2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：模块综合测评
2019-2020年高中数学模块综合质量测评新人教A版选修
2019-2020年高中数学模块综合质量测评新人教A 版选修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案： A2．设有一个回归方程y ∧＝6－6.5x ，变量x 每增加一个单位时，变量y ∧平均( ) A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位D ．减少6个单位解析： y ∧＝6－6.5x 的斜率为－6.5，故x 每增加一个单位，y ∧就减少6.5个单位． 答案： C3．下列框图中，可作为流程图的是( )解析： 流程图具有动态特征，只有答案C 符合． 答案： C4．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－⎝⎛⎭⎫－a b＋－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2解析： A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．答案： D5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析： 结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解． A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 答案： D6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，且n ∈N )，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列选项中正确的是( )A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．a 100＝－b ，S 100＝2b －aC ．a 100＝－b ，S 100＝b －aD ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析： a 3＝a 2－a 1＝b －a ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2b ； a 4＝a 3－a 2＝－a ，S 4＝S 3＋a 4＝2b －a ； a 5＝a 4－a 3＝－b ，S 5＝S 4＋a 5＝b －a ； a 6＝a 5－a 4＝a －b ，S 6＝S 5＋a 6＝0； a 7＝a 6－a 5＝a ，S 7＝S 6＋a 7＝a . 通过观察可知a n ，S n 都是6项一重复，所以由归纳推理得a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a ，故选A. 答案： A7．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是( )A.y ∧＝5－17xB.y ∧＝－5.75x ＋1C.y ∧＝17－5x D.y ∧＝5.75＋1.75x解析： 由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)，可得x ＝3＋7＋113＝7，y ＝10＋20＋243＝18，即样本中心点为(7,18)，∴b ＝3×10＋7×20＋11×24－7×18×332＋72＋112－72×3＝1.75，a ＝18－1.75×7＝5.75，所以y ∧＝1.75x ＋5.75. 答案： D8．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析： ①是结论形式，③是小前提． 答案： D9．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( ) A ．S <8 B ．S <9 C ．S <10D ．S <11 解析： 根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S <9.答案： B10．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n ·b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”解析： 对于A ：“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B ：“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C ：将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc ”是正确的；对于D ：“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n＋b n ”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.答案： C11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320 B ．15C.14D ．25解析： 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，故选D. 答案： D12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：数学物理 85～100分85分以下合计 85～100分 37 85 122 85分以下 35 143 178 合计72228300现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( ) A ．0.5% B ．1% C ．2% D ．5%附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828解析： 代入公式得K 2的观测值 k ＝300×37×143－35×85272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．完成反证法证题的全过程．已知：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列． 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则____________均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝_______________＝_______________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析： 由反证法的一般步骤可知．关键推出矛盾．答案： a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)14．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析： 由复数相等的定义求得a ，b 的值，即得复数．由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i. 答案： 1＋2i15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案： 知识 并集 交集 补集16．把正偶数数列{2n }的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M (r ，t )表示该数阵中第r 行的第t 个数，则数阵中的数2 012对应于________．解析： 设由每一行的第一个数构成数列{a n }，则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，a n －a n －1＝2n －2. 以上各式相加可得a n ＝n 2－n ＋2.令n 2－n ＋2≤2 012，解不等式可得n 的最大值为45，所以2 012在第45行，第45行的第一个数为a 45＝452－45＋2＝1 982.因为2 012－1 982＝30,30÷2＝15，所以2 012为第16个数． 答案： (45,16)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i2＋i 2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解析： 因为z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i3＋4i＝15－5i 3－4i3＋4i3－4i＝25－75i25＝1－3i ，所以 (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i1＋3i＝11＋3i 10＝1110＋310i.18．(本小题满分12分)某自动化仪表公司组织结构如下： (1)董事会下设总经理；(2)总经理分管甲、乙两副总经理、办公室、财务部、开发部；(3)副总甲负责销售部，副总乙负责生产部、品管部、采购部，而品管部又下设三个车间． 试绘出该公司组织的结构图． 解析： 结构图如图所示：19．(本小题满分12分)若a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 为非负实数， 求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 证明： 要证a ＋b ＋c ≤3， 只需证(a ＋b ＋c )2≤3，展开得a ＋b ＋c ＋2(ab ＋bc ＋ca )≤3， 又因为a ＋b ＋c ＝1， 所以即证ab ＋bc ＋ca ≤1. 因为a ，b ，c 为非负实数，所以ab ≤a ＋b 2，bc ≤b ＋c 2，ca ≤c ＋a2.三式相加得ab ＋bc ＋ca ≤2a ＋b ＋c2＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≤1成立．所以a ＋b ＋c ≤3.20．(本小题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：采桑 不采桑 合计 患者人数 18 12 健康人数 5 78 合计利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？解析： 由题意知，a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113.所以k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝113×18×78－5×12230×83×23×90≈39.6＞10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.21．(本小题满分13分)已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．解析： sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°) ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.22．(本小题满分13分)某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年份 xx xx xx xx xx x 用户(万户) 1 1.1 1.5 1.6 1.8 y (万立方米)6791112(1)检验是否线性相关； (2)求回归方程；(3)若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？ 解析： (1)作出散点图(如图)，观察呈线性正相关．(2)x ＝1＋1.1＋1.5＋1.6＋1.85＝75，y ＝6＋7＋9＋11＋125＝9，∑i ＝15x 2i ＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26， ∑i ＝15x i y i ＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝66.4－5×75×910.26－5×4925＝17023，a ＝y －b x ＝9－17023×75＝－3123，∴回归方程为y ＝17023x －3123.(3)当x ＝1.8＋0.2＝2时， 代入得y ＝17023×2－3123＝30923≈13.4.∴煤气量约达13.4万立方米．.。
新人教A版选修22019_2020版高中数学模块综合测评(B)(含解析)
模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:若θ=150°,则sin θ=1,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),则a的值为()A.1B.1C.8D.4解析抛物线的标准方程为x2=1y,因为抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),所以1=2,所以a=1,故选A.答案A3.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是()A.1,1,1B.(-1,-3,2)C.-1,,-1D.(,-3,-2)解析因为1-1--1=-2,即a=-2-1,,-1,所以-1,,-1与a平行.答案C4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.-y2=1D.x2-=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案A5.若命题s:∃x0>2,0-3x0+2>0,则()A.s:∃x>2,x2-3x+ ≤0B.s:∀x>2,x2-3x+ ≤0C.s:∃x≤ ,x2-3x+ ≤0D.s:∀x≤ ,x2-3x+ ≤0解析原命题s是特称命题,其否定应为全称命题.答案B6.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为边AB,OC的中点,P是MN上的点,满足=2,设=a,=b,=c,则等于()A.1a+1b-1cB.1a+1b+1cC.1a+1b+1cD.1a+1b+1c解析∵ 1),1,∴ 1).∴ 1a+1b+1c,故选D.答案D7.双曲线=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2|=|PA2|,则双曲线的离心率为()A.5B.C.D.解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=x上,则P(2a,2b),由|A1A2|=|PA2|可得4a2=a2+4b2,又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=.答案C8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD= 0°,且A1A=3,则A1C 的长为()A.5B.2C. 1D. 1解析因为111111,所以|1|2=(11111)2=|11|2+|11|2+|1|2+2(111111111)=1+1+9+2(0+1×3×cos1 0°+1×3×cos1 0°)=5,故A1C的长为5.1答案A9.若点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则1的取值范围是()A.-1,-1B.-1,-1C.[-1,0]D.-1,0解析以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1)(0≤x≤1,0≤y≤1).则=(1-x,-y,-1),1=(-x,1-y,0),于是1=x2-x+y2-y=-1-11.因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以0≤-11,0≤-11,故-1-1-11≤0.答案D10.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F(1,0),|AF|=(5-1)=5,过A点作准线l的垂线AD交直线l 于D,设P到准线的距离为d,则|PF|=d,则△PAF周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P、A、D三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F 1,且与椭圆在第二象限的交点为M ,与y轴的交点为N ,F 2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF 2|,则椭圆的方程为( ) A.=1B.5+y 2=1C. 10+y 2=1D. 10=1解析直线3x-y+6=0与x 轴、y 轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F 1(-2,0),N (0,6),于是c=2.又因为2a=|MF 1|+|MF 2|=|MN|+|MF 1|=|NF 1|= =2 10,于是a= 10,从而b 2=10-4=6,故椭圆方程为 10=1.答案D12.如图,四面体ABCD 中,AB ,BC ,BD 两两垂直,BC=BD=2,点E 是CD 的中点,异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为1010,则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A.B.C.D.1解析以B 为原点,BC ,BD ,BA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a ,则A (0,0,a ),E (1,1,0),B (0,0,0),C (2,0,0),D (0,2,0),于是 =(0,2,-a ), =(1,1,0),则|cos < >|= 1010, 于是1010,解得a=4或a=-4(舍).这时 =(2,0,-4), =(0,2,-4), 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则 - 0, - 0,取n =(2,2,1), 于是sin θ=|cos < ,n >|=.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M ,N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点,P 为线段MN 的中点,若 =λ +μ +γ ,则实数λ+μ+γ= .解析如图,连接ON,在△OMN中,点P是MN中点,则由平行四边形法则得1)=1111 1)=111,∴λ+μ+γ=.答案14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,M是抛物线C上的点,且MF⊥x 轴.若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2,则p=.解析由题意可得大致图形如下:由y2=2px可得:A-,0,F,0,M,,由抛物线的对称性可知,取M,与M,-结果一致,不妨令M,,∴以AF为直径的圆的方程为x2+y2=;直线AM方程为x-y+=0.设圆心到直线距离为d,则d=,∴直线AM被圆截得弦长为2-=2⇒p=2.答案215.已知p:-<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,则实数m的取值范围是.解析由-<0(m>0),解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有-0,,0,或-0,,0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-0,,0,或-0,,0,解得m≥ 或m>2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).答案(0,2)16.椭圆5=1的离心率e=155,则m=.解析若0<m<5,则e2=5-51555,∴m=2,若m>5,则e2=-55,∴m= 5.∴m的值为2或 5.答案2或 5三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.解∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴m>2.∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,∴4m2-4(2m+3)<0,解得-1<m<3.“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题⇔p,q恰有一真一假.①若“p真q假”,则,-1或 ,即m≥ ;②若“p假q真”,则,-1,即-1<m≤ .综上,实数m的取值范围是(-1,2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD为菱形,AB=2,∠DAB= 0°,ED⊥面ABCD,EF∥DB,EF=1,异面直线AF,CD所成角的余弦值为.(1)求证:面ACF⊥面EDB;(2)求二面角B-AF-E的余弦值.(1)证明∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵ED⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,∴ED⊥AC,∵BD∩ED=D,∴AC⊥面EBD,∵AC⊂面ACF,∴面ACF⊥面EDB.(2)解∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∠DAB= 0°,∴DB=2,DO=1,∵EF∥DB,EF=1,∴EF∥DO,EF=DO,∴四边形EFOD是平行四边形,∴ED∥FO,∵ED⊥面ABCD,∴FO⊥面ABCD,以O为原点,OA,OB,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(,0,0),D(0,-1,0),C(-,0,0),设F(0,0,t),则=(-,0,t),=(-,1,0),cos<>=(t>0),解得t=,则F(0,0,),=(0,1,0),∵B(0,1,0),E(0,-1,),∴ =(-,1,0),=(-,0,),设平面AFB的法向量m=(x,y,z),则-0,-0,取x=1,得m=(1,,1),设平面AFE的法向量n=(x,y,z),则0,-0,取x=1,得n=(1,0,1),设二面角B-AF-E的平面角为θ,由图形得θ为钝角,则cosθ=-=-5=-105.∴二面角B-AF-E的余弦值为-105.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.解(1)直线AB的方程是y=2-,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y2=8x.(2)因为p=4,所以4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=1AD,∠ADP= 0°,∠BAD= 0°,E是PD的中点.(1)证明:PD⊥PB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为10,求二面角M-AB-P的余弦值.5解(1)证明:∵平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,∠BAD= 0°,所以AB⊥AD.由面面垂直的性质定理得AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,在△PAD中,∵AP=1AD,∠ADP= 0°,∴∠APD= 0°,即PD⊥AP,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,1,1),C1,1,E,0,0,设M a,1a,a(0≤a≤1),则=a,1a-1,a-1,=0,-1,-1,∴cos<>=-5-5105,得a=,∴ ,-,-1,而=(0,0,1),设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),由0,0,可得--0,0,令x=2,则n=(2,,0),取平面PAB的法向量m=(1,0,0),则cos<m,n>=,故二面角M-AB-P的余弦值为.21.(本小题满分12分)已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论.解(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A0,0,,B,0,0,C0,,0,E0,,,F,,0,设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则0,0,即0,0,取n=(3,-,3).又因为-,,0,于是cos<,n>==- 1,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于1-- 1.(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,令=λ,即=λ-,,0-,,0,则P-,,0,于是-,,-.因为AP⊥DE,所以=0,即-,,-0,,=0,则λa2-1a2=0,解得λ=1.故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.22.(本小题满分12分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且11=0,过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:x-y-3=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,问在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),则点F1的坐标为(-c,0),点F2的坐标为(c,0),设点Q的坐标为(x0,0),且x0<0,如下图所示,=(x0+c,0),1=(2c,0),1∵ 11=0,则x0+c+2c=0,所以,x0=-3c,则点Q的坐标为(-3c,0),∵直线AF2与直线AQ垂直,且点A(0,b),所以,=(c,-b),=(-3c,-b),由=b2-3c2=0,得b2=3c2,则b=c,a==2c.△AQF2为直角三角形,且F2Q为斜边,线段F2Q的中点为F1(-c,0),△AQF2的外接圆半径为2c.由题意可知,点F1到直线x-y-3=0的距离为=2c,所以,c=1,a=2c=2,b=c=,因此,椭圆C的方程为=1.(2)由题意知,直线l的斜率k≠0,并设t=1,则直线l的方程为x=ty+1, 设点M(x1,y1),N(x2,y2).将直线l的方程与椭圆C的方程联立1, 1,消去x得(3t2+4)y2+6ty-9=0,由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-.∴1=-1=t1+1=.所以,线段MN的中点为点E-.由于以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,则PE⊥MN,则k PE k MN=-1,所以,k PE=-t.由两点连线的斜率公式可得k PE=-=-t,得m=1.由于k≠0,则t=1≠0,所以,t2>0,所以,m=1∈0,1.因此,在x轴上存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,且实数m的取值范围是0,1.11。
2019-2020学年数学选修2-2人教A版练习：综合学业质量标准检测1
综合学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设复数z 在映射f 下的象是z ·i ，则－1＋2i 的原象为( A ) A ．2－i B ．2＋i C ．－2＋iD ．－1＋3i[详细分析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ·i ＝(x －y i)·i ＝y ＋x i ＝－1＋2i ， ∴y ＝－1，x ＝2，故z ＝2－i.故选A ．2．k (k ≥3，k ∈N ＋)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( A ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[详细分析] 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．故选A ． 3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[详细分析] 因为y ＝1－2x ＋2＝xx ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．定积分⎠⎛12x 2＋1xd x 的值为( A )A ．32＋ln2B ．34C ．3＋ln2D ．12[详细分析] ⎠⎛121＋x 2x d x ＝⎠⎛12(1x ＋x )d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x |21＋12x 2|21＝ln2－ln1＋12×22－12×12＝32＋ln2.5．如图是某年元宵花灯中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )[详细分析] 观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A 选项中的图形． 6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( A )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个大值点，3个极小值点[详细分析] 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得最小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值．由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点．7．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[详细分析]因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.8．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( A )[详细分析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A ．9．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( B ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9[详细分析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B ． 10．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为( A )A ．20182019B ．20172018C ．12019D ．12018[详细分析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2018＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＋1f (2018)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12017－12018)＋(12018－12019)＝1－12019＝20182019.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为( B )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[详细分析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( C )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个[详细分析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2019·天津卷理，9)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i [详细分析] ∵ 5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是(－∞，－53)和(1，＋∞).[详细分析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5， 令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是S 3n ＝3(S 2n －S n ).[详细分析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．16．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝1.[详细分析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．[详细分析] 因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， 所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)| ＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．18．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解+析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [详细分析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．20．(本题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[详细分析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.21．(本题满分12分)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，①1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列． 22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷理，20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性．(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．[详细分析] (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a3∪(0，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1,2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f⎝⎛⎭⎫a3＝－a327＋b，最大值为b或2－a＋b.若－a 327＋b＝－1，b＝1，则a＝332，与0＜a＜3矛盾．若－a 327＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0＜a＜3矛盾．综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：学期综合测评(一)
(－∞，0]上是减函数，又 F(x)＝xf(x)是偶函数，故 F(x)在[0，＋∞)上
是增函数，所以 F(3)＞F(2x－1)＝F(|2x－1|)，
∴|2x－1|＜3，∴－1＜x＜2，故 x 的取值范围是(－1,2)． 12．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且 0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
答案 A
解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且
x＋2－x 2
2
y′＝ x＋22 ＝x＋22，∴切线斜率 k＝y′|x＝－1＝1＝2. 由点斜式得切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，
即 y＝2x＋1.
2．若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则 z 为( )
lg c ∴lg a·lg b≥4lg c， 即 logac＋logbc≥4lg c. 证法二：要证 logac＋logbc≥4lg c，
lg c lg c 只需证lg a＋lg b≥4lg c. 又因为 c＞1，所以 lg c＞0，
11 故只需证lg a＋lg b≥4，
lg a＋lg b 即证 lg a·lg b ≥4.
∴lg a＋lg b＝lg (ab)＝1， lg c lg c lg clg a＋lg b lg c
则 logac＋logbc＝lg a＋lg b＝ lg a·lg b ＝lg a·lg b. ∵a＞1，b＞1，
∴lg a＞0，lg b＞0，
( ) lg a＋lg b 1 1
则 lg a·lg b≤ 2 2＝4，lg alg b≥4， 又 c＞1，lg c＞0.
|z|＜1⇒－1＜z＜1”
D．“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类 比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋ 2b＝c＋ 2d⇒a＝c，b＝d”
2019_2020学年高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2_2
学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析 由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．2 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a 2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝－＋－＋＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，求实数m 的值． 解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1， 所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积． 解 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′＝12a －b ＝0，f ＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解 设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ， 又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝k ＋＋1－k ＋－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。
2019秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：模块综合检测 Word版含解析.docx
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D3若复数2a+2i1+i(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析2a+2i1+i =(2a+2i)(1-i)2=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于() A.-4 B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2√解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2√不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取2的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2 016到2 018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2 016到2 018的方向为选项A中所示.答案A9给出以下命题:(1)若∫baf(x)d x>0,则f(x)>0;(2)∫2π|sin x|d x=4;(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则∫a0f(x)d x=∫a+TTf(x)d x.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解析(1)错误.如∫2-1x d x=12x2|-12=32>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.∫2π0|sin x|d x=∫πsin x d x+∫2ππ(-sin x)d x=4.(3)正确.∫a 0f(x)d x=F(x)|a=F(a)-F(0),∫a+T T f(x)d x=F(x)|Ta+T=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时() A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是( ) A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R ,而z 2不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用b 2-4ac 来确定根的个数.答案D12如图,设T 是直线x=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x 2交点的直线围成的直角梯形区域,S 是T 内函数y=x 2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T 中随机投一点,则该点落入S 中的概率为( ) A.15B.25C.13D.12解析解方程组{y =x 2,x =-1,得曲线y=x 2与直线x=-1交点的纵坐标y 1=1;解方程组{y =x 2,x =2,得曲线y=x 2与直线x=2交点的纵坐标y 2=4.所以直角梯形区域T 的面积为1+42×[2-(-1)]=152.又因为阴影部分S 的面积为∫ 2-1x 2d x=13x 3|-12=3,所以向T 中随机投一点, 则该点落入S 中的概率为3152=25.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 . 答案-214已知函数f (x )={ax 2+bx +c (x ≥-1),f (-x -2)(x <-1),在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+1,则f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 . 解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f (1)=3, 所以a+b+c=3.对函数f (x )=ax 2+bx+c 求导得f'(x )=2ax+b ,则f'(1)=2a+b=2.由已知得f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数f (x )=f (-x-2)求导得f'(x )=-f'(-x-2), 所以f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3. 答案y=-2x-315设等边三角形ABC 的边长为a ,P 是△ABC 内的任意一点,且P 到三边AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有d 1+d 2+d 3为定值√32a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体ABCD 内的任意一点,且点P 到平面ABC ,平面ABD ,平面ACD ,平面BCD 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则有d 1+d 2+d 3+d 4为定值 .解析在等边三角形ABC 中,d 1+d 2+d 3=√32a 为△ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4也应为四面体的高√63a. 答案√63a16若偶函数f (x )在x ∈(0,+∞)时满足f'(x )>f (x )x ,且f (1)=0,则不等式f (x )x ≥0的解集是 . 解析设g (x )=f (x )x (x>0),则g'(x )=f '(x )·x -f (x )x 2>0, 所以g (x )在(0,+∞)内是增函数. 当x>0时,由f (x )x ≥0=f (1)1,得x ≥1;当x<0时,-x>0,f (x )x ≥0⇔f (x )-x ≤0⇔f (-x )-x ≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0. 答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)若复数z 1满足z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位). (1)求z 1; (2)求|z 1|;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解. 解(1)由z 1=i(2-z 1),得z 1=2i1+i =1+i .(2)|z 1|=|z 1|=√2.(3)|z-z 1|表示复数z 与z 1分别对应的点Z 与Z 1间的距离,Z 在圆x 2+y 2=1上,Z 1(1,1),显然Z ,Z 1间的最大距离为√2+1,即|z-z 1|的最大值为√2+1.18(12分)设两抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求M 的面积. 分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解. 解解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数y=-x 2+2x 与y=x 2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M 的面积为∫ 10(-x 2+2x-x 2)d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-23x 3+x 2)|01=13. 所以M 的面积为13.19(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若1a ,1b ,1c 成等差数列,比较√ba 与√cb 的大小,并证明你的结论. 解大小关系为√ba <√cb ,证明如下:要证√ba <√cb ,只需证ba <cb , 因为a ,b ,c>0,所以只需证b 2<ac. 因为1a ,1b ,1c成等差数列,所以2b =1a +1c ≥2√1ac .所以b 2≤ac.又a ,b ,c 任意两边均不相等,所以b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12分)设△ABC 的两个内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,复数z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数z 1·z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解. 解△ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,所以z 1·z 2=(a cos A-b cos B )+i(a cos B+b cos A ). 又z 1·z 2为纯虚数,所以{acosA =bcosB ,acosB +bcosA ≠0,①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B , 即sin 2A=sin 2B. 因为A ,B 为△ABC 的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π. 所以2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2.也就是A=B 或C=π2. 由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A ≠0, 即sin(A+B )≠0.因为A ,B 是△ABC 的内角,所以0<A+B<π. 所以sin(A+B )≠0成立. 综上所述,知A=B 或C=π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 21(12分)已知函数f (x )=e x (ax 2+a+1)(a ∈R ). (1)若a=-1,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )≥2e 2对任意x ∈[-2,-1]恒成立,求实数a 的取值范围. 解(1)当a=-1时,f (x )=-x 2e x ,f (1)=-e .f'(x )=-2x e x -x 2e x .因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f (x )在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e . (2)由题意得,f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e2, 解得a ≥15.f'(x )=e x (ax 2+2ax+a+1)=e x [a (x+1)2+1]. 因为a ≥15,所以f'(x )>0恒成立, 所以f (x )在[-2,-1]上单调递增. 要使f (x )≥2e 2恒成立,则f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e 2,即a ≥15. 故实数a 的取值范围是[15,+∞).22(14分)设函数f (x )=(x-1)3-ax-b ,x ∈R ,其中a ,b ∈R .(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )存在极值点x 0,且f (x 1)=f (x 0),其中x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3; (3)设a>0,函数g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14. (1)解由f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当a ≤0时,有f'(x )=3(x-1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x )=0,解得x=1+√3a3,或x=1-√3a3. 当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递减区间为(1-√3a3,1+√3a3),单调递增区间为(-∞,1-√3a3),(1+√3a3,+∞).(2)证明因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠1.由题意,得f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2=a3,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=-2a x 0-a -b.又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b=8a (1-x 0)+2ax 0-3a-b=-2a x 0-a -b=f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0.所以x 1+2x 0=3.(3)证明设g (x )在区间[0,2]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a ≥3时,1-√3a3≤0<2≤1+√3a3,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}={a -1+(a +b ),a +b ≥0,a -1-(a +b ),a +b <0.所以M=a-1+|a+b|≥2.②当34≤a<3时,1-2√3a 3≤0<1-√3a 3<1+√3a 3<2≤1+2√3a3,由(1)和(2)知f (0)≥f (1-2√3a3)=f (1+√3a3),f (2)≤f (1+2√3a3)=f (1-√3a3),所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (1+√3a 3),f (1-√3a3)],因此 M=max {|f (1+√3a3)|,|f (1-√3a3)|} =max {|-2a9√3a -a -b|,|2a9√3a -a -b|} =max {|2a9√3a +(a +b )|,|2a9√3a -(a +b )|} =2a 9√3a +|a+b|≥29×34×√3×34=14.③当0<a<34时,0<1-2√3a 3<1+2√3a3<2, 由(1)和(2)知f (0)<f (1-2√3a 3)=f (1+√3a 3),f (2)>f (1+2√3a 3)=f (1-√3a3), 所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (0),f (2)],因此M=max{|f (0)|,|f (2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b )|,|1-a-(a+b )|} =1-a+|a+b|>14.综上所述,当a>0时,g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.。
2019-2020学年高二数学 模块综合检测卷 新人教A版选修2-2
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝(A )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i 解析：7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）25＝25－25i 25＝1－i ，故选A.2．i 是虚数单位，在复平面上复数2－i 1＋i 对应的点到原点的距离是(D )A.22 B.52 C.62 D.102解析：2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）2＝1－3i 2，所以复数2－i1＋i在复平面上对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，它到原点的距离为（12）2＋（－32）2＝102.故选D. 3．(2015·广东江门调研)i 是虚数单位，则(32i －12)(－12＋32i)＝(D ) A ．1 B ．－12＋32iC.12－32i D ．－12－32i 解析：⎝⎛⎭⎪⎫32i －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－34i －34＋14－34i ＝－12－32i.故选D.4．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于(B ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27解析：由题中数字可发现：2＋3＝5，5＋6＝11，11＋9＝20，故20＋12＝32. 5．(2015·海南省海南中学5月模拟改编)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则实数b 的值为(C )A ．1B ．－3C ．3D ．－1解析：y ′＝3x 2＋a ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝3，3＋a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选C.6．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”，故选A .7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是(A ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，|x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2，则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2. ∴复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线． 8．如图，阴影部分面积为(B )解析：9．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 解析：s ′(t )＝2t －1，s ′(3)＝2×3－1＝5.10．(2015·安徽江淮十校4月联考)二次函数f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x)>0的解集为(D )A ．(－3，1)B ．(－lg3，0) C.⎝⎛⎭⎪⎫11000，1 D ．(－∞，0)解析：由f ′(x )＝－x －1知f (x )＝－x 2－x ＋m ，又f (0)＝32，所以m ＝32，即f (x )＝－12x 2－x ＋32，f (x )＝－12x 2－x ＋32>0⇒－3<x <1，所以10x <1，x <0，故选D. 11．(2014·高考新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是(C )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，函数f (x )有两个零点33和－33，不满足题意，舍去；当a >0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0 ，得x ＝0或x ＝2a，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，且f (0)>0，此时在x ∈(－∞，0)必有零点，故不满足题意，舍去；当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0时，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，且f (0)>0，要使得f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a>0，即a 2>4，则a <－2，选C.12．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为(D)A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c 12nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q n （n －1）2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．解析：答案：1214．已知函数f (x )＝3x －x 3，当x ＝a 时取得极大值b ，则a ＋b 等于______________． 解析：由f ′(x )＝3－3x 2＝0，解得x ＝±1，当x ＜－1，f ′(x )＜0；当－1＜x ＜1，f ′(x )＞0；当x ＞1，f ′(x )＜0.故f (x )在x ＝1处取得极大值，所以a ＝1，b ＝3×1－13＝2，所以a ＋b ＝3.答案：315．若数列{}a n 的通项公式a n ＝1（n ＋1）2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________．解析：f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…[1－1（n ＋1）2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…(1－1n ＋1)(1＋1n ＋1)＝12×32×23×43×34×…×n n ＋1×n ＋2n ＋1＝n ＋22n ＋2.答案：n ＋22n ＋216．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .n ＝2，S 2＝4，n ＝3，S 3＝8，n ＝4，S 4＝12，…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)． 答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分11分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2.又＝z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )·(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4，∴z ＝4－2i.又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0， 解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2，6)．18．(本小题满分11分)设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ，若函数f (x )过点A (1，0)，求函数在区间[－1，3]上的最值．解析：因为函数过点A (1，0)，代入函数的解析式得a ＝1；f ′(x )＝3x 2－2x －1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以f (x )的最大值是f (3)＝16， 最小值是f (－1)＝f (1)＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根． 证明：(1)f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－（x －2）（x ＋1）2＝a x ln a ＋3（x ＋1）2，因为a ＞1，所以lna ＞0，所以f ′(x )＞0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜ax 0＜1. 所以0＜－x 0－2x 0＋1<1，即12＜x 0＜2，与假设x 0＜0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R，g (x )＝－12x 32，且f (x )<g (x )在(0，1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析：设F (x )＝f (x )－g (x )＝－x 3＋ax ＋12x 32，∵f (x )<g (x )在(0，1]上恒成立；F (x )<0在(0，1]上恒成立，∴a <x 2－12x 12，这样，要求a 的取值范围，使得上式在区间(0，1]上恒成立，只需求函数h (x )＝x 2－12x 12在(0，1]上的最小值．∵h ′(x )＝2x －14x＝（2x －1）（4x ＋2x ＋1）4x，由h ′(x )＝0，(2x －1)(4x ＋2x ＋1)＝0.∵4x ＋2x ＋1>0，∴2x －1＝0，x ＝14.又∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，h ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1时，h ′(x )>0，∴x ＝14时，h (x )有最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316，∴a <－316.21．(本小题满分12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)·f (1)>0，求证： (1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2<b a<－1；(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|<23. 证明：(1)若a ＝0，b ＝－c ，f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0， 与已知矛盾，所以a ≠0. 方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4(b 2－3ac )，由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －12c ）2＋34c 2>0. 故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)·f (1)>0，得c (3a ＋2b ＋c )>0. 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得(a ＋b )(2a ＋b )<0. ∵a 2>0，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a <0.故－2<b a<－1. (3)由条件，知x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝－a ＋b 3a ，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13.∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49.故33≤|x 1－x 2|<23.22．(本小题满分12分)(2015·佛山一模)设函数f (x )＝e xx －a的导函数为f ′(x )(a 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求实数a ，使曲线y ＝f (x )在点(a ＋2，f (a ＋2))处的切线斜率为－a 3＋6a 2＋12a ＋74.解析：(1)函数f (x )的定义域是(－∞，a )∪(a ，＋∞)，对f (x )求导得：f ′(x )＝e x （x －a －1）（x ＋a ）2， 由f ′(x )>0得x >a ＋1；由f ′(x )<0得x <a 或a <x <a ＋1，所以f (x )在(－∞，a )，(a ，a ＋1)上单调递减，在(a ＋1，＋∞)上单调递增．(2)由(Ⅰ)得f ′(a ＋2)＝e a ＋24，令e a ＋24＝－a 3＋6a 2＋12a ＋74得e a ＋2＋a 3＋6a 2＋12a ＋7＝0………①令a ＋2＝t ，则有e t＋t 3－1＝0，令h (t )＝e t＋t 3－1，则h ′(t )＝e t ＋3t 2>0，故h (t )是R 上的增函数，又h (0)＝0，因此0是h (t )的唯一零点，即－2是方程①的唯一实数解，故存在唯一实数a ＝－2满足题设条件．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n(n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C. 10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ) A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f(x)ex ，则g ′(x )＝f′(x)ex －f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：5 14．(天津高考)已知函数f (x )＝ax lnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010. 答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b＋a －cb －c＝a －b ＋b －ca －b＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数． 函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝an 2＋1an －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝S 1＝a12＋1a1－1，所以a 1＝－1±3. 又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a22＋1a2－1，所以a 2＝5－3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a32＋1a3－1，所以a 3＝7－5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋12＋1ak ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ak 2＋1ak －1 ＝ak ＋12＋1ak ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 解：(1)由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)， 恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤ex －12x2－1x .令g (x )＝ex －12x2－1x ，则g ′(x )＝ex(x －1)－12x2＋1x2.令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：模块综合测评
模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：5i2－i ＝5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b 成立 B.3a <3b 成立C.3a ＝3b 或3a <3b 成立D.3a ＝3b 且3a <3b 成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B.答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，由f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出 解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C .答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94C .174D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019. 答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ；④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确； ③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确． 答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5，所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ，∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a . (2)令f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a ＝0，可得a ＝－x 3＋6x 2－9x ， 设g (x )＝－x 3＋6x 2－9x ，则g ′(x )＝－3x 2＋12x －9， 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3，列表如下： x (－∞，1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g ′(x ) － 0 ＋ 0－ g (x )递减 有极小值－4 递增 有极大值0 递减要使a ＝－x 3＋6x 2－9x有且只有两个零点，只需直线y ＝a 与g (x )的图象有两个不同的交点， ∴实数a 的值为－4或0.19．(12分)(1)当a >2时，求证：a ＋2＋a －2<2a ； (2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项． 证明：(1)由题意得(a ＋2＋a －2)2＝2a ＋2a ＋2·a －2， ∵a －2>0，a ＋2>0，且a ＋2≠a －2，∴要证a ＋2＋a －2<2a ，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ， 即证a ＋2·a －2<a ，即证a 2－4<a 2，即证－4<0， 而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎡⎦⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.解析：(1)f ′(x )＝x －ax，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，所以a ＝4.(2)因为f ′(x )＝x －ax，f (x )的定义域为x >0，所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0.所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式． 解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1，所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以a n ＝2n (n ＋1).。
2019-2020学年人教A版数学选修2-2 全册综合测评 模块综合测评
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．－1或1B [由题意知⎩⎨⎧m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.]2．演绎推理“ 因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠ 1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数” ，所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是 ( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D [当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.]4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2A [y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2.] 6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．]7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]8．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>12(n>1，n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时左边需增加的代数式是()A.12k＋2B.12k＋1－12k＋2C.12k＋1＋12k＋2D.12k＋1B[从n＝k到n＝k＋1左边增加了12k＋1＋12k＋2，减少了1k＋1，∴需增加的代数式为12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋1－12k＋2.]9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于()A．1 B．2 C．3D．4C[面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AGGD＝2类比AOOM＝3，故选C.]10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]11．如图所示，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为 ( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．nB [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．]12．已知可导函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )>f (x )，则当a ＞0时，f (a )和e a f (0)的大小关系为( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )＝e a f (0)D ．f (a )≤e a f (0)B [令g (x )＝e －x f (x )，则g ′(x )＝e －x [f ′(x )－f (x )]>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，g (a )>g (0)．e －a f (a )>e 0f (0)，即f (a )>e a f (0)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则|a ＋b i|＝________. 5 [由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5.]14．由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________．133 [如图所示，S ＝⎠⎛1312x 2d x ＝16x 3⎪⎪⎪31＝16(33－13)＝133.] 15．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.]16．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a >0，b >0，用分析法证明：a ＋b 2≥2aba ＋b .[证明] 因为a >0，b >0，要证a ＋b 2≥2aba ＋b ，只要证，(a ＋b )2≥4ab ，只要证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立，故a ＋b 2≥2aba ＋b 成立．18．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z 2＋i的虚部．[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ， 故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋2，3－y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i＝2＋i ，虚部为1. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数．函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.20．(本小题满分12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)． 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h <6，O 1O ＝4h ，如图，连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6， 从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝2 3.当0<h <23时，V ′>0，V 是增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． [解] (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 21＝1，∵a n >0， ∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1. 由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立， 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。
新人教A版选修2-12019-2020年高中数学模块综合评价(含解析)
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A2．命题：“∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1≤0 B ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1>0 C ．∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≤0 D ．∃x 0∈R ，使x 2－x 0＋1<0 答案：C3．在空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，则该四面体的体积为( )A ．2 B.43C.223D.23答案：D4．在空间四边形ABCD 中，AB →·AD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．不确定答案：B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：C6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：因为|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值等于( )A.13 B.14C.19D.35答案：A8．三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.答案：A9．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|－|PF 2|＝±6，所以|PF 2|＝9或－3(舍去)． 答案：B10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33答案：D11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1)解析：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，所以p2＝1，所以该抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：B12．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知命题p ：∀x ∈R(x ≠0)，x ＋1x≥2，则¬p ：____________．解析：首先将量词符号改变，再将x ＋1x ≥2改为x ＋1x＜2.答案：∃x 0∈R(x 0≠0)，x 0＋1x 0＜214．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．答案：3515．在四面体O ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x4OB →＋x4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．答案：116．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：不存在三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2，所以1≤x ≤5. 所以¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，所以¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又因为¬p 是¬q 的充分而不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，解得2≤m ≤4，所以m 的取值范围为[2，4]．18．(本小题满分12分)求适合下列条件的标准方程． (1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程．解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以a ＝5，b ＝3，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为离心率e ＝2，所以a ＝b ，又因为双曲线经过点M (－5，3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b 无解．所以双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <3)的焦点为F ，点Q (m ，22)在抛物线C 上，且|QF |＝3.(1)求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；(2)直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若△AOB (O 为坐标原点)的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)因为抛物线C 过点Q (m ，22)，所以2pm ＝8， 又因为|QF |＝3，m ＋p2＝3，因为0<p <3，解得p ＝2，m ＝2，所以y 2＝4x ，m ＝2. (2)因为y 2＝4x 的焦点F (1，0)，设所求的直线方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得：y 2－4my －4＝0， 因为直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点， 所以Δ＝16m 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16，所以△AOB 的面积为12×|OF ||y 1－y 2|＝1216m 2＋16＝4，解得m 2＝3， 所以m ＝±3，所以所求直线l 的方程为x ＝±3y ＋1.20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点． (1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)求二面角A A 1D B 的余弦值．(1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，C (－1，0，0)，所以AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)． 因为AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1. 又BD 与BA 1交于点B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .(2)解：连接AD ，设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量．由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→为平面A 1BD 的法向量．cos 〈n ·AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32×22＝－64， 故二面角A A 1D B 的余弦值为64. 21．(本小题满分12分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小． 解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0，取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0，取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝12.因此二面角E AG C 为60°.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN |＋1|PQ |为定值．(1)解：因为e ＝c a ＝22，所以b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，所以a 2＝2b 2，所以椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.又点(2，2)在椭圆上，所以222b 2＋（2）2b 2＝1，解得b 2＝4，所以a 2＝8， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由(1)得椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由已知直线MN 的斜率不为0， 设其方程为y ＝k (x ＋2)， 由直线MN 与PQ 互相垂直，可得直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1，所以|MN |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝42（1＋k 2）2k 2＋1. 同理|PQ |＝42（1＋k 2）k 2＋2.所以1|MN |＋1|PQ |＝2k 2＋142（1＋k 2）＋k 2＋242（1＋k 2）＝3k 2＋342（1＋k 2）＝328. 所以1|MN |＋1|PQ |＝328为定值．。
2019_2020学年高中数学模块综合检测新人教A版选修2_2
模块综合检测(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z 等于 A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 ∵z ＋iz＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)． ∴z ＝i i －1＝i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－i 2＝12－i2.答案 B2．曲线y ＝3x －x 3上切点为P (2，－2)的切线方程是 A ．y ＝－9x ＋16 B ．y ＝9x －20C ．y ＝－2D ．y ＝－9x ＋16或y ＝－2解析 导数y ′＝3－3x 2，则切线斜率k ＝3－3×22＝－9，所以切线方程为y －(－2)＝－9(x －2)，即切线为y ＝－9x ＋16，选A.答案 A3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案 C4．已知复数z 满足|z |＝ 10，且(1＋2i)z (i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，则z ＝A ．3－iB ．3＋iC ．3－i 或－3＋iD ．3＋i 或－3－i解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，∵|z |＝10，∴x 2＋y 2＝10，又(1＋2i)z ＝(1＋2i)(x ＋y i)＝(x －2y )＋(2x ＋y )i ，且(1＋2i)z 在复平面上对应的点在直线y ＝x 上，∴x －2y ＝2x ＋y ，即x ＝－3y ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x ＝－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1，即z ＝±(3－i)．答案 C5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12.故P ＜Q .答案 C6．求证：7－1＞11－ 5. 证明：要证7－1＞11－5， 只要证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1， 即证35＞11，即证35＞11， ∵35＞11恒成立，∴原式成立． 以上证明过程应用了 A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析 由分析法的特点知应用了分析法． 答案 B7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17解析 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案 C8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③解析 这些“三角形数”依次是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36，28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案 C9．已知a >0，若函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是 A ．0B ．1C ．2D ．3解析 函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－a ，要使函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，则有f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤(3x 2)min .又3x 2≥3，所以a ≤3，即a 的最大值是3.答案 D10．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案 C11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是A ．(0，2]B ．(0，2)C ．[3，2)D ．(3，2)解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a ）2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′（－1）＝3－2a ＋1>0f ′（1）＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2，故选D.答案 D12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1解析 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为________．解析等式的左边的通项为12n－1－12n，前n项和为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；右边的每个式子的第一项为1n＋1，共有n项，故为1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n14．已知复数(1－2i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________．解析由题意得(1－2i)i＝2＋i，所以M(2，1)，代入直线方程得2m＋n＝1，则1m＋1n＝(1m＋1n)·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当nm＝2mn时等号成立．答案3＋2 215．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析由题意知，阴影部分的面积S＝⎠⎛12(4－x2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫4x－13x3⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P＝SS矩形ABCD＝531×4＝512.答案51216．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1，当x∈(0，π)且x≠π2时，(x－π2)f′(x)<0，则方程f(x)＝cos x在[－2π，2π]上的根的个数为________．解析 由(x －π2)f ′(x )<0知，当π2<x <π时，导函数f ′(x )<0，函数f (x )在(π2，π)上单调递减；当0<x <π2时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )在(0，π2)上单调递增．由题意可知函数f (x )的草图如图所示，由图象可知方程f (x )＝cos x 在[－2π，2π]上的根的个数为4.答案 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.证明 假设x 2＋2x －1＝0， 则x ＝－1± 2. 容易看出－1－2<12，下面证明－1＋2<12.要证：－1＋2<12，只需证：2<32，只需证：2<94.上式显然成立，故有－1＋2<12.综上，x ＝－1±2<12.而这与已知条件x >12相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立． 18．(12分)已知：m >0，n >0，n m <1，证明：n ＋1m ＋1>nm.证明 证法一 (分析法)：因为m >0，所以m ＋1>0， 要证n ＋1m ＋1>nm， 只需证：m (n ＋1)>n (m ＋1)，即只需证：m >n . 因为m >0，n m<1，所以n <m 成立，即m >n 成立． 所以原不等式成立． 证法二 (比较法)：因为n ＋1m ＋1－n m ＝m （n ＋1）－n （m ＋1）m （m ＋1）＝m －nm （m ＋1）， 因为m >0，nm<1，所以n <m ，所以m －n >0，m ＋1>0， 所以m －nm （m ＋1）>0，所以n ＋1m ＋1－nm>0，原不等式成立． 19．(12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解析 设存款利率为x ，则应有x ∈(0，0.048)，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益．20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，S n ＋1S n ＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解析 (1)S 1＝a 1＝－23，因为S n ＋1S n＝a n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，令n ＝2可得S 2＋1S 2＝a 2－2＝S 2－a 1－2，所以1S 2＝23－2，所以S 2＝－34.同理可求得S 3＝－45，S 4＝－56.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23，猜想成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，因为S n ＋1S n ＝a n －2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝a k ＋1－2，所以S k ＋1＋1S k ＋1＝S k ＋1－S k －2，所以1S k ＋1＝k ＋1k ＋2－2＝－k －3k ＋2， 所以S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－（k ＋1）＋1（k ＋1）＋2， 所以当n ＝k ＋1时，猜想仍然成立． 综合①②可得，猜想对任意正整数n 都成立， 即S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋成立． 21．(12分)(2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x. (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (Ⅱ)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解析 (Ⅰ)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x.f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x. 若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞22．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解析 (1)f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f ′(x )＝1x ＋2（x －1）2＞0，所以f (x )在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1＜0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e ＜x 1＜e 2)， 即f (x 1)＝0.又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0，1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)证明 因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x在曲线y ＝e x上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0·ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．。
2019_2020学年高中数学综合测评新人教A版选修2_2
选修2－2综合测评(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．[(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3) D ．(e 2x)′＝e 2x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，∴A 不正确；∵(log 2x )′＝1x ln 2，∴B 正确； ∵[(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3)·(2x ＋3)′＝4(2x ＋3)， ∴C 不正确；∵(e 2x)′＝e 2x·(2x )′＝2e 2x，∴D 不正确．故选B. 答案：B2．函数f (x )＝(2πx )2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝4π2x C ．f ′(x )＝8π2xD.f ′(x )＝16πx解析：f (x )＝4π2x 2，∴f ′(x )＝8π2x ，故选C. 答案：C3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD.－1－2i解析：z ＝2i －1＝－1＋2i ，z －＝－1－2i ，故选D. 答案：D4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝x －1x，由y ′<0得0<x <1，∴函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)，故选B.答案：B5．曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2与坐标轴围成的面积是( )A ．4B ．2 C.52D.3解析：如图所示，答案：D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A.2(n ＋1)2 B ．2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1解析：当n ＝2时，1＋a 2＝4a 2，a 2＝13＝22×3；当n ＝3时，1＋13＋a 3＝9a 3，a 3＝16＝23×4；当n ＝4时，1＋13＋16＋a 4＝16a 4，a 4＝110＝24×5，∴猜想a n ＝2n (n ＋1).答案：B7．(2019·长春市第一三六中学月考)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D .f (cos A )<f (cos B )解析：由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增， 又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin π2－B >0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.答案：A8．在下列命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 3－z 2)2＝0，则z 1＝z 3； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z ＝z . A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：①中，当两个复数均为实数时，可以比较大小，不正确；②中，z 2＝0，z 1＝b i ，z 3＝b ，b ∈R 且b ≠0时，(z 1－z 2)2＋(z 3－z 2)2＝0，但z 1≠z 3，不正确；③中，x ＝－1时，(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，不正确；④中z ∈R 时，z ＋z ∈R ，不正确；⑤中a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0不是纯虚数，不正确；⑥正确，故选B.答案：B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·2·…·(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“从n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B ．2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.12(2k ＋1)解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，所以两式之比为12(2k ＋1)，故选D.答案：D10．(2019·东厦中学高二质量检测)已知函数f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D.(－∞，－1]解析：由于g (x )＝x 3－x 2－5，所以g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)， ∴函数g (x )在12，23上单调递减，在23，2上单调递增，g 12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈12，2时，f (x )≥1恒成立，即a x ＋x ln x ≥1，在12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈12，2时，h ″(x )<0，所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在12，2单调递减，由于h ′(1)＝0，∴x ∈12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)＝1，∴a ≥1.答案：B11．设函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )在区间(0,2)上有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2＋14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12 解析：令g (x )＝f ′(x )＝ln x －2ax ＋1， 则g (x )＝0在(0,2)上有两个不等实根， ∵g ′(x )＝1x－2a ＝0有解，故a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<12a<2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0，g (2)<0，解得a ∈⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12.故选D.答案：D12．已知实数a ，b ，c ( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除C ，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·天津卷)i 是虚数单位，则5－i1＋i 的值为________．解析：解法一：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝5－1－6i2＝2－3i.5－i1＋i＝4＋9＝13. 解法二：5－i 1＋i ＝|5－i||1＋i|＝262＝13.答案：1314．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为____________________________．解析：平面几何中的面积类比空间几何中的体积． ∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶815．(2019·蚌埠第二中学高二月考)如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x得交点A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1x得交点B 2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x ＝23x 32⎪⎪⎪1＋ln x ⎪⎪⎪21＝23＋ln 2. 答案：23＋ln 216．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]部分对应值如下表，f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示．x －1 0 4 5 f (x )1221下列关于函数f (x )的命题： ①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中是真命题的是________．解析：由y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f (x )的图象如图所示：由于f (2)的值不确定，故①不正确，②显然正确； ∵f (0)＝2，f (4)＝2，∴0≤t ≤5， ∴t 的最大值为5，故③不正确；由y ＝f (x )－a 有4个零点，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点，由于f (2)的值不确定．故④不正确． 答案：②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝(1－i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，∴z 1＝2－i ，由复数z 2的虚部为2，可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， ∴z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，解得a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.18．(12分)编辑如下运算程序：1@ 1＝2，m @n ＝q ，m @(n ＋1)＝q ＋2. (1)设数列{a n }的各项满足a n ＝1@ n ，求a 2，a 3，a 4； (2)由(1)猜想{a n }的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)∵a 1＝1@ 1＝2，令m ＝1，n ＝1，则q ＝2；由m @n ＝q ，m @(n ＋1)＝q ＋2，得a 2＝1@ 2＝2＋2＝4，再令m ＝1，n ＝2，则q ＝4，得a 3＝1@ 3＝4＋2＝6， 再令m ＝1，n ＝3，则q ＝6，得a 4＝1@ 4＝6＋2＝8， ∴a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8. (2)由(1)猜想：a n ＝2n (n ∈N *)．(3)证明：①当n ＝1时，a 1＝1@ 1＝2，另一方面，a 1＝2×1＝2，所以当n ＝1时等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝1@ k ＝2k ，此时q ＝2k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1@ (k ＋1)＝2k ＋2＝2(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．故猜想成立．19．(12分)(2019·三水区实验中学高二月考)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈0，1a时，f ′(x )>0；当x ∈1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在0，1a 上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f 1a ＝ln 1a ＋a 1－1a＝－ln a ＋a －1.因此f 1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(12分)证明：2，3，8不可能是同一等差数列中的三项．证明：假设结论不成立，即存在一个等差数列{a n }，公差为d ，使得 2，3，8是其中的三项，不妨设a k ＝2＝a 1＋(k －1)d ， a m ＝3＝a 1＋(m －1)d ， a n ＝8＝a 1＋(n －1)d ，∴a m －a k ＝3－2＝(m －k )d ，a n －a m ＝8－3＝(n －m )d ，∴a m －a k a n －a m ＝3－28－3＝m －kn －m， ∵m 、n 、k ∈N *，∴m －kn －m是有理数， 而3－28－3＝6－15为无理数， ∴3－28－3＝m －kn －m不可能成立， ∴假设错误，即2，3，8不可能是同一等差数列中的三项． 21．(12分)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x <0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，即b ≤19，所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ，且当x ＝1时，函数f (x )取得极值为－56.(1)求f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝－6x －m 在[－2,0]上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝－56，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －2＝0，a ＋b －2＝－56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝32.经检验，符合题意．∴f (x )＝－13x 3＋32x 2－2x .(2)由f (x )＝－6x －m (－2≤x ≤0)有两个不同的实数解，得13x 3－32x 2－4x －m ＝0在[－2,0]上有两个不同的实数解，设g (x )＝13x 3－32x 2－4x －m ，则g ′(x )＝x 2－3x －4，由g ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－1， 当x ∈(－2，－1)时，g ′(x )>0， 则g (x )在[－2，－1]上递增； 当x ∈(－1,0)时，g ′(x )<0， 则g (x )在[－1,0]上递减，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)≤0，g (－1)>0，g (0)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，m <136，m ≥0.解得0≤m <136，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，136.。
2019年人教版 高中数学 选修2-2模块综合测评
2019年编·人教版高中数学模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2 D．2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2．已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，…，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A．a＋b＝22 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝() 【导学号：60030088】A．－e B．－1C．1 D．e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】 B5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】 D6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则()图1A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．【答案】 A7．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8．已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A ．a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C ．a k －1＋a k ＋…＋a 2kD ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项．故选D.【答案】 D9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01 x 3d x 则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14.综上，a >b >c .【答案】 A11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项． 【答案】 D12．已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f (a )＋f (b )a ＋b的值为( ) A ．恒正 B ．恒等于0 C ．恒负D ．不确定【解析】 可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )＋(－x )3－ln(x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f (a )＋f (b )a ＋b ＝f (a )－f (－b )a －(－b )，所以f (a )＋f (b )a ＋b>0，所以选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________． 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】 －314．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________. 【导学号：60030089】【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎜⎛π65π6∫⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x＝3－π3.【答案】3－π316．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ .【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴由已知可得⎩⎨⎧f (－1)＝(－1)3＋3m (－1)2＋n (－1)＋m 2＝0，f ′(－1)＝3×(－1)2＋6m (－1)＋n ＝0，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 【答案】 11三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．【解】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由． 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n 32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列． 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．20．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围. 【导学号：60030090】【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根． 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]． 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2]．21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立． 则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
2019-2020学年人教A版数学选修2-2阶段质量检测(二) A卷 Word版含解析
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn－4＋错误!＝2 B.错误!＋错误!＝2C.nn－4＋错误!＝2D.错误!＋错误!＝2解析：选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)，可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c)＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c)，故④错误．6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B 增乘的代数式为错误!＝2(2k ＋1)．7．已知a ，b ∈R ，m ＝6a 36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则下列结论正确的是( )A ．m ≤nB ．m ≥nC ．m >nD ．m <n解析：选A m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m ，故选A. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 017等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3解析：选A ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1an，∴a 2＝1－1a1＝－1，a 3＝1－1a2＝2，a 4＝1－1a3＝12，a 5＝1－1a4＝－1，a 6＝1－1a5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 017＝a 1＋3×672＝a 1＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x 2＋2·2x＝12·2x2＋2x. ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x 2＋2x＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值，∴2S ＝22×12，∴S ＝32.答案：3212．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6a b(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2＋…＋xn n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图：12 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为 S n ＝(2n －1)n ＋错误!＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2， 令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．) 15．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋错误!＋错误![sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋错误!＋错误!sin(2α＋30°)－错误!＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1)b a ＜c b.证明如下：要证b a＜c b，只需证b a ＜cb.∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又∵a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac ， 故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a2＋c2－b22ac ≥2ac －b22ac ＞ac －b22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x.(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝错误!，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan xtanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝错误!＝错误!＝－错误!， 所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a )＝－错误!＝f (x )．所以f(x)是以4a为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S1＝a1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，得a21＝1，因为a n＞0，所以a1＝1.S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2，得a2＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N*)．证明如下：①n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1ak，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2k a k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。
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模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：5i2－i ＝5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b 成立 B.3a <3b 成立C.3a ＝3b 或3a <3b 成立 D.3a ＝3b 且3a <3b 成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B.答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ， 若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B.答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D .答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B . 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019. 答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ；④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确； ③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确． 答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a . (2)令f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a ＝0，可得a ＝－x 3＋6x 2－9x ， 设g (x )＝－x 3＋6x 2－9x ，则g ′(x )＝－3x 2＋12x －9， 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3，列表如下：∴g (x )的大致图象如下：要使a ＝－x 3＋6x 2－9x 有且只有两个零点， 只需直线y ＝a 与g (x )的图象有两个不同的交点， ∴实数a 的值为－4或0.19．(12分)(1)当a >2时，求证：a ＋2＋a －2<2a ； (2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项． 证明：(1)由题意得(a ＋2＋a －2)2＝2a ＋2a ＋2·a －2，∵a －2>0，a ＋2>0，且a ＋2≠a －2， ∴要证a ＋2＋a －2<2a ，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ，即证a ＋2·a －2<a ，即证a 2－4<a 2，即证－4<0， 而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ， 则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)， 从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.解析：(1)f ′(x )＝x －ax，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，所以a ＝4.(2)因为f ′(x )＝x －ax ，f (x )的定义域为x >0，所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0.所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式． 解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2kk ＋1，所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以a n＝2.n(n＋1)。