵4y 为偶数，18 为偶数，∴5x 为偶数，∴x 为偶数．
结合可行域可知 x＝2，从而 y＝2.
经检验(2,2)在可行域内．
从而，zmax＝18，最优解为(2,2)．
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3.3.2（二）
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表 示的平面区域，即可行域．
作直线 l：80x＋120y＝0， 即直线 l：2x＋3y＝0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直 线经过可行域上的点 M，
3.3.2（二）
x＋2y≤900， 2x＋y≤600， ⇒ x≥0， y≥0.
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填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.2（二）
2．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
解 由题意可画表格如下： 方木料(m3) 五合板(m2) 书桌(个) 书橱(个) 0.1 0.2 2 1 利润(元) 80 120
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(1)设只生产书桌 x 个，可获得利润 z 元，
0.1x≤90 则2x≤600 z＝80x
x≤900 ⇒ x≤300
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【典型例题】 例 1 某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成 书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3， 五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利 润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？
3.3.2（二）
3.3.2
【学习目标】
简单的线性规划问题(二)
1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 【学法指导】 1．线性规划在实际生产和生活中应用十分广泛，应通过具 体实例体会如何在解决实际问题中建立线性规划模型， 并准确运用图解法解决问题． 2．最优整数解问题，可以先不考虑 x，y 取整数的限制，获 得一般的最优解后，再在可行域内适当调整，从而确定最 优整数解即可．
3.3.2（二）
⇒x≤300.
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所以当 x＝300 时，zmax＝80×300＝24 000(元)，即如果只安 排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元．
(2)设只生产书橱 y 个，可获得利润 z 元，
0.2y≤90 y≤600 则1· z＝120y
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3.3.2（二）
[问题情境] 在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定 一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完 成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务， 问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资 源最小．
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探究点 线性规划中的最优整数解问题
3.3.2（二）
x＋4y≤11， 问题 1 设变量 x，y 满足条件3x＋2y≤10， x>0，y>0， 的最大值及最优解．
解 根据约束条件画出可行域如图 所示． 3 5 1 ∵－ <－ <－ ， 2 4 4
∴当直线 z＝5x＋4y 经过点 9 23 1 且 zmax＝5×5＋4×10＝185.
小结 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用
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表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题 的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证．
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3.3.2（二）
跟踪训练 1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产 不少于 15 吨，已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨，电力 4 千瓦， 劳动力 3 个(按工作日计算)；生产乙产品 1 吨需煤 4 吨，电 力 5 千瓦，劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨 价 12 万元；但每天用煤量不得超过 300 吨，电力不得超过 200 千瓦，劳动力只有 300 个，当每天生产甲产品________ 吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工 厂每天的利润最大．
y≤450 ⇒ y≤600
⇒y≤450.
所以当 y＝450 时，zmax＝120×450＝54 000(元)，即如果只安 排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．
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(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元，
0.1x＋0.2y≤90 2x＋y≤600 则 x≥0 y≥0 z＝80x＋120y.