江苏省吴江市平望中学苏教版高中数学必修五教案3.4基本不等式第一课时

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苏教版高中数学必修五《基本不等式的证明》学案

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立，该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述（2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ；（2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较b a a b +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等．已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值；（2）已知+∈R y x ，，且191=+y x ，求y x +的最小值．【学后反思】。

苏教版高中数学必修五基本不等式教案(1)

第九课时基本不等式（二）教学目标：使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点、难点：均值不等式定理的应用。

教学过程：1．复习回顾2．例题讲解：例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴y ∈[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1的最小值解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？总结：一正二定三相等。

介绍：函数y ＝x ＋1x的图象及单调区间例3：求下列函数的值域（1）y = x 2＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1 x 2＋3x ＋5解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3x ＋1＋ 1 当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ；当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2＋3x ＋5x ＋1则问题变为：y = 1t，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞） ∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1 2 3 ＋1] 又x ＋1 = 0时，y = 0即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111] 说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。

例4：求下列函数的最大值（1）y ＝2x （1－2x ）（0＜x ＜12）（2）y ＝2x （1－3x ）（0＜x ＜13）例5：已知x ＋2y ＝1，求 1x ＋1y的最小值。

3．课堂小结一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》94

课题:§根本不等式〔第1课时〕授课类型：新授课教学目标：1．“四基〞“四能〞目标〔1〕掌握根本不等式，了解根本不等式代数与几何两个方面的背景，用数形结合的思想理解根本不等式．〔2〕进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对根本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

〔3〕能够利用根本不等式求简单的最值。

2．核心素养目标通过问题引导、课堂探究、应用稳固初步培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等数学核心素养。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解根本不等式。

教学难点：根本不等式的发现及利用根本不等式求最值的前提条件。

教学过程：一、创设情景，引入新课问题1：物体放在不等臂天平左盘上称得质量为a，物体放在不等臂天平右盘上表示物体的真实质量合称得质量为b，把两次称得的结果“平均〞一下，用a+b2理吗？问题2：如果你认为不合理，那物体的真实质量是多少呢？〔学生小组讨论：有的学生认为合理，有的学生从物理的角度认为实际重量应该是√ab。

〕教师顺势给出算术平均数和几何平均数的概念问题3：这两个值相等吗？这两个数大小关系如何？二、自主探究，学习新知探究活动1：引导学生用特殊值法发现并猜测结论。

探究活动2：引导学生运用多种方法证明结论。

主要是引导学生从不同角度寻求用比拟法、分析法和综合法证明结论，体会三种方法在证明过程的不同，同时在证明过程中帮助学生理解当且仅当的含义法一：比拟作差法作差、变形、判号法二：分析法由未知、找需知、靠拢；法三：综合法由、找可知、靠拢未知。

探究活动3：如下图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。

过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

〔引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤，加深对根本不等式的理解〕几何意义：半弦长不大于半径长。

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数三、例题讲解，运用新知例1:设a,b为正数，证明以下不等式成立：〔1〕baab≥22 a1a≥2变式1：假设，求的最小值。

高中数学3.4.1基本不等式 1教案苏教版必修5

执笔人：夏文秀审核人： 2009 年 11 月日基本不等式的证明（1）第 30 课时一、学习目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.体会证明不等式的基本思想方法。

3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。

2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

三．课前预习：1.设b a ,是正数，则它们的算术平均数为________________,几何平均数为___________.2.基本不等式的表达式：___________________,其中等号成立的条件是_______________.3.一个重要的不等式：______________________________四、课堂探究：1.重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．2.由引例和实验探索两个正数b a ,的算术平均数和几何平均数之间的大小关系。

3.如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？证法1：证法2：证法3：4.基本不等式的几何意义是什么？五．例题讲解例1. 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b+≥；（2）12a a +≥例 2.已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222例3（选做）已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．六．当堂练习：P88练习1，2，3七．反思总结。

江苏省苏州市高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式(

基本不等式（第一课时）一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤ 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程： 1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为b a ,，那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=，正方形的面积222b a S +=．由图可知12S S >，即ab b a 222>+．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2ba ab +≤ 2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若+∈R b a ,，则ab b a 222>+．若+∈R b a ,，则2ba ab +≤．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2ba ab +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）： 0)(2222≥-=-+b a ab b aab b a 222≥+∴，当b a =时取等号．（在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是要证明ab ba ≥+2，只要证明 ab b a 2≥+，即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab ba ≥+2，当b a =时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式: 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2ba +为b a ,的算术平均数基本不等式2ba ab +≤又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅= 由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ，于是有2ba ab +<当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立．故而再次证明：当0,0>>b a 时，2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于+∈R y x ,，（1）若p xy =（定值），则当且仅当b a =时，y x +有最小值p 2；（2）若s y x =+（定值），则当且仅当b a =时，xy 有最大值42s ．AB（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.求)0(1≠+=x x x y 的值域．变式1. 若2>x ，求21-+x x 的最小值．在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1≠+=x x x y 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）： 1.已知0,0>>y x ，且182=+yx ，求xy 的最小值． 2.设R y x ∈,，且2=+y x ，求y x 33+的最小值． 5．归纳小结，反思提高基本不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）若+∈R b a ,，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为21yx z +=，几何平均数记为xy z =2 利用电脑3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面21yx z +=在曲面xy z =2的上方6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题A组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．。

苏教版数学高二-必修5导学案 3.4 基本不等式(1)

3.4 基本不等式【学习目标】1．探索并了解基本不等式的证明过程。

2．体会证明不等式的基本思想方法。

3．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

【重点难点】重点：理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤；难点：基本不等式的简单应用，注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．把一个物体放在天平的一个盘子上，而在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的重量为a，由于天平制造得不平衡，天平的二臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非实际质量。

不过，我们可作第二次测量，把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b，那么物体的实际质量是多少呢？.（1）请你猜测物体的实际质量为多少？（2）上述猜想正确吗？a,是正数，则它们的算术平均数为,几何平均数为.2．（1）设b（2）问题：两个非负数a，b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？二、知识建构1．基本不等式：．即两个正数的不大于它们的，当时两者相等．2．如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？（1）比较法（2）分析法（3）综合法3．当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b =2b a ab +=⇒；另一方面是仅当a b =时取等号，即⇒+=2b a ab a b =． 4．基本不等式的几何意义是什么？5．重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．三、例题例1 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥；（2）12a a+≥ba例2 已知函数()+∞-∈++=,2,216x x x y ，求此函数的最小值。

变式：将()+∞-∈,2x 改为[)+∞∈,4x ，求此函数的最小值。

例3.（1）已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222（2）已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．四、巩固练习1．计算：（1）2与8的算术平均数为，几何平均数为；（2）p 与9p （其中p>0) 的算术平均数为，几何平均数为；2．证明：（1）x x 212≥+ （2）设x 是实数，求证222≥+-x x（3）)1(311>≥-+a a a （4）)0(21<-≤+x x x3．已知x+2y=6，求y x 42+的最小值。

基本不等式第一课时优秀教学设计

基本不等式:
��
≤
��
+ ��
��
（第
1
课时）
教学用环节时
教学内容
师生互动
设计意图
一、情景导入
2002 年在北京召开的第 24 届国际数
教师设置问从教材中数学文化
学家大会的会标，感受其中蕴涵的数
题串引导学背景赵爽“弦图”让
学文化。
生思考。学学生从至真至善之美
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解重要不等式：��2 + ��2 ≥ 2��(��,�� ∈ ��)的猜想与证明；
2．理解基本不等式：
��
≤
��
+ 2
��
的结构特点、成立条件和几何解释，并能进行简单
应用。
【学情分析】
1.心理特征：上课班级为实验中学理科实验班学生。根据实验中学已有学生的数学学习素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，引导学生感受数学几何直观的美，欣赏数学对称美，领会数学运算的简洁美。本阶段学生处于青春期其心理特征对于新事物好奇心很强，喜欢不寻常的方法和事物。而博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式，以个别提问为主研究基本不等式。引导学生分析基本不等式的几何解释，利用几何画板引导学生作圆，观察得到几何解释。在学生感受几何直观与代数证明的紧密结合时，引出生活在 2000 多年前两河流域的古巴比伦时期的人们利用简单、对称的代数关系证明让学生感受基本不等式的证明方法是历史发展的产物，展示了人类智慧的结晶。几何直观和代数运算辩证统一的思想方法中让学生感受数形统一的思维过程。为了突破本节课的难点以层层递进的例题设计为学生的思维搭架子，让学生感受构造、二元问题转化为一元的方法，在教学的过程中要调动学生学习的积极性，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。

苏教版高中数学必修五第三学生教案不等式第课时(1)(3)

学习札记让学生学会学习个实根,,21x x 且12012x x <<<<，求a 的取值范围．【解】例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？例4.有正数y x ,都成立，求k 的最小值．本章总结回顾：1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式．２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。

画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。

解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。

３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。

应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。

【选修延伸】柯西不等式内容：22212()n a a a +++L 22212()n b b b +++L ≥21122()n n a b a b a b +++L ．()n N +Î 证明：设()f x =22212()n a a a +++L 2x2-1122()n n a b a b a b x +++L22212()n b b b ++++L ．当22221n a a a +++Λ＝０，即120n a a a ====L 时，柯西不等式显然成立．当22221n a a a +++Λ≠０，即学习札记学习札记。

苏教版高中数学必修五基本不等式的应用教案(1)

第 13 课时：§3.4.2 基本不等式的应用（2）【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

三、情感、态度与价值观1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【教学重点与难点】：重点：（1）根据实际问题，建立恰当的数学模型；（2）能利用基本不等式求出函数的最值．难点：掌握建立不等式模型解决实际问题【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题已知y x ,都是正数，①如果xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积有最大值241s 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材90P 例3）过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．解：点(,0)A a ，(0,)B b (0,0)a b >>，则直线l 的方程为1x y a b +=，∵直线l 过点(1,2)，∴121a b +=，由基本不等式得：121a b =+≥8ab ≥，当且仅当12a b=，即2,4a b ==时，取“=”，此时AOB ∆的面积142AOB S ab ∆=≥取最小值，∴所求直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=．例2 （教材90P 例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A 它的两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为b 的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？解：设排版矩形的长和宽分别是,x y ，则xy A =．纸张面积为(2)(2)224S x a y b xy bx ay ab =++=+++24A ab ≥+=．当且仅当22bx ay =，即x y ===”，即S 有最小值2，2a 2b ．2a 2b 时，纸张的用量最是少．例3 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时．．．的运输成本．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元，（1）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度x （千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S x，全程运输成本为 2()S S a y a bx S bx x x x =⋅+⋅=+，所以，函数及其定义域为2()S S a y a bx S bx x x x =⋅+⋅=+，(0,]x c ∈；（2）由题知,,,S a b x 都为正数，故有()2aS bx x +≥当且仅当a bx x=，即x =c ≤，则当x =y 最小；c >，当(0,]x c ∈时，有()()[()()]a a a a S bx S bc S bx bc x c x c +-+=-+-()()S c x a bcx xc=--， ∵20,c x a bc -≥>， ∴20a bcx a bc -≥->， ∴()()aa S bx S bc x c+≥+，当且仅当x c =时上式等号成立，即当x c =时，全程运输成本y 最小．综上：为使全程运输成本y c ≤时，行驶速度应为x =c >时，行驶速度应为x c =．例4 四边形ABCD 的两条对角线相交于O ，如果AOB ∆的面积为4，COD ∆的面积为16，求四边形ABCD 的面积S 的最小值，并指出S 最小时四边形ABCD 的形状。

江苏省必修5教案 3.4.1基本不等式的证明

3．4.1 基本不等式的证明
教学
目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解
释；
重点难
点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程；难点：理解基本不等式2
a b ab +≤
等号成立条件及 “当且仅当b a =时取等号”的数学内涵教学过程
一、问题情境
1. 提问：
2
a b +与ab 哪个大？ 2.基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

二、互动探究
基本不等式：对任意正数a 、b ，有,2
a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立。

证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。

由基本不等式1，得22()()2,a b a b +≥ 当且仅当a b =时等号成立。

即
,2a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立。

证法2：2a b +-ab 22211[()()2]()022
a b a b a b =+-=-≥当且仅当a b =即a b =时，取“=”。

高中数学第3章不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案苏教版必修5(2021年整理)

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3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点)2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点）3．能用基本不等式求解简单的最大(小）值问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P96，完成下列问题．对于正数a,b,我们把错误!称为a，b的算术平均数,错误!称为a，b的几何平均数．若两个正数a，b的算术平均数为2,几何平均数为2，则a＝________，b＝________.【解析】由题意可知错误!∴错误!∴a＝2，b＝2。

【答案】 2 2教材整理2 基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．如果a，b是正数，那么错误!≤错误!（当且仅当a＝b时取“＝"），我们把不等式错误!≤错误!（a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）对任意a，b∈R，都有a＋b≥2错误!成立．( )(2）不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2。

( ）【答案】（1)×（2)√［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：__________________________________________________[小组合作型］用基本不等式证明不等式已知a,b，c（1)求证:a＋b＋c≥错误!＋错误!＋错误!；（2）求证:错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c.【精彩点拨】（1）利用a＋b≥2ab,a＋c≥2ac，b＋c≥2错误!求证；(2）利用错误!＋b≥2错误!;错误!＋c≥2错误!；错误!＋a≥2错误!求证．【自主解答】(1）∵a>0,b>0，c>0,∴a＋b≥2错误!，a＋c≥2错误!，b＋c≥2错误!。

苏教版高中数学必修五教学案第课时基本不等式的证明(1)

总课题不等式总课时第26课时分课题基本不等式的证明（二）分课时第 2 课时教学目标运用基本不等式求解函数最值问题．重点难点最值定理的证明与应用．引入新课1．当0>>a b 时，比较ba ab b a ab b a a b + + + 22222，，，，，的大小．（运用基本不等式及比较法）2．若0>y x ，；（1）当9=xy 时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____．（2）当6=+y x 时，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____．猜测：若+∈R y x ，；（1）当P xy =时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____．（2）当S y x =+时，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____．证明：例题剖析已知+∈R y x ，；（1）9=xy 时，则y x 2+，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____．（2）14=+y x ，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____．利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等．已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例1 例2 例3（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求y x 11+的最小值；（2）已知+∈R y x ，，且191=+yx ，求y x +的最小值．巩固练习1．若+∈R y x ，；（1）当182=+y x 时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____．（2）已知0>x ，0>y ，且2075=+y x ，求xy 的最大值．2．求证：（1）11122>++x x ；（2）22322>++x x ；（3）已知45<x ，求54114-+-=x x y 的最大值．3．14=+y x ，求yx 11+的最小值．课堂小结利用基本不等式求最大值或最小值时注意：（一正二定三相等）（1）x ，y 一定是正数；（2）求积xy 的最大值，应看和y x +是否为定值；求和y x +的最小值时，看积xy 是否定值；（3）等号是否能够成立．例4课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．下列不等式的证明过程正确的是（）A ．若a ，R b ∈，则22=⋅≥+ba ab b a a b B ．若x ，y 是正实数，则y x y x lg lg 2lg lg ⋅≥+C ．若x 是负实数，则+x x42≥x x 4⋅4= D ．若a ，R b ∈，且0>ab ，则22)(-=-⋅--≤-+--=+a b b a a b b a a b b a 2．（1）若0>x 时，x xy 312+=的最小值为_____；此时=x _____．（2）若0<x 时，x xy 312+=的最大值为______；此时=x _____．（3）函数)3(31> -+=x x x y 的最小值为______；此时=x _____． 3．（1）已知+∈R y x ，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为___________．（2）已知+∈R y x ，且1=+y x ，则y x 12+的最小值为___________．二提高题4．已知函数θθθsin cos tan +=y ，)20(πθ ∈，，求函数的最小值及取最小值时的θ值．5．求函数)0(4≠+=x xx y 的值域．6．设x ，y 为正实数，且2052=+y x ，求y x u lg lg +=的最大值．让学生学会学习7．求函数=y 182-+x x )1(>x 的最小值．三能力题8．（1）设0>x ，求证：23122≥++x x ；（2）设1>x ，求函数1143+-+=x x y 的最小值及x 的值．9．已知0>>y x ，且1=xy ，求证：y x y x -+22的最小值及此时x ，y 的值．。

2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教案苏教版必修5

2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教案苏教版必修5●三维目标 1.知识与技能(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释. 2.过程与方法(1)通过实例探究抽象基本不等式；(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式ab ≤a ＋b2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(3)运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件． 3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.●重点、难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义．难点：理解基本不等式等号成立的条件．为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式ab ≤a ＋b2的证明过程．每一步证明过程都要给学生留出思考的空间，让他们自主探究．(教师用书独具)●教学建议本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．●教学流程创设情境引导学生理解算术平均数和几何平均数的概念，进而给出基本不等式.⇒引导学生多角度探索基本不等式的证明方法，使学生充分理解基本不等式.⇒通过例1及其变式训练使学生熟悉基本不等式的结构与应用.⇒通过例2及其互动探究使学生掌握利用基本不等式证明不等式方法.⇒通过例3及其变式训练让学生掌握利用基本不等式求函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第62页)对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.1．若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？【提示】因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab . 2．上述结论中，等号何时成立？【提示】当且仅当a ＝b 时等号成立．3．若以a 、b 分别代替问题1中的a 、b ，可得出什么结论？等号何时成立？【提示】 a ＋b ≥2ab (a 、b 是正数)，当且仅当a ＝b 时等号成立．如果a ，b 是正数，当且仅当a ＝b 时取“＝”)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．(对应学生用书第63页)利用基本不等式比较大小设a 、b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小．【思路探究】先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明．【自主解答】 ∵a 、b ∈(0，＋∞)，∴1a ＋1b ≥21ab，即21a ＋1b≤ab ，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时等号成立．又∵a 2＋b 22≥ a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b 22＝a ＋b2， ∴a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立．而ab ≤a ＋b 2，于是21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22. 当且仅当a ＝b 时等号成立．1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式． 2．在利用a ＋b ≥2ab 时，一定要注意是否满足条件a >0，b >0.已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小，并加以证明．【解】 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，又∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1x 2≤(x 1＋x 22)2.∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2.∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22，即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)，当且仅当x 1＝x 2时，等号成立.求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .【思路探究】分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ， b ＋c ≥2bc ， c ＋a ≥2ac .∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .1．本题中，由于三个不等式等号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立． 2．由基本不等式a ＋b 2≥ab 可以引申出的常用结论：(1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)；(3)21a ＋1b≤ ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)；(4)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．若条件不变，结论改为a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac ，怎样证明？【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )．即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .利用基本不等式求函数的最值(1)已知x ＞2，求y ＝x ＋1x －2的最小值；(2)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．【思路探究】 (1)将原式变形为y ＝x －2＋1x －2＋2，再利用基本不等式；(2)将原式变形为y ＝14·2x (1－2x )，再利用基本不等式．【自主解答】 (1)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时，y min ＝4.(2)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0，∴y ＝12x (1－2x )＝14×2x (1－2x )≤14(2x ＋1－2x 2)2＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x (0＜x ＜12)，即x ＝14时，y max ＝116.1．本例中，对要求最值的函数式，通过适当的变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值．2．利用基本不等式求解最值，应满足“一正、二定、三相等”三个条件． (1)“一正”，所求最值的各项都是正值．(2)“二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值．(1)若x ＜0，求f (x )＝4x ＋9x 的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1(x ＞0)的最小值．【解】 (1)∵x ＜0，∴－x ＞0. 则－f (x )＝－4x ＋9－x ≥2－4x ·9－x＝12. 即f (x )≤－12，当且仅当－4x ＝9－x时，即x ＝－32时，f (x )取最大值－12.(2)∵y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1＝x 2＋2x ＋1－x x 2＋2x ＋1＝1－x x 2＋2x ＋1，又x ＞0，∴y ＝1－1x ＋1x ＋2.∵x ＋1x ≥2，∴x ＋1x＋2≥4，∴0＜1x ＋1x＋2≤14， ∴y ≥1－14＝34.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，函数取得最小值34.(对应学生用书第64页)忽略定值条件导致错误设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．【错解】 a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋1＋b 22＝12[(a 2＋12)＋(a 2＋b 22)] ＝12[(a 2＋12)＋1]≥34(a ＝0时，取等号)．【错因分析】在a1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋1＋b 22中，4a 2＋1＋b 22并非定值，这直接导致了解题的错误．【防范措施】 a ＋b 是定值或a 、b 是定值是使用基本不等式的第二个条件，当条件不具备时应对解析式变形，创造定理条件．【正解】由a 2＋b 22＝1，得a 2＋1＋b 22＝32. ∴a 1＋b 2＝2·a ·1＋b 22≤2·a 2＋1＋b 222＝2×322＝324，当⎩⎨⎧a 2＋b 22＝1，a ＝1＋b 22，即⎩⎨⎧a ＝ 32，b ＝22时，等号成立．1．基础知识：(1)算术平均数与几何平均数； (2)基本不等式． 2．基本技能：(1)利用基本不等式比较大小；(2)利用基本不等式证明不等式；(3)利用基本不等式求函数的最值． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)分类讨论思想；(3)函数思想.(对应学生用书第65页)1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是________．【解析】因为0＜a ＜1,0＜b ＜1，a ≠b ，所以a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，所以a ＋b 最大．【答案】 a ＋b2．若x ＞0，则f (x )＝4x ＋9x 的最小值为________．【解析】 ∵x ＞0，由基本不等式，得f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12. 当且仅当4x ＝9x 时，即x ＝32时，f (x )取最小值12.【答案】 123．已知x ＞0，则y ＝2－x －4x 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，∴x ＋4x ≥4，∴y ＝2－x －4x ＝2－(x ＋4x )≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x (x ＞0)，即x ＝2时，y max ＝－2. 【答案】－24．求证4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)．【证明】因为a ＞3，所以a －3＞0. 所以4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3·a －3＋3＝2×4＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即当a ＝5时取等号.(对应学生用书第99页)一、填空题1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·ab＝2； ②若x ＞0，则 cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x＝2；③若x ＜0，则x ＋4x≤2x ·4x＝4； ④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b ＝－[(－b a )＋(－ab)]≤－2－b a ·－ab＝－2. 【解析】对于①，不能确定b a 与ab 均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x 与4x 均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数b a 与ab 分别转化为正数－b a ，－ab，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.【答案】 ④2．(xx·南通检测)若a ＞1，则y ＝a ＋1a －1的最小值为________．【解析】 ∵a ＞1，∴a －1＞0，1a －1＞0，∴y ＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号，∴y min ＝3.【答案】 33．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n . 【答案】 m ＞n4．已知x ＞1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16，∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．【答案】 [16，＋∞)5．(xx·无锡检测)已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________．【解析】由2a ＋b ＝4，∴4＝2a ＋b ≥22ab . ∴2ab ≤2，∴2ab ≤4，∴ab ≤2，即(ab )max ＝2. 【答案】 26．若x ＋2y ＝2，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝222＝4，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【答案】 47．(xx·郑州高二检测)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b的最小值为________．【解析】依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1b a －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4.【答案】 48．(xx·衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为________．【解析】依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC ＝12|AB →|·|AC→|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2[5＋(y x ＋4xy )]≥2(5＋2y x ·4x y)＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y的最小值为18.【答案】 18 二、解答题9．求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值．【解】 y ＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.由题意知x －1＞0，∴y ≥2x －1·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取“＝”，∴y min ＝8.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.【证明】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，可分别相乘． ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．11．已知x，y为正数且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．【解】由2x＋8y－xy＝0，得x＝8yy－2(y＞2)，令t＝x＋y，则t＝8yy－2＋y＝8y－2＋16y－2＋y＝8＋16y－2＋y＝(y－2)＋16y－2＋10≥2y－2·16y－2＋10＝216＋10＝18.当且仅当y－2＝16y－2，即y＝6，x＝12时，等号成立．所以(x＋y)min＝18.(教师用书独具)已知a ＞b ，ab ＝1，求证a 2＋b 2≥22(a －b )．【思路探究】因为a ＞b ，所以a －b ＞0，所以若证a 2＋b 2≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2a －b≥22即可．【证明】因为a ＞b ，所以a －b ＞0，又ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2a －b ·2a －b ＝22，所以a 2＋b 2a －b≥22，即a 2＋b 2≥22(a－b )．当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧．已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .【证明】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＝a －b ＋b －c ＞0， ∴所证不等式等价于(1a －b ＋1b －c )(a －c )≥4.又(1a －b ＋1b －c)(a －c ) ＝a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.∴1a－b＋1b－c≥4a－c.拓展证明不等式的基本方法——分析法.分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立．对于某些不等式(如含有根式、分式或两端较为复杂)有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法．用分析法证题时，要注意其语言“特色”．如用分析法论证“若A，则B” 这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，从而又……只需证命题B2为真，从而又…………只需证明A为真，今已知A为真，故B为真．可见，分析法总是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件．写成简要的形式就是：B←B1←B2←…←B n←A..。

3.4.1《基本不等式的证明》教案(苏教版必修5)

普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§3.4.1第1 0课时基本不等式的证明（1）教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。

教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。

教学过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。

不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。

2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为12,l l ，物体的质量为M ，则12l M l a =，①21l M l b =，②，①，②相乘在除以12l l，得M =（3）2a b +三．建构数学1．算术平均数与几何平均数：设,a b 为正数，则2a b+称为,a b,a b 的几何平均数。

2．用具体数据验证得：≤2a b+(0,0)a b ≥≥ 即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。

下面给出证明：证法1：2a b +-22211022=+-=≥=a b =时，取“=”。

证法2：≤a b+，只要证ab ≤+只要证0a b ≤-，只要证2≤因为最后一个不等式成立，≤2a b+成立，=a b =时，取“=”。

证法3：对于正数,a b有2≥，0a b ⇒+-≥2a ba b +⇒+≥⇒≥3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：0,0a b ≥≥（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）（3）ab ba ≥+2的几何解释：（如图1）以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过BC 作弦DD AB '⊥，则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD ba =≥+2（4）当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b =2a b+⇒=；另一方面是仅当a b =时取等号，即2a b +=⇒a b =。

江苏省苏州市第五中学高中数学第三章《不等式》基本不等式第一课时教学说明新人教版必修5

教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。

这是一个过程性目标。

【优质文档】必修5教案3.4基本不等式

能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
?
提问 1: 我们把“风车”造型抽象成图 3.4-2. 在正方形 ABCD中有 4 个全等的直角三角形 . 设
直角三角形的长为 a 、 b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答： a2 b 2 ， a 2 b 2
提问 2：那 4 个直角三角形的面积和呢？
② 如果和 x 3、课堂练习
y 是定值 S，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值 1 S 2 4
课本第 113 页练习第 1 题
4、归纳总结
比较两个重要不等式的联系和区别
（5）评价设计
1、课本第 113 页习题 3.4 第 1 题
2、思考题：若 x 0,求 x 1 的最大值 x
2
生答： 2ab
提问 3：好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等
式， a2 b 2 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢？
Hale Waihona Puke 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即
a b 时，正方形 EFGH变成一个点，这时有
a 2 b 2 2ab
2、新课讲授
（1）（板书）一般地，对于任意实数
①
2
即证
ab
②
要证② , 只要证
ab
0
③
要证③ , 只要证
(-)
20
④
显然 , ④是成立的 , 当且仅当 a b 时 , ④的等号成立
(3) 观察图形 3.4-3, 得到不等式①的几何解释 (4) 变式练习：
已知 x 、 y都是正数，求证：
① 如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 p

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》1

1．理解基本不等式的内容及证明．重点 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．重点 3．能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点
教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P 96，完成下列问题．
对于正数a ，b ，我们把称为a ，b 的算术平均数，称为a ，b 的几何平均数．教材整理2 基本不等式
阅读教材P 97～P 98，完成下列问题．
如果a ，b 是正数，那么错误! 错误!当且仅当时取“＝”，我们把不等式 a ≥0，b ≥0称为基本不等式．
题型一基本不等式的证明
例1：证明：如果a ，b 是正数，那么错误!≤错误!
题型二用基本不等式证明不等式例2：证明：如果a ，b 是正数 12≥+b a a b ；221
≥+a
a
变式2：证明：+a
题型三用基本不等
例3：已知函数=y
变式3：求函数y =
＝错误!>－1的最小。